TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA
COLECÇÃO DE PROBLEMAS
Luís Lemos Alves, 2012
PARTE - I
INTRODUÇÃO MATEMÁTICA
DEFINIÇÕES E CONCEITOS FUNDAMENTAIS
PRIMEIRO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA
CALORIMETRIA
1- Considere a função
p (V ) =
K
V
( K = const, K > 0)
a) Represente graficamente p(V) para V∈[V1,V2], V1,V2 > 0.
b) Calcule a derivada dp/dV e o diferencial dp.
V2
c) Calcule o integral,
∫ p(V ) dV
e interprete graficamente o resultado.
V1
p2
d) Calcule o integral
∫ dp
, e interprete graficamente o resultado.
p1
[Note que a variável independente é V].
2- Considere a função
p (V , T ) = C
T
V
T ∈ [T1, T2 ]; T1 , T2 > 0
(C = const, C > 0)
V ∈ [V1, V2 ]; V1 , V2 > 0
∂p
∂p
e e o diferencial dp.
∂V T ∂T V
a) Calcule as derivadas parciais
V2
b) Calcule
o
integral
∫ p(V ,T ) dV
para
T = const,
e
interprete
V1
graficamente o resultado.
T2
c) Calcule o integral
∫ p(V , T ) dT
para V = const, e interprete
T1
graficamente o resultado.
V2
d) Calcule o integral
∫ p(V ,T ) dV
V1
supondo dT/T = dV/V.
p2
e) Calcule o integral
∫ dp
.
p1
[Note que as variáveis independentes são V e T].
3- Classifique cada um dos seguintes sistemas quanto a serem abertos /
fechados e isolados / não isolados, indicando se trocam calor / trabalho /
massa com o seu exterior.
a) motor de um automóvel;
b) óleo de um amortecedor de automóvel;
c) doce de morango dentro de um frasco
selado, no frigorífico;
d) café dentro de uma garrafa térmica,
pousada numa prateleira;
e) o mesmo café, na mesma garrafa
térmica, a viajar na mala de um
estudante;
f) o planeta Terra;
g) o Universo, tal como é entendido pela ciência actual.
4- Calcule a altura de que deve cair a água duma cascata, para que a sua
temperatura aumente 1oC após atingir a base da cascata.
NOTA: admita que, ao atingir o solo, a energia potencial da água se
converte integralmente em energia interna.
5- Calcule a energia que é necessário fornecer a 200g de
gelo, à temperatura de −20oC e à pressão de 1atm, para
obter a mesma quantidade de vapor de água a 100oC.
6- Considere um fluido que realiza as transformações termodinâmicas
representadas nos diagramas (a)-(c).
p
p
p
p0
V1
(a)
V2
V
V1
V2 V
(b)
V1
V2
V
(c)
a) Calcule o trabalho realizado sobre o fluido nas transformações
(a) p = p0 = const.
(b) p = k/V, com k = const.
b) Indique como se pode calcular graficamente o trabalho realizado pelo
fluido em cada uma das transformações.
c) Indique se o fluido fornece ou recebe trabalho na transformação (c).
7- Calcule a temperatura indicada por um termómetro de gás (cheio com 1mol
de gás, a volume constante), cuja coluna de mercúrio tem 5cm de altura.
[NOTA: 1mol de um gás diluído, à pressão atmosférica e temperatura de
0oC, ocupa um volume de 22,4L].
8- Considere o Teorema da Energia Cinética
∆ε kM = Wex + Win ,
onde
εM
k
... energia cinética (macroscópica)
Wex ... trabalho das forças exteriores
Win ... trabalho das forças interiores.
a) Demonstre o Teorema da Energia Mecânica
nc
nc
∆ε m ≡ ∆ε M
k + ∆ε p = Win + Wex ,
onde
ε m ... energia mecânica
ε p = ε p,in + ε p, ex ... energia potencial total
ε p,in ... energia potencial associada às forças interiores
ε p, ex ... energia potencial associada às forças exteriores
Winnc ... trabalho das forças interiores não conservativas
nc
Wex
... trabalho das forças exteriores não conservativas.
b) Combine o resultado de a) com o Primeiro Princípio da Termodinâmica,
para mostrar que em sistemas mecânicos se tem
∆U − ∆ε p,in = Q − Winnc
onde
U ... energia interna
Q ... calor trocado entre o sistema e o exterior
Interprete o resultado obtido.
c) Aplique o resultado de b) ao estudo do contacto, com atrito, entre dois
sólidos indeformáveis.
(i)
Considere o contacto isotérmico (T = const) de dois sólidos na
atmosfera. Admita que a energia interna dos sólidos é apenas
função da temperatura.
Mostre que o trabalho das forças de atrito é totalmente dissipado
sob a forma de calor.
(ii)
Considere o contacto adiabático (Q = 0) de dois sólidos no vácuo.
Mostre que o trabalho das forças de atrito conduz a uma
diminuição da energia interna dos sólidos.
DADOS E CONSTANTES
1 cal = 4,186 J
(equivalente mecânico da caloria)
g = 9,8 ms-2
Cm,p (gelo) = 0,5 cal g-1 oC-1
Cm,p (água) = 1 cal g-1 oC-1
λfusão (gelo) = 80 cal g-1
λvaporização (água) = 540 cal g-1
ρHg = 13,6x103 kg m-3
Soluções de questões seleccionadas
1b)
dp
K
=−
dV
V2
V
V2
c)
K
; dp = −
2
dV
V
2
∫ p(V )dV = K ln V
1
V1
O integral corresponde à área limitada pela curva p(V) e pelas rectas V=V1
e V=V2.
p2
d)
K
K
∫ dp = V − V
2
1
p
1
2-
T
C
∂p
∂p
= −C 2 ; =
∂V T
∂T V V
V
a)
T
C
dp = −C
dV + dT
V
V2
V2
b)
V
te
2
∫ p(V ,T )dV = CT ln V (T = cons )
1
V1
T2
c)
∫ p(V , T )dV =
T1
C T22 T12
−
(V = cons te )
V 2
2
dT dV
=
⇒ p = cons te
d)
T
V
p2
e)
T2 T1
−
=
dp
C
∫
V2 V1
p
1
4-
427 m
5-
6,1x105 J
V2
;
∫ p(V , T )dV = p(V2 − V1 )
V1
6-
a) (a) − p0 (V2 − V1 )
V
(b) − k ln 2
V1
7-
291 K
PARTE - II
INTRODUÇÃO À TEORIA CINÉTICA
MUDANÇAS DE ESTADO
GASES PERFEITOS – EQUAÇÃO DE ESTADO
GASES REAIS – EQUAÇÃO DE VAN DER WAALS
TRANSFORMAÇÕES NUCLEARES
1- Considere um bloco de cobre, com massa 1kg, à pressão atmosférica.
Aquece-se o cobre, fazendo variar a sua temperatura entre 20ºC e 50ºC.
a) Calcule o calor absorvido pelo cobre.
b) Mostre que βcobre = 3αcobre para uma dilatação isotrópica do bloco, onde
αcobre = (1/l)(dl/dT) e βcobre = (1/V)(dV/dT) são os coeficientes de
dilatação linear e volúmica do cobre, respectivamente. Admita que o
bloco é isotrópico e que o seu volume varia pouco.
c) Estime o valor do trabalho realizado pelo bloco de cobre, supondo que o
seu volume variou linearmente com a temperatura.
d) Calcule a variação da energia interna do bloco de cobre.
e) Compare os resultados obtidos nas alíneas a) e d).
Interprete a diferença entre eles à luz das propriedades de um sólido e
indique se, neste caso, faz sentido diferenciar os calores específicos a
pressão e volume constante.
2- A partir da Teoria Cinética, calcule o calor específico a volume constante
dos seguintes sistemas:
a) Gás perfeito monoatómico.
b) Gás perfeito diatómico, à temperatura ambiente.
c) Gás perfeito diatómico, à temperatura de 3000K.
d) Gás perfeito triatómico, à temperatura de 3000K.
e) Sólido cristalino.
3- O ar seco é uma mistura de gases que se comporta como um gás perfeito
diatómico. Numa mole de ar existem 0,78mol de azoto N2 [mN2 = 28 g mol-1],
0,21mol de oxigénio O2 [mO2 = 32 g mol-1], sendo as restantes 0,01mol
compostas por vários outros gases tais como argon Ar e dióxido de carbono
CO2. A pressão atmosférica é a soma das pressões parciais dos vários
gases.
a) Calcule o calor específico molar do ar seco a volume constante, CV, e a
pressão constante, Cp, à temperatura ambiente.
b) Calcule a massa molar e a densidade do ar seco em condições PTN.
c) Calcule o calor específico mássico a volume constante do ar seco, Cm,V,
à temperatura ambiente.
4- Considere uma arca frigorífica com
capacidade de 120L, cuja porta tem
0,8m de altura e 0,5m de largura.
Quando se abre a porta não se observa
uma alteração apreciável da quantidade
de ar no interior da arca, muito embora
a sua temperatura suba ligeiramente.
Suponha que, quando se abre a porta, o
ar interior atinge uma temperatura
uniforme de –8oC, estando em equilíbrio
com a pressão atmosférica exterior.
Quando se fecha a porta, o ar interior
arrefece até à temperatura de –10oC.
Nestas condições, estime qual a força necessária para reabrir a porta da
arca, admitindo que a sua junta é completamente hermética.
[Considere que o ar é um gás perfeito.]
5- Considere um gás perfeito monoatómico à pressão pi = 1,2atm e
temperatura Ti = 300K, o qual se encontra em equilíbrio no interior dum
êmbolo cilíndrico de volume Vi = 1L, cujo pistão, de massa m = 1kg e
espessura desprezável, está a uma altura h = 50cm. Admita que existe uma
massa M sobre o pistão a qual, uma vez retirada, permite ao gás expandirse adiabaticamente até uma pressão pf, uma temperatura Tf e um volume
Vf.
a) Calcule o valor da massa M.
patm
b) Calcule o valor da pressão final pf.
c) Calcule a razão de expansão Vf / Vi .
d) Calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o
exterior.
e) Calcule o valor da temperatura final Tf.
m+M
6- Um reservatório de 5L, com paredes
rígidas e adiabáticas, tem no seu interior
hélio e um balão de borracha com
O2
oxigénio (ver figura). Na situação inicial o
hélio ocupa 4L e encontra-se à pressão p
= 1atm e temperatura T = 300K. Nessa
He
situação, o oxigénio no interior do balão
(com volume Vb = 1L) está em equilíbrio
térmico com o hélio. Devido à elasticidade da borracha, a pressão do
oxigénio é sempre superior à do hélio. Admita que a pressão exercida pela
borracha é descrita por pborr = K/Vb, com K = 0,1 atm L. Considere que, nas
condições da experiência, o calor específico molar (a volume constante) do
oxigénio é igual a 5R/2.
a) Calcule o número de moles de oxigénio no interior do balão.
b) Retira-se hélio do reservatório, até se atingir uma pressão p’ = 0,1atm
(mantendo-se inalterada a temperatura da atmosfera de hélio). Esta
operação provoca uma expansão rápida (adiabática) do oxigénio no
interior do balão, que mantém o equilíbrio entre as pressões interna (do
oxigénio) e externa (do hélio e da borracha). No fim do processo, o balão
aumentou de volume até Vb’ = 2L e rebentou.
b1) Calcule a temperatura T’ do oxigénio imediatamente antes do
rebentamento do balão. Justifique porque razão o oxigénio se mantém
no estado gasoso, após esta expansão, sabendo que a sua temperatura
de vaporização é Tvaporização, O2 = 90K (a 1atm).
b2) Calcule o trabalho realizado pelo oxigénio para expandir o balão, até
ao seu rebentamento.
[Sugestão: Utilize o Primeiro Princípio da Termodinâmica.]
b3) Calcule a temperatura final de equilíbrio da mistura hélio-oxigénio,
após o rebentamento do balão.
7- Considere um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas, no qual existem
dois compartimentos (A e B) termicamente
isolados através de uma divisória fixa. No
compartimento A existe azoto (mN2 = 28g mol-1;
pA = 6atm, TA = 290K, VA = 2L), enquanto no
compartimento B existe hélio (mHe = 4g mol-1; pB
= 1,5atm, TB = TA, VB = 4L). Considere estes
gases como perfeitos.
a) Calcule o número de moles de N2 e He, existentes nos recipientes A e B.
b) Calcule a energia interna e os calores específicos a volume constante de
cada um dos gases.
c) Calcule a densidade mássica de cada um dos gases.
d) Obtenha a razão vq(N2)/vq(He), entre as velocidades quadráticas médias
dos dois gases.
e) Admita que se retira a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos
dois gases.
e1) Indique qual é a temperatura de equilíbrio, Teq, da mistura.
e2) Calcule a energia interna de equilíbrio, Ueq, da mistura.
e3) Calcule a pressão de equilíbrio, peq, da mistura. Verifique a lei de
Dalton.
f) Suponha agora que se diminui em 2%, e de forma isotérmica, o volume
total VA+VB do recipiente. Calcule os novos valores de equilíbrio da
pressão e da energia interna da mistura.
[NOTA: nesta transformação, as paredes do recipiente deixam de ser
rígidas e adiabáticas.]
8- A figura seguinte esquematiza o diagrama do ponto triplo para a água.
Identifique as mudanças de estado que se observam se fizermos o sistema
evoluir segundo os percursos A, B e C, indicados na figura.
9- Pretende-se obter algumas propriedades do amoníaco (NH3) no ponto triplo.
A pressão de vapor do amoníaco sólido é dada por :
e a do amoníaco líquido por
onde a pressão p está em Torr e a temperatura T em K.
a) Calcule a temperatura T0 e a pressão p0 do ponto triplo do amoníaco.
b) Indique, justificando, qual é o estado físico do amoníaco a PTN.
10- A equação de Van der Waals (VDW), para uma mole de um fluido, pode
escrever-se na forma reduzida
pr + 3 (3Vr − 1) = 8Tr
Vr 2
onde p r ≡ p / p c , Vr ≡ V / Vc e Tr ≡ T / Tc representam, respectivamente,
a pressão reduzida, o volume reduzido e a temperatura reduzida do fluido,
definidos em relação aos parâmetros críticos correspondentes.
a) Verifique que as propriedades matemáticas do ponto crítico do fluido são
correctamente descritas pela equação reduzida de VDW.
b) Obtenha a expressão da equação reduzida de VDW, no limite de altas
temperaturas e altas diluições do fluido.
Utilize a expressão obtida para deduzir a relação entre os parâmetros
críticos pc, Vc e Tc.
c) Discuta o significado físico do termo aditivo em pressão e do termo
subtractivo em volume, na equação reduzida de VDW.
11- O hélio e a água são correctamente descritos, na transição líquido-vapor,
pela equação de Van der Waals (VDW)
2
n
p + a (V − nb ) = nRT
V 2
a qual conduz às seguintes expressões para a pressão crítica pc e o volume
crítico Vc
pc =
a
27b
2
;
Vc = 3nb .
Para o hélio tem-se
a = 0,0340x106 atm cm6 mol-2
b = 23,40 cm3 mol-1
e para a água
a = 5,460x106 atm cm6 mol-2
b = 30,45 cm3 mol-1
a) Indique qual das duas substâncias tem forças de interacção molecular
mais intensas. Calcule a relação de ordem de grandeza entre as suas
intensidades, considerando que os seus átomos / moléculas têm
dimensões semelhantes.
b) Indique, justificando, qual das duas substâncias tem um ponto de
ebulição mais baixo, à pressão atmosférica.
c) Indique qual das duas substâncias tem moléculas maiores. Calcule o
valor do raio do átomo de hélio, no quadro do modelo de VDW.
d) Mostre que os parâmetros críticos de VDW verificam a expressão
3
p c Vc = nRTc ,
8
onde Tc é a temperatura crítica do sistema.
e) Calcule Tc para o hélio e para a água, e compare o comportamento
destes sistemas à temperatura ambiente (~300 K).
12- O hélio é bem descrito pela equação de estado de Van der Waals (VDW)
2
p + n a (V − nb ) = nRT
V 2
com a = 3,44x10-3 Pa m6 mol-2 e b = 23,40x10-6 m3 mol-1.
a) Calcule o valor do raio dum átomo de hélio.
b) Deduza as expressões das coordenadas (pc, Vc, Tc) do ponto crítico dum
gás real, a partir da equação de VDW. Calcule pc e Tc para o hélio.
c) Considere uma mole de hélio à temperatura inicial T1 = 140K, sobre a
qual se realiza uma expansão livre de Joule entre V1=1L e V2 = 2V1.
Admita que o calor específico molar a volume constante do hélio é CV =
(3/2) R.
c1) Utilize a expressão geral da variação da energia interna
∂p
dU = nCV dT + T
− p dV
∂T V
para calcular a temperatura final T2 do gás, após a expansão.
c2) Calcule a variação da entropia do hélio na expansão.
c3) Compare os resultados das alíneas c1) e c2) com os que se
obteriam admitindo que o hélio é um gás perfeito. Interprete.
13- Considere os seguintes sistemas:
(I) Um plasma de fusão, de densidade electrónica ne = 1018cm-3 e energia
electrónica kBTe = 1keV.
(II) Uma lâmpada fluorescente, onde ne = 1011cm-3 e kBTe = 2eV.
(III) A ionosfera terrestre, onde ne = 106cm-3 e kBTe = 0,1eV.
a) Calcule o comprimento de Debye e a frequência de plasma desses
sistemas. Compare os resultados obtidos.
b) Sugira uma explicação para o facto da expressão da frequência de
plasma ser independente da temperatura electrónica do sistema.
c) Explique porque razão o tubo da lâmpada fluorescente não se encontra
à temperatura de 2eV (~ 23000K, era capaz de fundir!).
(NOTA: o gás no interior da lâmpada encontra-se à pressão de 2Torr e a
uma temperatura de 70oC).
14- Numa estação arqueológica no Egipto encontrou-se uma múmia que se
pretende datar. A actividade do 14C existente na múmia, por unidade de
massa de carbono, é de 9 (desintegrações) s-1 g-1, e a sua actividade na
atmosfera (e na matéria viva), por unidade de massa de carbono, é
actualmente de 13,5 (desintegrações) s-1 g-1.
Sabe-se que o período de semi-transformação do 14C é de 5730 anos.
a) Calcule a constante de decaimento do 14C.
b) Suponha que a actividade do 14C na atmosfera se tem mantido
constante ao longo dos anos. Calcule a idade da múmia, e faça a
datação da estação arqueológica.
c) Discuta a validade da aproximação utilizada na alínea b), relativamente
à variação da actividade do 14C na atmosfera. Indique de que modo esta
aproximação tem influência nas datações antes calculadas.
15- Considere uma rocha em cuja composição existe 87Rb (rubídio) e 87Sr
(estrôncio). Suponha que o 87Sr da rocha resultou exclusivamente do
decaimento do 87Rb, ao longo dos anos.
Sabe-se que o período de semi-transformação do 87Rb em 87Sr é de
4,7x1010 anos.
a) A análise da rocha revela uma percentagem relativa de 99% de 87Rb.
Indique se será possível encontrar fósseis dos primeiros mamíferos
nessa rocha.
[NOTA: o aparecimento dos primeiros mamíferos ocorreu há 9,5x107
anos.]
b) Calcule a percentagem mínima de 87Rb que tem de existir nessa rocha,
para que a estimativa actual da idade da Terra (4,5x109 anos)
permaneça válida.
16- Uma das mais importantes reacções de fusão nuclear no Sol envolve a
colisão de dois átomos de 3He (cujo núcleo é formado por 2 protões e um
neutrão), dando origem a Hélio-4 e hidrogénio
He + 3He → 4He + 1H + 1H
3
As massas dos núcleos intervenientes nesta reacção são
m(3He) = 5,008237x10-27 kg
m(4He) = 6,646483x10-27 kg
m(1H) = 1,673534x10-27 kg
Calcule a energia libertada pela fusão de cada par de átomos de 3He em
repouso. Expresse o resultado em eV.
17- Uma das mais importantes reacções de fissão nuclear do
formação de 94Zr e de 140Ce, segundo
235
U envolve a
U + 1n → 94Zr + 140Ce + 2 1n + 6 e
235
Sabe-se que a diferença entre as massas dos produtos e dos reagentes
desta reacção é 4x10-25 g.
Calcule a energia por nucleão libertada devida à fissão dum núcleo de 235U
em repouso. Expresse o resultado em eV.
18- Considere uma fonte pontual de raios-γ (com 0,8MeV de energia) no vácuo,
cuja taxa isotrópica de emissão é S = 4x1012 s-1. Pretende-se atenuar este
feixe de radiação, colocando a fonte no interior duma câmara de ferro com 1
cm de raio.
Sabe-se que o comprimento de semi-redução do ferro é L1/2 = 1,33cm (para
raios-γ de 0,8MeV).
a) Mostre que o fluxo J de raios-γ, calculado à distância r da fonte, é dado
por
J=
S
4πr 2
b) Calcule o fluxo de radiação que incide na parede interna da câmara.
c) Calcule o coeficiente de atenuação mássico do ferro (para raios-γ de
0,8MeV).
d) Estime a espessura mínima da câmara de ferro, que garante uma
atenuação a 80% do fluxo de raios-γ.
DADOS E CONSTANTES
Condições PTN (Pressão e Temperatura Normais)
p = 1atm = 760Torr; T = 273K
1 atm = 1,013 x 105 Pa
R = 8,314 J K-1 mol-1
NA = 6,023 x 1023 mol-1
Mcobre = 63,55 g mol-1
Cp (cobre) = 0,384 J g-1 ºC-1
ρcobre = 8,92 g cm-3 (valor a 20oC)
αcobre = 1,7x10-5 K-1 (coeficiente de dilatação linear; valor a 20oC)
ρferro = 7,86 g cm-3
me = 9,11 x 10-31 kg
e = 1,60 x 10-19 C
ε0 = 8,85 x 10-12 C2 N-1 m-2
Soluções de questões seleccionadas
1-
a) Q = 1,152x104 J
b) W = − 1,74x10-2 J
c) ∆U = Q + W = 1,152x104 J
2a) CV = 3R/2
b) CV = 5R/2
c) CV = 7R/2
d) CV = 13R/2 (moléculas lineares) ; CV = 6R (moléculas não lineares)
e) CV = 3R
3-
a) CV = 20,8 J K-1 mol-1
Cp = 29,1 J K-1 mol-1
b) Mar = 28,6 g mol-1
ρar = 1,28 kg m-3
c) Cm,V = 0,73 J K-1 g-1
4-
306 N
5a) M = 3,13 kg
b) pf = 1,06x105 Pa
c) Vf / Vi = 1,09
d) Wgas = 9,54 J
e) Tf = 285 K
6a) n = 0,045 mol
b) b1) T = 81,2 K
b2) W = 204,6 J
b3) Teq = 111,4 K
7a) nN2 = 0,50 mol
nHe = 0,25 mol
b) CV, N2 = 20,8 J K-1 mol-1
Cp, N2 = 29,1 J K-1 mol-1
UN2 ~ 3 kJ
CV, He = 12,5 J K-1 mol-1
Cp, He = 20,8 J K-1 mol-1
UHe ~ 0,91 kJ
c) ρN2 = 7 kg m-3
ρHe = 0,25 kg m-3
d) vq (N2) / vq (He) = 0,38
e) e1) Teq = 290 K
e2) Ueq ~ 3,9 kJ
e3) peq ~ 3 atm = pN2 + pHe
f) p’eq ~ 3,06 atm
U’eq = Ueq ~ 3,9 kJ
9a) T0 = 195,2 K
p0 = 44,6 Torr
b) Estado gasoso
10a) pc =
11-
3 RTc
8 Vc
a) FH20 / FHe ~ 102
b) aHe < aH20
A intensidade das forças inter-moleculares é mais fraca no hélio, e
portanto a temperatura de ebulição do hélio é menor que a da água.
c) bHe < bH20
A água tem moléculas maiores que o hélio.
rHe = 1,32 Å
d) Tc =
8a
27 Rb
⇒
3
pc Vc = nRTc
8
e) Tc (He) = 5,2 K << Tamb
Estado fluido à temperatura ambiente.
Tc (H2O) = 647,3 K >> Tamb
Estados líquido ou gasoso à temperatura ambiente, dependendo da
pressão.
12a) rHe = 1,32 Å
b) pc = 2,3x105 Pa
Tc = 5,2 K
c) c1) T2 = 139,9 K
c2) ∆S = (5,9 – 8,9x10-3) J K-1
13a) (I) λD = 2,35x10-7 m ; ωp = 5,6x1013 s-1
(II) λD = 3,32x10-5 m ; ωp = 1,8x1010 s-1
(III) λD = 2,35x10-3 m ; ωp = 5,6x107 s-1
c) N/V = 5x1022 m-3 ; ne = 1017 m-3
14a) λ = 3,8x10-12 s-1
b) 3351 anos
15b) 94%
16- 12,9 MeV
17- 0,96 MeV / nucleão
18-
a) J(r=1cm) = 3,2x1011 cm-2 s-1
b) µ/ρ = (ln2 / L1/2) / ρ = 0,066 cm2 g-1
c) x = ln5 / µ = 3,10 cm
PARTE - III
TRANSFORMAÇÕES TERMODINÂMICAS
ENTROPIA E SEGUNDO PRINCÍPIO DA
TERMODINÂMICA
1- Considere uma arca frigorífica vertical com uma capacidade de 120L, dos
quais 100L são ocupados por ar (gás perfeito diatómico). A porta da arca
tem 1m de altura e 0,5m de largura, podendo-se considerar hermética.
Suponha que quando se fecha a porta o ar interior está a uma temperatura
uniforme de –23oC e ainda à pressão atmosférica. Posteriormente, o ar
interior arrefece até à temperatura de –28oC, ficando o sistema em
equilíbrio.
a) Calcule o número de moles, n, de ar
dentro da arca.
b) Calcule, justificando, os calores
específicos molares do ar a volume
e a pressão constantes. Obtenha o
coeficiente adiabático do ar (γ).
c) Calcule o calor trocado pelo ar, após
se ter fechado a porta e o equilíbrio
ter sido atingido.
d) Calcule a força necessária para
reabrir a porta.
e) Considere que no acto de abrir a porta, devido à dilatação da junta da
arca, o volume do ar aumenta 10L antes que a porta se abra e a pressão
atmosférica seja restabelecida. Nestas condições, admitindo que a
transformação é adiabática reversível, calcule a pressão e a temperatura
do ar imediatamente antes de a porta se abrir.
2- Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização de 1cm3 de
água, à temperatura de 100oC.
3- Considere 100g de gelo à temperatura T0 = 0oC, em contacto com o ar
ambiente à temperatura Tamb. Deixa-se fundir o gelo até se obter água
líquida a 0oC.
a) Calcule a variação da entropia do gelo, do ambiente e do conjunto (gelo
+ ambiente = Universo), supondo Tamb=30oC (Verão em Lisboa).
b) Indique como se alterariam os resultados anteriores se fosse Tamb=0oC
(Inverno em Paris).
[Despreze as variações de volume do sistema gelo-água]
4- Um cubo de gelo de massa 1g é colocado dentro de uma caixa hermética e
termicamente isolada onde existem 2 moles de ar (gás perfeito diatómico).
Inicialmente o gelo encontra-se a 0oC e o ar encontra-se a 10oC à pressão
atmosférica normal, patm.
a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, os calores
específicos molares a volume e pressão constantes, CV (ar) e Cp (ar), para
o ar dentro da caixa.
b) Admita que o gelo no interior da caixa funde a uma temperatura
constante de 0oC.
Calcule a variação de energia interna ∆Uar e a temperatura final Tf (ar) do
ar dentro da caixa, após este processo de fusão do gelo.
c) Calcule a temperatura final de equilíbrio do sistema, Teq, após a fusão do
gelo.
[Admita que os volumes da água nos estados sólido e líquido são
idênticos.]
d) Calcule a variação da entropia do gelo durante o seu processo de fusão
(a 0oC).
e) Explique detalhadamente porque razão pôde usar no cálculo da alínea
anterior uma expressão que corresponde a um processo reversível, se a
fusão do gelo é um processo irreversível.
f) Ao admitir-se que o gelo funde a uma temperatura constante de 0 0C,
está-se implicitamente a supor que a pressão do ar no interior da
caixa não varia significativamente durante este processo de fusão.
Discuta a veracidade desta aproximação.
5- Numa oficina de metalomecânica aqueceu-se um bloco de cobre com
volume Vcobre = 1L até à sua temperatura de fusão, Tcobre = 1083oC. Para se
arrefecer o bloco de cobre, ele é introduzido num recipiente aberto (de
paredes indeformáveis e termicamente isoladas) contendo um volume Vágua
de água fria, à temperatura Tágua = 20oC.
Admita que, ao mergulhar-se o bloco de cobre na água, se verifica:
A- o aquecimento e vaporização imediata dum volume VA de água (que
abandona o recipiente), com a consequente redução da temperatura do
bloco até TA , cobre = 100oC;
B- o aquecimento do restante volume de água, entre a temperatura inicial
Tágua e uma temperatura final de equilíbrio Teq.
Despreze as variações de volume do bloco de cobre e o aquecimento do ar
ambiente.
a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, o calor
específico mássico a volume constante do bloco de cobre, CV (cobre).
b) Calcule o calor transferido do bloco de cobre para a água QA, durante a
transformação A.
c) Calcule o volume VA de vapor de água, produzido durante a
transformação A.
d) Calcule a variação de entropia do bloco de cobre durante a
transformação A.
e) Suponha que o volume total de água é Vágua = 5L .Obtenha o valor da
temperatura de equilíbrio Teq, após a transformação B.
Indique, justificando, qual o valor de Teq quando Vágua >> 1.
6- Considere uma mole de hélio à pressão pi = 1bar e temperatura Ti = 300K,
em equilíbrio no interior dum cilindro não isolado cujo pistão
livre, de secção 10cm2, tem massa desprezável. Coloca-se
uma massa M = 20kg sobre o pistão, a qual é responsável
por uma compressão isotérmica do gás até uma nova
situação de equilíbrio. Admita que o hélio é um gás perfeito.
a) Calcule o valor da pressão final de equilíbrio do gás, pf.
b) Calcule o trabalho e o calor recebidos pelo gás no
processo de compressão.
c) Obtenha a variação de entropia do Universo nesta transformação.
Indique se a transformação é reversível ou irreversível.
7- Considere hélio (He) à pressão pi = 6x105Pa e temperatura Ti = 3000K, em
equilíbrio no interior dum êmbolo de paredes isoladas indeformáveis, com
volume inicial Vi = 40L. Liberta-se o pistão do êmbolo, permitindo que o gás
se expanda de forma adiabática até uma temperatura Tf = 2000K. Admita
que o hélio é um gás perfeito.
a) Calcule o número de moles de hélio no interior do êmbolo.
b) Calcule a variação de energia interna ∆U e o trabalho Wgas realizado
pelo gás na expansão.
c) Admita que a expansão se realiza de forma reversível.
c1) Calcule o volume final Vf ocupado pelo gás.
c2) Calcule a pressão final pf do gás.
d) Admita que a expansão se realiza de forma irreversível, contra a
pressão atmosférica exterior.
d1) Calcule o volume final Vfirr ocupado pelo gás.
d2) Calcule a variação da entropia do Universo (sistema + exterior) nesta
transformação.
8- Considere uma mole de N2 que se encontra dentro de um recipiente
isolado, confinado ao volume A tal como é mostrado na figura. Os
compartimentos A e B estão separados por uma divisória, de massa m e
espessura desprezável, que está a uma altura h relativamente à base do
recipiente. Em B existe vácuo.
Considere o azoto como um gás perfeito. Sejam ainda: VA= 1m3; VB = VA;
TA = 200K; m = 2,5kg; h = 8,3m.
Num primeiro processo de transformação a divisória é removida
horizontalmente. Para este caso:
a)
Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
b)
Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema, após a
expansão, para repor a pressão inicial.
c)
Indique se o resultado da alínea a) se manteria, caso o azoto fosse
tratado como um gás real.
Num segundo processo de transformação solta-se a divisória por forma a
que ela suba até ficar encostada à parte superior do recipiente. Considerase que toda a energia cinética da divisória é transformada em energia
interna após a barra encostar na parte superior do recipiente. Para este
caso:
d)
Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
e)
Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema após a
expansão para repor a pressão inicial. Compare com o valor da alínea
b) e comente.
f)
Calcule a variação de entropia do Sistema e do Universo durante os
dois processos de expansão anteriormente descritos (sem se fornecer
calor). Comente a diferença entre os valores calculados.
9- Considere um gás perfeito monoatómico, de calor específico molar CV =
3R/2, o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico vertical cujo
pistão, de área A = 20cm2, possui uma massa desprezável. Inicialmente o
gás encontra-se em equilíbrio com o exterior, à temperatura ambiente T0 =
300K e pressão atmosférica p0 =1atm, ocupando um volume V0 =1L.
a) Numa primeira fase, coloca-se uma massa M = 10kg sobre o pistão,
provocando-se a compressão isotérmica do gás.
a1) Calcule a pressão pi de equilíbrio após a compressão.
a2) Calcule o volume Vi de equilíbrio após a compressão.
a3) Calcule o trabalho W realizado sobre o gás e o calor Q trocado com
o exterior, durante a compressão.
b) Numa segunda fase, retira-se a massa M e o gás expande-se, também
isotermicamente, até atingir uma situação final de equilíbrio.
b1) Calcule a pressão e o volume de equilíbrio após a expansão,
respectivamente pf e Vf.
b2) Calcule o trabalho W' realizado sobre o gás e o calor Q' trocado com
o exterior, durante a expansão.
c) Considere, finalmente, a transformação combinada de compressão e
expansão isotérmicas, entre o equilíbrio inicial (T0, p0, V0) e o equilíbrio
final (T0, pf, Vf).
Para essa transformação, calcule as variações de entropia do gás e do
exterior e conclua, justificando, quanto à sua reversibilidade ou
irreversibilidade.
10- Considere um gás perfeito, de calor específico molar CV = 3R/2, o qual se
encontra no interior de um êmbolo cilíndrico cujo pistão tem massa
desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura T0 = 300K, em
equilíbrio à pressão p0 = patm, e ocupando um volume V0 = 1dm3. O pistão
está sujeito à pressão atmosférica exterior patm = 1atm.
Realizam-se as seguintes transformações sucessivas sobre o gás.
• Coloca-se o sistema em contacto com uma fonte térmica de
temperatura T1 = 400K, o que provoca a expansão isobárica do gás
até um volume V1.
• Substitui-se a fonte térmica anterior por uma outra de temperatura
T0 = 300K, o que provoca uma compressão isobárica do gás.
a) Calcule a variação de energia interna do gás, devida ao seu
processo de expansão.
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante o seu processo de
expansão.
c) Calcule, para a transformação global de expansão e compressão,
a variação de energia interna do gás, o trabalho total realizado sobre
o gás e o calor total fornecido ao gás.
d) Indique, justificando detalhadamente, se a transformação global
(expansão seguida de compressão) é ou não reversível.
11- O ar no interior dum pneu encontra-se à
pressão pi = 3,5atm e à temperatura Ti =
300K. Admita que o ar se comporta como
um gás perfeito diatómico.
a) Calcule a densidade do ar (em
partículas m-3) no interior do pneu, e os
seus calores específicos molares a
pressão e a volume constantes.
b) Esvazia-se o pneu, abrindo totalmente
a sua válvula. Admita que o ar realiza
uma expansão rápida (adiabática)
entre os volumes Vi(pi, Ti) e Vf(patm, Tf).
(NOTA: patm = 1 atm é a pressão
atmosférica).
b1) Considere que o ar do pneu se expande de forma irreversível, contra
a pressão atmosférica exterior.
Calcule a temperatura final do ar, Tfirrev, após a expansão. Será esta
forma de esvaziar o pneu saudável para a vida da válvula?
b2) Suponha agora que a expansão realizada pelo ar do pneu era
reversível (o que é bem menos realista).
Calcule a nova temperatura final do ar, Tfrev, após a expansão. Compare
o resultado obtido com o da alínea anterior e interprete.
12- Considere dois sólidos, de capacidades caloríficas c1 e c2 e temperaturas
T1 e T2, respectivamente. Colocam-se estes sólidos em contacto, no interior
de um reservatório de paredes adiabáticas onde se fez vácuo, até que
atinjam o equilíbrio térmico à temperatura Tf. Admita c1 e c2 independentes
da temperatura e suponha que se podem desprezar as variações de volume
dos sólidos.
a) Obtenha a expressão de Tf em função de T1 e T2.
b) Obtenha a expressão da variação de entropia, ∆S, do sistema dos dois
sólidos.
c) Mostre que ∆S = ∆SUniverso > 0.
[Sugestão: escreva ∆S como a soma de duas funções de x ≡T/T1, e
analise-as graficamente.]
13- Considere dois gases perfeitos diatómicos DIFERENTES, que ocupam os
dois compartimentos (A e B) de um recipiente com paredes rígidas e
adiabáticas. Os compartimentos (de volumes VA e VB) encontram-se
termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A
existem nA moles de gás em equilíbrio à temperatura TA, e no
compartimento B existem nB moles de gás em equilíbrio à temperatura TB.
Retira-se a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases.
a) Obtenha as expressões da temperatura e da pressão de equilíbrio da
mistura.
b) Escreva a expressão da variação de entropia do sistema dos dois
gases.
c) Escreva a expressão obtida em b) para VA = VB e TA = TB.
14- Considere o chamado modelo adiabático da atmosfera, o qual admite que o
ar se comporta como um gás perfeito de massa M = 29g mol-1, em
"equilíbrio adiabático" (reversível). O modelo supõe ainda que a aceleração
da gravidade (g = 9,8ms-2) e o coeficiente adiabático do ar (γ = 1,4) não
variam com a altitude z.
a) Escreva a condição de "equilíbrio adiabático", em função da pressão p
do gás e da sua massa volúmica ρ.
b) Obtenha, em função de p, ρ e g, a equação diferencial que traduz o
equilíbrio mecânico duma secção S horizontal de ar, à altitude z.
c) Obtenha a expressão da variação da pressão com a altitude. Calcule p
para z = 1km, sabendo que p0 = 1atm e T0 = 300K à altitude z = 0.
15- O método de Clément e Desormes, para determinar o coeficiente
adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura.
O recipiente de volume V (grandes dimensões) encontra-se ligado a um
manómetro de mercúrio e a uma válvula. No interior desse recipiente existe
ar, à pressão p e temperatura T, sobre o qual se efectuam as seguintes
transformações:
0) Com a válvula aberta p=patm, T=Tamb e h=0.
(patm é a pressão atmosférica e Tamb a temperatura ambiente).
1) Liga-se uma pequena bomba à válvula, a fim de comprimir
isotermicamente o ar do recipiente, até uma pressão de equilíbrio p=
patm + ρHggh (estado A).
2) Abre-se a válvula, deixando o ar expandir-se adiabaticamente até
regressar à pressão p=patm (estado B).
3) Fecha-se a válvula e deixa-se que o ar recupere a sua temperatura
inicial, T=Tamb, correspondente a uma nova pressão de equilíbrio p= patm
+ ρHggh' (estado C).
Admita que as transformações sofridas pelo ar são reversíveis.
a) Represente num diagrama (p,V) e num
transformações (AB e BC) sofridas pelo ar.
diagrama
(T,S)
as
b) Deduza a expressão de γ em função de h e h', medidos no manómetro.
(Suponha ρHggh, ρHggh' « patm).
c) Calcule γ para h=58 mm e h'=16 mm.
16- O método de Rüchardt e Rinkel para determinar o coeficiente adiabático γ
do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura abaixo.
p
g
z
V0, p
O recipiente de volume V0 (grandes dimensões) encontra-se cheio de ar à
pressão p, estando ligado a um tubo de vidro de secção S, no interior do
qual existe uma esfera metálica de massa m. O diâmetro da esfera é
praticamente igual ao diâmetro do tubo, pelo que se pode considerá-la
como um pistão estanque. Se desprezarmos a presença de atritos, verificase que a esfera se encontra submetida à aceleração da gravidade g, e à
diferença de pressões p−p0 (p0 representa a pressão atmosférica).
Deixando cair a esfera de uma determinada altura dentro do tubo, observase que esta realiza um movimento oscilatório vertical em torno de uma
posição de equilíbrio. Se os movimentos da esfera forem suficientemente
rápidos, pode admitir-se que as transformações (supostas reversíveis)
sofridas pelo ar no interior do recipiente são adiabáticas.
a) Obtenha a equação diferencial do movimento da esfera em função de
p−p0.
b) Exprima a diferença de pressões p−p0 em função das variações de
volume ∆V do ar, em consequência do movimento oscilatório da esfera.
Admita que p−p0 << p0 e ∆V << V0.
c) Utilize os resultados anteriores para mostrar que o período do
movimento oscilatório da esfera é dado pela expressão
(
T = 2π mV0 / p0 S 2 γ
)1 / 2 .
[Recorde a equação diferencial que descreve um movimento oscilatório
2
sem atrito: &x& + (2π / T ) x = 0 .]
d) Calcule γ para m=20 g, V0=10 L, S=2,36 cm2, p0=105 Pa e T=1 s.
DADOS E CONSTANTES
1 atm = 1,013 x 105 Pa
1 bar = 105 Pa
1 cal = 4,186 J
R = 8,314 J K-1 mol-1
NA = 6,023 x 1023 mol-1
g = 9,8 ms-2
ρcobre = 8,9 kg L-1
Mcobre = 63,54 g mol-1
ρágua = 1 kg L-1
Cm,p (água) = 1 cal g-1 oC-1
λfusão (gelo) = 80 cal g-1
λvaporização (água) = 540 cal g-1
Soluções de questões seleccionadas
1a) n = 4,9 mol
b) CV = 20,8 J K-1 mol-1
Cp = 29,1 J K-1 mol-1
γ = 1,4
c) Q = − 509,6 J
d) F = 745,2 N
e) p = 0,874x105 Pa
T = 236 K
2-
1,447 cal K-1
3a) ∆Sgelo = 122,7 J K-1
∆Samb = − 110,5 J K-1
∆Suniverso = 12,2 J K-1
b) ∆Suniverso = 0 J K-1
4b) ∆Uar = − 334,9 J
Tf (ar) = 1,94 oC
c) Teq = 1,74 oC
d) ∆Sgelo = 1,23 J K-1
f) ∆p / patm = − 2,8% << 1 ⇒ Aproximação válida
5-
a) Cm,V (cobre) = 0,39 J K-1 g-1
b) QA = 3,412 MJ
c) VA = 1,32 L
e) ∆SA, cobre = − 4,48 kJ K-1
f) Teq = 34,7 oC
(Vágua = 5 L)
o
Teq → Tágua = 20 C (Vágua >> 1 L)
6-
a) pf = 2,96x105 Pa
b) Q = − W = − 4,89x103 J
c) ∆Sgás = − 9,0 J K-1
∆Sext = 16,3 J K-1
∆Suniverso = 7,3 J K-1
7c) n = 0,96 mol
d) ∆U = − Wgás = − 12 kJ
e) c1) Vf = 73,5 L
c2) pf = 2,2x105 Pa
f) d1) Vfirr = 158,5 L
d2) ∆SUniverso = 6,1 J K-1
8a) TA’ = TA = 200 K
pA’ = 831 Pa
b) Q = 4157 J
d) TA’’ = 190,2 K
pA’’ = 791 Pa
e) Q = 4356 J
f) ∆S(1) = 5,76 J K-1 ; ∆S(2) = 4,72 J K-1
9a) a1) pi = 1,5 atm
a2) Vi = 0,67 L
a3) W = − Q = 49,6 J
b) b1) pf = p0 = 1 atm ; Vf = V0 = 1 L
b2) W’ = − Q’ = − 33,4 J
c) ∆SUniverso = ∆Sex = 0,054 J K-1
10a) ∆Uexp = 50,65 J
b) Wgás,exp = 33,77 J
c) ∆U = 0 J ; W = 0 J ; Q = 0 J (Qexp = − Qcomp > 0)
11-
a) N/V = 8,6x1025 m-3
b) b1) Tfirrev = 239 K → − 34 oC
b2) Tfrev = 210 K → − 63 oC
12-
c T + c2T2
a) Tf = 1 1
c1 + c2
b) ∆S = c1 ln(Tf T1 ) + c2 ln(Tf T2 )
13-
n T + nBTB
R(n ATA + nBTB )
a) Teq = A A
; peq =
n A + nB
c) ∆S = (n A + n B ) R ln 2
V A + VB
14-
c) p( z ) = p0 1 −
15b) γ ≈
h
h − h'
16d) γ = 1,42
γ
γ −1
γ − 1 ρ0
gz
γ p0
PARTE - IV
CICLOS TERMODINÂMICOS
MÁQUINAS TÉRMICAS E FRIGORÍFICAS
1- É possível construir Centrais Eléctricas aproveitando a diferença de
temperatura entre a superfície e o fundo
do mar. Em 1979 foi construído um
protótipo no Hawai, onde a temperatura à
superfície é de 30°C e a do fundo 18°C.
Admita que este protótipo funciona como
uma máquina de Carnot, permitindo a
produção de 500MW de potência
eléctrica.
a) Calcule o rendimento deste protótipo de Central Eléctrica.
b) Faça um esboço dos diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo, assinalando as
transformações em que a Central realiza/recebe trabalho e as
transformações em que fornece/recebe calor.
c) Calcule a potência térmica extraída das águas superficiais.
d) Calcule a potência térmica libertada para as águas profundas.
e) Se a Central utilizar amoníaco este tem de coexistir nos estados líquido
e de vapor, o que a 30°C conduz a uma pressão de ce rca de 11atm.
Calcule a quantidade de amoníaco que se vaporiza por unidade de
tempo, sabendo que, nessas condições, o seu calor latente de
vaporização é 1144 kJ kg-1.
f) Calcule a variação de entropia, por unidade de tempo, das águas
superficiais, das águas profundas e da Central.
2- Considere um ciclo de Carnot reversível, em que um caudal de ar (gás
perfeito diatómico) de 10 mol s-1 sofre duas transformações adiabáticas e
duas transformações isotérmicas às temperaturas TQ = 400K e TF = 300K.
As transformações isotérmicas têm uma razão de compressão idêntica:
VQ-final / VQ-inicial = VF-inicial / VF-final = e1/R.
a) Faça um esboço dos diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo, assinalando as
transformações em que o ar realiza/recebe trabalho e as transformações
em que o ar fornece/recebe calor.
b) Calcule a potência térmica trocada com as fontes de calor exteriores.
c) Calcule a potência e o rendimento do ciclo.
3- Num ciclo de Carnot, realizado por um gás perfeito de coeficiente adiabático
γ = 1,7, o ponto de maior pressão iguala 1,4x106Pa, para um volume de
10dm3 e uma temperatura de 720K.
A partir desse ponto (A), o gás expande-se isotermicamente até um estado
(B) e de seguida adiabaticamente até um volume de 24dm3 (C). Uma
compressão isotérmica, até um volume de 15dm3, leva-o ao ponto (D).
Finalmente, o gás regressa ao estado (A) através dum processo adiabático.
a) Esboce o ciclo num diagrama (p,V) e num diagrama (T,S).
b) Complete a tabela seguinte.
A
B
C
D
p (Pa)
1,4x106
V (dm3)
10
T (K)
720
24
15
c) Calcule o rendimento deste ciclo de Carnot.
d) Calcule a variação de entropia do sistema, das fontes e do Universo, na
transformação CD.
4- Considere uma máquina frigorífica que opera entre as temperaturas de
−10°C e 25°C. Durante 1/2 hora o fluído recebe 10 6J do congelador. Admita
que a máquina funciona reversivelmente.
a) Calcule a eficiência da máquina.
b) Calcule o valor da energia mecânica fornecida à
máquina e da energia térmica cedida à fonte
quente, durante 1/2 hora.
c) Calcule o valor da potência indicada pelo
fabricante para a máquina.
d) Calcule (em g/s) o caudal do fluido que circula na máquina, supondo que
se trata do R134A (λvaporização -R134A=200kJ/kg).
5- Considere um frigorífico que opera com um fluido frigorigénio de massa
molar M = 120 g mol-1. Admita que este fluido pode ser descrito como um
gás perfeito de calores específicos a volume constante CV = 63,6 J mol-1 K-1
e a pressão constante Cp = CV + R.
& = 40 g s-1, realiza o ciclo reversível
Sabe-se que o fluido, com caudal m
representado no diagrama (T,S) da figura. Considere que a razão de
expansão do fluido, na isotérmica à temperatura mais baixa, é VA / VD =
100.
a) Calcule a eficiência ε do frigorífico.
b) A transformação AB ocorre devido à acção do compressor sobre o fluido.
b1) Calcule a variação de energia interna do fluido, por unidade de tempo,
em AB.
b2) Calcule a razão de compressão VB / VA do fluido em AB.
c) Calcule a potência calorífica Q& DA que o frigorífico retira do congelador.
[Sugestão: Comece por escrever a expressão da variação de entropia na
transformação DA.]
d) Calcule o custo de operação do frigorífico durante 1h, sabendo que o preço
EDP de 1kWh de energia é 0,1euro (IVA incluído).
6- Pretende-se manter uma sala a 22ºC, num dia de inverno em que a
temperatura média do ar exterior é de 6ºC. Para isso dispõe-se de uma
bomba de calor de 1000W de potência. Admita que a sala perde calor a
uma taxa de 4,5 x 103 kJ h-1.
Observa-se que a bomba de calor só
funciona 15 minutos, em cada período de
uma hora. Nesse período…
a) Calcule a energia consumida (trabalho)
pela bomba. Calcule o calor que a bomba
retira ao ambiente. Calcule a eficiência da
bomba de calor.
b) Calcule a variação da entropia do
Universo devido ao funcionamento da
bomba
e
conclua
acerca
da
reversibilidade do seu funcionamento.
c) Calcule a energia consumida por uma
bomba de calor reversível, com a mesma
capacidade de aquecimento.
7- Pretende-se manter o interior de uma sala a uma temperatura Tsala = 22oC,
num dia frio de Inverno em que a temperatura ambiente exterior é Tamb =
3oC. Para isso usa-se uma bomba de calor com uma potência W& = 1 kW e
uma eficiência ε BC = 5 .
a) Estando a sala numa situação térmica
estacionária, calcule a potência calorífica Q& sala
fornecida à sala por esta bomba, bem como a
taxa Q& à qual a sala perde calor.
b) Calcule a potência calorífica Q& amb extraída do
ambiente pela bomba de calor.
c) Calcule a taxa de variação de entropia do Universo ∆S& Universo devido à
bomba de calor, e conclua quanto à reversibilidade ou irreversibilidade
do seu funcionamento.
d) Calcule, justificando, qual a eficiência máxima de uma bomba de calor
que funciona entre duas fontes térmicas às temperaturas Tsala = 22oC e
Tamb = 3oC.
8- Um ciclo de Ericsson para a realização de trabalho é constituído pela
seguinte sucessão de transformações:
A – compressão isobárica à pressão pmin entre as temperaturas Tmax e Tmin
B – compressão isotérmica à temperatura Tmin entre as pressões pmin e pmax
C – expansão isobárica à pressão pmax entre as temperaturas Tmin e Tmax
D – expansão isotérmica à temperatura Tmax entre as pressões pmax e pmin
O ciclo é realizado por uma mole de ar (gás perfeito diatómico com Cp = 28
JK-1mol-1) entre as temperaturas Tmin = 300K e Tmax = 600K, sendo pmax / pmin
= e10/R ~ 3,33.
As transformações isotérmicas são reversíveis.
As transformações isobáricas A e C realizam-se em equilíbrio mecânico
com o exterior, pondo o ar em contacto com duas fontes de calor às
temperaturas Tmin e Tmax, respectivamente.
a) Esboce os diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo, identificando no diagrama
(p,V) as transformações em que o ar realiza/recebe trabalho e no
diagrama (T,S) as transformações em que o ar recebe/cede calor.
b) Calcule o calor recebido/cedido pelo ar em cada uma das quatro
transformações do ciclo.
c) Calcule o trabalho global WEricsson realizado pelo ar neste ciclo.
d) Calcule a variação de entropia do Universo ∆SUniverso devido a este ciclo,
e conclua da sua reversibilidade ou irreversibilidade.
e) Calcule o trabalho, Wrev, realizado por um ciclo reversível que opere
entre as temperaturas Tmin e Tmax e que receba da fonte quente a
mesma quantidade de calor que o ciclo de Ericsson. Verifique que ∆W ≡
Wrev − WEricsson = Tmin ∆SUniverso .
f) Indique que alterações faria neste ciclo de Ericsson para maximizar o
seu rendimento. Qual seria neste caso o trabalho global realizado pelo
ar (mantendo a quantidade de calor recebida da fonte quente)?
9- Considere um ciclo real de produção de trabalho em que 10mol de um gás
perfeito sofrem as seguintes transformações:
AB:
BC:
CD:
DA:
Compressão adiabática reversível entre as temperaturas 300K e 400K.
Expansão isotérmica a 400K em que o volume duplica (VC = 2 VB).
Expansão adiabática reversível entre as temperaturas 400K e 300K.
Compressão isotérmica a 300K até ao volume inicial (VA).
A fonte de calor que fornece calor ao gás encontra-se a TFQ = 420K e a
fonte de calor que recebe calor do gás encontra-se a TFF = 280K.
Admita que o trabalho realizado/recebido pelo gás nas transformações
isotérmicas é reversível.
a) Calcule, para este ciclo real:
a1) A variação de entropia do gás e o calor trocado entre o gás e as
fontes de calor, em cada uma das quatro transformações.
a2) A variação de entropia das fontes de calor num ciclo completo.
Conclua sobre a reversibilidade ou irreversiblidade do ciclo.
a3) O rendimento do ciclo, comparando-o com o de um ciclo de Carnot
que utilize as mesmas fontes de calor. Indique em que difere este ciclo
de Carnot do ciclo real considerado.
b) Considere que o valor da entropia do gás, nas transformações
adiabáticas, é igual no ciclo real e no ciclo de Carnot correspondente.
Esboce os dois ciclos num único diagrama (T,S) e explique como se
poderia calcular graficamente o rendimento de qualquer dos ciclos.
10- Um ciclo de Stirling para a realização de trabalho é constituído pela
seguinte sucessão de transformações isométricas e isotérmicas:
A – aquecimento isométrico entre as temperaturas Tmin e Tmax
B – expansão isotérmica, à temperatura Tmax, entre os volumes Vmin e Vmax
C – arrefecimento isométrico entre as temperaturas Tmax e Tmin
D – compressão isotérmica, à temperatura Tmin, entre os volumes Vmax e
Vmin
Admita que o ciclo é realizado por uma mole de ar (gás perfeito diatómico,
com CV = 20 J K-1 mol-1), entre as temperaturas Tmin = 600K e Tmax = 1200K,
para uma razão de compressão Vmax / Vmin = e10/R ~ 3,33.
Considere que as transformações isotérmicas são reversíveis e que as
transformações isométricas A e C se realizam pondo o ar em contacto com
duas fontes de calor às temperaturas Tmax e Tmin, respectivamente.
a) Esboce os diagramas (p,V) e (T,S) deste ciclo.
Identifique, no diagrama (p,V), quais as transformações em que o ar
recebe / realiza trabalho.
Identifique, no diagrama (T,S), quais as transformações em que o ar
recebe / cede calor.
b) Calcule o trabalho recebido / realizado pelo ar em cada uma quatro
transformações do ciclo.
c) Calcule o calor recebido / cedido pelo ar em cada uma quatro
transformações do ciclo.
Indique que relação existe entre os calores trocados nas duas
transformações isométricas.
d) Calcule a variação de entropia do Universo (ar + fontes de calor) neste
ciclo, e conclua acerca da sua reversibilidade ou irreversibilidade.
e) Pretende-se optimizar a máquina que opera com este ciclo de Stirling.
e1) Calcule o rendimento η deste ciclo de Stirling.
Compare-o com o rendimento ηCarnot dum ciclo de Carnot a operar entre
duas fontes às temperaturas Tmax e Tmin e interprete.
e2) Indique que alterações deveria realizar neste ciclo de Stirling para
maximizar o seu rendimento.
11- A figura representa o ciclo de Otto, constituído pelas seguintes
transformações:
AB - compressão adiabática de VA a VB
BC - aquecimento isométrico de TB a TC
CD - expansão adiabática de VC = VB até VD = VA
DA - arrefecimento isométrico de TD a TA
Considere que o ciclo é executado por n moles de um gás perfeito com
coeficiente de adiabaticidade γ . Admita que as transformações adiabáticas
são reversíveis, e que as trocas de calor se realizam apenas com duas
fontes térmicas de temperaturas TC e TA.
a) Mostre que
TB TC
=
= R γ −1
T A TD
onde R = VA / V0 é o factor de compressão do ciclo.
b) Utilize o resultado da alínea anterior para obter a expressão do
rendimento ηOtto do ciclo, em função de R e γ.
c) Indique, justificando, se ηOtto é igual, maior ou menor que o rendimento
ηCarnot de um ciclo de Carnot, que usasse as mesmas fontes térmicas às
temperaturas TC e TA.
d) Calcule a variação de entropia do Universo ∆SUniverso devido a este ciclo,
e conclua quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade.
12- O ciclo de Otto representado na figura abaixo descreve o funcionamento do
motor duma moto bi-cilíndrica a 4 tempos1. Admita que o ciclo é descrito
reversivelmente por um gás perfeito de energia interna U = 2,5 n R T (com n
o número de moles do gás).
Sabe-se que cada cilindro tem volume máximo VA = 300cm3 e que a sua
razão de compressão é VA / V0 = 8. Considere patm = 105Pa, TA = 293K, e
que após a explosão o gás atinge uma temperatura de 1023K.
a) Mostre, a partir dos dados do enunciado, que o gás tem um coeficiente
adiabático γ = 1,4.
b) Complete as tabelas seguintes.
T (K)
293
A
B
C
D
p (Pa)
1,0x105
V (cm3)
300
1023
A→B
B→C
C→D
D→A
Q (J)
0
0
W (J)
97,3
0
− 147,9
0
c) Calcule o rendimento do motor.
d) Quantas rotações por minuto tem de atingir o motor bi-cilíndrico para
que a moto debite “4 cavalos” (1 CV ~ 736 W) ?
1
Neste motor, cada cilindro realiza um ciclo termodinâmico após duas transformações combinadas
de compressão / expansão (1ª transformação: admissão OA + compressão AB; 2ª transformação:
expansão CD + escape AO; cada uma destas transformações combinadas corresponde a uma revolução
da cambota).
13- Considere um motor Diesel a funcionar com uma razão de compressão R =
Vmáx / Vmin = 16. Sabe-se que, durante a inflamação do combustível, o
êmbolo do motor se move para um volume igual a 2,5Vmin. Admita que o ar
que realiza o ciclo Diesel (suposto reversível) é um gás perfeito diatómico.
a) Represente o ciclo num diagrama (p,V),
explicando cada um dos seus tempos de
funcionamento.
b) Represente o ciclo num diagrama (T,S).
c) Calcule o rendimento do motor.
14- Considere n moles de um gás perfeito, que executa um ciclo
termodinâmico (passando sucessivamente pelos volumes VB < VA < VC <
VD), entre duas fontes térmicas às temperaturas T1 e T2 > T1.
O ciclo é constituído pela seguinte sequência de transformações:
- compressão adiabática reversível entre (T1, VA) e (T2, VB);
- expansão até VC contra a pressão atmosférica, realizada em contacto
com a fonte térmica à temperatura T2. No final desta transformação, o
gás encontra-se em equilíbrio (mecânico e térmico) com o exterior.
- expansão adiabática reversível entre (T2, VC) e (T1, VD);
- compressão até VA sob a acção da pressão atmosférica, realizada em
contacto com a fonte térmica à temperatura T1. No final desta
transformação, o gás encontra-se em equilíbrio (mecânico e térmico)
com o exterior.
a) Marque os pontos A, B, C, D num diagrama (p,V).
Indique, justificando, se é possível representar as transformações deste
ciclo no diagrama.
b) Mostre que o ciclo tem uma única razão de compressão isotérmica RT,
verificando-se
RT ≡
VC VD
=
VB V A
c) Mostre que o rendimento do ciclo se pode escrever como
η = 1 − RT
T1
T2
d) Escreva a expressão da variação de entropia do universo devida a este
ciclo, e conclua quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade.
15- A figura representa um esboço do diagrama (p,V) do ciclo de Brayton,
utilizado nos motores de reacção de foguetões e de turbopropulsores.
p
C
B
D
A
V
V
AB - compressão adiabática
BC – expansão isobárica
V
CD - expansão adiabática
DA – compressão isobárica
Considere que o ciclo é executado por n moles de um gás perfeito com um
calor específico a pressão constante Cp. Admita que as transformações
adiabáticas são reversíveis, e que as trocas de calor do ciclo se realizam
por contacto entre o gás e duas fontes térmicas de temperaturas TC e TA <
TC.
a) Sejam n = 10mol e Cp = 29,1 J mol-1 K-1. Considere TA = 300K, TB =
900K, TC = 1200K e TD = 400K.
a1) Sugira, justificando, uma estrutura possível (monoatómico /
diatómico / ... ) para este gás perfeito.
a2) Indique quais as transformações onde o gás recebe/cede calor, e
calcule o trabalho total fornecido pelo gás após cada ciclo.
a3) Calcule a razão de compressão VA /VB do ciclo de Brayton.
a4) Calcule a variação de entropia do gás durante a transformação DA.
Mostre que o resultado obtido não viola o 2º Princípio da
Termodinâmica.
b) Mostre que o rendimento ηBrayton de um ciclo de Brayton pode ser
calculado utilizando a expressão
η Brayton = 1 −
TD
TC
Indique, justificando, se ηBrayton é igual, maior ou menor que o rendimento
de um ciclo de Carnot, que utilizasse as mesmas fontes térmicas às
temperaturas TC e TA.
[Sugestão: comece por mostrar que TA TD = TB TC .]
16- Considere o motor nuclear duma nave espacial, que utiliza plutónio
(239Pu94) como combustível e mercúrio (Hg) como fluido circulante. O
aquecimento do mercúrio faz-se com a energia das partículas α(4He2),
obtidas na transformação nuclear 239Pu94 → 235U92 + 4He2 + γ
A figura esquematiza o diagrama (p,V) do ciclo termodinâmico (reversível)
realizado pelo mercúrio.
p
pmax
3
líquido → gás
3’ 4
gás
líquido
pmin
2
V2
1
gás → líquido
V3’ V4
V1
V
(1) – (2) CONDENSADOR - condensação isobárica do mercúrio
(2) – (3) BOMBA MAGNETO-HIDRODINÂMICA - compressão isométrica
(do mercúrio líquido)
(3) – (3’) CALDEIRA - vaporização isobárica do mercúrio
(3’) – (4) CALDEIRA - sobreaquecimento isobárico (do mercúrio gasoso)
(4) – (1) TURBINA - expansão adiabática (do mercúrio gasoso)
Em (1), a pressão e a temperatura do mercúrio (gasoso) são pmin = 105 Pa e
T1 = 630 K, respectivamente. Em (2), a densidade do mercúrio (líquido) é
ρ2 = 14 g cm-3 e em (3) a sua pressão e temperatura são pmax = 3x106 Pa e
T3 = 892 K.
O mercúrio tem massa molar M = 200 g mol-1, calor latente de vaporização
λvap = 60 kJ mol-1, e coeficiente adiabático γ = 1,4. Considere que o mercúrio
gasoso se comporta como um gás perfeito, com calor específico a pressão
constante Cp = 28 J K-1 mol-1.
Recorde que a temperatura dum sistema não se altera, durante uma
mudança de estado a pressão constante.
a) Calcule a temperatura T4 do mercúrio em (4), antes de entrar na turbina.
b) Calcule a razão de expansão V1/V4 na turbina, e a razão volumétrica
V1/V2 no condensador.
c) A condensação (1) - (2) do mercúrio é conseguida colocando-o em
contacto com uma fonte térmica, à temperatura de 300 K. Calcule a
variação de entropia do Universo, por unidade de massa do mercúrio,
durante esta transformação.
d) Sabe-se que a actividade do plutónio, utilizado como combustível
nuclear, é de 6x1015 desintegrações por segundo. Cada desintegração
dá origem a uma partícula α(4He2) com 5,25 MeV de energia. O 239Pu94
tem um período de semi-desintegração T1/2 = 2,4x104 anos.
d1) Calcule a potência (em watts) fornecida pelo combustível nuclear.
Determine o valor mínimo do caudal mássico (em g s-1) de mercúrio, que
garante a refrigeração do motor.
[Sugestão: Note que a potência fornecida pelo combustível nuclear é
utilizada em (3) - (3’) para vaporizar o mercúrio, e em (3’) - (4) para
sobreaquecer o gás obtido.]
d2) Suponha que a nave espacial é enviada em missão com duração de
dois anos.
Calcule a actividade do plutónio após a missão. Justifique se a perda de
actividade poderá pôr em causa a realização da missão.
17- Os ciclos de absorção são uma forma de produzir frio utilizando uma fonte
de calor (por exemplo, energia solar). Uma máquina de absorção utiliza
três fontes de calor (Fonte Quente, Ambiente e Fonte Fria) a temperaturas
diferentes. Entre a Fonte Quente e o Ambiente produz-se trabalho, o qual
serve para retirar calor da Fonte Fria transferindo-o para o Ambiente.
Considere uma máquina de absorção que funciona entre uma Fonte Quente
a 127oC e uma Fonte Fria a 7oC. Para uma temperatura ambiente de 40oC,
a máquina extrai uma potência calorífica de 10kW da Fonte Fria.
a) Proponha, justificando, uma expressão para a eficiência total εT da
máquina de absorção.
[Sugestão: Comece por escrever as expressões do rendimento da
produção de trabalho e da eficiência da extracção de calor].
b) Calcule a eficiência total εT,rev da máquina de absorção, supondo o seu
funcionamento reversível.
c) Sabe-se que a máquina de absorção tem uma eficiência total εT = 0,5.
Calcule a potência calorífica fornecida pela Fonte Quente e a potência
calorífica total transferida para o Ambiente.
d) Calcule a variação global de entropia do Universo, por unidade de
tempo, para esta máquina de absorção.
e) Discuta de que modo seria possível arrefecer uma cerveja no deserto,
utilizando como fonte de energia água aquecida por um colector solar.
18- Considere uma máquina térmica cíclica que funciona entre duas fontes
térmicas (de capacidade calorífica cQ = cF = c = 400 kJ K-1) às temperaturas
TQ e TF < TQ. Suponha que, durante cada ciclo, a máquina realiza trocas de
calor infinitesimais e reversíveis com as fontes, e que essas trocas de calor
conduzem a uma modificação das temperaturas das fontes, cujos valores
iniciais são TQ0 = 373K e TF0 = 283K.
a) Calcule a temperatura de equilíbrio das fontes, Teq, para a qual a
máquina deixa de funcionar.
b) Calcule o trabalho fornecido pela máquina até deixar de funcionar.
c) Calcule o rendimento da máquina e compare-o com o rendimento duma
máquina de Carnot a funcionar entre TQ0 e TF0. Interprete.
19- Pretende-se arrefecer até uma temperatura de 20ºC o ar seco duma sala
(capacidade calorífica c = 4x103 kJ K-1), inicialmente à temperatura
ambiente exterior de 32ºC. Para isso liga-se um aparelho de ar
condicionado que funciona durante uma hora sem parar.
Calcule a potência (média) do aparelho de ar condicionado, supondo o seu
funcionamento reversível.
DADOS E CONSTANTES
1 atm = 1,013 x 105 Pa
R = 8,314 J K-1 mol-1
NA = 6,023 x 1023 mol-1
Soluções de questões seleccionadas
1a) η = 3,96%
c) Q& = 12626 MW
d) Q& FF = −12126 MW
& ~ 11x103 kg s-1
e) m
f)
∆S&FQ = − 41,67x106 W K-1
∆S&FF = 41,67x106 W K-1
∆S& = 0 W K-1
2a)
p
TQ
T
A
W
TQ
B
W
D
VFf
C
VQf
VFi
b) Q& Q = 4 kW ; Q& F = − 3 kW
c) W& = 1 kW ; η = 25%
3a)
Q
B
W
W
VQi
A
TF
TF
V
D
Q
C
S
b)
V (dm3)
10
15,9
24
15
p (Pa)
1,4x106
8,8x105
4,4x105
7,0x105
A
B
C
D
V
p D = p A A
VD
γ
p V
TD = D D T A
p A VA
V
pC = D p D
VC
TC = TD
γ
T 1− γ
p B = pC C
TB
TB = T A
VB =
T (K)
720
720
540
540
pA
VA
pB
T
c) η = 1 − B = 25%
TA
V p V
d) ∆S CD = nR ln D = A A
TA
VC
V
n D = − 9,14 J K-1
VC
∆S FQ CD = −∆SCD = 9,14 J K-1
∆S Universo CD = ∆SCD + ∆S FQ CD = 0
4a) ε = 750%
b) W = 0,13x106 J
Q = 1,13x106 J
c) P = 72 W
& = 2,8 g s-1
d) m
5a) ε =
TDA
= 7,4
TBC − TDA
b)
b1)
m&
∆U& AB = CV (TBC − TDA ) = 742 W
M
b2)
1
VB TDA γ −1
=
= 0,38
V A TBC
γ=
Cp
CV
= 1,13
V
m&
R ln A = 12,8 W K-1
M
VD
= T ∆S& = 3293 W
c) ∆S& DA =
Q& DA
DA
DA
Q& DA
= 445 W
ε
-3
Custo = W& x 1h x 0,1x10 = 0,04 euros
d) W& =
6a) W = 900 kJ
QFF = 3600 kJ
ε = 500%
b) ∆S Universo = 2,4 kJ K-1 > 0 ⇒ Bomba irreversível
c) Wrev = 244 kJ
7a) Q& sala = Q& = 5 kW
b) Q& amb = 4 kW
c) ∆S& Universo = 2,46 W K-1 > 0 ⇒ Bomba irreversível
d) ε max =
Tsala
= 1553% ; Eficiência duma máquina reversível
Tsala − Tamb
8a)
p
T
WC
Tmin
QD
pmax
WB
Tmax
WD
QA
Tmin
Tmax
pmin
QC
QB
WA
V
S
b) QA = − 8400 J ; QB = − 3000 J ; QC = 8400 J ; QD = 6000 J
c) WEricsson = 3000 J
d) ∆S Universo = 14 JK-1 > 0 ⇒ Ciclo irreversível
e) Wrev = ηCarnot ( QC + QD ) = 0,5 x (8400 + 6000) = 7200 J
∆W ≡ Wrev − WEricsson = 4200 J
Tmin ∆S Universo = 4200 J
f) Maximizar rendimento ciclo de Ericsson ηEricsson = ηCarnot
⇒ WEricsson = Wrev = 7200 J
⇒ ∆W ≡ Wrev − WEricsson = 0
⇒ Tmin ∆S Universo = 0 ⇒ ciclo reversível
Transformar isobáricas em transformações reversíveis, realizadas pondo
o ar em contacto com uma infinidade de fontes de calor cujas sucessivas
temperaturas diferem de uma quantidade infinitesimal. Em termos
práticos, utilizar um recuperador de calor que reinjecta na isobárica C o
calor cedido na isobárica A.
9a)
a1) ∆S AB = 0 ; ∆S BC = 57,6 J K-1 ; ∆S CD = 0 ;
∆S DA = − ∆S BC = − 57,6 J K-1
QAB = 0 ; QBC = TBC ∆S BC = 23,0 kJ ;
QCD = 0 ; QDA = − 17,3 kJ
a2) ∆S Universo = ∆S FQ + ∆S FF = 6,9 JK-1 > 0 ⇒ ciclo irreversível
a3) η = 1 − (TDA / TBC ) = 25% ; ηCarnot = 1 − (TFF / TFQ ) = 33%
Em Carnot as isotérmicas são reversíveis porque realizadas em
contacto directo com as fontes de calor.
b)
10a)
p
T
QB
WB
QA
QC
QD
WD
V
b) WA = 0 J ; WB = −12x103 J ; WC = 0 J ; WD = 6x103 J
c) QA = ∆U A = 12x103 J ; QB = −WB = 12x103 J ;
QC = ∆U C = −QA = −12x103 J ; QD = −WD = − 6x103 J
d) ∆S Universo = 10 JK-1 > 0 ⇒ Ciclo irreversível
e)
e1) η = ( WD + WB ) /(QA + QB ) = 25%
ηCarnot = 1 − (Tmin / Tmax ) = 50%
η < ηCarnot porque este ciclo de Stirling é irreversível.
S
e2) Eliminar irreversibilidades.
Realizar transformações isométricas pondo o ar em contacto com
uma infinidade de fontes de calor cujas sucessivas temperaturas
diferem de uma quantidade infinitesimal. Em termos práticos, utilizar
um recuperador de calor que reinjecta na isométrica A o calor cedido
na isométrica C.
11a) Utilizar a relação (válida para uma transformação isentrópica num gás
perfeito)
TV γ −1 = constante
nas transformações AB e CD.
b) ηOtto = 1 −
Qf
Qq
c) ηCarnot = 1 −
=1−
Tf
Tq
1
R γ −1
=1−
TA
T T
1 T
1
= 1 − A B = 1 − γ −1 B > 1 − γ −1 = ηOtto
TC
TB TC
R TC
R
d)
∆S Universo = ∆S + ∆S FQ + ∆S FF = 0 −
QBC QDA
+
TC
TA
T − TC TD − TA
= nCV B
+
T
TA
C
TB TC
(TB − TC )2
= nCV +
− 2 = nCV
> 0
TBTC
TC TB
⇒ ciclo irreversível
12a) U = 2,5nRT ⇒ CV = 2,5 R
;
γ=
C + R 3,5 R
= V
=
= 1,4
CV
CV
2,5
Cp
b)
A
B
C
D
T (K)
293
673
1023
445
VB = VC = V0 = V A / 8
p (Pa)
1,0x105
1,8x106
2,8x106
1,5x105
VD = V A
V (cm3)
300
37,5
37,5
300
V
p B = p A A
VB
γ
V
p D = pC C
VD
p V
TB = B B T A
p A VA
γ
p V
TD = D D T A
p A VA
Q (J)
0
89,6
0
− 39
A→B
B→C
C→D
D→A
T V
pC = C A p A
T A VC
W (J)
97,3
0
− 147,9
0
p V
QBC = ∆U BC = 2,5nR∆TBC = 2,5 A A (TC − TB )
TA
QDA = −W AB − QBC − WCD
c) η = 1 −
QDA
QBC
= 56%
d)
f =
P
P
1
=
x
=
W
W AB + WCD / cil / ciclo 2 cil x 0,5 ciclo / cil
4 x 736
=
x 60 = 3490 rot min -1
50,6
13c) ηDiesel = 1 −
ργ − 1
γ (ρ − 1) R γ −1
14a)
p
B
patm
A
C
D
V
~ 59% ( ρ = 2,5 ; γ = 1,4 ; R = 16)
b)
T2VC γ −1
T2VB γ −1
=
T1VD γ −1
T1V A γ −1
⇒
VC VD
=
≡ RT
VB V A
c)
η =1−
Q FF
Q FQ
=1−
W DA
p (V − V A )
= 1 − atm D
W BC
patm (VC − V B )
VD
−1
patmV A V A
=1−
=1−
patmV B VC
−1
VB
patmV A VC
= 1 − RT
patmVC VB
T1
T2
d)
∆S Universo = ∆S FF + ∆S FQ =
QFQ
Q FF
−
T1
T2
V
V
p
p
= atm (V D − V A ) − atm (VC − V B ) = nR D − 1 − 1 − B
T1
T2
VC
V A
nR
(RT − 1)2 > 0
=
RT
O ciclo é irreversível.
15a)
a1) CV = C p − R = 20,8 J K-1 mol-1
CV = (l + lvib ) R / 2 = 20,8 J K-1 mol-1 para l = 3 + 2 = 5 e lvib = 0
⇒ Estrutura possível: gás diatómico com graus de liberdade
vibracionais congelados.
a2) Gás recebe calor em BC; gás cede calor em DA
Wgás = QBC + QDA = nC p (TC − TB + TA − TD ) = 58,2 kJ
a3) VA / VB = (TB / TA )
[1 /( γ −1) ] = 15,6
a4) ∆S DA = nC p ln(TA / TD ) = − 83,71 J K-1 ;
∆S F = −QDA /TA = 97 J K-1
⇒ ∆S Universo = ∆S DA + ∆S F > 0 ... O 2º Princípio é respeitado.
b)
Tp (1-γ ) / γ = const
T
T
⇒ A = B
TD TC
p A = p D ; p B = pC
ηBrayton =
nC p (TD − TA )
|Q |
T
|W |
= 1 − DA = 1 −
=1− D
| QBC |
| QBC |
nC p (TD − TA )
TC
ηBrayton = 1 −
TD
T
< 1 − A = ηCarnot
TC
TC
1 − (TA / TD )
TD
1 − (T / T ) = 1 − T
B
C
C
(TD > TA )
16a) T4 = 1666,5 K
b) V1 / V4 = 11,35
V1 / V2 = 3666,5
c) ∆SUniverso = 5,236x102 J K-1 kg-1
d)
d1) P = 5,04x103 W
m& = 12 g s-1
d2) A(t) / A0 = exp(-λt) ~ 1
A actividade da amostra não se reduz significativamente.
17a) εT =
Qf
Energia útil
=
= ηε
Energia motora Qq
b) εT,rev = 184,5%
& = 20 kW ;
c) Q
q
Q& amb = 30 kW
d) ∆S& Universo = 10,1 JK-1
18a) Teq = 325 K
b) W = 2400 kJ
c) η = 12,5% ; ηCarnot = 24%
η < ηCarnot, porque a evolução da temperatura das fontes conduz a uma
diminuição da capacidade de realização de trabalho.
19- 269 W
PARTE - V
INTRODUÇÃO À FÍSICA ESTATÍSTICA
1- Calcule a razão entre o número de microestados acessíveis às moléculas
de água após e antes da fusão, a 0ºC, dum cubo de gelo com 100g [ver
problema III-3a)].
2- Considere um sistema de 3 partículas discerníveis, as quais se podem
distribuir entre três níveis de energia, εi = 0, 1, 2 (para i=0, 1, 2). Assuma
que o quantum mínimo de energia é de uma unidade.
I. Admita que a temperatura do sistema é suficientemente elevada para que
exista uma equiprobabilidade de ocorrência de qualquer um dos seus
microestados.
a) Calcule o número total de microestados do sistema.
b) Considere os seguintes macroestados:
A: "Três partículas no nível de energia ε0"
B: "Uma partícula em cada nível de energia εi"
b1) Calcule o número
macroestados A e B.
de
microestados
correspondentes
aos
b2) Calcule a probabilidade de ocorrência dos macroestados A e B.
II. Admita agora que o sistema obedece a uma distribuição de equilíbrio de
Maxwell-Boltzmann, com β = 1 / kBT = ln 2 (em unidades de energia).
c) Determine a ocupação média de cada nível de energia.
d) Calcule a energia média total do sistema (isto é, a energia interna do
sistema).
e) Calcule a energia média, por partícula, do sistema.
3- Considere um sistema isolado de N partículas distinguíveis (N >> 1), as
quais se podem distribuir em 2 estados.
a) Escreva a expressão do número total de microestados do sistema Ω.
b) Obtenha a expressão da entropia do sistema, S(x), com x = N1 / N a
fracção de partículas que se encontra no estado 1.
[Sugestão: Utilize a fórmula de Stirling e expresse S(x) em função de f(x)
= − x ln x − (1- x) ln(1- x)].
c) Esboce graficamente a função S(x) / NkB, no intervalo x∈[0,1].
d) Esboce graficamente a função Ω(x), no intervalo x∈[0,1] e obtenha a sua
expressão aproximada em torno do máximo.
[Sugestão: Desenvolva f(x) em torno desse máximo].
e) Mostre que a função Ω(N1), quando tomada em torno do seu máximo,
corresponde de facto a uma distribuição normal com centro em N/2 e
desvio padrão σ = (1/2) N1/2.
Mostre que a largura a meia altura desta gaussiana é (∆N1)1/2 = 2,35 σ.
f) Aplique os resultados anteriores ao estudo do movimento browniano
(movimento incessante e desordenado de partículas em suspensão num
fluido, R. Brown, 1827).
Estime o valor das flutuações de energia das partículas brownianas.
[Sugestão: Comece por estimar as flutuações da entropia de equilíbrio
quando ∆N1 ~ σ].
4- Considere um sistema magnético isolado de N partículas distinguíveis (N >>
1), cada uma delas com momento magnético µ. O sistema, que tem energia
total ε encontra-se submetido à acção dum campo magnético exterior Η,
pelo que cada partícula se pode encontrar num dos seguintes níveis de
energia potencial:
Nível (+)
Nível (−
−)
− µΗ < 0
+ µΗ > 0
se µ é paralelo a Η
se µ é anti-paralelo a Η
a) Escreva a expressão dos números de partículas N+ e N− em cada um
dos níveis de energia, em função de N, u = µΗ e ε.
b) Obtenha a expressão da entropia do sistema. Represente graficamente
S / NkB em função de η = ε / (Nu).
[Utilize os resultados do problema V-3].
c) Obtenha a expressão de β = 1 / (kBT) (em que T é a temperatura do
sistema) em função de η e represente graficamente esta função.
Interprete.
d) Utilize os resultados de c) para obter as expressões de N+ e N− em
função de β. Represente-as graficamente.
Identifique a distribuição estatística de equilíbrio que corresponde às
expressões obtidas.
e) Mostre que o momento magnético médio do sistema é dado pela
expressão
eβ u − e − β u
µ = µ βu
= µ tgh(βu )
e + e −β u
a qual tem os seguintes limites assimptóticos
µ ~ µ β u , se βu << 1
µ ~ µ , se β u >> 1
f) Define-se "magnetização de um material" como
M = Nµ .
Utilize os resultados da alínea e) para representar graficamente a função
M = M(βu), e verifique a lei de Curie
Nµ 2
M=
H
k BT
, T →∞
5- Considere a distribuição de velocidades de Maxwell
m
F ( v) =
2
π
k
T
B
3/ 2
1 mv 2
exp −
2
k
T
B
relativa a um gás, de massa 40uma, em equilíbrio termodinâmico à
temperatura T.
a) Dê o significado físico de F(v)d3v e de f(v)dv = F(v) 4π
πv2dv.
b) Determine os seguintes valores médios, sobre esta distribuição a T =
300K.
r
b1) Velocidade, v
b2) Módulo da velocidade, v
b3) Velocidade quadrática,
v2
b4) Velocidade mais provável, v mp
c) Utilize o resultado b3) para calcular a energia cinética média de
translação dos átomos.
Interprete o resultado obtido com base no Princípio de Equipartição da
Energia.
d) Esboce o gráfico de f(v) para T1 = 300K e T2 = 600K.
6- Considere um sistema de volume constante, constituído por N partículas, as
quais se podem distribuir entre dois níveis de energia u1=0 e u2=ε. Suponha
que o sistema se encontra em equilíbrio à temperatura T e que segue a
distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann.
a) Escreva as expressões das ocupações médias N i (i = 1,2) de cada nível
de energia do sistema.
b) Obtenha a expressão da energia interna do sistema, e esboce o seu
gráfico em função de T. Especifique as distribuições de partículas
associadas aos limites assimptóticos T→ 0 e T→ ∞ .
c) Suponha que o sistema se encontra num macroestado de equilíbrio,
correspondente a uma distribuição de N/2 partículas em cada nível de
energia.
Calcule a entropia desse macroestado. Qual será, neste caso, a
probabilidade de ocorrência dum qualquer microestado do sistema?
7- Considere um sistema de volume constante, constituído por N = 6000x1021
partículas distinguíveis, as quais se podem distribuir entre três níveis de
energia: u1 = 0, u2 = ε , u3 = 2ε , com ε = 10-20J.
a) O
sistema encontra-se
correspondente a
inicialmente
num
macroestado
A,
N1A = 5300x1021 partículas no nível 1 de energia
N2A = 400x1021 partículas no nível 2 de energia
N3A = 300x1021 partículas no nível 3 de energia
a1) Calcule a energia interna do sistema.
a2) Escreva a expressão do
correspondente ao macroestado A.
número
de
microestados
ΩA,
b) Admita que o sistema se encontra isolado do exterior (isto é, que a sua
energia interna U é constante). Nestas condições, deixa-se o sistema
evoluir para o seu macroestado de equilíbrio X, correspondente a uma
distribuição de Maxwell-Boltzmann.
b1) Calcule a ocupação média de equilíbrio de cada nível de energia, NiX
(i=1,2,3) e a temperatura de equilíbrio TX do sistema.
b2) Calcule a variação de entropia do sistema na evolução A - X.
c) Admita agora que o sistema deixa de estar isolado. Nestas condições,
eleva-se a temperatura do sistema até maximizar a sua energia interna
(mantendo-se as condições de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann).
c1) Calcule o valor máximo da energia interna do sistema, Umax, e a
ocupação média de cada nível de energia, Nimax, para U = Umax.
c2) Esboce o gráfico de Ni (i=1,2,3) em função de T.
8- Considere um sistema de N = 6x1023 partículas distinguíveis, as quais se
podem distribuir em três estados i = 1,2,3.
a) Suponha que o sistema se encontra isolado.
a1) Escreva a expressão do número total de microestados acessíveis ao
sistema.
a2) Escreva a expressão geral da entropia do sistema, quando este se
encontra num macroestado genérico com
N1 partículas no estado i = 1
N2 partículas no estado i = 2
N3 partículas no estado i = 3
a3) Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema que
corresponde(m) ao seu mínimo de entropia. Calcule esse valor mínimo.
a4) Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema que
corresponde(m) ao seu máximo de entropia. Calcule esse valor máximo.
b) Suponha que os três estados do sistema correspondem de facto a três
níveis de energia, tais que u1 = 0, u2 = ε e u3 = 2ε, com ε = 10−20 J.
Nessas condições, admita que o sistema é posto em contacto com uma
fonte de calor à temperatura T, evoluindo para um macroestado de
equilíbrio correspondente a uma distribuição de Maxwell-Boltzmann.
b1) Calcule a ocupação média de cada nível de energia e a energia
interna do sistema, nos seguintes limites:
b1a) Baixas temperaturas, T → 0.
b2b) Altas temperaturas, T → ∞.
b2) Esboce o gráfico de Ni (i=1,2,3) em função de T.
9- O modelo de atmosfera isotérmica admite que, dentro das variações de
altitude consideradas, o ar se comporta como um gás perfeito em equilíbrio
térmico à temperatura T, sob a acção de um campo gravítico de aceleração
constante g.
a) Escreva a expressão da energia de cada partícula (de massa m) do ar.
b) Obtenha a expressão da densidade do ar em função da altitude z.
10- Considere um sistema de N átomos distinguíveis (N >> 1), em equilíbrio
térmico à temperatura T, os quais se encontram imersos num campo
magnético de intensidade H. Os valores discretos da energia magnética de
cada átomo são dados pela expressão
ε m = −αHm ,
onde α é uma constante positiva e m é um número inteiro que pode
assumir os valores
m = − J , − J + 1, − J + 2, ..., J − 2, J − 1, J ,
num total de 2 J + 1 níveis de energia ( J é um inteiro, associado à
quantificação do momento angular).
a) Escreva a expressão da ocupação média N m ( H , T ) de cada nível m de
energia do sistema.
b) Mostre que
M ( H , T ) = Nk B T
∂ ln z ( H , T )
,
∂H
onde M ( H , T ) ≡ Nα m ( H , T ) representa a magnetização do sistema
(sendo m ( H , T ) o valor médio de m sobre a distribuição de átomos), e
z ( H , T ) é a função de partição para os níveis de energia magnética de
um átomo.
c) Admita que o sistema se encontra no limite de muito baixas
temperaturas, caracterizado por αH K B T >> 1 . Utilize argumentos
físicos para escrever a expressão assimptótica da magnetização do
sistema, neste caso limite.
d) Admita que o sistema se encontra no limite de muito altas temperaturas,
caracterizado por αH K B T << 1 . Obtenha a expressão da entropia do
sistema neste caso limite, justificando os cálculos que efectuar.
[Sugestão: comece por escrever, para este caso particular, a expressão
do número total de microestados do sistema.]
11- Considere um plasma (gás ionizado) produzido no interior duma lâmpada
fluorescente cilíndrica de raio R = 1cm.
Suponha que os electrões desse plasma se encontram em equilíbrio
com uma temperatura Te = 105K e uma densidade n0 = 1019 m-3 no eixo
da lâmpada (r = 0), estando sujeitos a uma energia potencial
U (r ) = U 0 (r / R) 2
com U0 = 4,2x10-18 J.
a) Calcule a velocidade quadrática média dos electrões no eixo da
lâmpada.
b) Escreva a expressão de equilíbrio da densidade de electrões (ne) em
função de r, e represente-a graficamente.
c) Suponha que a temperatura dos electrões se eleva até Te'=106K,
mantendo-se constante o número total de electrões dentro da lâmpada.
Estime o novo valor n0' da densidade de equilíbrio dos electrões em r= 0.
12- Considere um gás monoatómico, com massa molar M = 40 g mol-1, que se
encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura T = 300K.
a) Indique, justificando, qual é a velocidade média Vx dos átomos do gás,
segundo a direcção Ox .
b) Calcule a velocidade quadrática média V x, q ≡ Vx dos átomos do gás,
2
segundo a mesma direcção Ox .
c) Pretende-se agora estudar
o efeito da distribuição de
velocidades do gás sobre
a sua radiação, emitida
segundo a direcção Ox .
Um átomo em repouso
emitiria radiação a uma
frequência bem definida ν0
= 3x1015 Hz. Contudo, a
frequência da radiação
emitida na direcção Ox ,
por um
átomo com
velocidade Vx , é dada pela expressão do efeito Doppler
ν = ν 0 (1 + V x c )
onde c é a velocidade da luz no vácuo.
Em consequência, a radiação observada é caracterizada por uma
distribuição em frequência, sendo I (ν ) dν a fracção de intensidade
luminosa no intervalo de frequência entre ν e ν + dν . Para a radiação
observada:
c1) Calcule a frequência média ν e o desvio quadrático médio em
frequência
(∆ν) q ≡ (ν − ν ) 2 , para a temperatura de equilíbrio
T=300K.
[Sugestão: utilize os resultados das alíneas a) e b).]
c2) Mostre que
Mc 2 (ν − ν 0 ) 2
I (ν)dν = I (ν 0 ) exp −
dν
2
2
RT
ν
0
onde R é a constante dos gases.
c3) Obtenha a expressão do desvio de intensidade luminosa,
∆I (ν) ≡ [I (ν 0 ) − I (ν)], no limite de altas temperaturas.
13- O modelo de Einstein (1907) permite obter uma expressão para o calor
específico da rede cristalina de um sólido.
O modelo admite que cada um dos N átomos da rede cristalina se encontra
ligado a três osciladores harmónicos clássicos independentes (um por cada
grau de liberdade), os quais oscilam todos com a mesma frequência angular
ω. O sistema de 3N osciladores harmónicos distribui-se segundo uma
estatística de Maxwell-Boltzmann segundo um conjunto de níveis quânticos
de energia
En = (n + 12 )hω
(n = 0, 1, 2, ..., ∞) ,
onde h ≡ h / 2π .
a) Mostre que a função de partição para um oscilador, em equilíbrio à
temperatura T, é dada pela expressão
z (β) =
onde β ≡ 1 / k BT .
exp(− 12 βhω)
1 − exp(−βhω)
∞
[Nota: recorde que se tem
razão r < 1.]
∑
n =0
rn =
1
, para uma série geométrica de
1− r
b) Mostre que a energia interna do sólido é dada pela expressão
hω
hω
U (β) = 3 N
+
.
2
exp(
β
h
ω
)
−
1
[Sugestão: comece por obter a relação U (β) = −3 N
∂ ln z (β)
.]
∂β
c) Considere a grandeza Θ E ≡ hω k B , a qual se designa como
“temperatura de Einstein”.
c1) Obtenha, em função da razão Θ E / T , a capacidade calorífica a
volume constante cV do sólido.
c2) Obtenha e interprete fisicamente os seguintes limites assimptóticos
de cV
c2.1) cV (Θ E / T → ∞) .
c2.2) cV (Θ E / T → 0) .
14- Considere um recipiente cúbico de lado L no interior do qual se encontram
N iões positivos de carga q, em equilíbrio térmico à temperatura T. O
sistema está sujeito à acção dum campo electrostático constante
r
r
E = E e x (ver figura), podendo-se considerar que cada ião tem uma energia
potencial electrostática ε p ( x) = −qE x . Admita que os iões seguem uma
estatística clássica de Maxwell-Boltzmann.
→
E
0
L
x
a) Escreva, justificando, a expressão da energia cinética média dos iões
em função da sua temperatura.
b) Mostre que o perfil da densidade iónica (número de iões por unidade de
volume), entre 0 ≤ x ≤ L , tem a forma
n( x) = n0 exp(qEx / k BT )
qEL / k BT
N
n
=
0 L3 exp(qEL / k T ) − 1
B
c) Obtenha as expressões aproximadas de n(x ) nos limites k BT >> qEL
e k BT << qEL . Esboce os respectivos gráficos e interprete.
DADOS E CONSTANTES
kB = 1,38x10-23 J K-1
R = 8,314 J K-1 mol-1
h = 6,626x10-34 J s
c = 3x108 ms-1
g = 9,8 ms-2
me = 9,11x10-31 kg
Fórmula de Stirling
ln N !≈ N ln N − N
R
∫
0
exp(− ar 2 )rdr =
( N >> 1)
[
1
1 − exp(− aR 2 )
2a
]
Soluções de questões seleccionadas
1-
Ωf
Ωi
(
= exp 8,9 x10 24
gelo
)
3a) Ω = 2
N
b) S = Nk B f (x )
f)
1
∆E ≈ k BT
2
4a) N ± =
b)
ε
1
N m
2
u
S (η)
1
= ln 2 − [(1 − η)ln(1 − η) + (1 + η)ln(1 + η)]
Nk B
2
c) β =
1 1 − η
ln
2u 1 + η
Neβu
N
=
+
e βu + e − βu
d)
− βu
N = Ne
− eβu + e − βu
5b)
r
b1) v = 0
1/ 2
8k T
b2) v = B
πm
= 398,5 ms-1
1/ 2
b3)
3k T
v = B
m
2
= 432,5 ms-1
1/ 2
b4) v mp
c) ε k =
2k T
= B
m
= 353,1 ms-1
1
3
m v 2 = k BT = 6,21x10-21 J
2
2
6-
N
N1 = 1 + e − βε
a)
− βε
Ne
N 2 =
1 + e − βε
b) U =
β≡
1
k BT
Nε
1 + eβε
N = N
T → 0 (β → ∞) : U (T ) → 0 ; 1
N2 = 0
Distribuição concentrada no nível fundamental
T → ∞ (β → 0) : U (T ) →
N
N
ε ; N1 = N 2 =
2
2
Distribuição uniforme
c) S ≈ Nk B ln 2
ps ≈
1
2N
7a)
a1) U = 104 J
a2) Ω =
6000x10 21!
5300x10 21! 400x10 21! 300x10 21!
b)
TX = 382K
X
21
N1 ≈ 5116x10
b1)
X
21
N 2 ≈ 768x10
X
21
N 3 ≈ 116x10
b2) ∆S A − X = 2,9 JK-1
c)
c1) U max = 6x10 J
4
; N1max = N 2 max = N 3 max = N / 3
8a)
a1) ΩT = 3
6 x10 23
microestados
S = k B ln Ω
a2)
N!
Ω = N ! N ! N !
1
2
3
a3) S = k B ln
N!
= k B ln1 = 0
N ! 0! 0!
Configuração m1
N partículas no estado i = 1
0 partículas no estado i = 2
0 partículas no estado i = 3
Configuração m2
0 partículas no estado i = 1
N partículas no estado i = 2
0 partículas no estado i = 3
Configuração m3
0 partículas no estado i = 1
0 partículas no estado i = 2
N partículas no estado i = 3
a4) S = k B ln
N!
[( N / 3)!]
3
≈ Nk B ln 3
Configuração M
N/3 partículas no estado i = 1
N/3 partículas no estado i = 2
N/3 partículas no estado i = 3
b)
Ne − βu
N i =
b1)
1 + e − βu + e − βu
β = 1 / k T
B
1
1
2
Ne 0
=
≈N
N
i =1
1
b1a)
−∞
N = Ne ≈ 0
i ≠1
1
3
U=
∑N u = Nu = 0
i i
1
i =1
3
N
N
b1b) N i =
=
1+1+1 3
U=
∑
N i ui =
i =1
N
3ε = 6000 J
3
9a) ε =
1 2
mv + mgz
2
b) n( z ) = n( z = 0) exp(−β mgz )
10-
N exp(αHm / k B T )
a) N m ( H , T ) =
∑ exp(αHm / k T )
=
B
N exp(αHm / k B T )
z( H , T )
m
b)
M ( H ,T ) = α
∑ mN
n
m
=
=
1
Nk BT
z
∂
∑ ∂H exp(αHm / k T )
B
m
Nk BT ∂z
∂ ln z ( H , T )
= Nk BT
z ∂H
∂H
c) No limite de muito baixas temperaturas, o sistema de átomos encontrase todo no nível mais baixo de energia, pelo que
m=
∑
m
m N n JN
=
=J
N
N
e
M ( H , T → 0) = Nα J
d) No limite de muito altas temperaturas, ocorre uma equidistribuição dos
átomos por todos os 2J+1 níveis de energia do sistema. Assim
Ω( H , T → ∞ ) =
[(N
N!
2 J + 1) !]2 J +1
(átomos distinguíveis)
S ( H , T → ∞) = k B ln Ω( H , T → ∞) ≈ Nk B ln (2 J + 1)
12a) Vx = 0 m s-1
(Distribuição isotrópica de velocidades)
b) Vx , q = RT M = 250 m s-1
(Teorema da equipartição da energia segundo Ox )
c)
c1) ν = ν 0 = 3x1015 Hz
(∆ν) q =
ν0
c
RT
= 2,5x109 Hz
M
c2) O resultado obtém-se directamente a partir da distribuição de
velocidades de Maxwell para Vx , utilizando a expressão do efeito
Doppler.
Mc 2 (ν − ν 0 ) 2
c3) ∆I (ν ) ≅ I (ν 0 )
2
2
RT
ν
0
13a)
∞
∑ exp(
z (β) =
n =0
=
∞
)
− βE n = exp(− 12 βhω)
∑[exp(−βhω)]
n
=
n =0
exp(− 12 βhω)
1 − exp(−βhω)
b)
U (β) = 3 N εoscilador = −3 N
= −3 N
∂ ln z (β)
=
∂β
hω
∂ 1
hω
+
− βhω − ln[1 − exp(− β hω)] = 3 N
∂β 2
2 exp(βhω) − 1
c)
2
exp(Θ E / T )
Θ
c1) CV (Θ E / T ) = 3 Nk B E
T [exp(Θ E / T ) − 1]2
2
1
Θ
c2.1) CV (Θ E / T → ∞) ≈ 3 Nk B E
→0
T exp(Θ E / T )
Todos os osciladores se encontram no estado de energia mais
baixo do sistema (congelamento dos graus de liberdade
vibracionais, a muito baixas temperaturas).
c2.1) CV (Θ E / T → 0) ≈ 3 Nk B
Lei clássica de Dulong e Petit (equipartição da energia por graus
de liberdade vibracionais).
14a) Distribuição de velocidades de Maxwell a 3D
⇒ εk =
c) n( x ) ≈
N
3
L
3
N k BT (Teorema da equipartição da energia)
2
, k BT >> qEL
Distribuição uniforme (os iões não "sentem" o efeito do campo)
n(x)
N/L3
L x
0
n( x ) ≈ 0 , x ≠ L
, k BT << qEL
n ( x ) ≈ ∞ , x = L
Distribuição delta de Dirac (os iões só "sentem" o efeito do campo)
n(x)
0
L
x
PARTE - VI
TRANSPORTE DE ENERGIA
GÁS DE FOTÕES
1- Uma placa infinita é constituída por um material de condutividade térmica
2 W m-1 K-1. A placa tem 10cm de espessura e a sua face mais quente
encontra-se a 60°C. Calcule a temperatura da sua fa ce mais fria, sabendo
que a potência calorífica por unidade de área que a atravessa é 80 W m-2.
2- Considere um cilindro metálico homogéneo com raio R = 20cm, à
temperatura Tint = 500K, o qual se revestiu exteriormente de um isolante de
condutividade k = 0,5 W m-1 K-1 e espessura e = 2cm.
a) Obtenha a expressão da resistência térmica de um troço do isolante de
comprimento L.
b) Calcule a potência térmica, por unidade de comprimento, que atravessa
o isolante, quando a temperatura exterior do sistema é Text = 300K.
c) Represente graficamente o perfil radial de temperatura no interior do
isolante.
3- A figura representa um cilindro metálico muito longo, de raio Rint = 10mm, à
temperatura Tint = 500K, o qual se revestiu exteriormente com um isolante
de condutividade k = 0,1 W m-1 K-1 e espessura e = 5mm. O coeficiente de
convecção na face exterior do sistema metal + isolante é hext = 5 W m-2 K-1.
Rint = 10mm
Rext = Rint + e = 15mm
a) Obtenha a expressão da resistência térmica Rth de um troço de
comprimento L do sistema.
b) Calcule a potência térmica por unidade de comprimento, que atravessa
radialmente o sistema, quando a temperatura exterior é Text = 300K.
c) Calcule, justificando, a espessura e0 do isolante a partir da qual o fluxo
radial de calor diminui com o aumento de e.
[Sugestão: comece por mostrar que a função Rth(e) tem um mínimo].
4- Uma sala é aquecida por forma a ter uma
temperatura constante e igual a 22°C. No exterior,
a temperatura ambiente é de 12°C. A sala tem
uma janela composta por dois vidros (cada um
com uma espessura de 4mm), separados por uma
caixa de ar de 1cm (janela de vidro duplo).
A condutividade térmica do vidro é 0,8 W m-1 K-1, o
coeficiente de convecção na face interior da janela
é 8 W m-2 K-1, na sua face exterior é 25 W m-2 K-1
(há vento! - convecção forçada) e na caixa de ar é
7 W m-2 K-1.
a) Admita que a janela tem uma área de 1m2 de vidro, desprezando-se a
presença da sua caixilharia.
a1) Calcule a potência térmica que atravessa a janela.
a2) Esboce graficamente o perfil de temperatura através do vidro da
janela, desde o interior até ao exterior da sala.
b) Pretende-se agora estudar o efeito da caixilharia da janela nas perdas
de potência térmica. Admita que a caixilharia tem uma espessura de
2,5cm, e que a sua presença faz aumentar em 10% a área total da
janela (que continua a ter uma superfície de 1m2 de vidro). Considere
que a caixilharia é de alumínio, com uma condutividade equivalente −
tendo em conta que não é maciço − de 5 W m-1 K-1.
b1) Calcule a potência térmica que atravessa a janela, se se considerar
a presença da caixilharia.
b2) Esboce graficamente o perfil de temperatura através da caixilharia
da janela, desde o interior até ao exterior da sala.
Compare com o gráfico obtido em a2), e indique o que poderá suceder
na superfície interior da caixilharia.
5- Um tubo cilíndrico de diâmetro D = 2cm, onde passa água quente com um
caudal de 0,5 kg s-1 e uma temperatura de 80°C, é utilizado para aquece r
uma estufa que se encontra a 40°C. O tubo tem espes sura desprezável
pelo que a sua área exterior é igual à área interior. Considere um troço de
1m de tubo, em que pode considerar a temperatura da água constante.
a) Calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção no interior
do tubo (regime forçado).
b) Calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção no exterior
do tubo (convecção natural).
c) Calcule a potência calorífica cedida pelo tubo à estufa.
d) Confirme as hipóteses que utilizou para resolver as alíneas anteriores.
(Ver tabelas abaixo)
Definições:
Número de
Número de
Prandl
Reynolds
Re ≡ 4 (dm/dt) /π µ D Pr ≡ cp µ / k
Número de
Grashof
Gr ≡ g ρ2 β ∆T D3 / µ2
Número de
Nusselt
Nu ≡ h D / k
Convecção natural de ar em tubos cilíndricos horizontais:
g = 9,8m s-2
β = 1/Tar
9
Se Gr < 10 ,
h = 1,32 (∆T / D)0,25
(regime laminar)
Se Gr > 109,
h = 1,24 ∆T0,33
(regime turbulento)
Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos horizontais:
Se Re < 2300, Nu = 3,657
(regime laminar)
0,8
0,4
Se Re > 2300, Nu = 0,023 Re Pr
(regime turbulento)
Tabelas:
Propriedades do ar seco à pressão atmosférica
T (K) ρ (kg m-3)
Pr
2
-1 -1
µ x105 (kg m-1 s-1) k x10 (W m K )
100
3,60
0,77
0,69
0,9
150
2,37
0,75
1,03
1,4
200
1,77
0,74
1,33
1,8
250
1,41
0,72
1,49
2,2
300
1,18
0,71
1,98
2,6
350
1,00
0,70
2,08
3,0
400
1,01
0,69
2,29
3,4
Propriedades da água saturada
T (°C) ρ (kg m-3) Pr
-1 -1
-1 -1
µ/ρ x106 (m2 s-1) k (W.m .K ) cp (kJ kg K )
20
1001
7,0
1,01
0,60
4,182
40
995
4,3
0,66
0,63
4,178
60
985
3,0
0,48
0,65
4,184
80
974
2,2
0,36
0,67
4,196
100
961
1,7
0,29
0,68
4,216
6- Considere uma sala em equilíbrio térmico, a qual é aquecida por um
permutador de calor onde circula água quente, num regime de escoamento
estacionário. O permutador é constituído por um conjunto de 10 tubos
cilíndricos, paralelos e verticais, cada um com raio interior rin = 2cm, raio
exterior rex = 3cm, e comprimento L = 1m. As superfícies interior e exterior
de cada tubo encontram-se às temperaturas Tin = 29°C e Tex = 28,99°C,
respectivamente. Admita que a temperatura da água, ao longo de cada
tubo, se pode considerar constante.
Sabe-se que a potência térmica trocada por convecção entre o permutador
de calor e o ar da sala é 100W. O coeficiente de transferência de energia
por convecção (natural) entre cada tubo e o ar da sala é hex = 10 W m-2 K-1.
O coeficiente de transferência de energia por convecção (forçada) no
interior de cada tubo é hin = 1000 W m-2 K-1.
a) Calcule a temperatura da sala devido à presença do permutador de
calor.
b) Calcule a temperatura da água que circula no interior de cada tubo.
c) Mostre que a resistência térmica (radial) de condução Rcond de cada tubo
cilíndrico é dada por
Rcond =
ln(rex / rin )
2π Lk
onde k é a condutividade térmica do material de cada tubo.
Utilize estes resultados para calcular k.
[Sugestão: utilize a lei de Fourier
dQ
dT
= −kA(r )
dt
dr
A(r ) L área lateral dum cilindro de raio r
e integre-a radialmente.]
7- Uma máquina é construída com base no ciclo descrito no problema IV-2,
sofrendo o ar igualmente transformações isotérmicas às temperaturas TQ =
400K e TF = 300K. Na máquina, o calor é trocado com as fontes de calor
(nas transformações isotérmicas) através de dois permutadores de placas.
Nestes permutadores, o ar está separado da água (fonte quente ou fonte
fria) por placas metálicas rectangulares de condutividade k = 20 W m-1 K-1 e
espessura l = 2mm. Cada um dos permutadores tem uma área de 1m2, um
coeficiente de transmissão de calor por convecção do lado do ar har = 102
W m-2 K-1 e um coeficiente de transmissão de calor por convecção do lado
da água hágua = 104 W m-2 K-1.
a) Calcule a resistência térmica total R, para a transferência de energia
entre o ar e a água.
b) Calcule as temperaturas TFQ e TFF das fontes (água quente e água fria),
admitindo que as potências térmicas trocadas com as fontes quente e
fria são Q& Q = 2kW e Q& F = 1,5kW, respectivamente.
c) Calcule a variação de entropia por unidade de tempo do Universo devido
ao funcionamento da máquina. Conclua da reversibilidade do ciclo.
d) Se fosse incumbido de melhorar o rendimento desta máquina que
alterações sugeriria?
8- Considere
uma
sala
numa
situação térmica estacionária, a
qual é aquecida por um sistema
de chão radiante, com os ladrilhos
do chão assentes sobre um
conjunto de tubos horizontais
onde circula água quente. Admita
que a temperatura da água é
constante ao longo de cada tubo
(de raio r = 2cm e espessura
desprezável).
Os ladrilhos têm uma espessura l = 2cm e uma condutividade térmica k = 2
W m-1 K-1. A temperatura do ar da sala é Tar = 21°C, a temperatura das
paredes e do tecto é Tparedes = 17°C e a temperatura da superfície superior
dos ladrilhos é Tchão = 27°C. Estas temperaturas mantêm-se constantes
durante as trocas de energias entre os vários componentes do sistema. O
chão de ladrilhos tem uma emissividade 0,75 e uma área de 20m2. As
paredes e o tecto podem ser considerados como corpos negros. O
coeficiente de transferência de energia por convecção entre o chão e o ar
da sala é h = 10 W m-2 K-1.
a) Calcule a potência
sala.
b) Calcule a potência
paredes e tecto.
Q& conv , trocada por convecção entre o chão e o ar da
Q& rad , trocada por radiação entre o chão e o conjunto
c) Calcule a temperatura da superfície inferior dos ladrilhos.
d) Estime o caudal mínimo de água quente (em L h-1), que garante uma
variação máxima de 1°C para a sua temperatura, no i nterior de cada
tubo.
e) Explique porque motivo existe uma diferença entre a temperatura do ar
da sala e a temperatura das suas paredes e tecto.
9- Considere
uma
sala
numa
situação térmica estacionária, a
qual
é
aquecida
por
um
permutador de calor onde circula
água quente. O permutador de
calor é constituído por um
conjunto de 10 tubos cilíndricos,
paralelos e verticais (ver esquema
junto), cada um com raio r = 3cm,
comprimento L = 1m e espessura
desprezável. Admita que a
temperatura da água, ao longo de
cada tubo, se pode considerar
constante.
IN
1m
OUT
A temperatura do ar da sala é Tar = 22°C, a temperatura da sua superfície
(paredes, chão e tecto) é Tsup = 17°C (ignora-se a pequena porção de
parede por detrás do permutador), e a temperatura da superfície de cada
tubo é Ttubo = 29°C. O coeficiente de transferência de energia por
convecção (natural) entre cada tubo e o ar da sala é hex = 10 W m-2 K-1. O
coeficiente de transferência de energia por convecção (forçada) no interior
de cada tubo é hin = 1000 W m-2 K-1. Considere que, quer o permutador de
calor, quer a superfície da sala, são corpos negros.
a) Calcule a potência Q& conv , trocada por convecção entre o permutador de
calor e o ar da sala.
b) Calcule a potência Q& rad , trocada por radiação entre o permutador de
calor e a superfície da sala, considerando que a área efectiva radiante
do permutador é S = 0,75m2.
c) Calcule a temperatura da água que circula no interior de cada tubo.
10- Considere um forno eléctrico, com uma área aquecida total de 1m2, dentro
do qual se pretende assar um frango com uma área exposta de 0,05m2. As
trocas de energia entre o forno e o frango são controladas por radiação,
podendo-se desprezar a convecção do ar no interior do forno. Suponha
que o forno é um corpo negro e que o frango tem emissividade 0,8. A
superfície aquecida do forno encontra-se isolada do exterior através de um
material de 4cm de espessura e condutividade térmica 0,04 W m-1 K-1. O
forno encontra-se numa cozinha cuja temperatura ambiente é Tamb = 27°C,
e o coeficiente de convecção médio do lado exterior do forno é 2 W m-2 K-1.
Quando o frango está a assar a sua temperatura é Tfrango = 102°C, para
uma temperatura do forno Tforno = 250°C.
a) Apresente um esquema do circuito térmico do problema, onde deverá
assinalar as suas diferentes temperaturas.
b) Calcule a potência térmica perdida pelo forno para a cozinha.
c) Calcule a temperatura da superfície exterior do forno.
d) Admita que toda a radiação emitida pelo frango chega às paredes do
forno.
d1) Calcule a potência térmica trocada entre o forno e o frango.
d2) Calcule a fracção da potência de radiação emitida pelo forno, que
incide no frango.
[Sugestão: utilize o Teorema da Reciprocidade.]
11- Para armazenar um líquido a certa temperatura
utiliza-se um reservatório com parede dupla. A
espessura de cada uma das paredes é 5mm e o
espaço entre elas, preenchido com ar, tem uma
espessura de 2mm. Admita que o volume do
reservatório é suficientemente grande de modo a
poder considerar-se que as paredes (de
condutividade térmica kparede = 2 W m-1 K-1) têm
todas a mesma área de 1m2. Os coeficientes de
convecção no interior do líquido e na caixa de ar
são, respectivamente, hliq = 10 W m-2 K-1 e har = 5
W m-2 K-1. As paredes interiores (espelhadas) têm
todas emissividade nula, enquanto que a parede
exterior tem emissividade 0,8.
O reservatório encontra-se no interior duma sala, havendo lugar a trocas de
energia térmica por radiação com as paredes da sala e por convecção com
o ar da sala.
a) Apresente o esquema do circuito térmico do sistema líquidoreservatório-sala, identificando as suas resistências.
b) Calcule a potência térmica Q& reser que atravessa o reservatório, sabendo
que a temperatura do líquido é 65ºC e que a temperatura da superfície
exterior do reservatório é 30ºC.
c) Calcule a potência trocada por radiação Q& rad entre a parede exterior do
reservatório e as superfícies da sala (tecto, paredes, …), sabendo que
estas se encontram a uma temperatura de 20ºC. Considere que as
superfícies da sala se comportam como um corpo negro.
d) Calcule o coeficiente de convecção do ar existente em volta do
reservatório, sabendo que a temperatura do ar é 15ºC.
12- A radiação de fundo do Universo foi descoberta por
Penzias e Wilson em 1964, quando tentavam medir
os sinais de rádio emitidos por uma galáxia. Essa
radiação (semelhante à dum corpo negro à
temperatura de 3K), é uma das provas mais
importantes da validade do modelo Big Bang do
Universo.
a) Calcule o comprimento de onda que corresponde
ao máximo de intensidade da radiação de fundo
do Universo.
b) Calcule a potência global por unidade de área, associada à radiação de
fundo do Universo.
13- Equipa-se uma máquina fotográfica com um filme preparado para
reproduzir correctamente as cores de imagens em dias de Sol (TSol ~
6000K). Caracterize a cor das fotografias obtidas com esse filme, dentro de
uma casa iluminada com lâmpadas de tungsténio (TTung ~ 3200K). Indique
como deve proceder, se quiser tirar fotografias de melhor qualidade dentro
de casa (sem mudar de filme!).
14- Um campista possui uma tenda que tem o tecto interior em plástico
transparente. Numa noite de Verão, num planalto da Serra da Estrela,
decidiu não montar o tecto exterior e adormeceu a ver as estrelas. Além
disso, como estava uma temperatura agradável de 22ºC, deitou-se em
calções. Suponha que o efeito do
"céu" (considerado como um corpo
negro) na superfície da pele do
campista se traduz por uma
temperatura equivalente Tcéu =
−5ºC (sem atmosfera seria ~3 K!).
A área de pele do campista
voltada para cima é de 0,9m2 e a
emissividade da sua pele é 0,9.
a) Calcule o comprimento de onda correspondente à intensidade máxima
de radiação emitida pelo campista, sabendo que a superfície da sua pele
estava a uma temperatura Tcamp = 35ºC.
b) Escreva a expressão da potência calorífica perdida pelo campista, em
função de Tcéu e Tcamp, das emissividades do céu e do campista, e da
superfície de pele do campista.
c) Calcule a potência calorífica perdida pelo campista, devido às trocas de
energia por radiação entre este e o céu.
d) Admita que o metabolismo de uma pessoa deitada fornece ao corpo
uma potência de 50W. Calcule a temperatura de equilíbrio da pele do
campista, se se desprezarem as trocas de energia com o ar ambiente e
o solo.
e) O campista acorda a meio da noite (enregelado!) e puxa um cobertor
que tem a mesma emissividade da pele e uma espessura de 2cm.
Calcule o valor da condutividade térmica do cobertor que garante, em
equilíbrio, que o campista não sente frio.
[Sugestão: recorde que o metabolismo do campista fornece 50W e note
que a temperatura da superfície exterior do cobertor deve ser igual ao
resultado da alínea d)].
15- Pretende-se estudar o transporte de energia por radiação para o sistema
Sol-Terra, admitindo que estes dois astros se podem tratar como corpos
negros.
Considere que o Sol é uma esfera de raio é RS = 7x108m e temperatura
superficial TS = 6000K. Considere que a Terra é uma esfera de raio é RT =
6,4x106m e temperatura superficial TT.
Sabe-se que a distância Sol-Terra é d = 1,5x1011m.
a) Calcule a energia dos fotões responsáveis pela intensidade máxima da
radiação emitida pelo Sol, e indique em que banda espectral se situam
(UV, visível, IV, ...).
b) Calcule a potência total radiada pelo Sol.
c) Mostre que a fracção de potência radiada pelo Sol que é absorvida pela
Terra é dada por
2
Pabs
R
= σ T π RS2 TS4
d
d) Admita que a Terra se encontra em equilíbrio térmico de radiação,
havendo uma igualdade entre as potências absorvida e radiada pela
Terra.
Utilize esta condição de equilíbrio, para calcular a temperatura superficial
da Terra TT.
e) Deduza a expressão e calcule o valor da
pressão de radiação exercida pelos fotões
emitidos pelo Sol, sabendo que um gás de
fotões em equilíbrio à temperatura T tem
uma
entropia
S=
energia interna U =
4 4σ 3
T V
3 c
3
TS .
4
e
uma
16- Considere um campo de radiação em equilíbrio à temperatura T, no interior
dum volume V (de paredes totalmente reflectoras).
a) Deduza a termodinâmica desse sistema de fotões.
a1) Mostre que a energia interna deste sistema é dada pela expressão
U=
4σ 4
VT
c
a2) Mostre que a entropia deste sistema é dada pela expressão
S=
4 4σ 3
VT
3 c
[Sugestão: utilize a expressão do Primeiro Princípio da Termodinâmica
dU = TdS − pdV , e integre-o a seguindo um caminho a volume
constante].
a3) Utilize a expressão geral
∂U
∂V S
p = −
para mostrar que a pressão do campo de radiação é dada por
p=
1U
3V
a3.1) Compare esta expressão com a relação equivalente num
gás perfeito.
a3.2) Obtenha a equação de estado dum sistema de fotões à
temperatura T.
b) Admita que o sistema se encontra no interior duma esfera de raio R, a
qual se expande de forma isentrópica.
b1) Encontre a relação entre o raio da esfera e a temperatura do campo
de radiação no seu interior.
b2) Suponha que a esfera representa o Universo.
De acordo com o modelo Big Bang, a radiação deixou de interagir com a
matéria (que se tornou praticamente transparente aos fotões) quando a
temperatura do Universo atingiu 3000K (700000 anos após o Big Bang).
Admitindo que, a partir desse instante, a expansão do Universo se
realiza de forma isentrópica, estime de quanto aumentou o raio do
Universo até aos dias de hoje (~2x1010 anos após o Big Bang, ver
problema VI-12).
17- Considere um recipiente de volume V = 1L (de paredes totalmente
reflectoras), no interior do qual existem N = 1023 átomos dum gás perfeito
monoatómico, em equilibrio à temperatura T = 1000K com um gás de
fotões.
a) Calcular a pressão total no interior do recipiente.
b) Calcule a capacidade calorífica a volume constante, cV, do sistema.
Estime a temperatura para a qual o gás de fotões e o gás perfeito
contribuem de forma igual para cV.
18- Considere um gás de fotões, o qual se encontra em equilíbrio à
temperatura T = 1000K, no interior de um recipiente cúbico de volume V =
0,001m3.
a) Calcule a potência Prad radiada através da superfície do cubo para o
exterior (admita que o cubo é um corpo negro).
b) Admita que o volume do recipiente aumenta até V’ = 4V, o que provoca
uma expansão livre do gás de fotões.
b1) Calcule a temperatura final T’ do gás de fotões, após a expansão.
b2) Sejam λmax e λ’max os comprimentos de onda correspondentes à
energia máxima do espectro de radiação, antes e depois da expansão.
Calcule a variação relativa (λ ' max − λ max ) / λ max , em consequência da
expansão.
19- Considere uma transição óptica de frequência νji = 6x1014Hz , entre dois
níveis de energia Ej e Ei de um átomo. Sabe-se que o tempo médio de vida
do nível superior j é de 50ns e que a degenerescência quântica dos níveis
é gi = 1 e gj = 3.
a) Calcule a diferença de energia entre os dois níveis i e j.
b) Calcule os valores dos coeficientes de Einstein para as transições
radiativas entre os dois níveis.
Indique qual dos mecanismos de emissão de radiação é dominante, à
temperatura ambiente T = 300K.
20- Considere o campo de radiação de equilíbrio de um gás atómico clássico, à
temperatura ambiente T = 300K.
a) Calcule o comprimento de onda λmax dos fotões responsáveis pelo
máximo de energia do campo de radiação.
b) Calcule a energia interna, por unidade de volume, do campo de
radiação.
c) Identifique, justificando com cálculos, qual o mecanismo dominante de
emissão (espontânea / estimulada) entre dois níveis de energia i e j > i
dos átomos do gás, em equilíbrio com os fotões de comprimento de
onda λmax.
21- Considere um varão metálico cilíndrico, termicamente isolado, com secção
S = 100cm2.
a) Admita que o varão tem comprimento L = 1m, e que as suas
extremidades x = 0 e x = L são mantidas às temperaturas T1 = 300K e T2
= 280K, respectivamente.
a1) Obtenha a lei de variação da temperatura com a posição, T(x).
a2) Calcule o valor da condutividade k do material que constitui o varão
metálico, sabendo que este é percorrido por uma corrente térmica de
intensidade 2400 J min-1.
b) Admita que a extremidade x = 0 do varão (que agora se supõe de
comprimento muito grande, L >> S1/2) está sujeita a uma temperatura
que varia segundo a lei T(0,t) = T0 + A cos(ωt), com um período anual T
= 2π / ω = 365 dias.
b1) Mostre que a temperatura ao longo do varão segue uma lei de
variação do tipo
T(x,t) = T0 + A exp(−mx) cos[ωt - mx] (onde m é uma constante).
Obtenha m em função de ω e da difusividade térmica do material, Dth = k
/ ρ C (ρ representa a sua massa volúmica e C o seu calor específico
mássico).
[Sugestão: utilize notação complexa.]
b2) Determinam-se experimentalmente as amplitudes de oscilação da
temperatura, em distintas posições do varão, obtendo-se os resultados
que se apresentam na tabela seguinte
Posição (m)
0
1
2
3
4
Amplitude (K)
19,5
11,5
6,8
4,0
2,35
b2.1) Estime o valor da difusividade térmica do material do varão, Dth.
b2.2) Dá-se o nome de posição de inversão ao valor mínimo x1 da
abcissa, para a qual as oscilações de temperatura estão em oposição
de fase em relação à condição fronteira T(0,t). Calcule a abcissa x1.
DADOS E CONSTANTES
σ = 5,667x10-8 W m-2 K-4
B = 2,898x10-3 m K
kB = 1,38x10-23 J K-1
R = 8,314 J K-1 mol-1
h = 6,626x10-34 J s
c = 3x108 ms-1
Lei de Planck
Forma espectral
Wν =
8πν 2
c
3
hν
exp(hv / k BT ) − 1
Forma integral
∞
∫
Wν dν =
0
4σ 4
T
c
Lei de Stefan
dPrad
= σT 4
dS
Relações entre coeficientes de Einstein
8πhν 3
=
B ji
c3
A ji
Bij
B ji
=
gj
gi
Corrente de radiação entre dois corpos (1 e 2)
S1 σ (T14 − T2 4 )
I rad =
1 − e1 1 − e2
1
+
+
F12
e1
e2
S1
S2
Corrente de radiação entre dois corpos (1 e 2)
Caso em que o corpo 1 (negro) envolve totalmente o corpo 2
I rad = e2 S 2 σ (T14 − T2 4 )
Soluções de questões seleccionadas
1- TF = 56ºC
2a) Rth =
ln(1 + e / R)
2πLk
b) Pth / L = 6,6 kW m-1
3a) Rth = Rcond + Rconv =
ln(Rext / Rint )
1
+
2πLk
2πRext Lhext
b) Pth / L = 72,46 W m-1
c) e0 =
k
− Rint = 2,5mm
hext
4a) Pth =
∆T
10
10
=
=
= 31,4W
R janela 0,125 + 0,153 + 0,04 0,318
c)
c1) P' th =
∆T
10
10
=
+
= 37,3W
R' janela 0,318 1,25 + 0,05 + 0,4
5a) hin =
Nu k
= 9789,6 W m-2 K-1
D
∆T
b) hex = 1,32
D
c) Pth =
0, 25
= 8,8 W m-2 K-1
∆T
40
=
= 22W
RT 1,8 + 1,63x10 − 3
6a) Tsala = 23,68ºC
b) Tágua = 29,08ºC
c) k = 64,5 W m-1 K-1 (Note que A(r) = 2πrL )
7-
a) R = Rconv + Rcond = (10-2 + 10-4) + 10-4 ~ 10-2 W-1 K
b) TFQ = TQ + R Q& Q = 420K ; TFF = TF + R Q& F = 285K
c) ∆S& = 0.5 W K-1 > 0. Ciclo irreversível.
d) Eliminar fontes de reversibilidade nas transformações isotérmicas,
aproximando a temperatura do ar à das fontes.
Reduzir a resistência térmica total
⇒ aumentar o coeficiente de convecção do ar.
⇒ aumentar a área dos permutadores.
8a) Q& conv = 1200W
b) Q& rad = 873W
c) Q& conv + Q& rad = ( k S / l ) (Tlad - Tchão) ; Tlad = 28°C
e) As paredes e o tecto da sala não estão termicamente isoladas, trocando
energia térmica com o exterior, através de fenómenos de condução,
convecção e radiação.
As temperaturas (interior e exterior) das paredes e tecto são assim
condições fronteira do problema, fixadas através dessas trocas de
energia térmica.
A temperatura interior das paredes e tecto é diferente da do ar da sala,
existindo um transporte de energia por convecção entre estes dois
meios.
9a) Q& conv = 132W
b) Q& rad = 53W
c) Tágua = 29,1°C
10a)
Irad
Tfrango
Rrad
Tforno
TX
Rcond
Rconv
Tamb
Icozinha
T
− Tamb
b) I cozinha = forno
= 149 W
l
1
kS
c) TX = Tforno −
+
hS
l
I cozinha = 101oC
kS
d)
4
4
d1) I rad = efrango S frango σ (Tforno − Tfrango ) = 125 W
d2)
I forno, frango
I emitida forno
11b) Q& reserv =
≡ Fforno, frango =
S frango
S forno
∆T
35
=
= 114,8 W
Rth 5x10 − 3 + 0,2 + 0,1
c) Q& rad = 48,0 W
d) hsala = 4,4 W m-2 K-1
12-
a) λ max = 0,97mm
b)
14-
Ffrango, forno = 0,05
dPrad
= 4,6x10-6 W m-2
dS
a) λ max = 9,4µm
b) Q& rad = ecamp Acamp σ (Tcamp − Tcéu )
4
4
c) Q& rad = 176W
d) Tcamp = 8°C
e) kcobertor = 0,04 W K-1 m-1
15max
a) E γ
=h
c
=h
λ max
TS c
= 4,1x10 −19 J
B
λmax ~ 483 nm - Banda do visível
b) Prad = σTS 4 π RS = 4,5x10
Sol
4
2
c) Pabs = Pinc =
d) Pabs = Prad
Terra
Sol
Prad
26
W
2
πRT2
RT
2 4
=
σ
π RS TS
2
4πd
d
⇒ TT =
1 RS 2
TS = 290 K
2 d
e)
1
3
3
3 3 c S
U = TS =
S
4
4 4 4σ V
1 TS 4 σ 4
∂U
p = −
=
T = 0,33 Pa
=
3c
∂V S 4 V
16a)
∞
∫
a1) U = V Wλ dλ =
0
a2) (dS )V =
(dU )V
T
a3.2) p =
4σ 4
VT
c
=4
4σ 4
T
3c
4σ 2
4 4σ 3
VT dT ⇒ S =
VT
c
3 c
b)
b1) RT = const
b2)
17-
Ractual 3000
=
= 10 3
R700000
3
a) p = pgp + pfot = 1,38x106 + 2,51x10-4 ~ 1,38x106 Pa
b) cV ~ (cV)gp = 2,07 J K-1 ; Teq ~ 8,8x105 K
20 a) λ max = 9,7µm
b) U / V = 6,12x10-6 J m-3
c)
A ji
B jiWν
= exp(hc / λ max k BT ) − 1 = 143
⇒ Emissão espontânea é mecanismo dominante
21 a)
a1) T ( x ) = 300 − 20 x
(SI)
a2) k = 200 W m-1K-1
b)
b1) m = (ω 2Dth )
1/ 2
b2.1) Dth ~ 3,5x10-7 m2 s-1
b2.2) x1 ~ 6m
PARTE - VII
INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA
1- Considere o modelo de Bohr do átomo de hidrogénio.
a) Calcule, para o nível fundamental do átomo, o raio orbital (raio de Bohr,
a0) e a energia associada a esse nível.
b) Calcule o comprimento de onda mais curto da radiação emitida /
absorvida por um átomo de hidrogénio.
Indique em que banda (IV, visível, UV, RX) se situa essa radiação.
c) Considere a transição electrónica genérica ni = n → nf = n – 1. Escreva,
no limite n >> 1, a expressão da frequência dos fotões emitidos nessa
transição.
Compare a expressão obtida com a da frequência (clássica) de rotação
do electrão em torno do núcleo, numa órbita de raio rn.
2- O modelo semi-clássico de Bohr aplica-se aos chamados átomos
hidrogenóides, nos quais se inclui o ião hélio simplesmente ionizado (He+).
Considere um ião He+ (número atómico Z = 2), com um electrão a orbitar
em torno do núcleo.
a) Calcule a energia do nível fundamental do ião He+.
b) Excita-se um ião He+ no nível fundamental, fazendo incidir sobre ele um
feixe de fotões de energia 48 eV. Calcule as frequências dos fotões
emitidos nas transições de desexcitação do ião e esquematize essas
transições num diagrama de níveis de energia.
c) Considere um feixe de fotões com frequência 2,5x1015 Hz, resultante da
desexcitação do ião He+. Faz-se incidir esse feixe num metal cuja função
trabalho é W 0 = 5x10-19 J, sendo os electrões arrancados por efeito
fotoeléctrico postos a circular num circuito eléctrico. Calcule a diferença
de potencial que é necessário aplicar ao circuito para anular a corrente
eléctrónica.
En (hidrogénio ) = −
13,5
n
2
(eV )
(n = 1,2,3,...)
3- Quando fotões de frequência 7x1014 Hz incidem numa superfície metálica,
provocam a emissão de electrões cuja velocidade máxima pode atingir
6x105 m s-1.
a) Calcule a energia dos fotões incidentes.
b) Calcule a tensão de paragem dos electrões emitidos, nas condições do
enunciado.
c) Calcule o valor mínimo da frequência da radiação que, ao incidir neste
metal, ainda conduz à emissão de electrões.
4- Numa célula fotoeléctrica que funciona com Césio, a energia mínima
necessária para arrancar um electrão ao metal é 2,9x10-19 J (função de
trabalho) . A área da célula é 1 cm2.
a) Qual é o valor mínimo da frequência da radiação com que se deve
iluminar o Césio para que se produza uma corrente eléctrica?
b) Suponha que dispõe de uma lâmpada incandescente cujo máximo da
energia emitida corresponde à frequência de extracção de um electrão.
Qual é a temperatura do filamento?
c) O filamento tem uma área total de 5 mm2 e emite isotropicamente como
um ponto negro. Calcule a potência emitida pela lâmpada que incide na
célula em função da distância à lâmpada.
d) Admita que apenas 3% da radiação total que atinge o detector é que
contribui para a extracção dos electrões, sendo a restante energia
perdida ou transformada em energia cinética dos electrões extraídos. Se
a corrente mínima que deve alimentar o circuito for Imin = 10 mA, qual a
distância máxima a que a lâmpada se pode encontrar do detector?
5- Numa experiência de efeito de Compton, os raios X incidentes têm uma
energia de 160,0x10-16 J.
a) Calcule a frequência dos fotões X.
b) Um electrão, inicialmente em repouso, adquiriu uma energia cinética de
6,4x10-16 J ao chocar com um fotão, que é desviado da sua trajectória
inicial. Calcule a frequência do fotão desviado.
c) Calcule, nas condições da alínea anterior, o ângulo de desvio do fotão.
6- Considere uma célula fotoeléctrica de Cádmio, com área de 1 cm2. A
função trabalho do Cádmio é igual a 4,1 eV.
Considere também uma lâmpada de UV, cujo espectro de emissão tem
uma intensidade máxima para fotões de 5 eV. Admita que a lâmpada emite
isotropicamente (e como um corpo negro) a partir duma região com 5 mm2
de área.
a) Calcule o valor mínimo da frequência da radiação que provoca efeito
fotoeléctrico na célula de Cádmio.
b) Calcule a temperatura de equilíbrio TUV da lâmpada UV.
c) Os fotões-UV de 5 eV emitidos pela lâmpada incidem na célula de
Cádmio.
c1) Calcule a energia cinética máxima Tmax dos fotoelectrões extraídos à
célula.
c2) Calcule, em função da distância lâmpada-célula, a potência emitida
pela lâmpada que incide na célula.
d) Considere agora uma colisão de Compton entre um fotão e um electrão
livre em repouso. Determine a frequência do fotão incidente que permite
obter um electrão emergente, segundo um ângulo de 60o, com uma
energia cinética igual a Tmax.
7- Considere N = 1023 átomos de hidrogénio em equilíbrio térmico à
temperatura T, os quais se distribuem, segundo uma estatística de
Maxwell-Boltzmann, pelos diferentes níveis de energia do modelo de Bohr
En = E1 / n 2 (n = 1, 2, ..., ∞)
E1 = −2.18 × 10 −18 J
a) Escreva a fórmula geral da ocupação média de cada nível de energia
deste sistema.
b) Escreva o valor da energia interna do sistema, no limite de muito baixas
temperaturas.
[Sugestão: utilize apenas argumentos físicos.]
c) Considere um feixe de fotões, resultante da transição radiativa entre o
nível de ionização do átomo de hidrogénio e o seu nível fundamental de
energia.
c1) Calcule a frequência ν dos fotões do feixe.
c2) Faz-se incidir o feixe de fotões num metal cuja função trabalho é W0
= 5x10-19 J, produzindo-se uma corrente de foto-electrões num circuito
eléctrico. Calcule o valor mínimo da diferença de potencial que é
necessário aplicar ao circuito, para anular essa corrente.
8- O carácter corpuscular da radiação electromagnética revelou-se na
transição entre os séculos XIX e XX.
a) Considere o “tubo de néon” dum anúncio luminoso.
O gás no interior do tubo emite fotões na banda do visível, com
comprimentos de onda no amarelo (585,25 nm), vermelho (640,23 nm) e
verde (540,25 nm). Calcule a frequência e a energia dos fotões mais
energéticos, emitidos por este gás no visível.
b) Considere a emissão de electrões devida ao efeito fotoeléctrico.
Quando fotões de frequência 7x1014 Hz incidem numa superfície
metálica, provocam a emissão de electrões cuja velocidade máxima
pode atingir 6x105 m s-1. Calcule o valor mínimo da frequência da
radiação que, ao incidir neste metal, ainda conduz à emissão de
fotoelelectrões.
[Nota: use expressões não relativistas para o electrão.]
c) Os níveis de energia do átomo de Bohr obedecem à lei
com E0 = 13,6 eV.
E
En = − 0
n2
(n = 1,2,3,...)
Considere o fotão emitido por um átomo de hidrogénio (em repouso),
quando este realiza uma transição entre os níveis n = 4 e n = 1. Calcule
o comprimento de onda do fotão e a velocidade de recuo do átomo, após
a transição.
[Nota: use expressões não relativistas para o átomo.]
d) O problema da radiação do corpo negro foi um dos grandes desafios
que a Física teve de enfrentar, na viragem do século passado.
Considere as leis de Rayleigh-Jeans
Wλ (λ) =
e de Planck
Wλ (λ) =
8π
λ4
k BT
8π
hc λ
λ4 exp( hc λk BT ) − 1
,
para a densidade espectral de energia dum corpo negro.
d1) Esboce graficamente estas leis, para uma dada temperatura T.
d2) Apresente as principais diferenças qualitativas entre os modelos
físicos que afirmam que a energia média dum oscilador é dada por
ε = k BT
ou por
ε=
hc λ
exp( hc λk BT ) − 1
.
Indique, justificando, em que limite de temperatura estas duas
expressões são equivalentes.
9- O patinho quântico Fuzzy brinca num tanque com L = 1 m de lado, num
mundo em que h = 2π J s. O Fuzzy tem 2 kg de massa.
a) Qual é a incerteza mínima na sua velocidade?
b) Assumindo que esta incerteza se mantém por um período longo,
determine a incerteza na sua posição após 5s.
10- Uma fonte de luz é utilizada para determinar a posição dum electrão num
átomo, com a precisão de 0,05 nm. Qual é a incerteza mínima na medida
da velocidade desse electrão?
11- Uma partícula de massa m move-se num poço de potencial com
comprimento 2L. A energia potencial é infinita fora do poço (x < −L e x > L),
e dentro deste é dada por:
2 2
U ( x) =
−h x
(
mL2 L2 − x 2
)
A partícula encontra-se num estado estacionário, descrito pela função de
onda ψ(x) = A(1 − x2/L2) dentro do poço e ψ(x) = 0 fora dele.
a) Calcule, a energia da partícula em função de h, m e L.
b) Mostre que A = (15/16L)1/2.
c) Determine a probabilidade da partícula se encontrar entre −L/3 e L/3.
12- Numa região do espaço, uma partícula com energia nula tem uma função
− x 2 / L2
de onda dada por ψ ( x ) = Axe
.
a) Determine a energia potencial U(x) da partícula.
b) Faça um esboço gráfico de U(x).
13- Um electrão com uma energia total de 4,50 eV encontra uma barreira de
potencial com uma energia de 5,00 eV e uma altura de 950 pm.
Calcule a probabilidade (dada pelo coeficiente de transmissão) do electrão
atravessar esta barreira de potencial.
14- A energia total de uma partícula, que oscila com um movimento harmónico
ao longo do eixo dos xx, é dada por
p x2 kx 2
E ( x, p ) =
+
2m
2
onde px é o momento da partícula e k a constante da mola que representa
o movimento oscilatório.
p x2 kh 2
a) Utilize o princípio de incerteza para mostrar que E ≥
+
.
2m 8 p x2
b) Mostre que a energia mínima do oscilador harmónico é dada por
Emin =
hω
k
com ω =
.
2
m
15- Considere uma partícula que obedece à função de onda de um oscilador
harmónico no estado fundamental
onde ω0 é a frequência angular de oscilação do sistema.
a) Calcule a constante de normalização A.
b) Calcule o valor médio da posição x e do momento linear p da partícula.
c) Obtenha a expressão dos desvios padrão em posição (∆x) e em
momento (∆p) da partícula. Recorde que
d) Verifique o Princípio de incerteza de Heisenberg.
16- Considere uma partícula livre, cuja função de onda é
a) Verifique que esta função de onda é solução da equação de Schrödinger
para a partícula.
b) Escreva a condição de normalização para a função de onda.
Conseguirá, a partir desta condição, determinar o valor da constante A?
c) Calcule o valor médio do momento linear p e o respectivo desvio padrão
∆p.
d) Utilize o Princípio de incerteza de Heisenberg para calcular o desvio
padrão ∆x.
e) Interprete o resultado de b) a partir dos resultados das alíneas c) e d).
17- Considere uma partícula de massa m que se encontra confinada num fosso
de potencial infinito de largura L. Sabe-se que as funções de onda da
partícula para 0 < x < L têm a forma
ψ n ( x) = 2 L sin(nπx / L) (n = 1,2,3,...)
a) Mostre que ψ n (x) é solução da equação de Schrödinger e obtenha a
expressão dos valores quantificados da energia da partícula.
2 2 2
En =
n π h
2
(n = 1,2,...)
2mL
b) Calcule a incerteza ∆x na posição da partícula, definida pelo desvio
quadrático médio
2
2
2
(∆x) = x − x
c) Calcule a incerteza ∆p no momento linear da partícula, definida pelo
desvio quadrático médio
2
2
2
(∆p) = p − p
d) Interprete fisicamente o que sucede a ∆x e ∆p nos limites L→ 0 e L→ ∞.
18- O modelo de Einstein (1907) permite obter uma expressão para o calor
específico da rede cristalina de um sólido.
O modelo supõe que cada um dos N átomos da rede cristalina se encontra
ligado a três osciladores harmónicos independentes (um por cada grau de
liberdade), os quais oscilam a uma mesma frequência ν0 e seguem uma
estatística de Maxwell-Boltzmann.
a) Calcule a frequência da radiação que deve incidir na rede cristalina para
que os seus osciladores passem do estado fundamental (n=0) para o
primeiro estado excitado (n=1).
b) Considere um oscilador no seu estado fundamental. Calcule os valores
médios da sua energia cinética e da sua energia potencial.
(Sugestão: utilize os resultados do problema 15)
c) Mostre que a energia interna do sistema de 3N osciladores é dada pela
expressão
d) Obtenha as expressões assimptóticas de U nos limites de muito baixas e
muito altas temperaturas.
Calcule, nesses limites, o calor específico molar a volume constante da
rede cristalina. Interprete os resultados obtidos.
19- As técnicas actuais de fabrico de componentes electrónicos por
sobreposição de filmes finos permitem obter poços de potencial,
justapondo camadas de semicondutores com a mesma estrutura cristalina
mas propriedades eléctricas diferentes. Um electrão aí confinado tem o
comportamento quântico de uma "partícula na caixa", descrevendo-se a
interacção atractiva dos electrões com a estrutura cristalina através da
introdução duma massa efectiva meff para o electrão.
A possibilidade de fabricar poços com níveis de energia diferentes, e que
portanto absorvem a radiação de comprimentos de onda diferentes, levou à
utilização destes sistemas ("átomos artificiais") como sensores.
Neste problema, suponha que a altura do poço é muito grande comparada
com a largura, de modo a podermos considerá-lo um poço com paredes
infinitas descrito pelo potencial
0 x < 0; x > a; 0 < x < a
U ( x) =
∞ x = 0; x = a
com a = 50x10-10 m. Considere meff = 4x10-31 kg.
a) Resolva a equação de Schrödinger para este sistema, e mostre que a
expressão quantificada da sua energia é
En =
h2n2
8meff a 2
b) Acerca dos desvios padrão ∆x e ∆p para o electrão...
b1) Calcule o desvio padrão ∆p do momento linear do electrão no
nível fundamental. Interprete intuitivamente o resultado obtido.
b2) Verifique o Princípio de Incerteza de Heisenberg, sabendo que o
desvio padrão na posição do electrão (no nível fundamental) é
c) Calcule a energia que o electrão tem de absorver para passar do nível
fundamental para o primeiro nível excitado.
d) Admita que se coloca o sistema em contacto com uma fonte térmica. A
partir de que temperatura TX será de esperar que uma fracção
significativa de electrões possa transitar espontaneamente do nível
fundamental para o primeiro nível excitado? Discuta a fiabilidade do
funcionamento do sensor em função da temperatura do sistema.
e) Calcule a energia média por partícula do gás de electrões, para
temperaturas T >> TX.
20- A molécula de monóxido de azoto (NO) tem uma frequência própria de
vibração de 5,7x1013 Hz e um comprimento de ligação (distância média
entre os átomos N e O) de 110x10-12 m. A massa atómica do azoto é 14
u.m.a. e a do oxigénio 16 u.m.a. .
a) Os movimentos de vibração dos átomos nas moléculas diatómicas
podem ser descritos, no referencial do centro de massa da molécula,
através da oscilação duma partícula de massa µ igual à massa reduzida
da molécula.
a1) Calcule a constante da força de interacção entre os dois átomos da
molécula de NO.
a2) Calcule a energia absorvida pela molécula de NO quando transita do
seu estado fundamental (n=0) para o primeiro nível excitado de vibração
(n=1).
x 2 das oscilações da
a3) Calcule a amplitude quadrática média
partícula de massa µ no seu estado fundamental. Compare o valor
obtido com o comprimento de ligação da molécula de NO.
a4) Calcule o momento linear quadrático médio
p 2 associado às
oscilações da partícula de massa µ no seu estado fundamental.
a5) Calcule a temperatura característica de vibração Tv, a partir da qual
existirá uma fracção significativa de moléculas que pode efectuar
transições entre níveis de vibração.
b) Os movimentos de rotação das moléculas diatómicas podem ser
descritos utilizando a expressão da energia cinética clássica de rotação
em torno dum eixo que passa pelo centro de massa do sistema.
b1) Calcule o momento de inércia da molécula de NO.
b2) Escreva a expressão da energia cinética de rotação da molécula de
NO, em função do seu momento angular.
b3) Calcule os valores possíveis da energia cinética de rotação da
molécula de NO, sabendo que o quadrado do momento angular só pode
tomar os seguintes valores discretos
b4) Calcule a energia absorvida pela molécula de NO quando transita do
seu estado fundamental (l=0) para o primeiro nível excitado de rotação
(l=1).
b5) Calcule a temperatura característica de rotação TR, a partir da qual
existirá uma fracção significativa de moléculas que pode transitar entre
os dois primeiros níveis de rotação.
21- Considere um gás ideal, composto por N moléculas (N >> 1) com massa
m, em equilíbrio térmico à temperatura T. Para este gás, o estudo de cada
grau de liberdade translacional pode partir do problema quântico da
partícula numa “caixa” (fosso de potencial infinito).
a) As funções de onda, para os diferentes estados possíveis de translação
duma molécula num fosso de largura L, têm a forma
ψ n ( x) = 2 L sin(nπx / L) , com 0 ≤ x ≤ L e n = 1 ,2 ,3, ... .
a1) Mostre que a expressão dos valores quantificados da energia de
2 2
2
translação duma molécula é E n = n h / 8mL .
a2) Calcule, para o estado fundamental, a incerteza no momento
p 2 − p 2 . Obtenha, para esse estado, o valor mínimo da
incerteza na posição, ∆x .
linear, ∆p =
b) Considere monóxido de azoto (massa molecular M = 30 u.m.a.) num
fosso com L = 7 m. Estime a sua temperatura característica de
translação Ttran, a partir da qual uma fracção significativa de moléculas
deste gás pode transitar entre os dois primeiros níveis de energia
translacional. Comente e relacione com o que sabe sobre a contribuição
dos graus de liberdade de translação para os calores específicos dos
gases.
c) Suponha agora que a distribuição das N moléculas pelos diferentes
níveis de energia translacional segue uma estatística de MaxwellBoltzmann.
c1) Escreva, em função de T, a expressão da energia interna do sistema
U(T).
c2) A partir de argumentos físicos, indique quais os valores que U(T)
deve assumir nos limites T → 0 e T → ∞.
22- Considere um oscilador harmónico quântico de massa m, constante de
força k e frequência própria de oscilação ω 0 =
2
potencial é dada por E p ( x) = 1 2 kx .
k m , cuja energia
a) Escreva a expressão dos valores quantificados da energia En do
sistema.
2
b) Mostre que ψ 0 ( x ) = A exp(− mω 0 x / 2h ) é solução da equação de
Schrödinger para o estado fundamental, de energia E0, deste oscilador.
c) Mostre que se tem ∆x∆p = ( n + 1 )h para o produto das incertezas na
2
posição e no momento dum oscilador, no nível de energia En.
2
2
2
2
2
2
Recorde-se que ( ∆x ) = x − x e ( ∆p ) = p − p .
[Sugestão: recorde que, num oscilador harmónico quântico, se verifica
x = p = 0 e E p = E k n = E n 2 , onde E k representa a energia
n
cinética do sistema.]
DADOS E CONSTANTES
σ = 5,667x10-8 W m-2 K-4
B = 2,898x10-3 m K
kB = 1,38x10-23 J K-1
R = 8,314 J K-1 mol-1
NA = 6,02x1023 mole-1
h = 6,626x10-34 J s
c = 3x108 ms-1
e = 1,60x10-19 C
me = 9,11x10-31 Kg
1/(4πε0) = 9x109 N C-2 m2
L
∫0 sin
L
2
∫0 x sin
(nπx / L) dx = L / 2
2
(nπx / L) dx = L2 / 4
L
∫0 sin( nπx / L) cos(nπx / L) dx = 0
L 2
∫0 x
sin 2 (nπx / L) dx = L3[1 / 6 − 1 /( 2nπ) 2 ]
Soluções de questões seleccionadas
3a) E γ = 4,6 x 10-19 J
2
me vmax
b) ∆Vstop =
= 1,0 V
2e
c) Emin = E γ − e∆Vstop ⇒ ν min = 4,5 x 1014 Hz
6-
WCd
= 9,9x1014 Hz
h
B
B
b) TUV =
=
= 11663 K
λ max hc I max
a) ν 0 =
c)
c1) Tmax = I max − WCd = 0,9 eV
c2)
Pinc, cel = Prad, lamp Flamp,cel = elampσTUV 4 S lamp
=
4,2 x10 − 2
d
2
S cel
4πd 2
=
(W)
d)
p’γ
pγ
θ
ϕ = 600
p’e
( p γ − p ' γ )c = T ' ≡ Tmax
p γ = p ' γ cos θ + p 'e cos ϕ
0 = p ' γ sin θ − p 'e sin ϕ
∆λ ≡ λ'−λ = λ (1 − cos θ)
c
T ' 2 T'
hc λ + hc λ − 1∆λ = 0
T'
(tan θ cot ϕ + 1) cos θ = 1 + λ '
hc
sin θ
p 'e = p ' γ
sin ϕ
∆λ = λ c (1 − cos θ)
T ' 2
hc λ − ∆λ ≈ 0
(tan θ cot ϕ + 1) cos θ ≈ 1
− − − − − −
∆λ = λ c (1 − cos θ)
;
λ = 1,3x10 −9 m
⇒
0
θ ≈ ϕ = 60
−12
m
∆λ = 1,2 x10
7-
T'
T'
λ ' ≈ λ << 1
hc
hc
ν = 2,3x1017 Hz
N exp(−β En )
a) N n =
∞
com
∑ exp(−βE )
β≡
E
1
; En = 21
k BT
n
n
n =1
b) No limite de muito baixas temperaturas, as partículas encontram-se
todas no nível mais baixo de energia, pelo que:
U = NE1 = − 2,18 x 105 J
c)
E∞ − E1
= 3,3 x 1015 s-1
h
− E1 − W0
c2) ∆Vmin =
= 10,5 V
e
c1) ν =
17 a) En =
n 2 π2h 2
2mL2
(n = 1,2,...)
b)
x=
L
2
1
1
x 2 = 2 L2 −
2
6
(
2
n
π
)
1/ 2
1
2
(∆x) = L −
12 (2nπ) 2
c)
p2 =
p=0
(∆p ) =
n 2 π 2h 2
L2
nπh
L
d) Descrição partícula: L → 0 ( ∆x ) → 0 ; ( ∆p ) → ∞
(localização total no espaço das posições ; deslocalização total no
espaço dos momentos)
Descrição onda plana: L → ∞ ( ∆x ) → ∞ ; ( ∆p ) → 0
(deslocalização total no espaço das posições ; localização total no
espaço dos momentos)
21 a)
a1) Substituir ψ n (x ) na equação de Schrödinger para partícula livre
num fosso de potencial infinito.
a2) p = 0 ; p
2
= (nπ h L) 2 ; ∆x∆p ≥ h / 2 ⇒ ∆x MIN = L /( 2 π)
b) Ttran = ∆E12 / kB = 7,5x10-21 K
O descongelamento dos graus de liberdade de translação ocorre a
qualquer temperatura T > Ttran ~ 0 K.
A contribuição dos graus de liberdade de translação para os calores
específicos (molares) verifica sempre o Princípio de Equipartição da
Energia, CV = 3/2 R.
c)
c1)
∞
∑ En exp(− En / k BT )
n =1
U (T ) = ∞
∑ exp(− En / k BT )
n =1
n2h2
En =
8mL2
c2)
lim U (T ) = N E1 =
N h2
T →0
8mL2
Todas as partículas no nível fundamental de energia i=1
1
lim U (T ) = N k B T
2
T →∞
Princípio de equipartição da energia 1 dimensão (∆E << kBT)
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