LISTA 4 – Geometria Analítica Professor Eudes Fileti PARTE A ‐ ELIPSE 1) Deduzir a equação da elipse a partir da definição. 2) Obtenha uma equação da elipse cujos focos ( e Esboce o gráfico em cada caso. a) 3,0 e 3,0 ; 5,0 e 5,0 b) √5, 0 e √5, 0 ; 3,0 e ) e vértices ( e ) são dados abaixo. 3,0 c) √21, 0 ; 5,0 e 5,0 √21, 0 e d) 0,4 e 0,4 ; 0,5 e 0, 5 e) 0,3 e 0, 3 ; 0,5 e 0, 5 3) Use a definição de elipse e obtenha uma equação para a elipse para a qual os focos ( e ) e a soma das distâncias que separam um ponto da elipse aos focos são dados. 8 a) 2, 4 e 2, 4 ; 6 b) 3, 2 e 3, 2 ; c) 6, 1 e 6, 1 ; d) 2, 4 e 4 2, 4 ; 12 4) Em cada um dos casos abaixo achar as coordenadas dos vértices e focos, os comprimentos dos eixos maior e menor e a excentricidade. Esboce o gráfico. 4 36 b) 9 36 a) 9 4 c) 16 25 200 d) 3 6 √ Resp: a) 0, 3 ; 0, √5 ; b) 3, 0 ; √5, 0 ; √ c) 5, 0 ; 3, 0 ; ; 2 ; 2 6 ; 2 4. ; 2 6 ; 2 4 10 ; 2 5) Achar a equação da elipse cujos focos são os pontos 8 2, 0 e sua excentricidade é 2, 0 e 1 . Resp.: 6) Achar a equação e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um de seus vértices é o ponto 0, 7 e passa pelo ponto √5, . Resp.: 1 ; √ 7) Uma elipse tem seu centro na origem é seu eixo maior coincide com o eixo dos . Achar sua equação sabendo que passa pelos pontos √6, 1 e 2, √2 . Resp.: 8) Achar a equação da elipse que passa pelo ponto √ 1 , 3 , tem seu centro na origem, seu eixo menor coincide com o eixo dos e seu eixo maior é o dobro de seu eixo menor. Resp.: 1 9) Ache a equação da elipse que tem centro Resp.: 2,4 e é tangente aos eixos coordenados. 1 10) Encontre a equação cartesiana da elipse que tem um de seus vértices em 7 75 ponto 2, 3 . Resp.: 3 5,0 e passa pelo 11) Achar a equação da elipse cujo eixo menor coincide com o eixo 1 com tem centro 1,5 e focos 1, 8 e 1, 8 e a soma das distâncias dos focos a um ponto da elipse é 12. Resp.: 1 12) A Terra se move numa orbita elíptica em torno do Sol com o Sol sobre um dos focos desta elipse. Se a distância que separa a Terra do Sol é de 147000km e sua maior separação é de 150000km aproximadamente, a que distância o Sol está do outro foco? Qual a equação da trajetória da Terra? Qual a excentricidade desta trajetória? 13) Para cada caso abaixo simplificar a equação à forma reduzida da equação da elipse e determinar as coordenadas do centro, vértices, focos, e excentricidade. a) 4 6 16 21 0 1 ; Resp.: b) 4 c) d) 9 9 4 4 32 10 8 , 37 18 40 109 32 0 3, 2 ; , 5, 2 1, 2 ; √ 0 0 PARTE B – HIPÉRBOLE 1) Deduzir a equação da hipérbole a partir da definição. 2) Em cada item abaixo, para a equação da hipérbole, ache as coordenadas dos vértices e focos, a excentricidade. Trace e discuta o gráfico. a) 9 4 36 b) 4 9 36 4 36 c) 9 4 4 d) 16 e) 9 144 2 8 0 f) 1 g) 4 1 h) 3) Obtenha a equação da hipérbole cujos focos e vértices e são dados abaixo. Trace o gráfico da equação obtida. 5,0 , 5,0 , 3,0 , 3,0 a) 5,0 , 5,0 , 4,0 , 4,0 b) c) 0, √7 , 0, √7 , 0, √3 , 0, √3 d) 0, √21 , 0, √21 , 0, √5 , 0, √5 4) O centro de uma hipérbole está na origem e seu eixo transverso está sobre o eixo Y. Se um dos focos é o ponto 0,5 e a excentricidade é igual a 3, ache a equação da hipérbole. 5) Os vértices de uma hipérbole são 0,4 , 0, 4 , e sua excentricidade é igual a . Achar a equação da hipérbole e as coordenadas de seus focos. 6) Uma hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo transverso sobre o eixo X. Achar a equação sabendo que sua excentricidade é √6 e que a curva passa pelo ponto 2,1 . 7) Achar a equação da hipérbole que passa pelos pontos 3, 2 e 7,6 , tem seu centro na origem e seu eixo transverso coincide com o eixo X. 8) Para cada caso abaixo, usando a definição de hipérbole, achar a equação da curva a partir dos dados fornecidos. a) Focos: 7,3 , 1,3 ; longitude do transverso 4. b) Vértices: 3,4 , 3, 2 ; excentricidade 2. 9) No exercício acima através da uma troca de coordenadas, coloque a equação na forma reduzida. 10) Achar e traçar as equações e as assíntotas da hipérbole 4 5 7. 9 12 0 com as assíntotas da hipérbole 11) Achar os pontos de intersecção da reta 2 4 9 11. 12) Achar a equação da hipérbole que passa pelo ponto 3, 1 , seu centro está na origem, seu eixo 3 2 transverso está sobre o eixo X, e uma de suas assíntotas é a 2 0. 13) Achar a equação da hipérbole que passa pelo ponto 2,3 , tem seu centro na origem, seu eixo transverso está sobre o eixo Y, e uma de suas assíntotas é a reta2 0. √7 14) Achar a distância do foco à direita da hipérbole 16 9 144 a qualquer uma de suas assíntotas. 15) Achar a equação da hipérbole que passa pelo ponto 2,3 tem seu centro na origem, seu eixo √7 transverso sobre o eixo Y e uma de suas assíntotas é a reta 2 Resp.: 0. 1 16) Achar a equação da hipérbole, com vértices em 0, 7 e excentricidade 7 343 Resp.: 9 Dada a equação da hipérbole excentricidade. Resp.: Vértices 2,0 ; Focos 4 . 4, achar as coordenadas dos vértices, focos e √5, 0 e excentricidade √ . 17) Achar a equação da hipérbole cujos focos estão nos vértices da elipse: 1 e as diretrizes passam pelos focos desta elipse. Resp.: 1 18) Dada a equação da hipérbole: 1, encontrar as coordenadas do centro, vértice e foco, excentricidade e as equações das diretrizes e assíntotas. Resp.: Vértices 8,0 0,0 ; Focos 16,0 8,0 ; Equações das diretrizes: 16 8 ; Equações das assíntotas: : 2√2 4 0 : 2√2 4 3 3 0 . 19) Achar a equação da hipérbole que passa pelos pontos 3, 2 7,6 , tem seu centro na origem e seu eixo transverso coincide com o eixo X. Resp.: 4 5 16. 20) Em cada um dos itens abaixo determinar, o centro, o vértice, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboce o gráfico de cada hipérbole. 4 18 16 43 0 a) 9 b) 9 4 54 8 113 0 c) 9 36 6 63 0 21) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar elementos e representar graficamente as equações: a) 4 4 24 36 0 b) 8 6 17 0 c) 2 8 15 0 25 90 50 25 d) 9 PARTE C ‐ PARÁBOLA 1) Deduzir a equação da parábola a partir da definição. 2) Obter a equação da parábola com vértice na origem com foco nos pontos dados abaixo. Para cada caso indique a reta diretriz. a) 0, 3 b) 2, 0 c) 1, 0 d) 0, 5 3) Para cada caso, calcule as coordenadas do foco e obtenha uma equação cartesiana da diretriz da parábola com vértice na origem e que passa pelos ponto e . a) 4, 2 4, 2 b) 5, 5 5, 5 c) 2, 4 2, 4 d) 6, 8 6, 8 4) Para cada caso abaixo achar as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz. Esboce o gráfico. a) 12 b) 12 8 0 d) 2 0 c) Resp.: a) 3,0 ; 3 . b) 0,3 ; 3 . c) 2,0 ; 2 5) A forma geral da equação cartesiana de uma parábola com eixo paralelo ao eixo dos y é: 0 com 0. Esta parábola tem concavidade para cima se 0 e concavidade para baixo se 0. Obtenha para cada caso abaixo uma equação nesta forma para a parábola que passa pelos pontos dados , , e . a) 1,1 c) 0, 1 ; 1, 6 ; 1,0 b) 0, 2 ; 1, 1 ; 0, 2 ; 1, 2 ; 1,13 d) 0, 5 ; 1, 2 ; 2,7 e) 0, 3 ; 1, 3 ; 2,1 f) 0, 6 ; 1, 1 ; 2, 14 6) Achar a equação da parábola de vértice na origem e reta diretriz : 5 0. Resp.: 20 7) Uma parábola, cujo vértice esta na origem e cujo eixo coincide com o eixo dos , passa pelo ponto 2,4 . Ache sua equação. Resp.: 8 8) Para cada caso abaixo, aplique a definição de parábola e encontre a equação a partir dos dados. a) Foco 3, 4 ; diretriz 1 0 Resp.: 4 8 24 0 1 0 Resp.: 6 12 33 0 b) Foco 3, 5 ; diretriz c) Vértice 2, 0 ; Foco 0, 0 Resp.: 16 0 8 d) Foco 1, 1 ; diretriz 5 0 Resp.: 2 14 6 21 0 9) Para as equações do exercício anterior, use uma transformação de coordenadas e encontre sua forma reduzida. Resp.: a) 4 0; b) 12 0; c) 8 0; d) 5√2 0 10) Para cada caso encontrar a forma reduzida da equação da parábola. 3 a) 4 48 20 71 0 Resp.: 12 4 b) 9 24 72 16 0 Resp.: 3 8 3 4 7 c) d) 4 48 12 159 e) 11) Dada a equação da parábola 8 2 7 achar o vértice, o eixo, o foco e a diretriz. 8 1 Esboce a curva. Resp.: 1 12) Mostre que a tangente à parábola 4 em qualquer ponto , da curva tem a equação 2 . Sugestão: Escreva a equação cartesiana da reta e substitua na equação da parábola. Em seguida encontre o coeficiente angular da reta tangente levando em está sobre a parábola ou seja 4 . conta que o ponto , 13) A partir do resultado anterior, ache as equações da tangente à cada parábola nos ponto dados. a) 4 0 ; 1, 2 Resp.: 1 0 2 b) 4 2 9 0 ; 6, 3 Resp.: 0 3 0 c) 6 5 11 ; 2, 1 Resp.: 2 4 0 com a reta 14) Determine o comprimento do segmento determinado pela parábola 2 3 0. Resp.: 4√5 PARTE D – EQUAÇÃO GERAL DA CÔNICA 1) Esbocar o gráfico da cônica: , , , , , , , a) b) c) d) e) f) g) 3 16 7 16 7 2 6√2 2√2 2 0 4 3√3 1 0 4 1 0 4 24 9 38 34 71 0 5 2√3 14 2√3 10 2√3 29 108 260 0 6 28 12 28 0 3 8 2√3 0 2) Reduza as equações abaixo a forma mais simples através de uma translação e/ou uma rotação. 7 52 180 0 a) 32 b) 7 6√3 13 16 0 c) 11 5 37 52 0 d) e) f) g) h) 4 8 17 19 4 8√5 16√5 0 8√2 2 8√2 0 6 12 26 11 0 12 8 0 6 11 38 6 29 0 3) Reconheça as cônicas: a) 3 4 2 1 0 30 23 0 6 7 10 b) 4 6 2 2 0 c) 5 3 8 6 7 0 d) 2 4 6 3 e) 4 2 0 2 10 6 25 0 f) 4 4 2 4 1 0 g) 16 16 8 59 0 h) 16