UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA DISCIPLINA TOPOGRAFIA B NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO DR. CARLOS AURÉLIO NADAL PROFESSOR TITULAR Equipe do USGS - 1902 Equipe de nivelamento geométrico de trigonométrico do USGS Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I PUBLICIDADE DA SELEÇÕES READERS DIGEST -1962 (TEODOLITO TMV-2 VASCONCELOS) Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I DESNÍVEL OBTIDO POR TAQUEOMETRIA -DIFERENÇA DE ALTURA ENTRE OS PONTOS A e B (hAB) fs fm z MIRA fi B hAB I A I = altura do instrumento fs = leitura do fio superior fm = leitura do fio médio fi = leitura do fio inferior z = distância zenital medida hAB = I – fm + 50 x (fs-fi) x sen [2 x (90o - z)] Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I PRINCIPIO DO MÉTODO DE NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO ΔHAB = D’.cosZ + hi – hs Z= ângulo zenital D’= distância inclinada hi= altura do instrumento D= distância horizontal hs= altura do alvo Dv = distância vertical ΔHAB = desnível de A para B Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I ERROS SISTEMATICOS: CURVATURA E REFRAÇÃO K=0,12 R=6372KM (raio da Terra) D=distância horizontal nivelada Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Nivelamento trigonométrico erros de curvatura e a refração R B z T 90° - z T' dh A' B' A dh = AB' = di x cos (90° - z) = di x sen z T’A’ = TA = I RB = S A'B = hAB E=dh2/2R R = 0,12 E hAB = T 'R + I - s hAB = di x cos z + I - S+E-r Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Zo = erro de zênite instrumental F zo Ze F zo Ze P P ZPD ZPI Posição direta da luneta PD Z= ZPD- Zo Posição inversa da luneta PD Z=360°-(ZPI + zo) Zo = ZPD+ 0ZPI - 360° 2 Z = 360° + ZPD - ZPI 2 Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Z Z Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I PRISMA REFLETOR PASSIVO PARA MEDIDA DE DISTÂNCIA E DESNÍVEL Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I ALTURA DO PRISMA Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I MEDIDA DA ALTURA DO INSTRUMENTO Eixo horizontal Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Exercício 01 Em 11 de novembro de 1991 foi levantado por taqueometria utilizando-se um teodolito Kern DKM2 um pequeno caminho, através de três seções transversais. Estação: 0=PP, I=1,47m A01= 180°03´51ʺ Ponto visado Direção horizontal Direção vertical Fio superior Fio médio Fio inferior 1 358°02´35ʺ 79°38´35ʺ 1,225 1,198 1,174 1e 347°49´26ʺ 77°48´25ʺ 0,821 0,800 0,769 1d 7°36´01ʺ 89°21´50ʺ 1,228 1,200 1,172 2d 3°57´58ʺ 85°02´09ʺ 1,753 1,700 1,647 2 358°59´49ʺ 81°44´25ʺ 1,152 1,100 1,048 2e 354°52´54ʺ 78°35´49ʺ 0,555 0,500 0,445 3d 3°17´35ʺ 85°39´24ʺ 2,077 2,000 1,923 3 0°00´35ʺ 82°02´28ʺ 1,080 1,000 0,922 3e 355°30´38ʺ 82°09´01ʺ 1,028 0,950 0,872 Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I estação 0=PP azimute grau 0->1 ponto min seg 180 3 direção horizontal visado grau rad 51 3,142713 i= direção vertical min seg radiano grau 1,47 m fios estadimétricos min seg radiano fs fm 1 358 2 35 6,249030 79 38 35 1,390034 1,225 1,198 1e 347 49 26 6,070672 77 48 25 1,357987 0,821 0,800 1d 7 36 1 0,132650 89 21 50 1,559694 1,228 1,200 2d 3 57 58 0,069222 85 2 9 1,484155 1,753 1,700 2 358 59 49 6,265679 81 44 25 1,426637 1,152 1,100 2e 354 52 54 6,193854 78 35 49 1,371775 0,555 0,500 3d 3 17 35 0,057475 85 39 24 1,494991 2,077 2,000 3 0 0 35 0,000170 82 2 28 1,431888 1,080 1,000 3e 355 30 38 6,204830 82 9 1 1,433793 1,028 0,950 cota= fi 1,174 0,769 1,172 1,647 1,048 0,445 1,923 0,922 0,872 900 m distância desnível m m 4,935164 1,173939 4,968038 1,743498 5,59931 0,332167 10,52063 0,683806 10,18536 1,848572 10,57002 3,101877 15,31167 0,632937 15,49708 2,636635 15,30902 2,630611 cota m 901,1739 901,7435 900,3322 900,6838 901,8486 903,1019 900,6329 902,6366 902,6306 D=100(fs-fi)cos2(90°-z) HAB=I-fm+50(fs-fi)sen2(90°-z) Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Exercício 02 Estação A I=1,457m S=2,000m Ponto visado posição Distância Zenital distância B PD 85° 12´ 35ʺ 120,456 PI 274° 47´ 23ʺ 120,454 Calcular: a) O desnível de A para B e o erro de zenite instrumental HAB= 9,515m Zo = -1ʺ Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Exercício 03 Calcular a altura do edifício (AC), mostrado no croqui, colocando-se a estação total em E e o refletor em C. Estação: E Ponto visado A B Distância E-B I=1,425m croqui: Distância zenital 78°02´55ʺ 89°33´05ʺ S=2,000m 95,235m A B S I Altura do edifício = 21,412m E Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I C Posicionamento tridimensional no terreno Z p cota zp Y xp O yp p’ abcissa ordenada X Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I x y z Máquina de medição tridimensional Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais e coordenadas polares z p distância espacial v ângulo vertical cota dop zp p” o Aop y xp yp x ordenada abcissa p’ ângulo horizontal (azimute) Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Transformação de coordenadas cartesianas em polares p do v o p dh z p v v zp p’ do p zp p” o Aop yp y xp p’ x dh = dop x sen v zp = dop x cos v Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Transformação de coordenadas cartesianas em polares o yp z p” p Aop v do p xp zp p” o Aop yp y xp p’ x xp = dop x sen v x sen Aop yp = dop x sen v x cos Aop p’ xp = dh x sen Aop yp = dh x cos Aop Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Uma linha reta no espaço pode agora ser observada como a que liga o ponto P ao ponto Q. Z reta no espaço P +40 zp +20 +40 -20 yp -40 -20 +20 xp P´ 0 +40 yq -20 +40 xq -40 Y +20 X zq Q Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I A distância espacial PQ é fornecida analiticamente pela expressão: d =[(xp - xq) ² + (yp-yq) ² + (zp-zq) ² ] Assim se ponto P possuí coordenadas em metros P(-40; 20; 40) e o ponto Q possui coordenadas em metros Q( 60;40;-20), a distância espacial entre eles é fornecida da seguinte forma: d =[(-40 - 60) ² + (20-40) ² + (40+20) ² ] d = d = 8,32m Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Exercício: Utilizou-se uma estação total, com um sistema de coordenadas ortogonal tridimensional situado em seu centro óptico, com a seguinte orientação, o eixo y com sentido positivo para o norte geográfico, o eixo x com sentido positivo para leste e o eixo z coincidente com o fio de prumo com sentido positivo para o zenite (ponto situado no infinito acima da estação). Mediu-se as direções horizontais (Aop), direção vertical (V) e a distância inclinada dop ao ponto alvo (P), obtendo-se as seguintes medidas: Aop = 26° 32´ 50”; V = 86° 58´ 15”; dop = 125,632m. Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do alvo neste sistema. Solução: Z xp = dop sen V sen Aop yp = dop sen V cos Aop zp = dop cos V P V do p zp o Y Ao p yp X P” xp P’ xp = 125,632 x sen 86° 58´ 15” sen 26° 32´ 50” yp = 125,632 x sen 86° 58´ 15” cos 26° 32´ 50” zp = 125,632 x cos 86° 58´ 15” xp = 56,071m yp = 112,229m zp = 6,639m Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Problema direto do posicionamento tridimensional Z B dAB V A zB zA P B” Y xA xB yA A’ Q AAB B’ X yB Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I PROBLEMA DIRETO DE POSICIONAMENTO TRIDIMENSIONAL Dadas ou conhecidas de um levantamento anterior: coordenadas tridimensionais do ponto A xA, yA , zA Mede-se: azimute da direção AB = AAB distância entre A e B = dAB direção zenital ou distância zenital = V Pede-se: coordenadas tridimensionais do ponto B xB, yB , zB Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Triângulos retângulos APB e A’B’Q B A’ A dAB senV Q AAB V dAB y B – yA xB – xA zB – zA = dAB cos V dAB sen V B’ P Z xB – xA = dAB sen V sen AAB yB – yA = dAB sen V cos AAB zB – zA = dAB cos V V dAB B A zA P B” xA xB = xA + dAB sen V sen AAB yB = yA + dAB sen V cos AAB zB = zA + dAB cos V xB yA A’ X yB Q AAB B ’ Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I zB Y Problema inverso do posicionamento no espaço tridimensional Cálculo da distância espacial entre os pontos A e B dAB = [(xB – xA )2 + (yB – yA )2 + (zB – zA )2 ]1/2 Cálculo do ângulo zenital entre A e B zB – zA V = arc cos [(xB – xA )2 + (yB – yA )2 + (zB – zA )2 ]1/2 Cálculo do azimute entre os pontos A e B xB – xA AAB = arc tg yB – yA Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Exercício: A listagem com o resultado de um rastreio GPS apresenta as coordenadas Tridimensionais geodésicas de dois vértices P01 e P02 fornecidas as seguir: PO1 x1 = 3763803,17745 y1 = -4366181,98370 z1 = -2722619,51292 PO2 x2 = 3761470,79868 y2 = -4367585,08810 z2 = -2723355,20840 Calcular a distância entre os vértices, o azimute do vértice P01 para P02 e a distância zenital de P01 para P02. Solução: Distância P01 – P02 d12 = [(x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 + (z2 – z1 )2 ]1/2 d12 = 3761470,79868- 3763803,17745) 2 +(-4367585,08810 +4366181,98370 ) 2 + (-2723355,20840 +2722619,51292 ) 2 d12 = , d12 = 28,6m Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Azimute P01 – P02 x2 – x1 A12 = arc tg y2 – y1 3761470,79868 - 3763803,17745 A12 = arc tg -4367585,08810 + 4366181,98370 -2332,379 A12 = arc tg -1403,105 A12 = arc tg 1,66229826 A equação apresenta duas soluções no primeiro quadrante e no terceiro quadrante. Solução no primeiro quadrante: A12 = 58° 58´ 11” No terceiro quadrante: A12 = 58° 58´ 11” + 180 ° A12 = 238° 58´ 11” Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Como a solução pode estar no 1° ou no 3 ° Quadrante. A tabela abaixo esclarece a obtenção de quadrantes. Quadrante numerador denominador 1° Q + + 2° Q + 3° Q 4° Q + Neste caso, como o denominador e o numerador da divisão resultaram negativos adota-se o 3° Quadrante, assim: A12 = 238° 58´ 11” Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Distância zenital P01 – P02 z2 – z1 V = arc cos [(x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 + (z2 – z1 )2 ]1/2 -2723355,20840 + 2722619,51292 V = arc cos 28,6 -735,696 V = arc cos 28,6 V = arc cos –0,260925355 A solução encontra-se no segundo ou no terceiro quadrante, neste caso adota-se o segundo quadrante pois convenciona-se a distância zenital menor ou igual a 180 °. Solução no primeiro quadrante: V = 74° 52´ 30” Solução no segundo quadrante V = 180° - 74° 52´ 30” V =105 ° 07´ 30” Neste caso a distância zenital vale: V =105 ° 07´ 30” Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I Exercício proposto: Determinou-se as coordenadas tridimensionais do vértice PO1 obtendo-se: x1 = 3763803,17745 y1 = -4366181,98370 z1 = -2722619,51292 Mediu-se a partir do vértice P01 em direção ao vértice P02 d12 = 28,6m A12 = 238° 58´ 11” V =105 ° 07´ 30” Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do vértice P02. Resposta: x2 = 3761470,79868 y2 = -4367585,08810 z2 = -2723355,20840 Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I
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