Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de Fı́sica
Fı́sica III — 2014/2
Cap. 1 - Carga Elétrica e Campo Elétrico
Prof. Elvis Soares
A interação eletromagnética entre partı́culas carregadas eletricamente é uma das interações
fundamentais da natureza. Nesse capı́tulo iremos estudar algumas propriedades básicas da força
eletromagnética, discutiremos a Lei de Coulomb, o conceito de campo elétrico, e finalizaremos
com o estudo do movimento de partı́culas carregadas num campo elétrico uniforme.
1
Propriedades da Carga Elétrica
Quando atritamos uma caneta contra o nosso cabelo num dia seco, vemos que a caneta passa a
atrair pequenos pedaços de papel sobre a mesa. O mesmo ocorre quando certos materiais são
atritados entre si, como um bastão de vidro contra um pano de seda ou plástico contra pele.
Isto se deve ao fato de que toda a matéria que conhecemos é formada por átomos, que são
formados por um núcleo, onde ficam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera, onde os elétrons
permanecem, em órbita. Os prótons e nêutrons têm massa praticamente igual, mas os elétrons
têm massa cerca de 2 mil vezes menor.
Se pudéssemos separar os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, verı́amos que os prótons
seriam atraı́dos pelos elétrons enquanto os nêutrons não seriam afetados. Esta propriedade
de cada uma das partı́culas é chamada carga elétrica. Os prótons são partı́culas com carga
positiva, os elétrons tem carga negativa e os nêutrons tem carga neutra.
A unidade de medida adotada internacionalmente para a medida de cargas elétricas é o coulomb
(C).
Um próton e um elétron têm valores absolutos de carga iguais embora tenham sinais opostos.
O valor da carga de um próton ou um elétron é chamado carga elétrica elementar e simbolizado
Prof. Elvis Soares
2
Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão
por e, sendo a menor unidade de carga elétrica conhecida na natureza, com valor igual a
e = 1.602 19 × 10−19 C
(1)
Portanto, 1 C de carga é aproximadamente a carga de 6.24 × 1018 elétrons ou prótons. Esse
número é bem pequeno se comparado com número de elétrons livres em 1 cm3 de cobre, que
tem da ordem de 1023 .
2
Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão
Dizemos que um corpo está eletrizado negativamente quando tem maior número de elétrons do
que de prótons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja negativa; E que um corpo
está eletrizado positivamente quando tem maior número de prótons do que de elétrons, fazendo
com que a carga elétrica desse corpo seja positiva. Por isso, um corpo é chamado eletricamente
neutro se ele tiver número igual de prótons e de elétrons, fazendo com que a carga elétrica
sobre o corpo seja nula. A carga de um corpo eletrizado deve então ser um múltiplo da carga
elementar, de tal forma que Q = ±N.e, sendo N um número inteiro qualquer.
O processo de retirar ou acrescentar elétrons a um corpo neutro para que este passe a estar
carregado eletricamente denomina-se eletrização. Alguns dos processos de eletrização mais
comuns são:
2.1
Eletrização por Atrito
Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta do século
VI a.C. pelo matemático grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito entre certos materiais
era capaz de atrair pequenos pedaços de palha e penas.
Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo possı́vel comprovar que dois corpos
neutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um deles fica eletrizado
negativamente (ganha elétrons) e outro positivamente (perde elétrons). Quando há eletrização
por atrito, os dois corpos ficam com cargas de módulo igual, porém com sinais opostos.
Por exemplo, ao se atritar uma barra de vidro num pano de lã, elétrons passam do vidro para a
lã. Em consequência, a barra de vidro adquire carga elétrica positiva (perde elétrons) e o pano
de lã adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons). Se, em vez da barra de vidro, atritarmos
com a lã uma barra de resina, haverá a transferência de elétrons da lã para a resina. Então, a
barra de resina adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons) e o pano de lã adquire carga
elétrica positiva (perde elétrons).
2
2
Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão
2.2
Prof. Elvis Soares
Eletrização por Contato
Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizado, são postos em contato, a
carga elétrica tende a se estabilizar, sendo redistribuı́da entre os dois, fazendo com que ambos
tenham a carga com mesmo sinal.
2.3
Eletrização por Indução
Este processo de eletrização é totalmente baseado no princı́pio da atração e repulsão, já que
a eletrização ocorre apenas com a aproximação de um corpo eletrizado (indutor) a um corpo
neutro (induzido).
O processo é dividido em três etapas:
1. Primeiramente um bastão eletrizado é aproximado de um condutor inicialmente neutro,
pelo princı́pio de atração e repulsão, os elétrons livres do induzido são atraı́dos/repelidos
dependendo do sinal da carga do indutor.
2. O próximo passo é ligar o induzido à Terra por um fio condutor, ainda na presença do
indutor.
3. Desliga-se o induzido da Terra, fazendo com que sua carga seja de sinal oposto àquela do
indutor.
Terra
Por fim, retira-se o indutor das proximidades do induzido que fica eletrizado com sinal oposto
à carga do indutor, e com a carga distribuı́da por todo o corpo.
3
Prof. Elvis Soares
3
3
Lei de Coulomb
Lei de Coulomb
A partir de alguns experimentos, Coulomb pode generalizar as seguintes propriedades da força
elétrica entre duas cargas puntiformes em repouso. A força elétrica
• é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre as cargas e dirigida ao longo
da linha que liga uma a outra.
• é proporcional ao produto das cargas das duas partı́culas;
• é atrativa se as cargas são de sinais opostos e repulsiva se as cargas tem o mesmo sinal.
A lei expressa na forma vetorial para a força elétrica exercida por uma carga q1 numa outra
~ 2(1) , é
carga q2 , dita F
~ 1(2)
~ 2(1) = k q1 q2 r̂ = −F
F
r2
(2)
onde k é a constante chamada constante de Coulomb e r̂ é o vetor unitário dirigido da carga
q1 para a carga q2 , conforme figura.
r
F2(1)
+
–
q2
q2
+
F2(1)
r̂
q1
F1(2)
F1(2)
+
q1
A constante de Coulomb é também escrita como k = 1/4π0 , e seu valor no SI é
k = 8.987 5 × 109 N.m2 /C2 ≈ 9.0 × 109 N.m2 /C2
(3)
Como a força elétrica obedece à Terceira Lei de Newton, a força elétrica exercida pela carga q2
em q1 é igual em intensidade a força exercida por q1 em q2 , na mesma direção mas em sentido
~ 1(2) = −F
~ 2(1)
oposto, de modo que F
Quando mais que duas cargas estão presentes, a força entre qualquer par delas é dada pela Lei
de Coulomb. Portanto, a resultante das forças sobre qualquer uma delas é igual a soma vetorial
das forças exercidas pelas outras cargas.
~i =
F
X
i6=j
4
~ i(j) =
F
X qi qj
k 2 rˆj
rj
i6=j
(4)
3
Lei de Coulomb
Prof. Elvis Soares
Exemplo: Átomo de Hidrogênio
Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de massa me = 9.11 × 10−31 kg, e um
próton, de massa mp = 1.67 × 10−27 kg, separados por uma distância de aproximadamente
d = 5.3 × 10−11 m.
A intensidade da força elétrica é dada pela Lei de Coulomb
Fe = k
−19 2
)
e2
9 (1.60 × 10
=
(9.0
×
10
)
= 8.2 × 10−8 N
d2
(5.3 × 10−11 )2
Já a intensidade da força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton
Fg = G
−31
me mp
)(1.67 × 10−27 )
−11 (9.11 × 10
=
(6.67
×
10
)
= 3.6 × 10−47 N
d2
(5.3 × 10−11 )2
A razão Fe /Fg ≈ 2 × 1039 . Então, a força gravitacional entre essas partı́culas subatômicas é
desprezı́vel se comparada com a força elétrica.
5
Prof. Elvis Soares
3
Lei de Coulomb
Exemplo: Força Resultante
Consideremos três cargas −q, q e
mostra a figura.
y
-q –
√
2q dispostas nos vértices de um triângulo retângulo, como
√
~ 3(1) exercida pela carga 2q sobre a carga
A força F
q é
√ 2
2q
~
r̂ 1 ,
F 3(1) = k √
( 2a)2
F3(1)
a
F3(2)
+
q
a
√2 q
onde
r̂ 1 é o vetor posição relativa que sai da carga
√
2q e aponta na direção de q, sendo escrito facilmente como r̂ 1 = cos 45o x̂ + sen 45o ŷ, de modo que
√ 2a
+
2
~ 3(1) = 1 k q (x̂ + ŷ),
F
2 a2
x
~ 3(2) exercida pela carga −q sobre a carga q é
A força F
2
~ 3(2) = −k q r̂ 2 ,
F
a2
onde r̂ 2 é o vetor posição relativa que sai da carga −q e aponta na direção de q, sendo escrito
na forma r̂ 2 = x̂, de modo que
2
~ 3(2) = −k q x̂
F
a2
~ 3 sobre a carga q é então calculada como a soma das forças F
~ 3(1) e F
~ 3(2)
A força resultante F
sendo
2
~3 = F
~ 3(1) + F
~ 3(2) = 1 k q (−x̂ + ŷ)
F
2 a2
6
4
4
Campo Elétrico
Prof. Elvis Soares
Campo Elétrico
O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday no contexto de forças elétricas.
Nesse contexto, um campo elétrico existe na região do espaço ao redor de um objeto carregado,
a carga fonte. Quando outro objeto carregado, a carga teste, entra nesse campo elétrico, uma
força elétrica age sobre ele.
Sendo assim, o campo elétrico produzido pela carga fonte é definido como a força elétrica por
unidade de carga situado num dado ponto do espaço
~
~ = F e = k q1 r̂
E
q2
r2
(5)
~ tem no SI unidade de N/C. A direção de E,
~ como mostra a figura, é a direção
O vetor E
da força que uma carga teste positiva sentiria quando colocada nesse campo. Dizemos que
um campo elétrico existe num ponto se uma carga teste nesse ponto experimenta uma força
elétrica, dada por
~ e = qE
~
F
(6)
E
E
P
q
r̂
r
q
–
+
P
r
r̂
O campo elétrico num ponto P devido a um conjunto de cargas puntiformes pode ser obtido, através do princı́pio da superposição, como a soma vetorial dos campos elétricos devido,
individualmente, a cada carga do conjunto no mesmo ponto P .
~ =
E
X
i
~i =
E
X qi
k 2 r̂ i
ri
i
(7)
7
Prof. Elvis Soares
4
Campo Elétrico
Exemplo: Campo Elétrico de um Dipolo
Um dipolo elétrico é definido como uma carga positiva q e uma negativa −q separadas por uma
~ devido ao dipolo num ponto P situado a uma
distância 2a. Vamos obter o campo elétrico E
distância y do centro do dipolo.
~1 e E
~ 2 devido às duas
No ponto P , os campos E
cargas são iguais em intensidades, pois o ponto P é
equidistante das cargas, sendo assim
y
E1
E1 = E2 = k
θ
P
E = 2E1 cos θ = 2k
r
+
q
E2
y
θ
θ
a
–
a
–q
q
.
+ a2 )
~1 e E
~ 2 se cancelam, e as
As componentes y de E
componentes x são ambas positivas e de mesma intensidade, de modo que
E
θ
(y 2
(y 2
a
q
2
2
+ a ) (y + a2 )1/2
~ é um vetor paralelo ao eixo x escrito na
Portanto, E
forma
~ =k
E
x
2qa
x̂
(y 2 + a2 )3/2
No limite em que o ponto P está muito distante do dipolo, dito y a, podemos desprezar a2
comparado com y 2 no denominador e escrever
~ ≈ k 2qa x̂
E
y3
Obs: Em alguns livros é comum aparecer o vetor momento de dipolo elétrico definido como
d~ = −2qax̂, que é um vetor de intensidade igual a carga positiva q vezes a distância entre as
cargas 2a e aponta na direção da carga negativa para a positiva, de modo que
~
~ ≈ −k d
E
y3
Então, muito distante do dipolo elétrico, o campo elétrico varia com ∼ 1/r3 que cai mais
rapidamente que o campo de uma carga que varia com ∼ 1/r2 . Isso se deve ao fato que os
campos das cargas positiva e negativa vão se anulando ao longo da distância, diminuindo a
intensidade do campo elétrico total.
8
5
5
Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Prof. Elvis Soares
Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Todo corpo é composto de cargas elétricas (vindas da natureza atómica da matéria), cujas
distâncias relativas são muito curtas se comparadas com os tamanhos tı́picos dos objetos.
Sendo assim, para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de cargas, usaremos o
seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribuição de cargas em pequenos elementos de
carga, cada um de carga infinitesimal dq (infinitesimal, porém maior que a carga elementar).
Depois, usamos o campo elétrico devido a uma carga puntiforme para calcular o campo elétrico
devido a esse elemento dq no ponto P . E por último, somamos as contribuições de todos
elementos de cargas e obtemos o campo elétrico total no ponto P devido à distribuição de
cargas (de acordo com o princı́pio de superposição dos campos).
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento de
carga dq é
dq
r̂
r2
onde r é a distância do elemento de carga até o ponto P
e r̂ o vetor unitário que sai da carga e aponta na direção
de P .
~ =k
dE
O campo elétrico total em P devido a todos os elementos na distribuição de carga é
~ =
E
Z
V
~ =
dE
Z
k
V
dq
r̂
r2
(8)
e a integral aparece porque o corpo é modelado como uma distribuição contı́nua de carga.
De fato, podemos associar sempre a uma distribuição de cargas o conceito de densidade de
carga.
• No caso de uma carga distribuı́da ao longo de um volume tem-se dq = ρdV , onde ρ é a
densidade volumétrica de cargas.
• No caso de uma carga distribuı́da ao longo de uma área tem-se dq = σdA, onde σ é a
densidade superficial de cargas.
• No caso de uma carga distribuı́da ao longo de uma linha tem-se dq = λdl, onde λ é a
densidade linear de cargas.
9
Prof. Elvis Soares
5
Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Exemplo: Fio Carregado Uniformemente
Vamos estudar o caso de um fio de comprimento L e carga Q distribuı́da uniformemente ao
longo dele, como mostra a figura.
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento
de carga dq do fio é dado por
dq
r̂,
r2
onde ~
r é o vetor posição relativa que sai da carga e
aponta na direção de P dado por ~
r = −xx̂ + aŷ,
onde seu módulo e o correspondente vetor unitário
são
~ =k
dE
r=
√
x 2 + a2
e
r̂ =
~
r
(−xx̂ + aŷ)
= 2
.
r
(x + a2 )1/2
O campo elétrico total produzido pelo fio no ponto P é então calculado como a soma sobre
todos os elementos de carga que compõem o fio, indo de x = −L/2 até x = L/2, e assim tem-se
~ a, 0) =
E(0,
Z
L/2
−L/2
(x2
kλdx
(−xx̂ + aŷ).
+ a2 )3/2
*Mostre que: As integrais necessárias resultam em
Z
L/2
−L/2
Z
L/2
−L/2
(x2
(x2
xdx
= 0,
+ a2 )3/2
dx
L
,
=
2
3/2
+a )
[(L/2)2 + a2 ]1/2
e com esses resultados encontramos que
~ a, 0) =
E(0,
kQ
a [(L/2)2 + a2 ]1/2
ŷ
usando que a densidade linear de carga do fio é λ = Q/L.
Obs1: No caso em que o fio é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante do fio tem-se
~ a, 0) = kQ ŷ
lim E(0,
aL
a2
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Obs2: No caso em que o fio é muito grande, ou o ponto P está muito próximo do fio tem-se
~ a, 0) = 2kλ ŷ
lim E(0,
a
que cai lentamente com a distância a do ponto P .
La
10
5
Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Prof. Elvis Soares
Exemplo: Aro Carregado Uniformemente
Consideremos um aro de raio R carregado uniformemente com uma carga positiva Q. Vamos
determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma distância a do centro do aro e ao
longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.
O campo elétrico no ponto P devido a um elemento
de carga dq do fio é dado por
dq
+ +
+
+
+
R
+
+
+
+
a
θ
P
dEx
+
+
+
+
+
+
dq
r̂,
r2
onde ~
r é o vetor posição relativa que sai da carga
e aponta na direção de P . Esse campo tem uma
componente dEx = dE cos θ ao longo do eixo x e
uma componente dE⊥ perpendicular ao eixo x.
~ =k
dE
r
+
dE⊥
dE
Sabemos que o campo resultante no ponto P deve estar ao longo do eixo x pois a componente perpendicular de todos os elementos de carga somados é zero. Isto é, a componente
perpendicular do campo criado por qualquer elemento de carga é cancelada pela componente
perpendicular criada por um elemento de carga no lado oposto do anel (diga-se diametralmente
oposto).
Como r = (a2 + R2 )1/2 e cos θ = a/r, temos que
a
dq a
=k 2
dq
dEx = dE cos θ = k 2
r
r
(a + R2 )3/2
Todos os elementos do aro fazem a mesma contribuição para o campo elétrico no ponto P
porque todos são equidistantes desse ponto. Então, integrando esse resultado obtemos
Z
Z
a
a
dq = k 2
dq
Ex = k 2
(a + R2 )3/2
(a + R2 )3/2
Sendo Q a carga total do aro, o campo elétrico total produzido por este aro no ponto P é então
escrito na forma vetorial como
~ )=k
E(P
(a2
Qa
x̂
+ R2 )3/2
Obs1: No caso em que o aro é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante desse aro
tem-se
Q
x̂
aR
a2
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Obs2: No caso em que o aro é muito grande, ou o ponto P está muito próximo dele tem-se
~ )=k
lim E(P
~ ) = k Qa x̂
lim E(P
Ra
R3
que passa a ser um campo linear com a distância a do ponto P .
11
Prof. Elvis Soares
5
Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Exemplo: Disco Carregado Uniformemente
Consideremos um disco de raio R carregado uniformemente com uma densidade superficial de
carga σ. Vamos determinar o campo elétrico num ponto P situado a uma distância a do centro
desse disco e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.
dq
Se considerarmos o disco como um conjunto de
aros concêntricos, podemos usar o resultado do
exemplo anterior (o campo de um aro carregado
uniformemente) e somamos as contribuições de
todos aros formando o disco.
R
r
P
a
dr
O aro de raio r e espessura dr, conforme a figura, tem área igual a 2πr dr. A carga dq desse
aro é igual a dq = 2πσr dr. Usando o resultado do aro carregado, temos que o campo elétrico
no ponto P devido a um elemento de carga dq desse aro é dado por
dEx = k
a
(2πσr dr).
(a2 + r2 )3/2
Então, integrando esse resultado sobre os limites r = 0 até r = R, notando que a é constante,
obtemos
Z R
Z R
2r dr
= kaπσ
(a2 + r2 )−3/2 d(r2 ),
Ex = kaπσ
2 + r 2 )3/2
(a
0
0
de modo que
(a2 + r2 )−1/2
Ex = kaπσ
−1/2
R
= 2πkσ 1 −
0
a
2
(a + R2 )1/2
.
Sendo assim o campo elétrico total produzido por este disco no ponto P é então escrito na
forma vetorial como
a
~
E(P ) = 2πkσ 1 − 2
x̂
(a + R2 )1/2
Obs1: No caso em que o disco é muito pequeno, ou o ponto P está muito distante tem-se
Q
x̂,
aR
a2
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distância a do ponto P .
Obs2: No caso em que o disco é muito grande, ou o ponto P está muito próximo dele tem-se
~ )=k
lim E(P
σ
x̂,
Ra
20
que é um campo constante nas proximidades do disco, sendo 0 a permissividade elétrica do
vácuo.
~ ) = 2πkσ x̂ =
lim E(P
Desta forma, um plano infinito tem módulo do campo elétrico igual a E = σ/20 nas suas
proximidades.
12
7
6
Movimento num Campo Elétrico Uniforme
Prof. Elvis Soares
Linhas de Campo Elétrico
Vamos agora explorar uma maneira de representar o campo elétrico pictoricamente. Uma
maneira conveniente de visualizar padrões de campo elétrico é desenhar linhas curvas paralelas
ao vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço.
~ é tangente a linha de campo elétrico em cada ponto. A linha tem
O vetor campo elétrico E
uma direção, indicada por uma seta, que é a mesma do vetor campo elétrico.
O número de linhas por unidade de área que atravessa uma superfı́cie perpendicular as linhas
é proporcional a intensidade do campo elétrico nesse região. Então, as linhas de campo estão
mais próximas onde o campo elétrico é forte e mais distantes onde o campo é fraco.
+
q
–
–q
As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes:
• As linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.
• O número de linhas desenhadas é proporcional a intensidade da carga.
• Duas linhas de campo nunca se cruzam.
+
7
+
–
+
Movimento num Campo Elétrico Uniforme
~ a força elétrica exercida
Quando uma carga q e massa m está localizada num campo elétrico E,
nessa carga é
~ = qE
~ = m~
F
a
(9)
~ é uniforme (isso é, constante na intensidade e direção), então a aceleração
Se o campo elétrico E
também é constante.
13
Prof. Elvis Soares
7
Movimento num Campo Elétrico Uniforme
Exemplo: Elétron num Campo Elétrico Uniforme
Consideremos duas placas metálicas carregadas de maneira oposta e um elétron de carga −e
lançado horizontalmente dentro da região de campo elétrico uniforme, conforme a figura.
Sabendo que a velocidade inicial do elétron era v0 x̂
no instante de tempo t = 0, e que o campo elétrico
~ = E ŷ é uniforme, as aceleração, velocidade e
E
posição do elétron em função do tempo são
–
y
– – – – – – – – – – – –
v0x̂
~
a=−
( 0, 0)
x
E
eE
ŷ
m
(x,y)
–
+ + + + + + + + + + + +
v
~
v = v0 x̂ −
eE
tŷ
m
~
r=~
r 0 + v0 tx̂ −
14
1 eE 2
t ŷ
2m