II Encontro Nacional de produtores e usuários de informações sociais, econômicas e territoriais Reinaldo Castro Souza, IEPUC, PUC-Rio Co-autores: Sheila C Zani & Eduardo A B da Silva Rio de Janeiro, 21 de Agosto de 2006 OUTLINE 1) PRELIMINARES 2) ALGORITIMO BASE DO X-11 3) FILTRO DE HENDERSON 4) FILTRO PROPOSTO 5) COMPARAÇÃO FHxFP & CONCLUSÕES 1 Princípios Fundamentais Principais relações entre a série original e seus componentes Aditiva: Yt St Tt It Componentes independentes Multiplicativa: Yt St Tt I t Componentes dependentes 1 Métodos automáticos recomendados Família X11 – USA/Canadá TRAMO-SEATS – Banco da Espanha Família X11 1 Três programas integram a família X11 X11 X11-ARIMA X12-ARIMA Criado nos anos 60/EUA Anos 80/Canadá Segunda metade dos anos 90/EUA 1 Família X11 Os três programas que integram a família X11 utilizam interativamente Médias Móveis (Ferramenta básica do modelo) • para estimar a TENDÊNCIA e a SAZONALIDADE. Esta ferramenta não implica a utilização a priori de conceitos ou de modelos sofisticados! 1 X12 Reg_ARIMA. • X12-ARIMA Baseado no mesmo princípio, mas possui um módulo chamado de RegARIMA. Yt ' X t Vetor de Vetor de variáveis parâmetros da regressão Zt Modelo ARIMA 1 X12 Reg_ARIMA. 2 Algoritmo de base Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel. Tt' M 2 X 12 Yt Estimação da componente sazonal-irregular. S 't I 't Yt Tt' Estimação da componente sazonal com uma média móvel (3X3) sobre cada mês. ~ S 't M 3 X 3 St I t ' S t' S 't M 2 X 12 S 't Estimação da série corrigida de variações sazonais. ~ At' Yt St' 2 Algoritmo de base Estimação da tendência-ciclo com uma média móvel de Henderson de 13 termos. T '' H13 A' t Estimação da componente sazonal-irregular. t St I t '' Yt Tt'' Estimação da componente sazonal com uma média móvel 3X5 ~ sobre cada mês. '' '' S '' S '' M '' S 2 X 12 t S I t t S M t 3X 5 t t Estimação da série corrigida de variações sazonais. ~ A't' Yt St'' 2 Algoritmo de base Uma das dificuldades deste algoritmo é selecionar as médias móveis utilizadas nas etapas 1 e 3. O método X11 executa este algoritmo simples, utilizando médias móveis cuidadosamente escolhidas e refinando, pouco a pouco, as estimação das componentes através de iterações deste algoritmo. Basicamente, o algoritmo X11, corresponde a um duplo uso consecutivo do algoritmo apresentado trocando cada vez as médias móveis utilizadas. Filtro de Henderson 3 Chama-se de média móvel de coeficientes k o operador designado por: M(Xt ) M Xt f k p k X t k O valor no instante t da série bruta é substituído por uma média ponderada dos p valores passados da série, o valor atual e os f valores futuros da série. A ordem desta média móvel é p+f+1. Quando p=f , se utilizam tantos valores passados como futuros e diz-se que a média móvel é centrada. Além disto, quando para todo k, k k diz-se que a média móvel é simétrica. Filtro de Henderson 3 Se diz então que as médias móveis são filtros lineares, filtros que permitem eliminar ou atenuar as oscilações associadas a algumas freqüências. O problema consiste em: Determinar os pesos destas médias móveis. Resolver o problema da perda de pontos no início e no fim da série ocasionada pelo uso da média móvel. Filtro de Henderson 3 Para que um média móvel conserve um polinômio de grau d é necessário que seus coeficientes satisfaçam a: f k p f k p k 1 k j k 0 j 1, ,d Neste contexto, é óbvio que as condições de ordem ímpar são sempre satisfeitas se os filtros forem simétricos. Em conseqüência, se uma média móvel conservar uma tendência polinomial de grau 2p, ela conservará, também, uma tendência polinomial de grau 2p+1. 3 Filtro de Henderson Médias Móveis de Henderson 2ª estimação da tendência Empregada na série já corrigida das variações sazonais. A idéia de Henderson foi a de construir filtros simétricos que conservassem a tendência cúbica. Para isto, basta que o filtro conserve a tendência quadrática. Há vários pesos que satisfazem isto. Filtro de Henderson 3 Como: Os filtros simétricos que conservam a tendência cúbica devem satisfazer as condições: i) Pesos simétricos: ii) Tendência Cúbica e 3A idéia de Henderson ... Filtro de Henderson Há dois modos equivalentes de caracterizar os filtros de Henderson: i) simétricos, ii) preservando tendências cúbicas e iii) com mínima variância da diferença terceira da série depois de aplicada a média móvel; ou, o que é equivalente: i) e ii) como descrito acima e, iii') com mínima soma dos quadrados da terceira diferença dos coeficientes da média móvel. Filtro de Henderson 3 Esses dois critérios são equivalentes. Logo, precisa-se: minimizar sujeito às restrições: e com , Filtro de Henderson 3 Os coeficientes que minimizarão a variância da terceira diferença de Zt são aqueles que minimizam a soma dos quadrados da terceira diferença dos próprios coeficientes. k 2 ( p 1)2 k 2 p 2 k 2 ( p 1)2 16 3 p 2 11k 2 k 315 8 p( p 2 1)(4 p 2 1)(4 p 2 9)(4 p 2 25) Sendo: p m 2 C k 23 -11 -0,004278258 -10 -0,010918114 -9 -0,015686946 -8 -0,014527476 -7 -0,004947898 -6 0,013430010 I -5 0,038932891 -0,027863777 -4 0,068303317 0,000000000 -0,040723982 C -3 0,097395471 0,065491784 -0,009872480 -0,058741259 -2 0,121948951 0,147356513 0,118469766 -1 0,138317938 0,214336747 0,266556972 0,293706294 0,293706294 0 0,144060228 0,240057156 0,331139449 1 0,138317938 0,214336747 0,266556972 0,293706294 0,293706294 2 0,121948951 0,147356513 0,118469766 3 0,097395471 0,065491784 -0,009872480 -0,058741259 N 4 0,068303317 0,000000000 -0,040723982 5 0,038932891 -0,027863777 T 6 0,013430010 7 -0,004947898 8 -0,014527476 9 -0,015686946 10 -0,010918114 11 -0,004278258 O E F I E E S 13 9 7 5 -0,019349845 0,058741259 -0,073426573 0,412587413 0,559440559 0,058741259 -0,073426573 -0,019349845 Filtro de Henderson 3 Fator de redução da variância: 3 A escolha do tamanho dos filtros de Henderson no X11 : A escolha do tamanho dessa média móvel é baseada no grau de irregularidade da série a ser amortecida. No caso da série mensal, usa-se uma média móvel de Henderson de 9, 13 ou 23 termos. A escolha automática depende da razão 1 n Tt T 1 n 1 t 2 Tt 1 Se I T 1 Escolhe-se I I T . 1 n It 1 n 1 t 2 I t 1 uma média móvel de Henderson de 9 termos; se 1 I T 3,49 , escolhe-se uma média móvel de Henderson de 13 termos; Nos demais casos; escolhe-se uma média móvel de Henderson de 23 termos. 3 Filtro de Henderson Médias móveis assimétricas: É o calcanhar de Aquiles do método. Problema parcialmente resolvido quando estendemos a série (modelos ARIMA). A idéia de Musgrave... 3 i) Minimizar é Problemas : m de minimizar 2 k k m ii) Serve para no máximo t=3 iii) Os filtros assimétricos associados aos filtros simétricos de Henderson foram construídos em um contexto completamente diferente da concepção dos filtros de Henderson. iv) Antes de utilizar o filtro de Henderson a série passa necessariamente por duas filtragens: M2x12 e M3x3, por exemplo. 4 Filtro Proposto Um filtro de comprimento N, p n N p 1, que conserve uma tendência de ordem t deve ser tal que: N p1 k n k 0, 1, , t f (n) k (1) n p sendo: 1, k 0 0, k 0 k Definindo a transformada Z de f(n) como: N p1 F ( z ) f ( n) z n f ( n) z n n n p 4 Filtro Proposto As condições da equação (1) são equivalentes a: F 1 1 kF z k 0 k 1, , t. z 1 Uma função F (z ) que satisfaz as equações acima é: F ( z) 1 1 z 1 t1 G( z ) 4 Filtro Proposto N p1 2 min f ( n) f ( n ),n p ,, N p1 n p N p 1 sujeito a n k f ( n) ( k ), ou k 0, 1, , t n p 2 jw min F (e ) dw g ( n ),n p,, L p1 dado que F z 1 1 z 1 t 1 G z 4 Filtro Proposto Definindo-se: F z 1 1 z 1 t 1 G z G z z p F z 1 1 z z 1 t 1 z ( p1) z ( L p1) g p g p 1 g L p 1 g p z ( p1) 1 g A b z ( L p1) g 4 Filtro Proposto Particularizando para o caso em que o filtro deve preservar a tendência cúbica, isto é, t 3, temos que: Akl p,3 2 70 l k 56 l k 1 28 l k 2 8 l k 3 l k 4 bkl p,3 2 6 k 2 p 4 k 2 p 1 k 2 p 2 4 Filtro Proposto 70 2 56 2 28 2 8 2 A 2 0 0 0 0 0 0 2 4 2 b 6 2 4 2 2 0 0 56 2 28 2 8 2 2 0 0 0 70 2 56 2 28 2 8 2 2 0 0 56 2 70 2 56 2 28 2 8 2 2 0 28 2 56 2 70 2 56 2 28 2 8 2 2 8 2 2 28 2 8 2 56 2 28 2 70 2 56 2 56 2 70 2 28 2 56 2 8 2 28 2 0 2 8 2 28 2 56 2 70 2 56 2 0 0 2 8 2 28 2 56 2 70 2 0 0 0 2 8 2 28 2 56 2 0,077 0,308 0,706 1 , 175 g 1,469 1,175 0,706 0,308 0,077 - 0,0769 0,0000 0,0629 0,1119 0,1469 0,1678 Z 0,1748 0,1678 0,1469 0,1119 0,0629 0,000 0 - 0,0769 0 0 0 2 8 2 28 2 56 2 70 2 0 T=3; N=13 C O E F I C I E N T E S 5 Comparação FHxFP Simulação • 200 observações • Série com tendência cúbica • Somada a uma componente aleatória gerada de uma normal com média 0 e desvio padrão 1. • Essa série tem as condições ideais para a utilização dos filtros, pois nenhuma componente sazonal está embutida na sua construção. Simulação Simulação • Aplicaram-se os dois filtros, o proposto e o de Henderson, de tamanho 13 • Espera-se que, quando aplicados os filtros, as séries resultantes sejam o mais próximo possível da série limpa do ruído aleatório. • Para testar o poder dos filtros, subtraíram-se da série simulada com ruído as séries filtradas pelos dois processos. Essas séries deveriam estar muito próximas do ruído gerado (com distribuição Normal (0,1)). Simulação Simulação 5 Conclusões (i) O ajuste sazonal nos países são realizados, em sua maioria, pelos produtos da família X12 e TRAMO-SEATS (ii) Método X12 está também disponível em alguns softwares comerciais de previsão, por exemplo, no FPW-XE (um dos mais difundidos e usados no mundo) (iii) O ajuste sazonal na família X12 para a tendência e a sazonalidade é realizada por usos exaustivos de MM, atuando como suavizadores 5 Conclusões (iv) Filtro de Média Móvel de Henderson usado na extração final da tendência tem seus pesos obtidos pela minimização de uma função que não é a variância!!! (v) Filtro Proposto, cujos coeficientes são obtidos pela minimização da variância, é mais geral, pois não requer simetria e preservam a tendência de qualquer ordem. Resultados ligeiramente superiores ao FH!! OBRIGADO [email protected]
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