ÂNGULOS
A idéia intuitiva de ângulo está ligada a giro, à mudança
de direção. O esquema abaixo representa os elementos
que compõem um ângulo:
MEDIDAS DOS ÂNGULOS
Para medir ângulos no sistema denominado sexagesimal, divide-se a circunferência em 360o graus, cada grau
em 60 minutos, e cada minuto em 60 segundos.
Ângulos importantes:
Dois ângulos adjacentes cuja soma das medidas é 90o
são ditos ângulos complementares:
α + β = 90o
Dois ângulos adjacentes cuja soma das medidas é 180o
são ditos ângulos suplementares:
α + β = 180o
Exemplo: O suplemento de um ângulo é igual ao triplo
do complemento desse ângulo. Determine o seu valor.
Resolução:
180o - x = 3 (90o - x)
180o - x = 270o - 3x
3x - x = 270o - 180o
2x = 90o
x = 45o
No ano de 4000 a.C., os egípcios e árabes
tentavam elaborar um calendário. Nessa
época, se acreditava que o Sol levava 360
dias para completar a órbita de uma volta
em torno da Terra. Assim, a cada dia o Sol
percorria um pouquinho dessa órbita, ou
seja, um arco de circunferência de sua
órbita. Esse ângulo passou a ser uma
unidade de medida e foi chamado de grau.
Então, para os antigos egípcios e árabes, o
grau era a medida do arco que o Sol percorria
em torno da Terra durante um dia. Porém,
hoje sabemos que é a Terra que gira em
torno do Sol, mas se manteve a tradição e
se convencionou dizer que o arco de
circunferência mede um grau quando
corresponde a 1/360 dessa
Observação: Existe também a denominação para dois
ângulos cuja a soma de suas medidas é 90o ou 180o.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Considerando os quatro ângulos α, β, γ e θ, em graus,
na figura a seguir:
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Os ângulos de medidas α e γ, bem como os de medidas β e θ, são formados pelas mesmas retas e pelo mesmo vértice, estes ângulos portanto são chamados de opostos pelo vértice e suas medidas são iguais.
α=γeβ=θ
Para demonstrar este fato, considere os seguintes pares de ângulos suplementares:
α + β = 180o → β = 180o - α
γ + β = 180o → β = 180o - γ
Comparando os resultados, obtemos:
180o - α = 180o - γ
-α=-γ
α=γ
Ângulos opostos pelo vértice são iguais
Exemplo: Dois ângulos opostos pelo vértice medem
x + 40o e 3x - 10o. Determine o valor de “x”.
Resolução:
x + 40o = 3x - 10o
x - 3x = - 10o - 40o
- 2x = - 50o
x = 25o
Importante: Bissetriz de um ângulo é a semi reta
que divide o ângulo pela metade, ou seja, dois ângulos
adjacentes e congruentes.
Exemplo: As retas r e s são interceptadas pela transversal t, conforme a figura. O valor de x, para r e s sejam paralelas, é:
ÂNGULOS FORMADOS POR
DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS
POR UMA TRANSVERSAL
Quando duas retas paralelas cortam uma transversal,
tem-se uma figura formada por oito ângulos, como mostra
a ilustração a seguir:
Resolução:
Como são ângulos colaterais internos temos:
x + 20o + 4x + 30o = 180o
5x = 180o - 20º - 30o
5x = 130o
x = 26o
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
O filósofo e matemático Tales de Mileto provou que
a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a
180°. Para demonstrarmos esta propriedade, traçaremos
por em vértice do ângulo uma reta ao lado oposto a este
vértice.
Podemos afirmar que os ângulos aos pares, tomam os
seguintes nomes e propriedades:
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