Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Mestrado - Doutorado
TRANSFERÊNCIA DE MASSA E CALOR NO COMPLEXO SOLO-VEGETAÇÃOATMOSFERA: SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIABILIDADE ESPACIAL DA
CONDUTIVIDADE TÉRMICA DO SOLO
por
Lovania Maria Werlang
Tese apresentada à Universidade federal da Paraíba
para obtenção do grau de Doutor
João Pessoa – PB
Setembro, 2006
LOVANIA MARIA WERLANG
TRANSFERÊNCIA DE MASSA E CALOR NO COMPLEXO SOLO-VEGETAÇÃOATMOSFERA: SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIABILIDADE ESPACIAL DA
CONDUTIVIDADE TÉRMICA DO SOLO
Tese apresentada ao
graduação em
como
parte
Programa de Pós-
Engenharia
dos
obtenção do Título de
Mecânica
requisitos
Doutor
para
em
Engernharia Mecânica pela Universidade
Federal da Paraíba.
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: TERMOFLUIDOS
ORIENTADOR: PROF. DR. ALAIN MARIE BERNARD PASSERAT DE SILANS
João Pessoa-PB
2006
TRANSFERÊNCIA DE MASSA E CALOR NO COMPLEXO SOLO-VEGETAÇÃOATMOSFERA: SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIABILIDADE ESPACIAL DA
CONDUTIVIDADE TÉRMICA DO SOLO
Por
Lovania Maria Werlang
_________________________________________
Prof. Dr. Alain Marie Bernard Passerat de Silans - UFPB
Orientador
________________________________________________
Prof. Dr. Marco Antonio Wanderley Cavalcanti - UFPB
Examinador interno
_______________________________________________
Prof. Dr. José Maurício Alves de Matos Gurgel - UFPB
Examinador interno
______________________________________________
Dr. José Elias da Cunha Metri - UFCG
Examinador externo
_______________________________________________
Prof. Dr. Bernardo Barbosa da Silva - UFCG
Examinador externo
João Pessoa – Paraíba
setembro, 2006
DEDICATÓRIA
Dedico aos meus pais:
minha doce mãe, Carmelina Secco Werlang
e meu querido pai, Iribaldo Egidio Werlang
que Deus os levou.
AGRADECIMENTOS
Ao orientador desta tese, professor e pesquisador Dr. Alain Marie Bernard Passerat de
Silans, que soube transmitir de forma brilhante seus conhecimentos;
Ao meu amigo Maurício Costa Goldfarb por toda colaboração no desenvolvimento de
nossas teses;
Ao professor Dr. Tarciso Cabral da Silva, em nome de todos que fazem, com
excelência, o Laboratório de Recursos Hídricos e Engenharia Ambiental da Universidade
Federal da Paraíba;
Aos meus amigos Iluminata, Hamilcar, Carmem, Wamberto, Francisco, Hugo
Alcantra, Taysa, André, Joana e demais amigos;
Ao meu amigo Simão que sempre esteve presente para solucionar os problemas
computacionais que tive. Olha que não foram poucos;
Ao professor Dr. Marco Antônio Wanderley Cavalcanti, de quem sempre tive apoio
financeiro para publicação de trabalhos, quando o mesmo estava à frente do Programa de PósGraduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal da Paraíba;
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico-CNPq pela
concessão da bolsa de estudos durante todo o curso de doutorado;
Um agradecimento ao povo brasileiro que de uma forma ou de outra vem colaborando
com meus estudos todos esses anos;
Um agreadecimento muito especial aos meus familiares, minhas irmazinhas (Landa e
Ade), ao meus irmãos (Fernando, Antonio, Maurício e Jorge) a minha dinda (Ana Maria
Secco) ao meu eterno nenezinho (Ana Heta Zimmer), e aos meus docinhos (João Marcelo
Werlang Leite e Maria Julia Werlang Leite).
Água.... vida
quero ser rio
e correr livre
penetrar as fendas da terra seca
e dar vida.
e..fazer brotar as sementes.
quero ver o homem contente....correr
e ... colher
e...viver.
quero ser gota
a descer em meios aos campos,
encharcar os jardins de encantos,
ver florir cada botão
e cada milímetro de mim
fazer o verde cobrir o chão.
e então...
como rio,
como chuva
descansar nos braços do mar
na certeza da missão cumprida,
na certeza de que ..
onde passei ..
deixei encanto,
deixei vida.
(Edmar Moraes de Lima)
RESUMO
TRANSFERÊNCIA DE MASSA E CALOR NO COMPLEXO SOLO-VEGETAÇÃOATMOSFERA: SENSIBILIDADE DO MODELO À VARIABILIDADE ESPACIAL DA
CONDUTIVIDADE TÉRMICA DO SOLO
Desde a metade da década de 80 os modelos SVATs (Soil Vegetation Atmosphere Transfer
sheme) foram desenvolvidos para, inicialmente, descrever as condições de fronteira inferior de
modelos regionais de circulação atmosférica e posteriormente ser acoplados em modelos
hidrológicos e modelos de produção de massa vegetal. O desenvolvimento desses modelos faz
parte de estudos experimentais implantados em diversos biomas do mundo, onde os balanços
de energia são medidos continuamente no conjunto solo, vegetação e na atmosfera. Na região
semi-árida do Cariri paraibano foi instalado um experimento bastante complexo, com a
finalidade de se investigar o comportamento deste bioma. Os resultados deste experimento
mostram um comportamento bastante interessante do solo e da vegetação. Nesta tese são
modelizadas as transferências de massa e calor no solo para a atmosfera, em condições de
convecção livre, e determinado a partir de estudos experimentais os parâmetros físicos do solo
que interferem diretamente nos processos de transferência e, por fim, é examinada a questão
da variabilidade espacial desses parâmetros frente à representatividade do modelo
desenvolvido numa escala sub-regional. Os resultados mostram que os altos gradientes de
temperatura devido à baixa difusividade térmica freiam os fluxos de água dirigidos para cima
(ou seja, a evaporação) e chegam mesmo a inverter-los durante o dia.
Palavras-Chave: Modelos SVATs, Transferência de massa e calor, Condutividade térmica,
Cariri, região semi-árida.
i
ABSTRACT
HEAT
AND
MASS
TRANSFERENCE
IN
THE
SOIL-VEGETATION-
ATMOSPHFERE CONTINUN: SENSITIVITY OF THE MODEL TO THE SPATIAL
VARIABILITY OF THE SOIL THERMAL CONDUCTIVITY.
Since the half of the decade of 80 the SVATs models (Soil Vegetation Atmosphere Transfer
sheme) had been developed initially to describe the conditions of inferior border of regional
models of atmospheric circulation and later to be connected in hidrológicos models and
models of production of vegetal mass. The development of these models is part of diverse
implanted experimental studies in biomas of the world, where the energy rockings are
measured continuously in the alone set, vegetation and in the atmosphere. In the half-barren
region of cariri paraibano a sufficiently complex experiment was installed, with the purpose of
if investigating the behavior of this bioma. The results of this experiment show a sufficiently
interesting behavior of the ground and the vegetation. This thesis is modelizadas the mass
transferences and heat in the ground for the atmosphere, in conditions of free convection, is
determined from experimental studies and in laboratory the physical parameters of the ground
that intervene directly with the processes of transferences, and finally is examined the question
of the space variability of these parameters front to the representation of the model developed
in a subregional scale. The results show that the high gradients of temperature due to low
thermal difusivit brake the directed water flows for top (that is the evaporation) and exactly
arrive to invert them during the day.
Key-words: SVATs models, Transference of mass and schemes, thermal conductivity
ii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Representação simplificada do modelo da primeira geração...............................17
Figura 2.2 – Representação simplificada do modelo de segunda geração. ..............................18
Figura 2.3 – Representação simplificada do modelo de terceira geração proposto por
Boullet/Mosaico. .......................................................................................................................20
Figura 2.4 – Representação simplificada do modelo de segunda geração proposto
por Shuttleworth e Wallace (1985) para vegetação esparsas....................................................21
Figura 2.5 – Modelo em duas colunas apresentado por Boulet et al. (1998)...........................22
Figura 3.1 - Malha no limite inferior – fluxo nulo e temperatura constante.............................34
Figura 3.2 – Desenho esquemático do balaço de massa e calor...............................................37
Figura 3.3 – Malha no limite superior......................................................................................38
Figura 3.4 – Perfil inicial do potencial matricial......................................................................42
Figura 3.5 – Perfil inicial da temperatura.................................................................................42
Figura 3.6 – Malha do perfil do solo em volume finito em qualquer posição..........................44
Figura 3.7 - Representação da matriz coluna para as equações de transferência de massa e
transferência de calor.................................................................................................................50
Figura 4.1 – Mapa do estado da Paraíba com localização do experimento..............................55
Figura 4.2 – Vista panorâmica da estação bioclimatológica do Experimento Cariri...............56
Figura 4.3 – Detalhamento dos equipamentos no interior do solo...........................................56
Figura 4.4 - Vista em foco dos equipamentos do Experimento Cariri...................................57
Figura 4.5 - Curva granulométrica do solo..............................................................................59
iii
Figura 4.6 – Perfil da densidade global do solo estudado........................................................60
Figura 4 .7 – Curvas de retenção experimentais.......................................................................63
Figura 4.8 – Condutividade hidráulica à 5 cm de profundidade...............................................66
Figura 4.9 – Difusividade térmica do solo – Experimento Cariri.............................................68
Figura 4.10 – Coeficiente de difusão de água devido ao gradiente de temperatura DT...........69
Figura 4.11 - Coeficiente de difusão de água devido a um gradiente de umidade Dh.............69
Figura 4.12 – Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de umidade.............72
Figura 4.13–Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de temperatura..........72
Figura 4.14 – Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de umidade.............74
Figura 4.15 – Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de temperatura........74
Figura 4.16–Coeficiente de transporte de umidade devido ao gradiente de umidade .............75
Figura 4.17 – Coeficiente de transporte de umidade devido ao gradiente de temperatura......76
Figura 4.18 - Coeficiente de transporte de umidade devido ao gradiente de umidade.............77
Figura 4.19 - Coeficiente de transporte de umidade devido gradiente de temperatura............77
Figura 4.20 – Capacidade calorífica A2, em função da pressão matricial. ..............................79
Figura 4.21 – Capacidade calorífica A2, em função da temperatura.......................................79
Figura 4.22 - Capacidade calorífica em função do potencial matricial....................................80
Figura 4.23 - Capacidade calorífica em função da temperatura...............................................81
Figura 4.24 – Coeficiente de transporte de calor em função do potencial matricial................82
Figura 4.25 – Coeficiente de transporte de calor em função da temperatura...........................82
Figura 4.26 – Coeficiente de transporte de calor em função do potencial matricial................83
Figura 4.27 – Coeficiente de transporte de calor em função da temperatura...........................84
iv
Figura 5.1 – Perfil inicial do potencial matricial......................................................................85
Figura 5.2 – Perfil inicial da temperatura.................................................................................86
Figura 5.3 – Temperatura 0,4 mm profundidade e experimental.............................................87
Figura 5.4 – Temperatura 2 cm profundidade e experimental.................................................87
Figura 5.5 – Temperatura 5 cm profundidade e experimental..................................................88
Figura 5.6 – Comparação entre os potenciais matriciais observados e simulados a 5 cm de
profundidade..............................................................................................................................89
Figura 5.7 – Comparação entre os valores experimentais e simulados de teta a 5 cm ...........90
Figura 5.8 – Detalhamento da umidade volumétrica a 5 cm de profundidade.........................90
Figura 5.9 – Fluxo de calor sensível.........................................................................................91
Figura 5.10 – Fluxo de calor latente........................................................................................92
Figura 5.11 – Representação da aplicação do método do balanço hídrico com plano de fluxo
nulo. (Fonte Silva, 2003)...........................................................................................................92
Figura 5.12 – Balanço de energia à superfície do solo.............................................................94
Figura 5.13 – Fluxos de massa para o dia 13............................................................................95
Figura 5.14 – Fluxos de massa para o dia 15............................................................................95
Figura 6.1 – Resultado experimental da difusividade térmica do solo na profundidade de 5
cm.............................................................................................................................................103
Figura 6.2 – Resultado dos ajustes da difusividade térmica .................................................109
v
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Critério para decidir o tipo de convecção ...........................................................39
Tabela 4.1 – Valores das curvas características de umidade camada 1 e 2 ............................61
Tabela 4.2 – Ajustamento da curva de retenção ao modelo de Van Genuchten para a primeira
camada.......................................................................................................................................62
Tabela 4.3 – Ajustamento da curva de retenção ao modelo de Van Genuchten para a segunda
camada.......................................................................................................................................63
Tabela 4.4 – Condutividade hidráulica saturada para diferentes texturas de solos..................64
Tabela 4.5 – Resultados da condutividade hidráulica...............................................................66
Tabela 5.1 – Comparação dos valores simulados e experimentais da evaporação diária do
solo.............................................................................................................................................93
Tabela 6.1 – Resultados dos modelos....................................................................................107
vi
LISTA DE SIMBOLOS
bT = Coeficiente de expansão (adimensional)
*
C = Capacidade calorífica (Jm-3K-1)
Ch = Constante (6,8 K-1)
cl = Calor especifico do liquido (4186 J/kg K)
cs = Calor especifico do sólido (800 J/kgK)
 = Difusividade térmica (W/m2)
CTA = Condutividade térmica aparente (W/m/K)
cv = Calor específico do vapor (1386 J/kg K)
DesatDT = Derivada da pressão de saturação com relação a temperatura
Dh = Coeficiente de transferência devido ao gradiente do potencial matricial (m/s)
DhDT = Derivada do potencial matricial com relação a temperatura
DLT = Coeficiente de termomigração (m2/s/K)
DmvDh = Derivada da massa específica de vapor com o potencial matricial
DT = Coeficiente de transferência devido ao gradiente de temperatura (m2/s/K)
DTS = Difusividade térmica do solo (W/m/K)
DtetaDh = Equação de Muallen com parâmetros de Genuchten
DtetaDT = Derivada da umidade com relação a temperatura
Dv = Difusividade molecular do vapor (m2/s)
Dva = Difusividade molecular do ar (m2/s)
Dvh =Difusividade molecular do vapor devido ao gradiente do potencial matricial (kg/ m s)
DvT = Difusividade molecular do vapor devido ao gradiente de temperatura (kg/m s K)
esT = Pressão de vapor de saturação (função de T) Pa
Evap = Evapotranspiração
Fp = Fator de correção devido a pressão (1,02)
g = Aceleração da gravidade (m/s²)
G = Fluxo de calor (W/m2)
h = Potencial matricial (Pa)
vii
hPocor = Potencial matricial corrigido
hr = Umidade relativa (%)
Hs = Fluxo de calor sensível (Wm-2)
K = Condutividade hidráulica (m/s)
Kcor = Parâmetro para correção da condutividade hidráulica devido a viscosidade
L= Calor latente de vaporização (J/kg)
LE = Fluxo calor latente (Wm-2)
m,n, = Parâmetros da curva de van Genuchten
mar = Massa específica do ar (kg/m³)
ml = Massa específica do líquido (kg/m³)
Mmv = Massa molar da água (g/mol)
ms= Massa específica do sólido (kg/m³)
mv = Massa de vapor (kg/mol)
Pr = Número de Prandtl
qm = Fluxo de massa (kg/m2/s)
qV = Fluxo de vapor (kg/m2/s)
R = Constante dos gases perfeitos ( J/K kmol)
T = Temperatura (K)
TL = Temperatura da superfície (K)
Tr = Tortuosidade (adimensional)
 = Viscosidade (m2/s)
W = Calor de molhamento (adimensional)
S = Massa específica do sólido (Pa)
l = Massa específica do líquido (Pa)
v = Massa específica do vapor (Pa)
s
=
Umidade de saturação do solo (cm³/cm³)
l = Umidade do líquido (cm³/cm³)
v = Umidade do vapor (cm³/cm³)
viii
r = Umidade residual do solo (cm³/cm³)
 = Umidade da equação de Genuchten (cm³/cm³)
vols = Volume do sólido (0,494 m³/m³ valor experimental médio de 90 amostras
*
 = Condutividade térmica aparente (W/m/K)
 = Condutividade térmica (W/m/K)
VA1, VB1, VC1, VD1, VE1, VF1 ,VG1= (Parâmetros. da matriz de massa)
VA2, VB2, VC2, VD2, VE2, VF2 , VG2 = (Parâmetros da matriz de calor)
ix
SUMÁRIO
RESUMO.....................................................................................................................................i
ABSTRACT................................................................................................................................ii
LISTA DE FIGURAS...............................................................................................................iii
LISTA DE TABELAS..............................................................................................................iv
LISTA DE VARIAVEIS............................................................................................................v
CAPÍTULO I....................................................................................................................... 14
1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 14
CAPÍTULO II ..................................................................................................................... 17
2 - ESTADO DA ARTE ..................................................................................................... 17
CAPÍTULO III.................................................................................................................... 26
3 – MODELO FÍSICO – TRANSFERÊNCIA DE ÁGUA E CALOR NO SOLO E NA
ATMOSFERA EM CONDIÇÕES DE CONVECÇÃO LIVRE. ....................................... 26
3.1 – Equacionamento do problema ................................................................................... 26
3.2 - Transferência de massa e de calor no solo ................................................................. 26
3.3 - Equação de conservação de massa ............................................................................. 27
3.4 – Primeira lei da termodinâmica .................................................................................. 28
3.5 - Equações de transporte ............................................................................................... 31
3.5.1 - Fluxo de água na fase líquida ................................................................................. 31
3.5.2 - Fluxo de água em fase vapor .................................................................................. 33
3.5.3 - Fluxo de calor no solo ............................................................................................ 35
3.6 - Sistema de equações .................................................................................................... 35
3.6.1 - Equações de transporte de umidade no solo ............................................................ 35
3.6.2 - Equação de transporte de calor ............................................................................... 36
3.6.3 – Apresentação do sistema de equação...................................................................... 37
3.7 – Condições de contorno e condições iniciais ............................................................... 38
3.7.1 - Contorno inferior.................................................................................................... 38
3.7.2 - Contorno superior .................................................................................................. 40
3.7.3 – Balanço de energia na atmosfera entre o solo e a vegetação ................................... 41
3.7.4 - Condições iniciais .................................................................................................. 45
3.8 - Solução numérica ........................................................................................................ 46
3.8.1 – Discretização através de volumes finitos ................................................................ 47
3.8.2 - Coeficiente de relaxação das variáveis T e h para equação de massa e de calor ....... 50
3.8.3 - Função temporal dos coeficientes ........................................................................... 50
3.8.4 - Apresentação das equações ma forma matricial ...................................................... 52
3.8.4.1 – Forma matricial............................................................................................... 53
3.9 - Algoritmo de Douglas ................................................................................................ 54
CAPÍTULO IV .................................................................................................................... 57
4 – ESTUDO EXPERIMENTAL – DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE
TRANSFERÊNCIA DE MASSA E CALOR NO SOLO ................................................... 57
4.1 – Localização do Experimento Cariri ........................................................................... 57
4.2 – Determinação das propriedades físicas do solo relevantes para o estudo ................ 60
4.2.1 – Granulometria e densidade global do solo .............................................................. 61
4.2.1.1 – Granulometria ................................................................................................. 61
4.2.1.2 – Densidade global (dg) ..................................................................................... 62
4.2.1.3 – Curva retenção do solo .................................................................................... 63
4.2.1.4 - Condutividade hidráulica ................................................................................. 66
4.2.1.5 - Difusividade térmica do solo ........................................................................... 70
4.2.1.6 – Coeficientes de difusão de água (difusão de massa) ........................................ 71
4.2.6 – Coeficientes de capacidade hidráulica .................................................................... 73
4.2.6.1 - Coeficiente de capacidade hidráulica associado ao gradiente de umidade e de
temperatura ................................................................................................................... 73
4.2.6.2 – Coeficientes de transporte de umidade associado ao gradiente de umidade e de
temperatura ................................................................................................................... 77
4.2.7 – Coeficientes de capacidade calorífica ..................................................................... 81
4.2.7.1 - Coeficiente de capacidade calorífica associado ao gradiente de umidade e de
temperatura ................................................................................................................... 81
4.2.7.2 - Coeficiente de transporte de calor .................................................................... 84
CAPÍTULO V ..................................................................................................................... 88
5 – RESULTADOS DO MODELO .................................................................................... 88
5.1 – Valores de temperatura observados e simulados. ..................................................... 89
5.2 – Valores de umidade observados e simulados a 5 cm de profundidade. .................... 91
5.3 – Fluxo de calor sensível simulado. ............................................................................... 94
5.4 – Fluxo de calor latente de evaporação......................................................................... 94
5.5 – Balanço de energia ..................................................................................................... 96
5.6 – Fluxo de massa devido ao gradiente de potencial matricial e ao gradiente de
temperatura ......................................................................................................................... 97
CAPÍTULO VI .................................................................................................................. 100
6 – CONTIBUIÇÃO À TÉCNICA DE AGREGAÇÃO: PAPEL DA DIFUSIVIDADE
TERMICA DO SOLO ..................................................................................................... 100
6.1 - DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA DIFUSIVIDADE TÉRMICA ........... 101
6.2 - MODELOS DE CÁLCULO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA ......................... 106
6.2.1 - Modelo De Mc Cumber e Pielkes ........................................................................ 106
6.2.2 - Modelo de Johansen ............................................................................................. 107
6.2.3 - Modelo de de Vries .............................................................................................. 108
6.3 - Resultados da aplicação desses modelos................................................................... 109
6.3.1 - Ajuste do modelo de Mc Cumber e Pielkes .......................................................... 110
6.3.2 - Ajuste do modelo de Johansen ......................................................................... 110
6.3.3 – Ajuste do modelo de de Vries .............................................................................. 111
6.4 - ESTUDO DA VARIABILIDADE ESPACIAL DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA
........................................................................................................................................... 112
6.4.1 - Determinação dos teores de matéria orgânica, densidade global, do quartzo e de
outros minerais ................................................................................................................ 113
6.4.2 – Análise estatística das propriedades ..................................................................... 114
6.4.3 – Determinação da condutividade térmica............................................................... 115
6.4.4 – Sensibilidade do modelo SVATs à variabilidade espacial. ................................... 120
6.4.4.1 – Análise da sensibilidade da evaporação simulada pelo modelo. ..................... 121
6.4.4.2 – Análise da sensibilidade da temperatura máxima diária à superfície do solo ao
valor da condutividade térmica. ................................................................................... 122
6.4.4.3 – Análise da sensibilidade dos fluxos de água devido aos gradientes de potencial
matricial e de temperatura ........................................................................................... 124
CAPÍTULO VII ................................................................................................................ 125
7 - CONCLUSÕES............................................................................................................ 125
CAPÍTULO VIII ............................................................................................................... 129
8 - BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 129
x
CAPÍTULO I
1 – INTRODUÇÃO
O semi-árido do Brasil e, mais especificamente a região chamada de Cariris nos
Estados da Paraíba e do Rio Grande do Norte (incluindo as micro-regiões denominadas Cariri,
Seridó e Curimataú), onde os volumes precipitados anualmente são os menores do Brasil, é
potencialmente sujeito à desertificação. As principais razões são as vulnerabilidades climáticas
e edáficas dos ecossistemas da região, associadas a um ambiente sócio-econômico
desfavorável. As precipitações são de origem convectivas, isto é, ocorrem devido a fluxos de
calor verticais intensos oriundos da superfície do solo e, apresentam uma variabilidade espaçotemporal muito elevada. Elas são de curta duração e alta intensidade. O papel do solo e da
vegetação nestes processos convectivos é, na região, ainda desconhecido, no entanto, a
vegetação, adaptada às condições adversas do clima, defende-se, com mecanismos próprios,
das altas temperaturas e, de longos períodos secos. A vegetação então, assim como o solo,
apresenta um papel importante na repartição da energia solar em fluxo de calor sensível e
fluxo de calor latente de evapotranspiração. Apresenta um papel importante, também, quanto à
proteção do solo contra a erosão e na conservação da umidade. Neste ambiente, o
entendimento dos processos que governam a troca de massa e calor entre o solo a vegetação e
a atmosfera são de alta relevância para o aprimoramento e acuidade nos modelos de previsões
meteorológicas.
O Projeto Cariri busca modelizar os fluxos de massa e calor no complexo solovegetação-atmosfera, objetivando fornecer parâmetros que permitam melhorar os modelos
hidro-climatológicos aplicados à região semi-árida do Brasil. É neste contexto que se
desenvolveu essa pesquisa, para representar com mais realidade o balanço de massa e calor à
superfície e os fluxos de calor latente e calor sensível, através de estudos experimentais e
14
modelagem matemática das transferências de massa e calor entre o solo, a vegetação e a
atmosfera.
Um estudo experimental foi conduzido entre 2001 e 2003, na bacia experimental da
Universidade Federal da Paraíba (UFPB), em São João do Cariri. Medições na camada limite
atmosférica, no dossel da vegetação e no solo foram feitas para orientar o desenvolvimento de
um modelo SVATs (Soil Vegetation Atmosphere Transfer scheme) adequado à região. Silva
(2003) analisou os resultados experimentais, principalmente no seu componente “atmosfera”.
Os resultados apresentados mostraram a importância do solo e da vegetação nos processos de
troca de calor e de vapor de água entre o solo e a atmosfera (Passerat de Silans e Silva, 2003).
Passerat de Silans e Silva (2006), assim como Goldfarb (2006), mostraram que para a
região semi-árida do Cariri, um modelo SVATs deveria seguir a concepção de modelo
mosáico proposta por Boulet (1998). Neste caso, o modelo de transferência de massa e calor
entre o solo e a atmosfera é composto de duas colunas, consideradas de forma simplificada
como independentes: uma coluna representando as transferências diretamente do solo para a
atmosfera e a outra representando as transferências do solo para a vegetação e desta para a
atmosfera.
Nesta tese dar-se-á continuidade aos trabalhos de Silva (2003) e de Goldfarb (2006),
focalizando preferencialmente os aspectos relativos ao solo e modelizando as transferências de
massa e calor do solo para a atmosfera, em condições de convecção livre (primeira coluna do
modelo mosaico). São determinados a partir de estudos experimentais, e em laboratório, os
parâmetros físicos do solo que interferem diretamente nos processos de transferências, e por
fim é examinada a questão da variabilidade espacial da condutividade térmica frente à
representatividade do modelo desenvolvido numa escala sub-regional. Não se pretende
trabalhar com técnicas de agregação, mas contribuir para o desenvolvimento desta técnica.
Conforme os resultados experimentais o papel termodinâmico do solo apresenta uma
importância muito relevante na dinâmica da água no solo e no processo de evaporação. No
entanto sabe-se que as propriedades físicas do solo podem apresentar grande variação espacial
numa mesma unidade edáfica (Nielsen et al. 1973; Vauclin 1981; Vieira 1981; Teixeira Filho
2001; Lima & Passaret de Silans 1993). Então, procurar-se-á analisar a sensibilidade das
respostas do modelo à variabilidade da difusividade térmica para assim contribuir com o
melhoramento das técnicas de agregação.
15
Estrutura da tese
A tese será composta por seis capítulos. O primeiro capítulo é composto desta
introdução.
No segundo denominado de “ESTADO DA ARTE” será apresentada a evolução ao
longo do tempo da concepção dos modelos SVATs. Uma revisão de modelos e experimentos
adaptados às regiões semi-áridas será descrita para situar o problema em foco, no contexto do
desenvolvimento científico atual.
No terceiro capítulo é apresentado o desenvolvimento do sistema de equações que
descreve a transferência unidimensional de massa e calor no solo. O sistema de equações é
composto por duas equações que tratam das transferências de massa e de calor, fortemente
acopladas entre si. As condições de contorno na base da coluna são justificadas e as condições
de contorno na parte superior são modelizadas pelas transferências de massa e calor entre o
solo e a atmosfera. No solo, duas variáveis de estado são consideradas, o potencial matricial e
a temperatura do solo. Optou-se pelo potencial matricial, em vez do teor volumétrico de
umidade, para assegurar a continuidade da variável na vertical. Dada a impossibilidade de
solução puramente analítica do sistema de equações que compõe o modelo SVAT, apresentase também neste capítulo o procedimento numérico utilizado para a solução.
O quarto capítulo descreve o Experimento Cariri, mostra os estudos experimentais
desenvolvidos para a obtenção dos parâmetros que compõem as equações de transferência no
solo e apresenta as variações dos parâmetros os mais importantes com as variáveis de estado.
O quinto capítulo compara os resultados do modelo numérico com os valores de
diversas variáveis observadas experimentalmente ou deduzidas dos estudos experimentais.
No sexto capítulo são apresentadas considerações sobre a variabilidade espacial do
solo, e como considerar na determinação de parâmetros efetivos para os modelos de circulação
atmosférica ou para os modelos hidrológicos. Um estudo específico da variabilidade espacial
da condutividade térmica do solo é realizado, mostrando a sensibilidade do modelo a essa
variabilidade.
O sétimo capítulo constitui as principais conclusões do trabalho.
16
CAPÍTULO II
2 - ESTADO DA ARTE
Os modelos regionais ou modelos de mesoescala, largamente aplicados em pesquisas
de previsões climáticas, inclusive nos estudos das mudanças climáticas, utilizam os modelos
SVATs (Soil Vegetation Atmosphere Transfer scheme) para descrever as condições de
contorno inferiores. Desta forma, o aprimoramento dos modelos regionais está
necessariamente vinculado ao aprimoramento dos modelos SVATs.
Sellers et al. (1997), têm feito uma revisão cronológica dos modelos SVATs chegando
a classifica-las em três gerações distintas, que procuram incorporar informações de interesse
de cada época.
A primeira geração, desenvolvida nas décadas de 60/70, considera que o solo e a
vegetação são representados por uma superfície única. As transferências de massa e calor se
processam em uma só camada, não se fazendo distinção entre o solo e a vegetação. Essa
geração de modelos segue a metodologia de Penman-Monteith (1965) para o cálculo da
evapotranspiração potencial - ETP. A Figura 2.1 apresenta um esquema representativo do
modelo da primeira geração desenvolvido nas décadas de 60/70.
LE
Hs
rav
ra
ras
Figura 2.1 – Representação simplificada do modelo da primeira geração
17
Sendo, Hs calor sensível, LE calor latente, ra, rav e ras resistência aerodinâmica referente a
vegetação e ao solo respectivamente.
Os modelos de segunda geração, desenvolvidos na década de 80, baseiam-se no
conceito de “big-leaf”, onde a vegetação é considerada uma grande folha e seus estômatos
funcionam como fonte de vapor. Estes modelos são, no mínimo, de duas ou mais camadas.
Separam o solo e a vegetação em duas camadas distintas. As transferências de massa e calor
são originadas pelo solo e pela vegetação. Desse modo é possível representar o efeito da
dinâmica da água no solo sobre os parâmetros que envolvem as transferências de vapor de
água e calor. E a transferência de calor no solo é atualizada em função do balanço de energia e
da evapotranspiração.
Shuttleworth e Wallace (1985) desenvolveram um modelo a 4 camadas, baseado no
conceito de Big-Leaf, para ser aplicado em vegetações esparsas, sugerindo a possibilidade de
usa-lo em regiões semi-áridas. Na Figura 2.2 é apresentado um esquema simplificado de um
modelo da segunda geração. O comportamento dos fluxos de calor sensível e de calor latente é
dividido em duas camadas. Os fluxos ocorrem através de um conjunto de resistências
associadas ao solo (ras), a vegetação (rav) e à camada limite acima do dossel (ra) resistência
Hs
LE
rav
rah
raes(Rg,Ta,D,)
ra (caule)
ra (raízes)(i, Ti, f)
Figura 2.2 – Representação simplificada do modelo de segunda geração
18
aerodinâmica, (Rg, Ta,D,) são parâmetros referente a resistência aerodinâmica da interface e
(i, Ti, f ) são parâmetros referente a resistência aerodinâmica das raízes.
Os modelos SVATs de segunda geração mais conhecidos e utilizados na
parametrização das condições inferiores de modelos de circulação atmosférica são os modelos
BATs (Dickinson et al., 1986), SIB (Sellers et al., 1986) e ISBA (Planton, 1989). São modelos
já incorporados a modelos de circulação atmosférica de mesoescala e modelos hidrológicos
distribuídos.
A terceira geração concerne modelos desenvolvidos na década de 90. São estruturados
da mesma forma que os modelos da segunda geração, mas considera a assimilação do gás
carbônico nos processos de transferência. Neles, o papel da vegetação é incorporado aos
algoritmos de representação da condutância estomatal (Jarvis e Davis 1998). A crescente
emissão de dióxido de carbono (CO2) na atmosfera tem causado sérios problemas, como o
efeito estufa. Devido à quantidade com que é emitido, o CO2 é o gás que mais contribui para o
aquecimento global (Sanquetta, 2002). O tempo de sua permanência na atmosfera é de 50 a
200 anos. Isto significa que as emissões de hoje têm efeitos de longa duração, podendo
resultar em impactos no regime climático ao longo dos séculos. Diversas pesquisas (Sanquetta,
2002) apontam que, caso a concentração de CO2 continue crescendo, a temperatura média da
terra vai aumentar (entre 1,4 e 5,8°C) até 2100 causando efeitos climáticos extremos
(enchentes, tempestades, furacões e secas), alterações também na variabilidade de eventos
hidrológicos (aumento do nível do mar, mudanças no regime das chuvas, avanço do mar sobre
os rios, escassez de água potável) e colocando em risco a vida na terra.
Todos os modelos das três gerações utilizados atualmente para prever a circulação
atmosférica são baseados no conceito de “big leaf”. Vários experimentos de grande porte sob
a égide do GEWEX (Global Energy and Water Cycle Experiment) têm contribuído no
desenvolvimento dos modelos SVATs. Esses experimentos, conduzidos em diversas partes do
planeta, são representativos de feições climáticas associadas a biomas bem diferenciados. Os
experimentos HAPEX (Hydrological – Atmospheric Pilot Experiment) foram desenvolvidos
na década de 90. Destes, três experimentos foram desenvolvidos em regiões áridas ou semiáridas. São os experimentos EFEDA 1 e 2 na região de clima mediterrâneo da Espanha (Bolle,
1993), o HAPEX – Sahel na região árida do Sahel na África do Oeste (André, 1997; Goutorbe
19
et al., 1997) e recentemente o experimento SALSA desenvolvido na bacia hidrográfica do Rio
San Pedro entre o México e o Arizona (EUA) (Chebouni et al., 2000). Os três experimentos
(Hveg.,HS) + (LEveg.,LES)
Solo + veg.
H(veg
)
LE(veg)
Co2
rav
raes(Rg,Ta,D,)
rb
superfície
ra (caule)
ra (raízes)(r, Tr, f)
Figura 2.3 – Representação simplificada do modelo de terceira geração proposto por Boullet
et al. (1998)
mostram que o conceito “big leaf” não se adequar às regiões semi-áridas, pois a vegetação é
muito esparsa.
O modelo proposto por Shuttleworth e Wallace (1985) para vegetação esparsa
apresenta resultados satisfatórios para áreas cultivadas, mas em área de vegetação natural não
apresenta bons resultados (Mulligan, 2004). Nesse modelo o conceito de “big leaf” é mantido,
considerando a contribuição do solo diretamente para a atmosfera no dossel da vegetação.
20
O modelo de Shuttleworth e Wallace é esquematizado na Figura 2.4. A transferência
de água é representada na porção à direita da figura. A água é extraída do solo em diversas
camadas através das raízes. Esta água é conduzida até as folhas pelo caule da vegetação, mas
parte também da umidade do solo é perdida por evaporação direta do solo. Este fluxo é
representado através de uma resistência aerodinâmica que considera um processo de extinção
da turbulência. Através da resistência estomatal e de outra resistência aerodinâmica em série, o
vapor de água é transpirado da folha para o ar dentro da copa. Depois o fluxo de vapor é
LE(veg)
H(veg)
rav
raes(Rg,Ta,D,)
rb
rb
ra (caule)
ras
ra (raízes)(r, Tr, f)
Figura 2.4 – Representação simplificada do modelo de segunda geração, proposto por
Shuttleworth e Wallace (1985) para vegetação esparsas
transferido para a camada limite atmosférica acima do dossel através da resistência
aerodinâmica raV, a qual depende da turbulência e do grau de instabilidade da atmosfera O
fluxo de calor sensível, representado na porção esquerda da figura, neste modelo, é transferido
21
da superfície do solo para o ar dentro da copa de vegetação e a seguir transferido para a
camada limite atmosférica através da mesma resistência aerodinâmica r aV.
Jacobs e Verhoef (1997), analisando dados do experimento HAPEX-Sahel, observaram
que em 20% dos casos a transferência de calor sensível e vapor de água entre o solo e a
vegetação ocorrem por convecção livre. Concluíram que essa transferência não pode ser
representada por uma fórmula de atenuação da turbulência. Baseando-se num conceito
introduzido por Massman (1992) sobre o papel do solo, desenvolveram uma teoria, utilizando
o número de Sherwood para separar o fluxo evaporado partindo do solo e o fluxo transpirado
pela vegetação. Essa teoria foi verificada sobre lisímetros instalados em área de savana, ora à
sombra de arbustos, ora no solo exposto diretamente a radiação solar.
Boulet et al. (1998), com os resultados do experimento SALSA, sugeriram que se
trabalhasse para o desenvolvimento de modelos SVATs adaptados a regiões semi-áridas com
modelos tipo “Mosaico” em vez de adaptar os modelos existentes para introduzir duas
colunas, como proposto por Shuttleworth e Wallace (1985) e adotado por Jacobs e Verhoef
(1997), entre outros. O modelo “Mosaico” composto por um modelo de colunas solo–camada
limite atmosférica onde predomina solo desnudo ou coberto por gramíneas e outra coluna solo
com vegetação “ilhas de vegetação”. A Figura 2.5 apresenta um esquema deste modelo em
duas colunas, onde a (coluna a) representa a fração solo desnudo ou coberto por gramíneas e a
(coluna b) solo com vegetação.
Mulligan (2004) realizou uma revisão dos estudos sobre as regiões semi-áridas que
receberam contribuição financeira da Comunidade Europa e destacou que, nessas regiões é
indispensável separar as contribuições do solo e da vegetação, bem como os diferentes efeitos
que podem ocorrer em períodos úmidos e períodos seco de longo estresse hídrico.
Passerat de Silans et al. (2000) instalaram um experimento denominado Experimento
Cariri na fazenda escola de São João do Cariri, no Estado da Paraíba para coletar informações
micrometeorológicas na camada limite atmosférica, no dossel da vegetação e no solo para
realizar localmente os balanços de radiação, de energia e de umidade. O objetivo de Passerat
de Silans et al. (2000) foi desenvolver um modelo SVATs para futuramente, ser incorporado a
modelos de circulação atmosférica de mesoescala aplicáveis na região.
22
(Hveg.,HS) + (LEveg.,LES)
Solo + veg.
H(veg)
LE(veg)
rav
rs
raes(Rg,Ta,D,)
rb
ra (caule)
superfície
ra (raízes)(r, Tr, f)
Coluna (a)
Coluna (b)
Figura 2.5 – Modelo Mosaico (em duas colunas independentes) apresentado por Boulet et al.
(1998), coluna (a) solo sem vegetação, coluna (b) solo com vegetação
Silva (2003), analisando os dados coletados no Experimento Cariri, observou que a
vegetação se comporta como uma cobertura para micro-clima local: abaixo do dossel funciona
como auto-reguladora das perdas energéticas e, acima, atuando como tampão, impedindo o
transporte de vapor de água para a atmosfera. Silva (2003) mostrou que entre solo e dossel da
vegetação, o fluxo de calor sensível e o fluxo de vapor de água se processam por convecção
livre. Os coeficientes de difusão que regem os processos de convecção livre (difusão
molecular) são bem inferiores aos coeficientes de difusão turbulenta. Os valores dos fluxos são
afetados pela diferença de temperatura entre o ar em contato com solo e o ar presente no
23
dossel. O autor já citado observou que a temperatura na superfície do solo é muito elevada
durante o dia, devido ao baixo valor da difusividade térmica do solo, e que a temperatura do ar
em torno das folhas é também muito elevada, devido ao mecanismo de controle da
transpiração, próprio da vegetação das regiões semi-áridas. Em conseqüência disso a diferença
de temperatura entre o ar em contato como o solo e o ar atmosférico presente no dossel é
baixa, e os fluxo de calor sensível e de vapor de água também são baixos. Silva (2003)
também mencionou que essa diferença durante o dia se apresenta ora positiva ora negativa
indicando a presença de uma inversão térmica na altura do dossel. As medições efetuadas na
camada limite atmosférica acima do dossel confirmam a freqüente existência dessa inversão.
Assim, muitas vezes a atmosfera acima do dossel funciona como tampão para as transferências
de calor e vapor de água.
Os resultados apresentados por Silva (2003) sugerem que na região semi-árida coberta
por vegetação de caatinga, um modelo representativo das transferências de calor e massa entre
solo, vegetação e atmosfera (modelo SVATs), para ser incorporado em modelos circulação
atmosfera de mesoescala, deve considerar separadamente os efeitos do solo e os efeitos da
vegetação. Além disso, é indispensável que dentro do solo as transferências de calor e de água
sejam modelizadas de forma acoplada.
Mais especificamente nesta tese procura se desenvolver a parte do modelo que permita
avaliar a contribuição do solo para os diversos componentes do balanço energético.
É importante observar que o experimento e o modelo de transferências entre o solo e a
atmosférica referem-se a um estudo local. No entanto, os modelos de circulação atmosfera
utilizam para simular espacialmente todas as variáveis meteorológicas, uma discretização
espacial sob a forma de um grid, tipicamente de 20km por 20km e até 80km por 80km. Os
parâmetros do Modelo SVATs a serem implantados devem então ser capazes de representar a
heterogeneidade existente em cada célula deste grid. Shuttleworth et al. (1997), assim como
outros autores, sugeriram que se utilize uma técnica para definir os parâmetros médios do
modelo conhecida como técnica de agregação. A técnica de agregação foi criada para
determinar os parâmetros efetivos associados às transferências de momento e energia, entre a
superfície do solo e atmosfera em escalas usadas, em modelos de circulação global. Essa
agregação é feita através de associação teórica entre os parâmetros de escala da malha e os
parâmetros da escala do patch. Shuttleworth et al. (1997) trabalhou com essa técnica em
24
MCGs (Modelos de Circulação Geral), considerando que os fluxos médios da área devem ser
conservados, e, que o modelo usado para descrever as trocas de calor da superfície do solo
para a atmosfera na escala da malha deve ter a mesma estrutura dos modelos usados para
descrever essas trocas na escala de cada “patch” que compõe a malha do grid.. Lhomme et al.
(1994) aplicaram essa técnica na região árida do Sahel. Consideraram que diversos parâmetros
tais como o albedo, a emissividade e as resistências aerodinâmicas podiam ser estimadas como
médias ponderadas pelas áreas dos diversos patches. Trabalho similar foi feito por Boulet
(1998) no experimento SALSA. Passerat de Silans (1995), também no Sahel, mostrou que as
condutâncias aerodinâmicas efetivas nos processos de transferência de massa e calor na escala
de uma bacia hidrográfica, podiam ser deduzidas teoricamente da soma dos fluxos dos
diversos “patches” admitindo-se a existência de uma função de ponderação que dependesse da
umidade do solo. Vachaud et al. (2002) propuseram uma modelagem estocástica dinâmica
para a avaliação de parâmetros efetivos do modelo ANSWER. A área considerada por estes
autores era bem menor do que a área de uma grade de modelo de circulação atmosférica. Além
do mais, a área era relativamente homogênea quanto à vegetação e ao solo. Estes autores
estimaram então os efeitos da variabilidade espacial das propriedades hidrodinâmicas do solo
e de fixação de certos elementos químicos sobre os parâmetros efetivos do modelo ANSWER.
25
CAPÍTULO III
3 – MODELO FÍSICO – TRANSFERÊNCIA DE ÁGUA E CALOR NO SOLO E NA
ATMOSFERA EM CONDIÇÕES DE CONVECÇÃO LIVRE.
3.1 – Equacionamento do problema
Neste trabalho é desenvolvido um sistema de equacionados equações que descreve a
transferência unidimensional de umidade e calor no solo. Caracterizado como possível e
determinado, o sistema é composto por duas equações (transporte de umidade e transporte de
calor) e duas variáveis dependentes: o potencial matricial do solo (h) e a temperatura (T). Aqui
o potencial matricial do solo foi utilizada para representar a umidade do solo, visto que o
perfil de umidade está sujeito a descontinuidades nas diferentes camadas de solo consideradas.
3.2 - Transferência de massa e de calor no solo
Admitindo o solo como um meio poroso contínuo, inerte, e considerando as fases
líquidas e de vapor, as equações de transferência de massa e calor são obtidas da combinação
das equações de conservação (conservação da massa e 1a lei da termodinâmica) com as
equações de transporte dos constituintes: água sob a forma líquida e de vapor e calor.
As equações utilizadas no desenvolvimento do sistema podem ser divididas em
equações de conservação (conservação da massa e primeira lei da termodinâmica) e equações
de transporte (equação de Darcy, equação de Fick e equação da condução de calor). A partir
destas equações obtém-se o sistema de equações desejado.
26
3.3 - Equação de conservação de massa
A equação de conservação da massa deriva-se de uma aplicação básica da
formulação integral para um volume de controle, vastamente apresentada na literatura de
mecânica dos fluidos, a exemplo de Fox (2001). O princípio da conservação da massa declara
sua constância para um determinado sistema, o que garante a equação seguinte:


vc dV  SC  Vd A  0
t
(3.1)
Onde, a primeira integral representa a taxa de variação da massa com o tempo no volume de
controle; a segunda integral, o saldo do fluxo de massa através da superfície de controle;  a
massa específica. Aplicando o teorema da divergência (que transforma integral de superfície
em integral de volume) na equação anterior, tem-se:
 

 dV  vC   V dV  0
t vc
(3.2)
onde dV refere-se à integral volumétrica, e  é a simbologia representativa da divergência.
Daí tem-se:
0



  V dV   m l

dV



 l
vC  
t vc


(3.3)
e
0





  v dV  vC     V dV  m v
t vc


(3.4)
27
o
onde, m1 representa a massa que muda de fase por unidade de tempo. Nota-se que a segunda
integral das equações 3.1 a 3.4 representa o fluxo de massa através da superfície de controle.
Nesta, o termo
 i V (kg/m2/s) representa a densidade do fluxo de massa do constituinte. As
equações 3.1 e 3.4 se escrevem respectivamente para a água líquida e para o vapor de água,
sob a forma diferencial, isto é para cada volume elementar dV:
0
 l l d
 ql   ql
t
dz
(3.5)
0
 v v d
 qv   qv
t
dz
(3.6)
onde, ql é a densidade de fluxo de água (Kg/m2/s) sob a forma líquida e qv e a densidade de
fluxo de água sob a forma de vapor. O l e v representam o teor volumétrico da água sob
forma líquida e vapor, respectivamente, l e v são as massas específicas de água e de vapor
o
o
de água, já que q l e q v representam as variações de massa específica de massa de água e
o
o
vapor por unidade de volume e por unidade de tempo devido a natureza de fase, já q l = - q v .
3.4 – Primeira lei da termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica é aqui aplicada conforme Passerat de Silans (1986).
Neste caso, desprezando-se as variações de energia potencial e cinética no sistema, e
considerando o equilíbrio termodinâmico, tem-se:

Q
dH
dt
sistema
(3.7)
28
onde, H é a entalpia do sistema e Q é o calor fornecido ao sistema pelo meio externo.
Considerando o fluxo de calor através da superfície de controle, o calor fornecido ao
sistema pelo meio externo pode ser apresentado através da seguinte equação para transferência
unidimensional:



Q   q Vd A   
sc
Vc

(q h )dV
z
(3.8)
onde, qh é a densidade de fluxo de calor fornecido ao sistema.
A taxa de variação da entalpia do sistema é escrita através da formulação integral para
um volume de controle.
dH
dt
sistema





hdV


h
V
.
d
A

SC
t VC
(3.9)
As equações 3.8 e 3.9 combinadas e escritas para um constituinte elementar (i),
resultam na equação seguinte:



VC (  i  i h i )dV  VC ( (h i q i )dV   VC q h dV
t
z
z
(3.10)
A equação 3.10 pode ser escrita na forma diferencial,



 ( i  i h i )   (h i q i )   q h
t
z
z
(3.11)
onde,
29
iihi iihi (T  To )  sshs (T  To )  llhl (T  To )  vvh v (T  To )  A ;
os
subscritos s, l e v, correspondem às fases sólida, líquida e de vapor, respectivamente; A
representa a entalpia de mudança de fase, que supostamente é composta de dois termos
aditivos – a entalpia associada ao calor latente do vapor da água livre à temperatura To, e a
entalpia correspondente ao calor latente da água adsorvida, dada por:
l1
A   V  V L 0   l  Wd l
(3.12)
0
onde, L0 é o calor latente de vaporização da água livre à temperatura T0 e W é a diferencial do
calor de molhamento (ver Passerat de Silans, 1986).
A equação seguinte é obtida através das duas equações anteriores.

T

i h ii  (scss  lcll  vc vv )
 (vcp (T  T0 )  L0v ) v 

t
t
t



v v (cp (T  T0 )  L0 )  lcl (T  T0 ) l  l W l
t
t
t
(3.13)
onde, o somatório (scss+lcll+vcvv) corresponde à capacidade calorífica do meio poroso,
expressa através de C*.
O calor latente de vaporização da água, a uma determinada temperatura T, se escreve
através da seguinte equação:
L  Lo  Cp (T  To )
(3.14)
O somatório do segundo termo do lado esquerdo da equação (3.11) pode ser reescrito
da seguinte forma:



 (h i q i )  (Lq v  c l (T  T0 )q m
z z
z
(3.15)
30
onde, qm é a densidade de fluxo de massa dado pelo somatório das densidades dos fluxos
líquidos e de vapor
q m  ql  q v .
Inserindo as equações (3.13), (3.14) e (3.15 em (3.11) e considerando que o teor
volumétrico de água sob a forma de vapor é bem menor que a soma dos teores líquidos e de
vapor v       , tem-se:
C*
 v
T


T
 L v
 (L v   l W)
  (q m  Lq v )  c l q m
t
t
t
z
z
(3.16)
onde, C* é a capacidade calorífica do meio poroso; L é o calor latente de vaporização da água,
a uma determinada temperatura T; v é o teor volumétrico de água sob a forma de vapor,  é o
teor volumétrico de água; v e l são, respectivamente, as massas específicas da água sob a
forma de vapor e líquida; W é a diferencial do calor de molhamento, h é a pressão matricial do
solo e T a temperatura.
3.5 - Equações de transporte
3.5.1 - Fluxo de água na fase líquida
O fluxo de água na fase líquida pode ser calculado através da equação de Darcy
generalizada para o solo não saturado, escrevendo-a desta forma:
ql
H
 h 
 K
  K   1
l
z
 z 
(3.17)
onde, H é a carga hidráulica (H = h-z) e K é a condutividade hidráulica do solo não saturado:
K(,T). A condutividade hidráulica do solo não saturado depende da umidade do solo e da
temperatura. Segundo o modelo de Miller e Miller (1956) de escoamento em meio poroso, a
31
dependência da condutividade hidráulica com a temperatura se dá através da viscosidade
cinemática da água livre, :
K  K, T0 
T0 
T 
(3.18)
onde, T0 é a temperatura de referência, (T0) e (T) são as viscosidades cinemáticas da água
livre à temperatura de referência T0 e à temperatura T, respectivamente.
O potencial matricial h, variam com a profundidade (cota z) porque tanto a umidade
como a temperatura do solo varia com a profundidade. Assim a equação (3.17) se escreve
como:
ql
T
 h 
  K   1  D LT
l
z
 z 
(3.19)
sendo, DLT (m2/s/k) é a difusão de água líquida associada a um gradiente de temperatura:
D LT  K, T 
h
T
(3.20)

Considerando a água sob a forma capilar nos poros da matriz porosa, a equação de
equilíbrio é dada pela equação de Laplace na qual  é a tensão superficial:
h
 2
 l g rm
(3.21)
em que, rm é o raio de curvatura médio do menisco na interface água capilar – ar e , a tensão
superficial, que depende da temperatura: (T).
Tem-se, então:
32
h
1 

T   T
(3.22)
Milly (1980) considera, assim como outros autores que o valor apresentado na equação
(3.22) faz com que o valor de DLT seja bem inferior à realidade experimental. Este autor
propõe então a seguinte equação empírica para a dependência do potencial matricial com a
temperatura:
h, T   h, T0  exp( C h (T  T0 ))
(3.23)
em que:
h
 Ch h (, T0 )
T 
(3.24)
com Ch = 6,8 10-3 K segundo Milly (1980).
O valor de
h
T
é positivo. Da equação (3.24) deduz-se que DLT, a difusão de água

líquida associada ao gradiente de temperatura é positivo.
O fluxo de água líquida no solo é então dado por dois componentes: o fluxo devido
exclusivamente ao gradiente do potencial matricial, e o fluxo devido exclusivamente ao
gradiente de temperatura. Durante o dia geralmente os gradientes de potencial matricial e de
temperatura são de sentido contrário o que mostra que o fluxo devido ao gradiente de
temperatura pode “baixar” o fluxo devido ao gradiente do potencial matricial.
3.5.2 - Fluxo de água em fase vapor
33
O transporte da fase vapor no meio poroso pode ser representado por uma equação de
Fick:
q V  D V
V
z
(3.25)
em que, qv é a densidade do fluxo de vapor de água (kg/m2/s) e DV (m2/s) é o coeficiente de
difusão do vapor de água no solo úmido. DV é função do coeficiente de difusão molecular do
vapor de água no ar e da geometria dos poros na matriz porosa, V é a massa específica do
vapor de água é função das variáveis de estado potencial matricial (h) e temperatura (T).
Assim a equação de fluxo de água se escreve:
V V
h 
T

  V 
z
h T z T h z
(3.26)
Desta forma a densidade do fluxo de vapor (equação 3.25) se escreve como:
h
T 

qV   DVh
 DVT

z
z 

(3.27)
onde, DVh (kg/m2/s) é o coeficiente de difusão isotermo do vapor e D VT (m/s) é o coeficiente
de difusão do vapor sob o efeito de um gradiente de temperatura. O fluxo de água sob a forma
de vapor é dado então por duas componentes.
Conforme Passerat Silans (1986) as expressões para os coeficientes de difusão D Vh e
DVT foram propostas por Philip e de Vries (1957), pioneiros na modelização física das
transferências de massa e calor no solo. Cary e Taylor (1962, a e b) propuseram uma
formulação mais geral baseada sobre na termodinâmica dos processos irreversíveis. Jury et al
(1979) mostraram como as duas teorias se encontravam na hipótese de admitir o equilíbrio
termodinâmico entre as diversas fases do meio poroso. Mais tarde, frente a diversos resultados
experimentais obtidos, outras formulações também foram propostas. Passerat de Silans (1986)
faz uma revisão dessas formulações, bem como um estudo da sensibilidade do fluxo de calor
34
sensível e da evaporação de um solo para essas diversas formulações. A determinação destes
coeficientes, fortemente dependente do teor de umidade do solo e da temperatura, requer uma
modelização muito refinada dos processos de transferência de calor.
3.5.3 - Fluxo de calor no solo
A equação que representa o fluxo de calor no solo pode se escrever através da equação
de condução de calor em um sólido.
q h  
T
z
(3.28)
em que  é a condutividade térmica do meio poroso. De Vries (1953) elaborou um modelo
bastante complexo para estimar a condutividade térmica, a qual varia em função da umidade e
temperatura do solo.
3.6 - Sistema de equações
O sistema que governa a transferência unidimensional de umidade e calor no solo é
composto pelas equações de transporte de umidade e calor, ambas dependentes do potencial
matricial (h) e da temperatura do solo (T).
3.6.1 - Equações de transporte de umidade no solo
A equação de transferência de umidade no solo é obtida da combinação das equações
de conservação e das equações de transporte, aqui representadas pelas equações 3.5, 3.6, 3.17,
3.20 e 3.27. Após algumas simplificações e considerando que a densidade de fluxo de água, q m
35
é a soma da densidade de fluxo da água líquida e da densidade de fluxo de vapor de água, temse:

pv  
v pv  h 
pv  
v pv  T



 1 



1 

pl  h T pl h T  t 
pl  T h pl T h  t

(3.29)
 
h
T

 DT
 K
 Dh
z 
z
z

onde, v e l representam, respectivamente, as massas específicas da água na forma líquida e
de vapor; v é o teor volumétrico de água sob a forma de vapor e l o teor volumétrico de água
líquida; K é a condutividade hidráulica do solo não saturado; h é a pressão matricial do solo e
T a temperatura; Dh e DT são difusividades, expressas de acordo com as relações seguintes:
Dh  K 
1
D vh
pl
(3.30)
e
D T  D IT 
1
D vT
pl
(3.31)
onde, DVh é o coeficiente de difusão isotermo do vapor e DVT é o coeficiente de difusão do
vapor sob o efeito de um gradiente de temperatura.
3.6.2 - Equação de transporte de calor
A equação que descreve a transferência de calor no solo é obtida através da
combinação das equações (3.16), (3.27) e (3.28), anteriormente apresentada.
36
 p v
  h 

  T
 pl W  pvL   C  Lv v   l W  v L   
Lv
h T
h T  t 
T h
T h  t

  T
h
T
T 
    LD vh  LD vT  Clq m 
z  z
z
z
z 
(3.32)
onde, L é o calor latente de vaporização da água a uma determinada temperatura T; v é o teor
volumétrico de água sob a forma de vapor; W é a diferencial do calor de molhamento; v e l
são, respectivamente, as massas específicas da água sob a forma de vapor e líquida, h é a
*
pressão matricial do solo e T a temperatura;  representa a condutividade térmica aparente do
*
solo ( =  + LDvT), medida experimentalmente no solo.
3.6.3 – Apresentação do sistema de equação
As equações podem ser agrupadas sob a forma de um sistema de equações diferenciais
parciais, isomorfas, não lineares e fortemente acopladas, as quais se escrevem simbolicamente,
observando que a identificação para representar a transferência de massa ou de calor esta no
índice. Para massa considerar-se-á o índice (1) e calor o índice será (2), com segue:
A1
h
T   h
T

 B1
  C1
 D1
 E1 
t
t z  z
z

(3.33a)
A2
h
T   h
T

 B2
  C2
 D2
 E2 
t
t z  z
z

(3.33b)
Este sistema deve ser resolvido conhecendo-se as condições iniciais, isto é os campos
do potencial matricial (h) e de temperatura (T) em todo o domínio no instante inicial assim
como as condições de fronteiras. À fronteira inferior pode se impor condições de primeira
ordem, h(t) e T(t), ou de segunda ordem (fluxos conhecidos). Na fronteira superior, serão
impostas condições de segunda ordem (fluxos conhecidos) as quais serão determinadas pela
37
modelização dos fluxos na camada atmosférica, usando dados experimentais obtidos no
Experimento
Cariri
em
São
João
do
Cariri-PB
descrito
no
site
do
projeto,
www.lrh.ct.ufpb.br/cariri , bem como no próximo capítulo desta tese.
3.7 – Condições de contorno e condições iniciais
3.7.1 - Contorno inferior
Para as condições de contorno inferior, deparou-se com algumas dificuldades, pelo fato
do solo encontrado no Experimento Cariri, é relativamente raso. A profundidade inferior
máxima do solo é comumente limitada por uma camada rochosa de origem magmática, em
estados variáveis de intemperismo, porém, geralmente impermeável. No local de estudo, a
profundidade máxima do solo é aproximadamente de 0,4m. Por este motivo, considerou-se
que não existe fluxo de umidade na condição de contorno inferior (q m = 0).
Passerat de Silans et al. (2000) têm mostrado a importância do comportamento térmico
do solo nos processos físicos geradores dos fluxos de calor sensível e vapor de água e, que a
temperatura a 15cm de profundidade é quase constante, o que mostra que a onda de
temperatura na superfície penetra vagarosamente dentro do solo.
Silva et al. (2002), analisando resultados experimentais da variação da temperatura
com a profundidade na estação experimental de São João do Cariri, observaram uma grande
redução na amplitude diária da temperatura com o aumento da profundidade do solo. Nos
períodos estudados, enquanto na superfície do solo a amplitude máxima diária superava 20 oC,
a 0,05m de profundidade, este valor não ultrapassou o valor de 5 oC e a 15cm de profundidade
é sempre inferior a 0,3oC.
O fato observado por Silva (2002), ocasionado pela baixa difusividade térmica do solo,
associada às características impermeáveis das camadas inferiores, sugerem a possibilidade de
simplificação na condição de contorno inferior: T constante, onde T é a temperatura estimada a
partir de valores médios experimentais observados a
15cm de profundidade na estação
bioclimatológica de São João do Cariri.
38
Baseado-se nas considerações acima aplica-se no limite inferior o método dos volumes
finitos no sistema de equações, tanto para equação de transferência de massa como na equação
de transferência de calor, só variando o índice como identificado anteriormente, como segue:
A

p

e
(h p  h op )  B p (Tp  Tpo ) z   
w
 
q m tdz
z
(3.34)
Sendo que, qm representa o saldo do fluxo de massa na superfície do volume elementar de
integração e, qm,w, o fluxo de massa na fronteira w do volume de integração. Fazendo o lado
direito da equação igual ao fluxo na fronteira, isto é:
e

w
 
q m tdz  q m, w T
z
(3.35)
e agrupando as equações 3.24 e 3.25 tem-se:
A (h

p
p

 h op )  Bp (Tp  Tpo ) z  qm, w t
(3.36)
O fluxo de massa através da fronteira do volume elementar w pode ser calculado pela
seguinte equação:
qm , w  
Cw
h p  1   h op  h w  (1  )h ow 
zw


Dw
Tp  1   Tpo  Tw  (1  )Two  Ew
zw


(3.37)
Organizando os termos das equações 3.26 e 3.27 de maneira simbólica tem-se o termo
da matriz no limite inferior:
VA  
Cw
t
zw
(3.38)
39
VB  
Dw
t
zw
(3.39)
VC  Ap z  
Cw
t
zw
(3.40)
VD  Bp z  
Dw
t
zw
(3.41)
VE  0
(3.42)
VF  0
(3.43)




C
D
VG   Ap z  (1  ) w t h op   Bp z  (1  ) w t Tpo 
zw 
zw 






C
D
 (1  ) w t h ow   (1  ) w t Two  E ow t
zw 
zw 


(3.44)
3.7.2 - Contorno superior
A obtenção das condições de contorno superior, o fluxo de calor (G) e a evaporação
(evap) necessário para a solução do modelo, se dá através do acoplamento das mesmas, por
meio do sistema de equação de transferência de massa e calor no solo.
A Figura 3.1 apresenta um esquema representativo do balanço de energia no solo e na
interface com a atmosfera. Nesta figura Tlow é a temperatura medida acima do solo a nível do
dossel, G fluxo de calor e Evap representam a evaporação. Estes parâmetros Evap e G são
necessários para as condições de contorno superior. A evaporação é obtida através do balanço
de energia envolvendo o calor latente (LE) e o calor latente de vaporização (L).
40
Convecção livre
G
Superfície do solo
Evap.
interface
A1
h
T  
h
T

 B1

 D1
 E1 
 C1
t
t z 
z
t

massa
A2
h
T  
h
T

 B2
  C2
 D2
 E2 
t
t z 
z
t

calor
h
0
z
T  cons tan te
Figura 3.1– Desenho esquemático do balaço de massa e calor
3.7.3 – Balanço de energia na atmosfera entre o solo e a vegetação
A equação que descreve o balanço de energia é dada por:
Rn  LE  Hs  G
(3.45)
em que, Rn é o saldo de radiação (W.m-2) LE, o fluxo de calor latente (W.m-2), Hs é o fluxo
de calor sensível do solo (W.m-2) e G o fluxo de calor no solo (W.m-2).
Resolvendo a equação anterior para o calculo do calor latente (LE), desprezando a taxa
de armazenamento de calor entre o solo e a vegetação, tem-se:
LEs  Rn  Hs  G
(3.46)
E por fim o fluxo de massa é dado pela quantidade evaporada por segundo e por m2,
Evap.
41
Evap 
LE s
L
(3.47)
sendo, L o calor latente de vaporização da água (2430000 J/Kg) e LE definido anteriormente.
Silva et al. (2002), demonstraram que os processos de troca de calor e vapor de água
entre a superfície do solo e o topo da vegetação, na Caatinga em São João do Cariri, ocorrem,
prioritariamente, através dos processos de convecção livre, justificando a possibilidade de
aplicação da metodologia de Jacobs e Verhoef (1997), que utiliza o critério proposto por
Gates (1980) para avaliar o tipo de convecção.
Diante disso cabe aqui descrever o balanço de energia fundamentada na metodologia
usada por Jacob e Verhoef (1997), para regiões semi-áridas baseado no comportamento do n
de Rayleigh (Ra) frente ao n de Reynolds (Re):
Tabela 3.1 – Critério para decidir o tipo de convecção
Tipo de Convecção
N de Rayleigh (Ra)
(1) Livre
Ra > 16 Re2
(2) Forçada
Ra < 0,1 Re2
(3) Mista
0,1 Re2 < Ra < 16 Re2
onde, Ra é o mesmo, definido por (Kreith e Bohn, 1986), que apresenta a seguinte equação:

l3gb Pr
Ra 
t
2
(3.48)
sendo que, l é um parâmetro associado a rugosidade da superfície, denominado de
comprimento horizontal característico da área entre os maiores obstáculos da superfície
(Raupach, 1992). Para o caso do Experimento Cariri l é de 9m, encontrado por Silva (2003), g
é a aceleração da gravidade, b é o coeficiente de expansão, para gás perfeito b  l , onde T é
T
42
a temperatura absoluta do ar, T é a diferença de temperatura entre a superfície do solo e o ar
na altura da copa da vegetação,  é a viscosidade cinemática do ar, Pr é o número de Prandtl,
definido como Pr   , (Pr = 0,71),  é a difusividade térmica e Re é o n de Reynolds,

definido por (Holmam, 1976) como:
Re 
( us 1)

(3.49)
onde, us é a velocidade do vento na superfície, medida a 0,5m acima da superfície do solo, l
definido anteriormente e  definido anteriormente. Considerando as condições descritas
anteriormente como convecção livre, então a mudança de calor sensível e a evaporação no
solo é dominada pelo mecanismo de troca por meio de convecção livre. Logo o número
adimensional da transferência de calor pode ser expresso através do n de Nusselt, definido
segundo Kreith e Bohn (1986), como sendo:
Nu 
Hs  l
  T
(3.50)
onde,  é a difusividade térmica do ar em repouso ( =0,0257 W/m K). Para uma local com
topografia plana no caso do número de Rayleigh, for Ra > 10 7, o n de Nusselt (Nu) pode ser
definido pela relação (Jacobs, 1950):
l
Nu  0 ,14  Ra 3
(3.51)
Agrupando as equações (3.50) e (3.51), tem-se o fluxo de calor sensível da superfície
do solo, em que Hs, é:
43
1
( 0 ,14   )
Hs 
 Ra 3  T
l
(3.52)
Resta, portanto, deduzir a equação para calcular o calor sensível independente do
comprimento característico. Para isso faz-se a combinação das equações (3.48) e (3.52) como
segue:
l
1
1




 0 ,14  g 3  b 3  Pr 3  T 




Hs 
2
3
(3.53)
donde, T é a diferença entre a temperatura da superfície e um ponto logo acima da
superfície, que para o caso do Experimento Cariri foi definido como (Tlow), medido
experimentalmente e decomposto em série de Fourier.
Autores a exemplo de Kreith e Bohn (1986) observaram que durante uma situação que
ocorre convecção livre, o transporte de calor sensível independe do comprimento
característico horizontal, l, já que o número de Rayleigh é proporcional à potência cúbica de l:
Ra  l 3.
Conforme Jacob & Verhoef (1997) o calor latente de evaporação do solo LEs pode
também ser determinado pela da razão de Bowen, S:
s 
Hs
LEs
(3.54)
onde s é a razão de Bowen para o solo podendo ser calculada pela relação:
 T  Ta 
s    s

 es  ea  
(3.55)
onde  é a constante psicrométrica; Ta e ea representam respectivamente a temperatura e a
pressão de vapor no ar, na altura do dossel, enquanto T S e eS representam respectivamente a
44
temperatura e a pressão de vapor no ar imediatamente em contato com a superfície do solo.
Essa última é obtida admitindo continuidade e equilíbrio termodinâmico entre o ar na matriz
porosa do solo e o ar atmosférico à superfície do solo.
Massman (1992) propus calcular a razão de Bowen pela expressão:
s  Cw  s, E
sendo, s, e 
(3.56)

, razão de Bowen de equilíbrio do solo,  é a constante psicrométrica e s a
s
declividade da curva de pressão de vapor de saturação frente a temperatura do solo, e Cw é o
coeficiente da razão de Bowen usado por Massman (1992), obtida para a região semi-árida do
Sahel por Jacobs e Verhoef (1997):
Cw  27 ,6  Exp( 29   s )
(3.57)
em que, s é a umidade volumétrica do solo na camada de solo de 0 a 5cm de profundidade em
(m3. m-3).
Combinando-se as equações 3.52 e 3.54 tem-se o valor do fluxo de massa à superfície
do solo, onde coloca-se o sinal negativo porque os fluxos dentro do solo são considerados
positivos quando dirigidos para baixo:
l l
l


 0,14g 3 b 3 Pr 3 T 




Evap  
Ls
2
3
(3.58)
3.7.4 - Condições iniciais
As condições iniciais foram obtidas a partir de dados experimentais, coletados no
Experimento Cariri, no período de dez dias consecutivos de 12 a 21 de janeiro de 2002, logo
após um período chuvoso, (precipitação de 112,5 mm). Com o auxílio do Excel traçaram-se
45
os perfis iniciais do potencial matricial (h) e de temperatura (T).
As figuras a seguir
apresentam esse perfis.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,E+00
h (pa)
-2,E+05
-4,E+05
-6,E+05
-8,E+05
y = -6,824E+06x4 + 1,945E+07x3 - 1,662E+07x2 + 5,777E+06x - 8,014E+05
-1,E+06
R2 = 9,992E-01
Z (m)
Figura 3.2 – Perfil inicial do potencial matricial
y = 15917x5 - 23425x4 + 12772x3 - 3122,1x2 + 306,04x + 295,74
R2 = 0,9612
307
T (ºK)
305
303
301
299
297
295
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Z (m)
Figura 3.3 – Perfil inicial da temperatura
3.8 - Solução numérica
Aqui será apresentada a solução numérica para resolver um sistema de duas equações
diferencias parciais fortemente não lineares e acopladas, ou seja, a solução de uma depende da
solução da outra.
46
Há vários métodos de se obter soluções de sistema de equações diferenciais parciais.
Dentro daqueles que mais são utilizados em física do solo, pode-se citar o método das
diferenças finitas o método de volumes finitos e o método dos elementos finitos. Como afirma
Maliska (1995), alguns levam vantagem dependendo da solução que se esperam para a solução
de determinados problemas.
Neste estudo, optou-se pelo método dos volumes finitos, que pode ser de duas
maneiras distintas: integração da equação diferencial no espaço e no tempo sobre o volume
elementar e através do balanço das propriedades no volume finito.
3.8.1 – Discretização através de volumes finitos
A Figura 3.4 apresenta um esquema dos volumes finitos, onde estão representados os
pontos em estudo por letras maiúsculas (W,P,E) e a fronteira do volume elementar por letra
minúsculas (w, e). O eixo z é orientado positivamente para baixo no sentido do perfil do solo.
Parte-se do sistema de equação (3.23a) e (3.23b), é reproduzido de novo aqui:
A1
h
T
 
h
T

 B1
  C1
 D1
 E1 
t
t z 
z
t

A2
h
T  
h
T

 B2
  C2
 D2
 E2 
t
t z 
z
t

47
W
zw
(i -1)
w
Volume elementar de integracao
integracao
P
z
(i)
e
E
ze
(i +1)
z +
Figura 3.4 – Malha do perfil do solo
onde, para a equação de massa os coeficientes A1 e B1 representam a capacidade hidráulica, C1
e D1 os coeficientes de transporte de umidade e E 1 representa o termo fonte da equação de
massa. Para a equação de calor os coeficientes A2 e B2 representam a capacidade calorífica, C2
e D2 os coeficientes de transporte de calor e E2 o termo fonte da equação de calor. Em alguns
momentos será apresentada somente a equação com índice (1) para não tornar-se repetitivo já
que a solução é similar, mudando somente o índice.
Integrando a integração da equação diferencial no espaço entre as fronteiras dos
volumes finitos elementares e no tempo, tem-se:
t  t e
t  t e
T 
  h
T
 h
   A t  B t dzdt    z  C z  D z  E
t w
t w

dzdt

(3.59)
Resolvendo a integral no tempo do lado esquerdo e após permutação, integrando no espaço do
lado direito, tem-se, para a equação de massa e de calor:
48
 
A p h p  h op
 
 B p T p  T po

  h   h   T   T      
z  C
C
D
D
 E  E t
e
e

z

z

z

z

e
w
e
w

(3.60)
Substituindo em
 h  h 

h



P
C
 Ce  E

z e
 ze 


(3.61)
 h  h 
h 

w


C
 Cw  P

z w
 zw 


(3.62)
 h  h 
h 



P
D
 De  E

z e
 ze 


(3.63)
 h  h 
h 

w


D
 Dw  P

z w
 zw 


(3.64)
Agrupando-se as equações:
 
Ap
h p  hop
 
  h  h
P
 De  E
  ze

Bp
T p  T po

  h  h
P
z  Ce  E


z
 
e


 

  D  hP  hW
w

z w





 

  C   hP  hW
w

z w



  E   E  t
e
w



 


(3.65)
Reorganizando a mesma, obtém-se:
49
A





 o
 o
p hP  B pTP z  A p hP  A pTP z

  
 
 C h
Cw
hW
Ce hP
Cw
hP
e E
 t




ze
z w
z w 
 ze

  
 
 D T 
Dw
TW
DeTP
Dw
TP
e E

 t




ze
z w
z w 
 ze


(3.66)


 Ee  E w
t
onde  representa um coeficiente de relaxação e está associado a função temporal dos
coeficientes A, B, C, D e E e o  representa o coeficiente de relaxação das variáveis T e h
respectivamente. A partir destes tem-se as funções temporais para as variáveis e coeficientes.
3.8.2 - Coeficiente de relaxação das variáveis T e h para equação de massa e de calor
TE,P ,W  TE ,P ,W  ( 1   )TEo,P ,W
(3.67)

o
h E , P ,W  h E , P ,W  ( 1   )h E
, P ,W
(3.68)
3.8.3 - Função temporal dos coeficientes
A  A  ( 1   ) Ao
(3. 69a)
B  B  ( 1   )Bo
(3.69b)
C  C  ( 1   )C o
(3.69c)
D  D  ( 1   )Do
(3.69d)
50
E  E  ( 1   )E o
(3.69e)
Escrevendo os parâmetros e inserindo as funções temporais na equação de
transferência, tem-se:
  A  1   A0 h    B  1   B0 T  Z 
1P  P  1P
1P  P 
 1P
  A  1   A0 h0   B  1  B0 T 0  Z 
1P  P  1P
1P  P 
 1P
   C  1   C 0 



0 
  1e
1P h  1  h0     C1e  1   C1P h  1  h0 
E
P

 E 
 P


ze
ze












   C  1   C 0 

   C  1   C 0 

  1w
1w h  1  h0    1w
1w h  1  h0 

 P 
 W
 P
 w
zw
zw












   D  1   D0 

   D  1   D0 

  1e
1e T  1  T 0    1e
1e T  1  T 0 

 E 
 P
 E
 P

ze

ze














   D  1   D0 

   D  1   D0 

  1w
1w T  1  T 0    1w
1w T  1  T 0 

 P 
W
 P
 W
zw
zw












  E  1   E 0     E  1   E 0  t
1e   1w
1w 
 1e
(3.70)
Fazendo o  = 0 tem-se o caso explícito sobre os coeficientes e, para beta  = 1, a
solução será implícita e no caso de beta (), estar entre estes dois valores a solução é semiimplícita para os coeficientes. É o caso também dos coeficientes de relaxação nas funções
temporais das variáveis T e h.
Organizando a equação acima e subistituindo-a tem-se a forma simbólica da mesma:
VA( hw )  VB( Tw )  VC( hP )  VD( TP )  VE( he )  VF ( Te )  VG
em que,
VA 
C

o
w  ( 1   )Cw t
zw
(3.71)
(3.72)
51
VB 
D

o
w  ( 1   )Dw t
zw


C


D
VC  A P  (1  )A oP z 
VD  BP  (1  )BoP z 
VE 
VF 
(3.73)
C
D
e



 (1  )Coe
Cw  (1  )Cow
t 
t
ze
ze
e



 (1  )Doe
D w  (1  )Dow
t 
t
ze
ze

e
 (1  )Coe
t
ze
e
 (1  )Doe
t
ze
(3.74)
(3.75)
(3.76)

(3.77)
A matiz em estudo é do tipo tri-diagonal em blocos, e a solução serão através do
algoritmo de Douglas apresentado por Passerat de Silans (1986). Usando as equações na forma
simbólica e transformando-as na forma matricial para uma malha com z variando de 0 até 40
cm e i variando de 1 até S, tem-se:
 

zw
zw
A  ( 1   )A z  C  (1ze  )C t  C
B  ( 1   )B z  D  (1ze  )D t  D
C  ( 1   )C t  D  ( 1   )D t
VG 
C
o
o
w  ( 1   )Cw t  Dw  ( 1   )Dw t 
o
P
P
P
o
P
e
o
e
ze
e
o
e
e
o
e

ze
 ( 1   )D 
t 
o
w  ( 1   )Cw t 
w
o
w
(3.78)
ze
o
e
e
ze
3.8.4 - Apresentação das equações ma forma matricial
52
3.8.4.1 – Forma matricial
VG (i)  VA h (i 1)  VB T (i 1)  VC h (i )  VD T (i )  VE h (i 1)  VFT (i 1)
i = 1 VG (1)  VA (0)h(0)  VB(0)T(0)  VC(1)h(1)  VD(1)T(1)  VE (2)h(2)  VF(2)T(2)
i = 2 VG (2)  VA (1)h(1)  VB(1)T(1)  VC(2)h(2)  VD(2)T(2)  VE (3)h(3)  VF(3)T(3)
i = 3 VG (3)  VA (2)h(2)  VB(2)T(2)  VC(3)h(3)  VD(3)T(3)  VE (4)h(4)  VF(4)T(4)
:
i=S
VG (S)  VA (S  1)h (S  1)  VB(S  1)T(S  1)  VC (S)h (S)  VD (S)T(S) 
VE (S  1)h (S  1)  VF(S  1)T(S  1)
(3.79)
Por fim a representação esquemática da matriz para as equação de transferência de
massa e de calor.
A matriz dupla tri-diagonal apresentada na Figura (3.5) é solucionada através do
algoritmo de Douglas na forma utilizada por Passerat de Silans (1986).
0
0
VF1(i)
VD1(i
)
VB1(i)
0
VA1(i
)
VA2(i
)
VC2(i)
0
0
0
0
VG1(S
)
h(s
)
VE2(i)
VC2(i)
VG1(2
)
VG1(3
)
0
0
h(2)
h(3)
0
0
VE2(i)
VG1(1
)
0
VE1(i)
VC1(i)
h(1)
VA2(i
)
0
x
T(1
)T(2
)
T(3
)
T(
S)
=
VG2(1
)
VG2(2
)
VG2(3
)
VG2(s
)
Figura 3.5 - Representação da matriz coluna para as equações de transferência de massa e
transferência de calor
53
3.9 - Algoritmo de Douglas
O método TDMA, tradicionalmente utilizado para solucionar matrizes do tipo tridiagonal, não pode ser utilizado na solução da matriz apresentada na Figura 3.5 por se tratar,
nesse caso, de uma matriz dupla tri-diagonal. Utilizou-se neste trabalho o método de Douglas,
na forma apresentada por Passerat de Silans (1986), que segue rigorosamente o algoritmo
seguinte:
a) Determinação das condições de contorno inferior.
h(S) e T(S) são admitidos fixos neste trabalho, de acordo com considerações observadas no
capítulo três desta tese.
b) Determinação dos parâmetros alfa1, alfa2, alfa3, alfa4, DMAU, beta1, beta2, beta3, beta4,
VGG1, e, VGG2, para o primeiro ponto da malha (i = 0).
alfa1(0) = VC1(0)
(3.80a)
alfa2(0) = VD1(0)
(3.80b)
alfa3(0) = VC2(0)
(3.80c)
alfa4(0) = VD2(0)
(3.80d)
DAMU(0) = alfa1(0)alfa4(0) - alfa2(0)alfa3(0)
(3.80e)
beta1(0) = (VE1(0)alfa4(0) - VE2(0)alfa2(0))/DAMU(0)
(3.80f)
beta2(0) = (VF1(0)alfa4(0)-VF2(0)alfa2(0))/DAMU(0)
(3.80g)
beta3(0) = (VE2(0)alfa4(0) - VE1(0)alfa2(0))/DAMU(0)
(3.80h)
54
beta4(0) = (VF2(0)alfa4(0 ) - VF1(0)alfa2(0))/DAMU(0)
(3.80i)
VGG1(0) = (VG1(0)alfa4(0) - VG2(0)alfa2(0))/DAMU(0)
(3.80j)
VGG2(0) = (VG2(0)alfa1(0) - VG1(0)alfa3(0))/DAMU(0)
(3.80k)
c) Determinação dos parâmetros alfa1, alfa2, alfa3, alfa4, DMAU, beta1, beta2, beta3, beta4,
VGG1, e, VGG2, para os demais pontos da malha.
alfa1(i) = VC1(i) - VA1(i)beta1(i-1) - VB1(i)beta3(i-1)
(3.81a)
alfa2(i) = VD1(i) - VA1(i)beta2(i-1) - VB1(i-1)beta4(i-1)
(3.81b)
alfa3(i) = VC2(i) - VA2(i)beta1(i-1) - VB2(i)beta3(i-1)
(3.81c)
alfa4(i) = VD2(i) - VA2(i)beta2(i-1) - VB2(i)beta4(i-1)
(3.81d)
DAMU(i) = alfa1(i)alfa4(i) - alfa2(i)alfa3(i)
(3.81e)
beta1(i) = (VE1(i)alfa4(i) - VE2(i)alfa2(i))/DAMU(i)
(3.81f)
beta2(i) = (VF1(i)alfa4(i) - VF2(i)alfa2(i))/DAMU(i)
(3.81g)
beta3(i) = (VE2(i)alfa1(i) - VE1(i)alfa3(i))/DAMU(i)
(3.81h)
beta4(i) = (VF2(i)alfa1(i) - VF1(i)alfa3(i))/DAMU(i)
(3.81i)
55
VGG1(i) = (alfa4(i)(VG1(i) - VA1(i)VGG1(i-1) - VB1(i)VGG2(i-1)) alfa2(i)(VG2(i) - VA2(i)VGG1(i-1) - VB2(i)VGG2(i-1)))/DAMU(i)
(3.81j)
VGG2(i) = (alfa1(i)(VG2(i) - VA2(i)VGG1(i-1) - VB2(i)VGG2(i-1))alfa3(i)(VG1(i) - VA1(i)VGG1(i-1) - VB1(i)VGG2(i-1)))/DAMU(i)
(3.81k)
d) Cálculo da pressão matricial (h) e a temperatura do solo (T) para todos os pontos da malha
no tempo fixo determinado, através das equações seguintes:
h(i) = VGG1(i) - beta1(i)h(i+1) - beta2(i)T(i+1)
(3.82a)
T(i) = VGG2(i) - beta3(i)h(i+1) - beta4(i)T(i+1)
(3.82b)
No caso das equações (3.82a) e (3.82b), o programa de Douglas calcula o potencial
matricial h(i) e a temperatura T(i) de baixo (i = S) para cima da malha (i = 1), em um
determinado tempo fixo, obviamente a partir dos valores de contorno inferior.
56
CAPÍTULO IV
4 – ESTUDO EXPERIMENTAL – DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE
TRANSFERÊNCIA DE MASSA E CALOR NO SOLO
O objetivo deste capítulo é o de apresentar e discutir os valores dos parâmetros das
equações de transferência de massa e calor no solo. Estes parâmetros são obtidos a partir de
equações teóricas ou semi-empíricas que dependem essencialmente de algumas propriedades
físicas do solo, quais sejam: a granulometria, a condutividade hidráulica do solo, a curva de
retenção do solo, a capacidade térmica do solo e a difusividade térmica do solo. Essas
propriedades foram determinadas in situ ou em laboratório conforme o caso.
4.1 – Localização do Experimento Cariri
O experimento foi instalado na bacia escola da Universidade Federal da Paraíba na
Cidade de São João do Cariri - Paraíba, geograficamente situada na região dos Cariris Velhos
(ver Figura 4.1). Os solos são predominantemente Luvissolos e a vegetação do tipo caatinga é
predominantemente composta por: pastagem (capim mimoso); plantas arbóreas (Marmeleiro,
Mucunfo, Pinhão Branco); plantas lenheiras (Angico, Catingueira) e cactáceas (Facheiro,
Palmatória, Palma Doce e Cardeiro). Trata-se de uma região classificada como semi-árida
(índice de aridez de 0,21 segundo Souza, 1999) com chuvas pouco abundantes e concentradas
nos meses de fevereiro a abril. O solo tem aparência pedregosa e a vegetação é esparsa,
alternando-se ora com superfície desnudada, ora com solo coberto por vegetação.
O
experimento foi projetado para realizar medições num período de 20 minutos, o balanço
radiativo, o balanço de energia e o balanço hídrico. Os dados são coletados em um sistema de
aquisição de dados CR23X da Campbell Scientific Inc., o qual é alimentado em contínuo por
uma bateria de 12 volts e 55 Ah acoplada a um painel solar com potência de 20 w. O dataloger é também programado para controlar todo o experimento. Uma torre (ver Figura 4.2 e
57
4.3) com 8 metros de altura foi erguida no meio da vegetação para coletar informações acima
da vegetação, dentro da camada limite. É medida acima da vegetação, a radiação solar global
(RG), na faixa de radiação visível e próximo infravermelho; o saldo de radiação (Rn) através
de um radiômetro líquido medindo as radiações com comprimento de onda variando entre 0,4
m e 60 m; a chuva; a velocidade e a direção do vento assim como os gradientes de
temperatura e pressão de vapor (razão de Bowen). Na copa da vegetação um termohigrômetro
registra a temperatura e a umidade do ar. Medições de temperatura e de fluxo de calor são
efetuados no solo. O sensor de temperatura utilizado de marca Campbell Scientific, Inc.
modelo 108, é composto de um transmissor, operando numa faixa de –3 a 90 ºC, com precisão
de 0.1ºC, sendo instalado um à superfície e os outros às profundidades 2 cm, 5 cm e 15 cm,
enquanto que o fluxo de calor no solo é medido através de dois fluxômetros localizados 5 cm
abaixo da superfície do solo. Uma bateria de sensores foi aterrada debaixo de uma superfície
coberta por vegetação e a outra debaixo de uma superfície desnudada.
Figura 4.1 – Mapa do Estado da Paraíba com localização do experimento
58
Figura 4.2 – Vista panorâmica da estação bioclimatológica do Experimento Cariri
Figura 4.3 – Detalhamento dos equipamentos dentro do solo
59
Figura 4.4 - Vista em foco dos equipamentos do Experimento Cariri
4.2 – Determinação das propriedades físicas do solo relevantes para o estudo
A determinação das propriedades físicas do solo é de fundamental importância para a
análise dos resultados experimentais. Neste estudo, determinou-se a granulometria, a
condutividade hidráulica do solo, a curva de retenção do solo, a capacidade térmica do solo e a
difusividade térmica do solo. Devido à complexidade do estudo, diversos métodos foram
utilizados, analisados e comparados para se chegar ao resultado final aqui apresentado. O solo
próximo à torre de medição foi saturado artificialmente para em seguida acompanhar o seu
processo de secagem e calibrar a sonda TDR localizada horizontalmente à profundidade de
5cm. Para a realização de coletas no campo escolheu-se uma área de aproximadamente 5m2
próxima da torre num solo sem vegetação. O plano de amostragem consistiu em três
repetições nas seguintes profundidades: 2,5; 5; 10; 20; 30 e 40 cm para cada dia de coletas (6
dias) perfazendo um total de 90 amostras. Vinte e quatro horas após ter saturado o solo,
acompanhou-se o seu processo de secagem durante 6 dias. As amostras foram levadas ao
60
Laboratório de solos do Centro de Tecnologia da Universidade Federal da Paraíba em João
Pessoa para determinação das seguintes propriedades: Granulometria, densidade global,
densidade das partículas, curva de retenção da água do solo e umidade volumétrica.
4.2.1 – Granulometria e densidade global do solo
4.2.1.1 – Granulometria
A determinação do tamanho dos agregados foi feita através do método de
peneiramento total, parcial e sedimentação. O peneiramento é uma técnica muita conhecida,
em que o solo é colocado num conjunto de peneiras de diferentes diâmetros posicionadas no
sentido vertical, onde são agitadas mecanicamente ou manualmente por um período de tempo
pré-determinado (usou-se, neste caso um tempo de 2 minutos). A sedimentação foi
determinada pelo Método do Hidrômetro segundo recomendação de Bouyoucos (1951),
utilizando como dispersante o hidróxido de sódio 1N.
Para cada uma das 90 amostras utilizadas no estudo, foi realizada uma análise
granulométrica completa, isto é peneiramento e sedimentação.
Os resultados revelaram um solo do tipo franco-arenoso para todas as profundidades
exploradas. Um percentual um pouco maior de argila foi encontrado na camada de solo com
maior densidade aparente seca, dg (em média 11,4% na camada superior e um percentual de
5% na camada inferior).
Na Figura 4.5 está representado o comportamento da granulometria total do solo
realizada tanto por peneiramento como por sedimentação.
61
100
PERCENTAGEM QUE PASSA (%)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0,001
0,010
0,100
1,000
10,000
0
100,000
DIÂMETRO em mm (ESC. Log.)
Figura 4.5 - Curva granulométrica do solo.
4.2.1.2 – Densidade global (dg)
A densidade global é uma propriedade física do solo de grande importância para a
verificação da condição estrutural, compactação e manejo do solo (Cirino, 1993). Este
parâmetro não é constante, varia com a textura e estrutura do solo. Quanto maior a porosidade
do solo menor a densidade global. A densidade aumenta com a profundidade devido ao maior
adensamento das camadas do solo, à diminuição da matéria orgânica nas camadas inferiores, à
menor agregação e penetração das raízes (Prevedello, 1996).
A densidade global foi determinada pelo Método do cilindro de acordo com o Manual
de Métodos de Análise de Solo da EMBRAPA (1979). O solo Luvissolo da região apresenta
pedras de diversos tamanhos. A densidade global foi determinada com as pedras, e em seguida
retirada as pedras, pesando-as e determinado o seu volume, o que permitiu determinar também
a densidade global do solo sem pedras.
O solo encontrado na área é pedregoso. Em cada amostra, isso é 15 amostras para cada
uma das profundidades exploradas (2,5 cm; 5 cm; 10 cm; 20 cm; 30 cm e 40 cm) a densidade
global, dg foi medida pelo método do cilindro. A Figura 4.6 apresenta o comportamento da
62
densidade do solo estudado. Observa-se a existência de duas camadas distintas, uma de 0 a
17,5 cm e outra 17,5 a 40 cm.
17,5 cm
Dg (g/cm³)
2,00
1,50
1,00
0
10
20
30
40
50
z (cm)
Figura 4.6 – Perfil da densidade global do solo estudado
4.2.1.3 – Curva retenção do solo
A curva de retenção da água do solo foi determinada através do Método do Extrator de
Umidade de Reichardt utilizando três amostras indeformadas para cada profundidade que foi
analisada em laboratório usando tensões de 0,1; 0,33; 1; 5; 15 atm segundo o Manual de
Métodos de Análise de Solo da EMBRAPA (1979).
A variabilidade na curva de h() observada nas diversas profundidades não foi maior
que a variabilidade observada nas três amostras consideradas em cada profundidade. As
medições efetuadas a 15 atm foram descartadas por apresentarem resultados muito variáveis e
incoerentes. Assim considerou-se a existência de apenas uma curva de retenção para cada
camada de solo, diferenciando-se na realidade apenas pelo valor da densidade aparente seca
utilizada para converter a umidade específica em umidade volumétrica. Os resultados obtidos
são apresentados na Tabela 4.1.
63
Tabela 4.1 – Valores das curvas características de umidade ( camada 1 e 2 )
tensão (Bars.)
camada 1
camada 2
0,001
41,49
48,98
0,1
38,49
32,57
0,33
20,68
17,50
0,5
17,37
14,7
1
15,12
12,79
5
11,40
9,65
10
10,78
9,12
A umidade volumétrica à saturação natural s, foi estimada como 0,9 x PT, onde PT é
a porosidade. A porosidade é calculada pela seguinte equação:
PT  1 
dg
dp
(4.1)
sendo, dg a densidade global e dp densidade da partícula.
A densidade da partícula foi determinada pelo método do picnometro, o qual se
encontrou um valor médio de 2,65.
Assim obteve-se para primeira camada uma umidade volumétrica a saturação natural
s = 0,415 e para a segunda camada s = 0,490.
As curvas de retenção foram ajustadas ao modelo de Van Genuchten:


 s  r  
  r  
m
 1  h n 


(4.2)
em que,  é o conteúdo de água volumétrico (cm³/cm³), s o conteúdo de água no solo em
condições de saturação (cm³/cm³), r é o conteúdo de água no solo em condições residual
(cm³/cm³), h é o potencial matricial (mca) e m, n e  são parâmetros que dependem do solo.
64
A umidade volumétrica residual (r) foi estimada em cada caso pelo método de Jong
van Lier e Dourado Neto (1993). Um programa baseado sobre o algoritmo de NewtonRaphson efetua o ajuste dos parâmetros  m e n. Mualem (1976) estabeleceu uma relação
entre estes dois últimos parâmetros:
m  1
1
n
(4.3)
Para a primeira camada, obtiveram-se os resultados que constam da Tabela 4.1, com
um coeficiente de ajuste de 0,994. Para a segunda camada (Tabela 4.2), o coeficiente de ajuste
foi de 0,999. A Figura 4.7 mostra a curva de retenção de umidade com relação ao potencial
matricial para as duas camadas.
Tabela 4.2 - Ajustamento da curva de retenção ao modelo de Van Genuchten para a primeira
camada:  = 0,0063; m = 0,5041; n = 2,0167; r = 0,083
Potencial Matricial (KPa)
Umidade volumétrica (cm3/cm3)
Observada
Calculada
0
0,415
0,415
10
0,385
0,364
33
0,207
0,225
50
0,174
0,182
100
0,151
0,133
500
0,114
0,093
1000
0,108
0,088
65
Tabela 4.3 – Ajustamento da curva de retenção ao modelo de Van Genuchten para a segunda
camada:  = 0,1411; m = 0,4872; n = 1,9502; r = 0,079
Potencial Matricial (Kpa)
Umidade volumétrica (cm3/cm3)
Observada
Calculada
0
0,490
0,490
10
0,326
0,321
33
0,175
0,172
50
0,147
0,143
100
0,128
0,112
500
0,097
0,086
1000
0,091
0,083
50
40
 (%)
1º camada
30
2º camada
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tensões (atm)
(0-17,5 cm)
(17,5-40 cm)
Figura 4.7 – Curvas de retenção experimentais
4.2.1.4 - Condutividade hidráulica
A condutividade hidráulica, conforme descrito por Carvallo Guerra (2000), é a
propriedade do solo que descreve sua capacidade em transmitir água, sendo afetada por vários
66
fatores como a textura do solo, porosidade e distribuição do tamanho dos poros, viscosidade
da água, grau de saturação e sais dissolvidos na água.
De acordo com o U.S. Bureau of Plant Industry and Agricultural Engineering a condutividade
hidráulica em meio saturado Ksat, varia com a textura do solo, conforme a Tabela 4.4
(Carvallo Guerra, 2000).
Tabela 4.4 – Condutividade hidráulica saturada para diferentes texturas de solos
Classificação textural do solo
Condutividade Hidráulica Saturada (cm/h)
Areia
> 0,2
Silte
0,1 – 0,2
Franco
0,05 - 0,1
Argiloso
0,01 – 0,05
Argila
< 0,01
Em solos saturados arenosos de estrutura estável, a condutividade hidráulica é
geralmente constante sendo mais ou menos da ordem de 10 -2 a 10-3 cm/seg. Em solos argilosos
saturados varia entre 10-4 a 10-7 cm/seg. Embora se assuma que a condutividade hidráulica de
solos saturados seja constante, em muitos solos devido aos diferentes fenômenos biológicos e
físico-químicos que ocorrem, a condutividade hidráulica pode mudar a medida que a água flui
no solo (Carvallo Guerra, 2000).
Considerando o solo como um sistema poroso descontínuo, Mualem (1976) determinou
uma equação para cálculo da condutividade hidráulica de solos não saturados a partir da
equação da curva de retenção. A equação de Mualem, conforme apresentada por Carvallo
Guerra (2000), é da forma seguinte:
  d 

1 
o h 
K r(  )  S 2 


d



 h 
 o 
(4.4)
67
onde, Kr() é a condutividade relativa do solo não saturado, S é a umidade adimensional:
S
  r
,  a umidade volumétrica do solo e h é o potencial matricial da água no solo.
S  r
Objetivando facilitar a utilização da equação de Mualem, diversos procedimentos
numéricos foram propostos. Uma solução numérica da equação de Mualem é apresentada por
Metri (1999), qual seja:



 

1
h 2n

K ()  fK sat 
  1
m

  1  h n
n
 1  h  2  





2


Em que, KSat é a condutividade hidráulica do solo saturado,
(4.5)
m, n e  já definidos
anteriormente.
A condutividade hidráulica do solo saturado foi determinada através do método do
permeâmetro de carga variável conforme equação descrita por Carvallo Guerra (2000):
 a.L.60   hi 
KSat  
.Ln  
 A.T   h f 
(4.6)
sendo, a, a área da coluna de vidro que fornece a carga variável de água; (1,1921 cm2); L o
comprimento do corpo de prova, em cm (5 cm); A é a área do corpo de prova, em cm2
(20,417 cm2 ); T é o int er valo de t empo em min (5 min no caso dest e
exper iment o) ; hi é a altura da água na coluna de vidro no tempo T 1, em cm e hf é a altura da
água na coluna de vidro no tempo T2, em cm.
O estudo de condutividade hidráulica do solo saturado foi realizado no Laboratório de
Salinidade da Universidade Federal de Campina Grande. Utilizaram-se três pontos de
amostragem, com sete profundidades diferentes. Para cada profundidade e em cada ponto de
amostragem foram feitas três repetições, tendo no final um total de 63 amostras previamente
saturadas.
68
A Tabela 4.5 apresenta os valores de condutividade hidráulica do solo sob condições
de saturação. Esses valores correspondem à média de três repetições para cada uma das
profundidades.
Tabela 4.5 – Resultados da condutividade hidráulica.
Profundidade
Condutividade Hidráulica ( cm/h)
Ponto 1
Ponto 2
Ponto 3
2,5
1,74
3,18
2,36
5
2,55
5,77
3,99
10
5,69
7,17
3,68
20
11,23
8,21
7,58
30
25,58
12,45
9,73
40
29,02
18,23
11,32
Os valores de KSat diferem bastante com a profundidade. Na Figura 4.8 está
representada a curva K() para a profundidade de 5 cm e para dois valores de temperatura.
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
1,E-03
1,E-04
1,E-05
1,E-06
1,E-07
1,E-08
1,E-09
1,E-10
1,E-11
1,E-12
1,E-13
K (T 301ºk)
K (T 323ºk)
Figura 4.8 – Condutividade hidráulica a 5cm de profundidade
69
Observa-se que as curvas têm o mesmo comportamento, portanto, quase não há
variação da condutividade hidráulica com relação à temperatura.
4.2.1.5 - Difusividade térmica do solo
A difusividade térmica do solo reflete a capacidade em transferir calor da superfície
para o interior do solo. Logo uma baixa difusividade térmica pode se associar a uma alta
temperatura na superfície do solo e uma pequena profundidade de penetração do calor. Por
isso valores muito baixos de difusividade constituem um condicionante importante do clima
local. A difusividade térmica do solo varia com o tempo e no espaço. A mesma depende entre
outras coisas, da constituição do solo. Estudos já realizados por Passerat de Silans et al.
(2006a) no Experimento Cariri mostraram que há gradientes verticais de temperatura muito
fortes à superfície e uma pequena penetração da onda de temperatura. A defasagem entre as
ondas de temperatura observadas à superfície e a 5 cm de profundidade é muito grande, o que
caracteriza um solo como baixa difusividade térmica. Este resultado é de fundamental
importância para a compreensão do clima na região.
A Figura 4.6 apresenta o resultado do estudo da difusividade térmica do solo do
Experimento Cariri realizado por Passerat de Silans et al. (2006b). O estudo foi conduzido,
através de três métodos para a camada de 0 a 5cm, método CLTM (Passerat de Silans, 1988),
método Harmônico (de Vries, 1963) e método NHS (Nasser et al., 1989). Os três métodos
apresentaram baixa difusividade térmica, sendo que o método harmônico apresentou valores
um pouco superiores, frente aos outros dois métodos. A análise destes métodos por esse
autores mostrou que o método CLTM é mais confiável para determinação da difusividade
técnica na camada superficial do solo (0-5cm).
70
Difusividade Térmica m²/s
7,00E-08
6,00E-08
5,00E-08
4,00E-08
3,00E-08
2,00E-08
1,00E-08
0,00E+00
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
Umidade Volumétrica (%)
CLT M
Harmônico
NHS
Figura 4.9 – Difusividade térmica do solo – Projeto Cariri
4.2.1.6 – Coeficientes de difusão de água (difusão de massa)
Com os valores dos parâmetros obtidos experimentalmente e apresentados acima,
foram estimados o coeficiente de difusão de água devido a um gradiente de temperatura DT
(m2/s/K), e o coeficiente de difusão devido a um gradiente de umidade Dh (m/s) com relação
ao . Os resultados são apresentados nas Figuras 4.10 e 4.11. Observa-se que, quando o solo
está úmido o coeficiente de difusão é pequeno, está próximo da curva que representa a fração
líquida (DLT) para o caso do coeficiente de difusão devido ao gradiente de temperatura e (K)
para o coeficiente devido ao gradiente de umidade, ou seja, a fração líquida é dominante. A
medida que seca, a fração de vapor se torna dominante nos dois casos (DvT e Dvh).
Observam-se, também nas duas figuras os pontos característicos correspondentes à capacidade
de campo (Cc) e ao ponto de murcha (Pm). Na Figura 4.10, observa-se que, próximo à
saturação, o coeficiente de difusão cresce enquanto a umidade volumétrica diminui. Isto se
deve ao valor
h
a partir da umidade volumétrica de 11%, portanto ligeiramente abaixo do

ponto de murcha (11,6%), a transferência de água em fase vapor passa a dominar e o
71
coeficiente de difusão volta a crescer enquanto a umidade volumétrica diminui até o teor
residual.
Figura 4.10 – Coeficiente de difusão de água devido ao gradiente de temperatura DT
Figura 4.11 - Coeficiente de difusão de água devido a um gradiente de umidade Dh
72
Na Figura 4.11 o comportamento é bastante similar. O termo devido à fase vapor passa
a ser dominante já relativamente próximo ao ponto correspondendo ao teor volumétrico
residual (r).
4.2.6 – Coeficientes de capacidade hidráulica
4.2.6.1 - Coeficiente de capacidade hidráulica associado ao gradiente de umidade e de
temperatura
O coeficiente de capacidade hidráulica associado ao gradiente de umidade A1 (m-1), é
obtido pela seguinte equação:
 v 
v v 
A1  1 


 l h T l h T 
(4.7)
sendo, v e l já definido anteriormente, v é o teor volumétrico de água sob a forma de vapor,

é obtido a partir da derivação da equação da curva de retenção de umidade do solo, como
h
segue:
  s   r m n nh n 1

m 1
h
1  h n


(4.8)
em que,  é o teor de umidade volumétrica do solo, s e r é a umidade volumétrica de
saturação e residual respectivamente, h já foi definido anteriormente; m, n e  são parâmetros
de ajuste da equação de van Genuchten.
O segundo termo da equação 4.7 é obtido pela relação de Kelvin. Essa relação admite
que o vapor de água existente no solo tem um comportamento termodinâmico semelhante ao
gás perfeito. A equação que descreve esse parâmetro é:
73
2
v  M 

 ghr esT
h  RT 
(4.9)
sendo, M a massa molar da água, R é a constante dos gases perfeito, T já definido
anteriormente, g é a aceleração da gravidade e esT é a pressão de vapor de saturação obtida a
temperatura T, dada pela relação empírica a seguir e hr é a umidade relativa.


  27405,5  97,5T  0,146T 2  0,000126T 3  0,000000048T 4 
esT  22106exp 

4,34903T  0,0039381T 2




(4.10)
Por fim, o cálculo da umidade relativa (hr) é dada por:
 Mgh 
hr  exp 

RT


(4.11)
Todos os parâmetros desta equação já foram definidos anteriormente.
A Figura 4.12 apresenta o comportamento deste coeficiente para quatro valores
diferentes da temperatura, onde pode se observar que quanto mais úmido se encontra o solo
maior a sua capacidade hidráulica. Observa-se ainda um aumento da capacidade hidráulica
com relação do potencial matricial em módulo, associado ao acréscimo da umidade do solo até
atingir um valor próximo à saturação do solo, e um decréscimo a partir de então.
74
h (mca)
-1,E+04
-1,E+04
-8,E+03
-6,E+03
-4,E+03
-2,E+03
0,E+00
1,E-03
T( 303,15)
T(323,15)
1,E-05
A1(1/m)
1,E-04
T(313,15)
T(333,15)
1,E-06
1,E-07
Figura 4.12 – Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de umidade
Com relação à variação de temperatura o coeficiente mostrou-se independente da
variação da temperatura, as curvas seguem um comportamento horizontal.
1,E-02
A1 (1/m)
1,E-03
1,E-04
1,E-05
1,E-06
1,E-07
300
305
310
315
320
325
330
335
T (K)
h=-0,1 mca
h=-1 mca
h=-10 mca
h=-1000 mca
h=-10000 mca
h=-100 mca
Figura 4.13 – Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de temperatura
O segundo termo do lado esquerdo da equação de transferência de massa (equação
3.24), B1, dado em K-1, é interpretado como sendo uma capacidade hidráulica associada ao
gradiente de temperatura. A equação que representa este termo é:
75
 v 
B1  1 
 l T

h
v v 

l T h 
(4.12)
onde, v e l são, as massas específicas da água sob a forma de vapor e líquida; v é o teor
volumétrico de água sob a forma de vapor; finalmente, a variação da umidade com a
temperatura, representada pela derivada /T é obtida através da relação da equação 4.13 e, a
variação da massa especifica com relação a temperatura obtida pela relação da equação 4.14.

  
 ch h
T h
 h 
(4.13)
  est 

  hr

  hrest   M
v  M   T 
 Mgh   
 
g  chh   
2 
T  RT 
RT
 RT  




(4.14)
onde, MV é a massa molar da água; g é a aceleração da gravidade; R é a constante dos gases
perfeitos; T a temperatura; est(T) é pressão de vapor de saturação calculado na temperatura T
calculado pela equação 4.10; hr é a umidade relativa, calculada através da equação (4.11); e h
é a pressão matricial do solo.
Este coeficiente B1, igualmente ao anterior foi calculado para quatro valores de
temperatura e seis valores de potencial matricial cujos resultados serão apresentados na Figura
4.14 e 4.15 respectivamente. Observa-se o comportamento das curvas que há certa
independência deste coeficiente com relação à variação de temperatura. Para o potencial
matricial próximo da saturação há uma queda brusca, mostrando a falta de capacidade de
armazenamento quando o solo está saturado.
76
T (303,15)
T (313,15)
T (323,15)
T (333,15)
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
B1 (1/k)
8,E-04
7,E-04
6,E-04
5,E-04
4,E-04
3,E-04
2,E-04
1,E-04
0,E+00
0 -1,E-04
h (mca)
Figura 4.14 – Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de umidade
1,E+00
B1 (1/K)
1,E-02
1,E-04
1,E-06
1,E-08
1,E-10
300
305
310
315
320
325
330
335
T (K)
h (-0,1 mca)
h(-1 mca)
h(-10 mca)
h(-100 mca)
h(-1000 mca)
h(-10000 mca)
Figura 4.15 – Coeficiente de capacidade hidráulica devido ao gradiente de temperatura
4.2.6.2 – Coeficientes de transporte de umidade associado ao gradiente de umidade e de
temperatura
Este coeficiente C1 (m/s) é obtido pelo primeiro termo do lado direito da equação
associada ao gradiente de potencial matricial, dado pela equação:
77
C1  K 
1
Dvh
l
(4.15)
sendo, K a condutividade hidráulica, l a massa específica da água sob a forma líquida, Dvh
um coeficiente de difusão de vapor associado ao gradiente de potencial matricial.
A Figura 4.16 apresenta os cálculos do coeficiente para quatro valores fixos de
temperatura do solo. O comportamento das curvas sobre postas mostra certa independência
deste coeficiente com relação a variação da temperatura do solo.
h (mca)
-1,E+04
-8,E+03
T(303,15)
T(313,15)
T(323,15)
-6,E+03
-4,E+03
-2,E+03
0,E+00
1,E-05
1,E-07
1,E-09
C1 (m/s)
-1,E+04
T(333,15)
1,E-11
1,E-13
Figura 4.16 – Coeficiente de transporte de umidade devido ao gradiente de umidade
A Figura 4.17 apresenta os resultados deste mesmo coeficiente para seis valores de
potencial matricial. A sobreposição e a horizontalidade das retas de mostra uma independência
deste coeficiente com relação a variação da temperatura. Esse comportamento pode ser
compreendido devido este coeficiente ser fortemente dependente da condutividade hidráulica
do solo e, a medida que o solo seca, o coeficiente de difusão de vapor torna-se mais
importante.
78
300
305
310
315
320
325
330
335
C1 (m/s)
1,E-05
1,E-07
1,E-09
1,E-11
1,E-13
T (K)
h(-0,1 mca)
h(-1 mca)
h(-10 mca)
h(-100 mca)
h(-1000 mca)
h(-10000 mca)
Figura 4.17 – Coeficiente de transporte de umidade devido ao gradiente de temperatura
O coeficiente D1 (m² s-1K-1) obtido pelo segundo termo do lado direito da equação,
interpretado como coeficiente de transporte de umidade associado ao gradiente de temperatura
é obtido pela equação:
D1  DLT 
1
DvT
l
(4.16)
onde, DLT é a difusividade líquida associada ao gradiente de temperatura l a massa
específica da água sob a forma líquida, DvT um coeficiente de difusão de vapor associado ao
gradiente de temperatura.
A Figura 4.18 apresenta os resultados deste coeficiente para quatro valores fixos de
temperatura e a Figura 4.19 o resultado do coeficiente para seis valores de potencial matricial
fixos.
79
T(313,15)
T(323,15)
T(333,15)
-12000 -10000
-8000
-6000
-4000
-2000
D1 (m²/sk)
7,E-06
6,E-06
5,E-06
4,E-06
3,E-06
2,E-06
1,E-06
0,E+00
-1,E-06
T(303,15)
0
h (mca)
Figura 4.18 - Coeficiente de transporte de umidade devido ao gradiente de umidade
D1 (m2/s.K)
1,E-05
1,E-07
1,E-09
1,E-11
300
310
320
330
340
T (K)
h(-0,1 mca)
h(-1 mca)
h(-10 mca)
h(-100 mca)
h(-1000 mca)
h(-10000 mca)
Figura 4.19 - Coeficiente de transporte de umidade devido ao gradiente de temperatura
Assim como no coeficiente C1 observa-se certa independência deste coeficiente D1
coeficiente com relação a variação da temperatura do solo. Quando o solo se reumidifica há
uma mudança de comportamento deste coeficiente com relação ao potencial matricial
passando a ter uma forte dependência da difusividade líquida.
80
4.2.7 – Coeficientes de capacidade calorífica
4.2.7.1 - Coeficiente de capacidade calorífica associado ao gradiente de umidade e de
temperatura
O coeficiente de capacidade calorífica associado ao gradiente de umidade, A2 (m-1), é
obtido pela seguinte equação:


A2   LV V
h

T
 ( lW  V L)

h


T
(4.17)
onde, L é o calor latente de vaporização da água a uma determinada temperatura T; v é o teor
volumétrico de água sob a forma de vapor; W é a diferencial do calor de molhamento; v e l
são, respectivamente, as massas específicas da água sob a forma de vapor e líquida, h é a
pressão matricial do solo e T a temperatura.
Na Figura. 4.20 observa-se a falta de sensibilidade deste coeficiente com relação à
temperatura, assim como uma redução deste coeficiente quando a umidade do solo se
aproxima da umidade de saturação. A Figura 4.21 apresenta este mesmo coeficiente para seis
valores fixos de potencial matricial.
81
h (mca)
-11900
-9900
-7900
-5900
-3900
-1900
100
1,0E+03
T (303,15)
-1,0E+03
T (313,15)
-2,0E+03
A2 (J/m4)
0,0E+00
T (323,15)
-3,0E+03
T (333,15)
-4,0E+03
Figura 4.20 – Capacidade calorífica A2, em função da pressão matricial
0,E+00
A2 (J/m4 )
-1,E+03
-2,E+03
-3,E+03
-4,E+03
300
305
310
315
320
325
330
335
T (K)
h(-0,1 mca)
h(-1 mca)
h(-10 mca)
h(-100 mca)
h(-1000 mca)
h(-10000 mca)
Figura 4.21 – Capacidade calorífica A2, em função da temperatura
Observa-se na Figura 4.21 que os resultados não são sensíveis a variação de
temperatura para esse valores de potencial matricial.
O segundo termo do lado esquerdo da equação de transferência de calor, B 2, dado em
Jm-3K-1, é a capacidade calorífica aparente associada ao gradiente de temperatura. A equação
abaixo apresenta este termo:
82


B2  C *  LV V
T

h
 lW  V L 

T


(4.18)
h
onde, C* é a capacidade calorífica do meio poroso, expressa pelo seguinte somatório: C* =
scss+lcll+vcvv; L é o calor latente de vaporização da água a uma determinada
temperatura T; v é o teor volumétrico de água sob a forma de vapor; W é a diferencial do
calor de molhamento.
A capacidade calorífica B2 é ainda calculada para quatro valores fixos de temperatura
do solo: 303,15, 313,15, 323,15 e 333,15 K conforme Figura 4.22 e para seis valores fixos de
potencial matricial apresentado na Figura 4.23.
Observa-se que nas Figuras 4.22 e 4.23, uma sobreposição da curvas, este coeficiente
não apresenta sensibilidade com a variação da temperatura.
Apresentando sensibilidade
somente com a variação do potencial matricial do solo, aumentando bruscamente quando o
solo se encontra próximo da saturação.
h(mca)
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
T(303,15)
T(313,15)
T(323,15)
T(333,15)
3,E+06
2,E+06
B2 (J/m³k)
3,E+06
2,E+06
1,E+06
Figura 4.22 - Capacidade calorífica em função do potencial matricial
83
B2 (J/m3.K)
3,E+06
3,E+06
2,E+06
2,E+06
1,E+06
300
305
310
315
320
T (K)
325
330
335
h(-0,1 mca)
h(-1 mca)
h(-10 mca)
h(-100 mca)
h(-1000 mca)
h(-10000 mca)
Figura 4.23 - Capacidade calorífica em função da temperatura
4.2.7.2 - Coeficiente de transporte de calor
O primeiro termo do lado direito da equação de transporte de calor C2 (Jm ²s) está
associado ao gradiente de potencial matricial do solo dado pela equação:
C2  LDvT
(4.19)
onde, L é o calor latente de vaporização (L=2430000) e Dvh é a difusividade de vapor
associado ao gradiente de umidade.
A Figura 4.24 apresenta este coeficiente para quatro valores fixo de temperatura já
Figura 4.25 apresenta esse mesmo coeficiente para seis valores fixos de potencial matricial.
84
h (mca)
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
1,E-03
1,E-04
T(303,15)
C2 (J/m²s)
-12000
1,E-05
T(313,15)
T(323,15)
1,E-06
T(333,15)
Figura 4.24 – Coeficiente de transporte de calor em função do potencial matricial
C2 (J/m2.s)
2,E-04
2,E-04
1,E-04
5,E-05
0,E+00
300
305
310
315
320
325
330
335
T (K)
h(-0,1 mca)
h(-1 mca)
h(-10 mca)
h(-100 mca)
h(-1000 mca)
h(-10000 mca)
Figura 4.25 – Coeficiente de transporte de calor em função da temperatura
Analisando os resultados das Figuras acima, conclui-se que o coeficiente de transporte
de calor tem seu valor reduzido à medida que o solo se umidifica. Observa-se também o
aumento deste coeficiente quando ocorre um aumento da temperatura do solo, visto que ocorre
maior difusão de vapor à medida que a temperatura sobe para um determinado valor fixo de
umidade do solo.
85
E finalmente o segundo termo da equação do lado direito da equação de transferência
de calor representado por D2 (W/mk) é interpretado como sendo um coeficiente de transporte
de calor associado ao gradiente de temperatura. Este coeficiente é obtido pela equação:
D2    LDvT
(4.20)
sendo que,  representa a difusividade térmica, L é o calor latente de vaporização DvT é a
difusividade de vapor associado ao gradiente de temperatura.
As Figuras 4.26 e 4.27 representam esse coeficiente associado ao gradiente de
potencial matricial e ao gradiente de temperatura.
2,E-01
(T = 303,15 K)
2,E-01
(T = 323,15 K)
(T = 333,15 K)
1,E-01
D2(w/mk)
(T = 313,15 K)
6,E-02
1,E-02
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
h (mca)
Figura 4.26 – Coeficiente de transporte de calor em função do potencial matricial
Na Figura 4.26 observa-se uma aumento do coeficiente a medida que ocorre queda do
potencial matricial do solo em módulo, diminuindo com a umidade do solo, principalmente
quando este se próxima da saturação.
A Figura 4.27 representa este coeficiente associado a variação da temperatura.
86
3,E-01
D2 (W/m.K)
2,E-01
2,E-01
1,E-01
5,E-02
0,E+00
300
305
310
315
320
T (K)
325
330
335
h(-0,1 mca)
h(-1 mca)
h(-10 mca)
h(-100 mca)
h(-1000 mca)
h(-10000 mca)
Figura 4.27 – Coeficiente de transporte de calor em função da temperatura
Assim com na Figura 4.26 verifica-se também que há um aumento do coeficiente à
medida que ocorre queda do potencial matricial do solo.
87
CAPÍTULO V
5 – RESULTADOS DO MODELO
O modelo simulou a secagem do solo, na sua porção não coberta pela vegetação, no
período de 12 a 19 de janeiro de 2002. Nos dias 10 e 11, daquele mês, choveu 14,8mm, num
solo já úmido, pois na primeira semana de janeiro havia sido registrado 112mm de
precipitação. Posteriormente a esse dia, não ocorreram chuvas com exceção do dia 17, quando
caiu 2mm em torno do meio dia.
Os perfis iniciais de umidade e de temperatura inicial, obtidos a partir dos valores
experimentais da estação climatológica de São João do Cariri, são representados nas Figuras
5.1 e 5.2. Essas curvas, assim como suas equações polinomiais de ajustes, também
apresentadas nas Figuras 5.1 e 5.2 foram obtidas com auxílio do programa Excel.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,E+00
h (pa)
-2,E+05
-4,E+05
-6,E+05
-8,E+05
h = -6,824E+06x4 + 1,945E+07x3 - 1,662E+07x2 + 5,777E+06x - 8,014E+05
-1,E+06
R2 = 9,992E-01
Z (m)
Figura 5.1 – Perfil inicial do potencial matricial
88
T (ºK)
307
T = 15917x5 - 23425x4 + 12772x3 - 3122,1x2 + 306,04x + 295,74
305
R2 = 0,9612
303
301
299
297
295
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Z (m)
Figura 5.2 – Perfil inicial da temperatura
Os dados de entrada do modelo são, além dos na atmosfera, a temperatura do ar e a
pressão de vapor do ar medida acima do solo desnudo à altura da copa da vegetação e na
superfície do solo, o fluxo de calor corrigido (Passerat de Silans et al. 2006). Na profundidade
de 40 cm no solo, a temperatura foi considerada constante e igual a 303,9 K. Uma malha
vertical regular foi utilizada nesta simulação, com um z = 0,2cm e um t = 1 s.
5.1 – Valores de temperatura observados e simulados.
Nas Figuras 5.3 a 5.5 são comparados os valores observados de temperatura com os
valores simulados pelo modelo. Em todas as profundidades, isto é à superfície, a 2cm e a 5cm
os valores observados foram razoavelmente bem representados pelo modelo. As defasagens
entre máximo e mínimo das ondas de temperatura são bem representadas. À profundidade de 5
cm, a amplitude da onda de temperatura simulada é maior do que a amplitude da onda
observada. Isto pode ser devido à condição de contorno inferior. A temperatura a 40cm foi
considerada constante e igual à temperatura média no período a 15cm. No estudo
experimental, observou-se que, devido à baixa difusividade térmica, a onda de temperatura a
15cm já era quase horizontal.
89
Siml. 0 mm
Exp 0 mm
330
(T ºK)
320
310
300
290
280
12
14
13
12
12
12
16
15
12
17
12
18
12
hora
20
19
dia
(hora-dia)
Figura 5.3 – Temperatura a 0mm de profundidade
Siml. 2 cm
Exp 2 cm
330
(T ºK)
320
310
300
290
280
12
13
12
12
14
15
12
12
16
17
12
12
18
19
hora
20 dia
(hora-dia)
Figura 5.4 – Temperatura 2cm de profundidade
90
Siml. 5 cm
Exp 5 cm
330
(T ºK)
320
310
300
290
280
12
13
12
14
12
12
15
16
17
12 hora
12
12
18
19
20 dia
(hora-dia)
Figura 5.5 – Temperatura 5cm de profundidade
5.2 – Valores de umidade observados e simulados a 5 cm de profundidade.
A sonda TDR fornece o valor do período dos pulsos transmitidos através do meio
poroso, o qual depende, entre outros fatores que não variam, da umidade volumétrica do solo.
Apesar de o construtor ter fornecido uma equação de calibração para a sonda, um estudo
experimental foi realizado para calibrar a sonda e transformar o período medido em
milissegundos em umidade volumétrica relativa,  em cm3/cm3. A curva de calibração assim
como os procedimentos para obtê-la é descritos em Silva (2003).
O modelo simula para cada profundidade da malha os valores do potencial matricial.
Na Figura 5.6 são comparados os potenciais matriciais simulados a 5cm, com os potenciais
matriciais obtidos das observações experimentais da umidade aplicando-se a curva de retenção
determinada em laboratório e apresentada no capítulo 4. A comparação não é boa. Se de um
lado, o modelo simula aparentemente um processo de secagem, mesmo lento, considerando
que o solo é descoberto e que a simulação foi realizada no mês de janeiro, mês de alta radiação
91
solar, do outro lado, não representa as observações experimentais, as quais indicam que o solo
praticamente não perde sua umidade e apresenta uma dinâmica de reumidificação durante o
dia. Vale salientar que este fato, curioso, foi também observado, quando foram feitas
determinações de umidade para a calibração da sonda a partir de levantamentos gravimétricos
de amostras do solo (Passerat de Silans et al. 2001).
100
h (Simul. 5 cm)
- h (mca)
h (exp. 5 cm)
10
1
0
12
24
36
48
60
72
84
96
T empo (h)
Figura 5.6 – Comparação entre os potenciais matriciais observados e simulados a 5cm de
profundidade
Na Figura 5.7, são comparados os valores de umidade observados com a sonda TDR e
deduzidos dos valores simulados da potencial matricial por meio da curva de retenção. Os
resultados apresentados confirmam o que foi dito logo antes. Nesta figura, observa-se que o
primeiro valor simulado indica um solo muito úmido, enquanto o valor experimental indica
um solo com umidade abaixo da capacidade de campo. Observando através do debugger o
acontecido, percebe-se que devido ao perfil inicial indicar uma umidade próxima à saturação
abaixo dos 20cm de profundidade, há uma rápida ascensão capilar da umidade, o que parece
normal. Nas profundidades de 20, 30 e 40cm, a umidade não foi medida, mas sim, o potencial
matricial através de resistores em cápsulas porosas. A resposta deste aparelho é bastante
sensível à temperatura, e foi corrigida em conseqüência, mas também não funciona para
potenciais matriciais superiores a 2 bars em valor absoluto. Na Figura 5.8 está representado
92
este resultado de uma forma mais detalhada onde pode-se observar a reumidificação do solo
durante o dia em horários em que a temperatura está mais elevada.
0,30
teta (Simul. 5 cm)
0,25
teta (exp. 5 cm)
 mca
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
12
13
14
15
16
17
18
19
Tempo (dia)
Figura 5.7 – Comparação entre os valores experimentais e simulados da umidade
volumétrica () a 5cm
Figura 5.8 – Detalhamento da umidade volumétrica a 5cm de profundidade
93
5.3 – Fluxo de calor sensível simulado.
O valor do fluxo de calor sensível foi calculado utilizando no modelo as equações de
convecção livre. Os valores simulados estão representados na Figura 5.9 que apresentam
valores baixos do calor sensível. Isto já foi observado por Silva (2003) em diversos outros
períodos do experimento. Vale salientar que o calor sensível simulado neste estudo
corresponde apenas à fração do solo sem vegetação. São responsáveis por estes baixos valores
quando comparados a outros estudos, o processo de convecção livre e os altos valores de
temperatura observados no ar à altura da copa da vegetação.
50
40
Hs (w/m²)
30
20
10
0
-10
-20
-30
horas
12
12
24
12
13
24
12
24
14
12
15
24 12
16
24
12
17
24
12
18
Dias
Figura 5.9 – Fluxo de calor sensível
5.4 – Fluxo de calor latente de evaporação.
O fluxo de calor latente de evaporação foi calculado no modelo utilizando a razão de
Bowen. A pressão de vapor do ar em contato com o solo foi calculada considerando
continuidade na interface solo – atmosfera. Os resultados apontam para valores baixos da
energia necessária à evaporação. Na Tabela 5.1 são comparados os valores de evaporação
diária calculados pelo modelo com os valores experimentais. Os valores experimentais foram
94
obtidos da aplicação do método do balanço hídrico no solo com plano de fluxo nulo proposto
por Vachaud et al. (1978). A Figura 5.11 representa a aplicação do método do balanço hídrico.
Com exceção do primeiro dia simulado, os valores simulados da evaporação diária são da
mesma ordem de grandeza do que os valores experimentais.
3,E+02
LEs (w/m²)
2,E+02
2,E+02
1,E+02
1,E+02
5,E+01
-3,E-05
12
12
24
12
24
12
13
14
24
12
15
24
24
12
16
12
17
24
12
18
24
horas
Dias
Figura 5.10 – Fluxo de calor latente
Figura 5.11 – Representação da aplicação do método do balanço hídrico com plano de fluxo
nulo. (Fonte Silva, 2003)
95
Tabela 5.1 – Comparação dos valores simulados e experimentais da evaporação diária do
solo.
Dia
ET simulada (mm/dia)
ET experimental (mm/dia)
13 – 14
-0,24
1,73
14 – 15
0,29
1,36
15 – 16
1,90
1,24
16 – 17
1,23
1,42
17 – 18
0,27
1,43
18 – 19
0,70
1,48
Total
4,15
8,66
5.5 – Balanço de energia
Na Figura 5.12 são representados os diversos componentes do balanço energético na
superfície do solo: Hs, o calor sensível na porção de solo sem vegetação, LEs, o calor latente
de evaporação do solo, G o fluxo de calor no solo, Rns, a componente da radiação líquida
devida à porção de solo sem vegetação e Rn a radiação líquida total medida
experimentalmente.
Conforme se observa na Figura 5.12 os valores do fluxo de calor latente (LEs) são bem
maiores que os fluxo de calor sensível (Hs), sendo este último relativamente pequeno quando
comparado com as demais componentes do balanço de energia. Isso pode ser observado
também com as componentes de radiação líquido Rn e Rns, onde a componente da radiação
líquida devida ao solo, Rns, é bastante inferior à radiação líquida a partir do segundo dia.
96
350
LEs
300
Hs
G
250
Rn
200
Rns
150
(W/m²)
100
50
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-50
-100
(Dia_h)
Figura 5.12 – Balanço de energia à superfície do solo
5.6 – Fluxo de massa devido ao gradiente de potencial matricial e ao gradiente de
temperatura
Foram calculados com o modelo os fluxos de massa expressos em m/s devidos ao
gradiente de potencial matricial e ao gradiente de temperatura. Nas Figuras 5.13 e 5.14, esses
dois componentes do fluxo são comparados nos dias 13 e 15 de janeiro. O fluxo de massa é
dirigido para baixo quando ele é positivo, isto é no sentido de z crescente.
97
2,E-07
Fluxos (m/s)
1,E-07
0,E+00
-1,E-07 5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
-2,E-07
-3,E-07
-4,E-07
-5,E-07
Tempo (h)
Fluxo h
Fluxo T
Fluxo (h+T)
Figura 5.13 – fluxos de massa para o dia 13 de janeiro
2,E-05
Fluxos (m/s)
1,E-05
0,E+00
-1,E-05
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
-2,E-05
-3,E-05
Tempo (h)
Fluxo h
Fluxo T
Fluxo (h+T)
Figura 5.14 – fluxos de massa para o dia 15 de janeiro
Observa-se, pois um resultado muito interessante. Em ambos os casos o gradiente de
temperatura é capaz de frear bastante e às vezes inverter o fluxo de massa (água sob a forma
líquida e sob a forma de vapor), de forma que estes fluxos a 5cm seja dirigido para baixo
mesmo quando o solo é mais seco acima da profundidade de 5cm. Essa inversão, a qual
98
corresponde a uma reumidificação local, ocorre durante o dia, o que é muito notável. No dia
13, tal fato ocorreu entre 10 h e 13 h. No dia 15 de janeiro este fato também ocorreu, porém
num período bem mais curto, de 11 h e a 13 h. É importante notar que este fato ocorre quando
o solo à superfície é pouco mais seco do que a 5 cm, de maneira que o gradiente de potencial
matricial não seja grande demais. Isto permite emitir uma hipótese, não comprovada neste
trabalho para a reumidificação do solo observada a 5cm de profundidade durante o
experimento. Agan et al. (2006) têm sugerido que em regiões áridas possam ocorrer fluxos de
vapor de água da atmosfera para o solo. Este fluxo, pequeno, conjugado então com os fortes
gradientes de temperatura durante o dia, poderia permitir a reumidificação a 5cm de
profundidade através dos gradientes superficiais de temperatura, como explicado acima.
99
CAPÍTULO VI
6 – CONTIBUIÇÃO À TÉCNICA DE AGREGAÇÃO: PAPEL DA DIFUSIVIDADE
TERMICA DO SOLO
A repartição dos fluxos de energia à superfície da terra, tem recebido muita atenção por
parte dos meteorologistas para os modelos de previsão do tempo: os modelos de circulação
global e os modelos de mesoescala. Muito mais recentemente, este assunto tem recebido
grande atenção dos hidrólogos e dos ecologistas, que procuram prever os efeitos sobre os
recursos hídricos e sobre o meio ambiente das mudanças climáticas (Rambal, et al. 2000).
Os diversos experimentos citados no capítulo 2 deste documento têm contribuído
sobremaneira para melhorar os conhecimentos sobre a repartição destes fluxos. Modelos
SVATs, resultantes desses experimentos foram incorporados a modelos de circulação global e
a modelos de mesoescala.
Recentemente o projeto PILPS (Project for Itercomparison of Land Surface
Parameterization Schemes) (Sellers et al., 1997) tem contribuído para uma avaliação
comparativa dos diversos modelos SVATs incorporados nos modelos de circulação
atmosférica. Resultou deste projeto, entre outros, esforços para melhorar os resultados dos
modelos de circulação, baseando-se sobre um melhor conhecimento da condutividade
hidráulica do solo e de sua variabilidade espacial e temporal, já que, comprovadamente, este
parâmetro dos modelos SVATs é de grande sensibilidade sobre a repartição da energia entre
calor sensível e calor latente (Chen et al., 1996; Cuenca et al., 1996).
Paralelamente a isto, questionou-se como considerar a heterogeneidade do solo e de
sua cobertura vegetal sobre os parâmetros dos modelos SVATs, já que os modelos
atmosféricos que os usam, apresentam malhas formadas por grades horizontais reticuladas de
várias dezenas de km de lado. Shuttleworth e Wallace (1997) propuseram uma técnica dita de
agregação para determinar os parâmetros efetivos dos modelos SVATS, baseando-se nos
100
princípios da conservação dos fluxos e na conservação da identidade dos modelos de
transferência de massa e calor em cada sub-grid (Patches) da malha. Conseqüentemente, a
acuidade espacial dos resultados dos modelos de circulação atmosférica tem sido
sensivelmente melhorada. No entanto, trata-se de uma questão ainda em aberto. De fato,
dentre um sub-grid (patch no jargão dos meteorologistas), existe uma variabilidade espacial
significativa das propriedades do solo, entre elas, a condutividade hidráulica e as propriedades
termodinâmicas (Piters-Lidard et al., 1997). Na literatura, um esforço considerável tem sido
dado à variabilidade espacial das propriedades hidrodinâmicas (Nielsen (1973); Vieira (1981);
Vauclin (1981); Lima e Passerat de Silans( 1993)), mas muito pouco foi feito relativamente às
propriedades termodinâmicas Peters-Lidard et al., Collins e Avissar (1994).
Peters-Lidard et al. (1997) fizeram uma avaliação interessante a cerca do modo como a
condutividade térmica é modelizda nos modelos SVATs. Segundo estes autores, a maioria dos
modelos SVATs utilizam uma formulação empírica da condutividade térmica devida a Mc
Cumber e Pielke (1981). Esta formulação propõe uma relação entre a condutividade térmica e
o logaritmo a base 10 do potencial matricial. Segundo esses autores, os valores de
condutividade térmica calculados por este modelo são, às vezes, uma ordem de grandeza
superior aos valores experimentais quando o solo está úmido. Esses autores comparam os
efeitos sobre os diversos fluxos de energia e sobre a temperatura da superfície, do uso dessa
formulação empírica e de outros modelos com melhor embasamento teórico tais como o
modelo de Johansen (1975) ou o modelo de Vries (1963), nos modelos SVATS dos modelos
de circulação atmosférica. Utilizando dados do experimento FIFE, eles concluem que o
resultado do fluxo de calor no solo, G, e o fluxo de calor sensível, são muito afetados pelo
modelo.
6.1 - Determinação experimental da difusividade térmica
Para a determinação experimental da difusividade térmica do solo utilizaram-se três
métodos (Harmônico - HM; Transformada de Laplace Corrigida - CLTM; Nassar e Horton –
NHS). A seguir será descrito cada um destes métodos.
101
a) Método Harmônico (HM)
Trata-se de um método bastante utilizado, devido à facilidade de programação
computacional, e se adapta muito bem às regiões temperadas. A temperatura medida à
superfície, geralmente pode ser descrita através de uma decomposição em série de Fourier
como mostra a equação a seguir.
N
T0, t   T   Aisenit  i 
(6.1)
i 1
Onde, T representa a temperatura média no período P (aqui P = 24 horas) e Ai e i
representam respectivamente a amplitude e a fase da harmônica i. O termo  representa a
freqüência fundamental.
A solução analítica da equação de condução de calor:
C
T

T 
    
t
z 
z 
(6.2)
considerado-se  e C constantes é dada por:
N
Tz, t   T   Ai exp(
i 1
onde, exp(

z
z
) sen it  i  
di
di 

(6.3)
z
z
) e
representam respectivamente o amortecimento e a defasagem para cada
di
di
harmônica. Nesta equação d i  2 i representa segundo Van Wijk (1963) a profundidade à
qual a onda de calor penetra durante o período P/i.
A difusividade térmica, , é identificada a cada dia através de uma técnica de ajuste
procurando minimizar uma função critério. A função critério escolhida geralmente
corresponde ao erro quadrático médio entre os valores observados à determinada profundidade
z e o valor calculado pela equação (6.3).
b) O Método da Transformada de Laplace Corrigida (CLTM)
102
Considerando a linearidade da equação (6.2), Passerat de Silans (1988) propõe uma
solução analítica desta equação pela superposição da solução analítica de dois problemas:
1 – com uma condição nula para o limite superior do domínio e um perfil inicial de
temperatura, em função de z:
T(0,t) = 0
T(z,0) = F(z)
2 – com uma temperatura à superfície função do tempo t, condição no limite superior do
domínio e um perfil inicial de temperatura nulo:
T(0,t) = (t)
T(z,0) = 0
A primeira solução é obtida por Carslaw e Jaeger (1959) através da utilização da teoria
das imagens:
T1z, t  

  z  z'2 
 z  z'2 


 Fz'exp  4t   exp  4t dz'
t 0
 



1
(6.4)
Enquanto o segundo problema é resolvido analiticamente utilizando a transformada de
Laplace como segue (Passerat de Silans, 1988):
T2 z, t  
z

z 2 
exp  
t
 4t   

 d


2  0
t  3 2
(6.5)
A partir de certa profundidade z0, a qual depende da difusividade térmica, a
temperatura Tz0 praticamente não varia no tempo, na escala de um experimento como o
Projeto Cariri em São João do Cariri. É razoável admitir que a temperatura a partir desta
profundidade esteja próxima da temperatura média da superfície. Assim, o conjunto dos dois
103
problemas se aplica à difusão do calor no solo, se na equação (6.4) substituir-se F(z) por f(z) =
F(z) - Tz0 e na equação 6.5, admitindo que   T(0, t )  Tz 0 .
Com estas considerações, T(z,t) no solo será dado pela expressão:
Tz, t   Tz 0  T1 z, t   T2 z, t 
(6.6)
Logo se utiliza a mesma técnica para se determinar a difusividade térmica apresentada para o
método harmônico.
c) O método de Nassar e Horton (NHS)
Os dois métodos apresentados anteriormente consideram o solo homogêneo quanto às
suas propriedades térmicas. Entretanto, fortes gradientes de umidade existem durante o dia na
zona não saturada do solo, principalmente na proximidade de sua superfície. Estratificações
verticais da densidade global, dg são freqüentemente encontradas em solos pouco profundos
das regiões semi-áridas, e, por tanto não são solos homogêneos.
Nassar e Horton (!989), aplicando a teoria de Lettau (1954), mostraram que a
difusividade térmica, , podia ser calculada considerando os perfis verticais das amplitudes
A(z) e B(z) e das fases (z) e (z). Segundo esses autores, o ajuste destes parâmetros
calculados nas diversas profundidades onde a temperatura T(z,t) é medida, por uma
decomposição em série de Fourier a uma harmônica, deve ser feito por uma função spline
cúbica para se ter maior precisão sobre os resultados, já que a expressão da difusividade
térmica envolve as derivadas destes parâmetros em relação à profundidade z:
(z) 
 sen z  sen z 
z  z 
z
z
(6.7)
sendo que, (z) é dado pela expressão:
104
z   z   z   
(6.8)

2
(6.9)
e,
z   z   z  
A dedução dessas equações, assim como maiores detalhes sobre o método encontramse em Passerat de Silans et al. (1996).
A Figura 6.1 apresenta o resultado do estudo da difusividade térmica do solo do
Projeto Cariri realizado por Passerat de Silans et al. (2006). Os três métodos apresentaram
baixa difusividade térmica, sendo que o método harmônico apresentou valores um pouco
superiores frente aos outros dois métodos. O método harmônico baseia-se sobre a hipótese de
periodicidade estacionária para cada harmônica, e no solo estudado, forneceu respostas
satisfatórias em apenas alguns períodos para a profundidade de 5 cm. O método CLTM
mostrou-se eficiente para essa profundidade mas inadequado nas demais profundidades,
devido ao baixo valor de difusividade térmica. Já o método de Nassar e Horton, desenvolvido
considerando possibilidade de variações verticais da difusividade térmica do solo, mostrou ser
o mais adequado em todas as camadas, apresentando resultados similares ao método CLTM
para a profundidade de 5 cm.
Uma equação traduzindo a dependência entre a difusividade térmica  (m²/s) e a
umidade volumétrica,  (em porcentagem) foi estabelecida para a camada 0 – 5 cm,
considerando os valores determinados pelo método CLTM:
  1,19  10133  2,66  10112  2,27  109   1,36  108
(6.10)
105
Figura 6.1 – Resultado experimental da difusividade térmica do solo na profundidade
de 5 cm
6.2 - Modelos de cálculo da condutividade térmica
6.2.1 - Modelo De Mc Cumber e Pielkes
Mc Cumber et al. (1981) ajustaram uma relação logarítmica com os dados
experimentais de Al Nakshabandi et al. (1965) e observaram que a relação entre a difusividade
térmica e o teor de umidade do solo não depende do tipo de solo, mas sim da sua relação com
a curva de retenção de água do solo. Esta relação é dada pela equação a seguir:
exp pF  2,7       pF  5,1

  4,187 * 
0,00041          pF  5,1

(6.10)
sendo,  a difusividade térmica e pF dado por:
106
pF  log10 h()
(6.11)
6.2.2 - Modelo de Johansen
O modelo de Johansen determina a condutividade térmica do solo em função do seu
valor para o solo seco e o solo saturado, levando em consideração a composição mineral, a
densidade global, a densidade das partículas e o número de Kersten (1949). Este método
consiste em 3 etapas:
i) Determinação do número de Kersten;
ii) Determinação da condutividade térmica do solo seco;
iii) Determinação da condutividade térmica do solo saturado.
O número de Kersten (ke) é dado pela equação:
ke 
  sec
sat  sec
(6.12)
onde,  condutividade térmica aparente, sec condutividade térmica do solo seco, sat
condutividade térmica do solo saturado.
Johansen desenvolveu uma equação semi-empírica para o cálculo da condutividade
térmica do solo seco:
sec 
0,135d  64,7
2700  0,947 d
(6.13)
sendo, d a densidade global do solo em (kg/m3 ) e 2700 a densidade da partículas (kg/m3)
considerada pelo autor.
Johansen mostrou que as variações da microestrutura do solo têm pouca influência na
condutividade térmica do solo saturado. Este autor, então, propôs calcular a condutividade
107
térmica do solo saturado por meio da média geométrica das condutividades térmicas dos
constituintes minerais, qual seja:
 sat   s (1 PT)  ag PT
onde, s é a condutividade térmica dos minerais, dada pela relação
(6.14)
s  qq mm sendo
que q, m a fração volumétrica do quartzo e dos minerais respectivamente, e PT é a
porosidade.
Johansen estabeleceu também uma relação entre o número de Kersten e a umidade
volumétrica relativa do solo para solos com textura grosseira e com textura fina:
ke  0,7 log 10 S r  1 para os solos a textura grosseira quando Sr  0,05
(6.15)
ke  log 10 S r  1 para os solos a textura fina quando Sr  0,1
(6.16)
6.2.3 - Modelo de de Vries
De Vries (1963) desenvolveu um modelo semi-empírico para determinar a
condutividade térmica aparente. Considerou o meio poroso como sendo um meio contínuo
(água + ar) nos quais as partículas (quartzo, substancias minerais, matérias orgânicas) são
dispersas no fluido (água ou ar dependendo do caso).
O modelo distingue a fase fisicamente contínua do meio poroso, água ou ar. A
condutividade térmica é da pela equação seguinte:

  k
 k
i
i
i
i
(6.17)
i
108
em que,  é a condutividade térmica aparente, i a condutividade térmica dos constituintes, i
o teor de umidade volumétrica dos constituintes, k
i
um fator de multiplicação para cada
constituintes.
Os coeficientes ki são calculados supondo que as partículas têm uma forma elipsoidal e
sem interação térmica entre elas. Desta forma o cálculo de ki é feito como segue:
ki 
1
1

3 u  a ,b, c 1  ( i  1) g
o
(6.18)
u
onde, a,b,c representam os eixos do elipsóide, e ga, gb, gc são fatores de forma que de Vries
ajustou empiricamente aos solos estudados sendo que ( ga  gb  gc)  1 .
Para uma condição onde o solo se encontra bastante úmido, ou seja, (w <  < s) o
cálculo do fator de forma se dá pela equação seguinte:
   
  0,333  0,035
ga  gb  0,333   s



w 
 s
(6.19)
Já para uma condição em que o solo se encontra com umidade entre (r <  < w) os fatores
de forma se calculam por:
  r
ga  gb  0,013  
w r

  g aw  0,013

(6.20)
sendo, w o teor volumétrico no ponto de murcha.
6.3 - Resultados da aplicação desses modelos
Os modelos tais como apresentados acima foram aplicados para o solo onde a
difusividade térmica foi medida experimentalmente. Os resultados são apresentados na Tabela
6.1.
109
Tabela 6.1 – Resultados dos Modelos e resultado experimental (condutividade térmica)

Mc Cumber & Pielkes
Johansen
de Vreis
mca
 (W/m/K)
 (W/m/K)
 (W/m/K)
 (W/m/K)
0,089
0,324
0,06
0,5796
0,0612
0,09
0,346
0,06
0,5853
0,0616
0,092
0,385
0,06
0,5966
0,0625
0,095
0,435
0,06
0,6128
0,0638
0,098
0,479
0,06
0,6285
0,0651
0,114
0,648
0,06
0,7031
0,0721
0,116
0,664
0,06
0,7115
0,0729
0,12
0,696
0,12
0,7330
0,0746
0,15
0,882
0,47
0,8536
0,0873
0,18
1,017
0,69
0,9289
0,0995
0,2
1,091
0,80
0,9648
0,1073
0,22
1,158
0,89
0,9936
0,1147
0,25
1,247
1,01
1,0284
0,1251
0,26
1,275
1,04
1,0385
0,1282
0,3
1,380
1,16
1,0755
0,1396
0,35
1,504
1,28
1,1214
0,1498
0,4
1,631
1,38
1,1764
0,1547
0,415
1,671
1,41
1,1962
0,1550
Experimental
6.3.1 - Ajuste do modelo de Mc Cumber e Pielkes
O modelo Mc Cumber e Pielkes não pode ser ajustado porque tem relação direta com a
curva de retenção.
6.3.2 - Ajuste do modelo de Johansen
110
Para o ajuste do modelo de Johansen foi feito uma correção da umidade relativa já que
o  residual determinado experimentalmente é relativamente alto (r = 0,083). Usou-se então a
expressão da umidade relativa usualmente utilizada nos modelos para caracterização da curva
de retenção e da condutividade hidráulica: S 
  r
. O valor de sec foi calculado a partir
s  r
da equação 6.13 na qual o valor do coeficiente empírico 64,7 foi ajustado para que o valor de
sec corresponde ao valor experimental.
Para estimar o valor de sat usou-se a mesma
formulação proposta por Johansen, porém considerando também a condutividade térmica do
ar:
(1s ) s (PTs )
 ag  ar
 sat   s
(6.21)
6.3.3 – Ajuste do modelo de de Vries
Considerando que ga, gb e gc são parâmetros de forma que são obtidos para uma
partícula elipsoidal procurou-se ajustar esse fatores de forma ao solo estudado. Para isso
determinou-se por meio de processos de otimização os melhores valores dos coeficientes
empíricos das equações 6.19 e 6.20. Os resultados são apresentados na figura 6.2 juntamente
com os resultados do modelo de Johansen ajustado.
O modelo de Johansen se ajustou razoavelmente bem para os valores de umidade
volumétrica abaixo de 0,13 e forneceu valores muito superiores aos valores experimentais
quando o solo esta mais úmido. Já o modelo de de Vries se ajustou corretamente aos valores
experimentais, no entanto os parâmetros de forma apresentam um significado físico duvidoso
por serem negativos.
111
Figura 6.2 – Resultado dos ajustes da condutividade térmica
Neste estudo, os valores experimentais da condutividade térmica foram deduzidos da
curva da difusividade térmica de Passerat de Silans et al. (2006) apresentada na Figura 6.1.
Essa curva corresponde a um ajustamento a valores experimentais. Durante o estudo, o valor
máximo do teor de umidade observado foi de 0,23, ou seja, para valores acima deste teor de
umidade, os valores experimentais apresentados na Figura 6.2 correspondem a valores
extrapolados.
6.4 - Estudo da variabilidade espacial da condutividade térmica
A complexa interação entre as propriedades do solo requer um estudo detalhado dessas
propriedades, entre elas à condutividade térmica do solo. Essa propriedade varia com o tempo
e no espaço, por isso há necessidade de estudar a sua variabilidade espacial. Com este
propósito estudaram-se as propriedades do solo que interferem na variação da condutividade
térmica, quais sejam: o teor de matéria orgânica, o teor de quartzo, o teor de outros minerais e
a densidade global em diversos pontos numa subárea de um hectare, localizada na sub-bacia
dois da bacia escola do açude Namorado, em São João do Cariri. Em cada ponto da amostra a
condutividade térmica foi calculada pelo modelo de Johansen. Optou-se por esse modelo pelo
112
fato do modelo de deVries ajustado não ter mais representatividade física devido aos valores
negativos dos parâmetros de forma.
6.4.1 - Determinação dos teores de matéria orgânica, densidade global, do quartzo e de
outros minerais
Para o estudo da composição mineral do solo foram coletadas 20 amostras na
profundidade de 5 cm, sendo que as amostras 1 a 8 coletaram-se num transect centralizado na
torre e as amostra 9 a 20 foram coletadas de forma aleatória na área de um hectare em torno da
torre. A figura a seguir apresenta a localização da torre na sub-bacia 2.
100m
P13
P12
P20
P19
P13
P12
P8
P11
P10 P14
P9
P1
P15
P20 P17 P16
P19 P18
P11
P10
P14
P9
P1
P15
P17 P16
P18
100m
P8
CONVENÇÕES
Rede de Drenagem
Limite da Sub-Bacia 2
Ponto de Amostragem
Estação Metereológica
Escoamento Superficial
Figura 6.3 – Mapa da sub-bacia 2 da bacia escola de São João do Cariri (Alcântara, 2004)
modificado por, Silva Junior e Werlang (2006).
Determinou-se a porcentagem de matéria orgânica (MO), a densidade global (dg) e
minerais existentes no solo. Para a matéria orgânica usou-se o teste da mufla a 500ºC durante
um período de 3 horas conforme metodologia da EMBRAPA (1997); no caso da densidade
113
global, foi determinada também pela metodologia da EMBRAPA (op.citado). Para a
determinação dos minerais utilizou-se a metodologia do Laboratório de Solidificação Rápida
na UFPB, em que o teor de minerais é obtido através de um espectrômetro por Dispersão de
Comprimento de Onda WS-XRF. Nesse caso, a amostra é triturada e submetida a uma prensa
de 9 toneladas. Após esse processo coloca-se a amostra no espectrômetro durante um período
de 15 min obtendo assim a porcentagem de minerais existente em cada amostra.
Os resultados dessas análises estão apresentados na Tabela 6.2. As porcentagens de
cada amostra são feitas em relação ao volume de sólidos da amostras total utilizada.
Tabela 6.2 – Resultados do estudo da densidade global (dg), matéria
orgânica (MO), quartzo (q) e demais minerais (m) do solo.
Aleatória
Transect
Amostra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
dg
MO (%)
q (%)
m (%)
1,53
1,23
1,48
1,40
1,22
1,31
1,22
1,26
1,52
1,27
1,30
1,39
1,28
1,12
1,30
1,15
1,06
1,54
1,32
1,40
2,413
2,995
2,476
3,308
3,467
4,398
3,357
3,467
1,688
3,055
4,125
4,605
2,743
4,938
2,259
2,968
3,521
3,595
2,222
2,827
53,737
50,165
51,423
52,423
52,595
52,919
53,196
53,352
53,445
54,147
54,166
54,327
54,340
54,559
54,690
54,904
55,000
55,065
55,633
56,686
43,849
46,840
46,136
44,268
43,937
42,682
43,446
43,181
44,867
42,797
41,708
41,067
42,917
40,502
43,051
42,092
41,478
41,339
42,145
40,487
6.4.2 – Análise estatística das propriedades
Para análise estatística dessas propriedades aplicou-se o teste “U” de Wilcoxon, Mann
e Whitney. Esse teste examina se duas amostras pertencem a mesma população com relação a
114
tendência central, que compreende a hipótese nula (Ho) a ser testada (Costa Neto, 1977). O
teste “U” apresentou a hipótese (Ho) não rejeitada para o nível de 5%, isto quer dizer que
todas as amostras provêm da mesma população. Para verificar a distribuição, aplicou-se o
teste de Komolgorov-Smirnov (KS) a 5 %. O teste apresentou um ajuste log-normal. Os
resultados dessas análises estão apresentados na Tabela 6.3.
Tabela 6.3 – Resultado do teste KS, média e desvio padrão das propriedades do solo
Propriedades
Média
Desvio Padrão
Teste KS com nível de significância de 5 %
dg
1,32
0,135
Log-normal
M.O
4,195
1,039
Log-normal
q
54,0
2,00
Log-normal
43,085
1,688
Log-normal
m
6.4.3 – Determinação da condutividade térmica
O fluxo de calor é relacionado à compactação do solo, uma vez que a condutividade
térmica de um meio poroso depende da distribuição e da condutividade das fases sólidas líquida
e gasosa (Camargo e Alleoni 2006). A umidade de solo tem mais importância do que sua
densidade na condutividade térmica. Sabe-se que a água é um condutor térmico melhor do que
o ar. Assim, a condutividade térmica do solo aumenta com o teor de umidade. Isso é
particularmente verdadeiro quando a variação de umidade está associada à variação no grau de
saturação do solo (Fredlund e Rahardjo, 1993).
Shaw e Baver (1939) desenvolveram um equipamento que consiste em um sensor de
temperatura e calor instalado diretamente no solo para a medição da condutividade térmica.
Eles notaram que a presença de sais na água não afetava significativamente a condutividade
térmica do solo.
Para ilustração deste estudo, a condutividade térmica foi determinada para vários
valores padrões da umidade volumétrica, quais sejam: condutividade térmica para o  residual
( (r));  do ponto de murcha ( (w));  na capacidade de campo ( (Cc)),  entre a
115
capacidade de campo e o ponto de murcha ( (Cr = 0,16)) e  de saturação ( (sat)). Para este
cálculo, utilizou-se o modelo de Johansen modificado (ver parágrafo 6.3.2).
Os resultados da condutividade térmica com relação aos valores padrões da umidade
volumétrica são apresentados na Tabela 6.4.
Tabela 6.4 – Valores padrões de umidade volumétrica ajustados pelo modelo de Johansen

 (r)
 (w)
 (Cr)
 (Cc)
 (sat)
amostras
1
0,093
0,082
0,482
0,771
1,730
2
0,049
0,049
0,339
0,628
1,289
3
0,084
0,055
0,455
0,744
1,645
4
0,048
0,048
0,337
0,626
1,278
5
0,070
0,070
0,417
0,706
1,532
6
0,059
0,059
0,373
0,662
1,398
7
0,048
0,048
0,339
0,627
1,284
8
0,053
0,053
0,355
0,643
1,334
9
0,092
0,078
0,478
0,766
1,712
10
0,054
0,054
0,358
0,648
1,349
11
0,058
0,058
0,371
0,660
1,391
12
0,070
0,070
0,409
0,698
1,507
13
0,055
0,055
0,361
0,650
1,356
14
0,037
0,037
0,300
0,589
1,159
15
0,057
0,057
0,369
0,657
1,383
16
0,040
0,040
0,309
0,598
1,193
17
0,031
0,031
0,279
0,568
1,118
18
0,094
0,083
0,483
0,772
1,746
19
0,060
0,060
0,319
0,666
1,411
20
0,074
0,074
0,416
0,705
1,528
116
A Tabela 6.5 apresenta os resultados do estudo de analise estatística da condutividade
térmica: média, desvio padrão, coeficiente de variação e os resultados do ajuste do teste KS.
Da análise da Tabela 6.5, percebe-se que os valores calculados de condutividade
térmica seguem sempre uma distribuição Log-normal para o nível de significância de 5%. A
variabilidade espacial é significativa. No entanto o coeficiente de variação é maior quando o
solo é mais seco, indicando maior variabilidade espacial para o solo seco do que para o solo na
capacidade de campo. Identificou-se a amostra de número 19 como amostra representativa dos
valores médios da condutividade térmica.
Tabela 6.5 – Resultado da análise estatística da condutividade térmica do solo
Propriedades
Média
Desvio
Coeficiente de
Teste KS com nível de
Padrão
variação (%)
significância 5%
 (r)
0,061
0,01838
30,13
Log-normal
 (w)
0,058
0,01448
24,96
Log-normal
 (Cr)
0,377
0,06149
16,31
Log-normal
 (Cc)
0,669
0,05993
8,94
Log-normal
 (sat)
1,417
0,18576
13,10
Log-normal
Para visualizar como os valores da condutividade térmica calculada são distribuídos
espacialmente, traçaram-se os mapas de contorno (isolinhas) com o auxílio do Software Surfer
para todos os valores padrões de umidade volumétrica, os quais são apresentados nas figuras a
seguir.
117
9183600
r
9183590
0.095
0.09
0.085
9183580
0.08
0.075
0.07
Torre
9183570
0.065
0.06
0.055
9183560
0.05
0.045
0.04
9183550
0.035
P19
0.03
9183540
772260
772270
772280
772290
772300
772310
772320
Figura 6.4 – Isolinhas da condutividade térmica em função da umidade volumétrica residual
9183600
 w 
9183590
0.08
0.04
0
-0.04
9183580
-0.08
-0.12
-0.16
-0.2
Torre
9183570
-0.24
-0.28
-0.32
-0.36
9183560
-0.4
-0.44
-0.48
-0.52
9183550
-0.56
P19
-0.6
9183540
772260
772270
772280
772290
772300
772310
772320
Figura 6.5 – Isolinhas da condutividade térmica em função da umidade volumétrica do ponto de
murcha
118
9183600
Cr 
9183590
0.49
0.48
0.47
0.46
0.45
0.44
0.43
0.42
0.41
0.4
0.39
0.38
0.37
0.36
0.35
0.34
0.33
0.32
0.31
0.3
0.29
0.28
9183580
9183570
Torre
9183560
9183550
P19
9183540
772260
772270
772280
772290
772300
772310
772320
Figura 6.6 – Isolinhas da condutividade térmica em função da umidade volumétrica crítica
9183600
Cc 
0.77
0.76
0.75
0.74
0.73
0.72
0.71
0.7
0.69
0.68
0.67
0.66
0.65
0.64
0.63
0.62
0.61
0.6
0.59
0.58
0.57
0.56
9183590
9183580
9183570
Torre
9183560
9183550
P19
9183540
772260
772270
772280
772290
772300
772310
772320
Figura 6.7 – Isolinhas da condutividade térmica em função da umidade volumétrica na
capacidade de campo
119
9183600
 sat 
9183590
1.73
1.7
1.67
1.64
1.61
1.58
1.55
1.52
1.49
1.46
1.43
1.4
1.37
1.34
1.31
1.28
1.25
1.22
1.19
1.16
1.13
1.1
9183580
Torre
9183570
9183560
9183550
P19
9183540
772260
772270
772280
772290
772300
772310
772320
Figura 6.8 – Isolinhas da condutividade térmica em função da umidade volumétrica de
saturação
Nestas figuras foram identificados os pontos representativos da condutividade térmica
(ponto 19) e a posição da torre da estação climatológica do Projeto Cariri.
6.4.4 – Sensibilidade do modelo SVATs à variabilidade espacial.
As simulações foram efetuadas com o modelo de Johansen modificado para analisar a
sensibilidade do modelo à condutividade térmica. Ao todo foram vinte simulações com os
dados das vinte amostras levantadas em campo. Estas simulações foram feitas com um perfil
constante, ou seja, como o potencial matricial constante. Os resultados do modelo a serem
analisados foram a evaporação diária, a temperatura máxima diária e o período durante o qual
o fluxo de água devido ao gradiente de temperatura é grande o suficiente para conduzir a água
para baixo, mesmo no período diurno. Para esta análise escolheu-se dois dias, 13 e 15 de
janeiro respectivamente.
120
6.4.4.1 – Análise da sensibilidade da evaporação simulada pelo modelo.
A variação da evaporação no espaço físico devido a variação da condutividade térmica
foi avaliada pela seguinte formula:
E
Evap i  Evap
Evap
(6.22)
onde, Evap(i ) é a evaporação de um dia (13 ou 15) para a amostra i, e Evap é a média das
evaporação das 20 amostras no dia 13 ou no dia 15.
Os resultados obtidos estão apresentados na Tabela 6.6.
No dia 13 o desvio padrão dos valores de E é de 23 % e no dia 15 é de 17 %, que
mostra a sensibilidade da evaporação calculada pelo modelo à condutividade térmica. Os
maiores valores em relação à media chegam em algumas amostras a 40 %.
A amostra que apresenta o menor desvio em relação a média é a amostra de número
19. Ou seja, a média espacial da evaporação foi obtida no ponto onde se tem a média espacial
da condutividade térmica, o que é notável tendo em vista a forte não linearidade dos processos
envolvidos.
121
Tabela 6.6 – Resultados da evaporação para dia 13 e dia 15
Amostras
E (%) dia 13
E (%) dia 15
1
2,097
4,076
2
20,273
14,945
3
-26,132
-17,302
4
-14,438
-9,976
5
20,273
14,945
6
2,097
4,076
7
20,398
15,821
8
11,553
9,372
9
-31,874
-22,978
10
8,318
4,521
11
3,470
3,693
12
-12,306
-6,542
13
7,900
8,206
14
43,923
29,230
15
2,900
1,652
16
35,419
21,588
17
-42,170
-33,103
18
-35,822
-30,481
19
-1,105
-1,133
20
-14,775
-10,611
6.4.4.2 – Análise da sensibilidade da temperatura máxima diária à superfície do solo ao
valor da condutividade térmica.
Nos dias 13 e 15 foram observados os resultados das simulações relativas às 20
amostras, dos valores das temperaturas máximas diária à superfície do solo. Os valores
constam na Tabela 6.7 e revelam uma pequeníssima variabilidade espacial.
122
Tabela 6.7 – Resultados de temperatura máxima para dia 13 e dia 15.
Temperatura máxima diária (K)
Amostras
Dia 13
Dia 15
1
313,45
314,68
2
313,95
315,04
3
313,60
314,82
4
313,63
314,77
5
313,90
315,03
6
313,68
314,79
7
313,92
315,04
8
313,86
314,95
9
313,60
314,82
10
313,84
314,92
11
313,89
315,02
12
313,54
314,68
13
313,87
315,04
14
313,90
315,02
15
313,87
315,01
16
314,02
315,14
17
313,32
314,56
18
313,37
314,51
19
313,83
314,99
20
313,66
314,81
Média
313,73
314,88
Desvio Padrão
0,204309
0,176683
123
6.4.4.3 – Análise da sensibilidade dos fluxos de água devido aos gradientes de potencial
matricial e de temperatura
Para ilustrar a importância desta análise os fluxos de água devido aos gradientes de
potencial matricial e de temperatura foram representados para o dia 13. Observa-se os
resultados do modelo para uma amostra qualquer, na Figura 6.9.
Dia 13
1,E-07
8,E-08
Fluxo (m/s)
6,E-08
4,E-08
2,E-08
0,E+00
-2,E-08 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
-4,E-08
-6,E-08
Tempo (h)
Fluxoh
FluxoT
Figura 6.9 - Resultado da simulação dos fluxos para o dia 13 de janeiro
Ao mesmo tempo para cada amostras observa-se o período no qual, durante o dia o
fluxo devido ao gradiente de temperatura é capaz de conduzir a água para baixo, ou seja, de
reumidificar o solo. No caso do dia 13, para todas as amostras este período ocorre entre 10:40
ou 11 h até 18 ou 18:20 h. No dia 15 ele ocorre entre 10:40 e 18 ou 18:20 h, mostrando não
haver variabilidade deste período espacialmente.
124
CAPÍTULO VII
7 - CONCLUSÕES
O desenvolvimento de modelos SVATs (Soil Vegetation Atmosphere Transfer
scheme) como parte integrante dos modelos de circulação atmosférica, ou para estudos de
desertificação, ou mesmo para incorporar modelos hidrológicos capazes de considerar por
exemplo os efeitos das mudanças climáticas, tem a sua necessidade amplamente reconhecida
na comunidade científica. Apesar de terem sido realizados vários experimentos de grande
porte em regiões semi-áridas, nunca a região da Caatinga tinha sido estudada com estes
objetivos. O experimento Cariri vem suprir esta deficiência. Silva (2003) tem mostrado a
importância do papel conjunto do solo e da vegetação nos processos sempre convectivos de
transferência de massa e de calor entre o solo, a vegetação e a atmosfera nesta região.
Goldfarb (2006) classificou a vegetação do Cariri em função dos seus mecanismos de defesa
contra a aridez e propôs uma modelização das transferências entre o solo, a vegetação e a
atmosfera. Neste trabalho, completam-se os estudos destes autores, dando ênfase específica às
transferências de massa e calor dentro do solo, e analisando o papel termodinâmico do solo
sobre a repartição da energia entre fluxo de calor sensível e fluxo de evaporação.
As equações de transferência de calor e massa no solo foram detalhadas baseando-se
nos trabalhos de Milly (1982) e Passerat de Silans (1986, 1989). As transferências de calor e
massa entre o solo e a atmosfera foram modelizadas considerando um processo de convecção
livre entre a superfície do solo e o ar na altura do dossel. Essa modelização se apoiou sobre os
números de Nusselt e de Rayleigh para descrever o fluxo de calor sensível como descrito em
Jacob e Verhoef (1997). Para o fluxo de massa, utilizou-se a razão de Bowen. Um modelo
numérico baseado sobre a técnica dos volumes finitos foi desenvolvido para resolver
125
simultaneamente o conjunto das equações do solo e da camada atmosférica entre o dossel e o
solo. Os resultados do modelo mostraram uma boa aderência entre os valores de temperatura
no solo, simulados e observados experimentalmente. Já para o potencial matricial e a umidade
do solo a 5cm de profundidade, os resultados foram apenas razoáveis. De fato, nesta
profundidade, o modelo mostra que o solo seca mais rapidamente do que foi observado
experimentalmente. Mesmo assim, a evaporação simulada pelo modelo é baixa, como também
é baixa a evaporação medida experimentalmente.
Observam-se tanto nos resultados do modelo, como experimentalmente, uma
reumidificação do solo durante o dia, ou seja, durante o período onde as temperaturas são as
mais altas. Este fato notório encontrou explicações a partir dos estudos experimentais feitos
para a determinação dos parâmetros de transferência de massa no solo. Traçaram-se os valores
dos coeficientes de difusão de massa em função dos gradientes de potencial matricial e em
função dos gradientes de temperatura. Estes últimos são, de dia, elevados devido à baixa
difusividade térmica do solo. Durante a simulação efetuada com o modelo, calcularam-se a
partir destes coeficientes os fluxos de massa (água sob forma líquida e vapor) devidos
respectivamente aos gradientes de potencial matricial e aos gradientes de temperatura. Os
resultados mostram que os altos gradientes de temperatura devido à baixa difusividade térmica
freiam os fluxos de água dirigidos para cima (ou seja, a evaporação) e chegam mesmo a
invertêr-los durante o dia. Este aspecto é menos acentuado nos resultados do modelo do que
nas observações feitas experimentalmente. Para que essa inversão seja mais forte e mais
duradoura, haveria necessidade da camada de solo acima dos 5 cm ser mais úmida do que
aquela simulado pelo modelo. Agan e Berliner (2006) têm sugerido que em região semi-árida
ocorre reumidificação da camada superficial do solo, ou pelo orvalho, ou por absorção do
vapor de água do ar. No experimento Cariri, essa possibilidade não foi examinada
experimentalmente, e o modelo não considera o que ocorre na atmosfera nas primeiras
dezenas de centímetros acima do solo, logo, esta hipótese não pôde ser verificada. No entanto,
o aspecto da curva de umidade experimental sugere que isto ocorre. A penetração da umidade
mais profundamente no solo ocorreria então devido aos gradientes de temperatura. O papel
termodinâmico do solo sobre a dinâmica da água no solo do Cariri encontra-se, então
esclarecido.
126
O fluxo de calor sensível simulado pelo modelo é baixo. Isto se deve ao processo de
convecção livre no ar entre a superfície do solo e o dossel e a alta temperatura observada no ar
à altura do dossel. O mesmo ocorre com a temperatura no ar no meio da vegetação (Goldfarb,
2006). A hipótese de base do experimento Cariri, segunda a qual as precipitações poderiam ter
a sua origem devido aos altos fluxos de calor sensível, como em outras regiões semi-áridas,
não encontra respaldo no Cariri.
Devido a sua importância demonstrada sobre os processos de evaporação e
reumidificação do solo, a condutividade térmica foi examinada mais detalhadamente. Os
valores calculados a partir da determinação experimental da difusividade térmica foram
ajustados a três modelos empíricos ou semi-empíricos: o modelo de McCumber e Pielkes
(1981), largamente utilizado nos modelos SVATs, o modelo de Johansen (1975) e o modelo
de de Vries (1963). Nenhum desses modelos, sem calibração, foi capaz de reproduzir
corretamente os valores experimentais. Para os dois últimos, ajustes têm sido propostos neste
trabalho. No caso do modelo de Johansen, os valores ajustados aderem corretamente aos
valores experimentais quando a umidade volumétrica é inferior a 0,23. Para umidades
superiores, valores ajustados e experimentais divergem. Mas é bom observar que a curva
experimental proposta por Passerat de Silans et al. (2006) foi extrapolada para valores da
umidade relativa acima de 0,26. No caso do modelo de de Vries, ajustaram-se os parâmetros
de forma através de um processo de otimização e a curva obtida obviamente adere muito bem
aos valores experimentais. No entanto, dois dos coeficientes de forma foram ajustados com
valores negativos, o que não tem significado físico. Estes resultados mostram que há
necessidade de se investigar melhor as propriedades térmicas do solo e sua relação com as
propriedades químicas e físicas do mesmo.
Um estudo da sensibilidade à condutividade térmica das três variáveis mais
importantes do processo físico, quais sejam: evaporação, temperatura à superfície do solo e os
fluxos de água devido ao gradiente do potencial matricial e ao gradiente de temperatura foi
efetuado considerando a variabilidade espacial natural deste parâmetro numa área de um
hectare ao redor da torre climatológica.
Foram determinadas experimentalmente as propriedades físicas e químicas com maior
significância nos valores da condutividade térmica para as 20 amostras coletadas na área
investigada.
Observou-se então uma variabilidade espacial da condutividade térmica
127
significativa. Esta variabilidade espacial conduziu a uma significativa variabilidade espacial
da evaporação diária calculada pelo modelo, mas a uma desprezível variabilidade tanto da
temperatura máxima diária a superfície do solo devido ao gradiente de temperatura.
Neste estudo a análise da sensibilidade constatou apenas a variabilidade da
condutividade térmica ao qual foi calculada pelo modelo de Johansen modificado neste
trabalho, considerando entre outras a variação da densidade global. No entanto a variação da
densidade global tem efeito sobre a curva de retenção e da condutividade hidráulica. Diante da
importância dos resultados sugere-se que um estudo mais completo da sensibilidade do
modelo seja feito considerando também a variabilidade da curva de retenção e da
condutividade hidráulica.
128
CAPÍTULO VIII
8 - BIBLIOGRAFIA
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