CAPÍTULO 1
GRANDEZAS ELÉTRICAS BÁSICAS
1.1 CONDUTORES E ISOLANTES
A estrutura íntima dos materiais é um ramo da Física que ainda não está
completamente estudado. No entanto, grande parte dos fenômenos elétricos e
eletromagnéticos pode ser explicada usando-se um modelo bastante simples, conhecido
como o átomo de Rutherford.
O
modelo
de
Rutherford, também chamado
planetário é visto na Figura
1.1; propõe que qualquer
átomo possui um núcleo –
composto por cargas positivas
(prótons) e neutras (nêutrons)
– em torno do qual circulam
cargas negativas (elétrons) em
órbitas bem definidas.
Para o estudo de
Eletricidade importam apenas
os elétrons que ocupam a
camada mais distante do
núcleo. São as propriedades
desses elétrons que ditarão as
características elétricas do
material. Assim, se os elétrons
Figura 1.1 - Átomo de Rutherford.
da camada mais externa
estiverem frouxamente ligados
ao núcleo, eles poderão “fugir” do átomo, tornando-se elétrons livres, capazes de se
movimentar aleatoriamente através do material. Na maior parte dos casos práticos, são
esses elétrons livres que participam dos processos elétricos como portadores de corrente.
Materiais condutores são aqueles que possuem grande quantidade de elétrons-livres:
mesmo pequenas quantidades de energia são suficientes para desalojá-los de seus átomos.
Materiais desta categoria, que inclui a maioria dos metais, são adequados para a confecção
de fios, fusíveis, contatos, etc.
Nos materiais isolantes, mesmo os elétrons mais externos estão fortemente ligados
ao núcleo, de forma que só podem ser libertados pela aplicação de grandes quantidades de
energia. Isso os tornando adequados para a confecção de dispositivos de isolação
(dielétricos): borrachas, cerâmicas e poliestireno são alguns desses materiais.
No linguajar dos eletricistas, o termo condutor costuma ser aplicado aos fios e
cabos, elementos usados na transmissão e distribuição de energia elétrica. Os fios são
condutores maciços e rígidos; cabos são condutores formados por dois ou mais fios,
geralmente trançados, o que lhes confere maior flexibilidade.
1.2 CORRENTE ELÉTRICA
A corrente elétrica (simbolizada por i) consiste no movimento de cargas elétricas
em um sentido predominante. Este
movimento sempre é devido à existência
de uma tensão (V. Seção 1.3) e seu
sentido depende do tipo de carga elétrica
que está em movimento.
Como se viu na seção anterior,
nos condutores metálicos as cargas
disponíveis são negativas (elétronslivres), de modo que o seu deslocamento
coincide com o chamado sentido
eletrônico da corrente. No entanto,
historicamente os conceitos da Física
foram criados a partir de cargas positivas;
chama-se sentido convencional àquele do
deslocamento dessas cargas positivas. A
Figura 1.2 mostra a diferença entre essas
Figura 1.2 – Sentidos convencional e
eletrônico da corrente em um condutor.
duas convenções; neste trabalho adotou-se
o sentido convencional para a corrente.
Além do sentido, a corrente também é caracterizada por um módulo ou intensidade1,
que considera a variação da carga q que passa pelo condutor durante o intervalo de tempo t.
Assim, o módulo é dado por
q
(1.1)
i
t
e tem como unidade o Ampère (símbolo A). São bastante comuns os submúltiplos
miliampère (mA) = 10-3 A e
microampère (A) = 10-6 A
Quando o módulo e o sentido da corrente em um condutor não variam com o tempo,
como o caso mostrado no gráfico da Figura 1.3a, está-se tratando de corrente contínua
(CC); equipamentos alimentados por pilhas ou baterias operam com correntes desse tipo.
Se o módulo e o sentido variam no tempo de forma a serem descritos por uma função
senoidal, como mostrado na Figura 1.3b, diz-se tratar de corrente alternada (CA)2.
Quando a corrente elétrica passa por um corpo, um ou mais dos seguintes efeitos
podem ser observados:
 Produção de calor, resultante dos choques entre as cargas portadoras de corrente com
partículas do material condutor. Este efeito fundamenta a ação de inúmeros aparelhos,
como chuveiros e aquecedores elétricos, relés e fusíveis;
1
Alguns eletricistas usam o termo amperagem.
É oportuno lembrar que na língua inglesa usam-se os termos DC (de direct current) e AC (de alternated
current) para corrente contínua e corrente alternada, respectivamente.
2
2




Geração de luz: por vezes o calor gerado pela corrente é tão elevado que leva o
condutor à incandescência, produzindo luz no espectro visível. É o caso das lâmpadas
incandescentes e mistas.
Criação de um campo magnético em torno do condutor, fenômeno que fundamenta o
funcionamento dos motores elétricos;
Interferência em atividades dos seres vivos, cuja manifestação mais evidente é o choque
elétrico; os eletrocardiógrafos, as cercas eletrificadas e desfibriladores também são
baseados nesse efeito;
Reações químicas, como aquelas utilizadas como princípio em eletrólise e cromagem de
metais
(a)
(b)
Figura 1.3 - Formas de onda de corrente: (a) contínua; (b) alternada.
1.3 TENSÃO ELÉTRICA
A tensão elétrica é uma espécie de “força” que desloca as cargas elétricas em um
circuito fechado; portanto, a corrente elétrica sempre é um resultado da aplicação de tensão.
Diferença de potencial (d.d.p.), força eletromotriz (f.e.m.) e voltagem são outros termos
usados para designar tensão.
A tensão (u) fornece energia  uma carga q do circuito, de forma que seu módulo é
dado por

(1.2)
u
q
Sua unidade é o Volt (símbolo V), mas os seguintes múltiplos e submúltiplos aparecem
com freqüência:
quilovolt (kV) = 103 V e
milivolt (mV) = 10-3 V
Quando aplicada aos terminais de um dispositivo, a tensão altera o equilíbrio das
cargas: um destes terminais ficará com falta de elétrons - e, portanto, positivamente
carregado - enquanto o outro terá excesso de elétrons, ficando carregado com carga
negativa. Chama-se a isto de polaridade da tensão, que é representada por um par de sinais
+ e – (Figura 1.4).
3
Figura 1.4 - Polaridade da tensão
De acordo com seu comportamento em relação ao tempo, as tensões podem ser
classificadas em dois tipos:
 contínua (CC): quando mantém constantes seu módulo e sua polaridade. Uma pilha
e a bateria de um automóvel são exemplos de tais fontes.
 alternada (CA): quando é do tipo senoidal, como aquela fornecida pelas tomadas
residenciais.
1.4 POTÊNCIA E ENERGIA
O conceito de energia é intuitivo. Em Eletrotécnica, diz-se que é uma grandeza
capaz de alterar o comportamento das cargas elétricas de um circuito. Sua unidade no SI é o
joule (símbolo J), cujo uso em aplicações elétricas geralmente produz números muito
grandes, de modo que usualmente trabalha-se com uma unidade “derivada”, chamada
quilowat-hora (kWh) = 3.600 J
A potência é uma grandeza que revela como se comporta a energia  associada a um
corpo em relação ao tempo3. Assim
p

t
(1.3)
No Sistema Internacional, a unidade de potência é o Watt (símbolo W), sendo
corriqueira, ainda, a utilização dos seguintes múltiplos e submúltiplos:
megawatt (MW) = 106 W
quilowatt (kW) = 103 W
miliwatt (mW) = 10-3 W.
Quando se trata de potência mecânica, geralmente associada a motores elétricos,
costuma-se utilizar as seguintes unidades:
cavalo-vapor (cv) = 736 W
horse-power (hp) = 745,7 W.
3
Costuma-se dizer que a potência mede a velocidade com que a energia de um sistema é transformada.
4
No caso de aplicações elétricas, e levando-se em consideração as Equações 1.1 e
1.2, pode-se reescrever a Equação 1.3 como se segue:
p
  q
 
t q t
p = u.i
(1.4)
que é a chamada potência instantânea, pois depende dos valores de tensão e corrente a cada
instante.
Quando se lida com tarifação de energia elétrica, é comum chamar-se demanda à
potência exigida por um equipamento e consumo à energia requerida pelo mesmo.
Como em qualquer sistema físico, existem nos circuitos elétricos elementos que
fornecem energia e outros que a absorvem, armazenando-a ou transformando-a em outro
tipo de energia. Por convenção, a potência absorvida por um elemento tem sinal positivo e
acontece quando o sentido da corrente é tal que entra pelo pólo positivo da tensão no
elemento; se, ao contrário, a corrente entra pelo pólo negativo da tensão, a potência
associada ao elemento é negativo, isto é, ele estará fornecendo potência.
1.5 RENDIMENTO
O rendimento () é a relação entre as potências de saída (Ps) e de entrada (Pe) de um
circuito ou equipamento, isto é

Ps
Pe
(1.5)
Esta grandeza adimensional exprime a eficiência de um equipamento ou circuito, pois
a diferença entre essas potências corresponde às perdas que ocorrem dentro do equipamento
ou ao longo de sua alimentação. Muitas vezes, o rendimento é expresso em termos
percentuais (%) relativamente à potência de entrada.
O significado dessas potências e das perdas é mostrado na Figura 1.5, no que se
chama balanço de potências. Conforme a Lei da Conservação de Energia, este balanço
sempre deve ser igual a zero, isto é
Pe = Ps + perdas
Figura 1.5 – Balanço de potências
num equipamento elétrico.
5
CAPÍTULO 2
CIRCUITOS ELÉTRICOS: LEIS FUNDAMENTAIS E
CONCEITOS BÁSICOS
2.1 TERMINOLOGIA EMPREGADA
Um circuito elétrico resulta da interligação de elementos de forma a orientar o fluxo
de energia para obter um efeito específico (como limitar a corrente em um dispositivo ou
ligar um equipamento elétrico). Na Fig. 2.1a é mostrado um circuito que envolve uma
lâmpada e um motor elétrico de CC; este circuito real pode ser representado através de um
esquema, mostrado na Figura 2.1b.
(a)
(b)
Figura 2.1 – Circuito elétrico: (a) visão real; (b) esquema representativo.



A seguir, são definidos alguns termos usados na análise de circuitos elétricos:
Nó: ponto de conexão entre dois ou mais elementos que compõe um circuito; na Figura
2.1, os pontos a e b são nós que conectam três elementos cada um (chamados nós
efetivos), enquanto que os pontos m e n são nós que conectam dois elementos (nós
aparentes).
Ramo: trecho do circuito compreendido entre dois nós efetivos. No circuito da Figura
2.1b há três ramos, todos delimitados pelos nós efetivos a e b: um com a fonte de 12 V,
o segundo com o interruptor Ch 1 e a lâmpada L e o último com a chave Ch 2 e o motor
M.
Laço: qualquer percurso fechado de um circuito. Existem três laços no circuito da
Figura 2.1b: um externo (contendo a fonte, a chave Ch 2 e o motor) e dois internos (o
primeiro com a fonte, o interruptor Ch 1 e a lâmpada e o outro com os dois
interruptores, a lâmpada e o motor).

Malha é um percurso fechado (laço) que não tem qualquer internamente; é o caso dos
dois percursos internos do circuito da Figura 2.1(b).
A Figura 2.2 mostra um circuito hipotético contendo seis elementos. Apesar de seus
seis pontos de conexão (a, b, c, d, e e f), este circuito tem somente quatro nós: os pontos b e
e estão ligados entre si, sem que haja qualquer elemento entre eles, configurando um único
nó; o mesmo se dá com os pontos d e f. Assim, os nós desse circuito são a, b, c e d, sendo a
e c nós aparentes.
É costume expressarem-se as tensões através da chamada notação de subíndice
duplo, na qual se podem substituir os sinais + e – indicativos da polaridade por um
subíndice que explicita os dois nós entre os quais se está verificando a tensão: a primeira
letra (ou número) representa o nó com polaridade positiva. Por exemplo, na Figura 2.2 se
uab = 10 V, o nó a é o polo positivo da tensão; porém se ucd = - 8 V, então o polo positivo
está posicionado no nó d.
Figura 2.2 – Circuito hipotético.
2.2 LEIS DE KIRCHOFF
O estudo de Eletrotécnica está fortemente ancorado em duas leis enunciadas pelo
alemão Georg Kirchoff, há mais de três séculos atrás:
a) Lei das Correntes (LCK)
Em um circuito elétrico, a soma algébrica das correntes de qualquer nó é igual à
zero, a qualquer instante de tempo.
Se adotarmos um sinal para as correntes que chegam ao nó e o sinal oposto para as
correntes que dele saem, a Lei das Correntes de Kirchoff pode ser dada por uma soma
algébrica, isto é:
i
NÓ
0
Por exemplo, no circuito da Figura 2.2, a LCK aplicada ao nó b resulta em:
i1 - i2 - i3 - i4 = 0.
8
(2.1)
b) Lei das Tensões (LTK)
A soma algébrica das tensões ao longo de um laço de circuito é igual a zero, a
qualquer instante de tempo.
Matematicamente esta lei pode ser expressa pela equação
u
LAÇO
0
(2.2)
Para aplicar essa lei a um laço, escolhe-se um sentido para o percurso (horário ou
anti-horário); ao se "entrar" num elemento por seu pólo positivo, soma-se a tensão sobre o
mesmo, caso contrário subtrai-se esta tensão. Exemplificando, se for tomado o laço
esquerdo do circuito da Figura 2.2 e a escolha do sentido do percurso for horária, a LTK
ficará:
uab + ubc + ucd – uad = 0.
2.3 ASSOCIAÇÃO DE ELEMENTOS
Os elementos de um circuito elétrico são interligados de forma a produzir algum
resultado que se deseje. Esta interligação ou associação de elementos pode dar-se de duas
maneiras: em série ou em paralelo.
2.3.1 Em Série
Dois ou mais elementos estão associados em série quando a são percorridos pela
mesma corrente; portanto, os elementos que compõe a associação série formam um único
ramo.
Os elementos E1, E2 e E3 mostrados na Figura 2.3a estão associados em série,
sendo a corrente i comum a todos eles. Observe-se que as tensões sobre os elementos
podem diferir entre si, mas, de acordo com a LTK:
uad = uab + ubc + ucd.
Um dos aspectos importantes da associação série é que a retirada ou avaria de um
dos elementos interrompe o funcionamento de todo o ramo. Assim, faz-se esse tipo de
associação quando se deseja controlar, proteger ou limitar a corrente em um dispositivo.
Por exemplo, na Figura 2.3b, o disjuntor (dispositivo de proteção), o amperímetro (aparelho
de medida de corrente) e a chave (dispositivo de controle) estão ligados em série com o
motor M em uma rede de 220 V CA.
9
Figura 2.3 – Associação de elementos em série: (a) associação genérica; (b) exemplo de
associação série.
2.3.2 Em Paralelo
Dois ou mais elementos estão associados em paralelo quando estão submetidos à
mesma tensão. Portanto, numa associação paralela, todos os elementos componentes estão
ligados a um mesmo par de nós do circuito.
Na Figura 2.4a, os elementos E1, E2 e E3 estão associados em paralelo, todos eles
submetidos à mesma tensão uab. As correntes nos elementos não serão necessariamente
iguais entre si e a aplicação da LCK ao nó a resulta na equação
i = i1 + i2 + i3.
Figura 2.4 – Associação de elementos em paralelo: (a) associação genérica; (b) exemplo de
instalação residencial.
Usa-se a associação em paralelo para interligar os equipamentos nas instalações
elétricas residenciais e industriais (Figura 2.4b), já que possibilita a alimentação de todos
eles com a tensão da rede elétrica, além de permitir a inserir (ligar) ou retirar (desligar) uma
carga sem interferir no funcionamento das demais.
10
CAPÍTULO 3
ELEMENTOS DOS CIRCUITOS
3.1 INTRODUÇÃO
Um circuito elétrico pode ser composto de vários dispositivos, como interruptores,
motores e lâmpadas, interligados por condutores (fios ou cabos).
Para facilitar os processos de análise, muitas vezes convém trabalhar com modelos
físicos desses dispositivos. Tais modelos são construídos a partir de quatro elementos
básicos, também chamados ideais: resistores, indutores, capacitores e fontes de
alimentação.
3.2 RESISTORES
A resistência é a grandeza que quantifica o grau de oposição que um corpo oferece à
passagem de corrente elétrica. Resistores são elementos especialmente construídos para
apresentarem resistência1.
Algumas das aplicações dos resistores são a limitação da corrente elétrica e a
produção de calor; lâmpadas incandescentes também aproveitam a resistência de seu
filamento para a produção de luz. Porém o fenômeno da resistência pode ser utilizado por
dispositivos que operam com outras grandezas físicas, como esforços mecânicos ou
temperatura (Figura 3.1).
(a)
(b)
(d)
(c)
(e)
Figura 3.1 – Exemplos de resistores comerciais: (a) de carbono; (b) de fio, para
aquecimento; (c) termistor (resistor controlado por temperatura); (d) célula de carga
(resistor controlado por esforço mecânico); (e) LDR (resistor controlado por luz).
1
Resistor é o elemento físico (substantivo) e resistência é a sua qualidade (adjetivo). No entanto, é comum
chamar o resistor de resistência.
Os resistores podem ser fixos ou variáveis; estes, muitas vezes chamados de
potenciômetros, podem ter sua resistência alterada mediante o giro de um eixo ou
deslizando-se um contato. Os símbolos de resistores são mostrados na Figura 3.2.
(a)
Figura 3.2 - Tipos de resistores e
simbologia: (a) fixo; (b) variável
(potenciômetro).
(b)
Se uma tensão u é aplicada a um corpo, por este circulará uma corrente i. A
resistência desse corpo é dada pela relação conhecida como Lei de Ohm:
R
u
i
(3.1)
e sua unidade é o ohm (símbolo ). Resistores comerciais atingem facilmente a casa dos
quilohms (k = 103) ou megohms (M = 106).
Denomina-se condutância (G) ao inverso da resistência, isto é
G
1
R
(3.2)
cuja unidade é o Siemen (S)2.
A resistência de um corpo depende de suas dimensões físicas e do material com que
é confeccionado. Se l é o comprimento do corpo (no sentido do deslocamento da corrente) e
A é área de seção reta, sua resistência é dada por
R 

A
(3.3)
onde  é a chamada resistividade do material. No SI a resistividade é dada em ohm × metro
(.m), porém uma unidade mais prática é o ohm × milímetro quadrado/metro (.mm2/m).
A Tabela 3.1 mostra a resistividade de alguns materiais usados em Eletrotécnica.
A temperatura também exerce influência sobre o valor da resistência: nos
condutores metálicos a resistência é diretamente proporcional à temperatura; porém em
certos materiais, como o carbono, esta variação se dá de forma indireta. O coeficiente de
temperatura  é a grandeza que relaciona a resistência e a temperatura: se Rref é a
resistência de um corpo à temperatura de referência ref (usualmente 20 oC), para outra
temperatura , a resistência desse corpo será
R  R ref [1  (   ref ]
2
(3.4)
Esta unidade também é conhecida por mho, que é a grafia inversa de ohm, tendo como símbolo o ohm
invertido (Ʊ).
12
No SI a unidade do coeficiente de temperatura é o grau Celsius inverso (1/oC = oC-1) e a
Tabela 3.1 mostra o valor de  para alguns materiais usados em Eletrotécnica.
Tabela 3.1 – Valores de resistividade e coeficiente de temperatura de alguns materiais
usados em Eletrotécnica
Material
Aço
Alumínio
Borracha
Carbono (grafite)
Cobre
Constanta1
Germânio
Manganina2
Nicromo3
Silício
Resistividade
 (.mm2/m)
0,0971
0,0265
11019
35,00
0,0172
0,4900
4,6105
0,4820
1,500
6,4108
Coeficiente de temperatura
 (oC-1)
1110-6
0,0039
-0,0005
0,0068
10-5
-0,05
210-6
0,0004
-0,07
1
Liga com 55% de Cu e 45% Ni
Liga com 86% de Cu, 12% de Mn e 2% de Ni
3
Liga com 61% de Ni, 23% de Cr e 16% de Mo
2
A potência associada a resistores pode ser determinada conjugando-se as equações
1.4 e 3.1:
p  u.i  (R.i).i  p  Ri 2
(3.5)
u2
u
p  u.i  u   p 
R
R
(3.6)
ou, alternativamente,
Se uma corrente i (ou uma tensão u) é aplicada a um resistor R durante um intervalo
de tempo t, a energia associada ao elemento é
u2
(3.7)
  Ri 2  t 
 t
R
Associação de resistores

Em série
Na Figura 3.3a vê-se uma associação série de três resistores, o que significa que a
corrente i é comum a todos. Se u1, u2 e u3 forem as tensões sobre os resistores R1, R2 e R3,
respectivamente, e uT for a tensão na entrada da associação, a LTK impõe:
uT = u1 + u2 + u3.
Usando a Lei de Ohm (Equação 3.1)
uT = R1.i + R2.i + R3.i = (R1 + R2 + R3).i
13
Figura 3.3 – Associação de resistores em série: (a) associação de três resistores em série;
(b) resistor equivalente.
O resistor equivalente Req (Figura 3.3b) é aquele que produzirá a mesma corrente i
se lhe for aplicada a mesma tensão uT. Neste caso
uT = Req.i
Comparando as duas equações
Req = R1 + R2 + R3
Generalizando, pode-se dizer que para uma associação de n resistores em série, a
resistência equivalente é dada pela soma das n resistências:
n
R eq   R n
(3.8)
i 1

Em Paralelo
Se três resistores R1, R2 e R3 estão associados em paralelo (Figura 3.4a), alimentados
por uma tensão comum u, a corrente sobre cada um deles será, respectivamente, i1, i2 e i3.
Pela LCK, conjugada com a Lei de Ohm, a corrente total da associação será:
i T  i1  i 2  i 3 
 1
u
u
u
1
1 



 u 


R1 R 2 R 3
R
R
R
1
2
3


Para o resistor equivalente Req (Figura 3.4b), vale a equação
iT 
u
R eq
logo, comparando as duas expressões:
1
1
1
1



R eq R 1 R 2 R 3
14
Figura 3.4 – Associação de resistores em paralelo: (a) associação de três resistores em
paralelo; (b) resistor equivalente.
Para n resistores em paralelo, a resistência equivalente pode ser encontrada através
da expressão:
n
1
1

R eq i 1 R i
(3.9)
3.3 CAPACITORES
Capacitores são elementos compostos por duas superfícies condutoras, chamadas
armaduras, isoladas uma da outra por um dielétrico. Na Figura 3.5 vê-se o símbolo
genérico de capacitores (fixos e variáveis).
Figura 3.5 – Símbolo de capacitor: (a) fixo;
(b) variável ou ajustável.
Quando um capacitor é submetido a uma tensão u, certa quantidade de cargas
elétricas negativas (-q) é armazenada em uma das armaduras; para atender ao equilíbrio
eletrostático, a outra armadura ficará carregada positivamente com carga +q, de mesmo
módulo. A carga em cada uma dessas armaduras dependerá da tensão aplicada, segundo a
equação
q = Cu
(3.10)
onde C é uma constante de proporcionalidade denominada capacitância, tendo por unidade
o Farad (F). Em termos práticos, essa unidade é muito grande, de forma que a ordem de
grandeza dos capacitores comerciais é
microfarad (F) = 10-6 F
nanofarad (nF) = 10-9 F ou
picofarad (pF) = 10-12 F.
15
Se a tensão nos terminais de um capacitor sofrer variação, haverá alteração da carga
acumulada nas armaduras; neste caso, a movimentação das cargas se constituirá em
corrente. De fato, derivando a Equação 3.8 em relação ao tempo
dq d
 (Cu )
dt dt
De acordo com a Equação 1.1, o termo mais à esquerda representa a corrente i no
capacitor, logo
iC
du
dt
(3.11)
A análise desta equação deixa claro que só haverá corrente num capacitor se a
tensão em seus terminais variar. No caso de tensões constantes, a corrente será sempre
zero, seja qual for o módulo; diz-se, assim, que um capacitor se comporta como um circuito
aberto quando submetido a CC3.
A energia armazenada no campo elétrico de um capacitor de capacitância C é dada
por
 du 
   p.dt   u.i.dt   u. C .dt   C.u.du
 dt 

1 2
Cu
2
(3.12)
A capacitância é uma grandeza que depende, fundamentalmente, das dimensões das
armaduras, da distância entre elas e do dielétrico usado.
A Tabela 3.2 relaciona alguns dielétricos e sua constante dielétrica (), grandeza
adimensional que indica quantas vezes a capacitância de um capacitor usando tal dielétrico
seria maior que a de outro, idêntico, porém usando o vácuo como dielétrico.
Tabela 3.2 – Constante dielétrica de alguns dielétricos usados em capacitores.
Constante dielétrica
()
vácuo
1
água destilada
80
ar (1 atm)
1,0006
ar (100 atm)
1,0548
mica
3-7
óleo
4
papel
4-6
Material
Constante dielétrica
()
papel parafinado
2,5
plástico
3
polistireno
2,5 - 2,6
pyrex
5,1
silício fundido
3,8
teflon
2
titanatos
50 - 10000
Material
3
Esta afirmativa só é válida quando o circuito no qual está inserido o capacitor tiver atingido o chamado
regime permanente (v. Seção 4.2).
16
Os capacitores comerciais podem ter denominação de acordo com a forma de suas
armaduras (placas planas, tubulares, etc.) e/ou conforme o dielétrico utilizado (mica,
poliestireno, etc.). A Figura 3.6 mostra alguns capacitores comercialmente disponíveis.
(a)
(b)
(d)
(e)
(c)
(f)
Figura 3.6 – Capacitores comerciais: (a) eletrolítico; (b) poliéster metalizado; (c) tântalo;
(d) "disco", com dielétrico cerâmico; (e) variável, com dielétrico de ar; (f) capacitor
ajustável ou trimmer.
Associação de capacitores

Em série
A Figura 3.7a mostra três capacitores C1, C2 e C3 associados em série, sendo u1, u2 e
u3 a tensão sobre cada um deles, respectivamente. Aplicando a LTK, conjugada com a
expressão inversa da Equação 3.11, a tensão uT nos terminais da associação será:
u T  u1  u 2  u 3 
 1
1
1
1
1
1 
  i.dt
i.dt 
i.dt 
i.dt  





C1
C2
C3
 C1 C 2 C 3 
Figura 3.7 – Associação de capacitores em série: (a) associação de 3 capacitores em série;
(b) capacitor equivalente.
17
Para o capacitor equivalente Ceq mostrado na Figura 3.7b a equação será
uT 
1
i.dt
C eq 
logo, comparando as duas últimas expressões:
1
1
1
1



C eq C1 C 2 C 3
Generalizando, o capacitor equivalente de uma associação série de n capacitores é
n
1
1

C eq i 1 C i

(3.13)
Em paralelo
Numa associação paralela de capacitores, como a da Figura 3.8a, a aplicação da LCK
assegura que:
i T  i1  i 2  i 3  C1
du
du
du
du
 C2
 C3
 C1  C 2  C 3 
dt
dt
dt
dt
Para o circuito do capacitor equivalente Ceq mostrado na Figura 3.8b
i T  C eq
du
dt
de onde se conclui que
Ceq = C1 + C2 + C3
Para uma associação de n capacitores em paralelo
n
C eq   C i
(3.14)
i 1
Figura 3.8 – Associação de capacitores em paralelo: (a) associação de 3 capacitores em
paralelo; (b) capacitor equivalente.
18
3.4 INDUTORES
No entorno de um condutor percorrido por corrente um campo magnético é criado
(Figura 3.9a); se este condutor é enrolado em forma de bobina (Figura 3.9b), este campo é
reforçado. Os campos magnéticos são representados por linhas, e o número de linhas por
unidade de área é denominado fluxo magnético ().
(a)
(b)
Figura 3.9 - Campo magnético criado por corrente: (a) em um condutor retilíneo; (b) em
uma bobina.
É importante observar que o fluxo é diretamente proporcional ao módulo da
corrente. No caso de um enrolamento com N espiras, o fluxo total é
N = Li
(3.15)
onde L é uma constante de proporcionalidade chamada indutância, cuja unidade no SI é o
Henry (H). Indutores são elementos que se caracterizam por apresentar indutância; na
Figura 3.10 são mostrados o símbolo destes elementos e alguns exemplos de indutores
disponíveis no comércio.
(a)
(b)
(d)
(c)
Figura 3.10 – Indutores: (a) símbolo; (b) para
montagem em circuito impresso; (c) com núcleo
de ar; (d) com núcleo de ferrite (choke).
19
Em meados do século XIX, Faraday demonstrou a interação existente entre
variações do campo magnético e a geração de tensão. Segundo a lei que leva seu nome, se
o fluxo magnético total em uma bobina varia com o tempo, entre seus terminais será
induzida uma tensão (u) proporcional à taxa da variação do fluxo com o tempo, isto é
u
d( N)
dt
(3.16)
di
dt
(3.17)
Conjugando as Equações 3.15 e 3.16
uL
É importante observar que só há tensão nos terminais de um indutor se a corrente
que o percorre variar com o tempo. Se o condutor for percorrido por corrente contínua, sua
tensão será nula: por isso se diz que os indutores se comportam como curto-circuito em
CC4.
Os indutores referidos no parágrafo anterior são elementos ideais; na prática, há que
se considerar a resistividade do condutor com o qual se faz o enrolamento. Fique claro que,
a menos que se diga em contrário, os indutores referidos neste texto sãoconsiderados ideais.
A energia que está armazenada no campo magnético de um indutor é dada por:
 di 
   p.dt   u.i.dt    L .i.dt   L.i.di
 dt 

1 2
Li
2
(3.18)
Associação de indutores

Em série
A Figura 3.11a mostra três indutores L1, L2 e L3 associados em série, sendo u1, u2 e
u3 a tensão sobre cada um deles, respectivamente. Aplicando a LTK, conjugada com a
Equação 3.17, a tensão uT nos terminais da associação será:
u T  u 1  u 2  u 3  L1
di
di
di
di
 L 2  L 3  ( L1  L 2  L 3 )
dt
dt
dt
dt
Para o indutor equivalente Leq mostrado na Figura 3.11b a equação será
u T  L eq
di
dt
logo, comparando as duas últimas expressões:
Leq = L1 + L2 + L3
4
Como no caso dos capacitores, esta afirmativa é válida quando o circuito no qual está inserido o indutor
tiver atingido o chamado regime permanente (V. Seção 4.2).
20
Então, dada uma associação de n indutores em série:
n
L eq   L i
(3.19)
i 1
Figura 3.11 – Associação de indutores em série: (a) associação de 3 indutores em paralelo;
(b) indutor equivalente.

Em paralelo
Numa associação paralela de indutores, como a da Figura 3.12a, a aplicação da LCK
assegura que:
i T  i1  i 2  i 3 
 1
1
1
1
1
1 
  u.dt
u.dt 
u.dt 
u.dt   




L1
L2
L3
 L1 L 2 L 3 
Para o circuito do indutor equivalente Leq mostrado na Figura 3.12b
iT 
1
u.dt
L eq 
de onde se conclui que
1
1
1
1



L eq L1 L 2 L 3
Figura 3.12 – Associação de indutores em paralelo: (a) associação de 3 indutores em
paralelo; (b) indutor equivalente.
21
Generalizando, o indutor equivalente de uma associação série de n indutores é
n
1
1

L eq i 1 L i
(3.20)
3.5 FONTES
Fontes são elementos cuja função é alimentar os circuitos, isto é, fornecer-lhes a
energia necessária para seu funcionamento. Caracterizam-se por apresentar entre seus
terminais de saída uma tensão, muitas vezes chamada de força eletromotriz (f.e.m.), que
pode ser contínua ou alternada. Assim, as fontes podem ser classificadas em
 fontes de CC, que fornecem uma tensão constante, como as pilhas e baterias
automotivas;
 fontes de CA, em cuja saída tem-se uma tensão senoidal, como nos alternadores.
Os símbolos usados para os dois tipos de fontes são mostrados na Figura 3.13.
Figura 3.13 – Símbolos de fontes: (a) de CC fixa; (b) de CC variável; (c) de CA.
Quando uma carga é conectada à saída da fonte haverá circulação de corrente, cuja
intensidade dependerá das exigências da carga (Figura 3.14a). Uma fonte de tensão ideal é
aquela cuja tensão de saída (u) independe da corrente (i) fornecida à carga; sua
característica VA é, portanto, uma reta paralela ao eixo das abscissas, como mostra a linha
tracejada na Figura 3.14b.
Figura 3.14 – Fontes: (a) modelo de uma fonte alimentando uma carga; (b) característica
VA de fonte ideal e real.
22
Na prática, as fontes reais se comportam como ideais dentro de certo intervalo: à
medida que a carga exija correntes mais altas, a tensão nos terminais da fonte começa a
decrescer (Figura 3.14b, em linha cheia).
A tensão nominal é aquela fornecida pela fonte quando a corrente em seus terminais
é zero, ou seja, quando não há carga conectada à fonte (diz-se que os terminais da fonte
estão em aberto). Então, na característica V×A da Figura 3.14b, quando i = 0
u = En
(3.21)
onde En é a tensão nominal da fonte. Embora se esteja usando um exemplo de CC, o
raciocínio vale também para as fontes de CA.
Associação de fontes
•
Associação série
Fontes podem ser associadas em série a fim de aumentar multiplicar a tensão. Só há
sentido em tal associação se as fontes forem iguais entre si; se isto não ocorrer, há o risco
de um dos elementos drenar energia de outros.
Na associação de fontes em série deve-se observar a polaridade de cada uma delas e
ligar-se o pólo positivo de uma com o negativo da seguinte. Nesse caso, se houver n fontes
iguais, cada qual com tensão nominal En, a tensão nos terminais da associação será
uT = nEn
(3.22)
•
Associação paralelo
O requisito básico para a ligação de fontes em paralelo é que todos os elementos
tenham a mesma tensão nominal5.
Aparentemente não há vantagem neste tipo de associação, já que a tensão na saída é
igual à de qualquer dos elementos. Porém há que se lembrar que a tensão nos terminais de
saída de uma única fonte diminui, à medida que maiores correntes lhe são solicitadas;
assim, se forem ligadas n fontes em paralelo, a corrente fornecida por cada uma será
i
iT
n
(3.23)
onde iT é a corrente total solicitada pela carga que está sendo alimentada, e a tensão na
saída da associação estará mais próxima à tensão nominal das fontes.
3.6
ELEMENTOS ESPÚRIOS
Por vezes, os efeitos de resistência, indutância ou capacitância aparecem onde não
são desejados e por mais que o projetista do circuito se esforce, não consegue eliminá-los
completamente; nesses casos, os elementos são chamados espúrios.
5
No caso de associação de fontes CA (como transformadores) outros requisitos deverão ser atendidos, como
se verá na Seção 8.7.
23
É o caso de um fio condutor em uma instalação: sua resistência própria (dada pela
Equação 2.3) é perniciosa, pois desperdiça energia quando o condutor é percorrido por
corrente elétrica. O caso de uma linha de transmissão é muito mais complexo, pois além da
resistência intrínseca dos condutores, devem ser considerados os efeitos indutivos (devido à
proximidade dos fios entre si) e capacitivos (proximidade dos fios entre si e com a terra).
24
CAPÍTULO 4
CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA
4.1
INTRODUÇÃO
Em termos práticos, a utilização de corrente contínua não é tão ampla quanto à
da corrente alternada (V. Seção 5.1); porém é interessante iniciar o estudo de análise
com circuitos elétricos alimentados por CC, de vez que se elimina, neste caso, a
variação temporal das grandezas.
O trabalho com grandezas constantes elimina boa parte das complicações
matemáticas, produzindo equações mais simples de resolver e de entender. Os métodos
usados em CC poderão ser depois aplicados aos circuitos de CA com algumas
adaptações.
4.2
TRANSITÓRIO E REGIME PERMANENTE
Sempre que existirem indutores e/ou capacitores em um circuito, seu
comportamento (resposta completa) pode ser dividido em duas etapas: o transitório e o
regime permanente. Durante o transitório, as tensões e correntes no circuito se
"acomodam" até atingirem a estabilidade, quando se diz que o regime permanente foi
alcançado. Isto é válido para qualquer tipo de alimentação (CC ou CA).
A duração do transitório depende dos elementos que compõe o circuito e de seus
valores, porém na maioria das situações práticas dificilmente ultrapassa alguns poucos
segundos; já o regime permanente tem duração ilimitada, só sendo interrompido se o
circuito for alterado de alguma forma (como o acionamento de um interruptor ou a
inserção de um novo elemento no circuito).
A Figura 4.1 mostra dois exemplos de resposta completa, ressaltando os
intervalos de tempo correspondentes ao transitório e ao regime permanente. No primeiro
caso (Figura 4.1a), trata-se da tensão u de descarga de um capacitor e a resposta em
regime é igual a zero; no outro exemplo, que mostra a corrente i na partida de um motor
de indução, a resposta em regime é diferente de zero (Figura 4.1b).
(a)
(b)
Figura 4.1 – Exemplos de resposta completa: (a) decarga de um capacitor; (b) corrente
de um motor de indução.
No Capítulo 3 se dizia que indutores e capacitores comportavam-se
respectivamente como curto-circuitos e circuitos abertos, quando submetidos à CC. Isto
é verdadeiro para o regime permanente, pois enquanto durar o transitório, esses
elementos atuarão no circuito.
Neste capítulo, pressupõe-se que os circuitos CC estejam ligados a tempo
suficiente para atingir o regime permanente. Dessa forma, os indutores e capacitores não
exercerão efeito, e os únicos elementos atuantes serão os resistores e as fontes.
4.3
CIRCUITO SÉRIE
Neste tipo de circuito todos os elementos estão associados em série, de modo
que são percorridos pela mesma corrente.
Exemplo 4.1 – Uma aquecedor resistivo de 1,5kW é alimentado por um gerador CC de
220V (Figura 4.2a). A distância entre carga e fonte é 50m e a ligação é
feita através de cabos de cobre com bitola igual a 1,5mm2. Determinar:
(a) a tensão associada à carga; (b) a queda de tensão nos condutores; (c)
o rendimento do sistema.
Figura 4.2 – Exemplo 4.1: (a) elementos reais; (b) circuito equivalente.
Solução:
O circuito equivalente é mostrado na Figura 4.2b, onde o gerador é representado
por uma fonte CC com tensão E = 220V, os fios (condutores) são substituídos por suas
resistências, calculadas através da Equação 3.3
50
R f  0,0172 
 0,57 
1,5
e a carga (aquecedor) é substituída por sua potência nominal, calculada a partir da
Equação 3.6:
220 2
Rc 
 32,27 
1500
A resistência equivalente (Req) desta associação série (Equação 3.8) é
Req = 2Rf + Rc = 33,41 
A corrente é dada pela Lei de Ohm (Equação 3.1)
E
I
 6,58 A
Req
26
Então:
(a) A tensão na carga é: Uc = RcI = 212,47 V
(b) A queda de tensão em cada um dos condutores é: Uf = RfI = 3,77 V, portanto a
queda de tensão total é 2Uf = 7,54 V.
(c) Potência fornecida pelo gerador (Equação 1.7): Pg = EI = 1447,6 W
Potência consumida pela carga (Equação 3.5): Pc = RcI2 = 1397,17 W
P
O rendimento do sistema é   c  100 = 96,52%
Pg
4.4
CIRCUITO PARALELO
Neste tipo de circuito, todos os elementos estão associados em paralelo;
portanto, estão submetidos à mesma tensão.
Exemplo 4.2 – Numa rede de 220V CC estão associadas em paralelo as seguintes
cargas resistivas (Figura 4.3a):
• 1 chuveiro elétrico de 4,5 kW/220 V
• 1 aquecedor resistivo de 2,5 kW/220 V
• 12 lâmpadas incandescentes de 150 W/220 V (cada)
Dimensionar o fusível para proteção dessas cargas.
Figura 4.3 – Exemplo 4.2: (a) diagrama das ligações; (b) circuito equivalente.
Solução:
Pode-se calcular a resistência nominal de cada componente do circuito pela
Equação 3.6:
220 2
 10,76 
• Chuveiro: R c 
4500
220 2
 19,36 
• Aquecedor: R a 
2500
220 2
 322,67 
• Lâmpada (individual): R i 
150
Como são 12 lâmpadas em paralelo, a resistência equivalente será (Equação
3.9):
27
1
R i  26,89 
12
O cálculo individual das correntes é feito pela Lei de Ohm (Equação 3.1):
220
• Chuveiro: I c 
 20,45 A
10,76
220
• Aquecedor: I a 
 11,36 A
19,36
220
• Lâmpadas (conjunto): I l 
 8,18 A
26,89
e a corrente total é: IT = Ic + Ia + Il = 40 A.
Então a corrente nominal do fusível é 40 A.
Rl 
4.5
CIRCUITOS MISTOS
Estão incluídos nesta classificação aqueles circuitos que possuem alguns
elementos associados em série e/ou em paralelo. A análise deste tipo de circuitos requer
um processo paciente de associações série/paralelo.
Exemplo 4.3 – A Figura 4.4a mostra a alimentação de duas cargas resistivas por uma
fonte de 150 V CC. Sabendo que os cabos que fazem as conexões são de
cobre, com bitola igual a 10 mm2, determinar a potência consumida por
cada uma das cargas.
Figura 4.4 – Exemplo 4.3.
Solução:
Cálculo da resistência dos condutores:
28
•
Trecho fonte-carga 1: são 2 condutores, equivalendo a 2 resistências em série
50
Equação 3.3  R a  2  0,0168 
 0,17 
10
• Trecho carga 1 - carga 2: mesma situação do trecho anterior
100
Equação 3.3  R b  2  0,0168 
 0,34 
10
Cálculo da resistência das cargas resistivas
150 2
• Carga 1: Equação 3.6  R 1 
 4,5 
5000
150 2
• Carga 12: Equação 3.6  R 1 
 3,34 
7500
O circuito equivalente é mostrado na Figura 4.4b, no qual as resistências R b e Rx
estão associadas em série, resultando, conforme a Equação 3.8:
Rx = Rb + Rx = 3,34
Agora, conforme se vê no circuito da Figura 4.4c, os resistores Rx e R1 resultam
associados em paralelo, de onde se tem, de acordo com a Equação 3.9:
1
1
1


 R y  1,92 
R y R x R1
Resulta então que Ry e Ra ficam em série, conforme mostra a Figura 4.4d,
obtendo-se um resistor equivalente
Req = Ra + Ry = 2,09 
No circuito final da Figura 4.4e obtém-se, pela aplicação da Lei de Ohm
(Equação 3.1):
150
I
 71,87 A
R eq
Levando este valor para a Figura 4.4d, pela mesma Lei de Ohm:
U BD  R y I  137,78 V
A potência na carga 1 pode ser calculada através da Equação 3.6
U2
P1  BD  4,22 kW
R1
Entrando com o valor de UBD no circuito da Figura 4.4c se determina pela Lei de
Ohm
U
I 2  BD  41,25 A
Rx
e pode-se calcular a potência dissipada pela carga 2 através da Equação 3.5
P2  R 2 I 22  5,11 kW
Observe-se que a potência consumida por cada uma das cargas é menor que a
respectiva tensão nominal. Isso se deve à queda de tensão ao longo dos condutores que
ligam a fonte às cargas, devida à resistividade destes condutores.
29
30