GEOMETRIA PLANA: ARCOS E CIRCUNFERÊNCIA
1. (Faap 97) O aumento percentual da área é:
a) 4 %
b) 1,91 %
c) 19,1 %
d) 0,4 %
e) 1 %
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES.
(Faap 97) Uma chapa de metal circular, com 1m de raio, ficou exposta ao sol. Em
consequência, sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio. (Considerar ™=3,14)
2. O perímetro dessa chapa após a dilatação (em metros) é:
a) 6,28
b) 6,34
c) 6,48
d) 6,42
e) 6,25
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3. Uma seção cônica é obtida a partir da interseção de um cone com um plano. Na figura
abaixo, temos um exemplo de uma seção cônica, denominada Elipse. A figura consiste de
duas esferas S e S‚ que tangenciam o cone em duas circunferências C e C‚ e tangenciam o
plano ™ nos pontos F e F‚. Os pontos P, P‚ e P estão, respectivamente, na interseção de uma
reta do cone com as circunferências e a Elipse.
A soma das distâncias de P aos pontos F e F‚ é igual a distância
a) entre as duas circunferências.
b) entre P e P‚.
c) entre os centros das duas esferas.
d) entre F e F‚.
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4. (Ufrj 2003) Determine, em função de š, o perímetro da figura ABD, obtida retirando-se do
triângulo retângulo ABC o setor circular BCD (de centro em C, raio 1 e ângulo š). Justifique.
5. (Unicamp 2003) Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60° de
latitude norte; o ponto A está a 15°45' de longitude leste e o ponto B a 56°15' de longitude
oeste.
a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio
do paralelo de 60°?
b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60°? [Use
22/7 como aproximação para ™]
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6. (G1) Um quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência. Sabendo que os arcos AB,
BC e CD valem, respectivamente, 80°, 110° e 90°, determine todos os ângulos do quadrilátero
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7. (Ufrrj 2005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre
essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto 0 é o centro do
círculo de raio 2m e os ângulos BOC e OBC são iguais.
O comprimento do segmento AB é
a) 2 m.
b) 3 m.
c) 3Ë2 m.
d) 2Ë5 m.
e) 2Ë3 m.
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8. (Uff 2000) A figura representa três círculos idênticos no interior do triângulo retângulo
isósceles ABC.
Tem-se que:
- A soma das áreas dos três círculos é 6™ cm£;
- P, Q, R, S e T são pontos de tangência;
- BT é perpendicular a AC.
Determine a medida do segmento BC.
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9. (Fuvest-gv 91) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°
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10. (Fuvest 93) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência – e AC é lado de um
polígono regular inscrito em –. Sabendo-se que o ângulo AïC mede 18° podemos concluir que
o número de lados do polígono é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
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11. (Ufpe 96) Na figura a seguir, o círculo tem raio 1, os arcos AB e CD medem ™/6 e ™/9
respectivamente (ambos orientados no sentido anti-horário). Se ‘ é medido em radianos,
calcule (144/™)‘.
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12. (Ufpe 96) Na figura a seguir tem-se um círculo de raio 1 e sobre este círculo, consideram-se
arcos AB e CD medindo ™/6 e ™/9 respectivamente (ambos orientados no sentido
anti-horário). Se ‘ é a medida em radianos do ângulo AOB, calcule (144/™)‘.
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13. (Pucsp 97) João e Maria costumavam namorar atravessando um caminho reto que
passava pelo centro de um canteiro circular, cujo raio mede 5m. Veja a figura 1.
Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de partida P, partiram emburrados, e, ao
mesmo tempo, para o ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do canteiro João
andou ao longo do caminho que margeava o canteiro (sobre o circulo), cuidando para estar,
sempre, à "mesma altura" de Maria, isto é, de modo que a reta MJ, formada por Maria e João,
ficasse sempre perpendicular ao diâmetro do canteiro. Veja a figura 2.
Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria, for igual a 7,5 = 5 + 5/2 metros, o
comprimento do arco de circunferência PJ, percorrido por João, será igual a
a) 10.™/3 m
b) 2.™ m
c) 5.™/3 m
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d) 2.™/3m
e) ™/3 m
14. (G1) Calcule o valor de x na figura a seguir
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15. (G1) Calcule o valor de x na figura a seguir
16. (G1) Um ângulo inscrito é formado por uma corda e um diâmetro. O arco subentendido pela
corda é o dobro do arco compreendido entre os lados. Determine o ângulo inscrito.
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17. (Mackenzie 96) O perímetro da figura não pontilhada a seguir é 8™, onde os arcos foram
obtidos com centros nos vértices do quadrado cujo lado mede:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
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18. (G1) (Fuvest 84)
Um arco de circunferência mede 300°, e seu comprimento é 2km. Qual o número inteiro mais
próximo da medida do raio em metros?
a) 157
b) 284
c) 382
d) 628
e) 764
19. (Cesgranrio 92) No triângulo ABC, são dados os vértices B e C e também a medida do
ângulo A, agudo. O lugar geométrico do vértice A é:
a) uma circunferência.
b) um arco de circunferência.
c) a união de dois arcos de circunferências.
d) uma reta.
e) a união de duas retas paralelas.
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20. (Cesgranrio 90) Em um círculo de raio 5 está inscrito um quadrilátero ABCD. Sobre a soma
dos ângulos opostos BÂD e BðD, podemos afirmar que vale:
a) 5 x 180°.
b) 3 x 180°.
c) 2 x 180°.
d) 180°.
e) 90°.
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21. (Cesgranrio 91) O gráfico a seguir representa o resultado da eleição para governador do
Estado do Rio de Janeiro.
Brizola: 47%
Brancos e nulos: 22%
Bittar: 14%
Nelson: 10%
Ronaldo: 6%
Jussara: 1%
Sabendo que, no gráfico, a votação de cada candidato é proporcional à área do setor que o
representa, podemos afirmar que o ângulo central do setor do candidato Bittar é de:
a) 14°.
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b) 25°.
c) 50° 24'.
d) 57° 36'.
e) 60° 12'.
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22. (Uff 97) A figura a seguir, representa duas circunferências C e C' de mesmo raio r.
Se o segmento MN é o lado comum de hexágonos regulares inscritos em C e C', então o
perímetro da região sombreada é:
a) 10 ™ r / 3
b) ™ r / 3
c) 2 ™ r / 3
d) 4 ™ r
e) 2 ™ r
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23. (Ufmg 99) Observe a figura.
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos
AïD e AÊD medem, respectivamente, 20° e 85°.
Assim sendo, o ângulo CïD mede
a) 25°
b) 35°
c) 30°
d) 40°
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24. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 170° e
130°. Então, o arco MSN mede:
a) 60°
b) 70°
c) 80°
d) 100°
e) 110°
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25. (Ufmg 2000) Observe a figura.
Nessa figura, AB é um diâmetro do círculo de centro O e raio 2 e o ângulo PÂB mede 15°.
Nesse caso, a distância do ponto P à reta AB é de
a) (Ë3)/2
b) 1
c) Ë2
d) Ë3
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26. (Fatec 2000) Na figura a seguir, o triângulo APB está inscrito na circunferência de centro C.
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então x é igual a
a) 23°45'
b) 30°
c) 60°
d) 62°30'
e) 66°15'
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27. (Mackenzie 2001)
O ângulo ‘ da figura mede:
a) 60°
b) 55°
c) 50°
d) 45°
e) 40°
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28. (Ufes 2001) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma circunferência, a corda CD é bissetriz
do ângulo AðB e as cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. Se o ângulo BÂD mede 40°,
a medida ‘ do ângulo BÂC é
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
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29. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador
e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a
6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h,
descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas.
b) 20 horas.
c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.
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30. (Uerj 2003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma
espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem
4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.
Considerando ™ = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:
a) 100
b) 110
c) 120
d) 130
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31. (Ufes 2004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o
arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo
APD é
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
32. (G1) (FUVEST 86)
Um triângulo tem 12cm de perímetro e 6cm£ de área. Quanto mede o raio da circunferência
inscrita nesse triângulo?
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33. (Pucmg 2004) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, e a medida de sua área é
12™m£; o comprimento do cateto BC é igual ao comprimento da circunferência que tem AC
como diâmetro. A medida do raio dessa circunferência, em metros, é:
a) Ë5
b) Ë6
c) Ë7
d) Ë8
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34. (Unifesp 2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos
centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso,
cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.
Nestas condições, calcule:
a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita.
b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.
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35. (G1) (PUC)
O ângulo x, na figura a seguir, mede:
a) 60°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
e) 120°
36. (G1) Calcule a área do círculo que tem diâmetro igual a 20 cm. Use ™ = 3,14.
37. (G1) Qual é o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 2,4 cm? Use ™ =
3,14.
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38. (G1) Na figura a seguir, PA e PB são segmentos tangentes à circunferência.
Determine:
a) as medidas dos segmentos PA e PB.
b) o perímetro do quadrilátero PAOB, sabendo que o raio do círculo vale 7.
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39. (G1) Observando a figura a seguir, determine (em cm):
a) o valor de x.
b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 46 cm.
40. (G1) Se uma circunferência tem centro O e raio 2 cm, escreva se são internos,
pertencentes ou externos à circunferência cada um dos pontos dados a seguir.
a) Um ponto X que dista 1,5 cm de O.
b) Um ponto Y que dista 2,0 cm de O.
c) Um ponto Z que dista 2,5 cm de O.
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41. (G1) Observe a figura e classifique em (V) se verdadeiro ou (F) se falso.
a) o segmento de reta OA é diâmetro. (
b) o segmento de reta OB de raio. (
)
)
c) o segmento de reta BC é diâmetro. (
d) o segmento de reta BC é corda. (
)
)
e) o segmento de reta BD é diâmetro. (
)
42. (G1) Sendo d a distância de uma reta ao centro de uma circunferência de raio r, determine
as posições relativas nos casos a seguir:
a) r = 1 cm e d = 2 cm
b) r = 5 cm e d = 2 cm
c) r = 2 cm e d = 2 cm
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43. (G1) Sendo r e r‚ os raios de duas circunferências C e C‚ respectivamente, e d a distância
entre os centros, dê as posições relativas em cada caso:
a) r = 2 cm, r‚ = 5 cm e d = 10 cm
b) r = 3 cm, r‚ = 7 cm e d = 4 cm
c) r = 5 cm, r‚ = 5 cm e d = 8 cm
d) r = 4 cm, r‚ = 3 cm e d = 7 cm
e) r = 3 cm, r‚ = 2 cm e d = 0
44. (G1) Determine x nos casos a seguir, onde os segmentos são tangentes às
circunferências:
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45. (G1) (Escola Técnica Federal - RJ)
Quando o comprimento de uma circunferência aumenta de 8cm para 14cm o raio da
circunferência aumenta de:
a) ™/6 cm
b) 3/™ cm
c) ™/3 cm
d) 1,5 cm
e) 3 cm
46. (G1) (FUVEST 88)
Deseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando
aproximadamente 20km da Praça da Sé.
a) Quantos quilômetros deverá ter essa rodovia?
b) Qual a densidade demográfica da região interior do anel (em habitantes por km£) Supondo
que lá residam 12 milhões de pessoas, adote o valor ™=3
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47. (G1) (ESPM 96)
Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20cm. O comprimento
da circunferência é:
a) ™Ë2 cm
b) 5™Ë2 cm
c) 10™Ë2 cm
d) 20™Ë2 cm
e) 30™Ë2 cm
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48. (Fei 97) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de outra circunferência de
raio R conforme a figura a seguir. Qual o valor da razão K = R/r?
a) (2Ë3)/3
b) (1+2Ë3)/3
c) (2+2Ë3)/3
d) (3+2Ë3)/3
e) (1+3Ë3)/3
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49. (Ufrs 97) Seja a figura
Sabendo-se que AD=12cm; AE=15cm e AB=8cm; pode-se afirmar que a medida do raio do
círculo é
a) 4 cm
b) 4,5 cm
c) 5 cm
d) 5,5 cm
e) 6 cm
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50. (Mackenzie 97) O trapézio isósceles da figura tem um ângulo agudo de 60° e área (8Ë3) /
3. Então o comprimento da circunferência inscrita no trapézio é:
a) 2™
b) ™
c) ™ / 2
d) 3™
e) 4™
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51. (Fuvest 98) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma
circunferência de raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz e VC=x.
a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4
pontos?
b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 2
pontos?
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52. (Unb 98) Ana e Maria estão se divertindo em uma roda-gigante, que gira em sentido
anti-horário e possui oito lugares equidistantes. Inicialmente, a roda encontra-se na posição
indicada na figura, estando Maria na parte inferior e Ana à meia altura entre as partes inferior e
superior da roda. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.
(1) A roda deve girar 90° para que Ana alcance o topo.
(2) Maria estará diretamente acima de Ana, na vertical, após a roda ter girado 225° a partir do
momento inicial.
(3) Se a distância entre os pontos de sustentação das cadeiras de Ana e de Maria for igual a
4Ë2 m, então a circunferência que contém esses pontos e tem centro coincidente com a da
roda-gigante possui diâmetro maior que 9 m.
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53. (Ufv 99) Aumentando-se 1m no raio r de uma circunferência, o comprimento e a área,
respectivamente, aumentam:
a) 2™m e 2 (r + 1) ™ m£
b) 2™m e (2r + 1) ™ m£
c) 2™£m e (2r + 1) ™ m£
d) 2™m e (2r£ + 1) ™ m£
e) 2™m e (r£ + 1) ™ m£
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54. (Uel 99) Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e
as medidas dadas no esquema a seguir.
As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem ajustada, que transmite o movimento
de uma roldana para outra. O comprimento dessa correia, em centímetros, é
a) (54™/3) + 10Ë3
b) (52™/3) + 16Ë3
c) (52™/3) + 20Ë3
d) (58™/3) + 20Ë3
e) (59™/3) + 24Ë3
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55. (Puccamp 2000) Na figura 1, tem-se uma vista superior de dois jardins de uma praça.
Na figura 2, têm-se esboços dos projetos desses jardins. Um dos jardins é formado a partir de
dois círculos, de centros em A e em B. O outro tem a forma de um polígono regular.
Em seus cálculos, use ™ = 3,1 e Ë3 = 1,7.
Deseja-se cercar com uma grade o canteiro reservado aos crisântemos. Para isso, é preciso
obter seu perímetro, que é igual a
a) 8,6 m
b) 9 m
c) 10,8 m
d) 11,2 m
e) 12 m
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56. (Ufg 2000) Considere duas circunferências de mesmo centro, uma de raio r e a outra de
raio R, sendo r < R. O segmento AB, representado na figura abaixo, é tangente à
circunferência menor. Sejam A• a área da região exterior ao círculo menor e interior ao maior, e
A‚ a área de um círculo cujo diâmetro é igual ao segmento AB. Uma das áreas, citadas acima,
é maior que a outra? Justifique sua resposta.
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57. (Fuvest 2001) Numa circunferência, c é o comprimento do arco de ™/6 radianos e c‚ é o
comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura a seguir. Então, a
razão c/c‚ é igual a ™/6 multiplicado por:
a) 2
b) Ë(1+2Ë3)
c) Ë(2+Ë3)
d) Ë(2+2Ë3)
e) Ë(3+Ë3)
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58. (Uerj 2002) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração:
- colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante,
de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD;
- em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou
uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD.
Veja as figuras adiante.
Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior e do raio do CD,
chamando-a de x.
Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu,
teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada.
Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:
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a) x + y = ™¢
b) x + y = ™£
c) y - x = ™£
d) y - x = ™¢
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59. (Ufpe 2002) A figura a seguir ilustra um triângulo e sete semicircunferências com diâmetros
de mesma medida. As semicircunferências adjacentes se interceptam em um dos seus
extremos, que também é ponto do triângulo. Se o perímetro do triângulo é 28, qual o raio das
semicircunferências?
a) 7
b) 6
c) 4
d) 2
e) 1
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60. (Pucpr) AB e CD são dois diâmetros perpendiculares de um círculo de raio 1dm.
Calcular a área da superfície comum a esse círculo e ao círculo de centro A e raio AC.
Resposta em dm£:
a) ™ + 2
b) ™ - 2
c) ™ + 1
d) ™ - 1
e) ™
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61. (Ufpi 2000) Desejamos marcar um terreno na forma de um setor circular com 50m de
perímetro. O raio do círculo (correspondente ao setor) para que a área do terreno seja máxima
deverá ser:
a) 10 m
b) 10,5 m
c) 20 m
d) 12,5 m
e) 30 m
62. (Uflavras 2000) Um automóvel percorreu uma distância de 125,6km. Sabendo-se que os
pneus têm 0,5m de diâmetro, o número de voltas dadas por um pneu foi aproximadamente:
a) 251.200
b) 125.600
c) 80.000
d) 40.000
e) 12.560
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63. (Ufrrj 2000) Uma pista de skate foi construída, conforme a figura a seguir, onde AB
representa uma semicircunferência. Em um torneio realizado nesta pista, após uma
sensacional manobra, um dos participantes despencou do ponto C, estatelando-se no chão.
Se a área da pista hachurada é 75,36 m£, qual foi a altura da queda? (Obs: ™ =3,14)
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64. (Ufc 2002) A figura a seguir mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas
de mesmo raio r e circundadas por uma correia ajustada. Determine o comprimento da correia,
em termos de r.
Obs.: despreze a espessura da correia.
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65. (Pucrs 2003) A figura a seguir mostra uma janela em que a parte superior é formada por um
semicírculo, e a parte inferior, por um retângulo cuja altura h possui o dobro da medida da base
b. A medida da altura total da janela é
a) 3b/2
b) 5b/2
c) b/2
d) 2b
e) b
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66. (Ufc 2004) Na figura ao lado, a razão entre o perímetro da
região hachurada e o perímetro da circunferência é:
a) 1/3
b) (™+4)/4™
c) ™/4
d) (™+4)/2™
e) 2
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67. (Unifesp 2004) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm,
desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura.
O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a:
a) ™/2 m.
b) ™ m.
c) 3™/2 m.
d) 2™ m.
e) 3™ m.
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68. (Ufrj 2005) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma
superfície lisa e horizontal.
Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que
10 m.
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GABARITO
1. [B]
2. [B]
3. [B]
4. Sabemos que åæ = tg š, åè = sec š e îè = 1. Como o comprimento do arco BD mede š
radianos, temos o perímetro p(š) da figura dado por p(š) = tg š + š + sec š - 1.
5. a) 3200 km
b) 28160/7 km
6. A = 100°, B = 85°, C = 80° e D = 95°
7. [E]
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8. æè = 10 + 2Ë2 cm
9. [A]
10. [D]
11. 20
12. 4
13. [A]
14. x = 75°
15. x = 20°
16. O ângulo inscrito vale 30°
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17. [D]
18. [C]
19. [C]
20. [D]
21. [C]
22. [A]
23. [A]
24. [A]
25. [B]
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26. [E]
27. [C]
28. [C]
29. [C]
30. [A]
31. [B]
32. 1 cm
33. [B]
34. a) 6(Ë3) - 2™ unidades de área
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b) 4™ unidades de comprimento
35. [B]
36. A = 314 cm£
37. 15,072 cm
38. a) PA = PB = 15 u.c.
b) 44 u.c.
39. a) x = 20 cm
b) AN = 3 cm
40. a) Interno
b) Pertencentes
c) Externo
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41. a) F
b) V
c) F
d) V
e) V
f) F
42. a) Exterior
b) Interior
c) Tangente
43. a) Exterior
b) Tangente interna
c) Secante
d) Tangente externa
e) Concêntricas
44. a) x = 15
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b) x = 2
45. [B]
46. a) 40™ km ¸ 125,6 km
b) 10.000 h/km£
47. [C]
48. [D]
49. [C]
50. [A]
51. a) 1 < x < Ë2
b) x = Ë2 ou 0 ´ x < 1
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52. V V F
53. [B]
54. [D]
55. [E]
56. Não, as áreas são iguais.
57. [C]
58. [A]
59. [D]
60. [D]
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61. [D]
62. [C]
63. H = 8m + 0,5m = 8,5m
64. C = 2r (4 + ™)
65. [B]
66. [D]
67. [A]
68. Seja S a distância total percorrida pela roda. Temos que S = n . C, onde n indica o número
de voltas e C representa o comprimento da circunferência.
Calculando C, encontramos:
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C = ™ . d = ™ . 10/100 = ™/10 m.
E como queremos o menor valor inteiro de n para o qual S > 10, vem:
n . (™/10) >10 Ì n > 100/™ ë n > 31,83.
Portanto, o menor número de voltas completas procurado é 32.
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