Professor Arnaldo Torres
Matemática e
suas Tecnologias
Matemática
nº
19
Curiosidade 3: as cadeiras de 3 pés
CURIOSIDADES DA MATEMÁTICA
O que é mais firme? Uma cadeira de 3 pés ou uma cadeira de 4 pés?
Curiosidade I: probabilidade da Mega Sena
Confira as probabilidades que você possui de ganhar na Mega Sena, de
acordo com a quantidade de números jogados.
Números jogados
Probabilidade de Acerto (1 em ...)
Sena
Quina
Quadra
6
50063860
154518
2332
7
7151980
44981
1038
8
1787995
17192
539
9
595998
7791
312
10
238399
3973
195
11
108363
2211
129
12
54182
1317
90
13
29175
828
65
14
16671
544
48
15
10003
370
37
Curiosidade 2: a origem do grau
Sabemos que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º.
Mas por que motivo os valores são 90 e 180?
No ano de 4000 a.C., os egípcios e árabes tentavam elaborar um
calendário. Nessa época, se acreditava que o Sol levava 360 dias
para completar a órbita de uma volta em torno da Terra. Assim, a cada
dia, o Sol percorria um pouquinho dessa órbita, ou seja, um arco de
circunferência de sua órbita. Esse ângulo passou a ser uma unidade de
medida e foi chamado de grau.
Você já percebeu que muitas vezes uma cadeira de 4 pés fica
bamba? Isso não acontece com uma cadeira de 3 pés, que sempre será
mais firme. Isso ocorre porque três pontos não alinhados sempre irão
determinar um plano. Já quando temos uma cadeira com 4 pés, temos
quatro pontos que poderão determinar até quatro planos. Como pode se
apoiar em qualquer um deles, a cadeira poderá ficar “dançando”. Nesse
caso, a solução seria colocar um calço em um dos pés, para que ele fique
contido no mesmo plano dos demais.
Curiosidade 4: quais são os anos bissextos?
Um ano é bissexto quando ele é divisível por 4. Porém, existe uma
exceção. Os anos que terminam por dois zeros serão bissextos se forem
divisíveis por 400.
Exemplo:
2012 é um ano bissexto. Pois 2012/4 = 503, ou seja, uma divisão exata.
1998 não é um ano bissexto, pois 1998/4 = 499,5, uma divisão inexata.
5000 não é um ano bissexto pois, apesar de ser divisível por 4, é um
número terminado em 00 e não é divisível por 400.
Curiosidade 5: como quantificar pessoas em eventos públicos
Então, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que
o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Porém, hoje sabemos
que é a Terra que gira em torno do Sol, mas se manteve a tradição e se
convencionou dizer que o arco de circunferência mede um grau quando
corresponde a 1/360 dessa circunferência.
Conhecer a quantidade de pessoas em
um determinado local é importante para o
Poder Público, pois assim poderá planejar o
policiamento, estimar a necessidade real de
profissionais das diversas áreas – médicos,
enfermeiros, bombeiros, infraestrutura, e
ainda, quantidade de copos de água, ambulância e outros benefícios.
Este cálculo é fácil de fazer, bastando para isso uma simples operação
matemática. Sabe-se que um metro quadrado (m²) pode ser ocupado por
nove pessoas, no máximo, nas grandes concentrações.
Matemática e
suas Tecnologias
As concentrações são divididas em três categorias: pequena, média e
grande. Na concentração pequena, calculam-se três pessoas por metro
quadrado; na média, seis pessoas; e na grande nove pessoas por metro
quadrado.
Multiplicando-se o número médio de participantes por m² pela área útil
ocupada, chegar-se-á ao número médio de pessoas presentes numa
reunião. Eis a regra:
O número Pi representa o valor da razão entre a circunferência de
qualquer círculo e seu diâmetro. É a mais antiga constante matemática
que se conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais e
não periódico.
Curiosidade 8: quantas casas decimais do número Pi são
conhecidas?
N P m² x A (m²) = T P A
Sendo:
N P m² = número de pessoas por m²;
A = área ocupada em m²;
T P A = Número total de pessoas na área.
Exemplo hipotético: O cantor Roberto Carlos fará um show em um
espaço livre de 100 metros de comprimento por 60 metros de largura.
Qual a capacidade de espectadores em pé neste local?
Temos os seguintes dados:
Número de pessoas por metro quadrado = 9
Área quadrada do local: 100 x 60 = 6000 m²
Resolvendo o problema: 9 x 6000 = 54000.
Logo, 54000 é o número máximo de pessoas em pé que o local comporta.
Com apenas um olhar você pode ter o público aproximado. Se a
quantidade de pessoas for como a de uma decisão de campeonato de
futebol, multiplica-se a área quadrada por nove. Se você achar que tem
muita gente, mas percebe muito espaço vazio, multiplique por 6. E assim
sucessivamente.
São conhecidas 51539600000 casas decimais de Pi, calculadas por
Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tóquio, em 1997. Em
21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa
binária de Pi.
Curiosidade 9: você sabe o que são números transcedentes?
São os números que não são algébricos. Não existe nenhum polinômio
de coeficientes inteiros de que sejam raiz.
O número Pi, por exemplo, é um número transcendente porque não se
pode obtê-lo como raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros.
Os números transcendentes são infinitos e há muito mais do que
números algébricos (que são aqueles que se podem obter como raiz de
um polinômio de coeficientes inteiros). Raiz de 3 é um número algébrico,
já que é solução da equação x2 – 3 = 0.
Curiosidade 10: você sabe o que são números triangulares?
Curiosidade 6: o número PHI
A diferença entre o PHI e o Pi é muito mais que só o ‘H’. O número PHI,
representado pelo número 1,618 é muito importante na arte. O PHI é
geralmente considerado o número mais belo do mundo. Este número
vem da série de Fibonacci – uma progressão famosa não só porque a
soma dos termos adjacentes equivalia ao termo seguinte, mas porque os
quocientes dos termos adjacentes possuíam a estarrecedora propriedade
de irem se aproximando gradativamente do número 1,618, o PHI!
Apesar das origens matemáticas aparentemente místicas do PHI, o
aspecto surpreendente do PHI foi seu papel como componente básico
na Natureza. Plantas, animais e até seres humanos – todos possuíam
propriedades dimensionais que se encaixavam com uma exatidão
espantosa à razão de PHI para um. A unipresença do PHI na natureza
está além da coincidência, e assim os antigos presumiram que o número
PHI deve ter sido predeterminado pelo Criador do universo. Os primeiros
cientistas solenemente anunciaram que o número um vírgula seis um oito
era a Divina Proporção.
Exemplos:
1) Se você dividir o número de abelhas fêmeas pelo número de
abelhas machos em qualquer colmeia do mundo, vai sempre
obter o mesmo número: PHI = 1,618.
2) Um miolo de flor de girassol. As sementes de girassol crescem
em espirais opostas. A razão de cada rotação para a seguinte é
de 1,618, PHI.
3) Leonardo Da Vinci foi o primeiro a demonstrar que o corpo
humano é literalmente feito de componentes cujas razões
proporcionais sempre equivalem a PHI.
4) Se você dividir a distância que vai do alto da cabeça até o chão,
depois dividir o resultado pela distância do umbigo até o chão,
vai obter 1,618, PHI.
5) A distância de um ombro até a ponta dos dedos dividido pela
distância entre o cotovelo até a ponta dos dedos. PHI = 1,618.
2
Curiosidade 7: você sabe o que representa o número Pi?
Os primeiros números triangulares são 1, 3 e 6. Veja por que:
1
3
6
Os números triângulares podem ser calculados através de duas fórmulas:
a iterativa e a recursiva.
Fórmula iterativa:
T(n) = 1 + 2 + 3 +...+ n
Fórmula recursiva:
T(1) = 1
T(n + 1) = T(n) + (n + 1)
Curiosidade 11: curiosidades com números triangulares
Se um número triangular é multiplicado por 8 e acrescido de 1, o resultado
é um número quadrado.
Veja:
1·8+1=9
3 · 8 + 1 = 25
Essa afirmação foi feita por Plutarco aproximadamente no ano 100 d.C.
FB NO ENEM
Matemática
e e
Linguagens,
Códigos
Suas
suas Tecnologias
Curiosidade 16: você conhece o número mágico?
Curiosidade 12: outra forma de calcular potências
Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através
da soma de números ímpares. Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n
primeiros números naturais ímpares.
Exemplo:
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1089 é conhecido como o número mágico. Veja por que:
Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do
maior:
875 – 578 = 297
Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico)
Curiosidade 13: o quadrado da soma dos números naturais
(1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43
100 = 1 + 8 + 27 + 64
O quadrado da soma de uma série de números naturais começando por
1 é igual à soma do cubo de suas parcelas.
Aviso: antes que você pense que não funciona com determinados
números, lembramos que devem ser usado três dígitos no cálculo.
Exemplo:
574 – 475 = 099
099 + 990 = 1089
Curiosidade 17: quem descobriu o Teorema de Pitágoras?
Curiosidade 14: você sabe o que são números amigáveis?
Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos
divisores do outro.
Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e
110, cuja soma é 284.
Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles
é 220. Fermat descobriu também o par 17296 e 18416. Descartes
descobriu o par 9363584 e 9437056.
A tradição metemática ocidental, durante longo tempo, atribuiu a
descoberta deste teorema a Pitágoras. Pesquisas históricas mais
recentes constataram que o teorema era conhecido pelo babilônios, cerca
de 1500 a.C., portanto muito tempo antes de Pitágoras. Os chineses o
conheceram talvez por volta de 1100 a.C. e os hindus provavelmente
cerca de 500 a.C.
Os números inteiros que cumprem a equação a2 + b2 = c2 são considerados
números pitagóricos, por exemplo: 3, 4 e 5.
Curiosidade 15: por que as antenas são parabólicas?
b
a
c
As antenas parabólicas têm o formato de uma curva chamada parábola,
que está associada ao gráfico da função do segundo grau.
a2 + b2 = c2
Curiosidade 18: matemáticos precoces
Definimos parábola a partir de uma reta r e um ponto F, chamado foco,
em um plano. A parábola de foco F e diretriz r é o conjunto de todos os
pontos cuja distancia à reta r é igual à distancia ao ponto F.
Como os sinais que recebemos de rádios ou de luz são muito fracos,
quando “captados” pela parábola, ela os concentra em um único ponto, o
foco, que os amplia naturalmente, para depois serem refletidos.
Observe o desenvolvimento mental precoce de alguns dos grandes
matemáticos.
Blaise Pascal, aos 16 anos de idade, escreveu um tratado sobre as
cônicas, considerado como um dos fundamentos da geometria moderna.
Pascal contribuiu decisivamente para a criação de dois novos ramos da
Matemática: a Geometria Projetiva e a Teoria das Probabilidades.
Évariste Galois, aos 15 anos, discutia e comentava as obras de
Legendre e Lagrange, o que culminou, posteriormente, na percepção
da impossibilidade de encontrar um expressão para raízes de equações
algébricas com grau maior que 4.
Alexis Clairaut, aos 10 anos, lia e compreendia as obras do Marquês
de L’Hôpital sobre cálculo. E acabou sendo o precursor da Geometria
Diferencial.
Joseph Bertrand, aos 11 anos, iniciava o curso na escola Politécnica,
e aos 17 recebia o grau de doutor. Aos 23 anos, lançou a conjectura que
sempre existe ao menos 1 número primo entre n e 2n – 2 para todo n
maior do que 3.
FB NO ENEM
3
Matemática e
suas Tecnologias
Nicolas Henri Abel, aos 16 anos de idade, fazia investigações sobre o
problema de resolução da equação do quinto grau, o que desencadeou,
posteriormente, na primeira prova completa da inexistência de uma
fórmula algébrica para essas raízes. Morreu aos 26 anos de tuberculose.
Johann Carl Friedrich Gauss, aos 7 anos de idade, somou os números
inteiros de 1 a 100 rapidamente usando o raciocínio que demonstra, até
hoje, a fórmula da soma de uma progressão aritmética.
Curiosidade 19: você sabe o que são números de Mersenne?
São números inteiros da forma Mp = 2p –1. Se Mp é um número primo,
o número p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne.
O último descoberto corresponde a p = 859433, cujo número de
Mersenne é o 2859433 –1.
Não se sabe se há um número infinito deles.
O maior número primo de Fermat
O recorde de maior primo de Fermat generalizado conhecido:
16717632768 + 1, que tem 171153 dígitos foi descoberto por Yves Gallot
(este é o oitavo maior primo conhecido atualmente, e maior primo
conhecido que não é de Mersenne.
Curiosidade 20: você sabe qual é o maior número primo conhecido?
O maior número primo conhecido é 232582657 –1, que tem 9808358 dígitos
e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e
sua equipe. Este primo tem 650000 dígitos a mais do que o maior primo
encontrado por eles mesmos em dezembro de 2005.
www.somatematica.com.br/curiosidades.
Acesso em 05/06/13.
2. O caixa de um banco trocou a ordem dos dois algarismos do
valor da conta a ser paga por um cliente, cobrando R$27,00 a
mais. Sendo 11 a soma dos algarismos, o valor correto a ser
pago pelo cliente era de:
A) R$ 29,00
B) R$ 38,00
C) R$ 47,00
D) R$ 74,00
E) R$ 83,00
3. Para realizar um evento, em um local que tem a forma de um
quadrado com 80 metros de lado, foi colocado um palco em
forma de um setor circular, com 20 metros de raio e 40 metros
de comprimento de arco. Adotando π = 3, e considerando que a
ocupação média por metro quadrado é de 6 pessoas na plateia,
o número mais próximo de pessoas presentes, na plateia, é:
A) 38400
B) 36000
C) 30000
D) 28000
E) 24000
4. O estudo sobre a superfície plana é importante para diversas
profissões, notadamente a engenharia, a arquitetura e o design,
destacando-se suas aplicações em projetos de estrada,
telhados, embalagens, entre outros. Nesse aspecto, torna-se
imprescindível o conhecimento de elementos, propriedades e
operações com planos. Em relação a esses conteúdos, avalie as
afirmações seguintes.
I. Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, são
paralelas entre si;
II. Por duas retas paralelas distintas passa um único plano;
III. Três planos não colineares determinam um plano;
IV. Duas retas distintas que são perpencidulcares a uma terceira
podem ser concorrentes entre si.
Exercícios
1. Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou várias propriedades dos
chamados números figurados, como, por exemplo, os números
triangulares. Os primeiros cinco números triangulares são:
T1
T2
1
3
T3
6
T4
10
T5
15
O número triangular Tn é a soma dos n números naturais de
1 a n. A soma da sequência dos números inteiros de 1 a n pode
ser obtida considerando-se que a soma do primeiro termo com o
último é igual à do segundo termo com o penúltimo e assim por
diante. Desse modo, o resultado pode ser obtido somando-se o
primeiro termo ao último e multiplicando-se o valor encontrado
pela metade do número de termos da sequência.
O nono número triangular T9 é:
A) 66
B) 55
C) 45
D) 36
E) 28
4
Assinale a alternativa que possui o número de afirmações
verdadeiras.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5. Considere uma prova de Matemática constituída de quatro
questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada
uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide
fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa
em cada questão. Então, é correto afirmar que a probabilidade
de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma
questão é:
27
27
B)
A)
64
256
9
C)
D) 9
64
256
81
E)
256
Gabarito – FB Enem N° 18 – Franzé Filgueiras
01
02
03
04
05
E
C
D
D
B
Erbínio - 11/06/2013
Rev.: AM
FB NO ENEM