Lista de exercícios: Trigonometria – Parte 01 – Profº Fernandinho
Questões:
01.Calcule o valor da expressão 𝑦 =
3.𝑠𝑒𝑛 90°−4.cos 180°+5.𝑠𝑒𝑛 270°−4.cos 360°
4.cos 0°+2.cos 90°−7.𝑠𝑒𝑛 360°
1
02. Determinar sen x, sabendo que cos x = − 3 e 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
.
3
03. Determinar cos x, sabendo que o ângulo x pertence ao quarto quadrante e possui sen x = − 5.
04. Resolva, em 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, a equação 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 = 0.
05. Resolver a equação 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0 no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.
𝜋
06. Resolva a equação −4𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 = 0 para 2 < 𝑥 <
3𝜋
2
.
07. Determine o valor de x na equação 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3 cos 𝑥 = 0, sabendo que 𝑥 ∈ [0, 2𝜋].
08.(Puc) Sabe-se que 𝛼 é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Sabendo-se
𝑘+1
que 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 2 , cos 𝛼 = 𝑘 e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine o valor de k e a área do
triângulo.
09.(Unesp) Resolva a equação 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 1 = 0, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.
10.(Fuvest) Determine as soluções da equação (2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 ).(𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ) = 0 que estão no
intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
11.(Fuvest) Ache todas as raízes da equação 𝑠𝑒𝑛3 𝑥. cos 𝑥 − 3. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0 no intervalo 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋.
12.(Mack) Resolva, em [0, 2𝜋[, a equação trigonométrica 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥.
13.(Mack) Se x e y são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, tais que 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 3. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑦,
calcule o valor da diferença y – x.
14.(Fuvest) Calcule o valor da soma das raízes da equação 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 2. 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 = 0, que estão no intervalo
[0, 2𝜋].
3
15.(Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (𝑐𝑜𝑠 2𝛼 ). 𝑥 2 − (4. cos 𝛼. 𝑠𝑒𝑛 𝛽). 𝑥 + 2 . 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 0, sendo
𝛼 𝑒 𝛽 os ângulos agudos de um triângulo retângulo qualquer. Com essas informações, determine as medidas de
𝛼 𝑒 𝛽.
16. Resolver a equação 𝑡𝑔2 𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥 = 0, para 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋.
𝜋
17.(Puc) Determinar “m” para que 3 , seja raiz da equação: 𝑡𝑔2 𝑥 − 𝑚. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0.
3
18. Se cos x = 5 e
3𝜋
2
< 𝑥 < 2𝜋, determine o valor de cossex x.
sec 𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑥
19. Simplifique a expressão y = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥+cos 𝑥
1
𝜋
20. Se sen x = 3 e 0 < 𝑥 < 2, calcule o valor da expressão y =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 .cos 𝑥−𝑡𝑔 𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
21.(Mack) Em um triângulo retângulo, um dos ângulos agudos mede 𝛼. Sabendo-se que a hipotenusa desse
cos 𝛼−𝑠𝑒𝑛 𝛼
triângulo vale 5 e, que o cateto adjacente do ângulo 𝛼 vale 1, determine o valor da expressão y = 1−𝑡𝑔 𝛼
𝜋
22.(Fuvest) O dobro do seno de um ângulo x, 0 < 𝑥 < 2 , é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Com
base nessa informação, calcule o valor do cosseno do ângulo x.
23.(Mack) Resolva a equação 1 + 𝑡𝑔2 𝑥 = cos 𝑥, para 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]
24.(Mack) Para 0 < x < 2𝜋, determine a soma das raízes da equação 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 1.
25.(Mack) Qual é o valor da soma de todas as soluções da equação tg a + cotg a = 2, para a ∈ [0, 2𝜋].
26.(Unesp) Se cos x . sen x =
√2
3
𝜋
e tg x = √2, com 0 < x < 2 , determine o único valor de:
a) y = cos x.
b) w = sen x + sec x
27.(Unesp) Simplifique a expressão 𝐸 =
28.(GV) Simplifique a expressão y =
sec 𝑥−2.cos 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥
cos 𝑥 .𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑐𝑜𝑠 2𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥−𝑡𝑔 𝑥
29.(Puc) Resolver, em 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, a equação sec x – cos x = sen x.
30. Resolver, em 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, a equação cossec x – cotg x = 2sen x
Gabarito:
1
01. y = − 2
02. sen x = −
5𝜋
2𝜋 4𝜋
06. S = { 6 }
07. S = { 3 ,
𝜋 3𝜋 7𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋
10. S = { 4 ,
4
𝜋 3𝜋
12. S = { 2 ,
2
,
6
,
4
}
𝜋
16. S = {0, 4 , 𝜋,
5𝜋
4
}
1
21. y = 5
𝑎) 𝑦 =
26.
𝑏) 𝑤 =
2√2
3
,
4
,
6
3
}
𝜋 7𝜋 11𝜋
04. S = { 2 ,
6
,
3
,
3
,
𝜋
05. S = { 2 }
𝜋
09. S = {0, 3 }
2
,
3
, 𝜋}
15. 𝛼 = 60° 𝑒 𝛽 = 30°
13. y – x = 30°
14. Soma = 4𝜋
17. m = 15
18. cossec x = − 4
19. y = tg x
23. S = {0 , 2𝜋}
24. Soma =
28. y = 𝑐𝑜𝑡𝑔 2 𝑥
29. S = {0, , 𝜋,
5
27. E = 𝑡𝑔2 𝑥
}
3
11. S = {0, 3 , 2 ,
√3
2
6
08. k = 5 e A = 96 𝑐𝑚2
𝜋 𝜋 2𝜋 4𝜋 3𝜋 5𝜋
}
22. cos x =
√3
3
√6+3√3
3
4
03. cos x = 5
√2
20. y = 72
5𝜋
25. Soma =
2
𝜋
5𝜋
4
4
}
3𝜋
2
2𝜋 4𝜋
30. S = {
3
,
3
}