13ª aula
Sumário:
Centro de massa e seu significado físico. Localização do centro de massa de um objecto
de espessura uniforme. Centro de massa de um sistema de partículas. Corpos extensos.
Centro de massa e seu significado físico
Os objectos podem ter os mais variados movimentos: de translação, de rotação
ou movimentos combinados de translação e de rotação. Os corpos formados por
partículas que mantêm sempre as suas posições relativas durante o movimento dizem-se
rígidos (não são deformáveis). No movimento de translação destes corpos todas as suas
partículas têm a mesma velocidade. Na Fig. 13.1 mostram-se dois objectos, um com
movimento de translação pura e outro só com movimento de rotação. No caso das
rotações puras, os pontos sobre o eixo de rotação mantêm-se fixos.
v
v
v
v
v
v
Figura 13.1
No estudo dos movimentos apenas de translação, não é necessário considerar
cada ponto do sistema, pois todos têm a mesma velocidade. Basta, por isso, considerar o
movimento de um ponto chamado centro de massa. É como se o corpo se pudesse
reduzir a esse ponto. Por outras palavras, o corpo extenso é substituído por uma só
partícula que ocupa a posição do centro de massa.
O centro de massa de um sistema de partículas é um ponto onde se supõe estar
concentrada toda a massa e onde se considera aplicada a resultante das forças que
actuam nesse sistema.
Quando um corpo só tem movimento de translação (e não interessa considerar as
variações da sua energia interna), pode ser simplesmente representado pelo seu centro
de massa (CM), como mostra a Fig. 13.2
v
v
v
v
v
CM
v
v
v
Figura 13.2
A representação pelo centro de massa é um modelo simplificado que reduz um objecto
extenso a uma só partícula ou ponto material. Em alguns casos, a representação de um
objecto pelo seu centro de massa não retira exactidão ao tratamento do movimento.
1
Localização do centro de massa de um objecto de espessura uniforme
Como determinar experimentalmente a posição do centro de massa de objectos
de espessura uniforme? Esta localização pode fazer-se da maneira seguinte. Pendura-se
o objecto por um ponto qualquer (ponto A, por exemplo) e marca-se no objecto uma
linha vertical que passe por esse ponto. Pendura-se depois o objecto por um outro ponto,
B, por exemplo, e, de novo, marca-se a linha vertical que passa agora por B. A
intersecção da duas linhas indica a posição do centro de massa (claro que o centro de
massa está no interior do objecto e não na sua superfície!).
B
A
C
B
CM
A
CM
C
A
B
C
Figura 13.3
Para a localização do centro de massa ser mais rigorosa deve escolher-se pelo menos
mais um ponto (ponto C, por exemplo) e pendurar de novo o objecto. Mais uma vez se
traça a linha vertical que passa por C. Essa linha deve interceptar as outras duas no
mesmo ponto (CM). Pendurando o objecto de qualquer outro ponto e procedendo da
mesma maneira podem traçar-se mais linhas todas concorrentes em CM.
Centro de massa de um sistema de partículas
Se tivermos um sistema formado por N partículas de massas m1 , m2 ,..., m N ,
localizadas velos vectores posicionais r1 , r2 ,..., rN , a posição do seu centro de massa é
obtida a partir da seguinte expressão:
N
m r + m2 r2 +
R= 11
m1 + m2 +
sendo M =
N
i =1
m N rN
=
mN
i =1
mi ri
M
,
(13.1)
mi a massa total do sistema.
3
2
1
r3
r2
4
r4
r1
O
Figura 13.4
2
A expressão (13.1) é uma “média”, ponderada pelas massas, da localização de todas as
partículas.
A velocidade do centro de massa, V , relaciona-se com as velocidades de todas
as partículas constituintes do sistema. Derivando ambos os membros de (13.1) em
ordem ao tempo, encontra-se1
N
V =
i =1
mi v i
.
M
(13.2)
Note-se que o numerador no lado direito da expressão anterior é a soma de todos os
momentos lineares das N partículas, o que nos permite escrever
MV =
N
i =1
pi .
(13.3)
Como já sabemos também da aula nº 11, a soma do lado direito é o momento linear, P ,
do conjunto. Podemos, então, escrever
MV = P
(13.4)
o que mostra que o centro de massa, que representa todo o sistema, possui momento
linear que é igual ao produto da velocidade do centro de massa pela massa total.
Derivando agora (13.4) em ordem ao tempo e usando [ver 11ª aula, expressão
(11.12)]
dP
= F exterior ,
(13.5)
dt
em que F exterior é a resultante das forças exteriores, obtém-se
F exterior = M A .
(13.6)
Nesta equação, A é a aceleração do centro de massa. É a aceleração que se obtém
derivando a velocidade do centro de massa (13.2) e relaciona-se com as acelerações ai
das partículas que integram o sistema através de
N
A=
i =1
mi a i
M
.
(13.7)
A equação (13.6) permite-nos afirmar que a aceleração do centro de massa só depende
das forças exteriores, as quais se consideram aplicadas nesse mesmo ponto.
Uma partícula num campo gravítico constante, com velocidade inicial numa
direcção diferente de g descreve uma parábola. Esta é também a trajectória descrita
pelo centro de massa de um sistema de partículas sobre as quais não actuem mais forças
externas para além da gravítica. A Fig. 13.5 mostra a trajectória de uma raquete de ténis
que um tenista deixa largar. O movimento do objecto pode ser muito complicado mas o
do seu centro se massa não é: descreve uma parábola.
1
Considera-se que as partículas têm massas constantes.
3
Figura 13.5
Corpos extensos
A Fig. 13.6 mostra um corpo extenso de volume total V e massa m. Vamos supor
que a densidade do corpo não é uniforme. Como determinar o seu centro de massa?
dV
P
r
V
O
Figura 13.6
Comecemos por recordar o conceito de massa volúmica ou densidade. A massa
volúmica média, ρ m , é simplesmente a razão entre a massa total e o volume total:
ρm =
m
V
(13.7)
Ora, no caso de um corpo de densidade não uniforme, esta é uma função de r . Em
torno de um ponto P, localizado pelo vector posicional r , consideremos um volume
pequeno ∆V e a corresponde massa, também pequena, ∆m . A razão ∆m / ∆V é uma
melhor aproximação à massa volúmica no ponto P do que o valor médio sobre todo o
corpo dado por (13.7). Para sabermos a densidade no ponto P temos de tomar o limite
de volume infinitesimal, ∆V → 0 , tendo-se então,
∆m dm
=
.
∆V →0 ∆V
dV
ρ = lim
(13.8)
Do ponto de vista matemático a densidade é a “derivada da massa em ordem ao
volume”. Logo a massa é a primitiva da densidade, De facto, a expressão anterior pode
ser reescrita na forma dm = ρ dV que, integrada sobre todo o volume V conduz a
M = dm = ρ dV .
V
(13.9)
V
4
Se ρ (r ) for constante em todo o volume V, pode sair para fora do integral e como2
dV = V , obtém-se a expressão familiar M = ρ × V .
V
A posição do centro de massa do corpo extenso determina-se generalizando
(13.1) para “o contínuo”, ou seja,
r ρ dV
R=
V
ρ dV
r ρ dV
=
V
M
.
(13.10)
V
Os integrais
chamam-se de volume e mais não são do que uma simples
V
generalização para três dimensões dos integrais a uma dimensão.
b
2
Recordar que
dx = b − a .
a
5