UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
1. O método do disco
Volumes de Sólidos de Revolução
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Volumes de Sólidos de Revolução
1. O método do disco
1.O método do disco
2.O método da arruela
3.Aplicação
1. O método do disco
Para deduzir uma fórmula que nos permita
achar o volume de um sólido de revolução,
consideremos uma função contínua f, não-negativa
no intervalo [a, b]. Suponhamos a área da região
aproximada por n retângulos, todos com mesma
largura Dx, conforme a figura a seguir.
1. O método do disco
Conforme a figura a seguir, obtém-se um
sólido de revolução fazendo-se uma região plana
revolver em torno de uma reta. A reta é chamada
eixo de revolução.
n→∞
1
1. O método do disco
1. O método do disco
Fazendo os retângulos revolverem em torno
do eixo x, obtemos n discos circulares, cada um
dos quais tem volume dado por
π f ( xi )2  ⋅ ∆x
Inicialmente fazemos um esboço da região
delimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x.
Conforme a figura a seguir, tracemos um retângulo
representativo cuja altura é f (x) e cuja largura é ∆x.
O volume do sólido formado pela revolução
da região em torno do eixo x é aproximadamente
igual à soma dos volumes dos n discos. Além disso,
tomando o limite quando n tende para o infinito,
podemos ver que o volume exato é dado por uma
integral definida. Este resultado é chamado o
Método do Disco.
1. O método do disco
1. O método do disco
O Método do Disco
O volume do sólido formado pela revolução, em torno
do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f e pelo
eixo x (a ≤ x ≤ b), é
= π ∫ [f ( x )] dx
b
Volume
2
a
Raio = f ( x ) = − x + x
2
1. O método do disco
Exemplo 1: Determine o volume do sólido formado
pela revolução, em torno do eixo x, da região
delimitada pelo gráfico de f (x) = -x2 + x e pelo eixo x.
1. O método do disco
Volume = π ∫ [f ( x )] dx
1
2
Método do Disco
0
1
(
)
2
= π ∫ − x 2 + x dx
0
1
Substituir f (x)
(
)
= π ∫ x 4 − 2 x 3 + x 2 dx
0
Desenvolvendo o integrando
1
 x5 x4 x3 
=π  −
+ 
2
3 0
5
=
π
30
≈ 0,105
unidades cúbicas
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
2
1. O método do disco
OBS: No Exemplo 1, todo o problema foi resolvido
sem apelar para o esboço tridimensional mostrado
na figura anterior, à direita. Em geral, para
estabelecer a integral para o cálculo do volume de
um sólido de revolução, é mais útil um esboço
gráfico da região plana do que do próprio sólido,
porque o raio se torna mais visível na região plana.
2. O método da arruela
Se a região revolve em torno do eixo x,
podemos determinar o volume do sólido resultante
aplicando o Método do Disco a f e g e subtraindo
os resultados.
= π ∫ [f ( x )] dx − π ∫ [ g ( x )] dx
b
Volume
2
a
b
2
a
Escrevendo esta expressão como uma única
integral, obtemos o Método da Arruela.
2. O método da arruela
Podemos ampliar o Método do Disco para
calcular o volume de um sólido de revolução que
apresente um buraco. Consideremos uma região
delimitada pelos gráficos de f e g, conforme a
figura a seguir (lado esquerdo).
2. O método da arruela
O Método da Arruela
Sejam f e g contínuas e não-negativas no intervalo
fechado [a, b]. Se g (x) ≤ f (x) para todo x no intervalo,
então o volume do sólido gerado pela revolução, em
torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos de
f e g (a ≤ x ≤ b), é
= π ∫ [f ( x )] dx − π ∫ [ g ( x )] dx
b
Volume
a
2
b
2
a
f (x) é o raio exterior e g (x) é o raio interior.
2. O método da arruela
2. O método da arruela
Note que, na figura anterior (à direita), o
sólido de revolução tem um buraco. Além disso, o
raio do buraco é g (x), o raio interior.
3
2. O método da arruela
2. O método da arruela
Exemplo 2: Calcule o volume do sólido gerado pela
revolução, em torno do eixo x, da região delimitada
pelos gráficos de
f ( x ) = 25 − x 2
e g( x ) = 3
Tomando f (x) como raio exterior e g (x) como
raio interior, podemos determinar o volume do
sólido como a seguir.
Volume = π
∫ ([f ( x )] − [ g ( x )]
4
2
2
−4
) dx
Método das Arruelas
conforme a figura a seguir.
4 
=π∫ 
−4

(
25 − x 2
)
2
2
− ( 3 )  dx

Substituir f (x) e g (x)
2. O método da arruela
2. O método da arruela
=π∫
4
−4
(16 − x ) dx
2
Simplificar
4

x3 
= π 16 x − 
3  −4

=
2. O método da arruela
25 − x 2 = 3
25 − x 2 = 9
Exemplo 3: De acordo com o regulamento, uma
bola de rugby pode ter como modelo um sólido
formado pela revolução, em torno do eixo x, do
gráfico de
Igualar f (x) e g (x)
Substituir f (x) e g (x)
Elevar ambos os membros ao quadrado
x 2 = 16
x = ±4
polegadas cúbicas
3. Aplicação
Determinemos primeiro os pontos de
interseção de f e g igualando f (x) e g (x) e resolvendo em relação a x.
f (x ) = g( x)
256π
≈ 268,08
3
Determinar a antiderivada
f ( x ) = −0,0944 x 2 + 3,4,
− 5,5 ≤ x ≤ 5,5
conforme a figura a seguir. Utilize este modelo
para determinar o volume de uma bola de rugby.
(No modelo, x e y são dados em polegadas.)
Resolver em relação a x
4
3. Aplicação
3. Aplicação
Como a região é girada ao redor do eixo y,
faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao
eixo y e, portanto, integrar em relação a y.
OBS: Obtém-se um sólido em forma de uma bola de rugby (futebol
americano) pela revolução de um segmento de parábola em torno do eixo x.
3. Aplicação
3. Aplicação
Para determinar o volume do sólido de revolução,
aplique o Método do Disco.
Volume
=π∫
5
−5
≈ 232
[f ( x )]
−5
=π∫
5
( −0,0944 x
2
2
dx
Se fatiarmos a uma altura y, obteremos um
disco circular com raio x, onde x = y1/3.
f (y) =
Método do Disco
)
2
+ 3,4 dx
Volume = π
Substituir f (x)
3
y
∫ [ f ( y )]
b
2
a
dy
polegadas cúbicas
3. Aplicação
Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtido
pela rotação da região limitada por y = x3, y = 8 e
x = 0 ao redor do eixo y.
3. Aplicação
Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seu
volume é
2
8
Volume
8
Volume
= π ∫  3 y ) dy
0
8
2
= π ∫  y 1/3  dy = π ∫ y 2/3 dy
0
0
8
3
 3 5/3 
5/3 8
Volume = π  y  = π  y 
0
5
0 5
3
8
96π
Volume = π [ 32 − 0 ]0 =
5
5
5