MATEMÁTICA
FORMULÁRIO
30o
45o
60o
sen
1
2
2
2
cos
3
2
2
2
3
2
1
2
tg
3
3
1
3
1
, sen x ≠ 0
sen x
1
, cos x ≠ 0
sec x =
cos x
sen x
, cos x ≠ 0
tg x =
cos x
cos x
cotg x =
, sen x ≠ 0
sen x
cosec x =
sen2 x + cos2 x = 1
p
n!
p! (n − p)!
1) Acírculo = π.r
11) Cn =
2) Ccircunferência = 2π.r
12) Atriângulo=
2
b⋅h
2
= 1 D
2
3) Aretângulo = b.h
13) Atriângulo
4) an = a1 + (n – 1) . r
14) Vcilindro = π.r . h
⎛ a + an ⎞
5) Sn = ⎜ 1
⎟. n
15) Vpirâmide =
⎝
2
⎠
n –1
6) an = a1 . q
a (q n − 1)
7) S n = 1
q −1
n!
p
8) An =
(n − p)!
α,β
n!
10) P n =
α! β!
D=
2
A .h
b
3
3
16) Vcubo = a
17) Vparalelepípedo = a.b.c
( xB − x A )2 + ( yB − y A )2
18) dA,B=
ax0 + by0 + c
19) dP,r =
9) Pn = n!
onde
a2 + b2
2
2
20) (x – a) + (y – b) = r
2
x1
x2
x3
y1
y2
y3
1
1
1
Questão 21
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. No ponto de ônibus da Praça X passa um ônibus para a Linha Vermelha de 15 em 15 minutos e um ônibus para a Linha Amarela de 25 em 25 minutos. Se os dois ônibus passaram
juntos às 10 horas, na primeira vez em que voltarem a passar juntos pelo ponto serão 10
horas e 40 minutos.
02. Um carpinteiro tem um bloco de madeira, na forma de um paralelepípedo retângulo, com as
dimensões 112cm, 80cm e 48cm. Se o carpinteiro deve cortar esse bloco em cubos
idênticos, com a maior aresta possível e sem que haja sobra de material, então a medida
da aresta dos maiores cubos que ele pode obter é 16cm.
04. A medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9h10 min é 150°.
08. O proprietário de uma pizzaria calcula uma pizza circular de 20 centímetros de diâmetro por
pessoa. Para uma festa com 36 pessoas seriam necessárias 16 pizzas circulares de 30
centímetros de diâmetro.
16. Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é equivalente a um
único aumento de 30%.
Gabarito: 10 (02 + 08)
Número de acertos: 1.026 (15,18%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão compreende cinco proposições, envolvendo conhecimentos básicos e
fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio e sua aplicação
a situações-problema, como cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de
dois ou mais números, arco de circunferência e ângulo central, área de figuras planas,
proporcionalidade e porcentagem. Mais uma vez, como já foi apontado e comentado nos
relatórios de anos anteriores, é surpreendente o fato de que quase 85% dos candidatos tiveram
dificuldades em trabalhar com alguns desses conceitos básicos e aplicá-los em situações reais.
Este fato evidencia a necessidade de que o ensino de Matemática, em todos os níveis, observe
o que indicam os estudos e as pesquisas em Educação Matemática e o que recomendam os
PCNs de Matemática, ou seja, de que os conteúdos temáticos sejam desenvolvidos de modo
integrado e que sejam feitas conexões entre esses conteúdos e os conteúdos de outras
disciplinas, bem como com os temas transversais e com a realidade. Além da resposta correta
10 (02 + 08) com 15,18%, outras quatro respostas predominaram no quadro de freqüência: 02
– 14,26%; 04 – 12,81%; 06 (02 + 04) – 12,16% e 08 – 8,33%. A proposição correta 02 obteve
57,67% da preferência dos candidatos, o que era esperado já que esta era uma das
proposições mais fáceis de toda a prova, por referir-se à aplicação de um tema básico e
fundamental, a determinação do maior divisor comum de dois ou mais números. A proposição
correta 08, que envolvia a aplicação do cálculo da área do círculo e do conceito de
proporcionalidade a uma situação-problema, obteve 41,10% da preferência dos candidatos. A
grande causa de erro nesta questão foi a consideração da proposição 04 como correta, a qual
obteve, juntamente com outras proposições incorretas da Prova de Matemática, um elevado
índice na escolha dos candidatos, 45,97%. Esta escolha originou, como se observa acima, uma
elevada preferência pelas respostas: 04 e 06 (02 + 04). Provavelmente, a maioria dos
candidatos que assinalou tal proposição como correta, isto é, achou 150°, teve uma visão
estática dos ponteiros do relógio no momento assinalado e não considerou a medida do ângulo
descrito pelo ponteiro das horas em 10 minutos, a partir das 9 horas, ou seja, 145° (150° - 5°).
O fato das respostas 02 e 08 se destacarem no quadro de freqüência vem, novamente, reforçar
a tese, que já foi apontada nos relatórios de anos anteriores, de que os candidatos preferem
não arriscar; na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) sobre a(s) qual(ais) tem(têm) certeza.
Questão 22
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Dentre todos os retângulos com 40m de perímetro, o de maior área é aquele com lado de
20m e área de 400m2.
02. Uma cidade é servida por três empresas de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma
assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma
assinatura de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura
mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto
utilizado é de R$ 1,20. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais
vantajosa para o cliente do que as outras duas.
04. Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de x unidades é de
C(x) = x 2 + x + 500 reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de
produção, são fabricadas x(t) = 15t unidades. O gasto na produção, ao final da segunda
hora, é de R$ 1.430,00.
08. Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua
− t
.2 20
quantidade ainda não desintegrada, após " t " anos, dada por M(t) = M 0
onde M 0
representa a quantidade inicial dessa substância. A porcentagem da quantidade ainda não
desintegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial M 0 é de, aproximadamente,
50%.
16. O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro pagou de impostos (em reais per capita) nos
anos indicados.
R$ 4.500
4.160
R$ 4.000
R$ 3.500
3.269
R$ 3.000
2.594
R$ 2.500
2.042
2.082
2.006
1980
1985
1990
R$ 2.000
R$ 1.500
R$ 1.000
1995
2000
2005
VEJA. São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 15, 19 abr. 2006.
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que no ano 2000 houve um
aumento de 20% no gasto com impostos, em relação a 1995.
Gabarito: 06 (02+04)
Número de acertos: 874 (12,93%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão trata de um dos temas mais explorados no Ensino Médio e em vestibulares, o
estudo de funções: valor máximo da função polinomial do 2o grau, função definida por várias
sentenças, sistemas de inequações do 1o grau, função composta, função exponencial, leitura e
interpretação de gráficos de funções. Apesar de ser um tema muito explorado, o resultado não
correspondeu à expectativa da banca, já que apenas 12,93% dos candidatos apontaram como
corretas as proposições 02 e 04, obtendo dessa forma o acerto total. Há, também, 8,75% para
a resposta 02 e 13,81% para 04, o que caracteriza, mais uma vez, a opção dos candidatos
pelo acerto parcial ao invés do risco de assinalar proposições sobre as quais eles não têm
certeza. Cabe ainda ressaltar que estas duas proposições obtiveram, respectivamente, 47,51%
e 55,72% da preferência dos candidatos, o que leva a se deduzir que as situações-problema a
que se referem às proposições, e que envolvem funções definidas por várias sentenças,
sistemas de inequações do 1o grau e função composta, se mostraram acessíveis aos
candidatos. A proposição incorreta 08 obteve 32,57% da preferência dos candidatos e foi
responsável pelos índices de 5,05% e 6,27% para as respostas 08 e 12 (04 + 08),
respectivamente. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta
2
⎛1⎞
até tenha substituído na expressão dada o t por 40, obtendo M (40) = M 0 .⎜ ⎟ , mas
⎝2⎠
1
considerou, ingenuamente, apenas o
para determinar a porcentagem da quantidade ainda
2
não desintegrada da substância radioativa após 40 anos em relação à quantidade inicial M 0 ,
assinalando assim 50%. Outra possibilidade para que os candidatos tenham considerado esta
proposição correta é o uso meramente manipulativo dos dados presentes na questão.
Questão 23
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Uma avenida em linha reta possui 20 placas de sinalização igualmente espaçadas. A distância entre a sétima e a décima placa é 1.200 metros. A distância entre a primeira e a
última placa é 7.600 metros.
02. Se três números inteiros positivos não-nulos formam uma progressão aritmética, e a soma
deles é igual a 36, então o valor máximo que o maior desses números pode ter é 24.
04. Uma cliente levará 12 meses para saldar uma dívida de R$ 6.400,00 com uma loja de móveis, pagando R$ 500,00 no primeiro mês, R$ 550,00 no segundo mês, R$ 600,00 no terceiro
mês e assim por diante.
08. Se o preço de uma cesta básica é, hoje, R$ 98,00 e esse valor diminui 2% a cada mês que
passa em relação ao valor do mês anterior, então daqui a nove meses o preço da cesta
básica será de 100.(0,98)10 reais.
16. No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde o corpo de Jacques Saunière é
encontrado, alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da
Seqüência de Fibonacci, que é uma seqüência infinita de números em que cada termo, a
partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim,
o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... é o número 79.
Gabarito: 09 (01 + 08)
Número de acertos: 553 (8,19%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre
sucessões ou seqüências numéricas, progressões aritméticas e progressões geométricas na
resolução de situações-problema. Segundo os resultados obtidos, esta foi uma das questões
mais difíceis da prova, o que é surpreendente, porque além destes temas serem muito
explorados no Ensino Médio e nos vestibulares, os alunos em geral demonstram uma certa
facilidade quando estes tópicos são trabalhados na escola. Talvez a grande dificuldade dos
candidatos não tenha sido a falta de compreensão das idéias, dos conceitos, das definições e
do domínio das técnicas a respeito dos temas assinalados, mas a sua aplicação na resolução
de situações-problema. O percentual de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixo,
apenas 8,19%, com um correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas. Listando,
por ordem decrescente das preferências as respostas, têm-se: 01 – 27,38%; 08 – 11,93%; 02 –
9,45%; 03 (01 + 02) – 7,45%; 10 (02 + 08) – 6,65%. Como se pode observar, os índices das
respostas 01 e 08, novamente, apontam para a opção dos candidatos pelo acerto parcial. As
proposições corretas 01 e 08 tiveram, respectivamente, 52,79% e 35,86% da preferência dos
candidatos, mas apenas 8,19% deles foram capazes de combiná-las. A grande causa de erro e
do espalhamento nesta questão foi a consideração da proposição 02 como correta (34,96%),
originando elevada preferência pelas respostas 02, 03 e 10. É provável que os candidatos que
assinalaram tal proposição como correta tenham sido impulsionados pela aplicação da técnica
para resolver a tarefa proposta, sem levar em conta as informações presentes no enunciado da
questão. A proposição se referia a números inteiros positivos não-nulos, portanto, o valor
máximo que o maior número pode ter é 23 e não 24.
Questão 24
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma das retas determina1
das pelos seus vértices, a probabilidade de que a reta passe pelo centro do hexágono é .
8
02. Se cinco atletas disputam uma prova de corrida de 800 metros, então o número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares, sem que haja empates, é 10.
04. Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por
exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é 12.
08. Quando sete pessoas se encontram e todas se cumprimentam, o número de apertos de
mão possível, sem que os cumprimentos se repitam, é 42.
16. Numa lanchonete há cinco tipos de sucos: laranja, abacaxi, acerola, limão e morango. Eles
são servidos em copos de três tamanhos: pequeno, médio e grande. Não é permitido
misturar sabores. O número de maneiras possíveis de se pedir um suco é 15.
Gabarito: 20 (04 + 16)
Número de acertos: 1.443 (21,37%)
Grau de dificuldade previsto: Difícil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão compreende cinco proposições típicas do Ensino Médio, envolvendo os
conteúdos de Probabilidade e Análise Combinatória. O objetivo da questão era avaliar a
capacidade dos candidatos para aplicar, na resolução de situações-problema, os conceitos de
probabilidade, arranjo simples, permutação com repetição, combinação simples e o princípio
multiplicativo. Embora o grau de dificuldade previsto pela banca para esta questão tenha se
confirmado através dos índices de espalhamento e de facilidade obtidos, ela foi a segunda
questão da prova com o maior índice de resposta correta, 21,37%. Além deste aspecto relativo
ao grau de dificuldade da questão, outros aspectos revelam-se muito interessantes de serem
analisados a partir dos resultados obtidos. A proposição 16 foi a proposição correta da prova a
ter o maior índice de preferência dos candidatos, 75,16%. Ela foi responsável pelos índices das
respostas 16 – 13%; 18 (02 + 16) – 6,01%; 22 (02 + 04 + 16) – 6,32%; 24 (08 + 16) – 8,38% e
28 (04 + 08 + 16) – 7,17%. Talvez o alto índice de preferência dos candidatos por esta
proposição se deva à facilidade com que o seu resultado pode ser verificado, seja pela
aplicação direta do princípio fundamental da contagem 3 . 5 = 15 possibilidades, seja pela
utilização do diagrama da árvore ou ainda pela aplicação do seu conhecimento prático
adquirido a partir de situações do cotidiano, como pedir um suco frente a várias possibilidades.
Por outro lado, as proposições incorretas 02 e 08 que tiveram, respectivamente, 29,66% e
35,59% da preferência dos candidatos, também contribuíram para os índices obtidos pelas
respostas 18, 22, 24 e 28, destacadas acima. Provavelmente essas respostas foram,
simplesmente, os resultados obtidos pela manipulação dos dados presentes no enunciado da
questão por parte dos candidatos, mas podem também ser a manifestação da aplicação
indevida dos conceitos de arranjo simples e combinação simples nas situações-problema das
proposições consideradas.
Questão 25
Pedro, Luiz, André e João possuem, juntos, 90 CDs. Se tirarmos a metade dos CDs de Pedro,
dobrarmos o número de CDs de Luiz, tirarmos 2 CDs de André e aumentarmos em 2 o número
de CDs de João, eles ficarão com a mesma quantidade de CDs. Determine o número inicial de
CDs de André.
Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.
Gabarito: 22 (questão aberta)
Número de acertos: 1225 (18,28%)
Grau de dificuldade previsto: fácil
Grau de dificuldade obtido: difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos
principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, equações e sistemas de equações lineares.
O que chama atenção na análise dos resultados obtidos nesta questão é o fato de que mais de
80% dos candidatos tiveram dificuldades para trabalhar com esses conceitos básicos que são
introduzidos e exercitados desde a sexta série do Ensino Fundamental até a terceira série do
Ensino Médio. Além da resposta correta 22, com 18,28%, outras três respostas predominaram
no quadro de freqüência: 15 – 5,74%; 20 – 9,88% e 24 – 9,79%. É provável que os candidatos
que responderam 15, 20 e/ou 24 tenham até desenvolvido algumas das diversas etapas da
resolução de um problema, ou seja, compreenderam o problema, elaboraram e executaram um
plano de solução, mas esqueceram de uma etapa de suma importância que é a verificação ou
revisão da solução. Provavelmente a maior dificuldade dos candidatos nesta questão tenha
sido a sua falta de habilidade para ler, interpretar e compreender um problema, e fazer a
passagem da linguagem materna para a linguagem matemática.
Questão 26
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Se 0 ≤ x < 2π , então as raízes da equação cos 2 x − sen 2 x = −1 são {0 e π}.
02. Duas polias (rodas para correia transmissora de movimento), a maior de 55cm de raio e a
menor de 35cm de raio, giram simultaneamente em torno de seus respectivos centros, por
estarem ligadas por uma correia inextensível. Supondo que não haja deslizamento, o
número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número
inteiro de vezes é 5 voltas.
04. Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no quadro-negro:
“Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação de θ graus para vencer um
desnível de 4m. Qual será o comprimento da rampa?” Mas, o professor já havia apagado os
2
. Eugênio usou seus conhecimentos de
valores de senθ e cosθ , restando apenas tgθ =
5
trigonometria e determinou que o comprimento da rampa é 10 2 m.
⎛x⎞
08. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de  em , dada por f(x) = 2sen⎜ ⎟ .
⎝4⎠
y
2
4π
8π
x
-2
16. A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha que vai ser
usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 30° para o telhado.
4 3
metros.
Portanto, a altura x do telhado para se obter a inclinação desejada é de
3
30o
x
8m
Gabarito: 24 (08 + 16)
Número de acertos: 996 (14,77%)
Grau de dificuldade previsto: Difícil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão compreende cinco proposições, envolvendo alguns dos principais objetivos do
estudo da trigonometria no Ensino Fundamental e Médio, como: resolver equações
trigonométricas; aplicar a relação entre o comprimento de um arco de circunferência e o
comprimento do raio da mesma; aplicar as razões trigonométricas na resolução de problemas e
interpretar gráficos das principais funções trigonométricas. Além da resposta correta 24
(08 + 16) com 14,77%, outras três respostas predominaram no quadro de freqüência: 08 –
5,10%; 16 – 16,06% e 20 (04 + 16) – 7,62%. Como se pode observar, a resposta 16 superou
inclusive o índice da resposta correta da questão. Este fato vem reforçar a tese de que os
candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s)
proposição(ões) sobre a(s) qual(ais) tem(têm) certeza. A proposição 16 foi a segunda
proposição correta da prova com o maior índice de preferência dos candidatos, 67,89%. Ela
contribuiu também para que a resposta 20 se destacasse no quadro de freqüência de
respostas da prova. Outra proposição que também contribuiu para que esta resposta se
destacasse foi a consideração da proposição 04 como correta; ela obteve 37,54% da
preferência dos candidatos. É provável que os candidatos que assinalaram esta proposição
como correta tenham confundido o afastamento, que era realmente de 10 2 m, com o percurso
(o comprimento da rampa), que era de 6 6 m.
Questão 27
As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do
polinômio x 3 − 14x 2 + 56x − 64 . Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.
Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.
Gabarito: 64 (questão aberta)
Número de acertos: 1.700 (25,66%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão envolve os conhecimentos de equações polinomiais e geometria espacial; o
objetivo era avaliar a capacidade dos candidatos de relacionar os dois temas, de determinar as
raízes de uma equação polinomial e utilizá-las para calcular o volume de um paralelepípedo.
Embora a questão envolva dois dos principais tópicos do conteúdo programático, ela foi a mais
fácil de toda a prova, obtendo o maior índice de acerto entre as respostas corretas. Cabe
registrar também que não houve outras respostas com percentuais de freqüência em destaque
para esta questão. Talvez o elevado índice de acerto na questão se deva à facilidade com que
o seu resultado pode ser obtido, seja calculando as raízes através do dispositivo prático de
Briot-Ruffini e a seguir fazendo o produto entre elas para determinar o volume, seja aplicando
as relações de Girard e obtendo o valor do volume diretamente da equação dada.
Questão 28
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. No capítulo XCIV, denominado Idéias Aritméticas, do livro Dom Casmurro, de Machado de
Assis, temos: “Veja os algarismos: não há dois que façam o mesmo ofício; 4 é 4, e 7 é 7. E
admire a beleza com que um 4 e um 7 formam esta coisa que se exprime por 11. Agora
dobre 11 e terá 22; multiplique por igual número, dá 484, e assim por diante. Mas onde a
perfeição é maior é no emprego do zero. O valor do zero é, em si mesmo, nada; mas o
ofício deste sinal negativo é justamente aumentar. Um 5 sozinho é um 5; ponha-lhe dois 00,
é 500.” Com base nas considerações acima sobre o sistema de numeração decimal, um
número natural X é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem
desses algarismos, obtém-se um número que excede X em 54 unidades, então o número X
está compreendido entre 10 e 30.
02. Se a área de um terreno triangular é 90.000 vezes maior que a área da maquete desse
terreno e se os lados do triângulo da maquete medem 4cm, 5cm e 6cm, então o perímetro
do terreno é de 45m.
04. Observe a figura abaixo. Se o lado do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência mede
6 3 cm, então o lado do quadrado circunscrito à circunferência mede 6cm.
08. Três meninos participaram de uma corrida. O desempenho de cada um deles está representado nos gráficos abaixo:
deslocamento
deslocamento
deslocamento
tempo
Gráfico do primeiro menino
tempo
Gráfico do segundo menino
tempo
Gráfico do terceiro menino
Observando-se os gráficos pode-se constatar que o primeiro menino fez o trajeto sempre
com a mesma velocidade. O segundo menino, depois de percorrer certa distância, parou e
prosseguiu a corrida com a mesma velocidade que ele tinha. O terceiro menino partiu com
uma velocidade pequena e em certo momento aumentou esta velocidade.
Gabarito: 02 (02)
Número de acertos: 1.202 (17,89%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão compreende quatro proposições, envolvendo conhecimentos básicos e
fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, como sistema
de numeração decimal, proporcionalidade, polígonos regulares e análise de gráficos. O
percentual de candidatos que obtiveram acerto total ficou muito aquém do esperado, frente ao
fato de que os conceitos envolvidos nas três primeiras proposições são, realmente, básicos do
Ensino Fundamental e a quarta proposição trata de gráficos, que é um tema que desde muito
cedo está constantemente presente na vida dos candidatos, através dos livros, revistas, jornais
e dos diversos meios de comunicação. Apenas 17,89% responderam corretamente, com um
correlato espalhamento, distribuído entre várias respostas. Listando, por ordem decrescente
das preferências as respostas, têm-se: 08 – 14,31%; 04 – 12,21%; 06 (02 + 04) – 7,47%; 01 –
6,67%; 05 (01 + 04) – 6,58%; 12 (04 + 08) – 6,40%; 09 (01 + 08) – 5,46% e 10 (02 + 08) –
5,26%. Como se pode observar, a grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta
questão foi a consideração das proposições 01, 04 e 08 como corretas, que obtiveram 32,17%,
42,09% e 40,35% da preferência dos candidatos, respectivamente. O que é surpreendente é o
índice alcançado por estas proposições e o fato dos candidatos considerá-las corretas, já que
algumas delas, como as proposições 01 e 04, poderiam facilmente ter verificada a sua
veracidade ou não, através de um raciocínio lógico. Na proposição 01, bastaria o candidato
analisar que no intervalo entre 10 e 30 não se pode ter um número natural formado por dois
algarismos cuja soma é 12, o valor máximo que se obtém é 11, para o número 29 (2 + 9 = 11).
No caso da proposição 04, o candidato tinha vários caminhos para verificar a veracidade da
afirmativa da proposição; um deles era usar as relações trigonométricas; outro, e talvez o mais
simples e direto, era comparar a medida de 6 3cm do lado do triângulo eqüilátero com a
medida de 6cm do lado do quadrado da figura dada. Ora, se está sendo afirmado que o lado do
quadrado mede 6cm, então o maior segmento possível de ser traçado no interior do quadrado
seria a sua diagonal que mede 6 2cm ; portanto, não seria possível construir um triângulo
eqüilátero de lado 6 3cm no interior do quadrado, já que 6 3cm > 6 2cm . Talvez a maioria dos
candidatos que assinalou tal proposição como correta tenha apenas calculado a medida do raio
da circunferência, que era realmente de 6cm, mas não prestou a devida atenção ao enunciado
da proposição ou simplesmente esqueceu de multiplicá-lo por dois, já que o lado do quadrado
circunscrito mede o dobro da medida do raio. A respeito da proposição 08, bastaria ao
candidato calcular o coeficiente angular da reta no trecho anterior à parada e compará-lo com o
coeficiente angular da reta no trecho posterior à parada, para verificar que os dois trechos não
foram percorridos com a mesma velocidade conforme afirma a proposição. Outra possibilidade
era, simplesmente, observar a inclinação das duas retas, antes e depois da parada, e verificar
que elas são diferentes, portanto não representam a mesma velocidade.
Questão 29
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Considere L1 e L2 , duas latas de forma cilíndrica, de massa de tomate, de mesma marca.
A lata L1 possui o dobro da altura da lata L2 , mas seu diâmetro é a metade do diâmetro
de L2 . Se L1 custa R$ 1,80 e L2 R$ 2,80, então a lata mais econômica é L2 .
02. Observe a figura abaixo. Se os diâmetros dos semicírculos estão sobre os lados do triângulo retângulo ABC, então Área I = Área II + Área III .
C
I
II
A
III
B
04. A figura abaixo está representando uma pirâmide inscrita num cubo. Se o volume da pirâmide é de 72m3, então a aresta do cubo é igual a 9m.
08. O octaedro regular é um poliedro que tem 8 arestas.
Gabarito: 03 (01 + 02)
Número de acertos: 905 (13,43%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão envolve conhecimentos de geometria espacial e geometria plana. A
proposição 01 trata de um problema típico não só de geometria espacial do Ensino Médio e
vestibulares, como do cotidiano dos candidatos, ou seja, escolher entre duas embalagens
diferentes, com preços diferentes, verificando qual a mais econômica. A proposição 02 envolve
uma aplicação direta e simples do Teorema de Pitágoras. Estas duas proposições obtiveram
50,48% e 45,00% da preferência dos candidatos, respectivamente, e foram responsáveis pelos
índices das respostas 01 – 13,53%; 02 – 7,82% e 03 (01 + 02) – 13,43%. O fato dos candidatos
concentrarem suas respostas em 01 e 02 vem, novamente, reforçar a tese de que os
candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial. As proposições incorretas 04 e 08 também
obtiveram índices expressivos na preferência dos candidatos, com 32,88% e 46,83%,
respectivamente, sendo que este último índice foi o maior obtido por uma proposição incorreta
em toda a prova. Elas foram responsáveis pelos índices obtidos pelas respostas: 04 – 6,31%;
05 (01 + 04) – 4,24%; 06 (02 + 04) – 4,94%; 08 – 10,39%; 09 (01 + 08) – 8,65%; 10 (02 + 08) –
8,09%; 11 (01 + 02 + 08) – 4,36% e 12 (04 + 08) – 7,45%. Surpreende o fato dos candidatos
considerarem estas proposições corretas, já que no caso da proposição 04 eles poderiam,
facilmente, verificar sua veracidade ou não, com o auxílio do formulário, fazendo:
A .h
l 2 .l
V pirâmide = b ⇒ 72 =
⇒ l = 6m . No caso da proposição 08, talvez a maioria dos candidatos
3
3
que a assinalou como correta tenha sido impulsionada pela sua intuição, sem prestar a devida
atenção ao fato de que o octaedro regular tem 8 faces triangulares, mas não 8 arestas, que
são em número de 12.
Questão 30
A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade, em que o ponto 0 é o centro e os
pontos A, B e C são pontos turísticos (considere 1 unidade linear do plano cartesiano
correspondendo a 1km).
y
A(0, 3)
C(7, 2)
0
B(1, 0)
x
Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Se o prefeito da cidade deseja colocar um novo terminal de ônibus que fique eqüidistante
⎛7 5 ⎞
dos pontos A, B e C, então sua localização deve ser o ponto T de coordenadas ⎜ , ⎟ .
⎝2 2⎠
02. A equação da reta que representa a estrada reta e asfaltada que liga os pontos A e C é
x + 7y + 21 = 0 .
04. Se o prefeito da cidade deseja construir um trecho de estrada reto, o mais curto possível,
unindo o ponto B com a estrada reta e asfaltada que já liga os pontos A e C, então o
comprimento mínimo desse trecho será de 2km.
08. O prefeito da cidade pretende, ainda, colocar um microônibus para conduzir os turistas por
uma linha circular que passa pelos pontos A, B e C; a equação da circunferência que
representa esta linha circular é x 2 + y 2 − 7x − 5y − 6 = 0 .
16. A área da região triangular ABC, a partir dos pontos A, B e C que formam o “Triângulo
Turístico” da cidade é de 10km2.
Gabarito: 17 (01 + 16)
Número de acertos: 571 (8,48%)
Grau de dificuldade previsto: Médio
Grau de dificuldade obtido: Difícil
ANÁLISE DA QUESTÃO
A questão compreende cinco proposições, envolvendo alguns dos principais objetivos do
estudo da geometria analítica no Ensino Médio, como: calcular a distância entre dois pontos no
plano cartesiano e aplicá-la na resolução de problemas; conhecer e aplicar a equação geral da
reta; calcular a distância de um ponto a uma reta e aplicá-la na resolução de problemas; utilizar
as várias formas da equação de uma circunferência na resolução de problemas e calcular a
área de um triângulo, conhecidas as coordenadas de seus vértices. O percentual de candidatos
que obtiveram acerto total foi muito baixo, apenas 8,48%, com um correlato espalhamento,
distribuído entre várias respostas. Essa foi a segunda questão da prova a ter o menor índice de
acerto e, portanto, a segunda mais difícil. O grau de dificuldade obtido superou negativamente
as expectativas da banca porque embora, em geral, os candidatos apresentem grandes
dificuldades em geometria analítica e isso tenha sido apontado e comentado nos relatórios dos
vestibulares de anos anteriores, nesta questão foram explorados conhecimentos básicos e
fundamentais deste tópico. Além da resposta correta 17 (01+16), outras respostas
predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem decrescente de preferência: 16 –
13,56%; 09 (01 + 08) – 5,97%; 01 – 5,64%; 08 – 5,35%; 10 – (02 + 08) 5,20%; 20 (04 + 16) –
4,87%; 18 (02 + 16) – 4,84% e 04 – 4,03%. Como se pode observar mais uma vez, na dúvida,
os candidatos optam pelo acerto parcial, o que fez com que a resposta 16 obtivesse índice
superior à resposta correta. Vale ainda ressaltar que a proposição correta 16 obteve 53% da
preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por outras
respostas das quais fazia parte, como se pode observar acima. Talvez o bom índice obtido por
esta proposição se deva ao fato de que o tópico envolvido, ou seja, calcular a área de um
triângulo conhecidas as coordenadas de seus vértices, é bem conhecido e muito explorado nos
vestibulares. Por outro lado, esperava-se um índice superior aos 41,69% obtidos pela
proposição 01, já que ela envolve um dos mais básicos e fundamentais temas da geometria
analítica, que é o cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A grande
responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições
02, 04 e 08 como corretas, com 32,85%, 30,25% e 39,64% da preferência dos candidatos,
respectivamente. Provavelmente a grande dificuldade dos candidatos nesta questão, e em
particular nestas proposições tenha sido o fato de que todas elas, de uma forma ou de outra,
estavam intimamente relacionadas entre si. Para resolver a proposição 02, isto é, determinar
corretamente a equação da reta que liga os pontos A e C, bastava ao candidato aplicar a
condição de alinhamento de três pontos. Mas, se ele quisesse apenas verificar a sua
veracidade ou não, era só substituir as coordenadas do ponto A na equação da reta dada, para
ver que elas não satisfazem a equação. No caso da proposição 04, era só o candidato utilizar a
equação obtida na proposição 02 e aplicar a fórmula da distância de um ponto a uma reta
fornecida no formulário da prova. Outra maneira de verificar se a proposição era correta ou
incorreta era analisar a figura dada de uma forma lógica e geométrica, para perceber que o
lugar geométrico dos pontos do mapa (plano), que estão a uma distância de 2 km do ponto B, é
uma circunferência e que a mesma não terá nenhum ponto de intersecção com a reta que liga
os pontos A e C; portanto, a proposição é falsa. Finalmente, para resolver corretamente a
proposição 08, isto é, determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A, B e
C, o candidato já dispunha do centro dessa circunferência que foi calculado na proposição 01;
bastava apenas calcular seu raio e aplicar a fórmula fornecida no formulário. No entanto, o
candidato poderia comprovar facilmente que a proposição era incorreta ao substituir as
coordenadas do ponto A na equação da circunferência dada e verificar que elas não a
satisfaziam.
CONCLUSÃO
Mais uma vez a prova de Matemática procurou avaliar o maior número possível dos
principais tópicos do conteúdo programático proposto. As questões, sempre que possível,
buscaram correlacionar os conteúdos com assuntos da vivência dos candidatos de forma que
eles interpretassem, analisassem e aplicassem com precisão os conceitos e definições
relativas a esses tópicos. A partir da análise geral dos resultados da prova, pode-se novamente
constatar um descompasso entre o grau de dificuldade previsto e o obtido, isso se for levado
em conta apenas os resultados totais. Porém, se forem levados em consideração também os
resultados parciais, as expectativas da banca acabaram se confirmando. Por um lado, observase que cada uma das proposições corretas da prova, separadamente, obteve um bom índice
da preferência dos candidatos e que o problema foi a combinação de ambas, realizada por um
número muito reduzido de candidatos, o que implica um baixo índice de acerto total nas
questões. Essa preferência dos candidatos por não arriscar e tirar proveito do acerto parcial
fica evidente no quadro de freqüência de respostas da prova. Por outro lado, o que é
surpreendente, preocupante e objeto de uma reflexão por todos aqueles envolvidos e
preocupados com a melhoria do ensino da Matemática em todos os níveis, é o elevado índice
obtido por algumas proposições incorretas que envolvem conhecimentos básicos e
fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio, bem como a
carência de uma análise de natureza lógica das proposições, sejam elas do pensamento
algébrico, geométrico, trigonométrico, numérico ou estatístico. Como exemplo, na questão 28,
na proposição 01, bastaria o candidato analisar que no intervalo entre 10 e 30 não se pode ter
um número natural formado por dois algarismos cuja soma é 12, pois o valor máximo que se
obtém é 11, para o número 29 (2 + 9 = 11).