Dicas de Matemática 01. Considere os polinômios p(x) = x4  13x3 + 30x2 + 4x  40 e q(x) = x2  9x  10. Calcule a) s(x) = p(x)/q(x). b) Resolva a inequação p(x) < 0. 2
Resp.: a) S(x) x – 4x + 4; b) {x/ ‐1<x<10 e x2} 02. Uma ducha é fixada diretamente na parede de um banheiro. O direcionamento do jato d´água é feito modificando o ângulo entre a ducha e a parede. Considerando que essa ducha produz um jato d´água retilíneo, uma pessoa em pé, diante da ducha, recebe‐o na sua cabeça quando o ângulo entre a ducha e a parede é de 60º. Modificando o ângulo para 44º e mantendo a pessoa na mesma posição, o jato atinge‐a 0,70 m abaixo da posição anterior. Nessas condições, determine a distância dessa pessoa à parede, na qual está instalada a ducha. Dados: tg44º = 0,96 e tg60º = 1,73 Resposta: x = 1,5097 m 03. Um campeonato de futebol é organizado com 24 clubes, previamente definidos, divididos em seis grupos ou chaves (A, B, C, D, E, F). Cada grupo tem um cabeça‐de chave, que é um dos seis primeiros colocados no campeonato anterior, enquanto os demais integrantes são escolhidos por sorteio, de modo que, primeiro, monta‐se o grupo A (que tem como cabeça‐de‐chave o primeiro colocado no campeonato anterior), depois o grupo B (que tem o segundo colocado como cabeça‐de‐chave) e assim por diante. a) Uma vez montados os grupos A e B, de quantas maneiras diferentes o grupo C poderá ser montado? b) Antes de iniciar o sorteio, qual a probabilidade de um clube X, que não é cabeça‐de‐chave, ficar no grupo B? 04. Dadas as circunferências de equações x² + y² ‐ 4y = 0 e x² + y² ‐ 4x – 2y + 4 = 0, em sistema de coordenadas cartesiana, a) Esboce os seus gráficos b) Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências. Respostas: a) gráfico; b) (4, 0) 05. Seja x a quantidade de produtos fabricados por uma empresa. A parábola L e a reta C, conforme figura abaixo, são os gráficos das funções L(x) , que representa o lucro total da empresa, e C(x) , que representa o custo de produção e comercialização do produto. Se o lucro líquido é o lucro total menos o custo de produção e comercialização, a)
b)
calcule o intervalo de variação da produção em que a empresa terá lucro; esboce o gráfico do lucro líquido. 07. A figura a seguir mostra uma circunferência de raio r = 3cm, inscrita num triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 18 cm. A B C a) Calcule o comprimento da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. b) Calcule o perímetro do triângulo ABC. Respostas: a) 18  cm; b) 42 cm 08. Ao observar problemas de transmissão de dados via linha telefônica, o matemático Benoit Mandelbrot associou a distribuição dos erros de transmissão com o conjunto de Cantor. Para construir o conjunto de Cantor, a partir de o
um segmento de reta de comprimento m, utiliza‐se o seguinte processo: No 1 passo, divide‐se o segmento em tre o
o
partes iguais retira‐se a parte central; no 2 passo, cada segmento restante do 1 passo é dividido em três partes iguais, retirando‐se a parte central de cada um deles; e assim sucessivamente, como mostra a figura a seguir. Repetindo‐se esse processo indefinidamente, obtém‐se o conjunto de Cantor. Com base nesse processo, calcule a soma dos tamanhos de todos os segmentos restantes no 20o passo. Comprimento m 1o passo 2o passo 3o passo 


m
0
2
2 3

Resposta: 

09. Dois automóveis, a uma distância inicial X um do outro, deslocam‐se, um em direção ao outro, como velocidades médias constantes de 25 m/s e 20 m/s, respectivamente. Calcule: a) o décimo termo da sequência dada pela distância entre os dois automóveis a cada segundo, admitindo que o primeiro termo dessa sequência seja X = 800 m; b) o valor de X, sabendo que os dois automóveis deverão encontrar‐se após 30 segundos. Resposta: a) a10 = 395 m b) 1350 m 10. O eucalipto é muito usado para a produção de papéis e celulose por causa da qualidade da matéria‐prima e seu curto ciclo de vida. Um produtor de eucalipto possui uma plantação de determinada espécie adequada ao clima e ‐kt
ao tipo de solo de sua região. Essa espécie tem seu crescimento modelado pela função h(t) = 50.(1 – 10 ). Onde h é a altura (em metros) em função do tempo t (em anos) e k é uma constante. Sabe‐se que esse eucalipto alcança a altura de 10 m em 2 anos e que o produtor realizará o corte quando as árvores tiverem 8 anos. Com base nestas informações, calcule o valor da constante k e a altura que os eucaliptos terão, em metros, quando o produtor for realizar o corte. Resposta: O valor de k é 1  3.log 2
2
e a altura é 24,4 m. 11. (UFG‐2009) A figura a seguir representa uma região, na forma de um trapézio isósceles, de base menor SR medindo b e base maior PQ medindo 100 m, cujo perímetro total é 250 m. S b R a h a  P Q De acordo com estes dados, calcule: a) as medidas de a e b, considerando  = 60º. b) a área A, da região delimitada pelo trapézio PQRS, em função de a. Resposta: a) Os valores procurados são a = 50 m e b = 50 m. b) A área é igual a 5.(125  a). 2a  25
m2 . 12. Considere o polinômio p(x) = ax2 + bx + 1, onde a e b são números reais. Calcule os valores de a e b, sabendo que o número complexo 2 + i é uma raiz de p(x). Resposta: Os valores procurados são a = 1/5 e b = ‐4/5. 13. O senhor João tomou uma certa quantia em dinheiro emprestado de um amigo e vai pagar, em cada mês, sem acréscimo de juros, 10% da dívida do mês anterior (saldo devedor). Calcule a quantidade mínima de meses, a partir do primeiro pagamento, que serão necessários para que o senhor João tenha pago mais da metade da dívida. Dado: log20,9 = ‐0,15 14. Considere a gasolina comum, usada no abastecimento dos veículos automotores, contendo 25% de álcool e 75% de gasolina pura. Mara encher um tanque vazio, com capacidade de 45 litros, quantos litros de álcool e de gasolina comum devem ser colocados, de modo a obter‐se uma mistura homogênea composta de 50% de gasolina pura e de 50% de álcool? Resposta: 15 litros, 30 litros Comentários: A prova de Matemática do Grupo 1 apresenta questões de bom nível com a valorização do raciocínio e da lógica. Os conhecimentos específicos são inevitáveis em questões de Geometria Analítica, Plana e Álgebra. E o que é bom: não valoriza “decoreba”. Boa prova!