Eletricidade II - Campo elétrico
http://myspace.eng.br/fis/eletr/eletr2.asp
Determinação do campo elétrico
Linhas de força
Exemplos de linhas de força
Linhas de força para duas cargas
Dipolo elétrico
Movimento de uma carga elétrica em um
campo uniforme
Aplicação: tubos de raios catódicos de
osciloscópios
Fluxo de campo elétrico
Lei de Gauss
1-) Determinação do campo elétrico (início da página)
Na página anterior foi dada a introdução ao assunto, com a definição da grandeza vetorial que
representa o campo. O cálculo do seu valor irá depender da forma geométrica e da distribuição das
cargas envolvidas. Por exemplo, sejam duas cargas puntiformes: q0 a de referência, isto é, a que se
considera como produtora do campo e q uma carga situada a uma distância r de q0.
Conforme lei de Coulomb a força em q é dada por: F = ( 1/(4 π ε0) ) . (q0 q / r2) e, desde que E = F
/ q, temos:
E = ( 1/(4 π ε0) ) . (q0 / r2)
#I.01#.
E a direção do vetor E será radial, divergente ou convergente de q0, dependendo desta ser positiva
ou negativa.
Se o campo E é produzido por mais de uma carga puntiforme, procede-se à soma vetorial, de forma
similar às forças na página anterior:
E = E1 + E2 + ... + En #I.02#.
No caso de distribuição contínua de cargas deverá haver uma integração:
E = ∫ dE,
onde dE = ( 1/(4 π ε0) ) . (dq / r2) #I.1#.
Pode-se concluir que a complexidade aumenta bastante na prática, pois em muitos casos a
distribuição é contínua. E o conceito de campo elétrico até aqui informado é de pouca utilização
prática devido às suas dificuldades de determinação. Para facilitar, usa-se o conceito de linhas de
força, objeto desta página, e medidas indiretas a partir do potencial elétrico, que poderão ser vistas
em tópicos e páginas posteriores.
2-) Linhas de força (início da página)
São linhas imaginárias que mostram a atuação do campo elétrico, com as seguintes propriedades:
A) Uma tangente à linha de força em um determinado ponto indica a direção do vetor E neste
ponto.
B) O número de linhas por unidade de área é proporcional ao módulo do vetor E. Isto significa
que as linhas são mais próximas entre si onde E é maior e mais afastadas onde E é menor.
Notar que este recurso dá apenas uma noção da direção e intensidade do campo e não é adequado
para determinações numéricas, mas permite uma fácil interpretação gráfica da ação do campo.
3-) Exemplos de linhas de força (início da página)
A parte superior da Figura 3.1 ao lado é um exemplo de
linhas de força representativas do campo de uma carga
puntiforme negativa.
A simetria do caso sugere que são retas no sentido radial e,
portanto, as tangentes são as próprias, coincidindo com a
atuação do campo.
Se a carga fosse positiva, apenas o sentido das linhas
(indicado pelas setas) seria o contrário.
Quanto maior a distância até a carga mais afastadas entre si
estão as linhas, em conformidade com o que já foi visto, isto
é, o valor do campo diminui com a distância.
Campo uniforme
Fig 3.1
Pode-se demonstrar que o campo entre duas placas planas,
paralelas e de espessura desprezível é uniforme.
Na parte inferior da Figura 3.1 a sua representação: linhas de
força retas e paralelas e igualmente espaçadas.
4-) Linhas de força para duas cargas (início da página)
Fig 4.1: Duas cargas puntiformes positivas e de
idênticos valores. E, na figura à direita, duas
cargas puntiformes de idênticos valores mas de
sinais opostos.
Fig 4.2: Notar a indicação do vetor do campo
elétrico para uma carga positiva no ponto P: E é
igual à soma vetorial de E1 (campo da carga
positiva) com E2 (campo da carga negativa).
5-) Dipolo elétrico (início da página)
Um conjunto de duas cargas puntiformes conforme figuras do tópico anterior é dito um dipolo
elétrico se existe um meio físico que mantenha constante o afastamento entre as cargas. Como
exemplo de analogia prática, duas esferas de cargas idênticas e opostas fixadas nas extremidades de
uma haste isolante de massa desprezível.
Na Figura 5.1, um dipolo está sob ação de um campo uniforme E. A distância entre as cargas é
considerada como um vetor de módulo 2d. O produto deste vetor pelo valor da carga é um outro
vetor na mesma direção designado por
p=2dq
#V.1#.
Esse vetor é chamado de momento de dipolo elétrico (não confundir com momento mecânico).
As forças em cada carga têm a mesma intensidade F = q
E e a resultante é nula, mas há um conjugado em relação
ao ponto central O, que tende a alinhar o dipolo no
sentido do campo. Em termos vetoriais, esse conjugado é
dado por:
t = p x E #V.2#.
Fig 5.1
Ou seja, é o produto vetorial do momento de dipolo pelo
campo elétrico.
O desenvolvimento da fórmula é simples e aqui não é
dado.
Para mais informações sobre produtos vetoriais, ver página correspondente no grupo de
matemática.
Pode-se concluir, de forma gráfica ou numérica, que, se o dipolo pode girar livremente em torno de
um eixo, ele deverá se alinhar no sentido do campo, ou seja, na posição de conjugado nulo.
6-) Movimento de uma carga em um campo uniforme (início da página)
Considerando que, conforme leis da mecânica clássica, a força atuante em um corpo é igual ao
produto da massa pela aceleração e, como já visto, o campo elétrico é igual à razão entre força e
carga elétrica, podemos escrever:
m a = q E ou a = (q/m) E #VI.1#.
Portanto, uma carga em um campo uniforme é
submetida a uma aceleração proporcional ao valor de
q/m.
Fig 6.1
Desde que essa relação não é a mesma para todos os
corpos, a aceleração também não é a mesma para um
determinado campo. Isso mostra uma evidente distinção
entre o campo elétrico e o gravitacional: neste último a
aceleração é a mesma para todos os corpos.
Na Figura 6.1 acima temos uma carga que entra com velocidade inicial v0 num campo uniforme, é
desviada pelo mesmo e sai com uma velocidade v. Aplicando-se as leis do movimento (aqui não
demonstrado), verifica-se que o desvio h, em uma superfície distante L do campo, é proporcional à
intensidade do mesmo.
7-) Aplicação: tubos de raios catódicos (início da página)
A proporcionalidade entre
intensidade do campo e desvio é
de especial aplicação em
osciloscópios, nos quais a deflexão
do feixe de elétrons no tubo é
obtida por meio de placas
paralelas, horizontais e verticais.
Fig 7.1
A Figura 7.1 ao lado dá uma idéia
simplificada do funcionamento do
tubo de raios catódicos.
Pode ser demonstrado que o
campo entre duas placas planas e
paralelas é uniforme e
proporcional à tensão aplicada.
Essas duas proporcionalidades permitem uma observação fiel da forma de onda mediante aplicação
adequada de sinais nos conjuntos de deflexão horizontal e vertical.
8-) Fluxo de campo elétrico (início da página)
Seja uma superfície S, aberta ou fechada, dentro de um
campo elétrico (exemplo: S1, S2 e S3 da Figura 8.1).
Supomos agora a superfície dividida em áreas
elementares ∆S suficientemente pequenas de forma que
o campo elétrico que atravessa possa ser considerado
constante.
Seja ∆S o vetor de módulo ∆S e de direção perpendicular
a essa área elementar conforme Figura 8.2. E E o vetor
campo que passa por ela.
O fluxo de campo elétrico nessa área elementar é dado
pelo produto escalar desses dois vetores. E, para a
superfície, será aproximadamente:
Fig 8.1
ΦE ≅ Σ ∆S . E #VIII.1#.
A definição precisa deverá usar a integral da superfície:
ΦE = ∫S E . dS
#VIII.2#.
Desde que é uma integração de produtos escalares
infinitesimais, pode-se concluir que o fluxo poderá ser
positivo, negativo ou nulo, dependendo da forma da
superfície e da distribuição do campo elétrico.
Fig 8.2
9-) Lei de Gauss (início da página)
Seja S uma superfície fechada que contém uma carga total q. A Lei de Gauss estabelece que essa
carga é proporcional ao fluxo na superfície, isto é:
ε0 Φ E = q
ou ΦE = q / ε0 #IX.1#.
Como q é a carga total contida, podemos deduzir:
A) Se uma superfície contém duas cargas iguais mas de sinais contrários, o fluxo será nulo.
B) Se uma superfície não contém cargas, o fluxo também será nulo. Assim, na Fig 8.1, o fluxo em
S2 é zero, isto é, as cargas externas não têm influência.
A lei de Gauss pode ser usada para a dedução teórica da Lei de
Coulomb.
Seja, conforme Figura 9.1, q uma carga puntiforme no centro
de uma superfície esférica de raio r.
Fig 9.1
A simetria sugere que o campo elétrico E será igual para cada
área infinitesimal e perpendicular à mesma. E o vetor dS estará
na mesma direção de E. Portanto, o produto escalar será o
produto dos seus módulos. Assim:
ε0 ΦE = ε0 ∫S E dS = ε0 ∫S E dS = ε0 E ∫S dS = q.
Desde que a integral de dS é a área da esfera, a igualdade pode ser dada por
ε0 E 4 π r2 = q ou E = (1/4 π ε0) q / r2.
Se consideramos uma carga q' no ponto de atuação de E, a força atuante é F = E q' e substituindo
temos
F = [ 1/(4 π ε0) ] q q' / r2, que corresponde à fórmula dada na página anterior.