Universidade Tecnológica Federal do Paraná
UTFPR — Campus Pato Branco
Lista 08 - Integral Definida e Cálculo de Volumes e Comprimento
de Arcos
1. Represente graficamente e calcule o volume V do sólido obtido pela rotação do gráfico de
f (x), a ≤ x ≤ b, em torno do eixo x, em cada caso.
(a) f (x) =
√
x (0 ≤ x ≤ 1)
(b) f (x) = 3x (0 ≤ x ≤ 2)
√
(c) f (x) = 4 − x2 (0 ≤ x ≤ 2)
2. Represente geometricamente e calcule o volume do cone obtido pela rotação do gráfico de
y = 3x em torno do eixo x, no intervalo (0 ≤ x ≤ 2).
3. Represente
graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de
√
2
y = 4 − x em torno do eixo x, no intervalo (0 ≤ x ≤ 2).
4. Represente geometricamente e calcule o volume do tronco de cone obtido pela rotação do
gráfico de f (x) = x + 7 (0 ≤ x ≤ 3) em torno do eixo x.
5. Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de
f (x) = x2 em torno do eixo x, entre x = 0 e x = 3.
6. Represente
√ graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de
f (x) = 9 − x2 em torno do eixo x, x ∈ [−3; 3]. Faça uma figura e interprete o número
resultante.
7. Represente
√ graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de
f (x) = 9 − x2 em torno do eixo x, para x entre 0 e 2. Faça uma figura e interprete o
número resultante.
8. √
Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico f (x) =
16 − 4x2 , x ∈ [−2; 2] em torno do eixo x. Faça uma figura.
9. Represente graficamente e calcule o volume da esfera de raio 1.
10. Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio
r.
(Sugestão nas respostas)
11. Represente graficamente e calcule, √
utilizando integral definida, o volume do sólido obtido
pela rotação do gráfico de f (x) = x (0 ≤ x ≤ 1) em torno do eixo x.
12. Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume de um cone
circular reto com raio da base r = 3 e altura h = 5.
13. Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio
R = 5.
14. Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y = x2 + 1 no intervalo [0; 2].
√
15. Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y = x no intervalo [0; 4].
1
16. Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y =
2√ 3
x no intervalo [0; 1].
3
17. hCalcule
o comprimento de arco da curva dada pela função y = ln(cos x) no intervalo
πi
o, .
3
2
18. Se f (x) = 3x 3 + 10, determine o comprimento do arco do gráfico de f do ponto A(8; 2)
a B(27; 17).
19. Determine o perı́metro da elipse:
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
2
2
2
20. (Rivera, 2007, pág. 416) Calcule o comprimento da curva dada por x 3 + t 3 = a 3 , no
intervalo [0; a].
Respostas!!
π
2
(b) V = 24π
16π
(c) V =
3
1. (a) V =
2. 24π
16π
3.
3
4. 219π
5.
243π
5
6. 36π
7.
46π
3
9.
8.
128π
3
10.
4π
3
4πr3
3
Sugestão: A equação reduzida de uma circunferência é dada por: (x−xc )2 +(y−yc )2 = r2 ,
onde (xc , yc ) representa o centro da circunferência e r o raio da mesma. Considere um
cı́rculo com centro na origem (0; 0) e raio r qualquer.
11.
π
2
12. 15π
2
13.
500π
3
14. ∼
= 4, 6468 unidades de comprimento.
Z 2p
1 + 4y 2 dy = 4, 646783762
15. Comprimento =
0
Z
16. Comprimento =
1
√
1 + xdy = 1, 218951415
0
17. ∼
= 1, 3170
13
3
18. 13 2 − 8 2 =∼
= 24, 2447 unidades de comprimento.
Z bp
x2 y 2
b√
19. 2 + 2 = 1 ⇒ y =
?eC=
1 + [y 0 ]2 dy
a
b
a
a
20. a
Lista elaborada pelo Professor Dr. José Donizetti de Lima
Digitação: Larissa h. Vieira
Configurações: Professora Ms. Marieli Musial Tumelero
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