CONSERVAÇÃO DA POSIÇÃO DO CENTRO DE MASSA
Problemas deste tipo têm aparecido nas provas do ITA nos últimos dez anos. E por ser um
assunto simples e rápido de ser abrodado, não vale apena para o aluno deixar de ver
explicitamente este tópico da matéria. Então para ajudar vocês, a equipe SEI reuniu os problemas
dos últimos dez anos de provas do ITA e resolveu alguns para você. No final do artigo têm um
exercício proposto pela equipe SEI.
Resumo Teórico
Considere um sistema com três partículas em um sistema de referência inercial cartesiano OXY.
Por definição as coordenadas do centro de massa desse sistema de partículas são dadas por:
x CM =
m1x1 + m 2 x 2 + m 3 x 3
m1 + m 2 + m 3
y CM =
m1 y1 + m 2 y 2 + m 3 y 3
m1 + m 2 + m 3
Em uma notação mais compacta podemos escrever:
G
G
G
m r +m r +m r
G
r =
m +m +m
1
1
2
2
3
(Eq 1)
3
CM
1
onde
G
r
2
3
é o vetor posição do centro de massa e
CM
G G G
r ,r ,r
1
2
3
são os vetores posição das partículas
1, 2 e 3, respectivamente. Derivando a expressão acima em relação ao tempo, encontramos:
G
G
G
m v +m v +m v
G
v =
m +m +m
1
1
2
2
3
(Eq 2)
3
CM
1
onde
G
v
CM
2
3
é velocidade do centro de massa e
G G G
v ,v ,v
1
2
3
são as velocidades das partículas 1, 2 e
3, respectivamente. Derivando a expressão acima novamente em relação ao tempo, encontramos:
G
a
CM
=
G
G
G
m a +m a +m a
1
1
2
G
a
3
m +m +m
1
onde
2
CM
2
(Eq 3)
3
3
é a aceleração do centro de massa e
G G G
a ,a ,a
1
2
3
são as acelerações das partículas 1, 2 e
3, respectivamente. Só que:
G G G
onde F , F , F
1
2
3
G G
ma =F
G G
m a =F
G G
ma =F
1
1
1
2
2
2
3
3
3
são as forças resultantes que atuam nas partículas 1, 2, e 3, respectivamente.
Desta maneira a Eq 3 se torna:
G G G
G
G
G
F + F + F = (m + m + m ).a ∴ F = M.a
1
2
3
1
2
3
CM
R
CM
ou seja, a força resultante em um sistema de partículas é a massa total multiplicado pela
aceleração do centro de massa. Isto equivale a dizer que para calcularmos a aceleração do centro
de massa podemos concentrar toda a massa nele.
Se a força resultante for nula implica que a aceleração do centro de massa é zero. Então o centro
de massa tem velocidade constante ou está em repouso. Neste último caso a posição do centro de
massa não varia.
Exercícios
1. (ITA – 2005) Dois corpos esféricos de massa M e 5M e raios R e 2R, respectivamente, são
liberados no espaço livre.
5M
M
R
2R
12R
Considerando que a única força interveniente seja a da atração gravitacional mútua, e que seja de
12 R a distância de separação inicial entre os centros dos corpos, então, o espaço percorrido pelo
corpo menor até a colisão será de
a) 1,5R
b) 2,5R
c) 4,5R
d) 7,5R
e) 10,0R
ALTERNATIVA D
Calculando a posição inicial do centro de massa do sistema temos:
x
CM
=
mx +m x
M.0 + 5M.12R
=
= 10R
m +m
M + 5M
1
1
2
1
2
2
Como a resultante das forças externas atuantes no sistema é nula, o sistema é isolado e, portanto
seu CG permanece na situação inicial. Desse modo, temos para a situação final:
x
CM
=
m x +m x
M.x + 5M.x
x + 5x
=
= 10R ∴ x + 5x = 60R
=
m +m
M + 5M
6
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
Só que da geometria do problema temos:
x − x = 3R
2
2
1
2
Resolvendo o sistema de equações encontrado:
⎧x + 5x = 60R ⎧x = 7,5R
∴⎨
⎨
x
−
x
=
3R
⎩x = 10,5R
⎩
1
2
2
1
1
2
A distância percorrida pelo corpo de menor dimensão vele x1 = 7,5 R.
2. (ITA – 2002) Uma rampa rolante pesa 120 N e se encontra inicialmente em repouso, como
mostra a figura. Um bloco que pesa 80 N, também em repouso, é abandonado no ponto 1,
deslizando a seguir sobre a rampa. O centro de massa G da rampa tem coordenadas: XG = 2b/3 e
yG = c/3. São dados ainda: a = 15,0 m e sen α = 0,6. Desprezando os possíveis atritos e as
dimensões do bloco, pode-se afirmar que a distância percorrida pela rampa no solo, até o instante
em que o bloco atinge o ponto 2, é:
1
a 2 a)16,0m
d) 24,0m
α b •G
b) 30,0m
e) 9,6m
c c) 4,8m
Pela geometria do problema:
i) sen α = 0,6 ⇒ cos α = 0,8
ii) c = a.sen α = (15,0)(0,6) ⇒ c = 9,00 m
iii) b = a.cos α = (15,0)(0,8) ⇒ b = 12,0 m
iv) xG = 2b/3 = (2)(12,0)/(3) ⇒ xG = 8,00 m
Como o sistema é mecanicamente isolado na direção x então a componente x do centro de massa
se mantém constante. No início do movimento:
x CM1 =
Prampa (x G ) + Pbloco (b)
Prampa + Pbloco
Quando o bloco atinge o ponto 2:
x CM2 =
Prampa ( x G + d) + Pbloco (d)
Prampa + Pbloco
Portanto:
x CM1 = X CM 2 ∴ Prampa .x G + Pbloco .b = Prampa .( x G + d ) + Pbloco .d
120.8 + 80.12 = 120.(8 + d) + 80d ∴ d = 4,8 m
3. (ITA – 2000) Uma lâmina de material muito leve de massa m está em repouso sobre uma
superfície sem atrito. A extremidade esquerda da lâmina está a 1 cm de uma parede. Uma formiga
considerada como um ponto, de massa m/5 , está inicialmente em repouso sobre essa
extremidade, como mostra a figura. A seguir, a formiga caminha para frente muito lentamente,
sobre a lâmina. A que distância d da parede estará a formiga no momento em que a lâmina tocar a
parede?
a) 2 cm.
b) 3 cm.
c) 4 cm.
d) 5 cm.
e) 6 cm.
4. ITA - As massas m1 = 3,0 kg e m2 = 1,0 kg foram fixadas nas extremidades de uma haste
homogênea, de massa desprezível e 40 cm de comprimento. Este sistema foi colocado
verticalmente sobre uma superfície plana, perfeitamente lisa, conforme mostra a figura, e
abandonado.
A massa m1 colidirá com a superfície a uma distância x do ponto P dada por:
(A) x = 0 (no ponto P)
(B) x = 10cm
(C) x = 20cm
(D) x = 30cm
(E) x = 40cm.
5. Um anel circular de raio R e massa M está no interior de outro anel circular de raio 2R e massa
2M, ambos na vertical, conforme mostra a figura abaixo. Os anéis rolarão sem deslizar. Quando o
centro do anel menor estiver chegado no ponto mais baixo, qual será a distância percorrida pelo
anel maior?
GABARITO
3. E
4. B
5. R/3