X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
RODA DE BICICLETA, BAMBOLÊ OU CICLO TRIGONOMÉTRICO?
Lessandra Marcelly Sousa da Silva
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
[email protected]
Resumo: Este trabalho é um relato de experiência de uma aula de trigonometria em que os
assuntos destacados foram: arcos e ângulos, graus e radianos; circunferência
trigonométrica e fenômenos periódicos; medições de senos e cossenos de arcos de 0° a
360°, arcos notáveis e simetrias na circunferência e as funções seno e cosseno com seus
respectivos gráficos. A atividade foi feita com alunos de três salas do segundo ano do
Ensino Médio em uma escola pública do estado de São Paulo e contou com a participação
ativa dos alunos.
Palavras-chave: Educação matemática; Trigonometria; Aula com experimentos.
Introdução
Ensinar trigonometria através de situações com experimentações práticas trouxe
diversos pontos positivos em minhas aulas de matemática, não só em relação ao conteúdo
matemático, mas também em relação às trocas de experiências entre alunos. Através desse
artigo mostrarei o desenvolvimento das atividades realizadas. Considero que este tipo de
aula oportunizou que os alunos atribuíssem maior significado ao estudo da trigonometria.
O trabalho foi desenvolvido em três salas de segundo colegial em uma escola
pública do Estado de São Paulo, sua duração foi de aproximadamente de 10 aulas. As
turmas trabalhavam separadamente de acordo com sua disposição de aula (aula de
matemática).
Como ocorreu o trabalho...
A organização das atividades se deu da seguinte maneira:
Em um primeiro momento a proposta de trabalho foi apresentada a cada uma das
turmas. Foi estabelecida um diálogo com os alunos sobre o que eles poderiam construir a
partir dos cálculos trigonométricos realizados em sala de aula com o conteúdo de
trigonometria. Neste momento os alunos expuseram suas idéias utilizando argumentos de
matemáticos. Isso aconteceu nas três salas.
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Em um segundo momento os alunos organizaram uma lista de sugestões a partir das
discussões anteriores. Chegaram a um acordo do que seria feito na prática por
unanimidade. Pretendiam construir objetos capazes de auxiliar-los nas aulas de
trigonometria. E assim, todos se comprometeram em ajudar uns aos outros em relação às
dificuldades que poderiam surgir no decorrer do projeto. E, finalizaram essa etapa na
divisão de tarefas no qual, foi o recolhimento dos materiais que seriam utilizados: madeira,
tinta, bambolê, aro de bicicleta, cabo de vassoura, antena de TV, rolamento, papelão,
serrote, lixa, entre outros.
Assim, as aulas práticas de trigonometria saíram do papel e da abstração para o
mundo concreto de bambolês, rodas de bicicletas, madeiras, cartolinas, antenas de rádio,
dentre outros. Nos itens seguintes apresento, com detalhes, os ciclos trigonométricos
construídos, os procedimentos adotados pelos alunos, no momento da construção, assim
como as conclusões que fizeram a partir de experimentações com o material concreto que
eles elaboraram e fizeram.
Razões trigonométricas na circunferência
Primeiramente os alunos consideraram um ciclo trigonométrico de origem O e raio
, em que
. Para o estudo das razões trigonométricas na circunferência, os
alunos construíram dois eixos e, associaram a eles, o eixo dos cossenos e o eixo dos senos.
Esses eixos variavam de -1 a +1. Esses eixos foram divididos em partes iguais, na unidade
positivo dividiu-se em dez partes variando de
10 partes variando
e na unidade negativa também em
. Considerando o zero dividindo os eixos. Como mostra a
figura 1.
Figura 1
As imagens na figura 2 mostram cada grupo de alunos dividindo o eixo.
Figura 2
2
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Observe as imagens na figura 2, neste momento os estudantes de cada grupo estão
dividindo o eixo em partes iguais. Consideraram cada eixo como sendo o eixo dos senos e
o eixo dos cossenos. Depois fizeram um modelo de plano cartesiano cruzando esses eixos.
Veja as imagens na figura 3.
Figura 1
Ora com um bambolê ora com uma roda de bicicleta, foi possível fazer a
circunferência.
Como pode ser visto na figura 4. Assim, os eixos dividiram a
circunferência em quatro arcos.
,
,
,
e também os quatros quadrantes
pertencentes a circunferência de raio 1.
Figura 2
Após as primeiras construções da circunferência trigonométrica de raio 1. A
intenção foi de, construir um círculo trigonométrico que garantisse o movimento do raio
para calcular valores de senos e cossenos de um determinado ângulo.
Modelo 1: circunferência com rolamentos
Em um dos exemplos, numa primeira tentativa de construir uma circunferência
onde o raio poderia se movimentar, os alunos adaptaram um rolamento como pode ser
visto na imagem da figura 5.
Figura 5
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Porém, eles perceberam que o raio teria condição apenas de girar. Como eles
buscavam um movimento para calcular (isso será explicado posteriormente nesse texto) o
valor numérico dos ângulos relacionado com seno e cosseno, perceberam a impossibilidade
do movimento do raio diante desta alternativa e, partiram em busca de realizar o
movimento completo do raio. Então, adaptaram os eixos dentro do bambolê e cobriram
com uma cartolina em forma de arcos um dos lados do bambolê. Observe que os eixos
estão marcados com pequenos traços. Esses traços tem uma variação de -1 até 1.
Acompanhe o processo na figura 6.
Figura 6
Com um transferidor uma aluna marca os pontos relacionados aos ângulos e
demarca com linhas até o contorno da circunferência.
Em pequenos pedaços de papel anotaram os ângulos e os colaram sobre o bambolê
que representava o contorno da circunferência. No centro do círculo, adaptaram um
rolamento para movimentar o raio. Como pode ser visto na figura 6.
Com uma Atena de TV soldada no rolamento, foi feito o raio e na ponta do raio
parafusou-se outro pedaço de antena para que o raio tivesse uma espécie de movimento
que apontasse para os eixos do seno ou do cosseno. Ver figura 7.
Figura 7
E assim, o raio (antena) é apontado para o ângulo e o outro pedaço de antena
quando paralelo ao eixo seno ou cosseno demarca o valor numérico da imagem. Na figura
acima, observe que, o ângulo no qual o raio está apontado é 120°, o pedaço de antena
parafusado na ponta do raio está paralelo ao eixo do seno e com isso, direciona para o eixo
do cosseno na metade do eixo entre
(segundo quadrante) e de
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ou seja,
. Observe que
(terceiro quadrante).
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Qualquer que seja o ângulo apontado pelo raio o resultado referente o eixo seno ou o eixo
cosseno é válido. Os alunos observaram isso com a ajuda de uma calculadora científica e
comprovaram que as respostas apontadas pelo raio estavam coerentes com resultados
obtidos na calculadora. As imagens da(s) figura(s) 8 e 9 mostram alguns desses exemplos.
Figura 8
cos
cos
Figura 9
A circunferência com rolamento trouxe resultados positivos para os alunos em
relação às propriedades da função seno e da função cosseno. Por meio da construção dessa
circunferência os alunos fizeram experimentações e perceberam que:
Em relação à função seno:
Se x é do primeiro ou do segundo quadrante, então
Se x é do terceiro ou do quarto quadrante, então
é positivo;
é negativo;
Se x percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então
Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então
é crescente;
é decrescente;
Em relação à função cosseno:
Se x é do primeiro ou do quarto quadrante, então
Se x é do segundo ou do terceiro quadrante, então
Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então
Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então
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é positivo;
é negativo;
é decrescente;
é crescente;
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Modelo 2: roda de bicicleta
No exemplo a seguir, os alunos adaptaram dentro de uma roda de bicicleta dois
eixos perpendiculares que representariam eixo do seno e eixo do cosseno. Com uma fita
métrica, os eixos foram divididos em pequenos pedaços que foram determinados pela
divisão de uma unidade em dez partes iguais, ou seja,
cada parte.
Figura 3
Para determinar o valor exato dos ângulos e manter a veracidade desses valores, os
alunos utilizaram um transferidor e marcaram os ângulos em pedaços de papel e coloram a
redor da roda da bicicleta, no qual, foi considerada a circunferência de raio 1. No centro
dos eixos, os alunos fixaram com uma tachinha dois eixos que garantiria a existência de
dois raios. Veja as imagens na figura 10.
O objetivo dos alunos com esse material foi para deduzir fórmulas para calcular as
razões trigonométricas de
, com
não pertencente ao primeiro quadrante, relacionariam
com algum elemento do primeiro quadrante.
O raio preto, conforme a figura 10, representaria uma razão trigonométrica de
no
segundo quadrante e buscavam reduzir para o primeiro quadrante: Consideraram um
número real
tal que
do ciclo, simétrico de
, sendo
(no sentido anti-horário) e como
, portanto
por
eles,
e
6
no ciclo. Sendo
o ponto
em relação ao eixo dos senos.
Daí como
construída
a imagem de
puderam
, então:
. Assim, os alunos com auxílio da circunferência
experimentar
.
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com
uma
situação
prática
que:
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Modelo 3: circunferência de espelhos
No exemplo a seguir, os alunos adaptaram dentro de um bambolê os eixos seno e
cosseno. Assim, no contorno do bambolê, com a ajuda de um transferidor, marcaram os
ângulos e, colocaram pregos para identificar cada ângulo. Veja as imagens na figura 11.
Figura 11
Após colocarem pregos na posição dos ângulos: 0°, 15°, 30°,45°,60°, 75°, 90°,
105°, 135°, 150°, 165°, 180°, 195°, 210°, 225°, 240°, 255°, 270°, 285°, 300, 315°, 330°,
345° e 360°. Colaram pequenos espelhos nestas posições, ou seja, no prego que estava
fixado no bambolê. Veja as imagens na figura 12.
Figura 42
No centro dos eixos seno e cosseno, adaptaram um apontador luminoso, conhecido
como caneta laser. Cujo objetivo era de que, no momento que fosse acionado o laser, o
mesmo apontaria para o espelho e o reflexo apontaria para o valor numérico do eixo do
seno.
Figura 53
Laser acionado e o espelho na posição angular para refletir no eixo do seno.
Observe nas imagens da figura 13 o ponto no espelho e o reflexo no eixo. Para que esse
reflexo fosse direcionado para eixo dos cossenos, primeiramente, teria que virar a
circunferência num ângulo de 90°. Isso devido os espelhos terem sido colados com cola
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quente em apenas uma posição para evitar inclinação do mesmo. Pois, qualquer inclinação
do espelho acabaria implicando em resultados diferentes.
Através do laser, que iria refletir no outro espelho localizado no contorno da
circunferência, poderia ser mostrado à simetria dos ângulos e assim facilitaria a construção
dos gráficos da função seno ou cosseno. Observe na imagem da figura 14 que, o reflexo do
laser ultrapassa o eixo e faz reflexo no ângulo do outro lado da circunferência.
Figura 6
Observe que, o raio incidente, a reta normal e o raio refletido são coplanares, ou
seja estão no mesmo plano. E que, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
Os espelhos foram colocados em cada prego que estaria como ponto pertencente à
circunferência, ou seja, cada ângulo demarcado de 0° até 360°.
Para garantir o valor do ângulo, adaptou-se um transferidor no centro da
circunferência de raio uma unidade. Os eixos foram divididos em dez partes para cada
direção positivo e negativo variando de
. Observe na imagem da figura 15.
Posição para cosseno Posição para seno
Figura 7
Com a utilização da circunferência criada pelos alunos, os mesmos puderam notar
que, a imagem da função seno e da função cosseno é o intervalo
e
para todo
, isto é,
real. Os alunos perceberam também na
prática que as funções seno e cosseno são periódicas e que o período de ambas é igual a
. O objetivo desta circunferência denominada por eles circunferência de espelhos seria
para construção do gráfico da função seno e função cosseno.
E assim, fizeram um diagrama com
em abscissas e
Como pode ser visto na tabela 1.
8
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e
em ordenadas.
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Tabela 1
Com a ajuda da circunferência de espelho e da circunferência de rolamento, os
alunos construíram dois modelos de gráficos um de madeira com pregos e equidistante a 1
cm e outro de isopor com eixo feito de cabo de vassoura.
Para construírem o gráfico da função seno e da função cosseno utilizando a
circunferência de espelho e a circunferência de rolamentos, os alunos fizeram uma espécie
de geoplano1 com pregos eqüidistante a 1 cm. Ver figura 16.
Figura 16
Os gráficos foram construídos com linha de lã. A linha de lã foi enrolada nos
pregos passando pelo eixo vertical que varia de -1 a 1 e pelo eixo horizontal representado
pelos ângulos: 0°, 15°, 30°,45°,60°, 75°, 90°, 105°, 135°, 150°, 165°, 180°, 195°, 210°,
225°, 240°, 255°, 270°, 285°, 300, 315°, 330°, 345° e 360°. As imagens da figura 17
mostram a construção dos gráficos da função seno e da função cosseno.
Figura 17
Para construir os gráficos da função seno e da função cosseno a partir de um cabo
de vassoura, os alunos utilizaram um cabo de vassoura, cartolina, isopor, fio de cobre e fio
de estanho.
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Tabua de madeira quadriculada com pregos equidistantes utilizado para o ensino de Geometria.
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Figura 18
No cabo de vassoura foram feitos furos equidistantes numa distancia de 5 cm, cada
furo foi marcado valores de ângulos num intervalo de
. O gráfico foi
moldado com um fio de cobre e outro de estanho para representar a função seno e a função
cosseno. Para isso, os fios foram passados por dentro dos furos feitos no cabo de vassoura.
As imagens da figura 18 mostram a aluna passando o fio de estanho por dentro dos
furos do cabo da vassoura e o gráfico das funções seno e cosseno variando sua imagem de
.
Conclusão
Percebi que, através da aula prática, os alunos participaram ativamente e tiveram
um excelente envolvimento com as atividades propostas. É sabido que, “ao professor cabe
o papel de valorizar essa disciplina tornando-a prazerosa, criativa e, mais ainda, tornando-a
últil, garantindo assim, a participação e o interesse, da parte dos alunos”.( PERES, 2005, p.
261), dito isso, penso que foi alcançado o objetivo de valorizar a disciplina, de valorizar a
matemática.
Referências
PERES, G. Prática reflexiva do professor de matemática. In: Bicudo, M.A.V. ; Borba,
M. C. (Orgs), Educação Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Ed. Cortez,
1999. p. 250-263.
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