Apostila
De
Matemática
ESFERA
Apostila de Matemática (por Vagner F.)
ESFERA
Consideremos um ponto O e um segmento de medida
r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos
pontos P do espaço, tais que a distancia OP seja menor ou
igual a r.
A esfera também o sólido de
revolução gerado pela rotação de um
semicírculo em torno de um eixo que
contém o diâmetro.
Superfície
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos
pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r.
A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada
pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.
Secção
Toda secção plana de uma esfera é um circulo.
Se o plano secante passa pelo centro da
esfera temos como secção um círculo máximo da
esfera.
Sendo r o raio da esfera, d a distancia do plano
secante ao centro e s o raio da secção, vale a
relação.
s² = r² - d²
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Pólos – equador – paralelo - mediano
Pólos: São as intersecções da superfície
com o eixo.
Equador: É a secção (circunferência)
perpendicular ao eixo, pelo centro da
superfície.
Paralelo: É a secção (circunferência)
perpendicular ao eixo. É “paralela” ao
equador.
Meridiano: É a secção (circunferência) cujo
plano passa pelo eixo.
Área da esfera
A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a:
A = 4π r 2
Volume da esfera
O volume da superfície de uma esfera de raio r é igual a:
4πr 3
V =
3
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Fuso da esférico
É a intersecção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor
diedral) cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica.
O ângulo α, medida do diedro, medido na secção equatorial, é
quem caracteriza o fuso.
Área do fuso
Sendo α a medida do diedro, temos:
Com α em graus
360° -------------- 4.π.r²
α° ------------- Afuso
A fuso =
πr 2α
90
Com α em radianos
2π -------------- 4.π.r²
α° ------------ Afuso
A fuso = 2r 2α
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Cunha esférica
É a intersecção de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja
aresta contém o diâmetro da esfera.
A cunha é caracterizada pelo raio da esfera e pela medida do diedro.
Volume da cunha
Sendo α a medida do diedro, temos:
Com α em graus
360° -------------- 4.π.r³ / 3
α° ------------- Vcunha
Vcunha =
πr 3α
270
Com α em radianos
2π -------------- 4.π.r³ / 3
α° -------------- Vcunha
Vcunha =
2r 3α
3
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Exercícios (Nível Fácil)
1- Determinar o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na
esfera um círculo de raio 20 cm. A distância do plano ao centro da
esfera.
2- O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera
determina nela um círculo de raio 45 cm. Determinar a distância do
plano ao centro da esfera.
3- Um plano secciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determinar o raio
da secção obtida sendo 8 cm a distância do plano ao centro da esfera.
4- Determinar o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de um
esfera de raio r.
5- Determine o raio de uma esfera de superfície 36 π cm².
6- Calcular a área de uma secção plana feita a uma distância de 12 cm do
centro de uma esfera de 37 cm de raio.
7- A secção plana de uma esfera feita a 35 cm do centro tem 144 π cm² de
área.
8- Calcular a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro da
esfera sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da
área determinada pela secção plana, e que o raio da esfera mede 17
cm.
9- O raio de uma esfera mede 41 cm. Determinar a razão entre as áreas
das secções obtidas por dois planos, sendo 40 cm e 16 cm a distâncias
respectivas desses planos ao centro da esfera.
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10- Determinar a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.
11- Determinar a área de uma esfera sendo 2304 π cm³ o seu volume.
12- Calcular a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34
cm de diâmetro.
13- Determinar a superfície de uma esfera senso 26 π cm o comprimento da
circunferência do círculo máximo.
14- Determinar o raio de uma esfera sendo 288 π cm² de superfície
15- Uma esfera oca tem 1 dm de diâmetro exterior e 1 cm de espessura.
Determinar o volume da parte oca da esfera.
16- Determinar o volume de uma esfera de 100 π cm² de superfície.
17- Determinar a medida do raio de uma esfera sabendo que seu volume e
sua superfície são expressos pelo mesmo número.
18- Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual a
distância m do plano ao centro da esfera. Determinar a superfície e o
volume da esfera. Determinar a superfície e o volume da esfera em função
de m.
19 – Determinar a medida da superfície e do volume de uma esfera,
sabendo que o seu raio mede 1/5 do raio de outra esfera cujo volume é
4500 π cm³.
1- 29 cm
2- 28 cm
3- 15 cm
4- 4r
5- 3 cm
6- 1225 π cm²³
Respostas
7- 1369 π cm²
13- 169 π cm²
14- 6 cm
8- 17√3 / 2 cm
9- 27 / 475
15- 972 π cm³
10- 3364 π cm² ; 97556 π cm³ / 3 16- 500/3 π cm³
11- 576 π
17- 3
12- 17√2
18- 8 π√2 / 6 m³ ; 8 π m²
19- 36 πcm²;
19- 36 πcm³
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Exercícios (Nível Médio)
1- A cúpula de uma igreja é uma semiesfera apoiada sobre um quadrado de 12
m de lado (isto é, o circulo base da semiesfera está inscrito no dito quadrado).
Determinar a superfície da cúpula.
2- Determinar a medida do raio de um círculo máximo de uma esfera sabendo
que o raio de um círculo menor desta mesma esfera mede 12 cm e que a
distância polar deste círculo menor mede 15 cm.
3- Determinar a medida do raio de uma esfera sabendo que o raio de um círculo
menor mede 5 cm e que sua distância polar mede 13 cm.
4- Determinar a distância polar de um círculo menor de uma esfera sendo 10 cm
o raio da esfera e 6 cm a distanciado círculo ao centro da esfera.
5- Os pólos de um círculo menor de uma esfera distam, respectivamente 5 cm e
10 cm do plano do círculo. Determinar o raio desse círculo.
6- Uma bola de ouro de raio r se funde transformando-se em um cilindro de raio
r. Determinar a altura do cilindro.
7- Um cone é equivalente a um henisféro de 25 cm de diâmetro. Determinar a
área lateral do cone sabendo que as bases do cone e do hemisféro são
coincidentes.
8- Duas esferas de metal de raios 2r e 3r se fundem para formar uma esfera
maio. Determinar o raio dessa nova esfera.
9- Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base
comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual a superfície de uma
esfera de raio 6 cm. Determinar a relação entre os volumes do sólido e da esfera.
10- Os raios de duas esferas concrêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8
cm. Calcular a área da secção feita na esfera de raio maior por um plano
tangente a outra esfera.
11- Determinar o diâmetro de uma esfera obtida de fusão de duas esferas de 10
cm de diâmetro.
12- Sabendo que o diâmetro de uma esfera é os 3/5 do diâmetro de uma outra
esfera, calcule a razão entre as áreas dessas suas esferas.
13- O que ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de
sue raio? E quando triplicamos a medida do seu raio?
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14- O que ocorre com o volume de uma esfera quando o raio aumenta de 100%?
E quando aumenta de 300%? E quando diminui de 50%?
15- O que ocorre com a superfície de uma esfera quando o raio aumenta de
200%? E quando aumenta de 150%? E quando diminui de 25%?
16- O raio de uma esfera mede 16 cm. De um ponto P situado a 41 cm do centro
da esfera traçam-se tangentes à esfera. Determinar o comprimento dessas
tangentes bem como a distância do centro da esfera ao plano do círculo de
contacto e o raio desse círculo.
17- Sunpondo-se a Terra esférica e o metro a décima milionésima parte do
quarto do meridiano, determine a superfície da terra em km².
18- Determinar a superfície de uma esfera de 5 cm de raio. De quanto aumenta a
superfície au aumentar o raio de 1 cm?
19- A área de uma secção plana é 144 π cm². Calcular a superfície da esfera
sabendo que a distância ao centro da esfera é 5 cm.
1- 72 π m²
7- 625√5π / 4 cm²
2- 25/2 cm
8- r (³√35)
3- 169/24 cm
9- √3/2
4- 8√5 cm
10- 25/9
Respostas
13- aumenta 8 vezes,
aumenta 27 vezes
14- aumenta de 700%,
amenta de 1500%,
diminui de 12,5%
15- aumenta de 900%,
aumenta de 625%,
diminui de 6,25%
16- 5√57 cm ; 256/41
19- 676 π
cm²
cm ; 80√57 cm.
5- 5√2 cm
11- 161 π
6- 4r/3
12- 10 (³√3) cm
17- 16 . 1000000000 / π
km²
18- aumenta 44 cm² ; 100
π cm²
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Exercícios (Nível Difícil)
1- Uma esfera de 25 π cm² de superfície. De quanto devemos aumentar o raio,
para que a área passe a ser de 64 π cm²?
2- Determinar a área de um círculo obtido da secção plana de uma esfera, sendo
o raio da esfera r, e 15 cm a distância desse plano ao centro da esfera.
3- Determinar a superfície de uma esfera em função do comprimento da
circunferência c, do círculo máximo da esfera.
4- Determinar a superfície de uma esfera em função da área A do círculo máximo
da esfera.
5- O círculo máximo de uma esfera tem um triângulo equilátero inscrito.
Determinar a superfície da esfera em função da medida a do lado desse
triângulo.
6- A área obtida da secção plana em uma esfera á A. Sendo r o raio da esfera,
determine a distância do plano ao centro da esfera.
7- Determinar o volume de um esfera em função do comprimento da
circunferência c do círculo máximo da esfera.
8- Uma esfera tem 1 m de raio. Qual será o raio de uma esfera cujo volume é 1/5
do volume da primeira esfera?
9- Determinar a razão entre as área de um cubo e uma esfera sabendo que seus
volumes são iguais.
10- Um cubo de chumbo de aresta a foi transformado numa esfera. Determinar a
superfície da esfera em função de a.
11- Calcule em cm³ o volume de uma esfera, sabendo que o diâmetro
perpendicular a um círculo menor de 10 cm de raio é dividido por esse círculo em
dois segmentos de razão 2/5.
12- Uma esfera, um cilindro e um cone tem o mesmo volume e o mesmo raio.
Calcular a razão entre a altura do cilindro e a do cone.
13- Determinar a diferença entre a área da maior e da menor das secções
obtidas por um ponto P, a uma distância d do centro da esfera.
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14- A superfície de uma esfera mede 144 π cm² é igual a área total de um
cilindro que tem o mesmo raio da esfera. Determinar a relação entre os volumes
de ambos os sólidos.
15- Uma esfera é equivalente a um cilindro reto cuja área total é igual a 42 π
cm². Sendo 3 cm o raio do cilindro, determinar:
a) O raio da esfera.
b) A relação entre a área da esfera e a área total de um cone reto que tenha
a mesma base e a mesma altura do cilindro dado.
1- 1,5 cm
2- π (r² - 225) cm , r > 15
3- c² / π
4- 4A
6- √π r² - A / π
7- c³ / 6 π²
Respostas
8- ³√1/5 m
9- 3(³√2 / 9 π)
10- a²/2 (³√9 / π²)
11- 1715 √10 π / 3 cm³
12- 3
13- πd²
14- 4 / 3
15 a) 3 cm
15 b) 3 / 2
5- 4 πa²/3
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Exercícios (Nível Extra - Difícil)
1- Fabricou-se uma cadeira de tal maneira que as bases de dois hemisférios
coincidissem com as bases de um cilindro. Sendo o diâmetro do cilindro os 3/5
de sua altura e a superfície da cadeira equivalente a uma esfera de raio R,
determinar a relação entre o volume da cadeira e o volume da esfera de raio R.
2- Duas esferas tangentes entre si, tangenciam internamente uma outra esfera.
Sendo 10 cm o diâmetro da esfera maior, determinar a relação entre os volumes
das esferas tangentes internamente sabendo que sua soma é 2/3 do volume da
esfera maior.
3- Um cubo e uma esfera tem igual superfície. Qual dos sólidos tem maior
volume?
4- (FEI – 77) A área total de um cubo e a área total de uma superfície esférica
são iguais. Qual a razão entre o raio da superfície esférica e a medida de uma
aresta do cubo?
5- (FAAP – 77) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone reto
são iguais. Determinar o raio da esfera, sabendo-se que o volume do cone é 12π
dm³ e o raio da base é 3 dm.
6- Determinar o ângulo do fuso de uma esfera, sendo 324 π cm² a área da esfera
e 54 π cm² a área do fuso.
7- Qual é a área de um fuso de 28° pertencente a uma esfera de 4 m² de
superfície?
8- Determinar a área de um fuso de 45° em uma esfera de 10 cm de raio.
9- Um fuso de 10° de uma esfera de 1 cm de raio é equivalente a uma secção
plana da esfera. Determinar a distância da secção ao centro da esfera.
10- Determinar a área de um fuso cujo ângulo mede 30°, em uma esfera de 18
cm de raio.
11- Determinar o volume de uma cunha cujo ângulo de 30°, sendo r o raio da
esfera.
12- Determinar o volume de uma cunha cujo ângulo de 60°, em uma esfera cujo
volume mede 288 π m³.
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13- Qual é o volume de uma cunha de 30°, pertencente a uma esfera de 972
π m³ de volume?
14- Determinar as medidas dos raios de duas esferas, sabendo que sua
soma vale 20 cm, e que o fuso de 60° na primeira é equivalente ao fuso de
30° na segunda.
15- Um fuso de 60° de uma esfera é equivalente a um fuso de uma outra
esfera. Determinar os raio dessas esferas sendo 24 cm sua soma.
16- Determinar o raio de uma cunha esférica de 45° sabendo que é
equivalente a um hemisfério de 10 cm de diâmetro.
Respostas
7- 14/45 m²
8- 50 π cm²
13- 48 π m³
14- 81 π m³
9- 2√2 / 3 cm
15- r = 20(√2 –
4- √6 π / 2π
10 - 108 π cm²
1) cm ; R =
20(2 - √2) cm
16- r = 24(√2 -1 )
cm ; R = 24 (2 √2) cm
5- √6 dm
6- 60°
11- 4√3 cm
12- 7πr² / 3 ; πr³ / 3
1- 21√6 / 64
2- Os volumes das esferas
são iguais
3- O volume do cubo é
maior
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Questão para se divertir
ITA - Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de
altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a
superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2√3 cm do
vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm³; é igual a:
Resposta : A
Espero que esta apostila ajude a todos a
conhecer um pouquinho mais do
universo das esferas. Estudem e façam
todas as questões aqui propostas, que
com certeza você vai tira um dez na
prova de Bosco.
Um abraço à todos,
Do seu amigãoooo Vagner F. ;)
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