S. RIBEIRO E SILVA
1. CENTROS DE MASSA
1.1.
FORÇAS EM CORPOS RÍGIDOS
Corpo rígido é aquele que não se deforma. As forças que actuam em corpos rígidos
podem ser classificadas em dois grupos:
Forças Exteriores – que representam a acção de outros corpos sobre o corpo rígido
considerado, sendo responsáveis pelo comportamento externo do corpo. Estas podem
provocar o movimento ou assegurar a manutenção do corpo em repouso. Exemplo: Força
de gravidade terrestre ou peso;
Forças Internas – são as que mantêm unidos os elementos que formam o corpo rígido. Se o
corpo é estruturalmente composto por diversas partes, as forças que mantêm estas partes
unidas são as chamadas forças internas. Exemplo: forças em treliças e catenárias.
1.2. CENTRO DE MASSA DE UM CORPO BI-DIMENSIONAL
A atracção exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser representada por uma única
força equivalente P , que representa um grande número de pequenas forças distribuídas por todo o
corpo ∆P . O ponto de aplicação desta força equivalente P chama-se centro de gravidade G ou
mais genericamente centro de massa.
Em primeiro, considere-se uma placa horizontal, tal como é ilustrado na Fig. 1.1, a qual
pode ser dividida em n pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são designadas
( x1 , y1 ) e a força exercida pela Terra sobre esse mesmo elemento da placa é denominada ∆P1 .
Generalizando, para n elementos ∆P1 , ∆P2 , ... , ∆Pn . Estas forças ou pesos encontram-se orientados
em direcção ao centro da Terra, mas para efeitos práticos vamos considerá-los verticalmente
alinhados com o eixo dos zz . A resultante será uma força com a mesma direcção e com um módulo
P , dado pela adição dos pesos elementares:
∑F :
z
P = ∆P1 + ∆P2 + ... + ∆Pn
(1.1)
Fig. 1.1 – Centro de Massa de uma Placa.
1-1
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
Para se obter as coordenadas ( x, y ) do ponto G , onde a resultante P deve ser aplicada,
consideramos que os momentos de P , em relação aos eixos x e y são iguais à soma dos
momentos correspondentes aos pesos elementares, matematicamente dados por:
∑M
∑M
y
:
x. P = x1.∆P1 + x2 .∆P2 + ... + xn .∆Pn
x
:
y.P = y1 .∆ P1 + y2 .∆P2 + ... + yn .∆Pn
(1.2)
Se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e em simultâneo
diminuirmos o tamanho da cada um desses elementos, podemos aplicar o cálculo
infinitésimal/integral e assim considerar no limite as seguintes expressões:
∫
P = dP
∫ x.dP
y.P = ∫ y.dP
x.P =
(1.3)
Estas equações definem o peso P e as coordenadas ( x, y) do centro de massa G da placa
plana. As mesmas equações podem também ser utilizadas para definir o centro de massa de uma
barra situado no plano xy , tal como é ilustrado na Fig. 1.2. Note-se, que neste caso o centro de
massa G não se encontra sobre a barra mas é apenas um ponto no espaço onde deve ser aplicado
o peso P .
Fig. 1.2 – Centro de Massa de uma Barra.
1.3. CENTRÓIDES DE ÁREAS E DE LINHAS
No caso de se considerar uma placa homogénea de espessura uniforme t , o módulo do
peso de um elemento ∆P é dado por:
∆ P = γ .t.∆A
(1.4)
1-2
S. RIBEIRO E SILVA
Onde:
3
γ = ρ . g = peso especifico [N/m ].
Analogamente podemos expressar o módulo do peso total da placa P por:
P = γ .t. A
(1.5)
Onde:
2
A = área total da placa [m ].
Substituindo as equações (1.4) e (1.5) na equação (1.2) e dividindo pela constante γ .t
obtém-se:
∑M
∑M
y
:
x
:
x. A = x1.∆ A1 + x2 .∆A2 + ... + xn .∆An
(1.6)
y. A = y1 .∆A1 + y2 .∆A2 + ... + yn .∆An
Se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e em simultâneo
diminuirmos o tamanho da cada um desses elementos, podemos aplicar novamente o cálculo
infinitésimal/integral e assim considerar no limite as seguintes expressões:
∫ x.dA
y. A = ∫ y.dA
x. A =
(1.7)
Estas equações definem as coordenadas ( x, y) do centro de massa de uma placa
homogénea. Tal como é ilustrado na Fig. 1.3, o ponto com coordenadas ( x, y) é também designado
centróide C da área A da placa. Note-se que caso a placa não seja homogénea as equações (1.7)
não permitem calcular o centro de massa da placa; porém permitem determinar o centróide da área.
Fig. 1.3 – Centróide de uma Área.
1-3
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
∫ xdA é habitualmente designado por momento de 1ª ordem ou momento estático
em relação ao eixo dos yy . Analogamente, o integral ∫ ydA é habitualmente designado
O integral
da área A
por momento de 1ª ordem ou momento estático da área A em relação ao eixo dos xx . Tal como se
pode inferir a partir da equação (1.7), se o centróide de uma área está situado sobre um eixo
coordenado, logo, o momento estático da área em relação a este eixo é nulo.
No caso de uma barra homogénea com uma secção transversal uniforme, o peso de um
elemento da barra ∆P é dado por:
∆ P = γ .a.∆L
(1.8)
Onde:
2
a = área da secção transversal da barra [m ].
Tal como é ilustrado na Fig. 1.4, o centro de massa coincide com o centróide C da linha
L definida pela forma da barra. As coordenadas ( x, y) do centróide da linha L são dadas por:
∫
y.L = ∫ y.dL
x.L = x.dL
(1.9)
Fig. 1.4 – Centróide de uma Linha.
1.3.1 Teoremas de Simetria
Uma área A é considerada simétrica em relação a um eixo BB′ se a todos e qualquer ponto
P corresponder um ponto P′ da mesma área, de tal forma que o linha PP′ seja perpendicular a
BB′ e duas partes iguais por aquele eixo (ver Fig. 1.5). Uma linha L é considerada simétrica em
relação a um eixo BB′ se esta satisfazer condições análogas.
1-4
S. RIBEIRO E SILVA
Fig. 1.5 – Centróide e Simetrias de uma Figura Plana em “L”.
Para as figuras planas simétricas pode enunciar-se os seguintes teoremas de simetria:
(1) Quando uma área A ou uma linha L possuem um eixo de simetria BB′ , o centróide da
área ou da linha está situado sobre este eixo.
(2) Se o eixo de simetria é coincidente com o eixo dos yy , então a coordenada do
centróide x é zero, pois a todos os produtos elementares x.dA e x.dL da primeira linha
das equações (1.7) e (1.9) corresponderá um produto de igual valor mas de sinal
contrário.
(3) Caso uma área ou uma linha possuam dois eixos de simetria, o centróide da área ou da
linha está localizado na intersecção dos dois eixos de simetria (ver Fig. 1.6).
Fig. 1.6 – Centróides e Simetrias de um Triângulo Equilátero e de uma Figura Plana em “I”.
Esta propriedade permite determinar facilmente o centróide de áreas de algumas figuras
planas como seja o caso de círculos, elipses, quadrados, rectângulos, triângulos equiláteros, ou
quaisquer outras figuras simétricas, como é o caso dos centróides de linhas na forma de
circunferências de círculo, perímetro de quadrado, etc.
1-5
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
1.4. CENTRÓIDES DE PLACAS E DE BARRAS COMPOSTAS
Tal como é ilustrado na Fig. 1.7, em determinados casos podemos dividir uma placa em
rectângulos, triângulos ou outras formas planas regulares cujos centróides e áreas respectivas são
bem conhecidas. A abcissa X do centro de massa G da placa pode ser calculado a partir das
várias abcissas x1 , x 2 ,... , dos centros de massa das várias partes constituintes, considerando que o
momento do peso de toda a placa em relação ao eixo dos yy é igual ao somatório dos momentos
dos vários pesos das várias partes em relação ao mesmo eixo. A ordenada Y do centro de massa
G da placa é calculada de forma idêntica, equacionando agora os momentos em relação ao eixo
dos xx .
Fig. 1.7 – Centro de Massa de uma Placa Composta.
Em linguagem matemática, calculamos as coordenadas ( X , Y ) do centro de massa G de uma
placa composta por n elementos a partir das seguintes equações:
∑M
∑M
y
= 0 ⇔ X (P1 + P2 + P3 + ... + Pn ) = x1 P1 + x 2 P2 + x 3 P3 + ... + x n Pn
x
= 0 ⇔ Y ( P1 + P2 + P3 + ... + Pn ) = y1 P1 + y 2 P2 + y 3 P3 + ... + y n Pn
(1.10)
No caso de se considerar uma placa homogénea de espessura uniforme t , o centro de
massa coincide com o centróide da área C . Tal como é mostrado na Fig. 1.8, podemos determinar
a abcissa do centróide da área considerando-se que o momento estático (ou momento de 1ª ordem)
da área composta em relação ao eixo dos yy é igual ao somatório dos momentos das várias áreas
das várias partes em relação ao mesmo eixo. Uma vez mais, a ordenada Y do centróide C da placa
é calculada de forma idêntica, equacionando agora os momentos estáticos das áreas em relação ao
eixo dos xx .
1-6
S. RIBEIRO E SILVA
Fig. 1.8 – Centro de Massa de uma Área Composta.
Em linguagem matemática, calculamos as coordenadas ( X , Y ) do centróide C de uma área
composta por n elementos a partir das seguintes equações:
∑M
∑M
y
= 0 ⇔ X ( A1 + A 2 + A3 + ... + An ) = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 + ... + x n An
x
= 0 ⇔ Y ( A1 + A2 + A3 + ... + An ) = y 1 A1 + y 2 A2 + y 3 A3 + ... + y n An
(1.11)
Quando se trata do cálculo dos centros de massa de placas ou dos centróides de áreas
compostas, sublinha-se a necessidade de ser atribuído aos momentos (das forças ou das áreas) de
cada elemento o sinal (positivo ou negativo) adequado. Designadamente, ao momento estático de
uma determinada área localizada à esquerda do eixo dos yy deve ser atribuído um sinal negativo.
Assim como, para um furo localizado á direita do eixo dos yy , deve ser atribuído um valor negativo
para a sua massa ou área, tal como é mostrado na Fig. 1.9.
Fig. 1.9 – Centro de Massa de uma Placa Composta com um Furo.
1.5. CÁLCULO DE CENTRÓIDES DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO
O cálculo das coordenadas do centróide de uma área limitada por curvas analíticas
(definidas através de uma dada equação) é geralmente efectuado através das equações (1.7). No
1-7
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
entanto a técnica de integração a ser utilizada depende da forma como é definido o elemento dA .
Se o elemento dA é escolhido como sendo um pequeno quadrado de lados dx e dy , a técnica de
integração aplicável é a da integração dupla em ordem a x e y . Também será aplicável a integração
dupla nos casos em que forem utilizadas coordenadas polares e dA for agora definido como um
pequeno quadrado elementar de lados dr e r.dθ . Por outro lado, se considerarmos que dA é um
rectângulo estreito ou uma faixa muito fina determinamos as coordenadas da área através de uma
única integração. Esta técnica de integração é por isso designada como método das faixas ou fatias.
Também será aplicável este segundo método ao elemento infinitésimal do tipo sector fino ou sector
circular elementar mostrado na Fig. 1.10. O centróide de um rectângulo estreito encontra-se no seu
centro e o centróide de um sector fino encontra-se à distância 2 r do seu vértice.
3
Fig. 1.10 – Centróides e Áreas de Elementos Infinitésimais.
As coordenadas do centróide da área sob consideração são obtidas igualando-se o
momento estático de toda a área, em relação a cada eixo coordenado, ao somatório (ou integral)
dos correspondentes momentos dos elemento dA . Designando x elto e y elto as coordenadas do
elemento dA , podemos então definir as seguintes equações:
∑M
∑M
y
x
∫x
= 0 ⇔ yA = ∫ y
= 0 ⇔ xA =
elto
dA
(1.12)
elto dA
Caso a área da figura não seja conhecida, esta também pode ser calculada utilizando esta
técnica de integração.
As coordenadas x elto e y elto do centróide do elemento de área dA devem ser definidas em
função das coordenadas de um ponto localizado sobre a curva que delimita esse elemento de área.
O elemento de área dA deve também ser expresso em função das coordenadas do ponto e dos
1-8
S. RIBEIRO E SILVA
seus lados infinitésimais. Tal como é ilustrado na Fig. 1.10, os procedimentos acima descritos foram
aplicados a três tipos comuns de elementos. Refere-se que o elemento triangular da parte (c) da
figura dever ser utilizado nos casos em que a equação da curva que delimita a área é apresentada
em coordenadas polares. As expressões apropriadas devem ser substituídas nas equações (1.12), e
a equação da curva deve ser usada para exprimir uma das coordenadas em função da outra. Depois
a integração reduz-se a resolver um integral simples, o qual pode ser resolvido segundo as regras
básicas do cálculo integral.
Quanto ao centróide de uma linha, definida por uma equação algébrica, este pode ser
determinado a partir das equações (1.9). Dependente do tipo de equação que é utilizada para definir
a linha (onde estas expressões resultam da simples aplicação do teorema de Pitágoras), o elemento
dL deve ser substituído por uma das seguintes expressões:
2
 dy 
dL = 1 +   dx
 dx 
2
 dx 
dL = 1 +   dy
 dy 
2
 dr 
dL = 1 +   dθ
 dθ 
A equação da linha é então utilizada para exprimir uma das coordenadas em função da outra
e a integração pode ser resolvida também pelas regras básicas do cálculo integral.
1.6. TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN
Estes teoremas dizem respeito a superfícies e corpos de revolução. Onde:
Superfície de revolução - é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva
plana em torno de um eixo fixo. Por exemplo, na Fig. 1.11 verifica-se que a superfície de
uma esfera pode ser obtida pela rotação de uma semi-circunferência ABC em torno do
diâmetro AC; a superfície lateral de um cone, pela rotação de uma recta AB em torno de um
eixo AC; a superfície de um toro ou anel, pela rotação de uma circunferência de um círculo
em relação a um eixo não-secante.
Fig. 1.11 – Geração de uma Superfície de Revolução.
Corpo de revolução - é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma área plana em
torno de um eixo fixo. Por exemplo, na Fig. 1.12 verifica-se que uma esfera sólida pode ser
1-9
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
obtida pela rotação de uma semi-círculo em torno do seu eixo; um cone, pela rotação de
uma área triangular; e um toro sólido, pela rotação de um círculo.
Fig. 1.12 – Geração de um Corpo de Revolução.
1.6.1. Teorema I – Teorema das Áreas das Superfícies de Revolução:
A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da geratriz
multiplicado pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a geração da
superfície.
Prova do teorema: Considere-se um elemento dL da linha L da Fig. 1.13, o qual gira em
redor do eixo dos xx . A área dA gerada pelo elemento dL é igual a 2πydL . Deste modo, a área
total gerada por L é A = ∫ 2πydL . No entanto, tal como vimos na equação (1.9), o integral
∫ ydL
é igual yL . Portanto, obtemos:
A = 2π y L
(1.13)
Onde:
2π y = distância percorrida pelo centróide da linha L .
Deve ser sublinhado que a curva geratriz não deve cruzar o eixo em torno do qual ela
própria gira; pois se o fizesse, as duas secções em ambos os lados do eixo gerariam áreas de sinais
opostos e o teorema não se aplicaria.
1-10
S. RIBEIRO E SILVA
Fig. 1.13 – Geração e Centróide de uma Superfície de Revolução.
1.6.2. Teorema II – Teorema das Volumes dos Corpos de Revolução:
O volume de um corpo de revolução é igual à área da geratriz multiplicada pela
distância percorrida pelo centróide da área durante a geração do corpo.
Prova do teorema: Considere-se um elemento dA da área A da Fig. 1.14, o qual gira em
redor do eixo dos xx . O volume dV gerado pelo elemento dA é igual a 2πydA . Deste modo, o
volume total gerado por A é V = ∫ 2πydA . No entanto, tal como vimos na equação (1.7), o integral
∫ ydA é igual
y A . Portanto, obtemos:
V = 2π y A
(1.14)
Onde:
2π y = distância percorrida pelo centróide da área A .
Uma vez mais deve ser sublinhado que o teorema não se aplica aos casos em que o eixo de
rotação é secante à geratriz.
1-11
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
Fig. 1.14 – Geração e Centróide de um Corpo de Revolução.
Os teoremas de Pappus-Guldin oferecem um modo simples de calcular a área de superfícies
de revolução e o volume de corpos de revolução. Tambérm podem ser utilzados, inversamente,
para determinar o centróide de uma curva plana quando a área da superfície gerada pela curva é
conhecida ou para determinar o centróide de uma área plana quando o volume do corpo gerada
pela área é conhecido.
1-12
S. RIBEIRO E SILVA
1.7. CENTRO DE MASSA DE UM CORPO TRI-DIMENSIONAL E CENTRÓIDE DE
UM VOLUME
Tal como é mostrado na Fig. 1.15, o centro de massa G de um corpo tri-dimensional é
obtido dividindo primeiro o corpo em pequenos elementos e depois considerando que o peso total
P do corpo, o qual é aplicado em G , é equivalente ao sistema de forças distribuídas ∆P ,
representativas dos pesos dos pequenos elementos.
Fig. 1.15 – Centro de Massa de um Corpo Tri-dimensional.
Escolhendo o eixo dos yy vertical, com sentido positivo para cima, e designando r por o
vector-posição de G , deduz-se a partir do teorema da Varignon, que P é igual à soma dos pesos
elementares ∆P e que o seu momento em relação a O é igual à soma dos momentos dos pesos
elementares em relação a O . Introduzindo os vectores unitários i , j , k , orientados segundo os
eixos dos xx , yy , zz , respectivamente e aplicando as regras do produto externo obtém-se:
∑ F = 0 ⇔ − Pj = ∑ (− ∆ Pj)
∑ M = 0 ⇔ r × (− Pj ) = ∑ [r × (− ∆Pj )]
y
(1.15)
O
Considerando que P é um escalar, é possível rescrever a equação (1.15) na forma:
r P × (− j ) =
∑ (r∆ P)× (− j )
(1.16)
A partir da equação (1.16), observamos que o peso total P do corpo será equivalente ao
sistema dos pesos elementares ∆P caso sejam satisfeitas as seguintes condições:
∑ ∆P
r P = ∑ r∆P
P=
Aumentando o número de elementos e reduzindo em simultâneo o seu tamanho, pode ser
aplicado o cálculo infinitésimal/integral e obtém-se no limite as seguintes condições:
∫
rP = ∫ rdP
P = dP
(1.17)
1-13
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
Observamos que as relações obtidas são independentes da orientação do corpo. Por
exemplo, se o corpo e os eixos coordenados forem rodados de tal modo que o eixo dos zz aponte
para cima, o vector unitário − j será substituído pelo vector unitário − k nas equações (1.15) e
(1.16), mas as relações (1.17) permanecem inalteradas. Decompondo os vectores de posição do
corpo r e de cada um dos seus elementos r em componentes cartesianas, verifica-se que a
segunda das equações (1.17) é equivalente às seguintes equações de escalares:
∫
yP = ydP
∫
z P = ∫ zdP
xP = xdP
(1.18)
Se o corpo for constituído por material homogéneo de peso específico γ , o valor do peso
de um elemento infinitésimal dP pode ser expresso em função do volume desse mesmo elemento
dV e o peso total P em função do volume total V , sendo estes, matematicamente, dados por:
dP = γdV
P = γV
Substituindo as expressões acima na segunda das equações (1.17), obtém-se:
∫
rV = rdV
(1.19)
, ou na forma escalar com coordenadas cartesianas:
∫
yV = ydV
∫
zV = ∫ zdV
xV = xdV
(1.20)
O ponto de coordenadas
(x, y, z ) é normalmente designado centróide
do volume V do
corpo. Se o corpo for não-homogéneo as equações (1.20) já não podem ser aplicadas para
determinar o centro de massa do corpo; no entanto, estas continuam a permitir definir o centróide
do volume ocupado pelo corpo.
O integral
∫ xdV
é conhecido como o momento estático ou momento de primeira ordem do
volume em relação ao plano yz . Analogamente, os integrais
∫ ydV
e
∫ zdV
definem os momentos
estáticos ou momento de primeira ordem do volume em relação ao plano zx e xy , respectivamente.
A partir das equações (1.20), verifica-se que se o centróide de um volume está localizado num
plano coordenado, o momento em relação a esse plano é nulo.
De forma idêntica à secção 1.3.1, um volume é considerado simétrico em relação a um
dado plano se a todo os pontos P do volume corresponderem pontos P′ do mesmo volume tal que
o segmento PP′ seja perpendicular ao referido plano e o volume seja dividido em duas partes iguais
por este plano. Naturalmente, o plano é designado plano de simetria do volume e quando um dado
volume V possui um plano de simetria, o seu centróide tem de estar localizado sobre este plano.
Quando o volume tem dois planos de simetria, o seu centróide deve estar localizado sobre a recta
1-14
S. RIBEIRO E SILVA
de intersecção dos dois planos de simetria. Finalmente, quando o volume possui três planos de
simetria, que se interceptam num ponto perfeitamente definido, este ponto de intersecção é
coincidente com o centróide do volume. Estas propriedades da simetria permitem determinar de
forma simples e imediata o centróide de esferas, elipsóides, cubos, paralelepípedos, etc..
Os centróides de volumes não-simétricos ou de volumes que possuam somente um ou dois
planos de simetria serão determinados pelo método de integração, o qual se encontra descrito no
secção 1.9. Deve sublinhar-se que, em geral, o centróide de uma superfície de revolução não
coincide com o centróide da sua área da secção transversal. Por exemplo, o centróide de uma
calote esférica é diferente do centróide de uma área semi-circular e o centróide de um cone é
diferente do centróide de um triângulo.
1.8. CORPOS COMPOSTOS
Se um corpo pode ser dividido em diversos outros corpos que possuem formas regulares e
bem conhecidas, o seu centro de massa GC pode ser determinado igualando-se o momento do seu
peso total em relação a O à soma dos momentos dos pesos dos corpos componentes em relação a
esse mesmo ponto. Procedendo de igual modo ao da secção 1.7, obtêm-se então as seguintes
equações, que definem as coordenadas ( X C , Y C , Z C ) do centro de massa GC .
∑ P = ∑ xP
Y ∑ P = ∑ yP
Z ∑ P = ∑ zP
X
(1.21)
Se o corpo for constituído por material homogéneo, o seu centro de massa coincide com o
centróide de volume e podemos utilizar as seguintes equações:
∑ V = ∑ xV
Y ∑ V = ∑ yV
Z ∑V = ∑ zV
X
(1.22)
1.9. CÁLCULO DE CENTRÓIDES DE VOLUMES POR INTEGRAÇÃO
O centróide de um volume limitado por superfícies, que podem ser definidas por uma dada
expressão analítica, pode ser obtido por aplicação dos integrais das equações (1.20). Se o elemento
de volume dV escolhido é igual a um cubo elementar com lados dx , dy e dz , o cálculo de cada um
dos integrais requer uma integração tripla em ordem a x , y e z . Contudo, na maior parte dos
casos é possível determinar as coordenadas do centróide do volume por integração dupla caso dV
seja escolhido como sendo igual ao volume de uma faixa ou fatia estreita, tal como é ilustrado na
Fig. 1.16.
1-15
A PONTAMENTOS DAS A ULAS PRÁTICAS DE DINÂMICA – CENTROS DE M ASSA
Fig. 1.16 – Cálculo do Centróide de um Volume por Integração Dupla.
As coordenadas do centróide são então obtidas a partir das seguintes equações:
∫
yV = y
∫
zV = ∫ z
xV = x elto dV
elto
elto
(1.23)
dV
dV
Note-se, que deve também ser substituído o volume dV e as coordenadas x elto , y elto e z elto
pelas expressões indicadas na Fig. 1.16. Utilizando uma dada equação da superfície para exprimir
z em função de x e y , a integração reduz-se a uma integração dupla em ordem a x e y .
1-16
S. RIBEIRO E SILVA
Caso o volume considerado tenha dois planos de simetria, o seu centróide tem de estar
localizado sobre a recta de intersecção destes planos. Escolhendo o eixo dos xx ao longo desta
linha, temos que y = z = 0 e a única coordenada que necessita de ser determinada é x . Este cálculo
será realizado com maior rapidez se dividirmos o volume dado em faixas paralelas ao plano yz . No
caso particular de um corpo de revolução, estas faixas são circulares e o seu volume dV é
mostrado na Fig. 1.17. Finalmente, podemos determinar o centróide do corpo x com uma única
integração em ordem a x , exprimindo o raio r em fiunção de x e substituindo x elto e dV na
primeira das equações (1.23).
Fig. 1.17 – Cálculo do Centróide de um Corpo de Revolução.
1-17