Capítulo 11
INTEGRAÇÃO TRIPLA
11.1
Integração Tripla sobre Paralelepípedos
Este capítulo é totalmente análogo ao anterior.
Sejam R ⊂ R3 o paralelepípedo retangular definido por:
R = [a, b] × [c, d] × [p, q]
e a função limitada w = f (x, y, z) definida em R.
Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b], [c, d]
e [p, q]:
a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b
c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d
p = z0 < z1 < ...... . . . . . . < zn = q.
Subdividamos R em n3 sub-paralelepípedos:
Rijk = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1] × [zk , zk+1 ].
349
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
350
q
R
p
c
d
a
b
Figura 11.1: Subdivisão de R.
Denotemos por:
∆x =
d−c
q−p
b−a
, ∆y =
, ∆z =
.
n
n
n
Escolhamos cijk ∈ Rijk e formemos a seguinte soma de Riemann:
Sn =
n−1 X
n−1 X
n−1
X
f (cijk )∆x ∆y ∆z.
i=0 j=0 k=0
Definição 11.1. Se lim Sn existe e é independente da escolha dos cijk ∈ Rijk
n→+∞
e da partição, denominamos este limite de integral tripla de f sobre R e a
denotamos por:
lim Sn =
n→+∞
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz
R
Em tal caso f é dita integrável sobre R.
Teorema 11.1. Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R.
Para a prova do teorema veja [EL].
11.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEDOS
351
Observação 11.1.
No capítulo anterior vimos que se:
f : [a, b] × [c, d] −→ R,
f (x, y) ≥ 0 e contínua para todo (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], a integral dupla:
ZZ
f (x, y) dx dy
R
representa o volume do sólido:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.
Para integrais triplas esta interpretação geométrica não é conveniente, pois
o gráfico de f é um subconjunto de R4 o qual não é possível visualizar.
Mas se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ R:
ZZZ
dx dy dz
R
representa o volume de R (veja o exemplo 1). Isto se justifica, pois a soma
de Riemann correspondente:
Sn =
n−1 X
n−1 X
n−1
X
∆x ∆y ∆z
i=0 j=0 k=0
é a soma dos volumes dos n sub-paralelepípedos formado pela partição;
então:
3
lim Sn
n→+∞
é exatamente o volume de R.
A integral tripla tem propriedades análogas às das integrais duplas.
Proposição 11.1. Seja x = (x, y, z) ∈ R.
1. Linearidade da integral tripla. Se f e g são funções integráveis sobre
R, então para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:
ZZZ
α f (x) + β g(x) dx dy dz = α
R
onde x = (x, y, z).
ZZZ
R
f (x) dx dy dz + β
ZZZ
R
g(x) dx dy dz
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
352
2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x) ≤ f (x), para todo x ∈ R, então:
ZZZ
R
g(x) dx dy dz ≤
ZZZ
f (x) dx dy dz
R
3. Se R é subdividido em k paralelepípedos e f é integrável sobre cada
Ri , i = 1, ..., k então f é integrável sobre R e,
ZZZ
f (x) dx dy dz =
R
k ZZZ
X
f (x) dx dy dz
Ri
i=1
A prova segue diretamente das definições.
Observações 11.1.
1. A noção de conteúdo nulo poder ser estendida ao paralelepípedo R de
forma completamente análoga ao caso do retângulo; mudando subretângulos por sub-paralelepípedos e área por volume.
2. Como antes, o teorema é válido se o conjunto de descontinuidades de
f é de conteúdo nulo.
3. Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini. Agora
temos 3 ! = 6 possíveis integrais iteradas.
Teorema 11.2. (Fubini) Seja f : R −→ R contínua em R. Então:
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
R
Z b Z d Z
a
=
a
p
q
p
Z b Z q Z
a
b
a
Z d Z b Z
c
=
c
f (x, y, z) dz dy dx
p
Z q Z d Z
p
=
c
q
d
c
= ..................
f (x, y, z) dx dy dz
f (x, y, z) dz dx dy
f (x, y, z) dy dz dx
11.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS
353
A prova do teorema de Fubini para integrais triplas é completamente análoga à das integrais duplas, que pode ser vista no apêndice.
Exemplos 11.1.
ZZZ
[1] Calcule
dx dy dz, onde R = [a, b] × [c, d] × [p, q].
R
ZZZ
dx dy dz =
R
Z b Z q Z
a
p
d
c
dy dz dx = (d − c) (q − p) (b − a),
que é o volume de R.
ZZZ
[2] Calcule
xyz dx dy dz, onde R = [0, 1] × [1, 2] × [0, 3].
R
ZZZ
xyz dx dy dz =
R
1
[3] Calcule
ZZZ
Z 2 Z 1 Z
ZZZ
R
0
0
3
Z Z 1
27
9 2
x y dx dy = .
xyz dz dx dy =
2 1
8
0
sen(x + y + z) dx dy dz, onde R = [0, π] × [0, π] × [0, π].
sen(x + y + z) dx dy dz =
R
Z π Z π Z
0
[4] Calcule
ZZZ
R
0
π
0
sen(x + y + z) dz dx dy = −8.
(x2 + y 2 + z 2 + x y z) dx dy dz, onde R = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
Z 1 Z 1 Z
1
(x + y + z + x y z) dx dy dz =
(x + y + z + xyz) dz dx dy
R
0
0
0
Z 1 Z 1
1 1
2
2
=
(x + y + + x y)) dx dy
3 2
0
0
Z 1
9
2 y
=
( + + y 2) dy = .
4
8
0 3
ZZZ
11.2
2
2
2
2
2
2
Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais
11.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço
De forma análoga ao estudado no capítulo das integrais duplas definidas
em regiões mais gerais. Consideremos W ⊂ R3 .
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
354
11.2.2 Regiões de tipo I
A região W é do tipo I se pode ser descrita por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y)}
onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xy e f1 , f2 :
D −→ R contínuas, sendo f1 ≤ f2 .
z=f
2
W
z=f 1
D
Figura 11.2: Região de tipo I.
11.2.3 Regiões de tipo II
W é do tipo II se pode ser descrita por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, z) ∈ D, g1 (x, z) ≤ y ≤ g2 (x, z)}
onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xz e g1 , g2 :
D −→ R contínuas, sendo g1 ≤ g2 .
11.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS
355
W
D
y=g 1
y=g
2
Figura 11.3: Região de tipo II.
11.2.4 Regiões de tipo III
W é do tipo III se pode ser descrita por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 /(y, z) ∈ D, h1 (y, z) ≤ x ≤ h2 (y, z)}
onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano yz e h1 , h2 :
D −→ R contínuas, sendo h1 ≤ h2 .
D
W
x=h2
x=h
1
Figura 11.4: Região de tipo III.
11.2.5 Região de tipo IV
A região W é de tipo IV se é do tipo I, ou tipo II, ou tipo III.
como por exemplo região limitada por uma esfera, ou por um elipsóide.
356
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
Observações 11.2.
1. Em qualquer dos casos anteriores, W é chamada região elementar do
espaço.
2. As regiões W são conjuntos fechados e limitados em R3 .
Alguns exemplos de regiões elementares:
Figura 11.5: Região elementar.
De tipo III:
Figura 11.6: Região elementar.
Em geral:
11.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA
357
Figura 11.7: Região elementar.
11.3 Extensão da Integral Tripla
Seja W uma região elementar em R3 tal que W ⊂ R, R um paralelepípedo
como antes. Se f : W −→ R é uma função contínua, definamos f ∗ : R −→ R
por
(
f (x, y, z) se (x, y, z) ∈ W
f ∗ (x, y, z) =
0
se (x, y, z) ∈ R − W.
Se ∂W tem conteúdo nulo, então, f ∗ é integrável sobre R e definimos a integral tripla de f sobre W como:
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
f ∗ (x, y, z) dx dy dz.
W
R
Em tal caso dizemos que f é integrável sobre W . A integral não depende da
escolha do paralelepípedo R.
Proposição 11.2. Seja f : W ⊂ R3 −→ R contínua.
1. Se W é do tipo I:
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
W
2. Se W é do tipo II:
Z Z Z
D
f2 (x,y)
f (x, y, z) dz dx dy
f1 (x,y)
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
358
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
W
Z Z Z
g2 (x,z)
Z Z Z
h2 (y,z)
D
f (x, y, z) dy dx dz
g1 (x,z)
3. Se W é do tipo III:
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
W
D
h1 (y,z)
f (x, y, z) dx dy dz
Observação 11.2.
Observe que em todos os casos anteriores D é uma região elementar do
plano e, portanto, pode ser do tipo I, II ou III; dependendo do tipo continuamos com a integral dupla.
Volume : Em particular, se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ W , então:
ZZZ
dx dy dz = V (W )
W
onde V (W ) é o volume de W .
Exemplos 11.2.
[1] Calcule I =
Z
0
2
Z
4−x2
0
Z
x
0
sen(2 z)
dy dz dx.
4−z
Note que:
I=
ZZ Z
D
x
0
sen(2 z)
dy dz dx,
4−z
onde:
D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2 }.
11.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA
359
4
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 11.8:
Calculamos primeiro:
Z
x
0
sen(2 z)
x sen(2 z)
dy =
;
4−z
4−z
a seguir, precisamos calcular:
I=
ZZ
D
x sen(2 z)
dz dx,
4−z
onde consideramos D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤
região de tipo III; logo,
I=
Z
0
4
Z
√
0
4−z
x sen(2 z)
dx dz =
4−z
Z
0
4
√
4 − z, 0 ≤ z ≤ 4} como uma
sin(2 z)
1 − cos(8)
dz =
.
2
4
[2] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z + x2 = 9 e
inferiormente z + y = 4, tal que y = 0 e y = 4.
O sólido W é limitado superiormente por z = 9 − x2 e inferiormente por
z = 4 − y. O sólido W é do tipo I.
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
360
z
y
x
Figura 11.9: Sólido do exemplo [2].
W = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, 4 − y ≤ z ≤ 9 − x2 },
Determinação de D: A região D é a projeção de W no plano xy; para determinar D basta eliminarmos z das equações ou, equivalentemente achar a
interseção de ambas as superfícies:
(
z = 9 − x2
z = 4 − y;
obtemos x2 = y + 5 e D = {(x, y) ∈ R2 / −
√
y+5≤x≤
√
y + 5, 0 ≤ y ≤ 4}.
4
2
-3
-2
1
-1
2
3
-2
-4
Figura 11.10: A região D.
Logo, V (W ) =
ZZZ
W
dx dy dz =
Z 4 Z
0
√
y+5 Z 9−x2
√
− y+5
4−y
dz dx dy; então:
11.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA
Z 4 Z
V (W ) =
√
y+5
√
− y+5
0
361
Z
2
5 − x + y dx dy =
4
0
4
3
5
4
8
=
(y + 5) 2 dy =
(y + 5) 2 3 0
15
0
√
648 40 5
−
u.v.
=
5
3
4
Z
[3] Calcule
ZZZ
√
y+5
x3
dy
5x −
+ x y √
3
− y+5
x dx dy dz onde W é limitado por z = x2 + y 2, z = 2, no
W
primeiro octante.
Se
√ considerarmos W como região de tipo II, W é definida por 0 ≤ y ≤
z − x2 e D é a projeção de W no plano xz; fazendo y =√0 obtemos a parábola z = x2 e z = 2; logo, D é definida por 0 ≤ x ≤ z e 0 ≤ z ≤ 2,
logo:
W = {(x, y, z) / 0 ≤ x ≤
y
√
z, 0 ≤ y ≤
√
z − x2 , 0 ≤ z ≤ 2}.
3
2
1
0
4
2
3
z
2
1
1
0
0
1
2
x
3
Figura 11.11: O sólido e a região do exemplo [2].
1
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
362
ZZZ
x dx dy dz =
W
Z 2 Z
0
=
Z 2 Z
0
√
0
√
z Z
z
0
Z
1 2 3
=
z 2 dz
3 0
√
8 2
=
.
15
√
z−x2
0
x dy dx dz
√
2
x z − x dx dz
Se consideramos W como região I:
W = {(x, y, z) / 0 ≤ x ≤
√
2, 0 ≤ y ≤
√
2 − x2 , x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}.
1
1
Figura 11.12: A região do exemplo [2], no plano xy.
Z
0
√
2
Z
√
0
2−x2
√
8 2
.
x dz dy dx =
15
x2 +y 2
Z
√
2
11.4. EXERCÍCIOS
363
11.4 Exercícios
1. Calcule as seguintes integrais:
(a)
Z
3
0
(b)
Z
(c)
Z
1
0
(d)
(e)
Z
(f)
Z
Z
−1
x
Z
4
Z
π
Z
Z
x2 y 2 z 2 dx dy dz
−1
xy
x dz dy dx
0
1−x
x2 sen(y) dz dx dy
0
y
1
y
Z
0
Z y
0
1 Z x
−2
1
Z
0
π
2
(x2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz
0
1
0
0
0
Z
1
Z
0
1
−1
Z
2
Z
0
sen(y) dz dx dy
x2 z 4 dz dy dx
0
2. Considere o sólido limitado por x + y + z = 3, x + y − z = 1 e os planos
coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(a)
(b)
(c)
(d)
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
3. Calcule
ZZZ
dz dy dx
dx dy dz
dy dx dz
dx dz dy
x dx dy dz se W é o paralelepípedo limitado pelos pla-
W
nos x = 2, y = 3 e z = 1.
ZZZ
4. Calcule
z 2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilindro x2 +
W
y 2 = 1 e pelos planos z = 0 e z = 4.
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA
364
dx dy dz
se W é o sólido limitado pelo plano
3
W (x + y + z + 1)
x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.
ZZZ
6. Calcule
(x3 +y 3 +z 3 ) dx dy dz se W é o sólido limitado pela esfera:
5. Calcule
ZZZ
W
(x − a) + (y − a)2 + (z − a)2 = a2 .
ZZZ
p
7. Calcule
z x2 + y 2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilin2
W
dro x2 + y 2 = 2 x e os planos y = 0, z = 0 e z = a.
8. Determine o volume do sólido limitado pelos planos 4 y + 2 x + z = 8,
x = 0, y = 0 e z = 0.
9. Determine o volume do sólido limitado por z = 9 − x2 , z = 5 − y, y = 0
e y = 5.
Capítulo 12
MUDANÇA DE COORDENADAS
12.1 Introdução
Sejam W ∗ uma região elementar no espaço e x, y e z as seguintes funções:
x, y, z : W ∗ −→ R,
onde x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w) são funções contínuas
e com derivadas parciais contínuas num paralelepípedo aberto R tal que
W ∗ ⊂ R, Estas três funções determinam uma transformação do espaço uvw
no espaço xyz. De fato:
T : W ∗ −→ R3 ,
onde T (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).
A transformação T é também denotada por:


x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)


z = z(u, v, w), (u, v, w) ∈ W ∗
Denotemos a imagem de W ∗ por T como W = T (W ∗ ), contida no espaço
xyz.
Definição 12.1.
1. T é injetiva em W ∗ se
T ((u1 , v1 , w1 )) = T ((u2 , v2 , w2 ))
365
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
366
para todos (u1 , v1 , w1 ), (u2 , v2 , w2 ) ∈ W ∗ implica em u1 = u2, v1 = v2 e
w1 = w2 .
2. O determinante Jacobiano de T é denotado e definido por:
∂x
 ∂u


 ∂y
∂(x, y, z)
= det 
 ∂u
∂(u, v, w)


 ∂z

∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v

∂x
∂w 


∂y 
,
∂w 


∂z 
∂w
onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (u, v, w) ∈ W ∗ .
Teorema 12.1. Sejam W e W ∗ regiões elementares no espaço, T uma transformação de classe C 1 e injetiva em W ∗ . Suponha que T (W ∗ ) = W . Então
para toda função integrável f sobre W temos:
ZZZ
W
f (x, y, z) dx dy dz =
ZZZ
∂(x, y, z) du dv dw
f (u, v, w) ∂(u,
v,
w)
∗
W
onde f (u, v, w) = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) e:
∂(x, y, z) ∂(u, v, w) é o valor absoluto do determinante Jacobiano.
Observação 12.1. Novamente, é possível mostrar que o teorema anterior é
ainda válido se T não é injetiva num subconjunto de W ∗ que seja de conteúdo nulo.
12.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS
12.2
367
Coordenadas Cilíndricas
Se P = (x, y, z) é um ponto no espaço xyz, suas coordenadas cilíndricas são
(r, θ, z), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy
e são definidas por:


x = r cos(θ),
y = r sen(θ),


z = z,
p
ou, explicitamante r = x2 + y 2 , z = z e:

y

arctg
se x, y > 0,



x y
se x < 0,
θ = π + arctg
xy 


2π + arctg
se x > 0, y < 0.
x
3π
π
quando y < 0. Se x = y = 0, θ
Se x = 0, então θ = quando y > 0 e θ =
2
2
não é definido.
(x,y,z)
θ
r
(x,y,0)
Figura 12.1: Coordenadas cilíndricas.
Esta transformação é injetiva no seguinte subconjunto:
{(r, θ, z)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)}
e o jacobiano da transformação é:
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
368
∂(x, y, z)
=r
∂(r, θ, z)
Exemplos 12.1.
[1] O cilindro circular reto C de raio a é dado por:
C = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = a2 , z ∈ (−∞, +∞)}.
Em coordenadas cilíndricas x2 + y 2 = r 2 ; logo r = a, então:
C = {(r, θ, z) ∈ R3 / r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, z ∈ (−∞, +∞)}.
[2] O cone com base num disco D de raio 1.5 centrado na origem e altura 3.
Em coordenadas cilíndricas:
z = z,
3
0≤r≤ ,
2
0 ≤ θ ≤ 2π
logo, o cone em coordenadas cilíndricas:
3
S = {r, θ, z) ∈ R3 / 0 ≤ r ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 < z < 3}.
2
3
2
1
0
Figura 12.2: O cone do exemplo [2].
Do teorema anterior:
12.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS
369
Corolário 12.2. Seja f (r, θ, z) = f (r cos(θ), r sen(θ), z); então:
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
W
ZZZ
r f (r, θ, z) dr dz dθ
W∗
Esta igualdade ainda é válida se
W ∗ = {(r, θ, z)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)}.
Em particular, se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z, ) ∈ W , então:
V (W ) =
ZZZ
r dz dr dθ.
W∗
Exemplos 12.2.
[1] Determine o volume do sólido limitado por x2 + y 2 = a2 , z = 0 e z = b;
a, b 6= 0.
O sólido W é um cilindro centrado na origem, de raio a e altura z onde
0 ≤ z ≤ b. Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗
definida por:
W ∗ = {(r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ z ≤ b} = [0, a] × [0, 2π] × [0, b].
V (W ) =
[2] Calcule
ZZZ
ZZZ
r dz dr dθ =
W
Z b Z
0
0
2 π Z a
0
r dr dθ dz = π a2 b u.v.
x dx dy dz, onde W é limitado superiormente por z = 4 e
W
inferormente por z = x2 + y 2 , tal que x = 0 e y = 0.
O sólido W é definido por:
W = {(x, y, z)/(x, y) ∈ D, x2 + y 2 ≤ z ≤ 4}.
Para determinar D resolvemos o sistema:
(
z = x2 + y 2
=⇒ x2 + y 2 = 4.
z=4
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
370
Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ definida por:
W ∗ = {(r, θ, z) / r 2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤
π
};
2
D é a projeção do parabolóide no plano xy, no primeiro quadrante:
2
4
1
2
0
1
0
2
3
2
1
3
1
0
Figura 12.3: O sólido e a região do exemplo [2], respectivamente.
ZZZ
r 2 cos(θ) dz dr dθ
W∗
Z π Z 2 Z 4
2
64
2
r cos(θ)dz dr dθ = .
=
15
0
0
r2
x dx dy dz =
W
ZZZ
ZZZ p
[3] Calcule
x2 + y 2 dx dy dz, onde W é o sólido limitado por
W
x2 + y 2 = 1, z = 1 − x2 − y 2 abaixo do plano z = 4.
Figura 12.4: Vistas do sólido do exemplo [3].
2
12.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS
371
W é determinado por 1 − x2 − y 2 ≤ z ≤ 4. A projeção no plano xy é limitada
por x2 + y 2 ≤ 1.
1
-1
1
-1
Figura 12.5: A região D.
Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ determinada
por:
W ∗ = {(r, θ, z) / 1 − r 2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π};
logo:
ZZZ p
Z
2
2
x + y dx dy dz =
W
[4] Se W é limitado por z =
p
2π
0
Z
0
1
Z
4
W
z dx dy dz.
r dz dr dθ =
1−r 2
8 − x2 − y 2 e z =
ZZZ
2
p
12 π
.
5
x2 + y 2, calcule:
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
372
Figura 12.6: O sólido do exemplo [4].
W é determinado por:
W = {(x, y, z) / (x, y) ∈ D,
p
x2 + y 2 ≤ z ≤
p
8 − x2 − y 2 }.
Onde D, no plano xy, é limitada por x2 + y 2 ≤ 4. Usando coordenadas
cilíndricas obtemos a nova região W ∗ determinada por:
W ∗ = {(r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2 π, r ≤ z ≤
√
8 − r 2 };
logo:
ZZZ
W
z dx dy dz =
Z 2 Z
0
0
2π Z
√
8−r 2
r
r z dz dθ dr = 8 π.
[5] Determine o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a.
Pela simetria do sólido calculamos o volume da calota superior da esfera e
multiplicamos o resultado por 2. O sólido é definido por:
W {(x, y, z) / (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤
p
a2 − x2 − y 2 },
onde D, no plano xy, é limitada por x2 + y 2 = a2 . Usando coordenadas
cilíndricas temos que o novo sólido é definido por:
W ∗ = {(r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ z ≤
logo:
√
a2 − r 2 };
12.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS
V (W ) = 2
ZZZ
dx dy dz = 2
W
Z a Z
0
0
373
2π Z
√
a2 −r 2
0
4
r dz dθ dr = π a3 u.v.
3
[6] Determine o volume do sólido limitado por:
z=
p
e
1 − x2 − y 2
z+1=
p
x2 + y 2 .
Figura 12.7: O sólido do exemplo [6].
W é definido por:
W = {(x, y, z) / (x, y) ∈ D,
p
x2 + y 2 − 1 ≤ z ≤
p
1 − x2 − y 2},
onde D, no plano xy é limitada por x2 + y 2 = 1. Usando coordenadas cilíndricas temos que o novo sólido é definido por:
W ∗ = {(r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π, r − 1 ≤ z ≤
√
1 − r 2 };
logo:
V (W ) =
ZZZ
dx dy dz = 2
W
Z 1 Z
0
0
2π Z
√
1−r 2
r−1
r dz dθ dr = πu.v.
[7] Determine o volume do sólido limitado por z = 9−x2 −y 2 e z = 1+x2 +y 2.
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
374
Figura 12.8: O sólido do exemplo [7].
W é definido por:
W = {(x, y, z) / (x, y) ∈ D, 1 + x2 + y 2 ≤ z ≤ 9 − x2 − y 2 },
onde D, no plano xy é limitada por x2 + y 2 = 4. Usando coordenadas cilíndricas temos que o novo sólido é definido por:
W ∗ = {(r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 1 + r 2 ≤ z ≤ 9 − r 2 };
logo:
V (W ) =
ZZZ
W
dx dy dz =
Z
0
2π Z 2 Z 9−r 2
0
1+r 2
r dz dr dθ = 16 πu.v.
12.3. COORDENADAS ESFÉRICAS
375
12.3 Coordenadas Esféricas
Seja P = (x, y, z) um ponto no espaço xyz. Suas coordenadas esféricas são
(ρ, θ, φ) onde ρ é a distância do ponto P à origem, θ é o ângulo formado pelo
eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga (0, 0, 0) a (x, y, 0) e φ é o
ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P à
origem:


x = ρ cos(θ) sen(φ)
y = ρ sen(θ) sen(φ)


z = ρ cos(φ),
p
onde ρ = x2 + y 2 + z 2 > 0, 0 ≤ θ < 2 π e 0 ≤ φ ≤ π, o que define uma
região no espaço ρθφ.
(x,y,z)
φ
θ
(x,y,0)
Figura 12.9: Coordenadas esféricas.
O jacobiano da transformação é:
∂(x, y, z)
= −ρ2 sen(φ)
∂(ρ, θ, φ)
Exemplos 12.3.
[1] Em coordenadas esféricas uma esfera de raio a, centrada na origem é:
S = {(ρ, φ, θ) ∈ R3 /ρ = a, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
376
[2] Os cones circulares com eixos coincidentes com o eixo dos z são caracterizados por:
S = {(ρ, φ, θ) ∈ R3 / ρ ∈ [0, +∞), φ = c0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π},
onde c0 ∈ R.
Casos particulares:
Se c0 = 0 e φ = 0, S representa o semi-eixo positivo dos z.
Se c0 = π e φ = π, S representa o semi-eixo negativo dos z.
π
π
Se c0 = e φ = , S representa o plano xy.
2
2
π
Se 0 < c0 < e φ = c0 , o cone "abre"para cima.
2
π
Se < c0 < π e φ = c0 , o cone "abre"para baixo.
2
[3] O sólido limitado por x2 + y 2 + z 2 ≥ 1 e x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 em coordenadas
esféricas é dado por:
W = {(ρ, φ, θ) ∈ R3 / ρ ∈ [1, 2], 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
0
-1
-2
2
1
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
Figura 12.10: Sólido do exemplo [3].
Do teorema anterior:
Corolário 12.3. Seja f (ρ, θ, φ) = f (ρcos(θ)sen(φ), ρsen(θ)sen(φ), ρcos(φ)), então:
ZZZ
W
f (x, y, z) dx dy dz =
ZZZ
W∗
ρ2 sen(φ) f (ρ, θ, φ) dρ dθ dφ
12.3. COORDENADAS ESFÉRICAS
377
Esta igualdade ainda é válida se
W ∗ = {(ρ, θ, φ) / ρ ∈ [0, +∞), 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π}.
Em particular, se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z, ) ∈ W , então:
V (W ) =
ZZZ
ρ2 sen(φ) dρ dθ dφ
W∗
Exemplos 12.4.
[1] Calcule o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a centrada
na origem.
O sólido é definido por x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 . Utilizando coordenadas esféricas:
W ∗ = {(ρ, φ, θ) / 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, π] × [0, 2π]
ZZZ
Z a Z π Z
2π
dx dy dz =
ρ sen(φ) dθ dφ dρ
W
0
0
0
Z a Z π
2
= 2π
ρ sen(φ) dφ dρ
0
0
Z
2 3 π
sen(φ) dπ
= πa
3
0
4
= πa3 u.v.
3
2
[2] Se W é o sólido limitado por x2 + y 2 + z 2 = 1, calcule:
ZZZ √
2
2
2 3
e (x +y +z ) dx dy dz.
W
Usando coordenadas esféricas temos:
W ∗ = {(ρ, φ, θ) / 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π}.
√ 2 2 23
3
Por outro lado e (x +y +z ) = eρ
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
378
ZZZ
3
(x2 +y 2 +z 2 ) 2
e
dx dy dz =
W
Z 1 Z π Z
0
= 2π
0
Z 1 Z
0
= 4π
Z
2π
2
0
π
0
1
3
ρ3
ρ e sen(φ) dθ dφ dρ
2 ρ3
ρ e sen(φ) dφ dρ
ρ2 eρ dρ
0
4
= π(e − 1).
3
[3] Se W é o sólido limitado inferiormente por z =
1
1
mente por x2 + y 2 + (z − )2 = , calcule
2
4
ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz.
p
x2 + y 2 e superior-
W
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
- 0.5
- 0.5
0.0
0.5
Figura 12.11: Sólido do exemplo [3].
1
1
A esfera x2 + y 2 + (z − )2 = , em coordenadas esféricas, tem como equa2
4
ção:
ρ = cos(φ)
e o cone:
φ=
π
;
4
12.3. COORDENADAS ESFÉRICAS
379
então:
Logo:
W ∗ = {(ρ, φ, θ) / 0 ≤ ρ ≤ cos(φ), 0 ≤ φ ≤
π
4
Z
π
, 0 ≤ θ ≤ 2 π}
4
cos(φ) Z 2π
ρ sen(φ) dθ dρ dφ
0
0
0
Z π Z cos(φ)
4
3
= 2π
ρ sen(φ) dρ dφ
ZZZ p
Z
2
2
2
x + y + z dx dy dz =
W
0
3
0
π
4
π
cos4 (φ) sen(φ) dφ
2 0
√
2
π
).
= (1 −
10
8
=
[4] Calcule
ZZZ
e(x
Z
3
2 +y 2 +z 2 ) 2
dx dy dz onde W é o sólido limitado pela esfera
r
p
x2 + y 2
.
centrada na origem de raio 4 e os cones z = 3(x2 + y 2 ) e z =
3
W
2
0
-2
2
1
0
-2
0
2
Figura 12.12: Sólido do exemplo [4].
2
2
2
Usando coordenadas esféricas a equação da
r esfera x + y + z = 16 é ρ = 4
p
x2 + y 2
π
π
e as dos cones z =
são, φ =
e φ = ,
3(x2 + y 2) e z =
3
6
3
respectivamente.
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
380
A região no espaço ρθφ é definida por:
W ∗ = {(ρ, φ, θ) / 0 ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π,
π
π
≤φ≤ }
6
3
Logo:
ZZZ
3
(x2 +y 2 +z 2 ) 2
e
W
dx dy dz =
Z
0
2π Z
π
3
π
6
Z
0
4
ρ e sen(φ) dρ dφ dθ
2 ρ3
π √
= ( 3 − 1)(e64 − 1).
3
12.4. EXERCÍCIOS
381
12.4 Exercícios
1. Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)
Z
2
(b)
0
(c)
Z
(d)
0
4−x2
0
1
Z
√
1−x2
√
− 1−x2
√
1−x2
1 Z
−1
Z
√
√
− 4−x2
√
2 Z
4−x2
−2
Z
Z
2. Calcule:
0
ZZ
Z
4
x dz dy dx.
x2 +y 2
Z √16−x2 −y2 p
0
Z
1+
√
1−x2 −y 2
x2 + y 2 dz dy dx.
xdz dy dx.
1
Z √1−x2 −y2 p
x2 + y 2 + z 2 dz dy dx.
0
x dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelos planos x =
W
0, y = 0, z = 2 e pelo parabolóide z = x2 + y 2.
3. Calcule:
ZZ
x dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelo parabolóide
W
2
x = 4 z 2 + 4 y e pelo plano x = 4.
ZZ
6 x y dx dy dz, onde W está acima da região plana limi√
tada pelas curvas y = x, y = 0, x = 1 e abaixo do plano z = 1 + x + y.
4. Calcule:
W
5. Calcule:
ZZ
x y dx dy dz, onde W é o tetraedro de vértices (0, 0, 0),
W
(1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
6. Determine o volume:
(a) do sólido limitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 0 e
x + z = 1.
(b) do sólido limitado pelo cilindro y = cos(x) e pelos planos z = y,
x = 0, x = π2 e z = 0.
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
382
7. O valor médio de uma função w = f (x, y, z) sobre a região W é definido por:
VM
1
=
vol(W )
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz.
W
Determine o valor médio da função f (x, y, z) = x y z sobre o cubo com
lados de comprimento L que está no primeiro octante com um vértice
na origem e arestas paralelas aos eixos coordenados.
Calcule, usando coordenadas cilíndricas
8.
ZZZ p
x2 + y 2 dx dy dz, onde W é a região contida dentro do cilindro
W
x + y 2 = 16 e entre os planos z = −5 e z = 4.
2
9.
10.
ZZZ
ZZZ
W
p
x2 + y 2 dx dy dz, onde W é o cone x2 + y 2 ≤ z ≤ 1.
1+
W
p
x2 + y 2 dx dy dz, onde:
W = {(x, y, z) ∈ R3 /
p
x2 + y 2 ≤ z ≤ 1}.
Calcule, usando coordenadas esféricas
11.
ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, onde W é o sólido limitado por abaixo
π
pelo cone ρ = e acima pela esfera ρ = 2.
6
ZZZ
12.
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, onde:
W
W
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
13.
ZZZ
W
dx dy dz
p
3 , onde W é o sólido limitado pelas esferas:
x2 + y 2 + z 2
x + y 2 + z 2 = a2 e x2 + y 2 + z 2 = b2 , (a < b).
2
12.4. EXERCÍCIOS
14.
15.
383
dx dy dz
, onde W é o sólido limitado pelas superfícies
z2
W
p
p
p
z = x2 + y 2, z = 1 − x2 − y 2 e z = 4 − x2 − y 2.
ZZZ
ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, onde:
W
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z , 1 ≤ z}.
16. Calcule o volume do sólido limitado:
(a) Por z = 4 − x2 − y 2 e pelo plano xy.
(b) Por z = x2 + y 2 e x2 + y 2 + z 2 = 2.
(c) Por z = x2 + 9 y 2 e z = 18 − x2 − 9 y 2.
(d) Por z = 2 x2 + 2 y 2 e z = 48 − x2 − y 2 .
17. Calcule
ZZZ W
finido por:
x2 y 2 y 2
+ 2 + 2 dx dy dz, onde a, b, c > 0 e o sólido dea2
b
c
x2 y 2 y 2
W = {(x, y, z) ∈ R / 2 + 2 + 2 ≤ 1}.
a
b
c
3
18. Calcule
ZZZ
x y z dx dy dz, onde W é formado pelo primeiro octante
W
do elipsóide do exercício anterior, (x, y, z ≥ 0).
19. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule:
(a)
ZZZ
(x2 + y + z 2 )3 dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelo ciW
lindro x2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e y = 1.
ZZZ
(b)
(x2 + y 2 ) dx dy dz, onde W é o sólido limitado pela superfíW
cie 2 z = x2 + y 2 e o plano z = 2.
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
384
(c)
ZZZ
dx dy dz, onde W é o sólido limitado por x2 +y 2 +z 2 = 2 R z,
W
x2 + y 2 = z 2 e que contem o ponto (0, 0, R).
20. Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
(a)
ZZZ
(x2 + y 2) dx dy dz, onde:
W
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≥ 0}.
ZZZ q
1 + (x2 + y 2 + z 2 )3/2 dx dy dz, onde:
(b)
W
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, onde:
(c)
W
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ x}.
(d)
ZZZ
a dx dy dz, onde:
W
W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0}.
21. Calcule o volume do sólido limitado:
(a) pelo cilindro x2 + 4 y 2 = 4 e pelos planos z = 0 z = x + 2
(b) pelo parabolóide z = x2 + y 2 e pelo plano z = x
(c) pelos parabolóides z = 9 x2 + y 2 e z = 18 − 9 x2 − y 2
(d) pelas superfícies z =
p
x2 + y 2 e z = x2 + y 2
(e) pela superfície z = 4 − 4 x2 − y 2 e o plano xy
(f) pelos cilindros x2 + z 2 = 1 e y 2 + z 2 = 1.
(g) pelos planos z = 0, y = 0, z = x e pelo cilindro x2 + y 2 = 9
12.4. EXERCÍCIOS
385
22. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada
por w = f (x, y, z), a massa de W é definida por:
MW =
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz.
W
As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por:
x=
ZZZ
y f (x, y, z) dx dy dz
y=
ZZZ
z f (x, y, z) dx dy dz
z=
ZZZ
x f (x, y, z) dx dy dz
W
MW
,
W
MW
e:
W
MW
(a) Calcule a massa de W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤
9 − x2 − y 2} se a densidade é f (x, y, z) = z
(b) Calcule o centro de massa do sólido limitado por z 2 = x y, x = 5,
y = 5 e z = 0 se a densidade é f (x, y, z) = 1
(c) Calcule o centro de massa do sólido limitado pela esfera x2 + y 2 +
z 2 = a2 e situado acima do plano z = 0, sabendo que a densidade
em cada ponto é proporcional á distância do ponto ao centro da
esfera.
(d) Se a densidade num ponto de uma estrla esférica gaseosa é dada
3
por f = C e−(ρ/R) , onde C > 0, R é o raio da estrela e ρ é a
distância do ponto ao centro da estrela. Calcule a massa da estrela
23. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada
por w = f (x, y, z), então os momentos de inércia em torno dos eixos
coordenados são definido por:
CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS
386
Ix =
ZZZ
(y 2 + z 2 ) f (x, y, z) dx dy dz,
ZZZ
(x2 + z 2 ) f (x, y, z) dx dy dz
ZZZ
(x2 + y 2 ) f (x, y, z) dx dy dz
W
Iy =
W
e:
Iz =
W
Determine o momento de inércia de cada sólido em relação ao eixo
indicado supondo que a densidade é K constante.
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ h} em relação ao eixo
dos x
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3 / a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 , 0 ≤ z ≤ h} em relação ao
eixo dos z