~tA5-201$
PII.IUIIIE EESTITISTICI
PROF. NORIYOSHI KAKUDA
1
ICAPITULO 2 - EXERCíCIOS DEPROBABILIDADES1
c 1. sejam: P(A} = 0,4 P( B} =0,7
Determinar: i) P( B ) ü) P( A
~ 2. Dado P{A) = 1/2
n B)
P(B) = 1/3
-
eP{AU B) = 0,7
iii) P( A I B)
P(A nB) = 1/4
-
Calcule: i) P( A U B ) ii) P{ A U B}
iii) P{ A
nB )
3. Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento aleatório.
Se P(A) = 0,3 P{ A U B) = 0,8 e P(B) =p , para que valores de p , A e B serão:
a) eventos mutuamente excludentes
b) eventos independentes
'1"
T
4.5e A , B e C são três eventos de um mesmo espaço amostrai, tais que:
P(B) = O,5P(C) = O,3P{B / C) = 0,4 e P{ lA I (B n C)] = 0,5 Calcule: P(A n B n C)
Sugestão: Faça: A = X e B n C = y
'i
5 .Dados : P{A) = 0,5 .P( AIS) = 0,75
a) P(B I A)
b) P( A
n B)
P(A
-
c) P(A U B )
n B) = 0,3
d) P{(A
Calcule:
-
n B) U (B n A)}
'" 6. No projeto de construção de um edificio temos uma serie de atividades. Definem-se os eventos (X) escavação terminou no tempo
programado, (Y) fundação terminou no tempo programado e (Z) estrutura terminou no tempo programado, com probabilidades iguais
a 0,80, 0,70 e 0,90 respectivamente. Supor a independência entre os eventos X, Y e Z. calcule a probabilidade:
i) do projeto terminar na época programada
ii) da escavação terminar na data programada e ao menos uma das outras duas não terminar na época programada.
7. Em uma fabrica de parafusos, as maquinas A, B e C produzem respectivamente 5% , 404 e 2% ,parafusos com defeitos.
Retirada uma amostra de 1 parafuso de cada maquina, qual a probabiUdade :
a) de todas serem sem defeito
b) apenas uma defeituosa
c) pelo menos duas serem defeituoSas
í
"T
G>
8. Sob a ação de uma força F, as probabilidades de falha nas barraS a , b e c de uma certa estrutura são respectivamente
0,06 , 0,05 e 0,04. se ocorre falha em qualquer uma das barras isto leva a falha em toda estrutura Supondo que as falhas
nas barras são estatisticamente independentes, ache a probabilidade de ocorrer a falha na estrutura?
9. De três eventos A, B e C supondo que A e B sejam eventos independentes e B e C mutuamente excludentes. Suas
probabffidades são: P(A) = 0,5 ,P(B) = 0,3 e P(C) = 0,1. calcular as probabffidade de :
a) B e C ocorrerem
b) ocorrer ao menos um entre A e B
c) B não ocorrer
d) ocorreremos três eventos
• 10. A probabilidade de uma construtora X participar de uma concorrência é igual a 112 e a probabiHdade de uma outra
empresa concorrente Y participar da mesma concorrência é igual a 113. Sabendo-se que se X participar da concorrência, a
probabilidade de Y participar da concorrênCia é 1/4. Calcule a probabilidade:
i) apenas X participél' da concorrência
iij pelo menos um deles participar da concorrência
iii) os dois participarem da concorrência
2
11. A probabilidade de que um aluno de uma Faculdade estude para a prova de Estatística é 0,7. Se ele estudar a
probabilidade de ser aprovado é 0,8 e se não estudar a probabiHdade de ser aprovado cai para 0,15.
Q Qual a probabilidade de que ele seja aprovado?
ii) Se ele foi aprovado, qual a probabilidade de que tenha estudado?
iii) Se ele foi reprovado, qual a probabilidade de que não tenha estudado?
f
12. Em uma fabrica de enlatados, as linhas de produção I e 11 respondem respectivamente por 25% e 75% da produçao.
Se 1% das latas da linha são fechadas inadequadamente e a porcentagem da linha 11de fechar inadequadamente for
1,2%, qual é a probabifidade de uma lata retirada da produção ser da tinha I, sabendo que a lata foi f fechada
inadequadamente?
'. 13.A análise de eixos para um compressor está resumida de acordo com as especificações:
Cl
Obedece ao Acabamento
da superfície
Sim(A)
Não
Se um eixo foi selecionado ao acaso da produçao, qual será a probabilidade:
a) de que o eixo atenda os requisitos de acabamento da superficie?
b} de que o eixo atenda os requisitos de acabamento da superfície ou aos do aspecto arredondado?
c) de que o eixo atendendo aos requisitos de acabamento da superfície, não atenda aos do aspecto arredondado?
d) de que o eixo atenda tanto aos requisitos de acabamento de superficie como aos do aspecto de
arredondado?
14. A chance de falha mecânica em um sistema de prevenção contra vazamento em uma usina nuclear é de 0,003. Um
sistema sensorial adicional é instalado para detectar qualquer falha no sistema mecânico e acionar um dispositivo para
interromper qualquer vazamento tem 0,045 de probabilidade de falha. Qual a probabilidade de ocorre um vazamento na
usina?
."
-r 15. Um geólogo diz que a probabilidade de ter petróleo em uma certa região é 0,80. Além disso,caso exista petróleo
nessa região a probabilidade de encontrar petróleO na primeira perfuração é 0,70. Qual é a probabilidade de ter petróleo,
se na primeira perfuração não se encontrou petróleo?
16. Sabe-se que um soro da verdade, quando ministrado a um suspeito,é 900/0 eficaz quando a pessoa é culpada e 990/0 ,
quando é inocente. Em outras palavras, 100/0 dos culpados são julgados inocentes, e 1% dos inocentes é julgado culpado.
Se o suspeito foi retirado de um grupo em que 9SOk jamais cometeram qualquer crime, e o soro indica culpado, qual a
probabilidade de o suspeito ser inocente?
1"
17. Em uma locafldade, 8% dos adultos de mais de 50 anos tem diabetes. se um medico local diagnostica corretamente
95% das pessoas que têm a doença, e diagnostica erroneamente 2% dos que não a têm, qual a probabilidade de um
adulto de mais e 50 anos diagnosticado como portador da doença, ter de falo o mal ?
"í
18. Os dados da tabela abaixo, resumem os resultados de uma pesquisa realizado com 1050 telespectadores de uma
grande cidade ,quanto a preferência do tipo de programa: '
Tipo de programa
Novela
Telejomal
Esporte
Homens
115
180
Mulheres
45
Crianças
30
270
130
120
Se1ecionando-se aleatoriamente 1 teIespectador, detennine a probabilidade de:
120
40
3
i) Se tratar de um telespectador com preferência por novela sabendo que é mulher
ii) Obter alguém que tenha preferência por esporte ou seja criança
üi) Uma que seja mulher e que tenha preferência por telejomal
iv) selecionando dois telespectadores calcule a probabilidade de que ambos tenham preferência por esporte.
'.,. 19. Os dados abaixo resumem os resultados de um estudo de 1000 peças fabricadas por 3 maquin~ A, B e C e a
qualidade das peças
215
410
345
15
5
10
a) Se da amostra, 1 peça é selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade de se obter um que tenha sido aprovado
b) Se da amostra, 1 peça é selecionada aleatoriamente, qual a probabtlidade de se obter uma que tenha sido aprovado
ou que tenha sido fabricado pela máquina B
c ) Escolhido aleatoriamente uma peça, determine a probabtlidade de se tratar de uma peça aprovada pelo controle, dado
que foi fabricado pela máquina A?
d) Escolhido aleatoriamente uma peça, determine a probabilidade de obter uma peça que tenha fabricado pela máquina C
dado que foi reprovado pelo controle?
1
JCAPITULO 3 - EXERCíCIOS DE VARIÁVEL ALEATÓRIAj
x(x-1)
1.
..i
Dada a função: p(x) = --
para x = O, 1 , 2 , 3 ,4 e 5
k
a) calcule o valor de k para que a p(x) seja uma f.p.
b) Calcule a E(X) e a V(X)
.} 2. Num teste de digitação, o tempo em minutos (T) que os candidatos levam para digitar um texto é modelado, de fonna
aproximada,peJa seguinte função de probabilidade:
618
0,2 0,2 0,1
o candidato recebe 3 pontos se terminar a digitação em 9 minutos, 5 terminar em 8 minutos e assim por diante.
Determinar a média e a variância do número de pontos obtidos no teste.
"\ 3. O tempo de duração em horas de uma lâmpada especial foi modelado por uma variável aleatória X com a seguinte
função de probabilidade:
91 10
8
7
6
X 5
Pi
0,1 0,1 0,2
0,1
0,4 0,1
Calcule:
a) o tempo médio de duração das lâmpadas
b) se cada tâmpada custa ao fabricanteR$10, mas se sua duração for inferior a 7 horas ele se compromete a trocar por
uma nova lâmpada Qual deve ser o preço de venda de cada lâmpada para o fabricante obter um lucro médio por lâmpada
deR$20.
4. Sabe-se que ao lançarmos 3 dados a probabilidade de sair face 1 em apenas um dos dados é 75/216, de sair face 1em
í
dois dados é 15/216 e de sair face 1 nos 1rês dados é 1/216.
Em uma aposta realizada o jogador paga R$ 20,00 e lança 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados apenas, A recebe R$
40,00. Se sair face 1 em dois dados apenas, A recebe R$ 60,00 e se sair face 1 nos três dados, A recebe R$ 80,00.
calcule o lucro médio do jogador A por jogada .
.; 5.Uma região foi subdivida em 10 sub-regiõe5. Em cada uma delas foram observadas duas variáVeis: numero de poços
artesianos (Xl e numero de nachas ou nos presentes na sub-região M. OS resultados são apresentados na tabela a
seguir:
Sub-região
1
2
X
O
O
y
1
2
3 4
O O
1 O
5
6
1
2
1 O
1 8 9 10
1 2 2 O
O 1 2 2
a) Construir a tabela de distribuição conjunta de probabilidades ( X;Y)
b) Construir a tabela de probabilidades marginais de X é de Y
í
6. Suponha que D, a demanda diária de uma peça, seja uma variável aleatória com distribuição de
probabilidade:
P(D=d}=C.2d I d! e d = 1,2,3.4
a) Calcule a constante C paraque
b) Calcule a demanda esperada
c) Calcule a variância
seja uma função de probabilidade
3
d) Calcule a média e a variância
11. Seja dada a seguinte tabela de disbibuição conjunta de probabilidades:
Y\X
2
3
4
-2
0,1
0,2
0,1
Calcule:
6
0,2
8
0,2
0,1
° °
0,1
a) E(X); E(Y) ; V{X) e V{Y)
b) E(4X+2Y)
c) COV(XY)
d) V{ 3X-2Y)
e) P{ X I Y = 3 ) ; E{ X I Y = 3} ; V{ X I Y = 3)
12. A função conjunta de probabifidade entre as variáveis X e Y é apresentada abaixo ( com algumas entradas faltando)
X\Y
-2
-1
1
2
P{Y=y)
-1
1/16
1/64
5/M
°
3/64
1/16
11/M
2
1/32
°
3/64
5/16
a) Complete a tabela
b) Obtenha as marginais de X e Y
c) Calcule a função de probabilidade da variável X x Y
4
P(X=x)
5/16
1/64
1/32
1/4
5/16
1
1
ICAPITULO 4 - EXERCíCIOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA)
1. A probabilidade de um aluno ser aprovado em todas as matérias de um determinado curso é de 80%. Para um grupo de
12 alunos nessas condições, calcule a probabilidade de :
a) Oito serem aprovados
b) Pelo menos 2 serem aprovados
c) não mais de 2 serem reprovados
2. Num determinado processo de fabricação 1% das peças são considerados defeituosas. As peças são acondicionadas em
caixas de 10 unidades cada uma.
a) qual a probabilidade de haver exatamente 2 defeituosas
b) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa que apresentar alguma defeituosa, qual o valor esperado da
multa total em 1.000 caixas?
3.0 escore em um teste internacional de proficiência na língua inglesa varia de O a 700 pontos, com mais pontos
indicando um melhor desempenho.lnformações coletadas durante vários anos, permitem estabelecer o seguinte modelo
para o desempenho no teste:
Varias universidade americana, exigem escore mínimo de 600 pontos para aceitar candidatos de países de língua não
inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o último exame, escolhemos ao acaso 20 deles.
Qual seria a probabilidade de no máximo 3 atenderem ao requisito mínimo mencionado?
4. Os registros de transito indicam que há uma probabilidade de 0,0001 de um automóvel acusar defeito durante a
travessia de um túnel. Calcule a probabilidade de que em 8.000 automóveis que passam pelo túnel em um fim de semana
prolongado:
i) pelo menos um apresente defeito durante a travessia
ii) no máximo dois acusem defeito
5. O número de mensagens enviadas por um computador é uma variável aleatória de Poisson com uma média de 8
mensagens por hora. Qual a probabilidade de que:
a) 10 mensagens cheguem em 1,5 horas?
b) pelo menos duas mensagem cheguem em 20 minutos?
6. Os defeitos em certo tipo de chapas de ferro apresentam uma media de 2 defeitos em cada 3 m2.Essas chapas são
utilizadas em portas industriais que medem 300 cm x 150 em. determine:
a) a probabilidade de um portão escolhido aleatoriamente apresente pelo menos dois defeitos?
b) de um lote de 6 portas, qual a probabilidade de exatamente duas não apresentarem nenhum defeito?
7. Uma companhia adotou o seguinte esquema de aceitaçã~ de peças. Cada caixa contém 25 peças e uma amostra de 3
peças é retirada. Caso se encontre alguma defeituosa a caixa é mandada de volta e em caso contrário é aceita.
a) Qual a probabilidade que uma caixa que tem 3 defeituosas seja aceita?
b) Qual a probabilidade que uma caixa com apenas uma defeituosa seja rejeitada?
8.Um livreiro descuidado mistura 4 exemplares defeituosos junto com outros 16 perfeitos de um certo livro didático.Quatro
amigas vão a essa livraria para comprar seus livros escolares.
a) Calcule a probabilidade de 3 levarem livros defeituosos
. b)qual a probabili~ade de, após a v!si~ dessa meninas, restarem o mesmo numero de defeituosos np livraria.
.
2
9. Uma máquina fabricou 50 eixos em aço inox que será utilizado na montagem de lima engrenagem dos quais 5 eixos
são defeituosos. Retirando-se ao acaso uma amostra de 4 eixos dessa produção sem reposição, determine:
a} a probabilidade de encontrarmos pelo menos 1 eixo defeituoso.
b) se forem realizados testes com 8 lotes de 50 eixos cada, qual a probabilidade de encontrarmos 3 lotes com
pelo menos 1 eixo defeituoso.
10. Os postos de gasolina distribuem-se ao longo de uma rodovia de acordo com a lei de Poisson com uma média de 1,2
postos para cada 10 km. Em vista da greve na entrega da gasolina existe uma probabilidade 0,2 que no próximo posto não
haja gasolina. Adotar que as disponibilidades de gasolina nos diferentes postos são estatisticamente independentes.
a) Qual a probabilidade que existem não mais que dois postos nos próximos 25 km?
b) Qual a probabilidade de que nos próximos 3 postos pelo menos um tenha gasolina para vender?
11. Numa linha adutora de água de 60 km de extensão, o número de vazamentos no período de um mês segue uma
distribuição de Poisson com média de4 vazamentos. Qual a probabilidade de ocorrer durante o próximo mês, pelo menos
um vazamento num certo trecho de 3 km de extensão?
12.Um fotografo negocia com o jornal o seguinte trato: ele submete algumas fotos semanalmente e por cada foto
publicada, ganha R$ 50; se a foto não for publicada, não ganha nada. Nesta semana 4 fotos são submetidas com cada
uma tendo probabilidade 0,60 de ser publicada, independentemente da demais.
a} Qual a probabilidade que o fotografo tenha pelo menos duas fotos publicadas esta semana.
b) Qual a distribuição de probabilidade de Y : montante que o fotografo recebe esta semana
c) Calcule o ganho médio do fotografo nesta semana
13. A aplicação de fundo anti-eorrosivo em chapas de aço de 4 m2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos
2
(pequenas bolhas na pintura ), de acordo com a variável aleatória Poisson com uma media de 0,5 por m . Uma chapa é
sorteada ao acaso para ser inspecionada, Calcule a probabilidade de :
a) encontrarmos pelo menos 1 defeito
b) no máXimo dois defeitos serem encontrados
c) não mais de 1 defeito ser encontrado
14. Um determinado artigo é vendido em caixa a preço de R$ 20,00 cada um. Sabe.,seque 20% de produção destes
artigos são defeituosos.
Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa escolhe 5 artigos, ao acaso, e paga por cajxa:
R$ 25,00 se nenhum artigo for defeituoso
R$ 17,00 se um dos artigos for defeituoso
R$15,00 se dois ou mais forem defeituosos.
O que é melhor para o fabricante: manter seu preço de R$ 20,00 por caixa ou aceitara proposta do consumidor?
15) Suponha que 30cilindro.s de concreto são retiradas diaria.mente de uma construção. Supondo que 90% dos cilindros
testados atende a uma determinada especificação, e para assegurar a quaJidade,o critério impõe que 5 de.ssescilindros
escolhidos aleatoriamente sem reposição precisam ser testados. Determine qual a probabilidade de encontrarmos pelo
menos 4 desses ciflndros atender uma determinada e.specificação.
16) O número de insucessos de um instrumento de teste para partículas de contaminação no produto é uma variável
aleatória de Poisson com uma média de 0,02 insucesso por hora. Qual a probabilidade de pejo menos um insucesso em
um dia de 24 horas? Distribuição de Poisson
1
/CAPITULO 5 - EXERCíCIOS DE DISTRIBlTIÇÃO CONTINUA}
1. Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os
tubos de PVC produzidos.Os tubos inspecionados tem 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até
o aparecimento do primeiro vazamento. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Admitindo que o
aparecimento do vazamento no tubo segue uma distribuição uniforme no intervalo
6 J. Calcular a probabilidade de que
o vazamento esteja no máximo a 1 metro das extremidades.
ro;
2.Admite-se que uma pane pode segue uma distribuição uniforme e pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica
de 10km.
a) Qual a probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros?
b) qual a probabilidade da pane ocorrer nos 3 km centrais da rede?
c) O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local da pane. Considere que o centro de
serviço está na origem da rede e que o custo é de R$ 200 para dIstancias até 3 km de R$ 400, entre 3 e 8 km e de R$
1000 para as distancias acima de8 km. Qual é o custo médio do conserto.
3.Supondo que uma variável aleatória contínua tenha um~ função de densidade de probabilidades dada por.
f(x)
1/6 x +k
para O < x < 3
o
caso contrário
= 4\
a) Qual deve ser o valor de k
b) Calcule o valor b, tal que P(X > b)
= 5/9
4.0 tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis sujeito a uso contínuo e sévero, pode
ser considerado como lima variável continua, medida em anos. Suponha que a função densidade é dada pela seguinte
expressão:
1/4 x
f(x)
=
41 1/8
O
para O:S X :S 2
para 2 < x :S 6
caso contrário
a) verifique que a função acima é de fato uma densidade Qual a probabilidade de um automóvel, sujeito às
condições descritas ~cima, necessitar de troca dos amortecedores antes de 1 ano de uso? .
b} Qual a probabilidáde de um automóvel; sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca dos
amortecedores antés de 1 ano de uso?
c) Qual a probabilidade de um automóvel,
sujeito às condições
descritas acima, necessitar
amortecedores entre 1 e 3 anos de uso?
d) Supondo que um' automóvel está hil 3 anos com o m~mo amortecedor, qual a probabilidade
necessário fazer a froca antes de corhplétar 4 anos de uso?
e) Qual o tempo mêdio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
de troca dos
de que seja
5. O tempo em minutos que o caixa de um supermercado fica ocioso segue uma distribuição exponencial de probabilidade
com uma média de 12 minutos. Qual á probabilidade de que,o próximo cf,ente chegará entre 0,5 e 1 minuto depois dê um
cliente ter sido atendido?
.
um
6. A durabilidade média de
modo é de 16.000 horas seguindo urha distribuição exponenCial. Se cinco desses tfiodos
são tesf;ados qual é a probábilidade dé no máximo um triOdo ténha duração superior a 20.000 horét.
'
J
7. Um robô eo.rnpleta uma operé!Çã'6de soldagem em um aLJtómóvél, com uma taxa media (A) de 8,4 portlbta .O;tempo
paraC6mpletar{iniaó~raÇão.
de $61dagem é definido a partir do ,t~mpo de início dó pr~~dimetito dasold~gémilé
ó
tempo de'i~o.do' ~fóxirtlQ.~ed(in~nto
de soldagem. A variáV'êl âleatória X reprêsentil6 iéihpb para rompletlit uMü
opefélÇãó de::so.1QagéID; seo4ocmodélãda por uma distribuiç.ão exponeoc.ial.
.
a) :qual a pr~~aJJjJida~;~a
ope~
<!ompleta de soldagérli rJéijti~rer mais de 9 mlTÍütbs pâra se completar?
2
b) se 12 operaçõe.s completa de soldagem forem efetuados, qual a probabilidade de pelo menos 2 operações requererem
mais de 6 minutos?
8.0s prazos de substituição de aparelhos de TV tem uma distribuição normal com média de 7,2 anos e desvio padrão de
1,3 anos. Determine a probabilidade de um aparelho de TV escolhido aleatoriamente:
.
a) acusar um tempo de substituição inferior a 7 anos?
b) Acusar um tempo de substituição entre 6,8 e 9,2 anos
c} O fabricante substitui os apare!hosque acusam defeito dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir no
máximo 2.5% dos aparelhos que apresentem defeito, qual deve ser o prazo de garantia?
9. Certo tipo de cimento tem resistência à compressão média de 5.800 kg/cm2• com variabilidade modelada por uma
distribuição normal com desvio padrão iguala 180 kg/cm2• Dada uma amostra desse cimento, calcule as seguintes
probabilidades:
a) resistência inferior a 5.600 kglcm2
b) resiStência entre 5.600 kg/cm2 e 5.950 kg/cm2
c) se quer a garantia de que haja 95% de probabilidade de o cimento resistir a determinada carga, qual deve ser o
valor máximo dessa carga?
10.Usa-se um aparelho de radar para medir a velocidade dos carros em uma rodovia na hora do .pico", As velocidades
dos carros tem uma distribuição normal com média de 79 kmlhora e desvio padrão de 2.,5 kmlhora. Determinar
i) A porcentage,m de carros que trafegam com uma velocidade inferior a 75 kmlhora?
ii) Se a velocidade máxima permitida na rodovia é de 100 km!hora, qual deve ter sido a velocidade media dos carros se
ocorreram 3,6% de inflações, adotando o desvio padrão de 2,5 kmlhora.
11. Em uma c.onstrução de uma represa de concreto a.rmado foram retirados 120 corpos dé prova. Por um descuido na
rem~ssa dos dados ao engenheiro fiscal perderam-se algumas folhas onde estavam anotadas as observações sobre os
dadós realizados em laboratório, justamente no intervalo 160 a 200kgf/cm2. Dos dados recebidos pode o engenheiro
constatar que 36 corpos de prova apresentaram resistência menor que 160 e 12 corpos de prov.a superior a 200 kgf/cm2.
Determine a media e o desvio padrão da distribuição normal dos corpos de prova
12. O peso de um saco de farinha é uma variável aleatóliaque tem uma distribuição normal com média de 60 kg e desvio
padrão de 5 kg. Um caminhão é carregado com 200 sat'.os de farinha. Pergunta-se qual a probabilidade da carga total do
caminhão pesar entre 11920 kg e 12193 kg?
13. O tempo de viagem de um ônibus entre as cidades Ae Bé uma variável aleatória normal com tempo médio de 6horas
e um desvio padrão de 0,5 hora. O tempo de viagem errtre as cidades B e C é também uma variável aleatória normal com
média de 8 horas e um desvio padrão de 0,8 horas. O tempo de viagem entre as cidades C e D é também uma variável
aleatória normal com média de 6,5 horas e um desvio padrão de 0,6 horas. Suponha que esses três tempos são
estatisticamente independentes.
à) Determine o tempo de viagem total e o desvio padrão de viagem do ônibus entre as cidades A e O passando por B e C
sabendo ainda que temos uma parada e espera obrigatória na cidade B de exatamente 1 hora para embarque e
deSembarque:
b} Qual éa probabilidade de que o tempo de viagem realizada Preloônibus entre A e O seja superior a 23 horas?
14. Num teste educacional com c1ianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e
lógico é rnedidoe anotado para ser comparadoe-om um modelo teórico. O modelo teórico considera T, tempo de teste
em minutós, como uma variável aleatória continua com função de densidade de probabilidade dada por
f{t)
=41.
1/40 Ct-4)
3/20
•
O
f
se
8:;; t ~ 10
se 10~t~ 15
caso contrario
3
a)
b)
c)
d)
e)
construa o gráfico da função de densidade
Calcule a probabilidade P ( 9 < T S 12 )
Calcule o valor esperado ou a média da a variável aleatória continua X
Calcule a variância da variável aleatória'contínua X
Calcule a mediana
15. A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto
representada pela variável Y com densidade dada por:
f(y)=
~I
8/9 y-4/9
O
em uma cidade do interior é
se 0,5 Sy< 2
caso contrário
Calcule:
a) P (X < 0,8
b) P(Y> 1,5 IY ~1)
c) O valor esperado e a variância de Y
d) A mediana de Y
16. Uma maquina produz tubo plástico rígido Gujodiâmetro admite uma dismbuiç.ão normal com média de 100 mm e
desvio padrão de 0,5 mm. Os tubos com diâmetro inferior a 99,2 mm e maior que 100,6 mm são considerados defeituosos
e deverão ser reciclados.
i) Qual a proporção de tubos que serão reciclados?
ii) Qual deverá ser a media a ser ajustada a máquina para que a porcentagem de tubos com diâmetro inferior a 98,5 mm
seja de 0,15, adotando um desvio padrão de 0,4?
17. Considerando-se a segurança de umedificio ,deve ser analisada a força total agindo nas colunas do mesmo. Essa
força inclui os efeitos da carga morta X1 (devido ao peso da própria estmtura), a carga viva X2 (devido à ocupação
humana, móveis e outras cargas removíveis) e a carga do vento X3.
Supondo que os efeitos dessas cargas na coluna são variáveis estatisticamente independentes com distribuição normal
com : X1: n{1I1 = 412e 0'1= 013) X2: n( 112:: 615e C12 = 018} X3: n( JJ3 = 314 e C13 = 0,7).
a) Determine a média e o desvio padrão da força total agindo na coluna
b} Se a resistência de uma coluna é também normal com média igual a 21,0 e desvio padrão igual a 3.2 , qual a
probabilidade de vir a ocorrer uma falha na coluna?
18. Uma lata de mas.sa de tomate tem um peso méãio de 250 gramas e um desvio padrão de 5 gramas seguindo uma
distribuição normal .Essas latas são embaladas em caixas com 120 latas de massa de tomate ,que pesam em média 150
gramas e um desvio padrão de 8 gramas. Qual é a probabilidade de que uma caixa cheia escolhida ao acaso pese mais
quê 30.030 gramas?
19. Suponha que a duração de vida de um dispositivo eletrônico seja distribuído exponencialmente.Sabe-se que a
confiabilidade desse dispositivo para um períodO de 100 horas de operação é de 0,90. Quantas horas de operação devem
ser realizadas para conseguir uma confiabilidade de 0,95?
20. Seja uma peça metálica com resistência a solicitação R seguindo uma distribuição normal com média de 45 kgf/cm e
3,2 kgf/cm A peça está sujeita a uma solicitação Q que tem também uma distribuição normal com média de 36 kgf/cm e
3,5 kgf/cm. Supondo que R e Q são variáveis aleatórias independentes, qual a probabilidade da peça romper? Utilize a
composição de normais
21. O tempo de vida de um certo componente tem uma vida media e desvio padrão que segue uma distribuição normal .
Determine a media e o desvio padrão da normal, sabendo que 3,7% dos componentes tem tempo de vida inferior a 1000
horas e 8,,5%tem tempo de vida superior a 1800 horas.
.
A
22.
.Seja dada:
f(x)
= ~I
o caso contrário
Determine:
a) k para que tenhamos uma f.d.
b) E(X)
c) V(X)
d) Amediana
e) P(X ~ 0,5)
23. A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade do produto final. Suponha que T
dado em 0C seja considerada uma V.a. com distribuição uniforme no intervalo [150; 300]. Suponha que o custo para
produzir um galão de petróleo seja 65 u.m. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 180, o produto obtido é
vendido a 130 u.m.o galão; se a temperatura for entre 180 a 250 o produto é vendido a 150 u.m.o galão e se a
temperatura for superior a 250 é vendido a 200 u.m. o galão. Calcule o lucro médio por galão.
1
1
ICAPITULO 6 - EXERCíCIOS DE INTERVALO DECONFL4NÇAj
1. O rendimento de um proce.5Soquímico está sendo estudado. De experiências prévias com esse processo, sabe-se que
o desvio padrão do rendimento é iguala 3%. Os últimos cinco dias de operação da planta resultaram uma média de
90,48% Utilizando um nível de significância de 5%, calcule a verdadeira média de rendimento desse processo?
2. Um gerente de uma revista de carros é estimara média de consumo em quilômetros por litro de um novo modelo de
carro da montadora líder do mercado de carros populares. Uma amostra aleatória de 14 carros do novo modelo
apresentou uma média de 14,3 kme desvio padrão de 2,5 km por litro. Estimar a média da população com um Intervalo de
Confiança de 96%, considerando que a população tem uma dismbuição normal
3. Um artigo em Nuclear Engeneeing Internacional descreve várias características de bastões combustiveis usados em um
reator pertencente a uma unídade elétrica na Noruega Medidas de porcentagem de enriquecimento de 12 b2.stõe~C)
foram
testadas e forneceram uma média de 2,9017 e um desvio padrão de 0,0993. Verificar mediante um Intervalo de Confiança
de 99% se você concorda com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é 2,95%? Justifique porque?
4. Uma amostra aleatória de 25 eixos de aço foram retiradas de um lote de 1.000 desses eixos. O diâmetro médio da
amostra foi calculado e obteve-se uma média de 0,325 dm e uma variância de 0,0036 dm. Ache o Intervalo de Confiança
de 95% para verdadeira média de todo os eixos produzidos.
b) Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra (n) para que o erro (e) entre a média arnostra! e a média populacional não
seja superior a 0,01 com 90 % de confiança. Adotar (F 0,06 e N = 1.000 eixos
5. De 5.000 válvulas fabricadas por UIT'.acompanhia retirou-se uma a,rno.strade 400 válvula<>e obteve-se a vida média de
800 horas e um desvio padrão de 100 horas.
a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
b) Calcular o tamanho deve ter a amostra a ser retirada da população acima para que com confiança de 95% confiança
possa se estimar a média populacional com um erro máximo de 7,84 horas, adotando um desvio padrão populacional de
90 horas?
6. Uma empresa aeronáutica desenvolveu um novo tipo de foguete meteorológico para pesquisa .0 foguete antigo tinha
um sisterna no qual a probabifidade de SllCessoera dfl.dapor n = 0,80.Um teste foi efetuado com o novo modelo e em uma
amostra aleatória de 112 lançamentos retiradas de uma produção de 2.000 foguetes verificou-se que 98 resultaram
sucesso.
i) construa o Intervalo de Confiança para a verdadeira proporção de sucessos do novo modelo adotando um nível de
significância de 4,6 %.
ii) Baseado no íntervalo calculado dizer se temos evidencia suficiente para afirmar que o novo foguete é melhor?
7. 13. De um lote de uma fabricação de resistores do mesmo tipo foram escolhidos aleatoriamente uma amostra de
tamanho 12. As medidas do afastamento da resistência nominal em kO (ki!ohrns) forneceu os seguintes resultados :
média (X} % 1,7778 e desvio padrão {S) = 2,4381.
Determine o Intervalo de Confiança para a média (p) e o Intervalo de Confiança para o desvio padrão (a) dololeMotando
um nível de confiança de 95%.
8. A espessura das paredes de 36 garrafas de 2 litros de uma produção de um dia de 2.000 garrafas, foi medido por um
engenheiro de controle de qualidade. A amostra apresentou os seguintes resultado: uma média de 4,068 mm e um desvio
padrão de 0,051 mm.
a) Calcule um intervalo de confiança para a verdadeira média de todas as garrafas produzidas, adotando um nível de
significância de 1%
b} Determine o tamanho da amostra mínima necessária para estimar a média pbpulacional com um erro máximo de
0,05, com uma confiança de 98%, sabendo que foram produzidas 2.000 garrafas.
Adotar a = S = 0,051 mm.
9. Em uma amostra aleatória de 400 pessoas retiradas de uma população de 10.000 pessoas, 30 pe.ssoasque tomaram
vacina contra a gripe sentiram algum efeito colateral. Construa um intervalo de confiança pqra a verdadeira proporção
das pessoas que ex.penmentaramefeito colateral com a referida vacina adotando um nível de confiança de 97,2%?
10. Uma empresa de televisão a cabo gostaria de côJcular a proporção de clientes que c-0mprariam um guia de
programação de T,V. acabo. A empresa gostaria de ter 95% de confiança de que a sua estimativa esteja correta; com
uma margem de erro de até 0,05 da população real. Experiências do passado, em outra áreas indicam que 30%
comprariam o guia de programação. Qual o tamanho da amostra que será necessária?
11. Um teste de auditoria para estabelecer a freqüência com que ocorrem falhas no cumprimento de determinado
procedimento de controle interno está para ser reaJizado.Suponha que seja selecionada uma amostra de 50 itens; a pa.rtir
de uma população de 1000 itens, e seja determinado que em 7 casos}o procedimento de controle interno não foi cumprido.
DesenvoJt!a uma estimativa, com intervalo de confiança de 9JOJó, da proporção populacional de itens na qual o
procedimento decontro!e interno não foi cumprido.
12. A gerente de uma filial de uma cadeia de livrarias de âmbito nacional deseja estudar as características dos clientes de
sua loja Quese localiza perto do campus de uma grande universidade do e.stado.8a dec~deconcentrar-se particularmente
na quantidade de dinheiro gasta petos clientes.Os resultados de uma amostra de 20 clientes forneceram os seguintes
resultados: um gasto médio de $ 28,52 e um desvio padrão de $11,39.
Calcule uma estimativa, com intervalo de confiança de 96%, da quantidade populacional média gasta na livraria.
13-Uma amostra de 25 pacientes de um hospital publico indic-Ouum tempo médio de atendimento de 18 minutos com um
desvio padrão de3 minutos. Determine mediante um intervalo de confiança, estimativa do tempo médio de atendimento a
um nível de confiança de 90%.
14. O Departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa informa que o tempo de execução das tarefas que
envolvem participação manual varia de tarefa para a tarefa. Uma nova tarefa está sendo implantado na empresa e uma
amostra aleatória de 30 dessas tarefas, forneceu um tempo médio de 15 minutos e um desvio padrão de 3 minuros
Determine um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução dessa nova tarefa?
15.. Uma amostra aleatória de 5 propostas para a execução de tarefa, selecionadas de uma população normal de 200
proposí?..s,apresentou os seguintes resultados: { 12~ ' 98, 106, 145 e 92}. Calcular:
a) a média e o desvio padrão da amostra
b) Intervalo de Confiança de 95% para {} valor médio das propostas da população.
c) Intervalo de confiança de 90% para a variância das propostas da população
16. Extrait.'-5e uma amostra de 50 notas dos exames de 420 candidatos ao vestibular para uma Faculdade de
Comunicação. Se a média e o desvio padrão da amostra são 541 eB7 pontos respectivamente, calcule o intervalo de
confiança de 95% para a estimativa da verdadeira média da população.
17. Sendo X uma população tal que X = n ( J.I e 0"2) . Uma amostra aleatória de 15 resultados forneceu os valores LX ;::B,7
e D(2;:: 27,3. Determine um intervalo de confiança de 95% para a média e variância da população.
18. Numa cidade entre 1000 residências,8B8 possuem televisão a cores. Determinar o Intervalo de c.onfiança para a
proporção de possuidores de televisão a -coresnesta cidade ao nível de 2%.
19. Uma amostra de 90 pe...~oasfoi selecionada ao acaso de um grupo de 1000 pessoas fornecendo a proporç2-Ode
fumantes p = 0,24. Calcular o intervalo de confiança ao nível de 92% para a proporção de fumantes na.s1.000 pessoas.
20.Um instituto de pesquisa pretende avaliar a proporção de e!eiforesque votarão em determinado candidato,com 95% de
confiança de que não errará por mais de 3%. Para isto, levantou uma ~"').c;tra e obteve um p :; 0,20. Determine o
tamanho mínimo de amostra necessária para atinoir aOfe-eisãodeseiada?
3
21. Um fabricante de lentes intra-oculare.sestá qualificando uma nova máquina de polimento. Ele qualificará a máquina se
a porcentagem de lentes polidas que contenham defeitos na superfície não superar 1,5%. Uma amosttâ'dé 250 lentes
contém seis lentes defeituosas. Verifique mediante um intervalo de confiança com nível de signfficância 5% se a' nova
máquina atende as exigências especificadas.
1
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~APITUlO 7 - EXERCíCIOS DE TESTE DE HIPOTESEj
1.Uma amostra aleatória de 10 com,..none.'1tes
eletrônicos apresentou um te.1J'.pomédio de durabilidade de 230 dias.8abe-se
Que pelas experiências anteriores Que a variância da população éiguaJ a 160 (fIaS. Testar a hipótese de que a média
populac.ional é igual a 218 dias contra a hipótese alternativa de que a média poPl.tlacional é superior a 218 dias adotando
ia tle 11'\01...
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2.O sisíerr.a de escan~nto
de uma aeronave furr..,ionam devido a 1.1ffi prepetente s6Jido. A taxa de Ql.'eima desse
propeJe.'1teé uma caracterisfit'vaimpcrtante do produto. fts especificações requerem que a taxa média de queima seja de
50 em/s. Sabemos que o desvio padrão da taxa de queima é (1= 2cwJs. O engenheiro decide especificar uma
probabilidade de erro tipo !,ou ao nível de significânda de 5%. Se selecior.a uma amostra aleatória de tamanho 25 e
obtém uw.a taxa media de queiw.a de 51,3 crrJs. Que conclusões poderiam ser tiradas?
3. Um comprador de b!ocos de cimento acredita que a qualidade dos produtos da w.arta A esteja se deteriorando. Sabe-se
que a forr'yamédia de esmagamento da..ssesblocos era de 4OO!ibras. Uma amostra de 18 blocos da marca A forneceu uma
força média de esmagamento de 390 libras e um destfi.opadrão de 20 fibras. Test.ar ao nível de signifit'..ânciade 5% se a
qualidade média dos blocos tenha diminuido.
4, Um artigo no periódico Material Engineeringdescreve que os resultados de teste de te.'lSão quanto a adesão e.rn 22
corpos de prova de liga U-700 forneceu urr.a média amostra! de 13,71 MPa e desvio padrão de 3,55 MPa. Verificar
mediante um teste de hip6tese se os dados sugarem que a carga média na falha excede 10 MPa? Considere que a carga
na falha tenha mna distribuição norma! e adote um nível de significância de SUÁ!.
4. Um novo foguete meteoro.l()gicOfoi desem,JO!',,~do
pelos engenf1.eirosespecialistas da NASA. O fogl.'ete antigo tinha um
sistema no qua! a probabilidade de St.'CeSSOera dada por n = 0,88. Em uma amos1ra aleatória de 112 lar.çamentos do
novo fogt.'Steverificou-se que 92 tiveram sucesso.
4-nd"v 11mn',,,al de l"It\"fi~~
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5. Um fabricante de te!e,,~soresdeclarou no rotulo de garantia que no passado não mais de 100/0de seus aparelhos de
te!e'fi.são precisou de reparo durante os 2 primeiros anos de funcionamento. Para testar a validade dessa declaração, uma
agência de te...etesdo governo sefecionou UrT'.aamostra de 100 aparelhos e descobriu que 14apare!hos necessitaram de
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a!gum reparo r--osü""",,
teste de hipótese para proporção se a «LDClaraçãodô fabricante é valida?
6. Um rebite de'Je ser inserido em um orificio. se o de$vi.op...~
do diâmetro do orificio exceder 0,01 mm, haverá uma
probabilidade inaceitavelme.'lte alta de que reb.ife não se ajuste. UrT'.aamostra aleatória de 15 peças é seJet'vionadae o
di.âmetro do orificio é medido. O desvio padrão das medidas do diârJ'Cl~ do orfficio forneceu um desvio padrão de 0,008
mm. Verificar mediante um teste de hipótese se existe uma forte evidência in<flCandoque o desvio padrão do diâmetro dos
orific.i()s da população exceda 0,01 mm, adotando um nível de signfficãncia de 1%.
°
7. Teste de resistência àS.tensão furam realizadas e.rnduas estruturas comendo dois teores de aluminio. Essas esfrl.1uras
serão usadas na fabricação das asas de 1.1ffi avião.De experi.ência arrtennvrescom o processo de fabrit',vaçãodessas
e..~truturase com o procedimento de te..eres,os desvios padrão das resistências à tensão são considerados conhecidos
como sendo 1,0 e 1,5respectivamen1e, um levantamento amostrai feitos com duas amostras de tamanhos 10 e 12
forneceram uma média de 87,6 e 74,5 respectivamente. Verificar mediante um teste de hipófo.,sese ft.á uma diferença
evidente entre as duas estruturas adotando um nível de signrncância de 10%.
8. Duas técnicas de venda são apticadas por dois grupos de vendedores: a técnica A, por 12 vendedores e a técnica B
por 15 vendedores. Espera--se que a técnica B produza melhores resultados. No final do mês..obtiveram-se os seguintes
resuftados.Té'"vlrica A: uma média an".osfral de 68 vendas e uma variância de 50 vendas e a Técnica B: uma média
amostra! de 76 vendas e uma va.ri.â.'lCiade 75. Testar, com o nivel de significância de 5%, se há õ'1fere.'1ÇBS
signifi.cativas
entre as vendas das duas técnicas. Informacõe5 adicionais oertn.ltemsuoor aue as vendas sejam nom'.a!mente distribuídas
2
com variâncias populacionais iguais e desconhecidas. Efetue o test.e de hipótese formulando as hipóteses e qual a
conclusão?
9. Dois tipos diferentes de soluções de polimento e..ct...50
sendo avaliados para possivel uso em uma operação de polimento
na fabricação de lentes intra-oculares usados 00 olho hurr.ano depoi.sde uma operaç...~ de c...~ata.Trezentas !entes foram
polidas com a primeira solução de polimento e, desse número 253 não 1h,erarndefeitos induzidos pelo polimento. Otdras
300 lentes foram poljdas, us...~do a segunda soIl.JÇãode poUmento, sendo 196 lentes consideradas satisfatórias. Verifique
mediante um teste de hipótese bilateral. se há qualquer razão para acreditar que as duas so.tuções de polimento diferem
adotando () = 0,011
10.Camadas de óxidos em pastilhas de semicondurores são atacadas em uma mistura de gases. de modo a atingir a
espessura apropriada. A variabilidade da espessura dessas carr.adas de óxidos é uma característica da pastilha. Uma
baixa variabilidade é desejada para as etapas subsequentes do processo. Duas misturas <flferentes de gases estão sendo
estudadas para determinar se uma delas é superior na redução da variabilidade de espessura das caw.adas de óxido.
Vinte pastilhas são atacadas com cada gás. Os desvios padrão da espessura de óxido SãoS1 = 1,96 angs1rorP.se 52 =
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gás preferível em reJação ao outro adotando um nível de confiança de 95%?
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