Dinâmica do
movimento de Rotação
Disciplina: Mecânica Básica
Professor: Carlos Alberto
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Objetivos de aprendizagem
Ao estudar este capítulo você aprenderá:
✔ O que significa o torque produzido por uma força;
✔ Como o torque resultante sobre um corpo afeta o movimento de
rotação do corpo;
✔ Como analisar o movimento de um corpo que gira e também se move
como um todo pelo espaço;
✔ Como solucionar problemas que envolvem trabalho e potência para
corpos em rotação;
✔ A que se refere o momento angular de uma partícula ou de um corpo
rígido;
✔ Como o momento angular de um sistema varia com o tempo;
✔ Porque um giroscópio em rotação para pelo curioso movimento
chamado de precessão.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Torque (ou momento da força)
Linha de ação
= Braço de alavanca
(módulo do Torque)
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Torque (ou momento da força)
(definição do Torque)
No SI, a unidade de Torque é no newton vezes metro (N.m)
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
A segunda lei de Newton para rotações
2ª Lei de Newton:
Equação para o torque:
Temos ainda que,
. Assim
Se várias forças agem sobre a partícula:
Podemos estender essa equação a qualquer corpo rígido girando em torno de um eixo
fixo, uma vez que o corpo pode sempre ser considerado como um conjunto de partículas.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 10.9: (halliday, p277)
A figura mostra um disco uniforme, de massa M = 2,5 kg e raio R = 20 cm, montado em
um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por uma corda de
massa desprezível que está enrolada na borda do disco. Determine a aceleração do
bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão na corda. A corda não
escorrega e não existe atrito no eixo.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Algumas correspondências entre os movimentos
de translação e rotação
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 10.8: (Young, p330)
Um anúncio fazendo propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um automóvel
afirma que o motor desenvolve 1,49•105 W para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o
torque desenvolvido pelo motor?
Exemplo 10.9: (Young, p330)
Um motor elétrico exerce um torque constante de 10 N•m sobre um esmeril montado
em seu eixo motor. O momento de inércia é I = 2,0 kg•m². Sabendo que o sistema
começa a se mover a partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo motor em 8,0 s
e a energia cinética no instante final. Qual é a potência média desenvolvida pelo motor?
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel
Todo movimento possível de um corpo rígido pode ser representado como uma
combinação do movimento de translação do centro de massa e de uma rotação em
torno de um eixo passando pelo centro de massa.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Rolamento como uma combinação da rotação e translação
cicloide
(rolamento sem deslizamento)
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Rolamento sem deslizamento
Rotação pura
+
Translação pura
=
Rolagem
Energia Cinética no Rolamento:
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 9.16: (Tipler, p302)
Uma bola de boliche, com 11 cm de raio e 7,2 kg de massa, rola sem deslizar a 2,0 m/s,
na pista de retorno horizontal. Ela continua a rolar, sem deslizar, ao subir uma rampa até
a altura h, quando atinge momentaneamente o repouso e desce de volta. Considere-a
uma esfera homogênea e determine h.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 9.17: (Tipler, p302)
Um taco atinge uma bola de bilhar horizontalmente em um ponto a uma distância d acima
do centro da bola. Determine o valor de d para o qual a bola rolará, sem deslizar, desde o
início. Escreva sua resposta em termos do raio R da bola.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 10.4: (Young, p325)
Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes
em torno de um cilindro de massa M e raio R. Você
mantém presa a extremidade do fio enquanto o cilindro é
liberado sem velocidade inicial. O fio desenrola, mas não
desliza nem se dilata a medida que o cilindro cai e gira.
(a) Use considerações de energia para achar a velocidade
vcm do centro de massa de cilindro sólido depois que ele
caiu até uma distância h.
(b) Qual a aceleração de cima para baixo e a tração no fio?
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Atrito e rolamento
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 11.2: (Halliday, p300)
Uma bola uniforme, de massa M = 6,00 kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso,
descendo uma rampa inclinada de ângulo θ = 30,0º. A bola desce uma distância vertical h
= 1,20 m para chegar à base da rampa.
(a) Qual é sua velocidade ao chegar à base da rampa?
(b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ela
desce a rampa rolando?
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Momento angular
(Definição de momento angular)
No SI, a unidade do momento angular é o
quilograma vezes metro quadrado por segundo.
(kg•m²/s)
(módulo do momento angular)
(Corpo rígido, eixo fixo)
(Sistema de partículas)
Profº Carlos Alberto
(2ª Lei de Newton para rotação)
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 11.4: (Halliday, p305)
A figura mostra uma vista superior de duas partículas que se movem com velocidade
constante ao longo de trajetórias horizontais. A partícula 1, como momento de módulo p1
= 5,0 kg.m/s, tem vetor posição r1 e passará a 2,0 m do ponto O. A partícula 2, com um
momento de módulo p2 = 2,0 kg.m/s, tem um vetor posição r2 e passará a 4,0 m do ponto
O. Quais são o módulo e a orientação do momento angular total em relação ao ponto O
do sistema formado pelas duas partículas.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Questão 39: (Halliday, p321)
Na figura abaixo, três partículas de massa m = 23 g estão presas a três barras de
comprimento d = 12 cm e massa desprezível. O conjunto gira em torno do ponto O com
velocidade angular ω = 0,85 rad/s. Em relação ao ponto O quais são
(a) o momento de inércia do conjunto,
(b) o módulo do momento angular da partícula do meio e
(c) o módulo do momento angular do conjunto?
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Conservação do momento angular
Se
“Quando o torque externo resultante que atua sobre um sistema é igual a zero, o
momento angular do sistema permanece constante (se conserva)”.
(sistema isolado)
“Se a componente do torque externo resultante que age sobre um sistema ao longo
de um certo eixo é nula, a componente do momento angular ao longo desse eixo
permanece constante, sejam quais forem as mudanças que ocorrem dentro do
sistema”.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Conservação do momento angular
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 10.11: (Young p.335)
Um acrobata professor de física está em pé sobre o centro de uma mesa girante,
mantendo os braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 kg em cada mão.
Ele está girando em torno de um eixo vertical e completa uma volta em 2,0 s. Calcule a
nova velocidade angular do professor, quando ele aproxima os dois halteres do
estômago, e discuta como isso modifica sua energia cinética. Seu momento de inércia
(sem halteres) é igual a 3,0 kg•m², quando seus braços estão estendidos, diminuindo para
2,2 kg•m²,quando suas mão estão próximas do estômago. Os halteres estão inicialmente
a uma distância de 1,0 m do eixo e a distância final é igual a 0,20 m. Considere os
halteres como partículas.
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Exemplo 10.12 e 10.13: (Young p.335)
A figura abaixo mostra dois discos: um deles (A) é o volante de um motor, de massa 2,0
kg e raio de 0,20; o outro (B) é um disco de embreagem ligado a um eixo de transmissão,
de massa de 4,0 kg e raio de 0,10 m. Seus momentos de inércia são IA e IB; inicialmente
eles estão girando com uma velocidade angular constante ωA = 50 rad/s e ωB = 200
rad/s. respectivamente. A seguir, empurramos os dois discos juntos, aplicando forças que
atuam ao longo do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois discos surge torque em
relação ao eixo. Os discos se deslocam unidos e acabam atingindo a mesma velocidade
angular final ω.
(a) Deduza uma expressão para ω e obtenha
seu valor.
(b) A energia cinética se conserva durante o
processo?
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com