Universidade de Brası́lia
Departamento de Matemática
Cálculo III
Lista de Exercı́cios
Semana 12
– Gabaritos –
2.o /2004
1) Suponha que um arame, de densidade linear constante δ0 , tenha a forma da hélice de parametrização P : [0, 3 π] → R3 dada por P (t) = (a cos(t), a sen(t), b t), em que a e b são constantes
positivas. A figura abaixo ilustra o caso em que a = b = 1.
a) Verifique que o elemento comprimento de arco ds do arame é
independente do parâmetro t.
√
Resposta: ds = a2 + b2 dt.
b) Calcule o comprimento e a massa do arame.
√
Resposta: massa = δ0 × e comprimento = δ0 3π a2 + b2 .
c) Calcule o centro de massa (x, y, z) do arame e justifique fisicamente o fato de que x = 0, mas y > 0.
Resposta: (x, y, z) = (0, 2a/3π, b 3π/2). O caminho é simétrico em relação ao plano Oyz,
mas tem “meia volta”a mais do lado do plano Oxz em que y > 0.
2) Considere o caminho poligonal C que liga o ponto (0, 0) ao ponto (2, 3) e este ao ponto (4, 0),
conforme ilustrado a seguir. Suponha que a densidade linear em cada ponto de C seja diretamente
proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.
a) Obtenha a parametrização de cada um dos segmentos de reta do caminho C.
2
Resposta: P1 (t) = (2t, 3t) e P2 (t) = (2 + 2t, 3 − 3t), t ∈ [0, 1].
G
0
2
4
b) Calcule a massa e a densidade média de C.
√
Resposta: massa = K 50 13/3 e densidade média = K 25/3.
c) Calcule o centro de massa G = (x, y) de C e justifique fisicamente o fato de que x > 2.
Resposta: G = (x, y) = (66/25, 33/20). A densidade é maior no trecho em que x > 2.
3) Suponha que uma cerca tenha sido construı́da ao longo da curva de parametrização P (t) =
(30 cos3 (t), 30 sen3 (t)) com t ∈ [0, π/2]. Suponha ainda que, em cada ponto (x, y) da curva, a
altura A(x, y) da cerca seja dada por A(x, y) = 1 + y/3, conforme ilustra a figura a seguir.
a) Calcule o comprimento da curva P (t).
Resposta: comprimento = 45.
b) Observe que o produto A(x, y) ds corresponde à área de
um retângulo de altura A(x, y) e base de comprimento
infinitesimal ds. Use essa observação para calcular a
área de um dos lados da cerca.
Resposta: área = 225.
c) Use os dois itens anteriores para calcular a altura média da cerca.
Resposta: altura média = 5.
4) Para a > 0, a curva definida pela equação r(θ) = a ( 1 + cos(θ) ) em coordenadas polares, com
θ ∈ [0, 2 π], é conhecida como um cardióide, e pode ser parametrizada na forma P (θ) = (x(θ), y(θ)).
a) Obtenha a parametrização P (θ) mencionada acima.
Resposta: P (θ) = (r(θ) cos(θ), r(θ) sen(θ)).
b) Verifique que, com a parametrização P (θ),
p o elemento comprimento de arco da curva é dado por ds = r(θ)2 + r ′ (θ)2 dθ.
Resposta: segue da expressão de P ′ (θ).
c) Use o item anterior para calcular o comprimento da curva P (θ) com θ no intervalo [0, 2 π].
Resposta: comprimento = 8 a.
5) Suponha que um arame tenha a forma obtida como interseção da esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 com o
plano x + y + z = 0, como ilustrado abaixo.
a) Justifique a afirmação de que a forma do arame corresponde a um
cı́rculo unitário de centro na origem.
u
Resposta: isto porque o plano passa pela origem.
v
1
1
b) Verifique que os vetores u = √ (−1, 0, 1) e v = √ (1, −2, 1) são
2
6
unitários, ortogonais e pertencem ao plano. Logo, os pontos do plano
são combinações lineares de u e v.
Resposta: u = v = 1, u , v = 0 e é nula a soma das coordenadas tanto de u como de v.
c) Use os itens anteriores para obter uma parametrização P (θ), θ ∈ [0, 2 π], da curva correspondente à forma do arame.
Resposta: P (θ) = cos(θ) u + sen(θ) v.
d) Calcule a massa do arame supondo densidade linear dada por δ(x, y, z) = x2 .
Resposta: massa = 2π/3.
6) Para P = (x, y, z) 6= O, considere o campo inverso F (P ) = P/P e o problema de calcular
o trabalho realizado por esse campo ao longo dos caminhos ilustrados na figura a seguir, em que
os pontos têm coordenadas A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 0) e C = (1, 0, 0). A notação P1 P2 indica o
caminho retilı́neo que começa em P1 e termina em P2 .
C E a) Estudando a expressão F , T ao longo do arco de
⌢
C E
C E
C E
C E
cı́rculo A C, conclui-se que o trabalho realizado por F
ao longo desse caminho é positivo.
b) Ao longo de C B, o trabalho realizado por F é maior
do que 1.
c) O caminho A B pode ser parametrizado por P (t) =
(t, t, 1 − t), com t ∈ [0, 1].
d) O campo F é conservativo.
A
C
O
B
e) O trabalho realizado por F ao longo de C B é igual ao trabalho realizado por F
ao longo de A B.