Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Fazer Escola em Portugal:
O caso das normas matriciais
Tese de Doutoramento em Didática de Ciências e Tecnologia
Catarina Isabel Ramires Cosme
Orientador: Professora Doutora Cecília Costa
Coorientador: Professor Doutor José Vitória
Vila Real, fevereiro de 2015
Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Fazer Escola em Portugal:
O caso das normas matriciais
Tese de Doutoramento em Didática de Ciências e Tecnologia
Catarina Isabel Ramires Cosme
Orientador: Professora Doutora Cecília Costa
Coorientador: Professor Doutor José Vitória
Composição do Júri:
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Vila Real, fevereiro de 2015
Dedico esta tese à minha filha, Maria Rafael
e aos meus pais, Beto e Fernanda.
Agradecimentos
Agradecimentos
Um trabalho desta natureza não poderia ser concretizado sem a colaboração e apoio de várias
pessoas que, em distintas fases e momentos, me apoiaram a ultrapassar dificuldades e se
mostraram determinantes para a sua consecução.
O meu primeiro agradecimento dirige-se aos meus orientadores à Professora Doutora Cecília
Costa e ao Professor Doutor José Vitória. Mais do que orientadores, uns Amigos. Dois
exemplos raros de verdadeira humildade científica que apenas os Grandes Mestres são
capazes de demonstrar. Para além disso, dois exemplos identicamente raros de determinação,
de equilíbrio, de coerência, e sobretudo de bem educar para os valores da sociedade. Sinto um
enorme orgulho em ter sido discípula de ambos.
Em segundo lugar quero agradecer à minha filha, Maria Rafael, pela compreensão da minha
ausência ao longo destes anos. “Mamã ainda falta muito para estudares? Vem brincar um
bocadinho comigo!!”
Por último e não menos importante, endereço um agradecimento profundo aos meus pais que
sem eles nada deste projeto seria possível. À minha mãe pelas milhares de vezes que disse
“Kathy vai estudar!!” e ao meu pai pelo apoio inesgotável em tudo.
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Resumo
Resumo
A finalidade deste estudo é analisar se existe/existiu uma Escola de Normas Matriciais em
Portugal e, em caso afirmativo, caracterizá-la. Para tal começou-se por fazer um estudo de
investigação sobre outras Escolas em Matemática já existentes, no sentido de identificar quais
os indicadores que permitem afirmar a existência de uma linha de investigação numa
determinada área da Matemática, para os aplicar ao nosso caso.
O desenho metodológico utilizado foi o estudo de caso e a recolha de dados foi feita através
de entrevistas e de análise documental.
Para encontrarmos os indicadores, analisamos cinco estudos de caso de matemáticos
portugueses considerados pela comunidade científica como tendo “feito escola” numa
determinada área da Matemática. Após a análise encontrámos os indicadores comuns:
formação no estrangeiro, criação de espaços de formação avançada, criação/dinamização de
unidades de investigação, orientação de mestrados e doutoramentos, introdução da área de
investigação no ensino e divulgação da sua investigação.
Posteriormente procurámos saber como foi o percurso do tema normas com valores
matriciais. Como foi introduzido em Portugal e como se desenvolveu e propagou.
Verificámos que um jovem bolseiro português foi estudar para o estrangeiro com vista ao
doutoramento, estudou, adquiriu conhecimentos novos, conheceu outros investigadores e
regressou. No seu país, deu a conhecer os conceitos de normas com valores matriciais nas
disciplinas que lecionou, criou uma disciplina em que o tema era contemplado, orientou teses
de mestrado em que os conceitos de normas com valores matriciais estavam envolvidos e deu
a conhecer a sua investigação publicando os seus trabalhos e participando em conferências.
Desta trajetória nascem descendentes que ajudam a divulgar o tema. Comparando os dados
recolhidos com os indicadores encontrados relativos a outras Escolas, defendemos que se
“criou escola” em normas com valores matriciais e que o “pai” desta linha de investigação foi
José Vitória. Para além disso dedicámos um capítulo às normas escalares de vetores e de
matrizes e normas vetoriais de vetores e de matrizes e abordámo-lo de uma forma didática, de
modo a poder constituir-se como uma primeira leitura nesta área.
Palavras-chaves: “fazer escola”; normas matriciais; boas práticas de orientação; ensinar a
investigar.
iii
iv
Abstract
Abstract
The purpose of this study is to examine whether there is / was a research school of norms with
Matrix Values in Portugal and, if so, to characterize it. In order to do so we began by doing a
research study on other existing research schools in mathematics to identify indicators
allowing us to affirm the existence of a line of research in a particular area of mathematics, to
apply to our case.
The study design used was a case study and the collection of data was done through
interviews and documentary analysis.
In order to find the indicators we analyzed five case studies of Portuguese mathematicians
considered by the scientific community as having created and develop a mathematical
research school in a particular area of mathematics. After the analysis we found the common
indicators: training abroad, establishment of spaces for advanced training, creation /
promotion of research units, orientation of masters and doctoral programs, introduction of
research in the field of education and dissemination of their research.
Subsequently we sought to find out how the course of the norms with matrix values had been.
How it was introduced in Portugal and how it developed and spread. We discovered that a
young fellow Portuguese scholarship student was studying abroad in order to obtain a PhD.
He studied, acquired new knowledge, and met other researchers and then returned to Portugal.
Already in his home country, he revealed the concepts of norms with matrix values in the
subjects he taught, he created a subject in which the topic was covered, he mentored master's
theses in which the concepts of norms with matrix values were involved and he shared their
research publishing his work and participating in conferences. This experience gave birth to
descendants who helped publicize the topic. Comparing the data collected with the indicators
found concerning other research schools, we can argue that a research school was created in
norms standards with matrix values and that the "father" of this line of research was José
Vitória. In addition we have devoted a chapter to the scalar norms of vectors and matrices and
vector norms of vectors and matrices and address it in a didactic way, in order to establish
itself as a first reading in this field.
Keywords: create a research school; standards with matrix values; good practice for
guidance; teach how to investigate.
v
vi
Índice
Índice
Agradecimentos………………………………………………………………………...
Resumo…………………………………………………………………………………
Abstract………………………………………………………………………………..
Índice…………………………………………………………………………………..
Índice de figuras……………………………………………………………………….
Índice de quadros……………………………………………………………………...
Lista de símbolos………………………………………………………………………
Introdução
Enquadramento do estudo…………………………………………………..............
Problema, objetivos e questões de investigação………………………….................
Organização do estudo……………………………………………………………...
Capítulo I – Ensinar a investigar
Um olhar sobre a investigação matemática em Portugal no séc. XX…....................
Implicações do Processo de Bolonha na investigação matemática em Portugal no
séc. XXI……………………………………………………......................................
Como ensinar a investigar?…………………………………………………………
Capítulo II – Metodologia
Opção metodológica………………………………………………………………...
Estudo de caso………………………………………………………………………
Recolha dos dados: Métodos e procedimentos……………………………………...
Entrevistas……………………………………………………………………….
Análise documental……………………………………………………………...
Escolha dos participantes/entrevistados…………………………………………….
Capítulo III – “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Introdução…………………………………………………………………………..
Um exemplo da Antiguidade – A Escola Pitagórica……………………….............
Cinco investigadores portugueses que “fizeram escola”……………………….......
Almeida Costa e a “Escola de Álgebra Moderna” em Portugal...........................
José Sebastião e Silva e a “Escola de Análise Funcional” em Portugal………..
Tiago de Oliveira e a “Escola de Estatística” em Portugal..................................
Graciano de Oliveira e a “Escola de Álgebra Linear” em Portugal………….....
João Pedro da Ponte e a “Escola em Educação Matemática” em Portugal……..
Indicadores para o estudo: análise e discussão…………………………………….
Síntese do capítulo…………………………………………………………............
Capítulo IV – Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Introdução………………………………………………………………………….
Influências externas…………………………………………………………………
Repercussões internas………………………………………………………………
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71
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Índice
Disciplina lecionada na Universidade de Lourenço Marques…………………...
Curso de Mestrado de Álgebra Linear e Aplicações da Universidade de
Coimbra no ano de 1982…………………………………………………………
Discípulos – seguidores do tema……………………………………………............
Desenvolvimentos posteriores.……………………………………………………...
Síntese do capítulo…………………………………………………………...........
Capítulo V – Leitura didática das normas matriciais
Introdução…………………………………………………………………………
Normas escalares…………………………………………………………………..
Normas vetoriais de vetores e de matrizes…………………………………………
Normas vetoriais sobre 𝕂n……………………………………………………..
Normas vetoriais de matrizes (quadradas)…………………………………….
Aplicação de normas vetoriais…………………………………………………….
Aplicação de normas vetoriais à localização de raízes de polinómios…............
Outras aplicações……………………………………………………………….
Sinopse de teses na área……………………………………………………………
Síntese do capítulo…………………………………………………………............
Capítulo VI – A escola de normas matriciais
Introdução…………………………………………………………………………
Existe/existiu uma escola de normas matriciais em Portugal?................................
Constrangimentos à criação e desenvolvimento desta escola.…………….............
Características dos espaços de formação (avançada) e de orientação……………..
Conclusões do estudo
Síntese do estudo……………………………………………………………………
Conclusões…………………………………………………………………..............
Limitações do estudo e sugestões de trabalho futuro……………………………….
Bibliografia
Publicações……………………………………………………………......................
Webreferências………………………………………………………………………
Referências legislativas……………………………………………………………...
Fontes primárias……………………………………………………………………..
Anexos
Guião da entrevista………………………………………………………………..........
Portaria n.º 187/82 de 13 de fevereiro …………………………………………………
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Índice de figuras
Índice de figuras
Pág.
Capítulo III
Figura 1
Pentagrama – símbolo da Escola Pitagórica
47
Figura 2
Fotografia de Almeida Costa
(Fonte: http://memoria.ul.pt/index.php/Ficheiro:CostaAntonio_Almeida.jpeg)
49
Figura 3
Fotografia de José Sebastião e Silva
(Fonte: http://www.fc.ul.pt/pt/sebasti%C3%A3o-e-silva)
53
Figura 4
Fotografia de Tiago de Oliveira
(Fonte: http://cvc.institutocamoes.pt/ciencia/tiagodeoliveira_estudante.jpg)
56
Figura 5
Fotografia de Graciano de Oliveira
(Fonte: http://gazeta.spm.pt/ficheiros/artigos_capas/408.jpg)
59
Figura 6
Fotografia de João Pedro da Ponte
(Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/estrutura/copias%20de%20
segura %C3%A7a/Rec_hum/Corpo_doc/prof_c_a.htm)
62
Figura 7
Declaração de Nöel Gastinel datada de 1/1/1970
(Fonte: espólio de José Vitória)
74
Figura 8
Carta de Frank Canavarro enviada a José Vitória datada de
6/2/1970
(Fonte: espólio de José Vitória)
77
Figura 9
Carta de Ehret enviada a José Vitória datada de 29/1/1970
(Fonte: espólio de José Vitória)
78
Figura 10
Carta de Deutsch enviada a José Vitória datada de 8/3/1970
(Fonte: espólio de José Vitória)
79
Figura 11
Rascunho da carta de José Vitória enviada a Deutsch
(Fonte: espólio de José Vitória)
80
Capítulo IV
ix
Índice de figuras
Figura 12
Carta de Deutsch enviada a José Vitória datada de 15/5/1979
(Fonte: espólio de José Vitória)
81
Figura 13
Rascunho da carta de José Vitória enviada a F.Robert datada de
abril de 1970
(Fonte: espólio de José Vitória)
83
Figura 14
Carta de F. Robert enviada a José Vitória datada de 15/4/1970
(Fonte: espólio de José Vitória)
84
Figura 15
Carta de Barker enviada a José Vitória datada de 22/12/1970
(Fonte: espólio de José Vitória)
85
Figura 16
Bibliografia da minitese para o doutoramento em Matemática
de José Vitória
(Fonte: minitese de José Vitória)
86
Figura 17
Disciplinas lecionadas na Universidade de Lourenço Marques
por José Vitória
(Fonte: curriculum Vitae de José Vitória [CV3])
87
Figura 18
Capa dos apontamentos da disciplina de Análise Numérica I
(Fonte: espólio de José Vitória [AAN])
88
Figura 19
Excerto dos apontamentos da disciplina de Análise Numérica I
(Fonte: espólio de José Vitória [AAN])
88
Figura 20
Panfleto publicitário do Curso de Mestrado em Matemática
(Fonte: espólio de Teresa Pedroso de Lima)
91
Figura 21
Sumário da primeira aula de Normas Matriciais
(Fonte: espólio da Universidade de Coimbra)
93
Figura 22
Folha “de vitrine” n.º 1
(Fonte: espólio de José Vitória)
95
Figura 23
Folha “de vitrine” n.º 2
(Fonte: espólio de José Vitória)
96
Figura 24
Excerto da folha “de vitrine” n.º 2 com as regras da avaliação
global
(Fonte: espólio de José Vitória)
97
Figura 25
Árvore genealógica dos investigadores do tema em Portugal
111
x
Índice de figuras
Capítulo V
Figura 26
Esquema sobre normas escalares e normas vetoriais
(Fonte: Costa, C. (2000))
115
Figura 27
Método prático para construir normas vetoriais regulares de
matrizes
(Fonte: Costa, C. (2000))
132
xi
xii
Índice de quadros
Índice de quadros
Pág.
Capítulo I
Quadro 1
Relações entre as metáforas de aquisição e de participação
(Fonte: (Matos, 2007))
21
Quadro 2
Áreas científicas e as respetivas unidades de crédito
(Fonte: espólio de Teresa Pedroso de Lima)
92
Quadro 3
Disciplinas e as respetivas unidades de crédito
(Fonte: espólio de Teresa Pedroso de Lima)
92
Quadro 4
Quadro resumo Investigador/Título da tese/Mestrado ou 112
Doutoramento (Lourenço Marques)
Quadro 5
Quadro resumo Investigador/Título da tese/Mestrado ou 112
Doutoramento (Coimbra)
Capítulo IV
Capítulo V
Quadro 6
Ligação entre as normas 1, 2,  e as normas subordinadas 125
𝑆1 1 (A), 𝑆2 2 (A), Sφ∞φ∞ (A)
xiii
xiv
Índice de símbolos
Lista de símbolos
𝕂 - Corpo ℝ ou ℂ
ℝ - Corpo dos números reais
ℂ - Corpo dos números complexos
Mn(𝕂) - Espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n com entradas em 𝕂
ρ (A) - Raio espetral de uma matriz A
 - Valor próprio de uma matriz A
S(0,1) - Esfera unitária
ℝ𝑘+ - Espaço vetorial das matrizes com uma coluna e k linhas com entradas reais não
negativas
 - Soma direta
xv
xvi
Introdução
Introdução
Esta secção é dedicada à apresentação da investigação que desenvolvemos. Damos a conhecer
o enquadramento do nosso estudo na atualidade, mostrando a importância do mesmo.
Posteriormente levantamos as questões de investigação que vão ser as linhas orientadoras do
nosso trabalho e terminamos com a organização do estudo.
1. Enquadramento do estudo
O nosso estudo enquadra-se na área da didática da Álgebra Linear em Portugal. Porquê o
interesse num estudo nesta área?
A importância da Álgebra Linear e das pesquisas sobre a sua didática centra-se no facto de,
atualmente, esta encontrar-se implícita em grande parte dos domínios da Matemática. Deste
modo, torna-se indispensável a todos que desejem trabalhar com as ciências que têm por base
1
Introdução
a Matemática, tanto como objeto do seu estudo como instrumento para facilitar outros
estudos, sejam conhecedores dos seus principais conceitos. Por isso, introduziu-se o ensino da
Álgebra Linear em todos os cursos superiores das ditas Ciências Exatas, tais como
Engenharias, Física, Química, entre outras. Segundo Dorier (1998a)
é facto que a Álgebra Linear constitui uma parte importante no conteúdo matemático que
é ensinado no início da universidade, sendo vista como uma disciplina fundamental por
quase todos os matemáticos e por muitos cientistas que a utilizam como ferramenta. (p.
193)
Acrescentamos, ainda, que os trabalhos, estudos e pesquisas relacionados com os processos
de ensino e de aprendizagem da Álgebra Linear têm vindo a ganhar um papel de destaque no
panorama da Educação Matemática, estimulando o interesse dos investigadores Dorier. J.
(1998a; 1998b), Robert, A. (1990), Dias, M. (1993; 1998), Dorier, J. et al. (1994a; 1994b),
Sierpinska, Dreyfus e Hillel (1999) e Coimbra. J. (2008). No entanto, em Portugal, existem
poucos estudos sobre didática da Álgebra Linear. Os que existem têm procurado descrever o
processo de aprendizagem, cujo objetivo tem passado por analisar os fenómenos didáticos
intrínsecos a este. Para tal, optam por identificar, descrever e classificar as dificuldades que os
estudantes revelam na construção do seu conhecimento.
Tanto quanto sabemos, não existem em Portugal muitos estudos focados para a investigação
com o objetivo de fazer entender como se desenvolve o “aprender a fazer investigação”,
conhecemos (Tadeu, 2011). Tal consideramos de grande importância, nomeadamente com a
implementação do Processo de Bolonha. As instituições devem procurar aumentar a sua
cooperação ao nível dos estudos de doutoramento e de formação de jovens investigadores
[1].
Deve existir uma ligação entre as esferas ensino e investigação, e é precisamente aí que se
encontra a possibilidade da produtividade científica do docente. O perfil professorinvestigador ou investigador-professor é o que corporiza esta produtividade, cada vez mais
pertinente numa sociedade em constante mutação, complementando-se estas duas funções
auxiliando mudanças conceptuais sobre a atividade docente (Santos, 2004).
A investigação deve ser considerada pelo professor como um princípio educativo associado à
criatividade. O constante questionamento visa dotar o aluno de autonomia intelectual. A
2
Introdução
investigação é uma condição imprescindível da prática docente, a consequência resultante é
que investigar, tanto para o docente quanto para o discente, se torna um princípio educativo
referencial, dado que o professor não educa somente por palavras, mas também pela postura
evidenciada nas suas atitudes e no combinado das suas ações. Esta harmonia tornará o aluno
dotado de espírito crítico, criativo e com destreza suficiente para conquistar a sua autonomia
intelectual (Santos, 2004).
Estamos centrados no ensino superior, essencialmente em cursos de pós-graduação e também
no ensino não formal, ou seja, o ensino ligado à supervisão/orientação de investigação
científica.
Quando um investigador cria uma linha de investigação e vai aglutinando em seu redor vários
investigadores a trabalhar e a produzir nessa área, estamos perante, na nossa opinião, o que
denominamos vulgarmente por “criação de uma escola” ou “fazer escola” nesse tópico
científico. Neste estudo exploramos esta ideia de “criação de escola” em vários sentidos, com
o objetivo principal de dar rigor científico a essa expressão e de descrever como tal acontece.
De acordo com o espírito do Processo de Bolonha, o estímulo à produção de conhecimento
científico deve começar nos primeiros anos do ensino superior e ser intensificado nos cursos
de pós-graduação. Deste modo, investir na formação de grupos de pesquisa envolvendo vários
atores, professores e estudantes, é um primeiro passo para a “criação de uma escola” num
determinado tema científico.
A investigação científica deve ser encaminhada para quebrar obstáculos e patentear soluções
para a sociedade, restituindo à comunidade o investimento e esforços despendidos dentro das
universidades para conceber o conhecimento científico.
Das diferentes abordagens a que se poderia recorrer para dar contributos para a compreensão
deste problema, optamos por uma abordagem de análise histórica-didática.
Desenvolveremos, nesta investigação, um estudo de caso que descrevemos como: “criação de
escola” em Normas Matriciais em Portugal.
3
Introdução
2. Problema, objetivos e questões de investigação
Pretendemos, com este estudo, dar um contributo para perceber que aspetos são relevantes
para promover a investigação científica na área da Matemática. Focámo-nos no conceito de
norma matricial. Dito de outro modo, vamos procurar quais são os indicadores que
proporcionam e fomentam a investigação, levando à implementação de uma linha de pesquisa
numa área. Apoiamo-nos na história da Matemática para identificar indicadores partindo de
casos considerados paradigmáticos. Testamos esses indicadores no caso da “criação de
escola” em Normas Matriciais em Portugal, sobre a qual não existem estudos feitos.
Como objetivos mais específicos, ligados ao facto de nos encontrarmos a estudar o caso das
normas matriciais, apresentamos a introdução e evolução deste conceito em Portugal. Deste
modo, contribuindo para o conhecimento da didática da Álgebra Linear, no último quartel do
século XX, no que se refere à formação de investigadores. Pretendemos, também, compilar,
de forma sintética, os estudos desenvolvidos nesta área em Portugal. Este resumo poderá
facilitar o trabalho de pesquisa a outros investigadores que queiram enveredar por esta área.
No seguimento do exposto, respondemos a questões de investigação que fomos
amadurecendo ao longo da nossa pesquisa, questões essas que se convertem em objetivos do
nosso trabalho. Deste modo, as questões de investigação a que pretendemos dar resposta neste
estudo são as seguintes:
· Quais são os indicadores que nos permitem afirmar a criação e o desenvolvimento de
uma linha de investigação numa determinada área de estudo da Matemática em
Portugal?
· Tendo em conta os indicadores encontrados pode afirmar-se que existe/existiu uma
escola de Normas Matriciais em Portugal?
· Quais os constrangimentos à criação e desenvolvimento da escola em Normas
Matriciais?
· Que características tinham os espaços de formação (avançada) e de orientação?
Como subquestões da segunda questão temos as seguintes:
4
Introdução
· Como se introduziu e propagou o conceito de norma matricial em Portugal?
· Que desenvolvimentos em termos de investigação o conceito de norma matricial
teve em Portugal?
5
Introdução
3. Organização do estudo
Na demanda dos objetivos anteriormente traçados, o produto do estudo de investigação
desenvolvido será organizado em seis capítulos. O primeiro, Ensinar a investigar, apresenta a
revisão de literatura com o intuito de contextualizarmos o estudo de investigação; o segundo,
Metodologia, descreve o método utilizado ao longo da investigação; o terceiro, “Fazer
escola” em Portugal na área da Matemática, descreve o estudo desenvolvido para encontrar
os indicadores que nos permitem afirmar que estamos perante uma linha de investigação
numa determinada área em Portugal; o quarto, Os primeiros passos das normas matriciais em
Portugal, relata como foi introduzido o conceito em Portugal e a sua divulgação; o quinto,
Leitura didática das normas matriciais, compila os conceitos gerais sobre normas matriciais e
apresenta um breve resumo das investigações produzidas nessa área; o sexto, A escola de
normas matriciais, congrega a apresentação e discussão dos resultados. Terminamos com as
Conclusões do estudo, incluindo a referência às limitações do mesmo e levantando novas
questões para futuras investigações.
Em relação a cada um dos capítulos, salientamos os principais tópicos que foram
desenvolvidos:
Capítulo I – Ensinar a investigar
Este capítulo apresenta a revisão de literatura sobre como se ensina a investigar alunos do
ensino superior. Começamos por referir qual o panorama português no século XX e, as
alterações provocadas pelo Processo de Bolonha no início do século XXI. Procuramos ainda
fazer uma recolha sobre as boas práticas de orientação e construir o perfil do bom orientador
capaz de passar o seu testemunho entre gerações, e garantir a produção de conhecimento
científico.
Capítulo II – Metodologia
Neste capítulo discute-se a orientação metodológica da investigação, de natureza qualitativa e
a opção por um desenho de estudo de caso. De acordo com estas opções, explicam-se os
procedimentos metodológicos, nomeadamente as técnicas de recolha e análise dos dados.
6
Introdução
Este capítulo apresenta quatro secções: Opção metodológica, Estudo de caso, Recolha dos
dados: Métodos e procedimentos e Escolha dos participantes/entrevistados.
Capítulo III – “Fazer escola” em Portugal na área da matemática
Este capítulo baseia-se e constrói-se principalmente a partir de referências históricas
secundárias e serve para identificar os indicadores de “criação de escola” (em Portugal). Não
pretendemos ser exaustivos e escolhemos cinco estudos de caso de matemáticos que são
considerados pela comunidade científica como tendo “feito escola” numa determinada área da
matemática em Portugal. O estudo apresentado neste capítulo constitui-se como uma
ferramenta para o estudo de caso que vamos desenvolver: “criação de escola” em normas
matriciais em Portugal. Após a análise dos cinco estudos de caso encontrámos indicadores
comuns, que pensamos contribuírem, de forma favorável, para propagar a investigação numa
determinada área.
Este capítulo está estruturado em cinco secções. Na primeira secção, Introdução,
apresentamos o capítulo de um modo breve; na segunda, Um exemplo da antiguidade – A
Escola Pitagórica, fazemos um breve resumo de como se formou esta escola. Escolhemos
esta escola uma vez que é a primeira escola que se conhece e é uma escola de referência. Na
terceira secção, Alguns investigadores portugueses que “fizeram escola”, apresentamos os
dados relativos aos cinco estudos de caso, os investigadores: Almeida Costa e a “Escola de
Álgebra Moderna”, José Sebastião e Silva e a “Escola de Análise Funcional”, Tiago de
Oliveira e a “Escola de Estatística”, Graciano de Oliveira e a “Escola de Álgebra Linear” e
João Pedro da Ponte e a “Escola em Educação Matemática”. Indicadores para o estudo:
análise e discussão é a quarta secção. Nesta apresentamos os indicadores comuns encontrados
na análise dos casos. Terminamos o capítulo com a secção cinco, Síntese do capítulo. Aqui
fazemos uma breve síntese de tudo o que já foi dito e fazemos um paralelismo entre os
indicadores encontrados e a maneira como surgiu a Escola Pitagórica. Uma síntese deste
capítulo encontra-se publicada em (Cosme & Costa, C., 2014a).
Capítulo IV - Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Neste capítulo explicamos de que forma foi introduzido, desenvolvido e propagado o conceito
de norma matricial em Portugal.
7
Introdução
Apresenta cinco secções. Na primeira, Introdução, fazemos uma breve apresentação do
capítulo; na segunda, Influências externas, falamos de que maneira é que estas influências
tiveram efeito sobre um investigador, de modo a torná-lo o primeiro português a estudar esse
tema; na terceira, Repercussões internas, apresentamos o modo como foi propagado o
conceito e desenvolvida a sua investigação. Esta apresenta-se dividida em duas subsecções: a
primeira é dedicada à disciplina de Análise Numérica I, lecionada na Universidade de
Lourenço Marques (Moçambique); a segunda ao curso de mestrado em Álgebra Linear e
Aplicações da Universidade de Coimbra. Posteriormente, na quarta secção, Discípulos –
seguidores do tema, exibimos uma breve biografia de cada um dos investigadores que
estudaram e desenvolveram este tema em Portugal. As biografias apresentadas são o resultado
de uma entrevista realizada e da análise do curriculum vitae. Na quinta secção referimos
alguns dos Desenvolvimentos posteriores que esta escola teve. Fechamos o capítulo com a
sexta secção, Síntese final, onde fazemos uma breve síntese de como apareceu e se
desenvolveu o tema em estudo. Uma síntese deste capítulo encontra-se publicada em (Cosme
& Costa, C., 2014 b).
Capítulo V – Leitura didática das normas matriciais
Este capítulo é introduzido nesta dissertação com dois objetivos principais. O primeiro, para
garantir a compreensão dos aspetos centrais da tese e complementar o exposto no capítulo
anterior com o material usado na criação e lecionação da disciplina Normas Matriciais do
curso de mestrado de Álgebra Linear e Aplicações em 1982. O segundo, para se constituir um
texto autocontido de introdução ao estudo das normas matriciais, em português, e para
compilar a investigação desenvolvida nesta área através do resumo das dissertações de
mestrado e da tese de doutoramento dos discípulos.
No sentido de o tornar mais didático e consequentemente, mais adequado ao segundo objetivo
e ao âmbito deste doutoramento, decidimos apresentar as definições e resultados principais
explicando a sua utilidade e pertinência e substituir algumas demonstrações mais técnicas por
exemplos ilustrativos.
O capítulo é constituído por cinco secções. A primeira, Introdução, apresenta uma breve nota
histórica dos conceitos e esquematiza-os mostrando a ligação entre eles; a segunda, Normas
escalares, aborda as normas escalares; a terceira, Normas vetoriais de vetores e de matrizes,
8
Introdução
debruça-se sobre o estudo de normas vetoriais de vetores e de matrizes; a quarta, Aplicação de
normas vetoriais, apresenta algumas aplicações; a quinta, Sinopse de teses na área, apresenta
um resumo das teses produzidas na área de investigação que foram alvo de estudo.
Capítulo VI – A escola de normas matriciais
Neste capítulo respondemos às segunda, terceira e quarta questões de investigação e
procedemos à discussão dos resultados obtidos à luz da revisão de literatura efetuada.
Este capítulo é constituído por três secções, correspondentes às questões de investigação em
foco. Na primeira Existe/existiu uma escola em normas matriciais em Portugal? respondemos
a esta questão aplicando os indicadores encontrados e indicados no capítulo III. A segunda
secção apresenta os Constrangimentos à criação e desenvolvimento desta escola identificados
pela análise dos testemunhos dos discípulos, e na terceira Características dos espaços de
formação (avançada) e de orientação listam-se características de ensinar a investigar
identificadas na análise do estudo de caso, focando-nos nos espaços de formação (avançada) e
de orientação.
Terminamos esta tese com a apresentação das Conclusões do estudo.
Uma síntese da mesma e, em particular destes dois últimos capítulos, encontra-se publicada
em (Cosme & Costa, C., 2015).
Este capítulo está organizado em três secções. A primeira, Síntese do estudo, apresenta um
breve resumo do que se fez ao longo da investigação; a segunda, Conclusões, responde às
questões de investigação que foram apresentadas no início do estudo; a terceira, é constituída
pelas Limitações do estudo e sugestões de trabalhos futuros.
Ao longo desta investigação recorremos a fontes de tipos diferentes e, por conseguinte,
optamos por organizar a bibliografia desta dissertação em secções, a saber:
- Publicações, as quais são referenciadas na listagem final e no corpo do texto, de acordo com
as normas APA;
- Webreferências, as quais são referenciadas na listagem final e no corpo do texto por
numeração árabe entre parêntesis retos;
9
Introdução
- Referências legislativas, as quais são referenciadas na listagem final e no corpo do texto de
modo integral;
- Fontes primárias, as quais são referenciadas na listagem final e no corpo do texto por siglas.
10
Capítulo I: Ensinar a investigar
I – Ensinar a investigar
Neste capítulo apresentamos uma revisão de literatura sobre ensinar a investigar no ensino
superior. Percorremos o séc. XX até inícios do séc. XXI, referindo episódios marcantes
relativos a ensinar a investigar em Portugal. Em seguida relatamos as reflexões e propostas de
estudos de investigação sobre como ensinar a investigar. Da pesquisa efetuada constatámos
que este nível de ensino, as investigações que resultam de uma reflexão docente tendo em
conta os princípios e práticas pedagógicas são escassas.
I.1 Um olhar sobre a investigação matemática em Portugal no séc. XX
Ensinar a investigar não é uma preocupação recente dos matemáticos portugueses. No início
do século XX, Sidónio Paes (1872-1918) na oração de sapiência de 16 de outubro de 1908
11
Capítulo I: Ensinar a investigar
(Paes, 1908) perora sobre os defeitos no ensino universitário e um deles está estreitamente
ligado a ensinar a investigar, repare-se:
Durante muito tempo ensinar1 teve o sentido de – facilitar a acquisição da
sciencia feita.(…) Ora a vida é uma lucta e é necessario marchar, progredir,
porque quem marcha, progride. (…) A erudição não póde, pois, ser o ideal. (…) Á
força de ser guiado, não se póde dar um passo só. Por isso hoje [1908] as
reclamações do mundo civilizado sobre o ensino são no sentido de educar a
mocidade principalmente a investigar. (Paes, 1908, pp. 42-43)
Esta última afirmação é muito forte e, infelizmente, muito atual, pois como veremos as
tentativas de promover o ensinar a investigar são recorrentes ao longo deste século, mas os
avanços lentos e com retrocessos frequentes.
Sidónio Paes não se referia apenas a ensinar a investigar na universidade, ele aborda o ensino
da altura desde a Escola infantil e defende, desde aí, um ensino por descoberta, contrariando a
pedagogia usada na qual avulta o trabalho de memória. Explicada a lição, o estudante terá de
a decorar para a expôr de novo (Paes, 1908, p. 44).
Há uma ideia veiculada nesta oração de sapiência que se encontra mais tarde repetida em J.
Vicente Gonçalves (1896-1985) e em Ruy Luís Gomes (1905-1984) e que é a seguinte:
Que elle [o estudante] não pense um segundo em questão alguma e passe annos
inteiros, faça o curso sem resolver um problema, sem ter feito um unico esforço
pessoal de investigação, apenas com o trabalho de decalque do que outros
pensam. (Paes, 1908, pp. 44-45).
Ou seja, a ausência de investigação original e a reprodução do trabalho de terceiros.
Sidónio Paes foca-se nos estudantes e na sua atuação, ainda que as críticas sejam dirigidas aos
professores e ao modo como ensinavam.
Os outros dois Matemáticos, em décadas posteriores, fazem críticas semelhantes, mas aos
professores universitários, defendendo que faz parte da sua função investigar.
1
Em itálico no original.
12
Capítulo I: Ensinar a investigar
Atente-se nas palavras de Vicente Gonçalves sobre a década de 10 em que foi estudante
universitário:
(…) quase por toda a parte [no estrangeiro] se viam as Universidades, assistidas
de Institutos onde o escol intelectual ajudava a refundir e dilatar a ciência que
àquelas incumbia divulgar. Raras se resignavam à subalternidade da mera
transmissão de conhecimentos vindos do passado ou de além fronteiras; em quase
todas, velhas ou moças, se sentia aquela vibração criadora que denuncia nas
nacionalidades (e nos indivíduos) a maioridade científica. (1948, p. 10)
A propósito da época em que Bento de Jesus Caraça foi estudante universitário (início da
década de 20), as palavras de Ruy Luís Gomes descrevem uma situação semelhante:
(…) as nossas Escolas Superiores estavam inteiramente informadas pelo velho e
desastrado conceito de que se pode ser um grande professor universitário sem
nunca se ter patenteado, na análise exaustiva de algum problema concreto, a
garra ou, pelo menos, o sentido de investigador. (1949, p. 4)
A respeito da década de 30, numa Secção do jornal O PRIMEIRO DE JANEIRO, intitulada
“Males do ensino superior”, assinada por Vicente Gonçalves, em 16 de abril de 1930, este
expõe algumas reflexões sobre o estado do ensino superior em Portugal, numa altura em que
se aguardava uma nova reforma para este nível de ensino e em plena ditadura militar (Costa,
C., 2007). Vicente Gonçalves concorda que o ensino superior necessita duma reforma e
destaca a insuficiência da nossa produção científica, considerando que as justificações,
comummente, dadas são fracas e enumera as que considera relevantes. Entre estas encontramse as seguintes que lembram palavras de Paes e de Gomes já referidas:
(…) o ritmo da nossa vida scientifica é o ritmo do trabalho de meia dúzia de
devotos, de desinteressados. A grande massa é scéptica, não luta. (…) a ideia de
que ás universidades incumbe sobretudo a divulgação da sciencia feita (lá fóra já
se vê…). (Gonçalves, J.V., 1930)
Estes Matemáticos não se limitavam a criticar o estado do ensino superior em Portugal,
também propunham mudanças concretas.
13
Capítulo I: Ensinar a investigar
Sidónio Paes defendia que era necessária uma mudança radical nos métodos de ensino e de
avaliação, ao recomendar:
A preocupação do professor deve ser crear o gosto do alumno pelo trabalho,
desenvolver-lhe o espírito de iniciativa, a curiosidade de descobrir, a
originalidade. Dar o abalo inicial e deixar marchar a onda, repetir a impulsão
tantas vezes quantas fôr necessário. (Paes, 1908, p. 45)
Defende ainda o método heurístico de que tão bom proveito tiram os americanos (p. 46) para
a aprendizagem de “ciência já feita”. Somos de opinião que se trata de uma postura muito
moderna para a época em Portugal. Repare-se que estas ideias são próximas das defendidas
por George Polya em 1945 (Polya, 2003), quase 40 anos depois. Refere ainda que os
exercícios devem ser variados e graduados até desenvolver no aluno a capacidade de
investigar e o gosto por vencer dificuldades.
Também o seu entendimento sobre o papel do professor e o processo de avaliação é avant-garde:
O professor trabalha com o alumno, está em contacto com elle, todo o anno,
avalia-o pelos exercicios que elle fez, pelo esforço que empregou e utilizou. O
exame torna-se assim uma inutilidade e uma impossibilidade. (…) E libertando o
alumno, para quem o professor, nesta maneira de conceber o ensino, aparece
como um companheiro de trabalho, mais experiente apenas, que aconselha e
guia, deixando-se elle proprio ás vezes conduzir também, desfazem-se os
prejuizos que nos desunem e, conhecendo-nos melhor, aprenderemos a estimarnos e a respeitar-nos mais. (Paes, 1908, p. 46)
Sidónio Paes, embora tenha sido lente e vice-reitor da Universidade de Coimbra, não
implementou estas ideias no ensino. A sua atenção foi desviada para a esfera política.
Permaneceram as ideias… que foram alimentadas por outros Matemáticos.
Francisco Gomes Teixeira (1851-1933) no primeiro quartel do séc. XX e Aureliano de Mira
Fernandes (1884-1958) e José Vicente Gonçalves, na primeira metade, são, tanto quanto se
sabe até à data, os professores universitários portugueses a quem se deve um grande impulso
na investigação matemática em Portugal.
14
Capítulo I: Ensinar a investigar
Segundo Costa, C. (2008), dadas as suas características enquanto professor e investigador, J.
Vicente Gonçalves desempenhou um papel relevante junto dos jovens estudantes,
incentivando-os a investigar e divulgando os seus trabalhos científicos junto da comunidade
científica internacional, em particular com a criação da Revista da Faculdade de Ciências da
Universidade de Lisboa, 2ª série A, em 1950.
Ainda assim, Vicente Gonçalves não criou Escola, o mesmo aconteceu com os outros dois
Matemáticos referidos. Costa, C. (2000) justifica este facto dizendo que nesta altura Portugal
ainda se encontrava numa fase prévia a “fazer escola numa certa área de investigação
matemática”. Era preciso criar o hábito de investigar, de fazer matemática, aspeto defendido
como vimos desde pelo menos 1908, mas que na década de 40, ainda não era um facto
consumado.
São de referir algumas das características de Vicente Gonçalves enquanto professor
universitário que, segundo (Costa, C., 2000), contribuíram para formar investigadores em
matemática. A atualização constante dos seus cursos, incluindo, inclusivamente, estudos
recentes de investigação, a proposta de exercícios variados e de dificuldade crescente, a
exigência dos seus cursos, a referência a Matemáticos portugueses e à sua investigação, quer
nos seus livros de texto quer nas lições.
A ação persistente e duradoura destes (e doutros) Matemáticos contribuiu para formar uma
nova geração de Matemáticos já imbuídos de espírito e capacidade investigativa. Entre estes
Matemáticos estão os designados Geração Científica de 40.
A década de 40 foi o culminar da etapa anterior, verificando-se um “movimento matemático”
intenso, protagonizado por estes jovens investigadores e alguns dos seus mestres. Dionísio e
Oliveira, A. (1997) descrevem esta altura de modo pormenorizado:
Jovens doutorados e investigadores plenos de energia criadora, visão larga e
generosidade organizaram seminários e conferências de actualização científica,
publicaram livros, brochuras, folhetos e artigos de divulgação das novas teorias e
dos seus resultados, traduziram obras universais, aliciaram outros jovens para a
investigação, promoveram contactos e intercâmbio com cientistas estrangeiros,
fundaram revistas científicas, colecções monográficas, criaram clubes, centros de
estudos avançados, sociedades científicas, bibliotecas. (pp. 373-374)
15
Capítulo I: Ensinar a investigar
Infelizmente, este ambiente científico criativo e dinâmico teve vida curta, em virtude das
perseguições efetuadas pelo Estado Novo a Matemáticos e Cientistas. Grande parte destes
investigadores – o escol científico português da época – teve de se exilar e, com a sua
formação e competência contribuir para o desenvolvimento científico de outros países. Na
área da matemática, foi o caso de Ruy Luís Gomes (1905-1984), António Aniceto Monteiro
(1907-1980), Manuel Zaluar Nunes (1907-1967), Hugo Ribeiro (1910-1988), Alfredo Pereira
Gomes (1919-2006), José Morgado Jr. (1921-2003), entre outros. Bento de Jesus Caraça
faleceu nessa altura. Os poucos que ficaram mantiveram tanto quanto puderam esse ambiente
científico, mas… ficaram poucos nas universidades e o ritmo esmoreceu. São de destacar
António Almeida Costa e José Sebastião e Silva que ainda assim fizeram Escola, como
adiante detalhamos.
Em particular, Sebastião e Silva, nas décadas de 50 a 70, deu um contributo de relevo para a
promoção do desenvolvimento do espírito de investigação e do pensamento crítico dos
alunos, através dos manuais que publicou quer para o ensino superior, quer para o ensino
liceal, no âmbito de um projeto piloto para a modernização da matemática em Portugal
(Costa, C. & Teixeira, 2007).
Com o passar dos anos a vertente de investigação ganhou peso na carreira de docente
universitário e a formação de investigadores tornou-se imprescindível. Uns investigadores
efetuavam os estudos com vista ao doutoramento em Portugal, outros recorriam a
universidades estrangeiras.
O crescimento do interesse pela investigação levou a que no último quartel do séc. XX, se
tenha verificado a criação e desenvolvimento de escolas de investigação em áreas da
Matemática, em Portugal. Referimos a título ilustrativo as Escolas de Estatística, de Álgebra
Linear e de Educação Matemática, às quais nos referiremos no Capítulo III.
16
Capítulo I: Ensinar a investigar
I.2 Implicações do Processo de Bolonha na investigação matemática em
Portugal no séc. XXI
Na primeira década do século XXI, o Processo de Bolonha veio provocar mudanças diversas
no ensino superior português, em particular na metodologia de ensino preconizada (Simão,
Santos & Costa, A., 2002, pp. 257-258), (Pereira, E. & Costa, C., 2009).
Pretende-se que o aluno passe a ter um papel ativo na sua aprendizagem, valorizando-se o
trabalho autónomo, o recurso às tecnologias de informação e comunicação (TIC) e a
promoção de atividades de investigação, aspeto central no nosso estudo.
Ao nível do ensino superior, o que se tem privilegiado é que o professor seja especialista na
sua área de docência, e deste modo, o ensino decorrerá a partir do instante em que o mesmo
mostre o seu conhecimento e a sua experiência sobre a matéria, remetendo para um plano
secundário as inquietações pedagógicas. Esta atitude faz com que estejamos perante um
ensino expositivo, passividade acrítica dos alunos, aprendizagens superficiais e
memorizadas… para falar só de algumas (Amado, 2010, p. 120).
Garcia (1999) considera que a carência da formação dos professores para a docência no
ensino superior, explica, em grande parte, que estas instituições sejam locais de atividade
assistemática e com diminuta produção científica.
No entanto, atualmente com a implementação do Processo de Bolonha tem-se vindo a
transformar esse cenário (Almeida, L. & Vasconcelos, 2008; Boavida & Amado, 2010). Temse insistido na aprendizagem autónoma do aluno, e como consequência ocorreram mudanças
drásticas na estrutura dos cursos do ensino superior, nomeadamente, na planificação das
unidades curriculares tendo em conta a aquisição de competências, nos métodos de ensino e
na avaliação e na criação de momentos que possibilitam que o professor tenha um contacto
mais individualizado com o aluno para feedback de trabalhos.
Esta mudança não está relacionada apenas com os objetivos e conteúdos temáticos, mas
também com o aumento de equipas de formação e investigação inter, multi e
transdisciplinares. Deste modo, os docentes, investigadores e alunos de pós-graduação terão
de adquirir capacidades e competências de organização e realização de formas de docência e
17
Capítulo I: Ensinar a investigar
aprendizagem mais firmes e eficientes, bem como a sua supervisão e avaliação contínua e
gradual.
Segundo Delors (1999), o conhecimento deveria ser ensinado com o intuito de tornar capazes
os alunos de encararem o inesperado, a incerteza e modificarem o seu desenvolvimento com o
passar do tempo. Este autor propõe que a promoção da aprendizagem seja para toda a vida e
que capacite os alunos para a resolução de problemas e tomada de decisões. No mesmo
sentido, Bok (1986, p. 13) refere não podemos nos contentar em ensinar aos estudantes a se
lembrar de um corpo fixo de conhecimentos; em vez disso, cumpre-nos ajudá-los a dominar
técnicas de resolver problemas e hábitos de aprendizado contínuo.
Por outro lado, Atkins, citado por Tynjälä (1999), é apologista que as instituições do ensino
superior deveriam preparar os alunos para a criação, aplicação e desenvolvimento de
conhecimento bem como capacitá-los para o exercício de uma determinada profissão. Para o
autor, isto pode ser alcançado com a mudança de currículos que proporcionem a compreensão
dos conhecimentos gerais e específicos, o pensamento crítico e conceitual, a incorporação da
teoria à prática, o progresso de habilidades interpessoais e da capacidade de refletir sobre a
própria ação, o desenvolvimento de habilidades de técnicas de comunicação tanto escritas
como orais, a reflexão e aprendizagem a partir de situações práticas.
Outra mudança que o Processo de Bolonha veio trazer ao ensino superior foi a adequação dos
mestrados académicos à recente situação curricular. Estes apresentam-se agora como o elo de
ligação entre o primeiro ciclo e o terceiro ciclo, e, deste modo, a criação e desenvolvimento de
competências de investigação torna-se impreterível neste plano curricular de estudos. Isto
porque a maioria das outras competências que o mestrado tem por objetivo obter tem por base
a capacidade e a necessidade de investigar como condição da sua concretização ajustada e
produtiva (Amado, 2010, p. 122).
No seguimento do que foi dito anteriormente, entende-se que a frequência de um mestrado é o
começo de uma carreira de investigação, quer se siga os estudos para o terceiro ciclo, quer na
aplicação dos requisitos indispensáveis para uma produção válida de conhecimento. Deste
modo, cabe aos cursos de pós-graduação a tarefa de produzir os profissionais capacitados para
atuar nas diversas áreas da sociedade contribuindo para o processo de modernização desta
(Mello & Oliveira, A., 2005).
18
Capítulo I: Ensinar a investigar
O grande problema com que se tem enfrentado o ensino superior e os centros de investigação
prende-se com a dificuldade da constituição, preparação e continuidade de equipas de
formação e investigação convenientemente articuladas numa visão de renovação e
transformação. A carência de recursos humanos e a dificuldade de os preparar para a
investigação é, neste momento, um dos grandes impedimentos do sucesso.
Transformar o aluno num sujeito apto a modificar a sua aprendizagem numa prática
emancipatória, é reconhecer que os estabelecimentos do ensino superior necessitam de
mudanças, ou seja, que sejam capazes de instituir uma nova ética e uma nova prática social,
que promova a articulação de um projeto para os cursos de pós-graduação tendo em conta as
dimensões epistemológica, política, social, cultural, científica e técnica (Mello & Oliveira, A.
2005).
Segundo Matos (2007), na maioria dos mestrandos desenvolve-se a ideia de que a
investigação recai mais sobre dados do que propriamente sobre um certo problema ou
fenómeno. Para o autor, torna-se fundamental encarar que o objeto da investigação é um
determinado fenómeno e os resultados que advêm da mesma devem ser sempre interpretados
no quadro concetual que informou essa investigação. Daqui constata-se que o campo teórico
da investigação tem extrema importância. Não se deve olhar apenas para a revisão da
literatura com o intuito de saber o que os outros investigadores produziram no contexto do
trabalho em análise, mas principalmente para ele próprio investigar o problema, observando-o
do ponto de vista teórico (Matos, 2007).
A ideia de que num trabalho de investigação é imprescindível a integração das vertentes
empírica e teórica, mostra que muitas vezes a investigação não é refletida como tendo por
base um fenómeno, isto é, vai ser encarada como uma determinada perspetiva teórica (Matos,
2007). Por outro lado, analisar a investigação como recolha e análise de dados no terreno
proporciona o afastamento desse nível de trabalho relativamente aos outros níveis da prática
científica, o que obstrui a passagem para níveis conceptuais superiores (Matos, 2007).
Surge então a questão de como é que o professor, e consequentemente, os seus alunos,
internalizam o processo investigativo dos conteúdos que se estão a ensinar. Isto envolve
formas e habilidades de pensamento que favorecem uma reflexão sobre a metodologia de
investigação da matéria que se está a apreender (Libâneo, 2003 [2]). Consiste em ensinar a
19
Capítulo I: Ensinar a investigar
obter meios de pensar, através dos conceitos apreendidos, ou seja, desenvolver nos alunos o
procedimento pelo qual se mostra a essência e o progresso dos objetos do conhecimento e por
conseguinte a aprendizagem de métodos e estratégias cognoscitivas com o intuito de analisar
e solucionar problemas da sociedade (Libâneo, 2003 [2]).
Para Matos (2007) é essencial ter presente que a investigação atinge o seu auge quando se
estabelecem ligações explícitas entre o trabalho realizado no âmbito da recolha e análise de
dados com o trabalho efetuado ao nível da metateoria, da teoria, da metodologia e do próprio
fenómeno.
Qual é, então, uma boa definição de investigação? Segundo Fiolhais (2005), a investigação
consiste concretamente na construção de novo saber. Para este autor, a melhor definição de
investigação é a apresentada por
(…) Henry Rosovsky – professor de Economia e antigo dean da Faculdade de Artes e
Ciências de Harvard –, segundo o qual investigar – é realizar uma pesquisa crítica e
sistemática, com base por exemplo na experimentação, que se destina a rever conclusões
aceites à luz de factos novos. (p. 46)
Matos (2007), considera que ensinar a investigar deve propor o maior desenvolvimento
possível e não ficar apenas por um conjunto de mínimos para fazer investigação. Deste modo,
cabe aos professores do ensino superior criar competências que possibilitem aos alunos
desenvolver projetos de investigação de forma adequada e crítica e torná-los capazes de os
executarem, mostrando uma consistente fundamentação teórica tanto na opção das estratégias
de investigação como nas técnicas de recolha e análise de dados.
Segundo o mesmo autor (2007), a formação em investigação está intimamente relacionada
com a aprendizagem da investigação. O autor aborda este tema tendo em conta duas
metáforas presentes nas conceções sobre a aprendizagem: metáfora da aquisição e metáfora
da participação. Relativamente à metáfora da aquisição, aprender a investigar é compreendido
como adquirir saberes sobre metodologias de investigação. Nesta perspetiva, ensinar
metodologias de investigação é conceder aos mestrandos conceitos de que se apropriem.
Nesta metáfora existe um grande cuidado com o ensino e com a aquisição dos conceitos por
parte dos mestrandos (Matos, 2007). Deste modo, conhecer passa a ser compreendido como
ter conhecimentos, saberes que são identificados como mais-valias que se alcançaram através
20
Capítulo I: Ensinar a investigar
da ação de um professor do ensino superior que assume o papel de transmissor (o mais
desejado seria de facilitador) desses saberes a um aluno de pós-graduação que é o recetor
deste processo (Matos, 2007).
No que diz respeito à metáfora da participação, Matos (2007) encara-a em termos da atividade
de investigação. Neste sentido, o autor reconhece o orientando como uma pessoa que pretende
participar num determinado tipo de atividades, mais do que obter saberes. Aqui, aprender é
considerado como um processo de se tornar membro de uma comunidade. O que faz com que
o orientando desenvolva a capacidade de comunicar com os outros elementos desta e de
apresentar uma postura de acordo com as suas normas particulares que apresentam um caráter
dinâmico e são obtidas no processo de consolidação da comunidade. Neste processo, os novos
investigadores são encarados como futuros renovadores da prática em questão, enquanto os
orientadores são considerados como os preservadores da sua continuidade (Matos, 2007).
Estes aspetos são sintetizados no quadro 1:
Quadro 1: Relações entre as metáforas de aquisição e de participação
Metáfora da aquisição
Metáfora da participação
Enriquecimento individual
Objetivo da aprendizagem
Construção de uma comunidade
Aquisição de algo
Aprender
Tornar-se participante
Recipiente/Consumidor/Construtor
Formando
Participante/Aprendiz
Facilitador
Docente
Participante especialista/Preservador da
prática e do discurso
Propriedade/bens
Saber
Aspeto da prática/discurso/atividade
Ter, possuir
Conhecer
Pertencer, participar, comunicar
21
Capítulo I: Ensinar a investigar
No ensino superior, mais precisamente no ensino de pós-graduação, o processo de ensinoaprendizagem deve constituir-se, principalmente, como um processo de construção de
conhecimento. Todo o professor necessita de uma experiência sólida em investigação para
ensinar bem. Por outro lado, todo o aluno necessita de uma vivência prática da investigação
para aprender bem (Severino, 2007).
Boyer, E., em 1990, publicou o relatório Scholarship Reconsidered. Este foi sustentado
fortemente pelos estudos apresentados por Lynton e Elman (1987), Shulman (1987) e outros.
Este relatório lançou a discussão sobre o trabalho académico do professor do ensino superior
e as atividades que são valorizadas tendo em conta a promoção na carreira académica.
Segundo Boyer, E. (1990), embora a comunidade académica considere que o seu trabalho é
composto por três componentes – scholarship (pesquisa), docência e serviço – que se
relacionam entre si, em muitas circunstâncias trata-os de um modo separado. Deste modo,
quando um docente é submetido a avaliação para ser promovido, estas três componentes são
analisadas separadamente. Este autor defende que a ideia de scholarship não se encontra
apenas relacionada com a pesquisa e atividade criativa, mas está envolvida em todos os papéis
que um académico assume.
Para Boyer, E., (1990), existem quatro papéis fundamentais na scholarship académica:
descoberta, integração, aplicação e docência. Interagem dinamicamente, formando um todo
independente (p. 25). A primeira forma de scholarship é a da descoberta. Esta está
relacionada com a descoberta de novos conhecimentos. Identifica-se com a função tradicional
da atividade de pesquisa pura, de pesquisa original, da procura do conhecimento por ele
próprio, do progresso do conhecimento especializado (Boyer, E., 1990).
A scholarship da integração diz respeito à interpretação dada a novos dados resultantes no
sentido em que se integram com outros resultados e se confrontam com outras criações. O
crescimento da especialização necessita de novas formas de integração. A scholarship da
integração procura efetuar a sinopse dos conhecimentos de modo criativo, estabelecendo a
ligação entre campos ou disciplinas e dando a conhecer novos significados para os
conhecimentos que até ao momento se encontravam desligados (Boyer, E., 1990).
A scholarship da aplicação, também chamada a da prática, é definida como a aplicação do
conhecimento aos problemas e situações práticas do meio envolvente de um modo racional
22
Capítulo I: Ensinar a investigar
(Boyer, E., 1990). Segundo Lynton e Elman (1987), os novos conhecimentos necessitam de
ser interpretados, propagados e aplicados à resolução dos problemas da sociedade.
Boyer, E. (1990) considera que a scholarship da docência apresenta integridade própria, no
entanto está intimamente relacionada com as anteriores três formas. Esta consiste no
entendimento da relação ensino-aprendizagem, tanto no que diz respeito ao seu processo
como ao seu resultado, e apresenta três elementos diferenciados: capacidade sinóptica,
conhecimento do conteúdo pedagógico e conhecimento sobre a aprendizagem. Por capacidade
sinóptica entende-se a capacidade de retirar os aspetos essenciais de um campo, de tal forma a
conceder-lhe coerência e significado, para colocar em contexto o que se conhece e favorecer
as conexões entre cognoscente e o conhecido. Segundo Shulman (1987), o conhecimento
pedagógico do conteúdo é definido como a capacidade de apresentar um conteúdo de forma
que transcenda a divisão entre substância intelectual e o processo didático. O conhecimento
sobre aprendizagem é consequência das pesquisas que ocorrem com alunos de modo a saber
como estes interpretam o que os docentes dizem e fazem (Boyer, E., 1990).
No seguimento do que foi dito anteriormente, um bom docente do ensino superior precisa de
ser um profissional reflexivo no dia-a-dia das suas atividades profissionais. Isto é, tem de
construir o seu desenvolvimento profissional baseado na teoria da ação, mediante a reflexão
sobre a ação, antes, durante e depois dela. O professor do ensino superior é um dos grandes
responsáveis pelo avanço e crescimento científico da atual sociedade (Ferreira, 2009).
Pimenta, Anastasiou e Cavallet, (2003) referem que o aprimoramento da docência do ensino
superior pressupõe uma integração de saberes complementares e também que
diante dos novos desafios para a docência, o domínio restrito de uma área
científica do conhecimento não é suficiente. O professor deve desenvolver também
um saber pedagógico e um saber político. Este possibilita ao docente, pela ação
educativa, a construção de consciência, numa sociedade globalizada, complexa e
contraditória. Conscientes, docentes e discentes fazem-se sujeitos da educação. O
saber-fazer pedagógico, por sua vez, possibilita ao educando a apreensão e a
contextualização do conhecimento científico elaborado. (p. 271)
23
Capítulo I: Ensinar a investigar
Para Bianchetti (2008)
escrever a dissertação ou tese é o fulcro da vida de qualquer mestrando ou
doutorando. E não apenas da sua vida universitária. O desafio da autoria
extrapola o âmbito académico, adentrando outras instâncias da vida do pósgraduando como pessoa. (p. 247)
Na investigação qualitativa, o investigador é o principal instrumento desta investigação. Por
tal, esta exige dele características específicas como humildade, simpatia, empatia,
honestidade, respeito pelos outros, etc. Por outro lado, este género de investigação deixa
marcas permanentes a quem se envolva de “corpo e alma”.
24
Capítulo I: Ensinar a investigar
I.3 Como ensinar a investigar?
Surge então a questão “Como ensinar a investigar?”. Segundo Balcells e Martin (1985, p.16),
grande parte do quê de um ensino depende do como ele é transmitido, o que concede um
papel de extrema importância à questão das metodologias usadas pelos professores
orientadores. Para respondermos a esta questão temos que ter em conta pelo menos três
pontos: como se organiza o processo de aprendizagem, que conteúdos se querem transmitir e
quais as características de quem se quer ensinar.
Relativamente ao processo de aprendizagem, este deve assentar numa perspetiva
construtivista, que confere ao novo investigador um papel ativo na sua aprendizagem. Por
outro lado, exige do investigador “pai” um papel de colaborador, facilitador, monitor,
supervisor e transmissor de conhecimentos e de experiência. É nesta harmonia dos vários
papéis do investigador que encontramos um bom orientador (Amado, 2010). Aliás, esta
posição encontra-se enquadrada no exposto na Declaração de Bolonha.
No que concerne aos conteúdos, deve-se oferecer aos novos investigadores uma base
epistemológica e teórica sólida e, ao mesmo tempo, um conhecimento das estratégias e das
técnicas de recolha e de análise dos dados, sem desprezar os procedimentos para apresentar,
discutir e construir teoria e ajuizar da validade da mesma (Amado, 2010). Segundo Pereira, G.
e Andrade (2008), o orientador deve fomentar nos novos investigadores atitudes e hábitos
mentais em que se destaque uma postura de epistemologia vigente, e em que a dimensão
teórica e a dimensão empírica se ajudam reciprocamente.
No que respeita à população discente, esta é formada por adultos. Então cabe ao orientador
estimular o novo investigador para uma participação reflexiva-pragmática (Amado, 2010).
Considerando tudo o que foi dito anteriormente, de um modo geral, podemos dizer que o
grande objetivo do “pai” de uma linha de investigação é o de causar nos seus descendentes
uma consciência profunda de que a investigação constitui-se numa pesquisa sistemática,
alicerçada em princípios teóricos (multiparadigmáticos) e em atitudes éticas. Os novos
investigadores devem ser informados a nível teórico, metodológico e técnico e treinados para
saber investigar (Amado, 2010). Com a investigação pretende-se que eles contribuam para
melhorar as situações e resolver problemas existentes na atualidade.
25
Capítulo I: Ensinar a investigar
Deste modo, como pudemos constatar, a tarefa de ensinar a fazer investigação não é fácil.
Além de apresentar (…) complexidade do objecto educativo e de um elevado grau de
exigência nos procedimentos que hão-de ser fundamentados e em obediência a um elevado
conjunto de regras partilhadas por comunidades de investigadores, fazer investigação
acarreta, por outro lado, (…) determinadas posturas e qualidades pessoais de cada
investigador e, ainda, uma grande abertura à inovação e à criatividade (Amado, 2010, p.
140).
Segundo Lave e Wenger (1991), a aprendizagem de um jovem investigador ocorre no
processo de coparticipação em comunidades científicas e não na mente dos indivíduos. Para
estes autores aprender a investigar consiste numa participação crescente na(s) comunidade(s)
de prática e está relacionada com a ação da pessoa no meio envolvente. Isto é, aprender não é
uma condição para se tornar membro de uma comunidade, mas é em si mesmo uma forma em
evolução de se tornar membro (p. 53).
Para os mesmos autores (1991) tornar-se mais conhecedor, implica ter acesso a um amplo
leque da atividade a decorrer na prática, isto é, ter contacto com outros membros da
comunidade, ter acesso à informação e aos recursos e oportunidades para participar em
projetos. Para os autores, este conceito fundamenta-se no conceito de transparência:
A significância dos artefactos [físicos e concetuais] na complexidade total das suas
relações com a prática pode ser mais ou menos transparente para os aprendizes. A
transparência na sua forma mais simples pode implicar que as características de um
artefacto estão disponíveis para o aprendiz; (…) transparência refere-se à forma na qual
o uso dos artefactos e a compreensão da sua significância interagem para se tornar num
processo de aprendizagem. (Lave & Wenger, 1991, pp. 102-103)
Segundo Severino (2007),
o estudante precisa fundar seu aprendizado num criterioso processo de construção
epistêmica dos conteúdos do conhecimento, o que só pode ocorrer se ele conseguir
aprender apoiando-se constantemente numa atividade de pesquisa, praticando uma
postura investigativa. Só se aprende ciência, praticando a ciência; só se pratica a
ciência, praticando a pesquisa e só se pratica a pesquisa, trabalhando o conhecimento a
partir das fontes apropriadas a cada tipo de objeto. (p. 33)
26
Capítulo I: Ensinar a investigar
Quais são as características que fazem de investigadores grandes orientadores e “pais” de
linhas de investigação? Que tipo de práticas perpassam de mestres para aprendizes de geração
em geração? Quais são as práticas que fazem orientadores eficazes? Que tipo de relações
apoiam a boa orientação? (Nakamura & Shernoff, 2009).
As respostas a estas questões estão no cerne do sucesso da investigação e da produção
científica. Vamos procurar encontrar o padrão de um orientador que seja eficiente e promotor
de investigadores de sucesso.
É impensável imaginar a produção de conhecimento se os jovens investigadores não
praticarem o seu trabalho com honestidade e precisão. Eles necessitam de saber em que ponto
o conhecimento se encontra, ou seja, que progressos fizeram os seus antecessores para
posteriormente adicionarem novos conhecimentos.
Segundo Nakamura e Shernoff (2009) quando um orientador incentiva os seus descendentes a
encontrar a excelência no trabalho, tendo em conta os compromissos éticos da sua profissão,
os resultados contribuem para fortalecer a profissão e promover o bem-estar das comunidades
que servem. Deste modo, a criatividade e responsabilidade, sucesso profissional e um bom
trabalho podem coexistir.
É através das relações orientador-orientando que a produção científica se vai desenvolvendo
no seio da universidade. A maior parte do conhecimento adquirido pelo descendente é por
“absorção” do trabalho realizado pelo orientador. A aprendizagem por “observação” é uma
aliada da continuidade e não da mudança (Lortie, 1975, p. 67).
De acordo com Ferenc e Mizukami (2005), a maioria dos novos investigadores refere os seus
orientadores como referências na sua prática de investigar. Referem inspirar-se na forma
como eles trabalham, nas estratégias que utilizam para mostrar a sua produção científica, no
modo como se relacionam com os seus descendentes e com a sociedade.
Historicamente, o ideal de orientador foi concebido como sendo alguém que serve de
conselheiro, apoio, exemplo e guia ao novo investigador, ajudando-o a movimentar-se da
dependência e inexperiência, para a independência e experiência (Nakamura & Shernoff,
2009).
27
Capítulo I: Ensinar a investigar
O orientador tem a tarefa de ensinar o novo investigador, considerando que (…) ensinar é
colocar o aluno numa atividade de aprendizagem. A atividade de aprendizagem é a própria
aprendizagem, ou seja, aprender habilidades, desenvolver capacidades e competências para
que os alunos aprendam por si mesmos (Libâneo, 2003 [2], p. 3).
Um verdadeiro orientador pode facilitar as aspirações do seu descendente científico,
oferecendo-lhe alguma responsabilidade, confiança e oportunidade na realização de trabalhos
(Levinson,1978). Deste modo, a experiência de orientação durante a frequência da pósgraduação pode ser de extrema importância para a realização pessoal e científica do discípulo.
O novo investigador deve olhar para o seu orientador como um indivíduo em prática
sistemática de construção de conhecimento, de modo a criar avanços na ciência, produzindo
produtos novos e ajudando a formar novos investigadores (Severino, 2007).
Segundo Matos (2007), os jovens investigadores devem-se empenhar de corpo inteiro em
projetos de investigação e, consequentemente, os orientadores deverão trabalhar com eles
numa perspetiva de ensino menos direto e mais de seminário. Deste modo, o bom orientador
deve estar envolvido na realização da investigação e não apenas no processo de orientação da
investigação dos seus orientandos, uma vez que só se ensina a investigar investigando
(Severino, 2007).
Aos novos investigadores deverão ser atribuídas progressivamente responsabilidades de
intervenção e de participação na investigação, uma vez que são submetidos a um processo de
legitimação da sua participação à medida que se vão mostrando mais entendidos e aptos
(Matos, 2007).
Segundo Severino (2007), as relações entre orientador e orientando devem ser encaradas
como um processo que assenta numa base solidária, numa permuta de experiências que se
situam em fases diferentes. Neste processo, o bom orientador deve ter uma postura de
educador, que devido à sua experiência, participa com o orientando na construção do
conhecimento. Ambos devem interagir, comunicando, respeitando a autonomia e a
personalidade de cada um. O orientador deve ser um educador que institui com o seu
orientando uma relação educativa com tudo o que isso envolve no âmbito da criação do
conhecimento. Para isso prevê-se que trabalhem conjuntamente e, como consequência, ocorra
o crescimento e o enriquecimento de ambas as partes (Severino, 2007).
28
Capítulo I: Ensinar a investigar
O orientador deve proporcionar ao orientando que este, ao seu lado, ganhe progressivamente
maturidade, segurança e autonomia de modo a tornar-se apto para produzir conhecimento. Ao
longo da investigação, o orientando deve possuir iniciativa, interagindo com o orientador e
recebendo deste sugestões, explicações sobre caminhos, esclarecimentos sobre propostas
(Severino, 2007). É nesta interação que se encontra a boa prática de um orientador, uma vez
que esse diálogo é extremamente enriquecedor e eficaz, sem que o orientando fique
abandonado e sem que o orientador abafe o orientando (Severino, 2007, p. 46).
Segundo Woolfolk (2000), a relação entre o professor e o aluno deve assentar numa estrutura
afetiva, emocional e intelectual constituída por factos de natureza consciente e inconsciente.
O resultado da interação proporcionará entusiasmo, ritmo e ligeireza à vida intelectual, à
afetividade, tornando-se um alicerce fundamental do desenvolvimento e eficácia intelectual
do professor como do aluno.
Segundo Tenenbaum, Crosby e Gliner (2001), na perspetiva do aluno a má relação entre
orientador-orientando pode significar o fim da carreira de investigação. Do ponto de vista do
orientador, os problemas começam quando as perspetivas do estudante começam a ser
defraudadas.
Uma orientação com extrema pressão do orientador, para produção de conhecimento
científico, pode fazer com que os alunos desistam. Por outro lado, um desprendimento do
orientador pode causar no descendente um sentimento de perda e confusão levando-o também
a desistir. Cabe ao orientador saber gerir a relação orientador-orientando, não o pressionando
de modo exagerado nem o deixando sozinho de modo a desmotivar-se. Para além disso, deve
deixar bem presente na sua orientação que o sucesso académico deve coexistir com
responsabilidade e com uma prática ética (Nakamura & Shernoff, 2009).
Um bom “pai” de investigação deve ensinar os seus orientandos como pensar, como olhar
para o mundo e como levantar questões pertinentes. Deve ser atencioso, encorajador,
incentivar para a criatividade e ser capaz de despertar nos seus discípulos a sensibilidade à
responsabilidade que estes têm perante a sociedade.
O orientador deve fazer da investigação um princípio educativo, juntando a este a criatividade
e o constante questionamento, tendo como objetivo atingir no novo investigador a
emancipação intelectual. O professor do ensino superior não educa simplesmente pelas
29
Capítulo I: Ensinar a investigar
palavras proferidas, mas também pela sua postura. As suas atitudes e o conjunto das suas
ações são um exemplo da prática que os seus descendentes interiorizam. Esta harmonia
transformará o novo investigador num sujeito crítico, criativo e apto a alcançar a sua
independência intelectual (Santos, 2004).
Segundo Martins, E. (2007), o orientador deve realizar um trabalho com o seu aluno de modo
a que o questionamento, a dúvida e a incerteza sejam facilitados e desenvolvidos. Deve
privilegiar a construção/reconstrução do conhecimento, instigar a capacidade de
questionamento, desenvolver a capacidade de escolha e de manipulação das informações
recolhidas, incentivar ao trabalho utilizando a tecnologia de que dispõe e orientar para o
estabelecimento de métodos de trabalho no tratamento metodológico das questões (Brandão,
1998).
Para Matos (2007), o orientador deve mostrar ao novo investigador que o primeiro passo na
implementação de uma investigação deve ser o processo de questionamento sobre um
determinado problema ou fenómeno e que pode ser tratado tanto a nível teórico como pode
ser abordado através de uma componente empírica que envolve recolha de dados no terreno.
Posteriormente, deve incutir no novo investigador que o papel deste é de extrema
complexidade e que esta deve ser conservada e analisada e não diminuída através de
simplismos redutores. Por outras palavras, os alunos de pós-graduações devem ter consciência
das dificuldades intrínsecas à realização de investigação interpretativa.
Uma boa orientação prepara o novo investigador para futuramente ter mais hipóteses de uma
carreira de sucesso. Com a boa orientação ele aprendeu as boas práticas de fazer investigação,
levando-o a participar de modo eficiente em projetos, publicando mais e por conseguinte
mostrando o seu trabalho à comunidade científica. Como consequência, a probabilidade deste
novo investigador se vir a tornar num futuro orientador é grande. Como aprendeu boas
práticas também se espera que irá transmitir esse testemunho aos seus descendentes
favorecendo o processo de investigação criando-se desta maneira uma linha de investigação
entre várias gerações, tendo por base o “bom trabalho” do investigador “pai”.
30
Capítulo II: Metodologia
II - Metodologia
Neste capítulo descrevemos os aspetos de natureza metodológica que orientaram o estudo. Ao
longo do capítulo clarificamos e fundamentamos as opções tomadas durante o trajeto da
investigação que dizem respeito aos métodos escolhidos tendo em consideração que se trata
de uma investigação de caráter histórico-didático. Descrevemos o tipo de estudo adotado, bem
como os instrumentos utilizados para a recolha e análise de informação.
II.1 Opção metodológica
Os métodos utilizados numa investigação são orientados e informados por um paradigma,
compreendido como construção humana, na forma de um sistema de crenças básicas
baseadas em considerações de natureza ontológica, epistemológica e metodológica (Guba &
31
Capítulo II: Metodologia
Lincoln, 1998, p. 200), que fornece uma determinada visão do mundo. As três dimensões
referidas anteriormente obrigam o investigador a pensar no momento de fazer escolhas. As
questões de natureza ontológica estão relacionadas com a forma e a natureza da realidade e do
conhecimento que podemos ter sobre ela. Deste modo, é diferente encarar a existência de uma
realidade singular, objetiva de uma realidade plural e multifacetada. As considerações
epistemológicas prendem-se com a natureza da relação entre o que se sabe ou pode vir a
saber-se e o que é possível saber-se (Guba & Lincoln, 1998, p. 201) e estão profundamente
interligadas com as questões de natureza ontológica, isto é, com a ideia que se tem de
realidade. Relativamente às questões de natureza metodológica, estas encontram-se
relacionadas tanto com o conceito que se tem da realidade como com a própria natureza do
conhecimento que é provável adquirir e manifesta-se na forma de agir do investigador de
modo a conhecer essa realidade.
A perspetiva realista do mundo escolhe a objetividade como sendo um ideal a seguir na
realização de uma investigação e a subjetividade como um mal a aniquilar. Por outro lado, a
perspetiva relativista encara a objetividade como algo inatingível e a subjetividade como algo
intrínseco ao ato de conhecer. Segundo Blumer (1998), em questões epistemológicas, esta
última perspetiva, considera que o conhecimento é originado por um processo de
aproximações sucessivas e de negociação de significados, uma vez que o sentido não está
inerente às coisas, mas é construído socialmente.
Nas investigações qualitativas, existe a tendência de analisar os dados de forma indutiva. Os
investigadores não encaminham o seu estudo com o objetivo de confirmar ou invalidar
hipóteses antecipadamente estabelecidas. O desenvolvimento de um estudo de caráter
qualitativo pode assemelhar-se a um funil, dado que no início começa-se com um conjunto de
questões muito vasto que, com o andar do trabalho, vão sendo adaptadas, clarificadas e
especificadas. Bogdan e Biklen (1994), para exemplificar melhor esta ideia, utilizam a
metáfora do quebra-cabeças, destacando, contudo, que não se trata de construir um quebracabeças do qual já conhecemos antecipadamente a sua forma final. Esta é uma característica
que diferencia as investigações de caráter qualitativo das de caráter quantitativo, e equivale,
nestas últimas, à exclusão da dimensão de descoberta (Guba & Lincoln, 1998, p. 198), uma
vez que norteiam a sua ação para a confirmação de hipóteses definidas a priori.
32
Capítulo II: Metodologia
Atualmente, a análise de conteúdo é uma das técnicas mais utilizadas na investigação
empírica produzida pelas diferentes Ciências Sociais e Humanas. É um método de análise
textual que se utiliza em questões abertas de questionário e em entrevistas. É utilizado na
análise de dados qualitativos, na investigação histórica, em estudos bibliométricos ou noutros
casos em que os dados assumem a forma de texto escrito.
Berelson define análise de conteúdo como sendo uma técnica de investigação para a
descrição objectiva, sistemática e quantitativa do conteúdo manifesto da comunicação
(Berelson, 1952, citado por Estrela, 1994, p. 455). No nosso estudo recorremos a este tipo de
análise.
Henry e Moscovici (1968) são os autores dos métodos de análise de conteúdo. Fizeram a
distinção entre procedimentos fechados e procedimentos abertos ou exploratórios. Para eles,
os procedimentos fechados são aqueles que utilizam “categorias pré-definidas” anteriormente
à análise propriamente dita. Nestes, existe um quadro empírico ou teórico ao qual está
associada a análise e do qual se retiram as questões para a entrevista. Posteriormente,
comparam-se os textos produzidos tendo em conta o quadro para se chegar a uma
particularização. Como procedimentos abertos ou exploratórios, eles entendem como sendo
aqueles que não utilizam as “categorias pré definidas”, apresentando, por isso, um caráter
puramente exploratório. Os resultados são devidos unicamente à metodologia de análise,
estando isenta de qualquer referência a um quadro teórico pré-estabelecido (Ghiglione &
Matalon, 1997, p. 210). Este último é o nosso caso.
33
Capítulo II: Metodologia
II.2 Estudo de caso
O estudo de caso constitui uma estratégia de pesquisa utilizada nas Ciências Sociais com
bastante regularidade. Esta é a mais adequada quando se pretende conhecer o “como?” e o
“porquê?” (Yin, 1994), quando o investigador está despromovido do controlo dos
acontecimentos reais e quando o alvo de investigação está concentrado num fenómeno natural
que se encontra dentro de um contexto da vida real. Dito de outro modo, quando o
investigador procura encontrar interações entre fatores relevantes próprios dessa entidade,
quando o objetivo é descrever ou analisar o fenómeno, a que se acede diretamente de uma
forma profunda e global, e também quando é propósito deste compreender a dinâmica do
fenómeno, do programa ou do processo.
Deste modo, Yin (1994) define o estudo de caso com base nas características do fenómeno
em estudo e no conjunto de características que estão relacionadas com o processo de recolha
de dados e às estratégias de análise destes. Bell (1989) refere o estudo de caso como um
método de pesquisa cuja preocupação primordial é a interação entre fatores e eventos. Por
outro lado, Fidel (1992) define que o método de estudo de caso é um processo específico de
pesquisa de campo. Para ele, estudos de campo são investigações de fenómenos que ocorrem
sem que haja qualquer interferência do investigador. Para Coutinho e Chaves (2002), quase
tudo pode ser considerado como um “caso”: um indivíduo, um personagem, um pequeno
grupo, uma organização, uma comunidade ou até mesmo uma nação. Da mesma maneira,
Ponte (2006) considera que
É uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça
deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única ou
especial, pelo menos em certos aspectos, procurando descobrir o que há nela de
mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão
global de um certo fenómeno de interesse (Ponte, 2006, p. 2).
Segundo Benbasat, Goldstein e Mead (1987) um estudo de caso deve apresentar as seguintes
características:

Deve ser um fenómeno observado no seu ambiente natural;
34
Capítulo II: Metodologia

Os dados recolhidos devem utilizar diversos meios, tais como: entrevistas,
questionários, registos de áudio e de vídeo entre outros;

São analisadas uma ou mais entidades (pessoas, grupo, organização);

A complexidade da unidade é estudada aprofundadamente;

A pesquisa é dirigida aos estágios de exploração, classificação e desenvolvimento de
hipóteses do processo de construção do conhecimento;

Não são utilizadas formas experimentais de controlo ou manipulação;

O investigador não necessita de identificar antecipadamente o conjunto de variáveis
dependentes e independentes;

Os resultados da investigação estão relacionados com o poder de integração do
investigador;

À medida que o investigador desenvolve novas hipóteses, podem ocorrer mudanças
na seleção do caso ou dos métodos de recolha;

A pesquisa desenrola-se em torno das questões “como?” e “porquê?” em vez de “o
quê?” e “quantos?”.
O intuito principal do estudo de caso é compreender o evento em estudo e, em simultâneo,
desenvolver teorias genéricas a respeito do fenómeno em causa (Fidel, 1992). Segundo Yin
(1994), o objetivo do estudo de caso é explorar, descrever ou explicar e para Guba e Lincoln
(2005) o objetivo desta metodologia é narrar os factos como sucederam, descrever situações,
facultar conhecimento sobre o fenómeno estudado e comprovar ou contrastar efeitos e
relações existentes no caso. Por outro lado, Ponte (2006) assegura que o objetivo do estudo de
caso é descrever e analisar, Merriam (1998) acrescenta a estes dois um terceiro, avaliar.
Gomez, Flores e Jimènez (1996, p. 99), de modo a sistematizar todos os objetivos atrás
referidos, afirmam que o objetivo geral de um estudo de caso é: explorar, descrever, explicar,
avaliar e/ou transformar.
35
Capítulo II: Metodologia
Na nossa investigação, o estudo de caso é uma abordagem metodológica adequada, uma vez
que pretendemos identificar os indicadores que nos permitem afirmar a criação e
desenvolvimento de uma linha de investigação numa determinada área da Matemática em
Portugal e, em seguida, se podemos afirmar ou não que existe/existiu uma Escola em Portugal
sobre Normas Matriciais.
Para a consecução do primeiro objetivo, recorremos a cinco estudos de caso – cinco
Matemáticos portugueses que a comunidade científica considera terem “feito escola”.
Relativamente ao segundo, procuramos compreender, explorar e descrever o aparecimento e
evolução do conceito das normas matriciais em Portugal, onde estão envolvidos diversos
fatores. É nossa pretensão descrever e explicar como surgiu o conceito, introduzido por quem,
a sua evolução em Portugal, as repercussões que teve no desenvolvimento profissional dos
investigadores que as estudaram e o ponto de situação atual em que se encontra o tema.
36
Capítulo II: Metodologia
II.3 Recolha dos dados: Métodos e procedimentos
O processo de recolha de dados decorreu ao longo de dois anos. Iniciou-se em janeiro de 2009
e prolongou-se até fevereiro de 2011. Neste trabalho de recolha de dados utilizaram-se dois
tipos de instrumentos, com o objetivo de recolher a informação necessária para a abordagem
do problema em causa. Os instrumentos utilizados foram entrevistas e observação documental
(dissertações de mestrado e de doutoramento, artigos científicos, notas de aula, documentos
pessoais, legislação, etc.). Foram selecionadas as pessoas que pensámos que estiveram
envolvidas na divulgação e desenvolvimento do tema em Portugal e, consequentemente, na
criação da Escola, aspeto que detalhamos na secção II.4.
II.3.1 Entrevistas
A entrevista é um método de análise de conteúdo. É, desde tempos remotos, um dos mais
usuais e eficazes meios para o entendimento da atividade humana (Fontana & Frey, 1994). A
entrevista é uma aplicação dos processos fundamentais de comunicação que, quando são
utilizados de forma correta, possibilitam ao investigador extrair elementos de reflexão muito
ricos. O contacto direto existente entre o investigador e os entrevistados, permite ao
entrevistado exprimir as suas ideias de um modo mais fácil, enquanto o investigador, através
das suas perguntas, não o deixa extrapolar dos objetivos da investigação. Este poder que a
entrevista apresenta, como instrumento de recolha de dados, tem como oposição um certo
número de dificuldades na sua condução. Segundo Fontana e Frey (1994, p. 361), a arte de
formular questões e obter respostas é mais dura do que pode parecer à primeira vista,
obrigando o investigador a um trabalho mais preciso relativamente à planificação e,
posteriormente, à realização.
Considerando o grau de estruturação, podemos distinguir três tipos de entrevista: estruturada,
semiestruturada ou não estruturada (Fontana & Frey, 1994). Relativamente à primeira, o
investigador organiza antecipadamente um conjunto de questões, que seguem uma
determinada ordem, e que apresenta um número limitado de categorias de resposta. No que
diz respeito à entrevista não estruturada, esta é a que se assemelha mais a uma conversa do
dia-a-dia, partindo o investigador, a maioria das vezes, de um conjunto de itens gerais que
posteriormente se desenvolvem ao longo da conversa. Por último, a entrevista semiestruturada
37
Capítulo II: Metodologia
encontra-se no meio das duas anteriores, isto é, ainda que tendo como base um roteiro de
perguntas, apresenta flexibilidade suficiente para alterar a ordem das questões e sempre que
necessário incluir algumas ou eliminar outras. Em oposição ao que acontece na entrevista
estruturada, o entrevistado não se encontra limitado com a sua resposta, ou seja, apresenta
liberdade plena para responder. Lüdke e André (1986) fortalecem esta ideia quando afirmam
que
nas entrevistas não totalmente estruturadas, onde não há imposição de uma
ordem rígida de questões, o entrevistado discorre sobre o tema proposto com
base nas informações que ele detém e que no fundo são a verdadeira razão da
entrevista (Lüdke & André 1986, pp. 33-34).
A entrevista é particularmente adequada para obter o significado que os entrevistados dão às
suas práticas, na análise de problemas específicos e na reconstituição de um processo de ação,
de experiências ou acontecimentos do passado. Apresenta como vantagens o grau de
profundidade dos elementos de análise recolhidos, a flexibilidade e a fraca diretividade do
procedimento que permite recolher testemunhos dos entrevistados. Quantos mais elementos
de informação se conseguir retirar da entrevista, mais credível será a reflexão.
Sendo considerados os argumentos anteriores, utilizou-se nesta investigação a entrevista
semiestruturada. Foi realizada uma entrevista individual a cada um dos participantes no
estudo, gravadas em áudio e transcritas na totalidade. O guião da entrevista encontra-se em
anexo.
Ao longo de uma entrevista, o investigador, numa das etapas do seu trabalho, encontra-se
confrontado com os textos originados pelo discurso dos vários entrevistados, todos
interrogados segundo a mesma técnica. Sendo assim, o investigador deve fazer um resumo de
cada entrevista, para de uma maneira mais fácil, poder comparar cada uma delas.
Posteriormente, deve isolar de cada entrevista apenas o que interessa e por último sistematizar
as diferenças e as semelhanças e conjeturar hipóteses sobre o que originou discursos
diferentes. Procedimentos que efetuámos.
38
Capítulo II: Metodologia
II.3.2 Análise documental
Nos casos em que se impõe a investigação documental, torna-se imprescindível fazer uma
revisão bibliográfica dos trabalhos existentes, com o intuito de evitar repetições. Um estudo
cuidado das investigações principais existentes numa área de interesse pode encaminhar para
a direção correta, ou seja, o caminho que permite interpretar descobertas anteriores, escolher
entre explicações alternativas, ou indicar aplicações úteis (Tuckman, 1994, p. 63).
É de extrema importância proceder à revisão da literatura, com vista a obter conhecimento do
trabalho já realizado na área em estudo, e atualizá-lo. A maior parte das vezes, deste trabalho
surgem conclusões bastante vantajosas sobre os fenómenos em causa e aparecem ideias de
como essas mesmas conclusões podem ser colocadas em prática. Este método é muito
utilizado pelos investigadores, com o intuito de diminuir o enorme e sempre crescente corpo
de conhecimentos, a um número mais limitado de conclusões passíveis de serem trabalhadas
e que possam ser colocadas à disposição de outros investigadores (Tuckman, 1994, p. 63).
Uma vez que o corpo de conhecimentos está em constante crescimento, ele deverá ser
analisado e resumido, de modo a possibilitar desta maneira que outros investigadores possam
observar, tanto os avanços como as lacunas existentes e facultar-lhes assim um melhor rumo
para a sua análise. Tendo em conta estes aspetos, referimos a existência nesta dissertação do
capítulo I de revisão de literatura e do capítulo V onde se compila, de um modo didático, as
definições e resultados sobre o estudo das normas matriciais e se faz uma sinopse de teses na
área.
Na observação de documentos deve-se ter em atenção as fontes documentais e os métodos de
análise dos mesmos. Relativamente ao primeiro, embora a maioria dos documentos utilizados
para recolha de dados seja essencialmente escrito, não se deve colocar de parte outras fontes
documentais, como por exemplo fotografias, cartazes, filmes entre outros. Geralmente, os
documentos agrupam-se em duas categorias, documentos diretos e documentos indiretos,
tendo em conta dois critérios, isto é, o conteúdo dos documentos e a origem dos mesmos. No
que diz respeito ao primeiro critério (conteúdo dos documentos), são considerados
documentos diretos aqueles que apresentam relação direta com os factos que constituem
objeto de estudo. Documentos indiretos são aqueles que, apesar de não apresentarem uma
relação direta com os factos em estudo, são capazes de proporcionar pistas ou possibilitam
39
Capítulo II: Metodologia
ajudar a situar as bases da investigação em causa. Considerando o segundo critério (origem
dos documentos), os documentos diretos são os trabalhos originais, escritos pelos próprios
autores. Podem ser relatos de uma investigação ou documentos sobre um conjunto de
princípios teóricos desenvolvidos por um investigador ou teórico. Os documentos indiretos
são os restantes que comprovam a produção desses factos, mas são produzidos por pessoas
externas ao processo. No nosso caso, os documentos diretos são as dissertações escritas pelos
investigadores portugueses que estudaram ou utilizaram normas matriciais nas suas
investigações, o material relativo às aulas lecionadas por José Vitória, a correspondência entre
este e outros investigadores estrangeiros, os artigos científicos sobre normas matriciais
escritos por José Vitória e por outros investigadores portugueses e currículos vitae cedidos
pelos próprios. Como documentos indiretos podemos referir diversos artigos e outras
publicações.
A leitura de um documento não basta para retirar dele toda a sua essência. Na maioria dos
casos, a leitura deve ser orientada tendo em conta regras precisas que possibilitam verificar o
valor do documento, o seu grau de veracidade, o seu sentido exacto e o seu verdadeiro
alcance (Fernandes 1993, p. 168). Procedemos a diligências no sentido de salvaguardar este
aspeto, nomeadamente, recorrendo sempre que possível a fontes diretas (primárias), ao
cruzamento de várias fontes e à consulta de legislação e documentação oficial.
40
Capítulo II: Metodologia
II.4 Escolha dos participantes/entrevistados
Segundo Bravo e Eisman (1998), num estudo de caso a escolha da amostra adquire um
sentido muito particular, uma vez que a seleção da amostra é de extrema importância, pois
constitui o cerne da investigação. Stake (1995) afirma que embora a seleção da amostra seja
fundamental, chama a atenção que a investigação, num estudo de caso, não é baseada em
amostragem. O investigador, ao selecionar o “caso”, deve estabelecer um fio condutor e
racional que orientará todo o processo de recolha de dados afirma Creswell (1994). Não se
estuda um caso para se entender outros casos, mas sim para compreender o “caso” em estudo.
Para Bravo e Eisman (1998), a formação da amostra é sempre premeditada baseando-se em
critérios pragmáticos e teóricos, em detrimento dos critérios probabilísticos, procurando as
variações máximas e não a uniformidade. Estas amostras apresentam características diferentes
das amostras probabilísticas que se encontram presentes nas investigações de caráter
quantitativo (Guba & Lincol, 1998; Yin, 1994; Bravo & Eisman, 1998), ou seja, os processos
de amostragem são dinâmicos e sequenciais; a amostra é ajustada automaticamente sempre
que emirjam novas hipóteses de trabalho e o processo de amostragem só se encontra
concluído quando se esgota a informação que se retira através do confronto das múltiplas
fontes de evidência.
Por se pretender, com esta investigação, a compreensão do surgimento e da evolução do
conceito de normas matriciais em Portugal, entrevistaram-se/analisaram-se os investigadores
que pensamos tenham trabalhado, em Portugal, nesse tema. Entrevistámos José Vitória e
investigadores desta linha de pesquisa. Os sete participantes neste estudo são/foram docentes
do ensino superior. As entrevistas ocorreram no período de dezembro de 2009 a fevereiro de
2010. Sintetizamos em seguida o perfil de cada um dos entrevistados seguidores do tema:
Armando Duarte da Silva Gonçalves (Armando Gonçalves) - desde o início da sua
atividade profissional que se encontra a lecionar no Departamento de Matemática da
Universidade de Coimbra.
Margarida Maria Fernandes Saraiva (Margarida Saraiva) - professora aposentada do
Instituto Superior de Engenharia de Coimbra do Departamento de Física e Matemática. Foi
impossível contactá-la.
41
Capítulo II: Metodologia
Maria Helena Seabra de Almeida (Helena Almeida) - leciona no Instituto Superior de
Contabilidade e Administração de Coimbra. Nos primeiros 10 anos de docência trabalhou na
Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, encontrando-se um ano em
acumulação de funções no Instituto Superior de Engenharia da mesma cidade.
Maria Teresa dos Reis Pedroso de Lima (Teresa Pedroso de Lima) – leciona desde 1979 na
Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra. Enquanto aluna da licenciatura em
Matemática, lecionou disciplinas no ensino superior e foi docente no ensino secundário
durante dois anos letivos. Como dados relevantes do seu currículo, podemos mencionar que
foi Presidente do Conselho Pedagógico, Presidente da Assembleia da Faculdade, Presidente
do Conselho Científico, entre outros. Orientou e coorientou quatro doutorandos e quatro
mestrandos e fez parte de vários júris.
Maria Manuela Vivaldo Silva (Manuela Vivaldo) - encontra-se a lecionar na Faculdade de
Economia da Universidade de Coimbra. No ano de 1979 trabalhou em simultâneo nesta
Faculdade e no Instituto Bissaya Barreto. No que diz respeito ao seu currículo, é de referir a
publicação dos seguintes artigos: “Looking for nonnegative solutions of a Leontief Dynamic
model” (Silva & Lima, 2003) e “Bounds for singular values of block companion matrix”
(Silva & Lima, 2007) em conjunto com a sua orientadora. Atualmente está a coorientar várias
dissertações de doutoramento ligadas à área do Empreendorismo e do Marketing.
Maria Madalena de Almeida Correia Gomes Martins (Madalena Martins) - encontra-se
aposentada. Lecionou, desde o início da sua atividade profissional, no Departamento de
Matemática da Universidade de Coimbra, acumulando funções no Instituto Superior de
Contabilidade e Administração em Coimbra durante um ano e na Escola Universitária das
Artes de Coimbra entre 1997 a 2008 lecionando Matemática e Geometria Descritiva.
João de Deus Mota Silva Marques (João de Deus Marques) - leciona na Faculdade de
Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa. Acumulou funções na Universidade
de Évora e na Academia Militar de Lisboa. Regente e responsável de várias disciplinas na
área de Análise, orientador de Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica e
orientador de doutoramento. Publicou vários artigos de investigação em publicações nacionais
e internacionais. Participou como orador em diversos congressos internacionais e integrou a
Comissão Executiva do Departamento de Matemática.
42
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III – “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Neste capítulo apresentamos um estudo que pretende contribuir para a compreensão do que se
entende por “fazer escola” na área da matemática (Cosme & Costa, C., 2014a). Referimo-nos,
de forma breve, ao que se pensa ter sido a primeira escola, ou seja, a Escola Pitagórica e
apresentamos cinco estudos de caso de investigadores portugueses que fizeram escola em
Portugal em diferentes áreas da Matemática. No final apresentamos os fatores comuns,
académicos e profissionais, que identificamos como relevantes para um investigador ser
considerado o “pai” de uma linha de investigação. Este capítulo serve de suporte teórico ao
estudo de caso principal da investigação desenvolvida.
43
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.1 Introdução
Este capítulo destina-se à apresentação do estudo que nos permitiu responder à primeira
questão de investigação que estabelecemos:
· Quais os indicadores que nos permitem afirmar a criação e o desenvolvimento de
uma linha de investigação numa determinada área de estudo da Matemática em
Portugal?
Com a resposta a esta questão queremos contribuir para a compreensão do que se entende por
“fazer escola” numa determinada área da Matemática em Portugal. A resposta consistirá na
identificação de indicadores comuns relevantes na vida académica e profissional de
matemáticos portugueses que a comunidade científica considera como tendo “feito escola”
num campo da Matemática.
Efetuámos cinco estudos de caso: Almeida Costa, José Sebastião e Silva, Tiago de Oliveira,
Graciano de Oliveira e João Pedro da Ponte.
Porquê estes investigadores? Quem conhece a história da Matemática em Portugal no século
XX sabe que os quatro primeiros são os mais destacados e referenciados em relação ao tema
que aqui nos ocupa. O acompanhamento da atuação de João Pedro da Ponte – mais recente –
mostra que é o nome que se destaca na Educação Matemática em Portugal. Por outro lado,
optamos por grandes áreas da Matemática: Álgebra, Análise Funcional, Probabilidades e
Estatística, Álgebra Linear e Educação Matemática, respetivamente. Tão especiais que
algumas constituíram-se como áreas autónomas dentro do campo matemático, como é o caso
das Probabilidades e Estatística e da Educação Matemática.
Para reconhecermos fatores comuns a estes investigadores recorremos às suas biografias e
artigos de cariz biográfico. Nos casos de Graciano de Oliveira e de João Pedro da Ponte
recorremos também à análise do seu curriculum vitae e a um contacto direto. Em síntese,
recorremos a fontes históricas primárias, quando possível, e a fontes históricas secundárias.
Concluída esta curta introdução, continuamos este capítulo apresentando um exemplo da
antiguidade – A Escola Pitagórica – por ser paradigmático. Posteriormente, apresentamos o
relato biográfico dos cinco matemáticos escolhidos e a respetiva análise na procura dos
44
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
indicadores comuns mais relevantes na “criação de escola” ou seja na criação e
desenvolvimento de uma linha de investigação, com que terminamos o capítulo.
45
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.2 Um exemplo da antiguidade – A Escola Pitagórica
A Escola Pitagórica é a primeira escola de que se tem conhecimento. Recebeu o nome do seu
fundador, Pitágoras. Boyer, C. B, (1996) realça que Pitágoras foi um dos maiores filósofos da
Europa antiga. Diz-se que nasceu em Samos, uma ilha do mar Egeu, aproximadamente em
580 a.C.. Da sua juventude pouco se sabe, apenas que conquistou prémios nos Jogos
Olímpicos. Gorman (1979) refere que Pitágoras não se sentindo satisfeito com os
conhecimentos obtidos na sua terra e, na ânsia de querer saber mais, aquando da idade adulta,
abandonou a ilha onde vivia e passou bastantes anos a viajar, percorrendo a maioria dos
grandes centros da sabedoria. A história conta que na sua jornada à procura de novo
conhecimento, ele viajou até ao Egipto, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina angariando em
cada país novas informações o que fez com que se familiarizasse com a Sabedoria Esotérica,
assim como com os conhecimentos esotéricos neles disponíveis.
Segundo Eves (1997), alguns anos mais tarde, voltou à sua terra onde tencionava abrir uma
escola para propagar os conhecimentos adquiridos nas suas viagens. No entanto, tal foi
impossível devido à oposição de Policrates, que governava a ilha na altura. Dado o fracasso
da tentativa de abertura da escola migrou para Crotona, importante cidade da Magna Grécia,
que era uma colónia fundada pelos dórios na costa meridional de Itália.
Khan (2001) menciona que, em Crotona, Pitágoras fundou a Escola ou Sociedade de
Estudiosos, que ficou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na
Europa. Pensa-se que foi nesta escola, que durante quarenta anos, o famoso filósofo,
secretamente, ensinava a sabedoria oculta que havia compilado dos Ginosofistas e Brâmanes
da Índia, dos Hierofantes do Egipto, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos
Rabinos Hebreus e Magos Caldeus. Expressava simultaneamente tendências místicoreligiosas e científico-racionais. O pitagorismo terá influenciado de forma notória o futuro
platonismo, o cristianismo e ainda foi invocado por algumas sociedades secretas que vigoram
até ao presente. Segundo Boyer, C. B., (1996), a matemática nunca teve um papel tão
grandioso na vida e na religião como entre os pitagóricos.
O pentagrama, uma estrela de cinco pontas (figura 1), foi o símbolo escolhido para
representar a Escola Pitagórica.
46
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Figura 1: Pentagrama – símbolo da Escola Pitagórica
Segundo Riedweg (2005), a Escola Pitagórica apresentava características muito peculiares.
Por exemplo, supõe-se que cada membro era obrigado a passar por um período de cinco anos
de contemplação, guardando completo silêncio. Acreditavam na doutrina da metempsicose e
tinham que ter uma fé muito forte e absoluta no seu mestre e fundador da Escola, Pitágoras.
Riedweg (2005) refere que o ensino era feito em grande parte em segredo e, somente, o
mérito e a capacidade apresentada pelos discípulos é que permitiam a passagem para uma
classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos. Pensa-se que ninguém
podia registar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta e, até ao momento, pelo que
se sabe nenhum discípulo corrompeu a regra até mesmo depois da morte de Pitágoras e da
difusão da Escola.
Segundo Mattéi (2000) o conhecimento que Pitágoras ensinava aos seus seguidores
apresentava-se em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A
primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical. A teoria e a
grandeza também se apresentava subdividida em dois ramos: a geometria (grandeza em
repouso) e a astronomia (grandeza em movimento).
Boyer, C. B., (1996) e outros acreditam que os europeus devem a Pitágoras os primeiros
ensinamentos sobre as propriedades dos números, dos princípios da música e da física. Estes
ensinamentos foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia
ocidental, sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o
dualismo cósmico essencial. Existem provas de que ele visitou a Ásia Central, tendo sido ali
que assimilou as ideias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar
de Pitágoras, seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros discípulos, tornou-se mais tarde
conhecida pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.
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Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Considera-se que os pitagóricos tiveram um papel influente no desenvolvimento da
matemática grega. Conforme destaca Boyer, C. B., (1996), a tudo o que tocavam davam mais
vida. Nas áreas de pensamento que se propunham trabalhar efetuaram feitos que fizeram
história na história da humanidade.
No que diz respeito às contribuições de Pitágoras à matemática, Thomas (1939), enfatiza que:
(…) Transformou essa ciência numa forma liberal de instrução, examinando seus princípios
desde o início e investigando os teoremas de modo imaterial e intelectual. (Thomas,1939,
retirado de Boyer, C. B., 1996, p. 33)
Por sua vez, a matemática influenciou a sua posição filosófica dizendo que os números são os
princípios de todas as coisas. Na Metafísica, Aristóteles afirma:
(…) os denominados pitagóricos captaram por vez primeira as matemáticas e,
além de desenvolvê-las, educados por elas, acreditaram que os princípios delas
eram os princípios de todas as coisas. Como os números eram, por natureza, os
princípios delas (…) e apareciam os números como primeiros em toda a
natureza, pensaram que os elementos dos números eram os elementos de todas
as coisas [3].
48
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.3 Cinco investigadores portugueses que “fizeram escola”
Esta secção consiste na apresentação dos dados sobre os cinco estudos de caso a analisar na
secção seguinte, uma vez que a biografia dos investigadores selecionados se constitui como a
fonte de dados.
III.3.1 Almeida Costa e a “Escola de Álgebra Moderna” em Portugal
O professor e investigador António Almeida Costa nasceu a 25 de maio de 1903 em Celorico
da Beira, e faleceu em Lisboa a 24 de agosto de 1978. Em 1919 terminou os estudos
secundários no liceu da Guarda, com a classificação de 19 valores. Posteriormente, ingressou
no 1.º ano do Curso de Matemática da Faculdade de Lisboa. Concluiu este ano com êxito,
tendo inclusivamente sido premiado. Interrompeu durante um ano os estudos, e no ano
seguinte matriculou-se na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, onde concluiu em
1924 a licenciatura em Ciências Matemáticas com 19 valores.
Figura 2: Almeida Costa
Ao longo do seu percurso como estudante na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
foi distinguido com a atribuição dos prémios “Gomes Teixeira” e “Gomes Ribeiro”
(Ramalho, Galvão & Coelho, 1974; Dionísio & Oliveira, A., 1997; Agudo, 2000 [4]; Galvão,
2001[5]).
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Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
No ano de 1924 iniciou a carreira docente na Faculdade de Ciências da Universidade do
Porto, como 2.º Assistente no grupo de Matemáticas Aplicadas. Em 1933 foi promovido a
Professor Auxiliar e, quatro anos mais tarde, em 1937, a Professor Extraordinário (Ramalho,
Galvão & Coelho, 1974; Dionísio & Oliveira, A., 1997; Agudo, 2000 [4]; Galvão, 2001 [5]).
No ano de 1937, recebeu uma bolsa do Instituto para a Alta Cultura com o intuito de estudar
Física Teórica, particularmente Mecânica Quântica e Teoria da Relatividade, no Physikalische
Institut, em Berlim, onde residiu durante 22 meses. Durante o primeiro ano letivo frequentou
diversos cursos de física sobre eletricidade teórica e mecânica quântica. No segundo ano
frequentou cursos de teoria dos quanta, de aplicação da teoria dos grupos à teoria dos quanta,
de teoria das matrizes e de teoria da representação na mecânica quântica. Segundo Agudo
(2000) [4], foi destes cursos que resultou a sua orientação para a Teoria das Representações
de Grupos e por sua vez, para a Álgebra Moderna (assim denominada na época), à qual
dedicou toda a sua vida científica futura.
Quando regressou a Portugal, continuou a desenvolver os estudos sobre diversos assuntos de
Álgebra que havia iniciado aquando da sua estadia em Berlim. Desses estudos surgiram novos
resultados que foram publicados nas edições do Centro de Estudos Matemáticos do Porto. Em
resultado dos avanços obtidos nos seus estudos, em 1945, a convite da Sociedade Portuguesa
de Matemática, proferiu em Lisboa algumas conferências sobre Álgebras em Quântica
(Agudo, 2000 [4]; Galvão, 2001 [5]).
No ano de 1950 foi promovido a Professor Catedrático de Mecânica e Astronomia na
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Em 1952, aceitou o convite que lhe foi
proposto pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa para ocupar o lugar de
Professor Catedrático de Álgebra. Esta Faculdade outorgou-lhe, em 1961, o título de Doutor
(Ramalho, Galvão & Coelho, 1974).
Aquando da reformulação do plano de estudos das licenciaturas em Matemática, em 1964,
segundo o Decreto-Lei n.º 45840 do Diário do Governo, Série I, n.º 179 de 31 junho 1964, o
investigador defendeu com veemência, a introdução da disciplina de Álgebra Linear no 1.º
ano (Agudo, 2000 [4]; Galvão, 2001 [5]).
A partir do momento em que veio lecionar para a Faculdade de Ciências da Universidade de
Lisboa, começou a organizar um seminário semanal, onde tratava os assuntos que mais lhe
50
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
interessavam, mostrando e transmitindo desta maneira o seu gosto e entusiasmo pela Álgebra
Moderna. Tal como as palavras de Agudo (1974) ilustram, esta atitude não era uma tarefa
fácil na altura, no entanto o gosto pelo tema sobrepunha-se ao trabalho.
(…) As obrigações docentes de um assistente eram então bem mais pesadas do que
agora; o tempo disponível para o estudo pessoal e a investigação bem mais reduzido;
mas isso não impediu que o novo professor de Álgebra (Prof. Almeida Costa) pusesse em
marcha um seminário para o estudo dos assuntos que o apaixonavam, que conseguisse
transmitir a alguns jovens de então o seu entusiasmo pela álgebra “moderna”; e durante
anos lectivos, pontualmente (uma vez por semana, pelo menos) sucederam-se as
exposições de seminários sobre Teoria dos grupos, Teoria dos anéis e ideais não
comutativos, Teoria dos corpos. A sua volumosa obra Sistemas hipercomplexos e
representações2 passou a tornar-se-nos familiar. (Agudo, 1974, p. 11)
Temas como a Teoria dos Grupos, a Teoria dos Anéis e a Teoria dos Corpos, bem como os de
Topologia Algébrica, Mecânica e Física Matemática foram abordados nesses seminários.
“Sistemas Hipercomplexos e Representações”, obra realizada por Almeida Costa, foi
divulgada entre os participantes desse seminário, dos quais faziam parte Tiago de Oliveira,
Coimbra de Matos, Dias Agudo, Veiga de Oliveira, J. J. Dionísio, Maria Luísa Galvão e
Margarita Ramalho. Desta maneira, teve início a primeira escola de algebristas portugueses.
Com os investigadores referidos acima e outros que se juntaram mais tarde, Almeida Costa
realizou vários projetos de investigação do Instituto de Alta Cultura, sendo o último o LM4. O
projeto LM4 foi o impulsionador do atual Centro de Álgebra da Universidade de Lisboa
(CAUL), do qual Almeida Costa foi, em 1976, um dos proponentes, e grande defensor até à
morte (Galvão, 2001 [5]).
Almeida Costa foi uma das primeiras pessoas a envolver-se na orientação de doutoramentos
em Álgebra, em Portugal. Os projetos de investigação que encabeçou no Instituto de Alta
Cultura, durante a década de 50 e os cinco primeiros anos da década de 60, tinham como
intuito o estudo aprofundado e a investigação em Teoria dos Grupos e em Teoria dos Anéis,
bem como em generalizações destas. Foi o grande impulsionador do estudo, em Portugal, da
Teoria dos Semigrupos e da Teoria dos Semianéis (Agudo, 1974; Agudo, 2000 [4]).
2
A. Almeida Costa, Sistemas hipercomplexos e representações (Porto: Centro de Estudos Matemáticos Fac. Ci.
Porto 1948), 518 pp. (conforme citação)
51
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Durante a década de 50, publicou dois livros: Curso de Álgebra Abstrata, em 1954 e
Elementos de Álgebra Linear e de Geometria Linear, em 1958. Até 1973, data da sua
jubilação, publicou diversos artigos onde apresentou contribuições importantes para a teoria
dos anéis de endomorfismos (Galvão, 2001 [5]).
Maria Luísa Galvão (2001 [5]), discípula de Almeida Costa, resume os contributos científicos
deste matemático nas seguintes palavras:
Usando os conceitos de ideal de contracção (dum módulo num submódulo) e de ideal
aniquilador, dá teoremas inspirados em teoremas da teoria dos anéis e estabelece, de
forma inesperada, alguns resultados respeitantes a módulos que satisfazem às duas
condições de cadeia. (…) introduziu o conceito de anel-μ (…). Posteriormente (…)
retomou o assunto pelo que o seu nome aparece ligado a uma caracterização dos
mesmos. Almeida Costa ocupou-se ainda dos semianéis reticulados, contribuindo para o
esclarecimento da sua estrutura no tocante a radicais, ideais mínimos, subsemianéis de
divisão, etc, o que deu lugar à publicação de vários trabalhos, alguns em conjunto com
os seus colaboradores. [5]
No sentido de mostrar a ação renovadora que Almeida Costa teve no campo da Álgebra em
Portugal, da sua importância e perseverança a que se dedicou tanto nos cursos de licenciatura,
como nos trabalhos de pós-graduação, Dias Agudo, à data, subdiretor da Faculdade de
Ciências da Universidade de Lisboa (FCUL), proferiu as seguintes palavras aquando da
última lição de Almeida Costa em 25 de maio de 1973:
(…) Com este testemunho, outro objectivo não tive do que dar mais realce à
actuação que o Prof. Almeida Costa teve nesta escola como grande
impulsionador da álgebra (…). A sua actividade como algebrista não sofreu
interrupções (basta referir os seus mais recentes volumes de Álgebra Geral3) e
não terminará com a jubilação4. (Agudo, 1974, p. 12)
3
A. Almeida Costa, Cours d'Algèbre générale vol I (Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1964 (1.ª edição,
494 pp), 1969 (2.ª edição, 595 pp)); A. Almeida e Costa, Cours d'Algèbre générale, vol II (Lisboa: Fundação
Calouste Gulbenkian, 1967), 660 pp; A. Almeida e Costa, Cours d'Algèbre générale, vol III (Lisboa: Fundação
Calouste Gulbenkian, 1974), 655 pp (conforme citação).
3
F.R. Dias Agudo, “Vinte Anos Depois” in Estudos de Matemática em homenagem ao Prof. A. Almeida e Costa
(Lisboa, 1974), 11-12 (conforme citação).
52
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.3.2 José Sebastião e Silva e a “Escola de Análise Funcional” em Portugal
José Sebastião e Silva nasceu em Mértola a 12 de dezembro de 1914 e faleceu a 25 de maio
de 1972 em Lisboa. Terminou o curso do Liceu em Évora com a classificação de 19 valores.
Em 1937 licenciou-se em Ciências Matemáticas na Faculdade de Ciências de Lisboa, com 18
valores (Lima, Y., 1997; Costa, C. & Teixeira, 2007).
Figura 3: José Sebastião e Silva
Entre 1940 e 1942 foi bolseiro do Instituto de Alta Cultura em Portugal, e de 1942 a 1946 foi
bolseiro em Roma, onde se especializou em Análise Funcional (Lima, Y., 1997; Costa, C. &
Teixeira, 2007).
José Sebastião e Silva foi convidado para Assistente de Álgebra e regente de Complementos
de Álgebra na Faculdade de Ciências de Lisboa. Em 1948 doutorou-se nesta mesma
Faculdade com a tese intitulada “As funções analíticas e a análise funcional”. Em 1960 foi
convidado para Professor Catedrático no Instituto Superior de Agronomia da Universidade
Técnica de Lisboa, lecionando Análise Superior (Lima, Y., 1997; Costa, C. & Teixeira,
2007).
Dirigiu o Centro de Estudos Matemáticos de Lisboa durante mais de 20 anos, colaborando
desta maneira, para a formação de muitos investigadores e docentes. Como presidente da
Comissão para a Modernização do Ensino da Matemática nos liceus portugueses, foi o
responsável pela atualização e racionalização do ensino da matemática no nosso país (Costa,
A. A., 1974; Costa, C. & Teixeira, 2007).
Embora tenha realizado alguns trabalhos no domínio da Álgebra, da Lógica e da Topologia
dedicou-se à Análise Funcional. Aquando da sua estadia em Itália, especializou-se em Análise
53
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Funcional, publicando diversos trabalhos. Com um dos seus trabalhos, o de maior impacto
internacional, “Sur certi spazi localment convessi importanti pur le applicazioni” in
Rendiconti di Matematica dell Universitá di Roma (1955), apresenta uma nova categoria de
espaços localmente convexos que ficaram conhecidos por “espaços de Silva”. Os resultados
exibidos no seu trabalho originaram estudos de diversos matemáticos, entre os quais G.
Köthe, A. Grothendieck, C. Silva Dias, Tillmann e Van Hove (Costa, A. A., 1974; Lima, Y.,
1997).
Em 1956 ganhou o prémio “Artur Malheiros”, da Academia das Ciências de Lisboa, com o
trabalho denominado “Conceito de função diferenciável em espaços localmente convexos”.
Posteriormente, continuou a publicar trabalhos sobre cálculo diferencial em espaços
convexos, sendo estes a base de estudos importantes realizados por vários investigadores,
entre os quais Hogbe-Nlend, Colombeau e F. Sequeira (Costa, A. A., 1974).
Por todo este labor, pelos discípulos que criou e pelo prestígio que trouxe à
matemática do nosso país, o Prof. Sebastião e Silva é considerado um analista
notável do seu tempo e um dos mais insignes matemáticos portugueses de sempre.
(Costa, A. A., 1974, p. 187)
Podemos dizer que o seu trabalho de investigação tocou vários ramos da análise funcional,
dos funcionais analíticos, teoria dos espaços localmente convexos, teoria das distribuições e
cálculo simbólico, estando na base de diversas linhas de investigação que tiveram seguidores
no estrangeiro, nomeadamente em França, Estados Unidos da América, Grã-Bretanha, Japão,
Itália, Bélgica, Brasil, Argentina, República Federal Alemã e União das Repúblicas Sociais
Soviéticas. A sua descoberta da axiomática da Teoria das Distribuições (escalares) foi
considerada a primeira completa na História da Matemática e bastante importante no
desenvolvimento de muitos trabalhos originais de outros investigadores (Costa, A. A., 1974;
Lima, Y., 1997).
No entanto, José Sebastião e Silva não se preocupou apenas com a investigação, também teve
um papel importante na reestruturação e atualização do ensino da Matemática em Portugal. O
investigador teve a capacidade de apreciar o ensino da Matemática no seu todo, isto é,
observou os problemas que se passavam desde o ensino primário ao ensino superior (Costa,
A. A., 1974).
54
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Para ele, a Matemática não era um conjunto de técnicas a dominar, mas sim, um meio de
alcançar a formação integral de um cidadão. Segundo Oliveira, A. F. (1982, p. 162), uma
directriz essencial do projecto de modernização veiculado por José Sebastião e Silva: dar ao
estudante uma visão do porquê, a par do como se faz. No entanto, nem sempre as suas ideias
foram bem compreendidas pelos outros, tendo sido a Reforma da Matemática Moderna muito
censurada.
Sebastião e Silva tomou uma atitude empenhada em relação à sociedade, ao assumir, com
garra, uma batalha que tinha como intuito a melhoria do ensino da matemática. Em relação ao
ensino superior, o investigador participou ativamente em diversas propostas para a
reformulação da licenciatura em Matemática, não se preocupando apenas com a constituição
das disciplinas e seus conteúdos, mas também era sua inquietação os aspetos pedagógicos,
bem como os problemas da avaliação. Deve-se também a ele a renovação do ensino da
Análise, com repercussões visíveis na formação de novos professores e investigadores (Costa,
A. A., 1974; Lima, Y., 1997).
Em relação aos ensinos básico e secundário, José Sebastião e Silva, publicou vários textos
didáticos. Alterou os programas e sugeriu novos métodos de ensino da matemática. Neste
contexto, concebeu e orientou experiências pedagógicas realizadas a partir de 1963 nos liceus
e escreveu compêndios para os alunos e professores realizando cursos orientados para a
formação destes últimos (Costa, A. A., 1974; Lima, Y., 1997; Costa, C. & Teixeira, 2007).
O matemático José Sebastião e Silva conseguiu conciliar de uma forma extraordinária, a alta
investigação e a pedagogia, isto é, deixou uma obra de importante valor como investigador e
preocupou-se verdadeiramente com o ensino da matemática, elaborando compêndios que
primavam pelo rigor matemático e linguagem utilizada (Costa A. A., 1974; Lima, Y., 1997;
Costa, C. & Teixeira, 2007).
Foi considerado por António Aniceto Monteiro o maior matemático Português (Ribeiro,
1980).
55
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.3.3 Tiago de Oliveira e a “Escola de Estatística” em Portugal
José Tiago da Fonseca Oliveira nasceu a 22 de dezembro de 1928, na cidade de Lourenço
Marques (Moçambique), e faleceu a 23 de junho de 1992 em Lisboa (Oliveira, J., 1993;
Rosado,1998; Turkman, 2003 [6]).
Figura 4: Tiago de Oliveira
Distinguiu-se desde muito jovem pelo seu bom desempenho enquanto estudante, tendo em
1945 ganho um concurso de contos para jovens, organizado pela revista Itinerário de
Lourenço Marques. Nesse mesmo ano acabou o curso complementar com 19 valores, tendo
sido considerado o melhor estudante do Liceu Oliveira Salazar, de Lourenço Marques. Tal
facto fez com que lhe fosse atribuído o prémio Müller. Este prémio consistia numa bolsa da
Caixa Económica Postal para ir estudar para Portugal Continental. Inicialmente o seu desejo
era estudar engenharia naval, no entanto aconteceu ter adquirido um livro sobre estatística
durante a viagem, numa escala no Lobito, Angola, o que o terá influenciado a optar por essa
área de estudo e investigação (Oliveira, J., 1993; Rosado, 1998; Turkman, 2003 [6]).
Durante os anos de 1947 e 1948, na Associação Comercial do Porto, fez o Curso de Economia
Monetária. Concluiu a licenciatura em Matemática, na Universidade do Porto, com a média
final de 18 valores em 1949. Passado um ano, em 1950, Tiago de Oliveira concluiu o Curso
de Engenharia Geográfica, na mesma Universidade, com a média final de 17 valores
(Oliveira, J., 1993; Rosado, 1998; Turkman, 2003 [6]).
Na cidade do Porto, num movimento impulsionado pelo investigador Ruy Luís Gomes, Tiago
de Oliveira encontrou ambiente propício para o desenvolvimento dos seus estudos e da
56
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
investigação matemática (Oliveira, J., 1993). Contudo, em 1951, o investigador foi trabalhar
para Lisboa, para o Instituto de Biologia Marítima, como Assistente de investigação. Foi
convidado, pelo Professor Almeida Costa, para 2.º Assistente na Faculdade de Ciências da
Universidade de Lisboa. Nessa altura começou a publicar em simultâneo trabalhos sobre
Estatística Teórica e Aplicada e Álgebra (Oliveira, J., 1993; Rosado, 1998; Turkman, 2003
[6]).
No ano letivo de 1959/60 desenvolveu um curso de Introdução à Bioestatística na Sociedade
Portuguesa de Ciências Naturais. Em 1963 apresentou o trabalho “Estatística de Densidades,
Resultados Assintóticos” como tese de Agregação (Oliveira, J., 1993).
Em 1967 passou a ocupar a posição de Professor Catedrático de Estatística Matemática da
Faculdade de Ciências (Oliveira, J., 1993; Rosado, 1998).
Tiago de Oliveira dirigiu o Seminário de Estatística e Aplicações no Centro de Matemática
Aplicada ao estudo da Energia Nuclear. Durante vários anos lecionou as disciplinas de
Estatística Matemática, Dinâmica Aleatória de Populações, Elementos de Probabilidades e
Estatística, Valores Extremos, Erros e Estatística, Seminário de Investigação Operacional,
Matemáticas Atuariais III, Processos Estocásticos I e II, Teoria dos Valores Extremos e
dirigiu diversos seminários sempre orientados para a área de Probabilidades e Estatística
(Oliveira, J., 1993; Rosado, 1998).
Na década de 80 foi defensor do ensino da Estatística nos liceus, o que se viria a concretizar.
Entretanto, a Secção de Matemática Aplicada da Faculdade de Ciências mudou de nome para
Departamento de Estatística, Investigação Operacional e Computação. No ano letivo de
1983/1984 criou um mestrado na mesma área (Oliveira, J., 1993; Rosado, 1998).
Em 1984, pelo conjunto da sua obra, ganhou o prémio da Fundação Calouste Gulbenkian para
Ciência e Tecnologia, Ciências Lógico-Dedutivas (Oliveira, J., 1993; Rosado, 1998).
Em 1988 passou a integrar os quadros da Faculdade de Ciências e Tecnologia da
Universidade Nova de Lisboa, como Professor Catedrático, onde foi o fundador do
Laboratório de Estatística e Matemática Atuarial. No ano de 1992 viria a ser o primeiro
diretor do Instituto de Altos Estudos criado na Academia das Ciências (Oliveira, J., 1993;
Rosado, 1998; Turkman, 2003 [6]).
57
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Tiago de Oliveira publicou o seu primeiro artigo científico no Anais da Faculdade de
Ciências do Porto intitulado “Sobre o Problema da Estimação Estatística”. A partir dessa
publicação teve uma atividade intensa tanto ao nível da investigação, do ensino e de
publicações, o que fez com que se tornasse uma figura incontestável na ciência portuguesa do
século XX. Embora o início da sua investigação tenha sido na Álgebra, foi na Estatística que
se destacou, sendo atualmente uma referência nacional e internacional na área da Estatística e
das Probabilidades. A maioria dos seus trabalhos foram desenvolvidos na área da Estatística
Não-Paramétrica e na da Inferência Estatística. Contudo, foi na Estatística e Processos
Estocásticos de Extremos que o investigador veio a “criar escola”, tendo sido um dos
principais impulsionadores do desenvolvimento nacional e internacional dessa área de
investigação (Rosado, 1998).
O investigador, ao longo da sua vida, mostrou um empenho constante em criar estruturas para
o desenvolvimento e divulgação de estudos de investigação científica nas áreas em que
trabalhava. Deste modo, colaborou indubitavelmente para a autonomização da área da
Matemática Aplicada, da Estatística e Investigação Operacional. Assumiu um papel decisivo
na criação do Departamento de Estatística, Investigação Operacional e Computação e do
Centro de Estatística e Aplicações. Tiago de Oliveira teve um papel ativo no desenvolvimento
da Sociedade Portuguesa de Estatística e Investigação Operacional (Oliveira, J., 1993).
58
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.3.4 Graciano de Oliveira e a “Escola de Álgebra Linear” em Portugal
Graciano Neves de Oliveira nasceu a 7 de maio de 1938 em Cabanas de Viriato e frequentou
o ensino secundário em Aveiro, Lisboa, Sá da Bandeira (Angola) e Coimbra. Em 1961
licenciou-se em Ciências Matemáticas na Universidade de Coimbra com 18 valores [CV1].
Figura 5: Graciano de Oliveira
Entre 1966 e 1968 foi como bolseiro para Oxford [CV1]. Durante estes anos o investigador
aprofundou o interesse pelo estudo das matrizes, desperto em Portugal pelo seu orientador
Luís de Albuquerque (Oliveira, G., 1998).
Em Sheffield tomou contacto com artigos de Leon Mirsky, mais especificamente com o artigo
“Inequalities and existence theorems in the theory of matrices”, que marcou o início da sua
investigação nesta área (Queiró, 2011).
Entre 1961 e 1969 foi docente na Universidade de Coimbra e na Universidade de Estudos
Gerais Universitários de Moçambique (atualmente Universidade Eduardo Mondlane) [CV1].
Nesta, em 1966, indicou a José Vitória um problema sobre matrizes o que permitiu a este
investigador desenvolver extenso trabalho em Matrices With Pairwise Commuting Blocks.
Em 1969 doutorou-se em matemática pura na Universidade de Coimbra com a tese “On
Stochastic and Doubly Stochastic Matrices " sendo-lhe atribuída a classificação de 18 valores.
Esta investigação foi pioneira em Portugal, sendo ainda hoje estudada por investigadores de
vários países (Queiró, 2011).
59
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Em 1971 foi professor da Universidade Federal de Pernambuco, em Recife, no Brasil. Nesse
mesmo ano lecionou um curso de pós-graduação na Universidade Federal do Rio de Janeiro
[CV1].
No ano letivo 1971/72, Graciano de Oliveira beneficiou de uma bolsa da Fundação Calouste
Gulbenkian para trabalhar em funções generalizadas de matrizes. Ainda neste ano proferiu
uma série de conferências sobre Álgebra Multilinear, marcando o início da pesquisa nesta
área em Portugal. Quem assistia a estas conferências eram alunos interessados no tema, tais
como José Dias da Silva e Eduardo Marques de Sá. Destas conferências surgiu o artigo “On
the eigenvalues of the matrix A + XBX-1”, um dos primeiros nesta área de investigação
(Queiró, 2011).
Graciano de Oliveira entre 1972 e 1976, foi orientador de um grupo de investigação em
Álgebra Linear no Instituto de Física e Matemática [CV1].
O investigador, em 1976, voltou a lecionar na Universidade de Coimbra, equiparado a
Professor Extraordináro [CV1]. Nesta universidade, apresentava seminários com o intuito de
atrair novos investigadores para formar um grupo de investigação na área da Álgebra Linear.
Convidou vários algebristas estrangeiros de renome, dos quais citamos, R. Merris, D. Carlson,
H. Minc, B. Cain, M. Fiedler, H. Wimmer, T. Laffey, S. Friedland e R. Loewy, para visitarem
a Universidade de Coimbra e falarem da sua investigação (Queiró, 2011).
Em 1978 prestou provas de agregação na Universidade de Coimbra (Queiró, 2011). Em
dezembro de 1979 foi promovido a Professor Catedrático [CV1].
Entre 1978 e 1986, Graciano de Oliveira foi orientador científico da linha de Álgebra Linear e
Aplicações do Centro de Matemática da Universidade de Coimbra [CV1].
Foi membro da comissão organizadora do encontro internacional de Álgebra Linear e
Aplicações realizado em Coimbra em 1982. Em 1983 foi realizada uma reunião de Álgebra
Linear, em Espanha, o que fez com que aumentasse os contactos entre os algebristas lineares
do País Basco e os de Portugal (Queiró, 2011).
Os problemas que Graciano de Oliveira propôs ao longo dos anos continuam a ser estudados,
tanto por investigadores portugueses como estrangeiros. Alguns destes problemas continuam
à espera de uma resposta (Queiró, 2011).
60
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Em 1982, o investigador criou o primeiro mestrado em Álgebra Linear e Aplicações na
Faculdade de Coimbra. Ainda neste ano foi Professor Visitante na Universidade Estadual de
Campinas (Brasil) onde lecionou um curso de pós-graduação [CV1].
Graciano de Oliveira orientou muitos estudantes de doutoramento, dos quais muitos são
professores do ensino superior. Em 1985 orientou o basco Zaballa. Por sua vez, este estendeu
a sua investigação a Espanha, fazendo discípulos no País Basco e em Barcelona. Este facto
mostra que existia continuidade nesta linha de pesquisa também no estrangeiro.
O investigador, de 1 de março de 1986 a 30 de setembro de 1988, foi destacado como
Professor Catedrático para a Universidade de Lisboa. Posteriormente, durante os anos letivos
1989/90, 1990/91 e 1991/1992 exerceu funções de Professor Catedrático na Universidade de
Macau voltando a lecionar na Universidade de Coimbra no ano letivo seguinte [CV1].
Graciano de Oliveira é autor de 49 artigos de investigação segundo o Mathematical Reviews.
Foi redator/editor da Portugaliae Mathematica, da Gazeta de Matemática e membro do
editorial board da revista Linear Algebra and its Applications. Fez trabalho de referee para a
Mathematical Reviews e Zentralblatt. Foi presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática
e vice-presidente da International Linear Algebra (Labouriau, 2013).
O tempo e o percurso de Graciano de Oliveira levaram a comunidade matemática portuguesa
a reconhecê-lo como o fundador da Escola de Álgebra Linear portuguesa. É, no entanto de
referir e de enaltecer, o papel que este investigador atribui a Luís de Albuquerque
relativamente a este assunto, nas palavras de homenagem, de 1998, que passamos a citar:
Desempenhou [Luís de Albuquerque] um papel importantíssimo como precursor
do grupo de Álgebra Linear actualmente existente em Portugal (…). Por razões
de idade tive oportunidade de funcionar como intermediário entre o Professor
Luís de Albuquerque e a nova geração de algebristas lineares portugueses. Sem
ele muito provavelmente a escola portuguesa de Álgebra Linear não existiria. Foi
ele quem me atraiu para o assunto e foi a sua visão estratégica do que havia a
fazer que orientou muitas das minhas acções. (Oliveira, G., 1998, pp. 127-128)
61
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.3.5 João Pedro da Ponte e a “Escola em Educação Matemática” em Portugal
João Pedro Mendes da Ponte nasceu a 28 de junho de 1953 e acabou a formação liceal em
1970, no liceu Passos Manuel, em Lisboa [CV2].
Terminou a licenciatura em Matemática, ramo científico, com a classificação de 17 valores,
na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, em 1979. Nesse mesmo ano realizou o
estágio pedagógico, como professor de Matemática dos ensinos básico e secundário, com a
classificação de 16 valores, na Escola Industrial e Comercial de Faro [CV2].
Figura 6: João Pedro da Ponte
Em 1984 obteve o grau de “Doctor of Education” com a classificação de 4 (numa escala de 0
a 4) na Graduate School da Universidade da Georgia, Georgia, Estados Unidos da América.
Um ano mais tarde, em 1985, obteve equivalência ao grau de Doutor em Educação, por
unanimidade, na Universidade de Lisboa. Em 1995 obteve, por unanimidade, o título de
Agregado em Educação pela mesma Universidade [CV2].
Para além de lecionar na Faculdade de Ciências e no Instituto de Educação da Universidade
de Lisboa, colaborou com outras instituições, tanto nacionais como estrangeiras. Deu o seu
contributo para o desenvolvimento e expansão da área da Educação Matemática lecionando
várias vezes, no Brasil e em Espanha, cursos intensivos em programas de mestrado e de
doutoramento em Educação Matemática, sobre o conhecimento e desenvolvimento
profissional dos professores (Ponte, 2012). Também no Brasil, na Universidade da UNESP
(Campus de Rio Claro, São Paulo, Brasil), foi regente das disciplinas de Computação e
Educação Matemática, de Concepções e Saberes Profissionais e de Conhecimento e
Desenvolvimento Profissional do Professor [CV2]. Desta forma, divulgou, num país
62
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
estrangeiro, os seus trabalhos sobre Educação Matemática, cativando docentes e alunos para a
investigação em Educação Matemática.
Em Portugal, colaborou a nível institucional com as Universidades de Coimbra, de Aveiro e
do Porto nos cursos de mestrado em Matemática (Ensino) lecionando respetivamente, um
módulo sobre Resolução de Problemas, a disciplina de Avaliação em Educação Matemática e
a disciplina de Educação Matemática. Colaborou ainda com a Universidade do Algarve,
lecionando um módulo sobre o Conhecimento Profissional do Professor no mestrado de
Didática das Línguas e Culturas Modernas [CV2].
Coordenou e continua a coordenar e a participar em vários projetos de investigação,
desenvolvimento curricular e avaliação. É editor, membro de conselhos editoriais, revisor
científico e colaborador de revistas e coleções temáticas em que o tema principal é dedicado à
Educação Matemática [CV2].
Para além disto, de 1991 a 1995 foi o Regional Representative para Portugal do International
Group for the Psychology of Mathematics Education; de 1996 a 1997 fez parte de um Grupo
de Trabalho nomeado pelo Conselho de Reitores das Universidades Portuguesas, para
produzir um estudo sobre a formação de professores em Portugal; de 1999 a 2002 foi membro
do Conselho Consultivo do Centro Interdisciplinar de Estudos Educacionais, da Escola
Superior de Educação de Lisboa; e de 2005 a 2008 foi Membro do Conselho Consultivo da
Unidade de Investigação e Desenvolvimento da Faculdade de Ciências e Tecnologia da
Universidade Nova de Lisboa e membro do júri de candidaturas aos programas Ciência 2008
e Ciência 2009 [CV2].
Ao longo dos anos, enquanto docente de mestrado da Faculdade de Ciências da Universidade
de Lisboa, foi regente de diversas disciplinas. João Pedro da Ponte foi e é orientador de
muitos mestrandos e doutorandos portugueses e estrangeiros na área da Educação Matemática
[CV2].
O investigador trabalhou durante vários anos em parceria com o Ministério da Educação e
Ciência português. Foi coordenador da equipa que elaborou o programa de Matemática do
ensino básico, homologado em dezembro de 2007 [CV2].
63
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
De 2003 a 2006, João Pedro da Ponte congregou a maioria dos investigadores portugueses em
educação matemática e alguns em matemática na Rede Intercentros de Didática da
Matemática. Esta rede permitiu, entre outros aspetos, aproximar os investigadores destas e
promover projetos de investigação conjuntos.
Tendo em conta todos os projetos e atividades como docente, orientador e investigador,
podemos considerar que João Pedro da Ponte foi o grande impulsionador da primeira Escola
de Educação Matemática em Portugal.
64
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.4 Indicadores para o estudo: análise e discussão
Esta secção é dedicada à análise e discussão dos dados relativos aos cinco estudos de caso, de
modo a entender quais os aspetos relevantes (indicadores comuns) para a criação de uma linha
de pesquisa numa certa área da matemática.
Após a análise dos cinco estudos de caso, encontramos os seguintes indicadores comuns:
formação no estrangeiro, criação de espaços de formação avançada, orientação de mestrados e
doutoramentos, introdução da área de investigação no ensino e divulgação da sua
investigação, que passamos a detalhar (Cosme & Costa, C., 2014a).
i) Formação no estrangeiro – Em quatro dos cinco casos pudemos constatar que o
“investigador pai”, depois de se licenciar numa universidade portuguesa, foi continuar os seus
estudos no estrangeiro. Almeida Costa recebeu uma bolsa do Instituto para a Alta Cultura
para estudar no Physikalische Institut, em Berlim, de onde resultou a sua orientação para a
Álgebra Moderna. Sebastião e Silva foi bolseiro em Roma, onde se especializou em Análise
Funcional. Graciano de Oliveira aprofundou os seus estudos em Álgebra Linear, como
bolseiro em Oxford. João Pedro da Ponte obteve o seu grau de “Doctor of Education”, na
Universidade da Georgia nos Estados Unidos da América. Deste modo, alguns investigadores
iam para universidades estrangeiras procurar especializar-se numa determinada área que não
existisse em Portugal.
ii) Criação de espaços de formação avançada – Após o regresso a Portugal, os
investigadores continuaram a desenvolver os seus estudos sobre os temas que tinham iniciado
aquando da sua estadia no estrangeiro e passaram a organizar seminários semanais onde
apresentavam e transmitiam esses assuntos.
Desta maneira, divulgavam o seu trabalho e cativavam os participantes para o estudo desse
tema, angariando deste modo, uma série de jovens investigadores. Estes trabalhavam
juntamente com o “investigador pai” de modo a contribuir para os avanços do tema.
Por exemplo, Tiago de Oliveira foi discípulo direto de Almeida Costa. Contudo,
posteriormente, seguiu um rumo diferente, orientando-se para o estudo das Probabilidades e
Estatística.
65
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Deste modo, constatamos que, por vezes, os investigadores seguem uma trajetória de
investigação diferente da tomada inicialmente. Iniciam o seu estudo num determinado tema
que, por diversas circunstâncias, entre as quais o gosto pessoal, interesse profissional ou o
acaso, influenciam a direção da investigação. No caso de Tiago de Oliveira, o desvio da área
da sua investigação inicial deveu-se ao gosto pessoal virando-se para o estudo da Estatística
em detrimento do estudo da Álgebra Moderna.
iii) Criação/dinamização de unidades de investigação – Todos os investigadores tiveram a
preocupação de se envolver na orientação de projetos de investigação. Tal como foi referido
Almeida Costa, enquanto membro do Instituto da Alta Cultura, encabeçou diversos projetos
com o objetivo de estudar e aprofundar a investigação em Teoria dos Grupos e Teoria dos
Anéis. Sebastião e Silva dirigiu o Centro de Estudos Matemáticos de Lisboa contribuindo
deste modo para a formação de vários investigadores e docentes na área da Análise Funcional.
Tiago de Oliveira foi diretor do Instituto de Altos Estudos criado na Academia das Ciências e
fundador do Laboratório de Estatística e Matemática Atuarial. Teve um papel decisivo na
criação do Departamento de Estatística, Investigação Operacional e Computação e do Centro
de Estatística e Aplicações assumindo deste modo um papel importante na divulgação e
crescimento da Sociedade Portuguesa de Estatística e Investigação Operacional. Graciano de
Oliveira foi presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática, vice-presidente da
International Linear Algebra Society, orientador de um grupo de investigação em Álgebra
Linear no Instituto de Física e Matemática em Lisboa e orientador científico da linha de
Álgebra Linear e Aplicações do Centro de Matemática da Universidade de Coimbra. João
Pedro da Ponte foi coordenador científico do Centro de Investigação em Educação, o
Regional Representative para Portugal do International Group for the Psychology of
Mathematics Education e Membro do Conselho Consultivo da Unidade de Investigação e
Desenvolvimento da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa
contribuindo desta forma para o conhecimento e desenvolvimento da investigação em
Educação Matemática.
iv) Orientação de mestrados e doutoramentos – Todos os investigadores analisados
orientaram vários mestrandos e/ou doutorandos. Doutores estes que, por sua vez, orientaram
outros na mesma linha de investigação.
66
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
Deste modo, iam angariando uma rede de novos investigadores, estendendo o número de
interessados pelo tema, apresentando novos resultados e avanços na investigação.
v) Introdução da área de investigação no ensino – Todos os investigadores tiveram a
preocupação de introduzir a sua área de especialização no ensino em níveis de escolaridade
adequados. Como foi referido, o investigador Almeida Costa empenhou-se com bastante
vigor para que a disciplina de Álgebra Linear fosse inserida no plano de estudos do 1.º ano da
licenciatura em Matemática. Deste modo, possibilitava-se aos alunos o contacto com esta área
de ensino logo no início da licenciatura. Sebastião e Silva participou de forma ativa em várias
propostas para a reformulação da licenciatura em Matemática promovendo a renovação do
ensino da Análise, obtendo repercussões visíveis na formação de novos investigadores e
docentes. Tiago de Oliveira defendia que o ensino da Estatística deveria ser iniciado nos
liceus. Criou um mestrado em que a base do plano de estudo era Estatística e Investigação
Operacional, divulgando e desenvolvendo desta forma a investigação nesta área. Por outro
lado, criou um curso de Introdução à Bioestatística na Sociedade Portuguesa de Ciências
Naturais com o intuito de mostrar que a Estatística era essencial para o estudo de qualquer
Ciência. Graciano de Oliveira criou o mestrado em Álgebra Linear e Aplicações na
Universidade de Coimbra. Com este mestrado, o investigador tinha o objetivo de aprofundar
mais os assuntos iniciados na disciplina de Álgebra Linear da licenciatura e angariar novos
investigadores. No estudo de caso central detalharemos a criação deste mestrado e suas
consequências. João Pedro da Ponte, enquanto docente do Mestrado da Faculdade de Ciências
da Universidade de Lisboa, incluiu no plano de estudos a disciplina Fundamentos de Didática
da Matemática. Dividiu o programa desta disciplina em três partes: Epistemologia da
Matemática, Epistemologia da Didática da Matemática e Resolução de Problemas e
Atividades de Investigação. Deste modo deu a conhecer a sua investigação e atraiu novos
investigadores para trabalharem juntamente com ele, formando atualmente uma “escola” em
Educação Matemática, com mais de meia centena de discípulos. Para além disso, valorizou a
educação matemática nos ensinos básico e secundário.
vi) Divulgação da sua investigação – Todos os investigadores foram professores de diversas
disciplinas, relacionadas com a área da sua investigação, tanto em licenciatura como em pósgraduações. Enquanto docentes das disciplinas de licenciatura davam a conhecer aos alunos o
67
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
seu tema de investigação, criando curiosidade em alguns para saber mais sobre esse tema.
Alguns desses alunos, após o interesse despertado nesse primeiro momento, prosseguiram os
seus estudos efetuando pós-graduações.
Para além de lecionarem aulas em Portugal, os cinco investigadores também o fizeram
durante alguns semestres em universidades no estrangeiro. Este facto permitiu que
divulgassem os seus trabalhos, tanto a alunos como a docentes em Portugal e no estrangeiro.
No que diz respeito a publicações, todos têm um vasto número de publicações, quer em
revistas nacionais, quer internacionais. As publicações são uma forma de dar a conhecer à
comunidade científica, tanto portuguesa como estrangeira, os estudos que se encontram a
desenvolver. Deste modo, proporcionaram a outros investigadores a tomada de conhecimento
sobre as investigações que estavam a realizar, aprendendo com os resultados apresentados,
trabalhando-os de modo a que houvesse novos avanços.
Ainda no que diz respeito à divulgação do seu trabalho, todos mostraram a preocupação de
apresentar conferências, tanto em Portugal, como no estrangeiro. Nestas são apresentados os
seus estudos à comunidade científica, podendo ser questionados sobre o seu interesse e dando
a conhecer as potencialidades dos mesmos. Esta é mais uma maneira de ampliar os
conhecedores do tema e conseguir recrutar novos investigadores para alargarem o interesse
por essa linha de investigação.
68
Capítulo III: “Fazer escola” em Portugal na área da Matemática
III.5 Síntese do capítulo
Após a análise dos cinco casos ilustrativos encontramos alguns indicadores comuns que são
propícios à “criação” de uma corrente de pesquisa. Verificamos que os investigadores, após a
licenciatura, continuaram os estudos fora de Portugal. Aquando da sua vinda no final da pósgraduação apresentaram uma intensa atividade científica a nível de publicações, seminários e
conferências dando deste modo a conhecer os seus trabalhos originais à comunidade
académica portuguesa, conseguindo recrutar alguns investigadores para trabalharem na
mesma área. Posteriormente introduziram os seus temas de investigação no ensino, ou seja,
introduziram disciplinas nos planos de estudo das licenciaturas em Matemática e pósgraduações nas quais desenvolviam esses assuntos. Todos foram orientadores de dissertações
de mestrado e/ou doutoramento, criando uma corrente de discípulos e seguidores interessados
nessa área de investigação.
Estes indicadores não são assim tão recentes. Podemos encontrar alguns deles na formação da
Escola Pitagórica que apresentamos na secção III.2 a título ilustrativo. Deste modo,
constatamos que Pitágoras tal como nos estudos de caso apresentados sentiu necessidade de
procurar novo conhecimento noutros países e de o dar a conhecer.
Este capítulo serve de base ao capítulo seguinte. Queremos verificar se no estudo de caso
principal conseguimos identificar os mesmos indicadores para justificar a criação de uma
linha de pesquisa sobre Normas Matriciais em Portugal.
69
70
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
IV – Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Neste capítulo apresentamos a introdução e evolução do conceito das normas matriciais em
Portugal. Primeiramente começamos com a secção Influências Externas, onde damos a
conhecer o modo como o conceito foi apreendido pelo investigador “pai”. Posteriormente,
segue-se a secção Repercussões Internas onde explicamos como se desenvolveu e expandiu o
conceito das normas. Por último, apresentamos uma secção que se dedica aos discípulos no
tema.
IV.1 Introdução
Este capítulo destina-se à apresentação dos dados recolhidos que nos permitem responder às
subquestões, da segunda questão de investigação, que estabelecemos para este estudo:
· Como se introduziu e propagou o conceito de normas matriciais em Portugal?
71
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
· Que desenvolvimentos em termos de investigação, o conceito de norma matricial
teve em Portugal?
Com a resposta a estas questões constituímos um corpo de conhecimento novo (Cosme &
Costa, C., 2014b), que contribui para o enriquecimento do património histórico-didático da
matemática portuguesa.
A análise deste conhecimento permitirá responder às restantes questões de investigação, e que
faremos no capítulo VI.
Porquê a escolha do conceito de norma matricial?
Para efetuar o estudo de investigação com as características que estabelecemos dada a
profundidade exigida no âmbito de um doutoramento e a limitação de tempo do mesmo,
entendemos ser imprescindível limitá-lo a um tópico de Matemática e não, a uma área mais
vasta.
O facto de a autora ser discípula de José Vitória e quase ter enveredado por um doutoramento
em matemática sobre normas vetoriais, possibilitou-lhe o contacto com o tema que
posteriormente retomou de acordo com os seus interesses de investigação históricodidáticos.
A disponibilidade de fontes primárias diversificadas e de testemunhos vivos é uma mais-valia
para um estudo desta índole por permitir a produção de trabalho original, e foi outra das
razões que nos levou a optar por este tópico.
Concluída esta breve introdução, continuamos este capítulo referindo as Influências
externas e as Repercussões internas que possibilitaram a introdução e desenvolvimento deste
conceito em Portugal. Terminámos fazendo referência aos investigadores que posteriormente
se interessaram pelo assunto e sua ligação com o investigador que introduziu o conceito em
Portugal.
72
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
IV.2 Influências externas
O conceito de norma vetorial foi dado a conhecer, pela primeira vez, por Leonid Kantorovich
(russo, 1912-1986) no artigo “The method of sucessive approximations for functional
equations” publicado no Acta Math em 1939. Neste artigo, o investigador generalizou o
conceito de norma a funções com valores num espaço vetorial semi-ordenado. Uns anos mais
tarde o conceito de norma alargou-se a várias áreas da Matemática. No âmbito da análise
funcional, foi estudado por Leonid Kantorovich, Boris Vulikh (russo, 1913-1978) e Aron
Pinsker (russo, 1906-1986) e o seu trabalho apresentado no livro “Análise Funcional em semiespaços ordenados”, publicado em 1950 (Gonçalves, A., 1985; Martins, M., 1986).
Relativamente à área de análise numérica, os primeiros estudos foram apresentados seis anos
mais tarde, no ano de 1956 por Johann Schröder (alemão, 1925-2007) com a publicação do
artigo “The iteration in a more general notion of distance”. Ainda nesta área, em 1961,
Alexander Ostrowski (ucraniano, 1893-1986) contribuiu para o avanço deste tema com a
publicação do artigo “On some metrical properties of operator matrices and matrices
partitioned into blocks” (Ostrowski, 1961). “Generalized norms of matrices and the location
of the Spectrum” (Fiedler, M., & Ptak, V., 1962) foi apresentado um ano mais tarde por
Miroslav Fiedler (checo, 1926) e Vlastimil Ptak (checo, 1925-1999) (Gonçalves, A., 1985;
Martins, A., 1986). Também Richard Varga (americano,1928) pode ser considerado um
percursor das normas matriciais (Varga, 2004).
François Robert (francês, 1939), Friedrich Bauer (alemão,1924) e Emeric Deutsch (romeno,
1929) continuam ainda a ser referências para os investigadores que atualmente
estudam/trabalham no tema de normas.
Da análise documental, entrevistas e pesquisas efetuadas constatamos que o principal
impulsionador do tema normas vetoriais e normas matriciais em Portugal foi José Vitória,
matemático e professor da Universidade de Coimbra. José da Silva Lourenço Vitória nasceu a
28 de junho do ano de 1939 em Lisboa, embora tenha vivido a infância e a juventude em
Abrantes. É filho de Manuel Lourenço Vitória e de Ermelinda Ferreira da Silva [CV3].
Licenciou-se em Ciências Matemáticas na Universidade de Coimbra, em junho de 1962, e
após o serviço militar em Angola, foi em 1966 lecionar para a Universidade de Lourenço
73
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Marques, em Moçambique (na época ainda colónia portuguesa). No ano de 1968, foi para
França desenvolver os estudos com vista ao doutoramento na Université Scientifique et
Médicale de Grenoble [CV3].
Foi nessa altura que tomou contacto com o tema. Permaneceu nesta universidade durante três
anos, ou seja até 1971. O seu orientador foi Nöel Gastinel (francês, 1925-1984), matemático e
professor na Faculdade de Ciências de Grenoble, conforme se pode constatar na declaração
[DNG] onde ele assume que José Vitória se encontrava a preparar uma tese sob a sua
orientação (figura 7).
No currículo vitae de Gastinel, para além da publicação de livros, artigos científicos e outros
documentos encontramos a orientação de várias teses de doutoramento.
Figura 7: Declaração de Nöel Gastinel datada de 1/1/1970
74
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Nöel Gastinel doutorou-se em 1960 com a tese “Matrices du second degré et normes
générales en analyse numérique linéaire. Le théorème de Stone Weirstrass” (Gastinel, 1960)
sob a orientação de Jean Kuntzmann (francês, 1912-1992). Ao longo da sua carreira, como
investigador, encontramos a orientação de mais sete teses de doutoramento, nomeadamente:

Pierre Pouzet, “Analyse numérique: etude, en vue de leur traitement numérique,
d'équations intégrales et intégrodifférentielles de type Volterra pour des problèmes
de conditions initiales”, no ano de 1962, (Pouzet, 1962)

François Robert, “Étude et utilisation de normes vectorielles en Analyse numérique
linéaire” no ano de 1968, (Robert, F., 1968)

Jean-Claude Miellou, “Opérateurs para monotones”, no ano de 1970, (Miellou,
1970)

Claude Brezinski, “Méthodes d'accélération de la convergence en analyse
numérique”, no ano de 1971, (Brezinski, 1971)

Françoise Chatelin, “Méthodes numériques pour le calcul de valeurs et vecteurs
propres d'un opérateur linéaire, no ano de 1971, (Chatelin, 1971)

Jean Della-Dora, “Sur quelques algorithmes de recherche de valeurs propres”, no
ano de 1973, (Della-Dora, 1973)

Jacques Baranger, “Quelques resultats en optimisation convexe”, no ano de 1973
(Baranger, 1973). [7]
No seu currículo encontramos também a publicação de vários livros, entre os quais, “Analyse
numérique lineaire” (Gastinel, 1966) e diversos artigos científicos, dos quais citamos: “Sur
decomposition de normes générales et procédés iterátifs” (Gastinel, 1963), “Propriétés de
certains ensembles normés de matrices” (Gastinel, 1965), “Sur l’extension de normes sur des
algèbres de matrices” (Gastinel, 1971a) e “Sur le calcul des produits de matrices” (Gastinel,
1971b). O que ilustra que fez investigação em álgebra linear numérica e, em particular, em
normas com valores vetoriais e normas com valores matriciais.
75
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Nöel Gastinel entregou como primeiro trabalho a José Vitória, com vista à realização de uma
minitese (Vitória, 1974), o estudo de um artigo de Alston S. Householder (americano, 19041993) intitulado “Norms and the localization of roots of matrices” (Householder, 1968).
Sugeriu-lhe que fizesse uma pesquisa no Computing Reviews sobre normas e que elaborasse
um dossier de fichas com as publicações dos últimos dez anos sobre este tema. Os encontros
posteriores foram escassos [E7].
José Vitória refere que um pouco antes de chegar a França, François Robert tinha elaborado a
sua tese que tratava de normas vetoriais em Análise Numérica e, naturalmente inclinou-se
para esse caminho [E7].
François Robert, matemático e professor no Institut National Polytechnique de Grenoble,
obteve o grau de doutor em “Étude et utilisation de normes vectorielles en analyse numérique
linéaire” no ano de 1968 na Université Joseph Fourier Grenoble I. No seu currículo
encontramos a orientação de dois alunos de doutoramento: Michel Cosnard com a tese
“Contributions à l'étude du comportement itératif des transformations unidimensionnelles”
em 1983 e Yves Robert com a tese “Algorithmique parallèle: réseaux d'automates,
architectures systoliques, machines SIMD & MIMD” apresentada em 1986 [7]. Para além
disso é o autor de diversos artigos científicos.
Ao longo da elaboração da minitese “Normas vectoriais de vectores e matrizes” (Vitória,
1974) José Vitória manteve contacto, através de cartas, com vários investigadores, entre eles
F. Robert, Barker, Deutsch, Ehret e Carrano.
A figura 8, mostra a carta [CF] que Frank Carrano enviou a José Vitória, a 6 de fevereiro de
1970, aquando do envio da sua tese e lhe pediu que lhe devolvesse comentários acerca da
análise desta, e também que lhe enviasse os trabalhos que estivesse a realizar acerca do
mesmo assunto.
76
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 8: Carta de Frank Canavarro enviada a José Vitória datada de 6/2/1970
A carta abaixo (figura 9) é a carta [CE] resposta de Ehret a José Vitória sobre o pedido de
envio da sua tese. Nesta carta Ehret manifesta o interesse em saber de onde vem o gosto de
José Vitória por 2-espaços normados, uma vez que para ela esse é um tema quase
desconhecido. Questiona também o jovem bolseiro se o interesse é puramente teórico ou se é
uma ferramenta para aplicar em algumas circunstâncias.
77
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 9: Carta de Ehret enviada a José Vitória datada de 29/01/1970
A 8 de março de 1970, Deutsch envia uma carta [CD1] a José Vitória dizendo que lhe enviou
a sua tese pelo correio (figura 10).
78
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 10: Carta de Deutsch enviada a José Vitória datada de 8/3/1970
Uns dias mais tarde, José Vitória, envia resposta [RCVD] a Deutsch agradecendo o envio da
tese. Nesta carta (rascunho na figura 11) pede-lhe que lhe envie umas folhas que faltam,
manifestando bastante interesse pelo tema. Pergunta-lhe ainda se já publicou algum artigo
baseado na tese e se já aplicou ou está a pensar aplicar os resultados às normas matriciais, tal
como F. Robert fez para as normas vetoriais. Termina a carta, questionando Deutsch acerca
do conhecimento da tese de F. Robert e do artigo “Espaços vectorialmente normados”.
79
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 11: Rascunho da carta de José Vitória enviada a Deutsch
80
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Em resposta à carta anterior, Deutsch envia a José Vitória a carta [CD2] abaixo (figura 12).
Nesta carta, Deutsch pede desculpa a José Vitória por não lhe ter enviado a sua tese na
totalidade, e que o fará enviando as páginas em falta. Informa-o que já não se encontra a
trabalhar em normas matriciais e que relativamente ao trabalho de F. Robert, este enviou-lhe a
sua tese, no entanto não conhece o artigo que lhe pediu.
Figura 12: Carta de Deutsch enviada a José Vitória datada de 15/5/1970
81
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
José Vitória também contactou F. Robert enviando-lhe várias cartas [RCVR]. Na primeira
(rascunho na figura 13), entre outras coisas, informou-o de que utilizando os minorantes de
uma matriz não conseguiu chegar ao resultado que F. Robert obteve para o caso dos
majorantes, questionando-o acerca desse problema. Também na mesma carta, José Vitória diz
que recebeu a tese de Deutsch “Vectorial and Matricial Norms”, onde o autor apresenta
novas propriedades das normas vetoriais e estuda as normas matriciais, no entanto ao
contrário do que F. Robert fez, ele não tentou aplicar às normas matriciais, limitando-se
apenas a estudá-las. Na carta, José Vitória manifesta intenção de fazer um resumo da tese de
Deutsch, apresentando um quadro semelhante ao que F. Robert elaborou para as normas
vetoriais para o caso das normas matriciais.
82
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 13: Rascunho da carta de José Vitória enviada a F. Robert datada de abril de 1970
83
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Em resposta à carta, F. Robert [CR] diz a José Vitória que conhece a tese de Deutsch e que
este lhe enviou uma cópia. Escreveu também, que estava interessado em receber o resumo que
José Vitória estava a fazer dessa tese. Relativamente à questão dos minorantes, F. Robert
contesta o resultado base, enviando-lhe a correção de um lema (figura 14).
Figura 14: Carta de F. Robert enviada a José Vitória datada de 15/4/1970
84
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
A 22 de dezembro de 1970, José Vitória recebe uma carta [CB] de Barker onde este o informa
que lhe enviou uns artigos onde se encontra o trabalho da sua tese quase na totalidade. Nesta
carta deparamos também com um pedido de Barker a José Vitória, solicitando-lhe que caso
encontrasse resultados na sua área de estudo, lhos enviasse (figura 15).
Figura 15: Carta de Barker enviada a José Vitória datada de 22/12/1970
Estas cartas são prova que as normas vetoriais e as normas matriciais eram estudadas na altura
por diversos investigadores de universidades e países diferentes. Conheciam o trabalho uns
dos outros e partilhavam-no na tentativa de obter novos resultados.
A figura 16 mostra a bibliografia apresentada por José Vitória na sua Prova Complementar
para doutoramento em matemática, onde podemos constatar as suas influências e quem se
encontrava a investigar/trabalhar o tema de normas há cerca de cinquenta anos atrás. Podemos
85
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
também verificar, que muitas das referências bibliográficas referidas na Prova Complementar,
tais como de F. Robert, Bauer, Deutsch entre outros, continuam ainda a ser referências para os
investigadores que atualmente estudam/ trabalham no tema de normas.
Figura 16: Bibliografia da minitese para o doutoramento em Matemática de José Vitória
86
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
IV.3 Repercussões internas
Nesta secção descrevemos o modo como José Vitória deu a conhecer o conceito de norma
matricial. Está organizada em duas secções: Disciplina lecionada na Universidade de
Lourenço Marques e Curso de Mestrado de Álgebra Linear e Aplicações da Universidade de
Coimbra no ano de 1982.
IV.3.1 Disciplina lecionada na Universidade de Lourenço Marques
Terminado o período da bolsa de investigação em Grenoble, em 1971, José Vitória regressou
a Moçambique e à Universidade de Lourenço Marques. Nesta Universidade lecionou diversas
disciplinas em vários cursos como podemos constatar pelo excerto retirado do curriculum
vitae (figura 17).
Figura 17: Disciplinas lecionadas na Universidade de Lourenço Marques por José Vitória [CV3]
No ano letivo de 1972/73 lecionou as disciplinas de Análise Numérica I e II aos alunos do 4.º
ano do curso de Matemática Ramo Científico. A figura 18 ilustra a capa dos apontamentos
elaborados pelo professor da disciplina.
87
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 18: Capa dos apontamentos da disciplina de Análise Numérica I
A disciplina de Análise Numérica II tratava da discretização de equações com derivadas
parciais enquanto a disciplina de Análise Numérica I, habitualmente chamada Análise
Numérica Linear, tratava de matrizes de base, regra do produto de duas matrizes de base Mn,n
e suas aplicações. Normas de vetores e de matrizes, propriedades elementares e normas de
matrizes, comparação das normas de Hölder, definição de normas “geométricas”, normas
geométricas de matrizes e normas de matrizes de Mn,n, também constavam entre os conteúdos
lecionados nesta disciplina (figura 19).
Figura 19: Excerto dos apontamentos da disciplina de Análise Numérica I
88
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
A figura 19 mostra os conteúdos tratados nesta disciplina, que se encontram nos
apontamentos (manuscritos) de José Vitória [AAN].
Foi nesta disciplina que José Vitória começou a fazer uma extensão do conceito de norma,
deixando de falar apenas em norma vetorial e norma matricial, passando a falar em norma de
vetores e de matrizes no caso de normas com valores escalares e de normas vetoriais para o
caso em que as normas têm valor vetorial ou matricial.
Da Universidade de Lourenço Marques, este Professor salienta duas alunas excelentes,
Raquel Valença e Elvira Coimbra, as quais influenciou para o estudo das normas com valores
vetoriais e matriciais (conforme comprovamos adiante). A primeira acabou o curso e foi
efetuar o doutoramento em Oxford, não regressando a Moçambique. Por sugestão de José
Vitória, Raquel Valença contactou uma doutoranda portuguesa em Oxford na altura, Fernanda
Oliveira e o seu orientador Leslie Fox (inglês, 1918-1992) especialista em Análise Numérica,
mais especificamente em análise intervalar. Raquel Valença foi também orientada por Leslie
Fox e efetuou a sua tese de doutoramento em análise intervalar. Publicou artigos sobre
normas matriciais com matrizes em intervalos. Um deles é uma extensão de uma conjetura
que José Vitória apresentou nas VII Jornadas Matemáticas Hispano-Lusas, em Saint Feliu de
Guíxols, Espanha, em maio de 1980, onde apresentou resultados sobre normas com valores
matriciais, mas com matrizes com entradas não nulas e deixou um problema em aberto sobre
o que aconteceria se as entradas fossem intervalos (Vitória, 1980). O estudo publicado por
Raquel Valença, na Revista Linear Algebra and Its Applications é o desenvolvimento e prova
dessa conjetura. Acabou aí o contributo desta investigadora sobre normas com valores
matriciais em intervalos, uma vez que faleceu. No pouco tempo de vida que teve, esta
professora lecionou na Universidade do Minho, em Braga, Portugal. Foi autora do livro
Análise Numérica (Valença, 1996), participou em vários congressos e teve um papel ativo no
desenvolvimento do Departamento de Matemática da Universidade onde lecionava.
Elvira Coimbra, após ter acabado a licenciatura, deixou Moçambique e veio para Lisboa, onde
passou a fazer parte do corpo docente do Departamento de Matemática da Faculdade de
Ciências e Tecnologia na Universidade Nova de Lisboa. Estudou a tese de François Robert,
que apresentava uma primeira parte baseada em Análise Funcional, e estendeu-a para o
espaço Yosida. Em 1979, apresentou a sua tese de doutoramento “Aproximações em espaços
v-métricos” (Coimbra, E., 1979) na Universidade Nova de Lisboa sob a orientação de António
89
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
César de Freitas. João de Deus Marques, docente na mesma Universidade que Elvira
Coimbra, foi influenciado por esta para o estudo das normas com valores matriciais,
encontrando-se atualmente a estudar normas com valores vetoriais associadas a produtos
internos vetoriais de dimensão infinita.
IV.3.2 Curso de Mestrado de Álgebra Linear e Aplicações da Universidade de
Coimbra no ano de 1982
Mais tarde, em 1977, José Vitória regressou a Portugal integrando o Departamento de
Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. No ano de
1982, neste departamento teve início um programa de mestrado em Álgebra Linear e
Aplicações. Foi criado pela Portaria n.º 187/82 de 13 de fevereiro (em anexo).
Este curso de mestrado destinava-se a promover a aquisição de conhecimentos a nível
avançado e a iniciar a investigação. O numerus clausus era 8, podendo candidatar-se os
titulares da licenciatura em Matemática (ramo de especialização científica) e os titulares das
licenciaturas em Matemática (ramo educacional), Matemática Pura, Matemática Aplicada e
Ciências Matemáticas [PPCMM].
90
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 20: Panfleto publicitário do Curso de Mestrado em Matemática
Este curso, tal como referimos no capítulo anterior, foi organizado pelo Professor e
Matemático Graciano de Oliveira, responsável na altura pelo grupo de Álgebra Linear da
Universidade de Coimbra.
O curso constava de uma parte letiva no 1.º ano, devendo no final do 2.º ano, ser apresentada
uma dissertação. A parte letiva era dividida em três períodos:
1.º período – de 15 de setembro a 15 de janeiro
2.º período – de 1 de fevereiro a 31 de maio
3.º período – de 15 de junho a 31 de julho
A parte letiva foi organizada pelo sistema de unidades de crédito. O quadro 2 mostra as áreas
científicas com as respetivas unidades de crédito.
91
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Quadro 2: Áreas científicas e as respetivas unidades de crédito
Área científica
Unidades de Crédito
Álgebra (A)
6
Análise Numérica (AN)
3
Análise Combinatória (AC)
3
Análise (An)
12
Investigação Operacional
Análise Funcional
O quadro 3 apresenta o plano de estudos do curso de mestrado em Álgebra Linear e
Aplicações distribuído pelos três períodos.
Quadro 3: Disciplinas e as respetivas unidades de crédito
1.º Período
Período
Disciplina
Unidades de Crédito
Seminário (A)
(a)
Tópicos de Teoria das Matrizes (A)
1,5
Teoria
de
Perron
Frobenius
e
Aplicações
Numéricas (AN)
Teoria da Convexidade (An)
3
2.º Período
Seminário (A)
3.º Período
3
(a)
Teoria dos Matroides (A)
3
Programação Complementar (IO)
3
Optimização por Métodos Vetoriais (AF)
3
Seminário (A)
(a)
Teoria da Representação dos Grupos Lineares e
1,5
Simétrico (A)
Normas Matriciais (A)
1,5
Programação Não Linear (IO)
1,5
Perturbações de Operadores Lineares (An)
1,5
(a) O seminário é anual e vale 3 créditos.
Os alunos só podiam passar para a fase da dissertação se obtivessem 24 créditos. Tinham que
fazer obrigatoriamente o Seminário, duas das três disciplinas de Álgebra e todas as restantes.
92
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Neste curso de mestrado existia a disciplina, Normas Matriciais, que abordava conteúdos
novos em Portugal. Foi José Vitória quem a criou e lecionou, bem como quem estabeleceu os
respetivos objetivos, conteúdos programáticos, bibliografia e processo de avaliação. Tinha a
duração de 15 horas letivas. O programa previsto estava organizado em dois capítulos. No
primeiro abordaram-se as normas (escalares) de vetores e de matrizes e no segundo, as
normas (vetoriais) de vetores e de matrizes. Apresentamos mais pormenorizadamente o
programa da disciplina, o qual foi indicado aos alunos na primeira aula conforme mostra o
sumário na figura 21.
Figura 21: Sumário da primeira aula de Normas Matriciais
93
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
O capítulo I era dedicado às normas (escalares) de vetores e de matrizes [FS]. Este capítulo
apresentava a seguinte estrutura:
1. Generalidades
2. Normas de vetores
3. Norma e métrica
4. Normas. Convexidade. Compacidade
5. Normas de matriz
6. Normas de matriz subordinadas a normas de vetor
7. Normas e inversão de matrizes
No segundo capítulo eram estudadas as normas (vetoriais) de vetores e de matrizes. Este
capítulo apresentava sete tópicos organizados da seguinte maneira:
1. Generalidades
2. Normas vetoriais sobre 𝕂𝑛
3. Normas vetoriais regulares
4. Normas vetoriais de matrizes quadradas
5. Aplicação de normas vetoriais à localização de raízes de polinómios
6. Aplicação de normas vetoriais à localização de raízes latentes de matrizes –
lambda
7. Aplicação de normas vetoriais ao estudo da diferença entre raízes latentes das
matrizes - lambda
No próximo capítulo apresentamos uma leitura didática (de partes) destes conteúdos com base
nas notas de aula de José Vitória [ANM].
O Professor apresentava toda a informação sobre o funcionamento da disciplina e trabalhos a
efetuar nesta, em folhas de trabalho numeradas que eram afixadas na vitrina (e que
habitualmente designava por folha de “vitrine” [FV]). A figura 22 mostra a primeira dessas
folhas exposta por José Vitória numa vitrina da Faculdade de Ciências e Tecnologia da
Universidade de Coimbra, onde encontramos a proposta de horário da disciplina e o “esquema
de avaliação”.
94
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
A avaliação da disciplina consistia em três pontos, dossier de exercícios, elaboração de uma
memória (tema científico, artigo ou projeto de tese, …) e, por último, a discussão oral sobre o
dossier, memória e matéria lecionada.
Assistiram a esta disciplina 8 alunos, os quais passamos a citar: Celeste Gouveia, Armando
Gonçalves, Joaquim Machado, Margarida Saraiva, Madalena Martins, Teresa Pedroso de
Lima, Rui Almeida e Helena Seabra como podemos deduzir do documento apresentado na
figura 23.
Figura 22: Folha “de vitrine” n.º 1
95
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
A folha “de vitrine” n.º 2 apresenta os trabalhos que o Professor tinha em mente para os seus
mestrandos efetuarem. No entanto, estes entenderam que seria mais justo se os temas fossem
a sorteio. Ironia das ironias calhou a cada aluno o trabalho que José Vitória tinha escolhido.
Figura 23: Folha “de vitrine” n.º 2
A figura 24 apresenta os itens que eram considerados na avaliação global pelo Professor e que
eram baseados na Classification des objetifs mathématiques do SMSG. Assim, ao longo da
duração da disciplina, o Professor tinha em conta o conhecimento que os alunos possuíam
sobre a terminologia e regras, a capacidade que estes demonstravam em expressar as ideias de
uma forma verbal, simbólica ou geométrica, o à-vontade em manusear os algoritmos e a
96
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
utilização de certas técnicas, a capacidade de fazer comparações e escolha da técnica mais
apropriada, entre outros.
Figura 24: Excerto da folha “de vitrine” n.º 2 com as regras da avaliação global
Dos oito alunos que frequentaram esta disciplina, cinco utilizaram normas com valores
matriciais nos estudos conducentes à sua dissertação: Armando Gonçalves, Madalena
Martins, Margarida Saraiva, Helena Almeida, Teresa Pedroso de Lima.
97
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
IV.4 Discípulos – seguidores do tema
Em seguida apresentamos uma síntese da biografia e dos comentários de cada um destes
investigadores e dos seus discípulos sobre o trabalho que desenvolveram na área das normas,
que nos foram dados a conhecer através das entrevistas efetuadas e da análise dos currículos
vitae. Apresentamos também a análise biográfica de Madalena Martins que também utilizou
normas matriciais na elaboração da sua tese de doutoramento. No capítulo V apresentamos
uma sinopse do trabalho por eles desenvolvido nesta área.
i)
Armando Gonçalves
O tema da sua dissertação de mestrado é “Compacidade e convexidade do conjunto das
melhores aproximações em norma vectorial”. Este tema surgiu numa conversa com o seu
orientador, José Vitória, que naquela altura se dedicava ao estudo desta área e achou
interessante propor este tema ao seu orientando. O investigador revela que nunca tinha tido
um contacto formal com normas vetoriais, antes da sua participação no mestrado, apenas tinha
estudado alguns assuntos que se relacionavam com as mesmas, nomeadamente problemas de
otimização e questões multi-objetivo.
No que diz respeito às dificuldades encontradas, o investigador refere
(…) achei que o tema era extremamente acessível, do ponto de vista matemático um tema
que penso ser acessível, claramente algébrico, claramente com uma abordagem fácil,
bastante simples. Posteriormente quando se passam a questões algorítmicas, as questões
vão-se complicar, mas as ferramentas matemáticas que são necessárias para abordar o
tema não são claramente de dificuldade superior. [E1]
A nível de bibliografia utilizou como base F. Robert e teve bastante apoio, para além do seu
orientador, do Professor Clímaco (professor que na altura da elaboração da dissertação se
encontrava na Universidade de Coimbra a lecionar a disciplina Análise Multi-objetivo).
Seguiu, também de bastante perto alguns trabalhos da sua arguente, Elvira Coimbra,
nomeadamente a sua tese de doutoramento, “Aproximações em espaços v-métricos”. Conclui
dizendo que não encontrou dificuldades de maior.
O investigador reconhece que a contribuição mais importante que a sua investigação
apresentou foi o terceiro capítulo da sua tese, Melhores Aproximações em Norma Vectorial,
98
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
ou seja, a aplicação das normas vetoriais a otimização de Pareto. Relativamente a problemas
que deixou em aberto, no final da sua dissertação, apresenta uma conjetura de Robert.
Armando Gonçalves afirma que por circunstâncias da vida nunca mais se dedicou ao tema,
acabando por não validar a conjetura. Presentemente continua a investigar na área do controlo
linear e faz parte da Associação Portuguesa de Controlo Automático. No seu currículo
encontramos também algumas orientações de teses de mestrado na área da Educação
Matemática.
O investigador é de opinião que o tema da tese de mestrado de
(…) maneira alguma está esgotado, especialmente a nível dos algoritmos. O que é
interessante é ter-se um determinado quadro de condições e arranjar nesse quadro um
algoritmo eficiente para a situação, isto é ferramenta base. O conjunto é convexo
acontece isto, se não for, acontece outra coisa, depois vamos para condições mais
específicas e temos uma infinidade de algoritmos. Muitas potencialidades para o âmbito
das aplicações, a nível teórico, só a nível de alteração às condições. [E1]
No que diz respeito às normas vetoriais, para Armando Gonçalves, são a ferramenta mais
indicada,
(…) não estou a ver muitas mais formas de resolver a questão, uma vez que cada
objetivo, a nível da reaproximação que é o que tem mais interesse aqui, não podem ser
estudados em separado, qualquer instrumento que se use aqui tem que fazer a ligação
entre os objetivos, e as normas são a entidade que são mais aconselháveis. Uma vez que
se trabalhe em ℝ𝑛 , por exemplo, é evidente que ter um vetor obriga a ter links entre as
componentes, e portanto as relações entre objetivos têm de ser dadas vetorialmente, e
posteriormente para se analisar as distâncias ao ponto ótimo, não vejo outra forma se
não utilizar normas vetoriais. Se vamos para questões que simplifiquem isto, como
utilizar distâncias do ponto de vista usual estamos a meter no mesmo bolo todas as
componentes, quando nós queremos muitas vezes sobrevalorizar algumas, não vejo outra
forma de analisar isto de outro modo. [E1]
A sua tese apresenta duas vertentes da utilização das normas: no primeiro capítulo faz um
estudo teórico sobre normas vetoriais, que naquela altura não era um tema muito estudado, no
terceiro capítulo utilizou-as como ferramenta.
99
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
ii)
Margarida Saraiva
Fez a sua dissertação sobre o Produto de Kronecker e Operador Adjunto, 𝐴𝑑𝐴 𝑋 = 𝐴𝑋 − 𝑋𝐴.
No capítulo V referir-nos-emos ao seu trabalho.
iii)
Helena Almeida
Para além da sua dissertação “Normas vectoriais em Cones”, a investigadora refere que desde
a elaboração desta não possui mais nada de relevante no seu currículo, e esta situação pode ser
explicada por dois motivos. O primeiro, refere como sendo um problema de logística, isto é,
na altura os doutoramentos não se desenvolviam de uma forma tão prática como atualmente.
Tinha que se sair do país e deslocar-se para uma universidade no estrangeiro. Nessa altura não
era necessário fazer o mestrado antes do doutoramento. Esteve sempre à espera que os
responsáveis pelo departamento lhe dessem equiparação para pedir uma bolsa, mas estes
argumentavam que existiam pessoas mais antigas para fazerem o doutoramento. Foi
convidada por dois professores estrangeiros, Barker e Lafei, contudo não aceitou uma vez que
não lhe foi dada a equiparação a bolseira e quando voltasse estava sujeita a não ter lugar na
universidade e o tempo de serviço na altura não era contabilizado para o ensino secundário.
Como segundo motivo a investigadora aponta [E2] a aproximação do fim do seu contrato. Na
altura tinha-se até 10 anos para concluir o doutoramento, caso contrário os contratos não eram
renovados. Sentindo o tempo a passar e o surgimento do mestrado criado pelo Departamento
de Matemática, aproveitou e inscreveu-se. Em simultâneo, o Instituto Superior Politécnico de
Coimbra estava a sofrer algumas remodelações e quem tivesse o mestrado poderia ingressar
na carreira politécnica. Foi-lhe feito o convite, aceitou e como nessa carreira não era, na
altura, necessário o doutoramento acomodou-se e nunca o fez. Atualmente aponta como tendo
sido uma má opção.
A pessoa que mais influenciou a investigadora na escolha do tema da sua dissertação foi José
Vitória [E2]. O tema surgiu de uma proposta de um trabalho que este lançou na sua disciplina
de mestrado. O facto de ter trabalhado anteriormente com Barker, e este ter um artigo muito
bom na área de normas vetoriais em cones também ajudou a influenciar na escolha entre o
leque de temas que José Vitória apresentou na sua aula.
100
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
O excesso de bibliografia dedicada ao tema em estudo, e a escassez de tempo, entre a parte
letiva e a entrega da dissertação, são as dificuldades apontadas pela investigadora ao longo do
seu trabalho [E2]. Como havia muita bibliografia, e o tempo era restrito a investigadora tinha
receio em perder-se e não conseguir apresentar uma dissertação que a satisfizesse a ela e ao
júri.
A investigadora afirma que trabalhava muito com normas escalares quando lecionava as
disciplinas de Análise Funcional. Contudo, só teve conhecimento das normas matriciais na
disciplina de mestrado que José Vitória lecionou.
iv)
Teresa Pedroso de Lima
A sua dissertação de mestrado (Lima, T. P., 1985) foi sobre “Equações de Diferenças
Lineares com Coeficientes Matriciais” e foi orientada por José Vitória. A professora e
investigadora refere que a sua dissertação despertou o interesse de um Professor espanhol,
Vicente Hernandez, que posteriormente a convidou a trabalhar com ele no doutoramento. O
seu artigo mais conhecido foi o escrito em parceria com Manuela Vivaldo “Looking for
Nonnegative Solutions of a Leontief Dynamic Model”, onde conseguiram associar a
Matemática com a Economia.
Relativamente à questão dos problemas que deixou em aberto, a investigadora tece como
comentário
(…) O professor Vicente Hernandez, disse muitas vezes, e ainda hoje não perdoa, que
mais do que resolver vários problemas, como havia muita bibliografia solta, que o
material, a reflexão que fiz sobre os métodos e a comparação merecia a publicação de
outra forma, uma comunicação ou um livro. Nunca o fiz, pela simples razão de querer
tirar logo o doutoramento. [E3]
Refere que conseguiu resolver tudo a que se tinha proposto. As questões pontuais que ficaram
por esclarecer, foram mais tarde resolvidas por Manuela Vivaldo e por Anabela Borges
doutorandas de Teresa Pedroso de Lima, entre outros, tendo sempre como fio condutor José
Vitória e as normas.
101
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Atualmente, Teresa Pedroso de Lima não se dedica ao estudo do mesmo tema. Na tese de
doutoramento estudou “Sistemas lineares discretos na forma de descriptor”. Presentemente
estuda Teoria de Sistemas e Álgebra Linear Aplicada sempre tendo em vista as aplicações em
Economia. Curiosamente, ultimamente no seu estudo, juntamente com Ferreira do Amaral e
Anabela Borges, está a recorrer às normas.
Estou numa matriz não negativa e utilizo uma norma que é a soma dos elementos de uma
matriz. Normalmente nesta matriz os elementos representam relações inter-sectoriais, e
aqui normalmente estão números que medem a intensidade desse relacionamento. Existe
uma coisa na Economia que se chama medidas de complexidade que tem a ver com
cocientes entre somas dos elementos de matrizes, que são normas. Voltei às normas! [E3]
Quando questionada sobre: Que prevê para o tema? Quais as suas potencialidades? A
investigadora diz que é premente um estudo sobre as normas, que mostre a sua história,
aplicação e resultados mais importantes. É de opinião que faz falta uma publicação acessível
sobre normas e em língua portuguesa.
O facto de se escrever em inglês, não se escreve para o público geral, e sendo assim não
se desperta o interesse para o assunto … No fundo a norma é uma medida, e isso é muito
importante na aplicação da matemática. Eu acho que estamos numa altura em que o
assunto não está na berra, mas se calhar porque faz falta falar dele. Faz falta o estudo
fundamental. [E3]
A investigadora afirma que teve conhecimento de normas matriciais através da disciplina
lecionada por José Vitória no mestrado em Álgebra Linear e Aplicações que frequentou.
Refere que para ela, o Professor foi o grande divulgador das normas matriciais. Antes de ter
tido a disciplina de mestrado não tinha conhecimento da sua existência.
Orientou e influenciou Manuela Vivaldo para o estudo e utilização de normas matriciais na
dissertação de mestrado.
Na dissertação de mestrado, Teresa Pedroso de Lima estudou as normas pela sua importância
intrínseca e com vista a aplicação nas equações. No doutoramento não utilizou. Atualmente,
como descobriu que as medidas de complexidade podem ser lidas através de uma norma
matricial, vai estudar novamente as normas pelas normas.
102
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
v)
Manuela Vivaldo
Dos alunos que frequentaram o mestrado, alguns tiveram descendentes que continuaram a
estudar ou a utilizar normas vetoriais e matriciais na sua investigação, é o caso de Manuela
Vivaldo, descendente de Teresa Pedroso de Lima.
O tema da sua dissertação de mestrado “Valores singulares – Algumas considerações sobre a
sua utilidade do ponto de vista estético, científico e tecnológico” foi sugerido pela orientadora
Teresa Pedroso de Lima. Esta Professora, como lecionava Álgebra e estava muito ligada ao
estudo de normas e valores próprios sugeriu o tema de valores singulares. A investigadora
refere que o seu conhecimento sobre valores singulares na altura era muito superficial e
relativamente às normas só tinha conhecimento das triviais.
A única dificuldade que encontrou ao longo da investigação foi na aplicação dos valores
singulares. Como trabalhava numa Faculdade de Economia seria desejado a aplicação nesta
área, o que não foi conseguido. A aplicação foi feita na área da medicina, contudo também
não foi bem sucedida. A Professora afirma que
(…) de facto se viesse a ser concretizada tinha sido um sucesso porque em Portugal. (…)
poder-se-ia separar o electrocardiograma materno do fetal e isso traria benefícios
enormes para a medicina porque poder-se-ia antecipar, ou melhor, detetar determinadas
doenças cardíacas no feto antes do seu nascimento, prevenir. [E4]
A maior dificuldade residia nas máquinas, não eram rigorosas ao ponto de serem capazes de
detetar em simultâneo os dois sinais, fetal e materno. A Professora queria apresentar dados
reais. Dada a grande dificuldade a nível da aplicação prática, teve que fazer uma simulação,
trabalhando com os dados retirados de um artigo belga, aplicou-lhes a decomposição em
valores singulares e obteve o sinal fetal. A nível da bibliografia não teve qualquer dificuldade,
sempre conseguiu os artigos que pretendia.
Quando confrontada com a questão: Com a sua investigação que mudanças/contribuições fez?
O que foi mais importante, porquê? A Professora Manuela Vivaldo responde
Poderei contribuir no futuro, quando houver dinheiro para comprar uma máquina, a
contribuição será enorme, por um método não invasivo, podia-se prever, antes de a
criança nascer se tinha algum problema cardíaco, podia-se detetar precocemente às 6 ou
7 semanas se existiria algum problema. Teria sido um contributo muito grande. [E4]
103
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Refere ainda, que participou numa conferência organizada pelo Dr. Eduardo Castela, no
âmbito da cardiologia, e todos os clínicos intervenientes ficaram admirados e verificaram as
potencialidades do estudo. Termina dizendo: O mais importante para mim foi de facto (…) eu
e a Professora Doutora Pedroso de Lima darmos ao fim e ao cabo um empurrão para que
isto possa acontecer no futuro caso haja máquina (…) [E4]
Não deixou nenhum problema em aberto. Apenas no futuro pretende arranjar uma máquina
que consiga detetar os dois sinais para que se possa concretizar a aplicação.
Atualmente não se dedica ao estudo do mesmo tema. Abandonou-o porque se encontra a
lecionar numa Faculdade de Economia e foi-lhe “exigido” que fizesse uma dissertação nesse
âmbito. No doutoramento estudou “Sistemas lineares discretos e modelos económicos.”
Atualmente utiliza uma ferramenta estatística, redes neuronais. O aparecimento destas é
antigo, mas a aplicação na área do marketing data da década de 90.
Manuela Vivaldo afirma que ainda há muita coisa para fazer na área dos blocos valores
singulares. Diz que se deve continuar a estabelecer o paralelismo entre blocos valores
singulares associados à matriz companheira de blocos de um polinómio matricial e os blocos
valores próprios também associados e continuar as propriedades dos blocos valores próprios
da matriz companheira associada a um polinómio matricial, transpô-los aos blocos valores
singulares associados à matriz companheira de um polinómio matricial. Por exemplo, assim
como há majorantes para valores próprios também há majorantes para valores singulares
(resultado original apresentado a tese) [E4].
Não orientou nem influenciou ninguém neste tema, uma vez que mudou de área.
Trabalhou com as normas como ferramenta para conseguir chegar aos majorantes de valores
singulares. Leu vários artigos, nomeadamente um conjunto com José Vitória e Teresa Pedroso
de Lima, em que aplicavam normas para chegar aos majorantes dos valores próprios, então a
investigadora seguindo o paralelismo transpôs para os valores singulares.
104
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
vi)
Madalena Martins
Frequentou uma pós-graduação na Universidade de Coimbra no Departamento de
Matemática, uns anos antes de ter sido aberto o programa de mestrado em Álgebra Linear e
Aplicações de 1982. Naquela realizou um trabalho sobre métodos iterativos, tendo por base o
livro de R. S. Varga intitulado Matrix iterative analysis (1962, da Prentice-Hall, Inc.).
Posteriormente, como tinha considerado o tema interessante quis especializar-se ainda mais
nessa área efetuando a dissertação de mestrado “Convergência de métodos iterativos na
resolução de sistemas”, em 1984, a qual no capítulo IV aplicou normas vetoriais ao estudo da
Convergencia do metodo AOR. Concluiu o doutoramento em 1986 com a tese “Métodos de
Relaxação para sistemas de Equações lineares”. No seu currículo podemos encontrar
trabalhos em parceria com o Professor Hadjidimos. Segundo a investigadora [E5] tais
trabalhos possibilitaram contactos com investigadores internacionais, tais como o Professor
inglês D. J. Ivans e posterior escrita conjunta de artigos em revistas internacionais da área e
novas investigações.
Ao longo da sua investigação não encontrou dificuldades de maior. A investigadora [E5]
reconhece que a contribuição mais importante que a sua investigação fez, foi o ter “aberto
portas” para contactos internacionais.
Na sua opinião, ficou satisfeita com a realização da tese. Respondeu a tudo a que se tinha
proposto. Atingiu os seus objetivos. Contudo, o trabalho realizado na dissertação foi uma
porta aberta para a investigação futura. Posteriormente, alargou para outros métodos
iterativos, não só o raciocínio utilizado na tese, mas outros, como por exemplo, análise
intervalar, técnica do pré condicionamento e para outras classes de matrizes, Classes c1, c2 e
c3.
Presentemente, ainda se encontra na investigação dos métodos iterativos, mas noutra vertente
que não está relacionada com o que fez na tese de doutoramento. Atualmente estuda sistemas
lineares aumentados.
A investigadora quando questionada sobre: Que futuro prevê para o tema? Quais as suas
potencialidades?, responde da seguinte maneira:
105
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Até já aparecem métodos híbridos, que é uma mistura dos métodos diretos com os
iterativos, métodos diretos com fatorização L1, L2 com pré condicionamento,
etc…há um mundo ainda para explorar, ou que está atualmente a ser explorado,
não só de métodos interativos mas que resulta da mistura dos métodos iterativos,
com os métodos diretos, aplicando a análise intervalar, não está diretamente
ligado ao tema da tese, mas tem uma certa relação. [E5]
A disciplina que o Professor José Vitória lecionou no mestrado, influenciou a investigadora
para o uso de normas matriciais nas suas teses.
Não influenciou nem orientou ninguém para o estudo das normas com valores matriciais,
apenas utilizou normas como ferramentas auxiliares, atualmente utiliza outras técnicas. A
investigadora manifestou a opinião que o estudo de normas por normas já se encontra muito
estudado.
vii)
João de Deus Marques
Doutorou-se em Matemática, na área de Análise Funcional, no ano de 1994, com a tese
“Normas vectoriais Hermíticas com valores em álgebras de Yosida B-regulares” (Marques,
1993). O investigador refere que a escolha do tema da sua tese surgiu na sequência das
PAPCC orientadas por Elvira Coimbra, professora na mesma Faculdade, que se tinha
doutorado na especialidade de Análise Numérica cuja principal ferramenta utilizada eram as
normas vetoriais.
Como dificuldades encontradas manifesta o facto de o número de investigadores a trabalhar
na área ser muito diminuto, e trabalharem apenas com normas vetoriais de dimensão finita.
À questão, Com a sua investigação que mudanças/contribuições fez? O que foi mais
importante, porquê?, o investigador responde [E6] que introduziu o conceito de produto
interno vetorial que da mesma forma que as normas vetoriais, generalizam o conceito de
produto interno usual e permitem definir normas vetoriais as quais designou por normas
vetoriais Hermíticas. Estes espaços, tal como sucede relativamente aos espaços de produto
interno em relação aos espaços normados, são muito mais ricos e possuem propriedades mais
interessantes, nomeadamente permitem introduzir o conceito de ortogonalidade. O conceito
106
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
de espaço de Yosida regular introduzido por F. Robert, e fundamental nas aplicações, falha no
caso de o espaço possuir dimensão infinita. Assim reformulou o conceito, que passou a
designar por espaço de Yosida B-regular, e que generaliza o anterior conceito a espaços com
uma dimensão arbitrária. Muitos dos resultados e conceitos correntes na teoria dos espaços de
Hilbert e de Banach foram generalizados a estes espaços.
No que respeita aos problemas que deixou em aberto, João de Deus Marques tem dificuldades
em responder a esta pergunta por duas ordens de razão: por um lado continua a fazer
investigação no tema, por outro, quase tudo o que se pode fazer com normas e produtos
internos usuais é o que o investigador afirma que é passível de ser generalizado a estes
espaços, por isso ainda há muito trabalho a fazer. É de opinião que este é um tema que
apresenta inúmeras aplicações nas mais diversas áreas da matemática, nomeadamente, na
Análise Numérica e na Análise Funcional, mencionando que as suas potencialidades são
óbvias, para isso basta atender à própria definição de norma vetorial e ver a quantidade de
informação que uma norma vetorial pode dar e controlar relativamente a uma norma usual.
[E6].
Francois Robert, Emeric Deutsch e Elvira Coimbra são referenciados pelo investigador como
sendo as suas influências para o trabalho sobre normas com valores matriciais. Para terminar,
João de Deus Marques diz que o seu trabalho dedica-se, essencialmente, à área da Análise
Funcional com normas vetoriais associadas a produtos internos vetoriais de dimensão
infinita. [E6]
107
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
IV. 5 Desenvolvimentos posteriores
A divulgação deste tema por parte de J. Vitória não se restringiu a Portugal. Poucos anos após
a lecionação da disciplina de Normas Matriciais no mestrado em Álgebra Linear e
Aplicações, apresentou em Espanha, numa acção integrada hispano-lusitana o seminário
“Normas vectoriales de Matrices Y Aplicaciones”, a 12 e 26 de novembro de 1985,
respetivamente em Valência e em Madrid [NSJV].
Cerca de década e meia mais tarde, em 1998, de novo numa disciplina de mestrado, designada
Componentes de Álgebra, agora na Universidade da Beira Interior, na Covilhã, José Vitória
apresentou conteúdos análogos, com a atualização conveniente, aos apresentados na disciplina
de Normas Matriciais [CJCA].
O processo de avaliação era idêntico ao usado no mestrado já referido e alguns alunos usaram
o conceito de norma matricial nas suas dissertações de mestrado, tal como tinha acontecido
anteriormente, embora principalmente como ferramenta.
108
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
IV. 6 Síntese do capítulo
No capítulo anterior apresentámos o estudo de investigação onde obtivemos indicadores que
usámos para decidir se existe/existiu uma “escola” de Normas Matriciais em Portugal. Para tal
investigámos como surgiu e se desenvolveu este tema de investigação matemática no nosso
país. Procurámos como chegou o conceito a Portugal. Após a nossa pesquisa verificámos que
a primeira pessoa a introduzir o conceito foi José Vitória.
José Vitória, jovem bolseiro, após terminar a licenciatura foi para Grenoble prosseguir
estudos. Aí teve o seu primeiro contacto com normas matriciais. Interessou-se pelo tema e fez
a sua minitese de doutoramento nessa área. Os detalhes foram desenvolvidos na secção
Influências externas.
Após o términus da bolsa foi lecionar para a Universidade de Lourenço Marques
(Moçambique). Nesta Universidade foi docente da disciplina de Análise Numérica I, onde
introduziu e lecionou os conceitos de normas matriciais.
Do curso de Matemática Ramo Científico da Universidade de Lourenço Marques, José
Vitória realça duas alunas extraordinárias, Elvira Coimbra e Raquel Valença que continuaram
a estudar normas matriciais. Tiveram conhecimento deste conteúdo ao assistir às aulas da
disciplina de Análise Numérica I. Elvira Coimbra por sua vez angariou um discípulo, José de
Deus Marques, que continuou a dar contributos na área das normas matriciais.
Mais tarde, em 1982, José Vitória foi docente no mestrado de Álgebra Linear e Aplicações da
Universidade de Coimbra. Neste criou e lecionou a disciplina Normas Matriciais. Deste
modo, deu a conhecer estes conceitos a outros investigadores. Posteriormente, alguns destes
investigadores, Armando Gonçalves, Madalena Martins, Margarida Saraiva, Helena Almeida
e Teresa Pedroso de Lima, continuaram a investigação do tema nas suas teses de mestrado.
Por sua vez, Teresa Pedroso de Lima recrutou mais um investigador, Manuela Vivaldo para o
estudo das normas matriciais. Estes aspetos foram desenvolvidos na secção Repercussões
internas.
Demos a conhecer um pouco de cada um destes investigadores e de que modo trabalharam as
normas matriciais na sua investigação. Este assunto foi tratado na secção Discípulos –
109
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
seguidores do tema. Todas as informações aqui apresentadas são o resultado de uma
entrevista semiestruturada e da análise dos currículos vitae.
É apresentada uma árvore genealógica (figura 25) que mostra quem pensamos ter sido o
principal impulsionador do tema “Normas Matriciais” em Portugal, e os seus discípulos
diretos. O modo como foram dadas a conhecer, ou seja, pela lecionação de duas disciplinas, a
de Análise Numérica dada na licenciatura de Matemática na Universidade de Lourenço
Marques e a de Normas Matriciais lecionada no curso de mestrado de Álgebra Linear e
Aplicações na Universidade de Coimbra e pela ajuda na orientação de uma tese de
doutoramento. Para além disso, apresenta também discípulos secundários, isto é,
investigadores que foram influenciados para o estudo deste tema pelos discípulos diretos.
110
111
João de
Deus
Marques
Elvira
Coimbra
Raquel
Valença
Armando
Gonçalves
José Vitória
Vitória
Margarida
Saraiva
Helena
Almeida
Manuela
Vivaldo
Teresa Pedroso
de Lima
Madalena
Martins
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Figura 25: Árvore genealógica dos investigadores do tema em Portugal
Capítulo IV: Os primeiros passos das normas matriciais em Portugal
Abaixo apresentamos os quadros 4 e 5, onde se associa o nome do investigador, ao título da
tese onde estudaram ou aplicaram normas matriciais e ao respetivo grau que esta confere,
respetivamente relativo aos alunos que contataram com o conceito normas matriciais em Na
Universidade de Lourenço Marques e na Universidade de Coimbra.
Quadro 4: Quadro resumo Investigador/Título da tese/Mestrado ou Doutoramento (Lourenço Marques)
Nome do
Título da tese
investigador
Elvira Coimbra
Aproximações em espaços ν-métricos
Raquel Valença
João de Deus
Normas vectoriais Hermíticas com valores em
Marques
álgebras de Yosida
Mestrado/
Orientador
Doutoramento
Doutoramento
César de Freitas
Doutoramento
Leslie Fox
Doutoramento
Elvira Coimbra
Quadro 5: Quadro resumo Investigador/Título da tese/Mestrado ou Doutoramento (Coimbra)
Nome do
Título da tese
investigador
Armando
Compacidade e convexidade do conjunto das
Gonçalves
melhores aproximações em norma vectorial
Madalena Martins
Convergência de métodos iterativos na resolução de
Mestrado/
Orientador
Doutoramento
Mestrado
J. Vitória
Mestrado
J. Vitória
Mestrado
J. Vitória
sistemas
Margarida Saraiva
Produto de Kronecker e operador adjunto, Ad AX =
AX – XA
Helena Almeida
Normas vectoriais em cones
Mestrado
J. Vitória
Teresa Pedroso de
Equações de diferenças lineares com coeficientes
Mestrado
J. Vitória
Lima
matriciais
Manuela Vivaldo
Valores singulares – Algumas considerações sobre a
Mestrado
J. Vitória
Doutoramento
J. Vitória
sua utilidade do ponto de vista estético, científico e
tecnológico
Madalena Martins
Métodos de relaxação para sistemas de equações
lineares
112
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
V – Leitura didática das normas matriciais
Este capítulo é dedicado às normas escalares de vetores e de matrizes e normas vetoriais de
vetores e de matrizes. A abordagem é feita de um modo didático, com o intuito de este
capítulo poder constituir-se como uma primeira leitura nesta área. Terminámo-lo com a
sinopse de teses da área, onde apresentamos um resumo das investigações desenvolvidas
neste tema.
V.1 Introdução
Este capítulo destina-se à apresentação de algumas definições e resultados sobre normas
escalares de vetores e de matrizes e normas vetoriais de vetores e de matrizes. Baseia-se nos
conteúdos lecionados na disciplina criada por José Vitória para o primeiro mestrado de
Álgebra Linear e Aplicações da Universidade de Coimbra que se encontram em [ANM]. Para
113
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
uma referência mais recente ver, por exemplo, (Meyer, 2000). Dado o âmbito desta tese de
doutoramento optámos por uma abordagem didática de modo a que este capítulo possa ser
utilizado como uma primeira introdução ao estudo das normas com valores matriciais.
Daquele curso de mestrado surgiram várias dissertações que foram das primeiras
investigações feitas em Portugal na área e cujos autores podem ser considerados os primeiros
discípulos da linha de investigação de normas com valores matriciais. No final deste capítulo
resumimos algumas dessas dissertações, referindo os tópicos principais tratados e os avanços
conseguidos. Tivemos como objetivo mostrar em que ponto se encontra a investigação, de
modo a que possíveis interessados no tema tenham um ponto de partida para a sua
investigação.
Organizámos a abordagem do tema normas com valores matriciais em cinco secções. A
presente secção onde esquematizámos os conceitos e a ligação entre os mesmos que
detalhamos nas secções seguintes. A segunda dedica-se às normas escalares, a terceira foca as
normas vetoriais de vetores e de matrizes, a quarta inclui a apresentação de algumas
aplicações e a quinta exibe a sinopse das teses desenvolvidas na área.
As normas escalares foram introduzidas em Análise Numérica Linear por Fadeeva em 1959,
Ostrowski em 1960 e, de forma mais sistemática, por Householder em 1958 (Gonçalves, A.
1985; Martins, M., 1986).
As normas vetoriais de vetores e de matrizes surgem com as investigações de Kantorovich em
1939, Schroeder em 1956, Fiedler e Ptak em 1962 e, mais recentemente, por F. Robert, F.
Bauer (Fassbender, Griebel, Holtz, Stewart & Zenger, 2006), Deutsch, Barker, Bode e
Meixner (Gonçalves, A., 1985; Martins, M., 1986).
Conforme se esquematiza na figura seguinte, de forma simplificada, podemos afirmar que a
norma escalar de vetor associa um vetor a um escalar não negativo e a norma escalar de
matriz associa uma matriz a um escalar não negativo. Por sua vez, a norma vetorial de vetor
associa a um vetor outro vetor com componentes não negativas e a norma vetorial de matriz
associa uma matriz a outra matriz não negativa.
114
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Norma Escalar
Matriz
Vetor
designa-se
designa-se
Norma de vetor
Norma de matriz
Número não
negativo
Número não
negativo
Componentes
não negativas
Matriz
não negativa
Norma Vetorial
Norma matricial
designa-se
designa-se
Vetor
Matriz
Norma Vetorial
Figura 26: Esquema sobre normas escalares e normas vetoriais
115
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
A terminologia utilizada para as normas escalares (norma escalar de vetor e norma escalar de
matriz) omite a palavra escalar. Os resultados apresentados são em espaços de dimensão
finita. Consideramos o corpo 𝕂 como sendo o corpo dos reais (ℝ) ou o corpo dos complexos
(ℂ).
Vários dos problemas colocados pela física e pelas engenharias envolvem vetores ou
matrizes. Esta é uma das razões por que é relevante o estudo das normas, uma vez que uma
norma, sobre o espaço vetorial a que os vetores ou matrizes pertencem, permite medir
“distâncias” entre esses elementos.
116
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
V.2 Normas escalares
Começamos pela definição de norma de vetor:
Definição 2.1 Uma aplicação  : ℂ𝑛  ℝ+ , tal que, para todos os vetores x e y e para todo o
escalar , verifica
(i)
 (x) = ||  (x) (homotetia),
(ii)
 (x + y)   (x) +  (y)
(iii)  (x) = 0  x = 0
(desigualdade triangular),
(separação),
diz-se uma norma de vetor em ℂ𝑛 .
A aplicação  considera-se uma seminorma se verificar somente as condições (i) e (ii).
O mesmo conceito pode ser utilizado quando o domínio de aplicação  coincide com o espaço
vetorial das matrizes quadradas de ordem n com entradas em 𝕂, Mn(𝕂), como veremos
adiante .
Vejamos alguns exemplos de normas de vetores frequentes e úteis.
Exemplo 1
y1
x1
y2
x2
Em ℂ𝑛 consideramos x = [ ⋮ ]  ℂ𝑛 e y = [ ⋮ ]  ℂ𝑛 .
xn
yn
a) ϕ∞ (x): =
max
i  1 , 2,..., n

| x i |  — norma do máximo
−1
ϕ∞ ([ 2 ]) = max {|−1|, |2|, | − 3|} = 3.
−3
117
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
b) ϕ1 (x): = ∑𝑛i=1|xi | — norma da soma dos módulos
−1
ϕ1 ([ 2 ]) = ∑3i=1|xi | = |−1| + |2| + |−3| = 6 .
−3
1
c) ϕ2 (x): = (∑𝑛i=1|xi |2 )2 — norma euclidiana
−1
2
ϕ2 ([ 2 ]) = √∑3i=1 |xi | = √(| − 1|)2 + (|2|)2 + (| − 3|)2 = √14 .
−3
1
d) ϕp (x): = (∑𝑛i=1|xi |p )p
com p ≥ 1 e p número inteiro — norma de Hölder
−1
3
3
3
ϕ3 ([ 2 ]) = √∑3𝑖=1|𝑥𝑖 |3 = √(| − 1|)3 + (|2|)3 + (| − 3|)3 = √36, para p=3.
−3
Note-se que a norma euclidiana e a norma 1 são casos particulares da norma p para p = 2 e
p = 1, respetivamente.
Segue-se a definição de normas equivalentes cuja relevância se prende com aspetos de
convergência associadas a questões de Topologia e de Análise Numérica.
Definição 2.2 Duas normas 1 e 2 definidas em ℂ𝑛 dizem-se equivalentes se existem reais, 
e
𝜇 (0 <   𝜇 < +), tais que, para todo o x de ℂ𝑛 , se tem
 1 (x)  2 (x)  µ 1 (x).
As normas 1(x), 2(x) e (x) indicadas no exemplo 1 são normas equivalentes. No entanto,
do ponto de vista das aplicações, umas são mais adequadas do que outras.
118
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Consideremos agora a álgebra das matrizes quadradas de ordem n com entradas em 𝕂,
Mn(𝕂), para definirmos o que se entende por norma de matriz.
Definição 2.3 Uma norma de matriz  sobre o espaço vetorial Mn(𝕂) é uma aplicação
: Mn(𝕂)  ℝ+ tal que, para toda a matriz A e para toda a matriz B de Mn(𝕂)
e todo o escalar  de ℂ , se tem
(i) (A) = || (A),
(ii) (A + B)  (A) + (B),
(iii) (A) = 0  A = 0.
Se  também verifica
(iv) (AB)  (A) (B)
diz-se uma norma de matriz submultiplicativa.
As normas de vetores, apresentadas no exemplo 1, têm as seguintes propriedades:
(i)
p , 1 , 2 ,  são normas de matrizes;
(ii)
1 , 2
são normas submultiplicativas;
(iii)  não é uma norma submultiplicativa.
Exemplo 2
Seja A = [aij] ϵ Mn(𝕂)
1
p(A) :
p
=(∑𝑛i,j=1|aij | )p
, p  1 e p número inteiro.
Casos particulares
p=1
1(A) : = ∑𝑛i,j=1|aij |
119
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
1
2(A) :
p=2
2 2
=(∑𝑛i,j=1|aij | )
(A) : = maxi,j=1,…,𝑛 |aij |
Ilustremos com um caso numérico.
1
2
3
Seja 𝐴 = [−4 −5 −6]. Temos
7
8
9
1(A) = |1| + |2| + |3| + |−4| + |−5| + |−6| + |7| + |8| + |9| = 45
2 (𝐴) =
= √(|1|)2 + (|2|)2 + (|3|)2 + (| − 4|)2 + (| − 5|)2 + (| − 6|)2 + (|7|)2 + (|8|)2 + (|9|)2
= √285
(A) : = maxi,j=1,…,𝑛 |aij | = |9| = 9.
Listamos de seguida alguns resultados que envolvem as normas de matriz, apresentadas no
exemplo 2.
1) A, B ϵ Mn(𝕂)  (AB)  n  (A). (B)
2)
3)
4)
2  1  n 2
2
n
1
n2
e
1
n
 2  1
   2
e
  2  n 
   1
e
  1  n2  .
Definimos norma de matriz e norma de matriz submultiplicativa. Na proposição seguinte
estabelece-se uma relação entre ambas, em particular fornece-se um meio de construir uma
norma submultiplicativa dada uma norma de matriz.
120
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Proposição 2.1 (Freitas, 1963; Gastinel, 1966) Definida uma norma  qualquer em Mn(𝕂),
existe sempre um número µ tal que µ é uma norma submultiplicativa.
Demonstração:
Sabe-se que num espaço vetorial de dimensão finita todas as normas são equivalentes. No
nosso caso (Mn(𝕂)) existem, portanto, constantes positivas  e  tais que
       ;
(2.1)
tem-se por outro lado a relação
(2.2)
(AB)  n (A) (B).
De (2.1) e (2.2) vem, sucessivamente:
 (AB)  β (AB)  βn (A)  (B) 
βn
(A) (B) = µ (A) (B)
α2
Assim, temos
µ (AB)  µ2 (A) (B) = [µ (A)] [µ (B)]
logo µ é uma norma submultiplicativa.
Apresentamos a seguir um resultado que relaciona o raio espetral de uma matriz A, isto é, o
maior valor próprio em módulo da matriz, ρ (A), e a norma dessa matriz.
Proposição 2.2 Se  é uma norma submultiplicativa definida em Mn(𝕂) e se 1, 2,…,n são
os valores próprios de A 𝜖 Mn(𝕂), então
maxi |λi | ≤ (A).
Dito de outro modo, o raio espetral ρ(A) duma matriz A ϵ Mn(𝕂) satisfaz à relação
ρ (A)  (A).
121
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Demonstração:
Seja  um valor próprio de A para o qual se verifica
|| = ρ (A)
e seja x um vetor próprio correspondente.
Construamos a matriz B que tem todas as colunas iguais a x. Então AB = B e para qualquer
norma de matriz 
(AB) = (B) =|| (B)  (A) (B)
como B não é uma matriz nula e  é uma norma, tem-se (B) > 0, logo ||  (A).
Mas || = ρ (A).
Assim
(2.3) ρ (A)  (A)
.
A desigualdade (2.3) estabelece limites para os valores próprios da matriz.
Note-se que a relação (2.3), sendo  uma norma submultiplicativa, define uma região de
localização dos valores próprios de uma matriz.
Realçamos o facto de esta propriedade só ser válida se a norma for submultiplicativa como
mostra o contraexemplo seguinte.
Exemplo 4
Consideremos a norma  , que não é uma norma submultiplicativa e a matriz
3
0
2 ].
A= [
1 29,95
(A) = 29,95 e os valores próprios de A são 1 = 30 e 2 = - 0,05, portanto
122
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
(A) = 30 ≥ 29,95 = (A).
Ou seja a relação (2.3) não é verificada.
É ainda de referir que o raio espetral de uma matriz A não é uma norma. Veja-se, a título
ilustrativo, o caso seguinte.
0
Dada a matriz B = [
0
1
], verifica-se que (B) = 0, o que mostra que falha a condição (iii) da
0
definição de norma.
0
Considere-se a matriz C =[
1
0
], com (C) = 0.
0
Verifica-se que
B+C=[
0 1
] e (B+C) = 1.
1 0
Pelo que vem
(B+C) > (B) + (C),
ou seja, falha a condição (ii) de definição de uma norma.
Ilustrámos, deste modo, a importância de a norma ser submultiplicativa. Em seguida,
definimos normas subordinadas a normas de vetores, também conhecidas por normas sup, em
virtude de terem um papel essencial no conjunto das normas submultiplicativas, pois
fornecem um meio de construir normas submultiplicativas em Mn(𝕂) a partir de (quaisquer)
normas definidas em 𝕂n.
Consideremos os espaços vetoriais 𝕂n e Mn(𝕂) e munamos o espaço vetorial 𝕂n das normas
φ e ψ.
As normas φ e ψ são funções contínuas, tal como é função contínua o quociente
(2.4)
ψ(Ax)
φ(x)
123
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
com x ≠ 0 e A um determinado elemento de Mn(𝕂).
Na fração (2.4) podemos limitar-nos a tomar vetores x de norma um, pois
ψ(Ax)
φ(x)
=
ψ(Aα(x))
φ(αx)
=
ψ(α(Ax))
φ(αx)
|α|ψ(Ax)
= |α|φ(x) ,
para todo o escalar  ≠ 0.
A esfera unitária
S(0,1) = x 𝜖 𝕂n : (x) = 1
é limitada e fechada, pelo que a aplicação (contínua)
ψ(Ax)
φ(x)
admite aí um máximo e um
mínimo.
Então, temos o resultado envolvendo
ψ(Ax)
φ(x)
seguinte:
Proposição 2.3 Dadas duas normas φ e ψ sobre 𝕂n, então S(A) = maxx≠o
ψ(Ax)
φ(x)
é uma
norma definida em Mn(𝕂). Além disso, se φ  ψ, então S é uma norma
submultiplicativa.
Desta proposição deduzem-se os resultados que apresentamos a seguir:
i)
ψ(Ax) ≤ 𝑆 (A) φ(x)
ii)
φ(Ax) ≤ 𝑆 (A) φ(x)
iii)
𝑆 (A) = max ψ(Ax).
φ(x)=1
Mais adiante, por simplicidade de notação, também usaremos a seguinte notação, quando
φ = ψ:
S : = || ||; 𝑆1 1 :=|| ||1 ; 𝑆2 2 :=|| ||2 ; 𝑆∞ ∞ :=|| ||∞.
124
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
No caso das matrizes reais e complexas e para as normas 1, 2,  há, em alguns casos,
expressões simples para as normas subordinadas 𝑆1 1 (A), 𝑆2 2 (A), Sφ∞φ∞ (A).
Sintetizamos estes aspetos no quadro 5, com A = [aij] ∈ Mn(ℂ)
Quadro 6: Ligação entre as normas 1, 2,  e as normas subordinadas 𝑆11 (A), 𝑆22 (A), Sφ∞φ∞ (A)
Norma de vetor
Norma de matriz subordinada
S1 1 (A) : = maxj=1,…,𝑛 ∑𝑛i=1|a ij |
1(x) = ∑𝑛i=1|xi |
(x) = maxi=1,…,𝑛 |xi |
1
2(x) = (∑𝑛i=1|xi |2 )2
Sφ∞ φ∞ (A) : = maxi=1,…,𝑛 ∑𝑛j=1|a ij |
Construção prática
É a maior das somas dos
valores absolutos dos
elementos de cada coluna
É a maior das somas dos
valores absolutos dos
elementos de cada linha
1
S2 2 (A) : = [ρ(AH A)]2
No exemplo seguinte ilustramos, numericamente, o exposto no quadro anterior.
Exemplo 5
√3
√3 − 3
Seja A = [
] ∈ M2 (ℝ). Tem-se
8
√
0
3
(i)
S11(A) =
3
+
3
8
 2.21
3
125
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
(ii)
S(A) = 3 +
3
 2.31
3
(iii) S22(A) = 4 = 2.
Na próxima proposição obtemos uma relação entre valores próprios de uma matriz e normas
subordinadas.
Proposição 2.4 Se  é um valor próprio de uma matriz A ∈ Mn(𝕂), então
||  S(A).
Demonstração:
Temos, sucessivamente,
Ax = x ⋀ x ≠ 0 
φ(Ax)
φ(x)
x≠ 0
=
φ(x)
φ(x)
x≠ 0
= | |
φ(x)
φ(x)
= ||
x≠ 0
donde vem
||  maxx≠0
φ(Ax)
φ(x)
: = S.
Terminamos esta secção apresentando uma desigualdade fundamental de HouseholderOstrowski. A proposição seguinte é uma espécie de inversa da proposição anterior.
Proposição 2.5 Para toda a matriz A ∈ Mn(𝕂) e para todo o número real  < 0, existe uma
norma  tal que 𝜌(A)  S(A)  𝜌 (A) + .
126
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Este resultado significa que uma norma subordinada de matriz é arbitrariamente próxima do
raio espetral.
127
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
V.3 Normas vetoriais de vetores e de matrizes
Apresentamos nesta secção alguns resultados (básicos) em espaços de dimensão finita e
aplicações da desigualdade fundamental de Ostrowski e de Fiedler e Ptak.
V.3.1 Normas vetoriais sobre 𝕂n
Consideremos ℝ𝑘+ o espaço vetorial das matrizes com uma coluna e k linhas com entradas
reais não negativas. Em ℝ𝑘+ a relação de ordem é definida componente a componente.
Começamos por definir norma vetorial de vetor.
Definição 3.1.1 Uma aplicação p: 𝕂n  ℝ𝑘+ diz-se uma norma vetorial de ordem k sobre 𝕂n
se, para quaisquer vetores x e y de 𝕂n e para todo o escalar , verifica
(i) p(x) = || p(x)
(ii) p(x + y)  p(x) + p(y)
(homotetia),
(desigualdade triangular),
(iii) p(x) = 0  x = 0
(separação).
Se p verificar apenas as condições (i) e (ii), diz-se que p é uma seminorma.
Exemplo 6
1. A aplicação
p: ℝ3  ℝ3+
|1 |
1
x =[2 ] | p(x) =[ |2 | ]
3
|1 | + |3 |
é uma norma vetorial de ordem 3.
|2|
2
2
2
Exemplo numérico: Seja x = [−3] . Então p([−3]) = [ | − 3| ] = [3] .
|2| + |5|
5
5
7
128
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
2. A aplicação
p: ℝ 4  ℝ2+
1

max{|1 |, |2 |}
x = 2 | p(x) = [
]
3
|3 | + |4 |
[4 ]
é uma norma vetorial de ordem 2.
1
1
𝑚𝑎𝑥{|1|, |0|}
0
0
1
Exemplo numérico: Seja x = [−2] . Então p([−2]) = [
] = [ ].
|−2| + | − 3|
5
−3
−3
A proposição seguinte apresenta um exemplo de seminormas.
Proposição 3.1.1 As componentes pi(x) com (i = 1, 2, …, k) de uma norma vetorial p em que
p1 (x)
⋮
(x)
p
p(x) = i
∈ ℝ𝑘+
⋮
[pK (x)]
são seminormas.
Em seguida, apresentamos uma classe de normas vetoriais relevantes para aplicações em
Álgebra Linear Numérica. O símbolo  significa soma direta.
Definição 3.1.2 Uma norma vetorial p : 𝕂n  ℝ𝑘+ diz-se regular se
⨁𝑘𝑖=1 (⋂𝑘𝑗=1 𝑉𝑗 ) = 𝕂n, com 𝑉𝑗 = {𝑥 ∈ 𝕂𝑛 : 𝑝𝑗 (𝑥) = 0} (𝑗 = 1, … , 𝑘).
𝑗≠𝑖
129
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Exemplo 7
1. A norma vetorial p: ℝ3  ℝ3+
|1 |
1
x =[2 ] | p(x) =[ |2 | ]
3
|1 | + |3 |
não é regular (Robert, 1968).
2. A norma vetorial p: ℝ 4  ℝ2+
1

max{|1 |, |2 |}
x = 2 | p(x) = [
]
3
|3 | + |4 |
[4 ]
é regular (Robert, 1968).
V.3.2 Normas vetoriais de matrizes (quadradas)
Nesta secção estendemos o conceito de norma vetorial a matrizes quadradas.
Definição 3.2.1 Norma vetorial de ordem 𝑘 2 ou do tipo (𝑘, 𝑘) submultiplicativa sobre Mn(𝕂)
é uma aplicação S : Mn(𝕂)  M+𝑘 (ℝ) , que A, B  Mn(𝕂), verifica as
seguintes propriedades
(i)
S(λA) = |λ| S(A),  λ  𝕂
(ii)
S(A + B)  S(A) + S(B),
(iii)
S(A) = 0  A = 0
(iv)
S(AB)  S(A)S(B)
Exemplo 8
A aplicação S: M3(ℝ)  M2+ (ℝ)
|a12 | + |a13 |
|a11 |
A=[aij] | S(A) = [
]
max{|a21 |, |a31 |} max{|a22 | + |a23 |, |a32 | + |a33 |}
é uma norma matricial.
130
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Analogamente ao que vimos no caso dos vetores temos:
Proposição 3.2.1 Seja S a norma vetorial em que S(A) = (sij (A))  M+𝑘 (ℝ). A S estão
associados os subespaços
𝑉𝑖𝑗𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂): 𝑠𝑟𝑠 (𝐴) = 0}
𝑊𝑖𝑗𝑆 =
⋂
𝑉𝑟𝑠𝑆 = {𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝕂): 𝑠𝑟𝑠 (𝐴) = 0, 𝑟 ≠ 𝑖, 𝑠 ≠ 𝑗}
𝑟,𝑠=1,2,…,𝑘
𝑟≠𝑖
𝑠≠𝑗
Definição 3.2.1 Uma norma vetorial de matriz diz-se regular se a soma direta de todos os
𝑠
𝑊𝑖,𝑗
, (𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑘), atrás definidos, coincide com 𝑀𝑛 (𝕂).
Exemplo 9
Considerando a norma matricial do exemplo anterior, os subespaços a ela associados são:
s
V11
= {A ∈ M3 (𝕂): s11 (A) = 0} = {A ∈ M3 (𝕂): a11 = 0}
s
V12
= ⋯ = {A ∈ M3 (𝕂): |a12 | + |a13 | = 0} = {A ∈ M3 (𝕂): a12 = a13 = 0}
s
V21
= ⋯ = {A ∈ M3 (𝕂): max{|a21 | + |a31 |} = 0} = {A ∈ M3 (𝕂): a21 = a31 = 0}
s
V22
= ⋯ = ⋯ = {A ∈ M3 (𝕂): a22 = a23 = a32 = a33 = 0}
S
W1,1
=
S
W1,2
=
a 0 0
s
s
s
S
Vrs
= V12
∩ V21
∩ V22
= {[0 0 0] M3 (ℝ): a ∈ ℝ}
0 0 0
(r,s)≠(1,1)
⋂
0 a b
s
s
s
S
Vrs
= V11
∩ V21
∩ V22
= {[0 0 0] M3 (ℝ): a, b ∈ ℝ}
0 0 0
(r,s)≠(1,2)
⋂
131
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
0
S
s
s
s
W2,1
= ⋯ = V11
∩ V12
∩ V22
= {[a
b
0 0
S
s
s
s
W2,2
= ⋯ = V11
∩ V12
∩ V21
= {[0 a
0 c
0
0
0
0
0] M3 (ℝ): a, b ∈ ℝ}
0
0
b] M3 (ℝ): a, b, c, d ∈ ℝ}.
d
s
s
s
s
Como ⨁2i,j=1 Wi,js = W1,1
⨁W1,2
⨁W2,1
⨁W2,2
= M3 (ℝ) tem-se pela proposição anterior que
S: M3(ℝ)  M2+ (ℝ)
|a12 | + |a13 |
|a11 |
A = [aij] | S(A) = [
]
max{|a21 |, |a31 |} max{|a22 | + |a23 |, |a32 | + |a33 |}
é uma norma matricial regular.
A teoria de normas regulares é complexa. No entanto, na prática existe um método simples
que nos permite construir normas vetoriais regulares de matrizes. Esse método está
esquematizado na figura abaixo:
Figura 27: Método prático para construir normas vetoriais regulares de matrizes
e consiste no seguinte:
consideremos uma matriz A quadrada, de ordem n, com entradas no corpo comutativo 𝕂.

Particionemos a matriz A em blocos, de tal maneira que os blocos diagonais sejam
matrizes quadradas, não necessariamente da mesma ordem;
132
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais

Tomemos uma mesma norma escalar de matriz de cada bloco de A;

Substituamos em A cada bloco da partição pela respetiva norma escalar de matriz.
Exemplo 10
Dada a matriz
5
𝐴 = [4
1
1
4
5
1
1
1
1
4
2
1
1] ∈ M (ℝ), em que (A) = 10,
4
2
4
consideremos as duas partições seguintes de A:

1.º caso

2.º caso
133
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
De seguida, enunciamos uma proposição que apresenta vantagens a nível prático, dado que,
permite resolver problemas que dizem respeito a valores próprios de matrizes quaisquer, para
a resolução de problemas de valores próprios de matrizes não negativas. Existem diversos
estudos sobre matrizes não negativas, por exemplo, (Robert, F., 1974).
Proposição 3.2.2 (Deutsch, 1969; Fiedler & Pták, 1962; Robert, F., 1968)
Para A= [aij ] ∈ Ms,s (𝕂) 𝑒 M uma norma vetorial regular de matriz, tem-se a seguinte
desigualdade
(A)   [M(A)].
Isto é, o raio espetral de uma matriz A não excede o raio espetral de uma sua norma matricial
regular M(A).
Listamos, em seguida, desigualdades importantes relativas ao raio espetral de uma matriz A:
(A)  ‖A‖𝑖
(i = 1,∞)
(A)  (‖A‖𝑖 ) (i = 1,∞)
1
(A)  [(𝐴𝐻 𝐴)]2 .
134
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Exemplo 11
Retomemos o exemplo anterior

1.º caso
 [M(A)] = 11
(A)   [M(A)] = ‖𝑀(𝐴)‖∞ = 11
e
(A)   [M(A)] < ‖𝑀(𝐴)‖1 = 13 .

2.º caso
 [M′(A)] = 10
(A)   [M′(A)] < ‖𝑀′(𝐴)‖∞ = 11
e
(A)   [M′(A)] < ‖𝑀′(𝐴)‖1 = 11 .
135
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
V.4 Aplicação de normas vetoriais
II.4.1 Aplicação de normas vetoriais à localização de raízes de polinómios
Consideremos o polinómio de coeficientes complexos
f(z) = zn + an-1 zn-1 + … + a1 z + a0
cujas raízes são os valores próprios da sua matriz companheira
que por sua vez são os valores próprios da matriz
onde D = diag (ko, k1, … , kn-2, 1) com ki > 0 e (i = 0, …, n-2).
Fracionamos a matriz D-1FD em quatro blocos e tomamos a || . || de cada bloco. Deste modo,
obtemos a norma matricial
136
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
em que
α = max {
β = max {
k0 k1
k n-3
;
; ⋯;
}
k1 k2
k n-2
|𝑎0 | |𝑎1 |
|𝑎𝑛−2 |
;
; ⋯;
}
k0 k1
k n-2
Seja (A) o raio espetral da matriz A e r(f) o maior valor absoluto das raízes do polinómio
f(z).
Temos
r(f) = (F) = (D-1FD)   [ M(D-1 FD) ]  ‖M(D−1 FD)‖1 .
Neste contexto, usando (Deutsch 1970), temos ainda
(i)
r(f)  max  + kn-2 ;  + |an-1|
(ii)
r(f)  max  2; |a0| + |an-1| ; |a1| + |an-1| ; … ; |an-2| + |an-1| , ki = 1, i = 0, 1, …, n-2
(iii) r(f)  |an-1| + max{
a
a0
, 1 ,… ,
a1
a2
a n –2
} ki = ai+1 ≠ 0, i = 0, 1, …, n-2 .
a n –1
137
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
G. S. Kahlon, indiano a estudar no Canadá, num estudo (Kahlon, 1972) sobre normas
matriciais, em 1972, refez parte destes resultados de Deutsch.
Exemplo 12
Consideremos f(z) = −2 − 2𝑧 − 0.5𝑧 2 + 𝑧 3 .
Usando (ii), temos
r(f) ≤ max{2; |−2| + |−0.5|; |−2| + |−0.5|} logo r(f) ≤ 2.5.
Recorrendo às normas vetoriais conseguimos determinar “raios” (i, ii e iii) de círculos onde se
localizam as raízes de um polinómio.
V.4.2 Outras aplicações
As normas vetoriais também podem ser usadas na localização de raízes latentes de matrizeslambda. Matrizes-lambda, também designadas por polinómios matriciais, podem ser definidas
de forma simples como polinómios em que os coeficientes são matrizes quadradas da mesma
ordem. Aos polinómios matriciais que têm alguns coeficientes nulos designamos matrizeslambda lacunares ou polinómios matriciais lacunares. Estas matrizes têm utilização concreta,
nomeadamente, na área da engenharia como se pode verificar em (Stojanovis & Debeljkovic,
2008). Também nestes casos podemos usar as normas matriciais para o mesmo fim. As raízes
latentes da matriz-lambda A() são as raízes da equação det A() = 0.
Seguindo um processo análogo ao descrito para o caso da localização de raízes de polinómios,
apresentado na subsecção anterior e fazendo as adaptações adequadas ao caso de se tratar de
matrizes, (nomeadamente usando a matriz bloco companheira de A()), obtêm-se raios para
círculos que contêm as raízes latentes (Vitória 1974/75; Vitória 1979a; Vitória 1979b; Bisen
1992).
138
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
Exemplo 13
Seja A() = 2 I + A1  + A0 , onde
0
−8 −14
−5 9
A0 = [
] , A1 = [
] e C= [0
1
8
−2
4 −2
0
0 5 −9
0 −4 2 ] (matriz bloco-companheira de
0 8 14
1 −8 2
A()).
Obtemos
‖C‖∞ = 23; ‖C‖1 = 27. Obtemos os seguintes limites superiores: r ≤ 28, r ≤ 36.
Existem estudos que utilizam normas vetoriais para localizar valores singulares de matrizes
bloco companheiras (Lima, T. P. & Vitória, 1992) e para matrizes Schwarz e bloco-Schwarz
(Costa, C., 2000).
139
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
V.5 Sinopse de teses na área
Nesta secção apresentamos um resumo das teses de mestrado e da dissertação de
doutoramento que continuaram a linha de pesquisa, em Portugal, sobre normas com valores
matriciais. Algumas das investigações, (Gonçalves, A., 1985), (Saraiva, 1985), (Almeida, M.
H., 1985) aqui apresentadas foram realizadas no âmbito do mestrado de Álgebra Linear e
Aplicações da Universidade de Coimbra do ano 1982. Para além dessas, apresentamos uma
tese de doutoramento, (Martins, M., 1986), que foi realizada com o apoio de José Vitória e
uma dissertação de mestrado desenvolvida por um descendente de um discípulo direto (Silva,
M., 1997).
i) Armando Gonçalves
Armando Gonçalves estudou a “Compacidade e Convexidade do Conjunto das Melhores
Aproximações em Norma Vectorial”. Entregou a dissertação em 1985 e o seu orientador foi
José Vitória.
A sua dissertação é composta por três capítulos: Normas Vectoriais, Optimização de Pareto e
Melhores Aproximações em Norma Vectorial.
No primeiro capítulo, Normas Vectoriais, o investigador apresenta uma breve nota histórica
sobre estas. Posteriormente enuncia alguns resultados sobre normas vetoriais e no final
apresenta aplicações destas.
Termina o capítulo apresentando um teorema de ponto fixo, para normas vetoriais, que tinha
sido demonstrado na altura por Sodupe e Gracia no artigo Fixed point theorems for
contracting mappings in vector norm, publicado em Indian J. Pure Appl. Math.15 (1984),
719-726. Como novidade, este teorema aplica-se a alguns casos que não são cobertos pelo
teorema do ponto fixo de Robert que tinha sido apresentado em (Robert, F., 1974).
140
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
O capítulo II é dedicado à optimização de Pareto 5. O investigador introduz o tema com uma
pequena nota histórica. Ao longo deste capítulo enuncia e demonstra alguns resultados sobre a
optimização de Pareto.
O investigador no capítulo III, Melhores Aproximações em Norma Vectorial, mostra que o
conjunto P das melhores aproximações de a em S, segundo p, é não vazio e fechado.
Por último, termina o trabalho apresentando a Conjetura de F. Robert.
Estas foram as contribuições que Armando Gonçalves fez para o avanço do tema em Portugal
com a elaboração da sua dissertação de mestrado.
ii) Margarida Saraiva
A dissertação de mestrado de Margarida Saraiva, também foi alvo do nosso estudo. A
dissertação “Produto de Kronecker e Operador Adjunto, 𝐴𝑑𝐴 𝑋 = 𝐴𝑋 − 𝑋𝐴” foi terminada no
ano de 1985, e apresentada na Universidade de Coimbra - Departamento de Matemática.
Para Saraiva (1985)
A elegância que envolve o conceito de produto de kronecker, a simplificação que ocorre
quando o introduzimos em vários tipos de demonstração e o seu múltiplo emprego em
questões de física foram, sem dúvida, motivação para a escolha deste trabalho. (p. 1)
Esta dissertação está dividida em duas secções, capítulo I e capítulo II. No primeiro capítulo,
Produto de Kronecker, são apresentadas algumas propriedades deste produto bem como do
operador vec.
A investigadora afirma que o produto Kronecker encontra-se estritamente relacionado com o
operador vec, e que este assume um papel de extrema importância no estudo de equações
matriciais.
5
Alfredo Pareto, um economista italiano, cria no Séc. XIX o princípio de Pareto que, ao analisar a
sociedade, concluiu que grande parte da riqueza se encontrava nas mãos de um número demasiado reduzido
de pessoas. Após concluir que este princípio era válido em muitas áreas da vida quotidiana, estabeleceu o
designado método de análise de Pareto, também conhecido como dos 20-80% e que significa que um
pequeno número de causas (geralmente 20%) é responsável pela maioria dos problemas (geralmente 80%).
141
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
O Produto de Kronecker, também chamado Produto Tensorial, é um conceito que nasceu da
Teoria de Grupos e tem-se mostrado de grande utilidade noutras áreas, entre as quais,
podemos citar a Física e a Teoria de Matrizes. Nesta última, surge, por exemplo, na solução
de equações matriciais que ocorrem quando se utilizam aproximações de Lyapunov em Teoria
de Estabilidade.
No capítulo II foi realizado um breve estudo do Operador Adjunto, 𝐴𝑑𝐴 𝑋, sendo determinado
o seu espetro para uma qualquer matriz A. Neste capítulo a investigadora utilizou normas
matriciais.
Para finalizar, foi feito um estudo sobre os limites superiores para o raio espetral de 𝐴𝑑𝐴 𝑋,
nos casos em que a matriz A é hermítica, normal e companheira por blocos.
iii) Helena Almeida
A dissertação apresentada por Helena Almeida intitula-se “Cones e Normas Matriciais”. Esta
apresenta três capítulos, os quais passamos a citar, capítulo I – Breves noções sobre cones,
capítulo II – Alguns resultados sobre normas e capítulo III – Normas vectoriais com valores
num cone.
A investigadora inicia a dissertação salientando a importância do estudo das normas:
é um facto que, no respeitante a espaços vectoriais normados de dimensão finita, sob o
ponto de vista topológico é irrelevante a escolha da norma, o mesmo não se poderá dizer
em relação a problemas do tipo numérico. Assim, será de salientar o papel deveras
importante que o estudo das normas tem desempenhado em vários ramos da Matemática,
nomeadamente em Análise Numérica. (Almeida, M. H., 1985, p. 1)
Inicia o capítulo I com uma breve história sobre a Teoria de Cones. Seguidamente a
investigadora apresenta algumas definições e propriedades sobre cones. Ainda no capítulo I,
dedica uma secção ao “espaço vectorial V parcialmente ordenado pelo cone 𝕂”, outra ao
“espaço vectorial END (V) parcialmente ordenado pelo cone ∏(𝕂)”. Ainda nesta secção
apresenta o resultado “Toda a norma vectorial p é contínua” que generaliza o seguinte “ Toda
a norma vectorial em ℂ𝑛 com valores em ℝ𝑛+ , é contínua”. Termina o capítulo I falando sobre
o cone dual de 𝕂.
142
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
No capítulo II são apresentados alguns conceitos e resultados sobre normas. A autora,
seguindo a escola de José Vitória, chama a atenção para a linguagem, isto é, para a diferença
entre normas escalares e normas vetoriais. Este capítulo apresenta-se dividido em cinco
secções. A primeira é dedicada ao estudo de normas escalares, a segunda apresenta resultados
sobre normas vetoriais em ℂ𝑛 , a terceira fala sobre normas submultiplicativas, normas
subordinadas a normas de vetores e normas regulares. A norma dual é tratada na quarta
secção e a última expõe os conceitos de normas monótonas e absolutas. Em todas as secções,
quando possível, a autora inicia-a com uma breve introdução histórica.
O capítulo III, Normas vectoriais com valores num cone, baseia-se no trabalho apresentado
em (Barker, 1973). Neste, são apresentadas algumas generalizações de conceitos e resultados
estabelecidos para normas vetoriais de domínio ℂ𝑛 e com valores num espaço vetorial
parcialmente ordenado por um cone. Generaliza a noção de norma regular e estabelece uma
condição suficiente para a existência da norma dual. Termina o capítulo III apresentando uma
secção dedicada à norma subordinada a uma norma de vetores com valores num cone.
iv) Manuela Vivaldo
Manuela Vivaldo entregou em 1997 a dissertação de mestrado “Valores Singulares – algumas
considerações sobre a sua utilização do ponto de vista estético, científico, e tecnológico.” A
razão da escolha do tema, segundo M. Silva (1997, p. 6) prende-se com a importância cada
vez maior atribuída à decomposição em valores singulares e as suas múltiplas aplicações em
Física, Matemática e Medicina.
Esta dissertação está estruturada em três capítulos. O primeiro capítulo, Decomposição de
valores singulares, está dividido em 6 subcapítulos. No primeiro é definida matriz normal e
são apresentadas algumas propriedades que caracterizam as matrizes normais. O segundo é
dedicado à decomposição em valores singulares. Neste são apresentadas algumas das suas
propriedades. Faz ainda referência às generalizações da decomposição em valores singulares
obtidas por Charles F. Loan e C. C. Paige e M. Saunders. O terceiro dedica-se ao estudo dos
valores singulares das matrizes companheiras associadas a polinómios escalares com
coeficientes no corpo dos reais, mostrando que a determinação dos mesmos possibilita o
melhoramento de alguns majorantes clássicos dos zeros destes polinómios. Definições e
143
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
resultados básicos da teoria algébrica dos polinómios matriciais são tratados no quarto
parágrafo, com o propósito de efectuar o cálculo dos valores singulares de matrizes
companheiras de blocos. No quinto, e penúltimo o objetivo principal é calcular os valores
singulares da matriz companheira de blocos associada a um polinómio matricial. Termina o
capítulo, fazendo referência a algumas conclusões.
No capítulo II, Blocos-valores próprios e blocos-valores singulares, a autora teve como
objetivo estudar vários aspetos relacionados com blocos-valores singulares de matrizes
companheiras de blocos (fazendo análise da possível extensão dos resultados conhecidos para
valores singulares de matrizes companheiras escalares).
O terceiro e último capítulo, Uma aplicação da decomposição em valores singulares,
apresenta uma aplicação prática da decomposição em valores singulares, na área da
engenharia biomédica. M. Silva (1997, p.105) mostra que a decomposição em valores
singulares da matriz cujos elementos são as diferenças de potencial captadas pelos elétrodos
cutâneos colocados no tórax e no abdómen de uma mulher grávida, permite obter o
eletrocardiograma fetal. Termina o capítulo apresentando algumas conclusões.
v) Madalena Martins
Madalena Martins apresentou a tese de doutoramento intitulada “Métodos de relaxação para
sistemas de equações lineares”. Segundo esta autora a motivação da escolha do tema deveuse ao facto de não existirem regras gerais que possibilitem concluir que um método iterativo é
mais “eficaz” do que outro. Assim, é de opinião que é de extrema importância a análise da
convergência dos vários métodos iterativos, efetuando este estudo ao longo da sua
dissertação, onde dedicou especial atenção a alguns métodos iterativos destinados à resolução
de sistemas de equações lineares de grandes dimensões.
A investigadora refere que se pode introduzir parâmetros reais na matriz de iteração, com o
intuito de acelerar a convergência destes métodos, o que vai dar origem aos chamados
métodos de relaxação. O raio espetral da sua matriz de iteração é função desses parâmetros e
como consequência a escolha desse(s) parâmetro(s) é feita de tal maneira que o raio espetral
assuma o menor valor possível ((parâmetro(s) ótimo(s)).
144
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
No desenvolvimento do trabalho de M. Martins (1986) vão ser estabelecidas condições
necessárias e suficientes ou suficientes de convergência de alguns métodos iterativos. Foram
melhorados e generalizados alguns resultados que dizem respeito à determinação de intervalos
e regiões de convergência do(s) parâmetro(s) de relaxação dos referidos métodos.
Ao longo do capítulo 1, Noções gerais, são apresentados os principais resultados e conceitos
relativos a métodos iterativos. São abordados os métodos de Jacobi, Gauss-Seidel, método da
Superrelaxação Sucessiva (SOR), método da Superrelaxação Sucessiva Simétrica (SSOR),
método da Superrelaxação Modificada (MSOR) e método da Superrelaxação Acelerada
(AOR).
No capítulo 2, a investigadora introduz um novo método iterativo ao qual foi dado o nome de
método de Superrelaxação com Mudança de Variável (CVAOR). Na segunda secção obtém
limites superiores e inferiores para o raio espetral da matriz que gerou o método iterativo. A
terceira secção apresenta uma condição suficiente de convergência do método (CVAOR),
independentemente do tipo de matriz do sistema em causa, impondo algumas condições aos
parâmetros de que depende o método. Termina esta secção estabelecendo uma generalização
do teorema Stein-Rosenberg que permite relacionar, em termos de convergência, os métodos
de Jacobi e (CVSOR). Termina com a secção quatro onde inclui alguns exemplos numéricos,
que demonstram algumas vantagens computacionais dos métodos (CVAOR) e (CVSOR) em
relação a outros conhecidos.
O capítulo 3 apresenta uma análise sobre as condições de convergência do método de
Superrelaxação Acelarada (AOR), melhorando para certo tipo de matrizes, algumas das
condições de convergência já existentes e obtendo outras para determinadas classes de
matrizes. Destacamos que na quarta secção, utilizando normas vetoriais, a investigadora
conseguiu obter intervalos de convergência para o método (AOR), no caso da matriz A do
sistema Ax=b ser uma matriz de tipo especial.
No capítulo 4, a investigadora fez uma análise da convergência do Método da Superrelaxação
Modificada (MSOR), com o objetivo de obter intervalos de convergência, quando a matriz A
de Ax=b é de certo tipo.
145
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
No capítulo 5, utilizando novamente algumas noções de normas vetoriais, a investigadora
obteve intervalos de convergência dos métodos da Superrelaxação Sucessiva Simétrica
(SSOR) e da Superrelaxação Sucessiva não Simétrica (USSOR).
146
Capítulo V: Leitura didática das normas matriciais
V.6 Síntese do capítulo
Neste capítulo elaborámos um texto em que compilámos os conceitos sobre normas escalares
e de matrizes e normas vetoriais de vetores e de matrizes. Aqui encontram-se as principais
definições e teoremas sobre o tema. Sempre que possível apresentámos exemplos de modo a
ilustrar o referido.
O texto foi baseado nos apontamentos elaborados por José Vitória aquando da lecionação da
disciplina Normas Matriciais no Mestrado de Álgebra Linear e Aplicações da Universidade de
Coimbra em 1982 [ANM].
Abordámos o tema de um modo didático, com o objetivo deste texto se poder constituir como
uma primeira leitura para o estudo nesta área.
No final do capítulo apresentámos a sinopse das teses desenvolvidas na área, que resultaram
das investigações efetuadas por alguns alunos que frequentaram o curso de mestrado citado
acima. A realização desta secção teve como intuito apresentar o trabalho dos descendentes
desta linha de investigação, dando a conhecer os principais tópicos tratados e os resultados
alcançados, de modo a que futuros investigadores interessados no tema tenham num só texto
o ponto de partida para os seus trabalhos.
147
148
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
VI – A escola de normas matriciais
Neste capítulo fazemos a análise e discussão dos dados apresentados nos dois capítulos
anteriores. Respondemos às questões de investigação levantadas no início da nossa
investigação e confrontamos os resultados obtidos com a revisão de literatura feita.
VI.1 Introdução
Ao longo dos capítulos anteriores, fomos antecipando algumas considerações sobre o “fazer
escola” numa determinada área da Matemática. Nesta etapa, procuramos responder, explicar e
alargar o conhecimento sobre a temática exposta.
Nos capítulos III e IV já respondemos a algumas das questões e subquestões de investigação
que colocamos à partida, a saber:
149
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
· Quais os indicadores que nos permitem afirmar a criação e o desenvolvimento de
uma linha de investigação numa determinada área de estudo em Portugal?
· Como se introduziu e propagou o conceito de norma matricial em Portugal?
· Que desenvolvimentos em termos de investigação o conceito de norma matricial
teve em Portugal?
No entanto, para este capítulo se constituir como a apresentação e discussão de (todos os)
resultados, optamos por sintetizar a resposta a essas questões, aproveitando para as confrontar
com estudos já existentes.
Nos capítulos IV e V apresentamos um corpo de conhecimento novo, recolhido e organizado
por nós que analisamos, discutimos e interpretamos neste capítulo.
Esta reflexão vai permitir responder às restantes questões de investigação, designadamente:
· Tendo em conta os indicadores encontrados pode afirmar-se que existe/existiu uma
escola de normas matriciais em Portugal?
· Quais os constrangimentos à criação e desenvolvimento da escola em normas
matriciais?
. Que características tinham os espaços de formação (avançada) e de orientação?
Deste modo completamos a apresentação e discussão do estudo de investigação a que nos
propusemos.
Passemos agora à resposta das questões de investigação levantadas no início do estudo e
respetiva discussão à luz da literatura da área.
150
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
VI.2 Existe/existiu uma escola em normas matriciais em Portugal?
Como resposta à questão Quais os indicadores que nos permitem afirmar a criação e
desenvolvimento de uma linha de investigação numa determinada área de estudo em
Portugal? encontrámos seis indicadores, os quais passamos a citar: formação no estrangeiro,
criação de espaços de formação avançada, criação/dinamização de unidades de investigação,
orientação de mestrados e doutoramentos, introdução da área de investigação no ensino e
divulgação da sua investigação.
É de notar que estes indicadores se encontram na lista de atividades desenvolvidas pelos
designados matemáticos da geração de 40 e que caracterizaram o “movimento matemático” a
que nos referimos nas palavras de Dionísio e Oliveira, A. F., (1997). Se tal movimento tivesse
vingado, provavelmente teriam surgido em Portugal, nos anos 50 do século passado, mais
escolas em áreas da Matemática.
Vamos verificar se no nosso estudo de caso “criação de escola” em Normas Matriciais em
Portugal encontramos os indicadores acima referidos.
Relativamente ao primeiro indicador, formação no estrangeiro, podemos dizer que houve um
jovem bolseiro, José Vitória, que após ter terminado a licenciatura de Matemática na
Universidade de Coimbra foi prosseguir estudos com vista ao doutoramento em Grenoble.
Essa sua estadia despertou-lhe o interesse sobre normas matriciais, sobre as quais fez a sua
minitese.
No que diz respeito ao segundo indicador, criação de espaços de formação avançada, José
Vitória criou a disciplina Normas Matriciais no mestrado de Álgebra Linear e Aplicações na
Universidade de Coimbra, no ano de 1982. Nesta disciplina deu a conhecer aos seus
mestrandos os conceitos de normas matriciais, até aí desconhecidos por eles.
Na altura da dissertação, os mestrandos, Armando Gonçalves, Madalena Martins, Margarida
Saraiva, Helena Almeida e Teresa Pedroso de Lima enveredaram pela investigação sobre
normas matriciais.
Deste modo, a linha de pesquisa sobre normas matriciais ia angariando mais investigadores
interessados no tema.
151
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
Acrescentamos a estes discípulos Manuela Vivaldo que foi influenciada para a investigação
sobre normas matriciais por Teresa Pedroso de Lima.
José Vitória auxiliou Madalena Martins na tese de doutoramento ao nível da investigação das
normas matriciais.
Por outro lado, no que concerne ao indicador criação/dinamização de unidades de
investigação não o encontramos no nosso estudo de caso. Uma explicação que propomos para
este facto deve-se à altura em que a linha de investigação começou a surgir, uma vez que já
existiam vários centros de investigação e o momento sociopolítico não era o mais propício à
criação destas instituições (Carvalho, 1996).
Pudemos constatar que José Vitória foi e ainda é orientador de dissertações de mestrado e
teses de doutoramento. Neste sentido podemos afirmar que o indicador orientação de
mestrados e doutoramentos também está presente no nosso estudo de caso.
Relativamente ao indicador introdução da área de investigação no ensino, José Vitória
introduziu os conceitos de normas matriciais na lecionação da disciplina de Análise Numérica
I na Universidade de Lourenço Marques.
Quando terminou a bolsa foi lecionar para a Universidade de Lourenço Marques. Nesta
Universidade lecionou ao curso de Matemática Ramo Científico várias disciplinas, entre as
quais Análise Numérica I. Nesta deu a conhecer aos alunos os conceitos de normas matriciais.
Deste curso de Matemática José Vitória destaca duas alunas, Raquel Valença e Elvira
Coimbra as quais influenciou para o estudo das normas matriciais. A primeira, Raquel
Valença, foi para Oxford fazer o doutoramento e especializou-se em análise intervalar.
Posteriormente foi lecionar para a Universidade do Minho e publicou artigos sobre normas
matriciais com matrizes em intervalos dos quais um é uma extensão de uma conjetura de José
Vitória. Acabou aqui o contributo desta investigadora no estudo de normas matriciais uma vez
que faleceu jovem. Elvira Coimbra após ter terminado a licenciatura em Moçambique veio
lecionar para a Universidade Nova de Lisboa. Doutorou-se em Portugal apresentando a tese
“Aproximações em espaços v-métricos”. Esta investigadora por sua vez influenciou outro
investigador, João de Deus Marques, para o estudo das normas matriciais encontrando-se este
152
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
atualmente a investigar normas com valores vetoriais associadas a produtos internos vetoriais
de dimensão infinita.
Ao longo da sua carreira de investigador, José Vitória, divulgou a sua investigação
apresentando conferências, publicando artigos e escrevendo livros.
Após a análise dos dados podemos dizer que foi assim que se introduziu e propagou o
conceito de normas matriciais em Portugal. Tendo sido dessa maneira que José Vitória “fez
escola” em normas matriciais apresentando seis descendentes diretos e dois indiretos.
Deste modo, relativamente à questão acima apresentada, podemos afirmar que existiu uma
escola de normas matriciais em Portugal. À exceção do indicador criação/dinamização de
unidades de investigação, todos os outros estão presentes no nosso estudo de caso. No
entanto, esta escola não vingou. Em parte a resposta à próxima questão de investigação
apresentada na secção VI.3 justifica esta evidência.
Segundo Ferreira (2009), e como já referimos, o professor do ensino superior é um dos
grandes responsáveis pelo avanço e crescimento científico da atual sociedade, com este estudo
de investigação identificamos um exemplo disso.
153
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
VI.3 Constrangimentos à criação e desenvolvimento desta escola
Pela análise das entrevistas constatámos que ocorreram vários constrangimentos no
desenvolvimento da escola em normas matriciais. Armando Gonçalves na sua entrevista
menciona que o tema é acessível. Este facto pode por um lado cativar os investigadores mais
novos, mas por outro pode constituir-se como não sendo promissor e, portanto, não dedicarem
o seu interesse a este estudo. No entanto, quem está na área apercebe-se que é um tema rico e
complexo, não estando esgotado ao nível da investigação. Este investigador, após a sua
dissertação de mestrado abandonou o tema por circunstâncias da vida, tendo-se direcionado
para a investigação de outra área, controlo linear.
A investigadora, Helena Almeida, refere que encontrou como constrangimento na
continuação da sua investigação, em normas matriciais, a organização interna do
departamento do estabelecimento de ensino superior onde lecionava. Este não lhe concedeu
uma bolsa para frequentar o doutoramento num país estrangeiro e tal facto impediu-a de
prosseguir a investigação no tema. Posteriormente mudou de instituição de ensino superior.
Foi lecionar para o ensino superior politécnico onde, na altura, o grau de mestre era suficiente
para ser docente. Como consequência não avançou mais na investigação de normas matriciais.
Por outro lado, a investigadora alude que a falta de bibliografia não era de forma alguma um
problema.
Teresa Pedroso de Lima considera como constrangimento a falta de um documento escrito em
português que compile os conceitos de normas matriciais. Com a existência deste documento,
tornar-se-ia mais fácil despertar o interesse dos novos investigadores nesta área. A
investigadora leciona na Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra, e tendo em
conta a instituição e o projeto de investigação desta, como consequência a sua investigação
tem que ter aplicações nessa área e por conseguinte abandonou o estudo do tema.
Ao longo da entrevista com Manuela Vivaldo, esta mencionou que as questões económicas
foram o grande constrangimento na continuação da sua investigação em normas matriciais. A
ausência de dinheiro para a construção da máquina que separaria o sinal fetal do sinal
materno, não permitiu que esta investigação conseguisse atingir na plenitude aquilo a que se
tinha proposto. No entanto, acredita que quando existir dinheiro para a construção da
máquina, esta investigação vai ter um impacto significativo no meio médico. Esta
154
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
investigadora encaminhou a sua investigação para outro tema, deixando o estudo das normas
matriciais. A explicação apresentada deve-se ao facto de ser docente da Faculdade de
Economia e esta “exigir” que os seus docentes apresentem os seus projetos de investigação
com aplicações na área.
João de Deus Marques faz referência como constrangimento o facto da existência de um
número diminuto de investigadores a estudar este tema. Se existisse um número maior de
investigadores poderiam interagir entres eles, contribuindo deste modo para o avanço do
tema.
Em síntese, identificamos constrangimentos de ordem pessoal, institucional e económica.
Nos primeiros podemos referir a disponibilidade ou não de sair do país para fazer formação
avançada. Ou seja um dos indicadores relevantes na formação de escola mostra-se um
constrangimento para alguns investigadores/docentes universitários.
A não exigência institucional de formação mais avançada, não motiva um dos docentes a
fazê-la.
O projeto estratégico das instituições de ensino superior, ao nível da investigação, condiciona
a escolha da linha de investigação a seguir.
Também o critério institucional de ordenação dos docentes para efetuarem doutoramento é
considerado um fator limitador. Tal como dissemos e seguindo E. Boyer (1990) desde as
últimas décadas do século XX que a vertente da investigação se tornou comum na carreira
docente universitária.
As questões económicas são uma constante quando se trata de constrangimentos à
investigação. Este caso não foi exceção e também identificamos uma situação em que a
impossibilidade de comprar/construir uma máquina foi motivo para parar uma investigação
interdisciplinar (entre a matemática e a medicina) com potencial.
Atualmente o estudo de normas matriciais não se encontra em grande expansão. Este
acontecimento pode encontrar uma explicação no facto de ser um tópico muito específico de
uma área de investigação e nos vários constrangimentos referidos. No entanto, na década de
oitenta, altura áurea da investigação das normas matriciais em Portugal, os investigadores
155
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
apresentaram contributos. Esses contributos encontram-se descritos nas suas dissertações de
mestrado, tese de doutoramento e publicação de artigos. Por outro lado, os investigadores para
além de estudarem os conceitos de normas matriciais pela importância que têm, consideram-nos ótimas ferramentas para atingirem outros objetivos. Como foi dito anteriormente este
tema é rico e apresenta potencialidades de futuras investigações.
156
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
VI.4 Características dos espaços de formação (avançada) e de orientação
Nöel Gastinel foi o orientador de José Vitória, esta é a primeira fase de “ensinar a investigar”
que o estudo de caso central desta investigação nos permite analisar. Este investigador
desenvolveu investigação matemática sobre normas e encaminhou os seus doutorandos para
esse tema.
Em relação a J. Vitória o ponto de partida para o desenvolvimento do trabalho com vista ao
doutoramento consistiu na proposta de leitura de um artigo sobre normas, à data muito
recente, e na pesquisa numa base de dados científica com o objetivo de elaborar um dossier de
fichas com as publicações dos últimos dez anos sobre o tema. A bibliografia da minitese
permite constatar que as fontes usadas eram muito recentes à data, várias eram teses de
doutoramento.
A partir daí, os contactos com o orientador foram escassos. São de realçar a troca de
correspondência com outros investigadores estrangeiros, por exemplo F. Robert, Barker,
Deutsch, Ehret e Carrano, sobre o tema e resultados obtidos ou em preparação, colaborando
uns com os outros.
Passamos agora à segunda fase de “ensinar a investigar” que o estudo de caso central deste
estudo nos permite analisar e que diz respeito a José Vitória.
Este Matemático e Professor, na primeira oportunidade que encontrou para dar a conhecer as
normas com valores matriciais, usou-a. Esta atitude lembra o modo de atuar de Vicente
Gonçalves ao atualizar e introduzir resultados recentes de investigação os seus cursos (Costa,
C., 2000). Tratava-se de uma disciplina do último ano de uma licenciatura em Matemática.
Com isso motivou em particular duas alunas, tendo uma delas manifestado vontade em fazer
o doutoramento numa área que envolvesse o tema. José Vitória tinha falado nas suas aulas em
matrizes com entradas intervalares e normas matriciais. Este tinha conhecimento que
Fernanda Oliveira tinha estado em Oxford e informou Raquel Valença. Esta encaminhou-se
para a Universidade de Oxford para prosseguir estudos nesta área.
Mais tarde, surgiu a oportunidade de criar um espaço específico para formar investigadores,
neste tema: a criação da disciplina de Normas Matriciais no mestrado em Álgebra e
Aplicações, na Universidade de Coimbra. Dos dados recolhidos, reconhece-se na preparação e
157
Capítulo VI: A escola de normas matriciais
implementação da disciplina a seleção de tópicos de investigação recente, alargando o
conhecimento já sabido; a referência a aspetos históricos, referindo os principais
investigadores do tema e a evolução do mesmo; a referência à aplicabilidade do assunto; a
apresentação de exemplos e proposta de exercícios. Esta metodologia aproxima-se das
propostas apresentadas por Paes (1908), em particular no que diz respeito aos exercícios uma
vez que defendia que estes devem ser variados e graduados de modo a contribuírem para que
o aluno desenvolva a capacidade de investigar e o gosto por vencer dificuldades.
Havia a preocupação de informar os alunos e, não havendo à data técnicas informáticas para
esse fim, recorria às vitrines existentes nos corredores da Faculdade de Ciências e Tecnologia,
afixando folhas numeradas onde colocava informação relevante para os alunos, por exemplo:
funcionamento da disciplina, lista de trabalhos a efetuar e processo de avaliação.
A avaliação era feita por um processo que, para além de avaliar os conhecimentos adquiridos,
incluía a resolução de vários exercícios de nível de dificuldade elevado, e com cariz de
problemas e a elaboração de um escrito científico. Tarefas que promovem o desenvolvimento
de capacidades de investigação. Mais ainda porque os itens que eram valorizados na avaliação
das mesmas, e que eram do conhecimento prévio dos alunos, eram, entre outros: o
conhecimento que os alunos possuíam sobre a terminologia e regras; a capacidade que
demonstravam em expressar as ideias de uma forma verbal, simbólica ou geométrica; o àvontade em manusear os algoritmos e a utilização de certas técnicas; a capacidade de fazer
comparações e escolha da técnica mais apropriada.
Aspeto desejado por Sidónio Paes já em 1908 para o ensino superior educar a mocidade
principalmente a investigar (Paes, 1908) e, posteriormente, por outros matemáticos, Vicente
Gonçalves, Ruy Luís Gomes e Sebastião e Silva (Gonçalves, J. V., 1948; Gomes, 1949;
Costa, C. & Teixeira 2007), entre outros, e que aqui se reconhece como uma prática.
Ainda que esta prática se tenha desenrolado antes da implementação do Processo de Bolonha
são notórias as características comuns com o defendido neste âmbito.
158
Conclusões do estudo
Conclusões do estudo
A terminar fazemos uma síntese do estudo de investigação efetuado. Apresentamos as
principais conclusões deste estudo, as limitações que o acompanharam, bem como algumas
sugestões para futuras investigações.
1 Síntese do estudo
Recordemos que a presente investigação apresentou, por base, inicial as seguintes questões:
· Quais os indicadores que nos permitem afirmar a criação e o desenvolvimento de
uma linha de investigação numa determinada área de estudo em Portugal?
159
Conclusões do estudo
· Tendo em conta os indicadores encontrados, pode afirmar-se que existe/existiu uma
Escola de Normas Matriciais em Portugal?
· Quais os constrangimentos à criação e desenvolvimento da escola em normas
matriciais?
· Que características tinham os espaços de formação (avançada) e de orientação?
Subjacentes à segunda questão, outras subquestões se equacionaram sem as quais não se
poderia responder às principais:
· Como se introduziu e propagou o conceito de norma matricial em Portugal?
· Que desenvolvimentos em termos de investigação o conceito de norma matricial
teve em Portugal?
Em virtude das questões de investigação acima enunciadas, optámos por uma abordagem
qualitativa e, como design de investigação, escolhemos o estudo de caso.
Esta investigação partiu da análise de cinco estudos de caso de matemáticos portugueses,
Almeida Costa e a “Escola de Álgebra Moderna”, José Sebastião e Silva e a “Escola de
Análise Funcional”, Tiago de Oliveira e a “Escola de Estatística”, Graciano de Oliveira e a
“Escola de Álgebra Linear” e João Pedro da Ponte e a “Escola de Educação Matemática”
considerados pela comunidade científica como tendo “feito escola” nessa área. Esta análise
foi feita tendo em conta, principalmente, referências históricas secundárias, ainda que sempre
que possível tenhamos recorrido a fontes primárias. O intuito desta, era encontrar os
indicadores comuns aos cinco casos que nos permitissem afirmar que estamos perante a
criação de uma linha de pesquisa numa determinada área da Matemática em Portugal. Mais
especificamente, constituiu-se como uma ferramenta para a análise do estudo de caso “criação
de escola” de Normas Matriciais em Portugal.
A etapa seguinte consistiu em descrever a pesquisa que realizámos sobre como se introduziu e
propagou o conceito de normas matriciais em Portugal. Para isso fomos procurar saber quem
foi o investigador que introduziu o conceito e de que modo foi influenciado para a sua
160
Conclusões do estudo
investigação. Posteriormente, pesquisámos de que maneira o investigador “pai” deu a
conhecer os conceitos de normas matriciais a outros investigadores, e como os influenciou
para o estudo dos mesmos.
Após termos encontrado os investigadores portugueses que se dedicaram ao estudo das
normas matriciais, fomos recolher dados acerca dos mesmos. Esta recolha foi efetuada
recorrendo a duas fontes: as entrevistas semiestruturadas, realizadas individualmente a cada
um dos participantes no estudo, gravadas em áudio e transcritas na íntegra; e a análise de
conteúdo, onde foram analisadas e estudadas dissertações de mestrado, teses de
doutoramento, artigos científicos, bem como outros documentos.
Seguidamente compilámos os conceitos de normas matriciais num texto autocontido, com
uma abordagem de índole didática. A este texto juntámos a investigação realizada nesta área
pelos investigadores portugueses, através do resumo das dissertações de mestrado e da tese de
doutoramento.
Após a apresentação, análise e interpretação dos dados foi possível elaborar respostas para as
questões equacionadas no início do presente trabalho com o objetivo de compreender se
existe/existiu uma “Escola” de Normas Matriciais em Portugal.
Terminámos o trabalho apresentando as conclusões, limitações e sugestões de trabalho futuro
resultantes da investigação efetuada.
161
Conclusões do estudo
2 Conclusões
Entendemos que o estudo de investigação que delineamos nos permitiu atingir os resultados
esperados, ainda que com algumas limitações que adiante referiremos.
Identificámos 6 indicadores que nos permitem afirmar a criação e desenvolvimento de uma
linha de investigação numa determinada área da Matemática em Portugal, a saber: formação
no estrangeiro, criação de espaços de formação avançada, criação/dinamização de unidades de
investigação, orientação de mestrados e doutoramentos, introdução da área de investigação no
ensino e divulgação da sua investigação.
Deste modo construímos um instrumento aplicável a áreas variadas da Matemática e, talvez
extensível a outras. No nosso caso aplicámo-lo ao conceito de normas com valores matriciais
e, com base nesses indicadores, concluímos que existiu uma Escola de Normas Matriciais em
Portugal. Ainda que se possa conjeturar que esta não tenha vingado devido ao número
reduzido de discípulos e ao facto de, posteriormente, os investigadores não se dedicarem ao
estudo das normas per si, mas como ferramenta, o tema tem potencial para permitir futuras
investigações. Alguns dos testemunhos dos discípulos são categóricos neste ponto. Esperamos
que o estudo aqui apresentado contribua nesse sentido.
Para efetuar a análise referida foi necessária a recolha prévia de dados sobre a introdução e
transmissão do conceito de normas com valores matriciais em Portugal. Isso conduziu-nos a
um estudo de índole histórico-didática que deu origem aos capítulos IV e V desta tese. Trata-se de um contributo novo que concorre para o corpo de conhecimento da história da
investigação matemática e do seu ensino, em Portugal.
Concluímos que o tema foi introduzido em Portugal por J. Vitória, primeiro na Universidade
de Lourenço Marques no início da década de 70 e, posteriormente, na Universidade de
Coimbra, no início da década de 80, após ter tomado contacto com este assunto, em 1968 e
anos posteriores, na Universidade de Grenoble para onde foi efetuar os estudos conducentes
ao doutoramento.
Durante a sua atuação posterior como professor e investigador, J. Vitória deu a conhecer o
conceito de normas com valores matriciais, aos alunos e incentivou o seu uso e estudo em
problemas de investigação. Desse modo, em momentos próprios de ensino, promoveu o
162
Conclusões do estudo
desenvolvimento duma linha de investigação durante cerca de 30 anos, do início da década de
70 até ao final do século XX.
A reflexão sobre este corpo de conhecimento permitiu-nos perceber aspetos ligados à forma
como se ensina a investigar. Em particular, o facto de termos constatado que existiam
momentos específicos de formação, permitiu aprofundar o estudo deste caso e identificar
aspetos caracterizadores desta prática de ensinar a investigar.
No estudo de caso central que tratámos, existem dois orientadores (N. Gastinel e J. Vitória) e
as fontes permitiram perceber aspetos do modus operandi de cada um.
Concluímos que há aspetos comuns, nomeadamente: propor o tema de investigação que os
cativa; propor o estudo de um ou dois artigos relevantes e recentes sobre o tema; propor a
pesquisa e estudo de outras publicações referenciadas relativas ao assunto, com no máximo 10
anos, exceção feita às obras de referência. Distingue-os a proximidade e acompanhamento dos
orientandos que no primeiro caso é distante e escasso ao contrário do segundo. É, por
exemplo, de referir a produção conjunta de artigos de J. Vitória com os seus jovens
colaboradores.
As fontes permitiram um maior aprofundamento no caso de J. Vitória.
Assim, concluímos que na sua preparação com vista ao doutoramento e investigação futura
foi relevante o contacto com investigadores estrangeiros em idêntica fase de formação e a
trabalhar no mesmo tema.
Concluímos que os momentos de formação avançada são de três tipos.
O aproveitamento de espaços formais de ensino, como são as disciplinas de cursos de
licenciatura, com programa próprio pré-estabelecido, para falar de assuntos de investigação
recente. Deste modo pode haver alunos que se interessem pelo tema, e no futuro enveredem
por investigação nessa linha.
A criação de espaços formais de ensino através de disciplinas específicas em cursos de
formação avançada que abordem temas de investigação recente, divulgando junto de
potenciais investigadores esse assunto, dando origem a dissertações de mestrado.
163
Conclusões do estudo
A orientação tutorial de jovens investigadores nos seus estudos no âmbito do mestrado ou do
doutoramento.
Nos espaços formais de ensino, verificámos que a metodologia utilizada e a avaliação
preconizada promoviam uma aprendizagem autónoma, refletida e crítica dos alunos. A
metodologia usada incluía: explicitar a evolução histórica dos conceitos; apresentar exemplos
paradigmáticos; propor exercícios que na realidade eram problemas de investigação, uns mais
exigentes do que outros, mas longe de se tratar de exercícios rotineiros (ainda que a expressão
usada fosse “exercícios”). Concluímos que a avaliação era contínua e, para além de se basear
num portefólio (algo ainda pouco vulgar na época), era necessário elaborar uma memória
(tema científico, artigo ou projeto de tese, …), culminando com a discussão oral sobre o
portefólio, memória e matéria lecionada.
Em qualquer dos momentos de formação, concluímos que era J. Vitória quem propunha o
tema de investigação e que acompanhava os jovens investigadores fazendo sugestões e
desafios. Também encaminhava os investigadores para outro investigador sénior se tal se
mostrasse adequado.
164
Conclusões do estudo
3 Limitações do estudo e sugestões de trabalho futuro
No que diz respeito às limitações do estudo encontrámos algumas. A primeira com que nos
deparámos foi o facto de nem todos os discípulos da linha de investigação de normas
matriciais terem aceitado participar neste trabalho. Deste modo, não entrevistámos todos os
protagonistas, embora tenhamos apresentado e analisado o seu trabalho.
O facto de ser necessária a leitura e análise das dissertações e tese de mestrados e
doutoramento de cariz matemático, respetivamente, bem como de artigos científicos quer de
José Vitória e dos seus descendentes acarretou dificuldades acrescidas ao estudo de
investigação em didática da matemática efetuado e dilatou o tempo necessário à sua
consecução.
Como é um estudo que se debruça sobre um tema recente da investigação em Didática da
Matemática, tivemos dificuldades na recolha bibliográfica. O número de estudos encontrado
ficou aquém do que desejávamos.
Como se trata de um estudo com tempo limitado, houve aspetos relativos ao conteúdo
apresentado no capítulo IV que não tiveram o tratamento histórico e didático aprofundado que
poderiam ter. Este ponto pode ser considerado uma limitação, mas, por outro lado, constituiu-se como uma fonte de dados para futuras investigações, que tencionamos desenvolver.
Na nossa investigação procurámos inferências e extrapolações que podem servir de apoio para
trabalhos futuros nesta área. Pesquisámos o que existia em comum nos cinco estudos de caso
analisados e posteriormente verificámos se esses fatores comuns se encontravam na “criação
de escola” de Normas Matriciais. Com isto não queremos dizer que a investigação esteja
fechada. Isto é, consideramos que a conclusão deste trabalho deve constituir-se um ponto de
partida para desenvolver novas questões.
Assim, terminamos este estudo apresentando questões futuras de investigação que podem ser
consideradas como ponto de partida para novos estudos.
· Será que os indicadores encontrados serão sinal de criação de escola noutras áreas de
investigação para além da Matemática?
165
Conclusões do estudo
· Tendo em conta o caso de Tiago de Oliveira, levanta-se a questão de saber se só o
contacto
com
um
“investigador
de
renome”
permite
adquirir/desenvolver
competências relevantes para fazer investigação, independentemente da área de
estudo?
· Quais são as boas práticas de orientação que permitam a criação de uma linha de
pesquisa num determinado tema?
· Quais as influências das boas práticas de orientação na criação de uma linha de
investigação numa determinada área?
Assinalamos que este trabalho abre um campo de estudo na investigação “aprender a fazer
investigação em Matemática”, uma vez que em Portugal pouco se falou nesta área.
166
Bibliografia
Bibliografia
Como foi referido anteriormente, durante a realização desta investigação recorremos a fontes
de tipos diferentes e portanto, decidimos organizar a bibliografia em quatro secções, a saber:
1- Publicações, referenciadas, quer na listagem final quer no corpo do texto, de acordo com as
normas APA;
2- Webreferências, referenciadas, quer na listagem final quer no corpo do texto por
numeração árabe entre parêntesis retos;
3- Referências legislativas, referenciadas, quer na listagem final quer no corpo do texto de
modo integral;
4- Fontes primárias, referenciadas, quer na listagem final quer no corpo do texto por siglas.
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Lourenço Marques, Lourenço Marques, Moçambique.
Vitória, J. (1974/75). Matricial norms and lambda-matrices. Revista de Ciências Matemáticas,
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Vitória, J. (1979a). Matricial norms and the differences between the zeros of determinants
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Vitória, J. (1979b). Generalization of inequalities by Carmichael and Mason and by Parodi.
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Bibliografia
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Woolfolk, A. E. (2000). Psicologia da educação (7.ª Ed.). Porto Alegre: Artmed Editora.
Yin, R. (1994). Case study research: design and methods (2.ª Ed.). Thousand Oaks, CA:
SAGE Publications.
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Bibliografia
2. Webreferência
[1] Retirado de
http://www.dges.mctes.pt/DGES/pt/Estudantes/Processo+de+Bolonha/Processo+de+Bolonha/
(acedido em 2/2/ 2013).
[2] Libâneo, J. (2003). Questões de metodologia do ensino superior – a teoria históricocultural da atividade de aprendizagem
(http://www.ucg.br/site_docente/edu/libaneo/pdf/questoes.pdf acedido em 6/09/2014)
[3] Retirado de http://pt.wikipedia.org/wiki/Escola_pitag%C3%B3rica
(acedido em 28/7/2012).
[4] Agudo, F. D. (2000). Almeida Costa and Algebra in Portugal. Cim Bulletin, 8.
(http://at.yorku.ca/i/a/a/h/00.htm acedido em 17/03/2013)
[5] Galvão, M.L. (2001). Almeida e Costa (1903-1978) Um renovador da álgebra em
Portugal. In A. Simões (Coord. Cient.) Memórias de professores cientistas (pp. 66-69).
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(http://memoria.ul.pt/index.php/Costa,_Ant%C3%B3nio_Almeida acedido em 20/07/2014)
[6] Turkman, M. (2003). José Tiago de Oliveira. Cim Bulletin, 14.
(http://at.yorku.ca/i/a/a/h/47.htm acedido em 17/03/2014 às 17:30)
[7] Mathematics Genealogy Project
(http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/ acedido em 10/4/2012)
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182
Bibliografia
3. Referências Legislativas
Decreto-Lei n.º 45840/1964. Diário do Governo, Série I, n.º 179 de 31 Junho 1964
Portaria n.º 187/82. Diário da República, Série I, n.º 37 de 13 de Fevereiro de 1982
183
184
Bibliografia
4. Fontes Primárias
[AAN] Apontamentos da disciplina de Análise Numérica I de José Vitória pertencente ao
espólio de José Vitória
[ANM] Apontamentos da disciplina de Normas Matriciais de José Vitória pertencente ao
espólio de José Vitória
[CJCA] Caderno da disciplina de Componentes de Álgebra do Mestrado na UBI do aluno
José Carlos Aleixo, 1998.
[CB] Carta de Barker datada de 22/12/1970 pertencente ao espólio de José Vitória
[CD1] Carta de Deutsch datada de 8/3/1970 pertencente ao espólio de José Vitória
[CD2] Carta de Deutsch datada de 15/5/1970 pertencente ao espólio de José Vitória
[CE] Carta de Ehret datada de 29/1/1970 pertencente ao espólio de José Vitória
[CF] Carta de Frank Canavarro datada de 6/2/1970 pertencente ao espólio de José Vitória
[CR] Carta de F. Robert datada de 15/04/1970 pertencente ao espólio de José Vitória
[CV1] Curriculum Vitae (2014) de Graciano Oliveira (07/07/2014)
[CV2] Curriculum Vitae (2013) de João Pedro da Ponte (22/06/2014)
[CV3] Curriculum Vitae (2013) de José Vitória (12/03/2013)
[DNG] Declaração de Nöel Gastinel datada de 1/1/1970 pertencente ao espólio de José
Vitória
[E1] Entrevista com Armando Duarte da Silva Gonçalves a 9 de dezembro de 2009
[E2] Entrevista com Maria Helena Seabra de Almeida a 9 de dezembro de 2009
[E3] Entrevista com Maria Teresa Pedroso de Lima a 15 de janeiro de 2010
[E4] Entrevista com Maria Manuela Vivaldo Silva a 15 de janeiro de 2010
[E5] Entrevista com Maria Madalena de Almeida C. Gomes Martins a 22 de janeiro de 2010
185
Bibliografia
[E6] Entrevista com João de Deus Mota Silva Marques a 20 de fevereiro de 2010
[E7] Entrevista com José Vitória a 2 de dezembro de 2009
[FV] Folhas “de vitrine” pertencente ao espólio de José Vitória
[FS] Folhas de Sumário da disciplina Normas Matriciais de 1982 pertencente ao espólio da
Universidade de Coimbra
(Vitória, 1974) Minitese de Doutoramento de José Vitória pertencente ao espólio de José
Vitória
[NSJV] Notas do seminário “Normas vectoriales de Matrices Y Aplicaciones”, proferido por
J. Vitória, a 12 e 26 de novembro de 1985, respetivamente em Valência e em Madrid,
Espanha.
[PPCMM] Panfleto publicitário do Curso de Mestrado em Matemática, da Faculdade de
Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra do ano de 1982 pertencente ao
espólio de Maria Teresa Pedroso de Lima
[RCVD] Rascunho da carta de resposta de José Vitória a Deutsch pertencente ao espólio de
José Vitória
[RCVR] Rascunho da carta de resposta de José Vitória a F. Robert datada de abril de 1970
pertencente ao espólio de José Vitória
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Anexos
Anexos
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Anexos
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Anexos
Guião de Entrevista
O presente inquérito foi elaborado no âmbito do doutoramento em Matemática. Tem por objetivo
principal recolher opiniões de vários intervenientes na área de investigação “normas com valores
matriciais” sobre o interesse, aplicação e evolução deste tema.
Os dados recolhidos através das opiniões registadas permitirão trabalhar no sentido da elaboração de
uma dissertação que contenha contributos para a história das normas com valores matriciais.
1. Idade
2. Onde se encontra atualmente a trabalhar?
3. Em que instituições trabalhou?
4. Dados relevantes do currículo:
5. Como escolheu o tema da sua dissertação?
6. Que dificuldades encontrou ao longo da sua investigação?
7. Com a sua investigação que mudanças/contribuições fez? O que foi mais importante,
porquê?
8. Que problemas deixou em aberto?
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Anexos
9. Ainda se dedica ao estudo do mesmo tema? Se não for esse o caso, porque é que
abandonou o tema? O que estuda atualmente?
10. Que futuro prevê para o tema? Quais as suas potencialidades?
11. Foi Influenciado por alguém no trabalho desenvolvido sobre normas com valores
matriciais?
12. Orientou/influenciou alguém na investigação deste tema?
13. Ligação do tema que trabalhou com as normas com valores matriciais.
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Anexos
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