Engenharia Econômica
Demétrio E. Baracat
Cap. 4 Considerações adicionais sobre Juros
4.1. Introdução
No capítulo anterior já analisamos juros efetivos, nominais e equivalência entre taxas de juros.
No entanto existem outros aspectos que devem ser analisados com mais detalhes antes de
avançarmos em técnicas de análise e, portanto entrarmos em Engenharia Econômica.
4.2 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE
Infelizmente, nem sempre o uso dos conceitos de taxas efetivas e taxas nominais podem ser
utilizadas para resolver todas artimanhas e malabarismos aplicados pelo mercado para encobrir
a verdadeira taxa de juros. É usual que instituições financeiras se utilizem de uma grande
variedade de artifícios para encobrir taxas de juros mais altas por eles cobradas efetivamente.
Um dos meios usuais é cobrar os juros antecipadamente. O conceito é muito simples que pode
ser facilmente acompanhado num exemplo.
Exemplo 4.1
Calcule a taxa efetiva mensal de juros referente a um empréstimo de R$ 100.000,00 com prazo
de carência de três meses, sabendo que é cobrado antecipadamente uma taxa de 22%. Calcule a
taxa efetiva anual.
Solução:
Ao se tomar o empréstimo de R$ 100.000,00 em verdade o banco estará descontando
antecipadamente 22% deste empréstimo o que significará a disponibilidade de usufruirmos de:
R$ 100.000,00(1- 22%) =R$ 78.000,00. Após 3 meses do empréstimo restituiremos ao banco
R$ 100.000,00.
Tem-se, pois, o seguinte fluxo de caixa:
Vf = Va (1 + i) 3 → 100.000 = 78.000(1 + i) 3 → (1 + i) 3 = 1,2821 →
então 1 + i =
1
3
1,2821
= 1,0863 → i = 8,63% a.m
1 + ia = (1 + 8,63%) 12 → ia = 170%
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Em operações bancárias de desconto de duplicatas, com freqüência é utilizado este artifício.
4.3 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS
A disponibilidade de recursos é um fator imperativo para a concretização de um investimento.
Ao se construir uma casa própria, ou reformá-la, ou ao se adquirir um equipamento industrial,
é necessário que se tenha disponibilidade suficiente de recursos.
Se a pessoa, no caso da casa própria, ou a empresa, no caso do equipamento, dispuserem de
recursos num investimento, como, por exemplo, caderneta de poupança ou depósito bancário,
poderão utilizá-lo para efetivarem seus investimentos. Porém, na falta desses recursos, ou se
esses forem insuficientes, terão que recorrer a empréstimos.
O valor desses empréstimos (denominado de Principal) terá que ser restituído ao agente
financeiro, acrescido de uma remuneração, que são os juros. As formas de devolução do
principal mais juros chama-se Sistema de Amortização.
Os sistemas de amortização mais usuais e praticados por instituições bancárias serão vistos
neste Capítulo. Evidentemente que nos empréstimos pessoais pode ocorrer variações de
formas de amortização, principalmente em pequenas transações, que pela sua particularidade
não serão aqui analisadas.
4.3.1 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Sistema Price)
Este sistema também é conhecido pelos nomes de “Sistema Price” ou “Sistema de Prestação
Constante”, e é muito utilizado nas compras a prazo de bens de consumo e crédito direto ao
consumidor.
Nesse sistema, as prestações são constantes e correspondem, pois, a uma série uniforme A.
Uma das razões de se estudar amortização de dívidas é se obter respostas às perguntas:
•
Qual o estado da dívida?
•
Quanto já foi amortizado?
Quando uma dívida é saldada em prestações, o devedor restituirá o principal mais os juros. As
prestações pagas são compostas de uma parcela de juros e uma parcela de amortização. A
amortização corresponde à parcela da prestação que é descontada do principal.
Em verdade não será apresentada inovação no cálculo, o que veremos é apenas um
detalhamento adicional que permite responder às duas perguntas feitas acima. Vejamos um
exemplo.
EXEMPLO 4.2
Uma dívida de R$ 10.000,00 deve ser paga em 5 prestações anuais iguais, à taxa de 10% a.a.
Organizar o plano de pagamentos, juros e amortização segundo o sistema Price.
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Como no exemplo anterior:
A
i(1 + i) n
0,10(1 + 0,10 )5
=
→
A
=
10
.
000
= R$2638,00
Va
(1 + i)n − 1
(1 + 0,10 )5 − 1
Conforme explicado no exercício anterior, podemos compor a seguinte tabela:
Ano
Saldo
Devedor
Prestações
(1)
0
1
2
3
4
5
(2)
R$ 10.000
R$ 8.362
R$ 6.560
R$ 4.578
R$ 2.398
0
(3)
Juros
Amortização=
=Col.2 *10% Reposição do
Capital
=Col.3-Col.4
(4)
(5)
R$ 2.638
R$ 2.638
R$ 2.638
R$ 2.638
R$ 2.638
R$ 1.000
R$ 836
R$ 656
R$ 458
R$ 240
R$ 1.638
R$ 1.802
R$ 1.982
R$ 2.180
R$ 2.398
Soma dos
Valores
Coluna (5)
R$ 1.638
R$ 3.440
R$ 5.422
R$ 7.602
R$ 10.000
Em linhas gerais o sistema Price fornece a seguinte representação dos desembolsos:
EXEMPLO 4.3
Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago em 20 prestações iguais e
semestrais a uma taxa de juros efetiva de 50% a.a. Calcule:
a) qual a taxa semestral;
b) qual o valor das prestações;
c) qual a parcela da primeira prestação que é amortização, e qual a que é relativa aos juros.
Solução:
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A taxa semestral pode ser calculada diretamente pela fórmula:
is = (1 +
1
ia 2
)
− 1 = (1 +
1
2
0,50 )
− 1 = 22,5%
O valor das prestações pode ser determinado pela fórmula
A
i(1 + i) n
0,225(1 + 0,225 )20
=
→ A = 100.000
= R$22895,39
Va
(1 + i)n − 1
(1 + 0,225 )20 − 1
Como as prestações são fixas o montante se decompõe numa parte como sendo a amortização
da dívida e outra parte a parcela de juros. No caso como na primeira parcela o montante da
dívida é de R$ 100.000,00 teremos como juros R$ 22.500,00 resultando como amortização da
dívida o valor R$ 22895,39-R$ 22.500,00=R$ 395,39
Então o conjunto de pagamentos seria:
Parcela
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Saldo
Devedor
Pagamento Juros Amortização
100.000,0
99.603,4
22.871,1 22.474,5
396,6
99.117,6
22.871,1 22.385,3
485,8
98.522,7
22.871,1 22.276,2
594,9
97.794,1
22.871,1 22.142,5
728,6
96.901,7
22.871,1 21.978,7
892,4
95.808,7
22.871,1 21.778,2
1.093,0
94.470,1
22.871,1 21.532,5
1.338,6
92.830,7
22.871,1 21.231,7
1.639,4
90.822,8
22.871,1 20.863,2
2.007,9
88.363,6
22.871,1 20.412,0
2.459,2
85.351,8
22.871,1 19.859,3
3.011,8
81.663,1
22.871,1 19.182,4
3.688,7
77.145,3
22.871,1 18.353,4
4.517,7
71.612,2
22.871,1 17.338,0
5.533,1
64.835,6
22.871,1 16.094,5
6.776,6
56.536,0
22.871,1 14.571,5
8.299,6
46.371,0
22.871,1 12.706,2
10.164,9
33.921,6
22.871,1 10.421,7
12.449,5
18.674,2
22.871,1 7.623,7
15.247,4
0,0
22.871,1 4.196,9
18.674,2
O gráfico correspondente aos pagamentos dos juros e amortizações ficaria:
36
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Fluxo Monetário
25000
20000
R$
15000
10000
5000
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
Pagamentos
4.3.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Este sistema foi popularizado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), que o adotou nos
financiamentos de compra da casa própria. Atualmente, ele é muito utilizado para
financiamentos de longo prazo. Como as amortizações são constantes, seu valor é obtido
dividindo o principal P pelo número de prestações n. Igualmente ao sistema Price a prestação é
composta da amortização e juros. O Juros é determinado sobre o saldo devedor no momento
do pagamento, e então:
Prestação = Amortização + Juros
Como o saldo devedor vai decaindo ao longo do tempo, os juros irão decaindo e, portanto as
prestações também decaem, embora a amortização seja constante.
EXEMPLO 4.4
Considere um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo SAC em 20 prestações semestrais,
sendo a taxa de 22,5% ao semestre.
(Compare com o Exemplo 4.3).
a) Qual o valor da primeira prestação e das prestações subsequentes?
c) Qual o saldo devedor imediatamente após a quinta prestação?
Solução:
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Neste caso a amortização que é constante é dada por: K =
R$100.000
= R$5.000
20
Para determinarmos os pagamentos precisamos calcular os juros e então adicionarmos à
amortização.
Vejamos como fica através de uma tabela:
Parcela
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Saldo
Devedor
Pagamento Juros Amortização
100.000,0
95.000,0
27.474,5 22.474,5
5.000,0
90.000,0
26.350,8 21.350,8
5.000,0
85.000,0
25.227,0 20.227,0
5.000,0
80.000,0
24.103,3 19.103,3
5.000,0
75.000,0
22.979,6 17.979,6
5.000,0
70.000,0
21.855,9 16.855,9
5.000,0
65.000,0
20.732,1 15.732,1
5.000,0
60.000,0
19.608,4 14.608,4
5.000,0
55.000,0
18.484,7 13.484,7
5.000,0
50.000,0
17.361,0 12.361,0
5.000,0
45.000,0
16.237,2 11.237,2
5.000,0
40.000,0
15.113,5 10.113,5
5.000,0
35.000,0
13.989,8 8.989,8
5.000,0
30.000,0
12.866,1 7.866,1
5.000,0
25.000,0
11.742,3 6.742,3
5.000,0
20.000,0
10.618,6 5.618,6
5.000,0
15.000,0
9.494,9 4.494,9
5.000,0
10.000,0
8.371,2 3.371,2
5.000,0
5.000,0
7.247,4 2.247,4
5.000,0
0,0
6.123,7 1.123,7
5.000,0
Graficamente, os comportamentos da prestação e do saldo devedor podem ser apresentados
da seguinte forma:
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Fluxo Monetário
30000
25000
R$
20000
15000
10000
5000
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
Pagamentos
EXEMPLO 4.5
Refazer o exemplo 4.2 pelo sistema SAC (reposição do capital).
O valor de amortização será K =
R$100.000
= R$20.000
5
Então:
Parcela
0
1
2
3
4
5
Saldo Devedor Pagamento
10.000,0
8.000,0
3.000,0
6.000,0
2.800,0
4.000,0
2.600,0
2.000,0
2.400,0
0,0
2.200,0
Juros
Amortização
1.000,0
800,0
600,0
400,0
200,0
2.000,0
2.000,0
2.000,0
2.000,0
2.000,0
Se calcularmos o EUA das parcelas segundo o sistema SAC encontramos:
A
i(1 + i) n
0,10(1 + 0,10 )5
=
→
A
=
10
.
000
= R$2638,00
Va
(1 + i)n − 1
(1 + 0,10 )5 − 1
e, portanto os dois sistemas são equivalentes em termos de desembolsos.
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EXEMPLO 4.6
Se eu tomar emprestados R$ 10.000 para serem pagos em 5 parcelas anuais e juros de 10% a.
a., será preferível pagar pelo sistema PRICE ou pelo SAC?
Evidentemente, isto depende das oportunidades que eu tiver para investir este dinheiro (custo
de oportunidade).
Sou indiferente aos sistemas se o custo de oportunidade for 10% a.a., pois verificamos a
equivalência dos dois sistemas.
Se pudesse investir rendendo 6% a. a., como seria o caso da caderneta de poupança, então
deveria efetuar uma análise dos desembolsos de pagamentos em cada um dos casos:
Sistema Price
Pagamento Sobra Poup
Parcela
0
1
2
3
4
5
2.638,0
2.638,0
2.638,0
2.638,0
2.638,0
Sistema SAC
Pagamento
7.962,0
5.801,8
3.511,9
1.084,6
-1.488,3
Sobra Poup
3.000,0
2.800,0
2.600,0
2.400,0
2.200,0
7.600,0
5.256,0
2.971,4
749,6
-1.405,4
Dentro das opções disponibilizadas preferiria sistema SAC. Claro que como o custo de
oportunidade que tenho disponível é menor que o custo do capital estarei perdendo reservas.
Se agora tiver um custo de oportunidade de 15% preciso analisar qual alternativa é melhor para
aumentar meu retorno:
Sistema Price
Pagamento Sobra Poup
Parcela
0
1
2
3
4
5
2.638,0
2.638,0
2.638,0
2.638,0
2.638,0
Sistema SAC
Pagamento
8.862,0
7.553,4
6.048,4
4.317,7
2.327,3
Sobra Poup
3.000,0
2.800,0
2.600,0
2.400,0
2.200,0
8.500,0
6.975,0
5.421,3
3.834,4
2.209,6
neste caso, prefiro pagar pelo sistema PRICE.
4.3.3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM ou SACRE)
O Sistema de Amortização Misto (SAM) é a média aritmética entre o sistema SAC e
o sistema PRICE. Consiste num sistema de Amortização Crescente daí a denominação
SACRE. Aos interessados recomendamos literatura mais específica como por ex: “Matemática
Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos – Pearson-Prentice Hall - Samanez, C. P.,
3ª edição – 2002, São Paulo pág. 218
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4.3.4. SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO (SAA)
O Sistema Americano considera que periodicamente são pagos juros sobre o montante
emprestado, e depois de um certo período o principal é devolvido.
EXEMPLO 4.7.
Considere o valor da operação como $100.000 prazo da operação 3 anos. Taxa de juros
contratada 10%a.a.
Pagamento
0
1
2
3
Dívida
100.000
100.000
100.000
Pagamento
Juros
Amortização
10.000
10.000
110.000
10.000
10.000
10.000
100.000
4.4. TAXA DE JUROS E INFLAÇÃO
A inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda com o tempo. Várias podem ser suas
causas, tais como aumento da demanda de um bem sem condições de se aumentar
proporcionalmente sua produção, aumento de custos de fatores de produção de alguns
produtos, especulação com estoques ou excesso de circulação de moeda, entre outras.
Na matemática financeira, a inflação é considerada nos empréstimos através da correção
monetária. A correção monetária, teoricamente, é um instrumento de correção da moeda na
exata medida do efeito da inflação. Porém, os índices oficiais de correção monetária podem
não refletir realmente a inflação. Por esta razão, na análise de investimentos usa-se a inflação,
medida através de índices de preço, em vez da correção monetária.
A variação cambial, ou seja, a valorização relativa de uma moeda — perante outra moeda —,
aparecerá nos problemas de empréstimos de forma análoga à correção monetária.
Imaginemos que invisto R$ 1.000 por um ano num empreendimento que paga 6% ao ano e
mais correção monetária devida à inflação. Imaginemos que ao fim de um ano a inflação tenha
sido de f = 5%.
Solução
R$ 1.000,00 ao fim de um ano vale menos (em poder aquisitivo); vale
devido à inflação.
1000
= 952,38 ,
1 + 5%
O empreendimento paga ao fim de um ano 1000(1 + 5%)(1 + 6%) = 1113,00 o que
inclui a correção monetária.
41
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De modo que meu poder aquisitivo é:
1000 (1 + 5%)(1 + 6%)
= 1000 (1 + 6%) = 1006
1 + 5%
Vemos, pois, que podemos raciocinar com dinheiro a valor constante (em termos de poder
aquisitivo), já que numa política econômica justa a correção monetária compensa a inflação.
Evidentemente, esta nossa convenção pressupõe que todos os preços, custos, contratos etc.
sejam reajustados no fim de cada período exatamente como a correção monetária que
compensa a inflação. Este tipo de análise é certamente válido nos casos em que os cálculos são
feitos em UPC (unidade-padrão de capital), ou com reajustes contratuais segundo a inflação.
Caso contrário, é necessário proceder às análises com juros totais (inclusive a inflação) f e
valores monetários, em vez de valores a poder aquisitivo constante.
Quando compramos um imóvel ou outro objeto qualquer com contrato que considere parcelas
com correção monetária, isto significa que as mudanças nas parcelas consideradas entre os
períodos t e t-l são tais que Pi =Pi-1(1 + f), onde f é o fator de correção monetária.
Se imaginarmos um processo que considera pagamentos de juros i mais correção monetária f
sobre um capital K, observamos que o montante correspondente aos juros mais a correção
monetária é, ao fim de um período,
K (1 + j) = K (1 + i)(1 + f ) = K (1 + i + f + if )
j é a taxa global de juros que considera a remuneração do capital investido mais a perda
monetária (inflação, ou desvalorização da moeda). Se imaginarmos que a moeda de análise é
uma moeda que se deteriora ao longo do tempo com relação a uma outra que se mantém
constante como por exemplo, ouro, libra esterlina, podemos entender a inflação como a
desvalorização monetária frente a estes parâmetros.
A observação acima é importante, pois freqüentemente vemos as contas serem feitas
empregando-se o fator j = (i + f), e esquecendo-se da parcela (if). Se os valores de i e de f
forem próximos, o erro poderá ser considerável, principalmente se i e f forem grandes. Se, por
exemplo, f = 5% ao mês e i = 1 % ao mês, o fator multiplicativo para o total ao fim de um
mês será (1 + 0,05) (1 + 0,01)= 1,0605; isto é, 6,05% ao mês, e não apenas 6% a mês.
Ao fim de n períodos, a quantia total, em termos monetários, será
K (1 + j) n = K (1 + i) n (1 + f ) n
Se nada for especificado em contrário neste curso, sempre estaremos raciocinando em
termos de i e não de j. Isto corresponde a raciocinar em UPC em vez de valor
monetário.
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Considerando que as análises, na maioria das vezes, se referem a expectativas futuras para as
quais desconhecemos, é mais conveniente raciocinar em valor a poder aquisitivo constante e
empregar i como taxa de juros nos cálculos.
Nem sempre conseguiremos, para fins de raciocínio, fugir da inflação e analisar situações a
“poder aquisitivo constante”. Vamos exemplificar com um caso.
EXEMPLO 4.8
Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados pela Caixa Econômica com
juros de j = 6% ao ano, o que já engloba uma correção monetária pré-fixada. Observe que
estes juros totais inferiores à inflação correspondem a um subsídio. A devolução será iniciada
um ano após a formatura. Assim, a quantia emprestada no início do primeiro ano deverá ser
devolvida no início do sétimo ano.
A primeira anuidade cobrada pela escola é de R$ 14.000,00. É de se esperar reajustes anuais da
ordem de f = 10% devido à inflação. O custo de oportunidade do capital é de = 8% ao ano
(depósito bancário a prazo fixo).
Calcule a redução percentual nas anuidades da escola a que correspondem estes empréstimos a
juros baixos da Caixa Econômica.
A
Anuidades em
Reais
1° ano
2° ano
3° ano
4° ano
5° ano
14.000
15.400
16.940
18.634
20.497
B
Devolução para
a Caixa Econômica 6
períodos depois (taxa de
6% ao ano)
19.859
21.845
24.030
26.432
29.075
43
C
Valor do
Empréstimo= 6
períodos mais tarde
(taxa 8%)
22.216
24.438
26.882
29.570
32.526
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D
Desconto
C −B
C
10,6%
10,6%
10,6%
10,6%
10,6%
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De fato, o estudante que deixar de pagar 14.000 no primeiro ano e depositar esta quantia a
prazo fixo durante seis anos receberá R$ 22.216,00, mas só terá de devolver R$ 19.859,00 à
Caixa Econômica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa Econômica. Observe que a coluna
D pode ser calculada devido às parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo.
EXEMPLO 4.9.
Uma empresa brasileira fez um empréstimo equivalente a R$ 2.000.000,00 em um banco
alemão, nas seguintes condições:
— Juros de 2,8% ao trimestre;
— Pagamentos em cinco prestações anuais pelo SAC, em Euros.
Se a valorização do Euro em relação à R$ nos próximos anos for estimada em 5% a.a., calcule
o valor em R$ das prestações a serem pagas.
Solução:
Taxa equivalente anual:
ia = (1 + 2,8% )4 − 1 = 11,68%
Valor das amortizações:
K =
R$2.000.000
= R$400.000
5
Os juros da primeira parcela é R$ 2.000.000*11,68%=R$ 233.584,80
A primeira parcela antes da desvalorização corresponderia a R$ 633.584,80. Sobre este
montante devemos aplicar a correção monetária que é de 5%→R$ 633.584,80*1,05=
R$ 665.264,10.
Neste instante o saldo devedor ficou R$ 1.600.000,00. Os juros desta parcela serão calculados
por R$ 1.600.000*11,68%=R$ 186.867,90 resultando como parcela de pagamento antes da
correção monetária R$ 586.867,90. Como se passaram dois períodos devemos corrigir este
montante por 1,05*1,05, isto é:
R$586.867,90 * (1 + 5%) 2 = R$647.021,80
Procedendo-se igualmente para as demais parcelas encontramos:
Parcela Saldo Devedor
Valor
Juros
Amortização Pagamento
0 R$ 2.000.000,0
1 R$ 1.600.000,0 R$ 633.584,8 R$ 233.584,8 R$ 400.000,0 R$ 665.264,1
2 R$ 1.200.000,0 R$ 586.867,9 R$ 186.867,9 R$ 400.000,0 R$ 647.021,8
3
R$ 800.000,0 R$ 540.150,9 R$ 140.150,9 R$ 400.000,0 R$ 625.292,2
4
R$ 400.000,0 R$ 493.433,9 R$ 93.433,9 R$ 400.000,0 R$ 599.772,0
5
R$ 0,0 R$ 446.717,0 R$ 46.717,0 R$ 400.000,0 R$ 570.136,6
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EXEMPLO 4.10
Qual deve ser a taxa global anual a ser cobrada por um banco que quer 1% ao mês de juros
além da correção monetária que é prevista em 3% ao trimestre?
Solução
(1 + j) = (1 + i)12 (1 + f) 4
= (1 + 1%)12 (1 + 5%) 4 → j = 36,97%
4.5 ÍNDICES DE CORREÇÃO MONETÁRIA
A partir de 1964, o Brasil passou a adotar oficialmente a correção monetária, baseada na
variação dos valores das ORTNs — Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional.
Posteriormente, em 1986, foram criadas as OTNs — Obrigações do Tesouro Nacional — e,
em 1989, passaram a ser utilizadas as variações dos BTNs, Bônus do Tesouro Nacional.
A partir de 1991, em vez de um índice, passou-se a utilizar Taxas Referenciais, a exemplo das
taxas internacionais, como a LIBOR ou Prime Rate. Primeiro foi a TRD —Taxa Referencial
Diária e após a TJLP —Taxa de Juros de Longo Prazo. Mas o mais comum é utilizar-se
diretamente um índice de inflação, como o Índice Geral de Preços (IGP-Dl), apurado pela
Fundação Getúlio Vargas.
EXEMPLO 4.10
Uma empresa obteve, em primeiro de fevereiro de 2005, um empréstimo de R$ 1.000.000
sujeito a correção monetária pelo IGP-Dl a ser devolvido de uma vez em 01-02-2010 com
juros de 5% ao ano. Qual o montante (F) nessa data?
Dados: IGP_DI anualizado (FGV_SP)
Janeiro 2005
12,13%
Janeiro 2006
1,22%
Janeiro 2007
3,79%
Janeiro 2008
7,89%
Janeiro 2009
9,10%
Estimativa para Janeiro de 2010 8,5%
Assim o montante a ser devolvido é
R$1.000.000 * (1 + 5%) 5 (1 + 1,22%)(1 + 3,79%)(1 + 7,89%)(1 + 9,10%)(1 + 8,5%) =
R$1.712.395,30
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4.6 TAXAS PREFIXADAS E PÓS-FIXADAS
Uma questão, muito comum, é a comparação entre taxas pré e pós-fixadas. Vejamos a
interpretação através de um exemplo.
EXEMPLO 4.11
Uma financeira oferece duas modalidades de financiamento pagáveis em um ano:
1. correção monetária + 12% (pós-fixada);
2. 28,80% (prefixada).
Se é indiferente para a financeira emprestar numa ou noutra modalidade, em quanto ela está
estimando a correção monetária para os próximos doze meses?
Solução:
(1 + 28,8% ) =
(1 + 12%)(1 + p ) → p = 15% a.a.
4.7. OUTROS ÍNDICES ECONÔMICOS
Apresentamos abaixo os índices econômicos mais utilizados em transações no Brasil, inclusive
relacionando o agente responsável pela sua emissão.
Índices Econômicos
Dolar
Euro
FGTS
IGP-M
IGP-DI
IR
INCC-DI
INPC
IPC
IPCA
IPCA-15
Poupança
Selic
Juros de Mora
TJLP
TBF
UFESP
UFIR
URV
Agente Emissor
BACEN
BACEN
CEF
FGV
FGV
SRF
FGV
IBGE
FIPE
IBGE
IBGE
BACEN
COPOM
ITCMD
SRF
BACEN
SFESP
SRF
BACEN
Deixamos para os alunos interessados obter outras informações a respeito destes índices e sua
aplicabilidade.
4.8 Exercícios
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4.8.1 Um empréstimo de R$ 20.000,00 à taxa de juros de 2% ao mês será saldado mediante 5
parcelas mensais iguais mais um pagamento de R$ 8.000,00 no final do 6.° mês. Que parcela da
dívida terá sido amortizada após o pagamento da terceira parcela mensal?
Resposta a) R$ 7.149,34
4.8.2 João tomou emprestado R$ 8.000 para pagar em 10 meses, à taxa de 10% a.m., com
prestações constantes. Após ter pago a 5ª prestação resolveu alterar o plano de pagamento de
forma a pagar amortização constante e juros sobre saldo devedor. Calcule o valor das
prestações.
Resposta 5* R$ 1.302,00; R$ 1.481,00; R$ 1.382,00; R$ 1.283,00; R$ 1.184,00; R$1.086,00
4.8.3 Um indivíduo comprou um apartamento por R$ 3.000.000,00, pagando 900.000,00 de
entrada e o restante em 10 pagamentos (um por ano) pelo Sistema SAC, com juros de 10% a.a.
Após o pagamento da quarta prestação ele muda para o Sistema PRICE mantendo o prazo e a
taxa de juros.
a) Calcule o total da 3ª prestação.
b) Calcule o saldo devedor logo após o pagamento da 8ª prestação.
c) Calcule o total de juros que terá pago ao fim da 10ª prestação.
Resposta a) R$ 378.000,00 b) R$ 502.000,00 c) R$ 1.190.000,00
4.8.4 A Superloja Ali-Babá anuncia a venda de Bugigangas Especiais por R$ 8.000,00 (preço
oficial), pagáveis em cinco vezes, parcelas iguais, sem acréscimo (primeira parcela paga no
instante da compra).
Se pagar tudo a vista, é possível obter um desconto de 12%:
a) Calcule a taxa de juros mensais que a loja está cobrando.
b) Supondo que a loja seja consistente com os juros que cobra, calcule o valor das parcelas que
deverá cobrar para financiamento a prazo, em quinze pagamentos mensais iguais, sendo o
primeiro pago no instante da compra.
c) No seu anúncio, a loja diz cobrar juros que corresponderiam à prestação calculada no item
anterior para equivalência com um valor a vista de Çr$ 8.000,00, e como se a primeira parcela
vencesse um mês após a compra. Calcule esta taxa de juros mensais anunciada.
d) A loja está sendo pressionada para baixar seus juros anunciados para 2/3 no tem anterior do
calculado. Entretanto, a loja pretende manter o plano de pagamento em quinze vezes no
mesmo valor das parcelas calculadas no item b. Para isto a loja vai aumentar o valor anunciado
de R$ 8.000,00 por Bugiganga Especial. Calcule este novo valor.
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4.8.5 Uma loja vende um Ti por R$ 20.000,00, aceitando cartão de crédito, ou por R$
17.000,00 a vista em dinheiro. Eu compro por cartão de crédito, recebo a conta um mês após a
compra, e pago 10% do montante da minha dívida.
O cartão de crédito cobra 4% ao mês sobre o saldo devedor, incorporando os juros ao saldo
devedor. Eu pretendo pagar todo mês 10% do saldo devedor e liquidar o total da dívida no
12.° mês após a compra. Faça o programa de desembolsos e calcule o custo em que estou
incorrendo com este plano.
4.8.6 Uma firma pode ter as seguintes alternativas:
a) Comprar um equipamento que vaie 100.000 em 20 prestações iguais pagas no início de cada
mês. Após os 20 meses de uso este equipamento será revendido por R.
b) Alugá-lo durante 20 meses, pagando o aluguel no fim de cada mês. O valor do aluguel é R$
6.115,67 por mês.
Utilizando uma taxa de desconto tal que se composta mensal mente resulta em 26,8% ao ano,
calcule o valor de R tal que a firma fique indiferente entre o aluguel e a compra.
Resposta R=0.
4.8.7 Uma dívida de 100.000 incorrida em t = 0 deve ser paga em 10 prestações com juros de
10% sobre o saldo devedor. Calcule o total de juros pagos nas seguintes condições:
a) Primeira prestação paga em t = 1. Planeja-se usar o sistema PRICE, mas logo após o
pagamento da quinta prestação, muda para SAC.
b) Repetir o item anterior quando começa com SAC e depois passa para PRICE.
c) Repetir o item a quando a primeira prestação é paga em t = 0.
d) Repetir o item b quando a primeira prestação é paga em t = 0.
Resposta a) R$ 61.557,00 b) R$ 55.949,00 c) R$ 46.887,00 d) R$ 45.949,00
4.8.8 Um equipamento foi comprado por R$ 50.000 à vista. Este equipamento será utilizado
numa tarefa cujo pagamento foi acertado em R$ 10.000 constantes (em reais) por mês durante
20 meses. Para esta tarefa incorrerão custos de operação e manutenção de valor igual a R$
2.000 por mês, crescendo com a inflação. Após 20 meses o equipamento será vendido. O
valor, hoje, de um equipa mento com 20 meses de uso é de R$ 5.000. Qual o valor atual do
lucro, sabendo-se que a taxa de oportunidade do capital é i = 2% ao mês e que a inflação é
suposta como sendo f =6% a. m.
Resposta R$ 17.973,00
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4.8.9 Para a execução de um serviço com dez meses de duração, temos duas alternativas:
1) Comprar um equipamento por 100.000 à vista mais dez prestações de 10.000 Após os dez
meses será vendido pela quantia de 30.000. Todos estes valores não terão correção monetária.
ii) Alugar o equipamento por dez meses, pagando no fim de cada mês 20.000 corrigidos
mensalmente pela inflação.
Considere taxa de inflação f = 10% ao mês e taxa real de juros i = 5% ao mês.
a) Qual o valor atual da primeira alternativa?
b) Qual o valor atual da segunda alternativa?
c) Qual o equivalente uniforme da segunda alternativa?
Resposta a) R$ 142.069,00 b) R$ 154.434,00 c) R$ 20.000,00
4.8.10 Um fogão de inox custa 12 x 493,50, ou R$ 4.500,00, que é o valor anunciado a vista e o
valor sobre o qual se calculam as prestações com um juro mensal anunciado em j = 4,5% a.m.
a) Acontece que, se o fogão for pago realmente a vista, a loja faz um desconto de 10%. Neste
caso, quanto se paga de juros?
b) Para piorar a situação, a primeira parcela tem vencimento à vista. Quais os juros realmente
cobrados nesta situação?
c) Caso se pague com cartão de crédito, o desconto de 10% não é dado; neste caso, qual o
custo se pagarmos o cartão após um mês sem juros.
Resposta a) 110%a.a. b) 146%a.a. c) 11%a.m.
4.8.11. Uma firma tem um custo de oportunidade de 15% a.a. Um projeto de fabricação exige
um investimento de R$ 1.000.000 e o custo variável de produção será de R$ 100 por peça.
Observando que as peças poderão ser vendidas por R$ 500 cada uma e que o projeto terá 5
anos de duração, calcule o ponto de equilíbrio (“break-even”) no volume de peças a ser
produzido.
Resposta 746 peças
4.8.12 Que taxa nominal de juros mensal composta trimestralmente equivalente a uma taxa
de 9,4% a.m. (composta mensalmente)?
Resposta 10,3%
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4.8.13 Uma taxa de juros nominal de 52% a.a., paga trimestralmerite, durante um ano, cuja
inflação foi de 40%, equivale a que taxa de juros mensal efetiva realmente paga? Caso os 52%
sejam pagos mensalmente, qual seria a taxa mensal real paga?
Resposta a) 1,28%a.m. efetivo real; b) 1,45% a.m. efetivo real
4.8.14 Dados os fluxos:
a) R$ 2.300 em t = 0, R$ 2.100 em t = 1, R$ 1.900 em t = 2, R$ 1.700 em t = 3, R$ 1.500 em t
= 4, R$ 1.300 em t = 5;
b) R$ 1.300 em t = 0, R$ 1.500 em t = 1, R$ 1.700 em t = 2, R$ 1.900 em = 3, R$ 2.100em t =
4, R$ 2.300 em t = 5.
pede-se para calcular os equivalentes uniformes anuais dos dois fluxos com i = 15%.
Observando que a soma das parcelas é idêntica para os dois fluxos, explique por que os
equivalentes anuais calculados resultaram diferentes.
4.8.15 Dada uma taxa de desconto i = 10%, calcular o equivalente uniforme anual do fluxo:
V0=V1=V2=V3=100; V4 =150; V5=200; V6= 250; V7 = 300; V8=350; V9=400; V10=200.
Resposta R$208,00
4.8.16 Uma obra pública, financiada a uma taxa de juros de 12% ao ano, iria resultar, segundo
o Projeto, no seguinte fluxo anual em milhares de reais: V0= —R$ 1.000; V1 = —R$ 3.000; V2
=V3=...=V20=R$ 770; V27=V28=0.
Porém, devido a contratempos, resultou em:
V0= —R$ 1.000; V1 = —R$ 3.600; V2 = —R$ 800; V3 = 0; V4=V5=...=V28=R$ 731,50
Qual a percentagem de diminuição do benefício líquido? (Sugestão: Calcule valores atuais.)
Resposta Va1=R$ 1.714.000,00; Va2= - R$ 768.000,00
Diminui 145%
4.8.17 Uma companhia deve optar por um dos investimentos A ou B abaixo descritos. Seja, i o
custo de oportunidade (ou taxa mínima de retorno aceitável) com que a companhia raciocina.
Para que valores de i o investimento A será preferível ao investimento B?
T
0
1
2
3
4
A
-10.000
3.000
3.000
3.000
5.000
B
-12.000
3.000
3.000
3.000
7.500
Resposta 5,74%
50
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4.8.18 Usando uma taxa de desconto de 10%, calcule o ponto de equilíbrio (quantidade de
peças) entre as alternativas:
a) comprar a peça fora a um custo unitário de R$ 100;
b) fabricar por meio da compra de uma máquina por R$ 1.000.000, que irá durar oito (8) anos
e produzirá a um custo variável unitário de R$ 20.
Resposta R$ 2.343,00
4.8.19. Uma imposição do Governo, com o intuito de limitar os juros cobrados nas vendas a
prestação, foi a de estabelecer que o montante pago pelo cliente não poderia exceder 30% a
mais que o valor da mercadoria à vista.
Analisemos a estratégia de um lojista.
Seja V o preço à vista de uma mercadoria, já incluindo o lucro normal do lojista. Seja 0,20V a
entrada e o restante a ser pago em 10 prestações mensais iguais 0,11V.
Determine a taxa de juros real cobrada ao ano.
Resposta 100%a.a.
4.8.20 Considere uma dívida de R$ 100.000,00 a ser resgatada em 25 prestações com 4% de
juros ao período. Depois de quantas prestações o valor da prestação do sistema “PRICE’ passa
a ser superior ao do SAC?
Resposta: Após dez prestações.
4.8.21. Uma pessoa fez um empréstimo de X a juros de 4% ao mês e saldou a dívida pelo SAC
em dez prestações. A soma dos valores nominais das prestações foi de R$ 50.000,00. Se a
mesma dívida tivesse sido paga pelo Sistema “PRICE’, qual seria a soma dos valores nominais
das prestações?
Resposta: R$ 50.530,00
4.8.22 R$ 200.000,00 foram financiados em 20 prestações mensais pelo SAC com juros de 80%
a.a. através de uma financeira. A financeira pretende vender os títulos da dívida por R$
220.000,00. Qual a taxa que a pessoa que comprar os títulos irá “ganhar”?
Resposta:i=3,8%
4.8.23 Uma dívida de R$ 500.000,00 foi contraída nas seguintes condições:
—pagamentos em oito prestações mensais, iguais (sistema “Price”);
—juros de 12% ao mês.
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Após o pagamento da terceira prestação, o saldo devedor foi renegociado nos seguintes
termos:
—o saldo devedor seria pago em 15 prestações (“Price”) mensais;
-juros de 15% ao mês.
Calcule o valor da prestação da dívida renegociada.
Resposta: R$ 62.050,00
4.8.24. Uma dívida de R$ 500.000,00 foi amortizada pelo SAC com juros de 5% ao semestre.
Foram pagas pontualmente quatro das doze prestações semestrais e então a dívida foi
renegociada pelo sistema Price em 10 prestações semestrais com juro de 6% a.s. Qual o saldo
devedor após o pagamento da quinta prestação pelo Sistema Price?
Resposta.: R$ 190.775,00
4.8.25. Um empréstimo de R$ 10.000,00 nas seguintes condições:
— Sistema Price;
— 25 prestações mensais;
— juro de 2% ao mês;
— taxa de abertura de crédito de R$ 250,00.
Foi saldado pontualmente até a décima prestação.
Juntamente com a décima prestação, o devedor saldou a dívida pagando R$ 6.500,00. Calcule:
a) o custo do dinheiro para o tomador (quantos por cento ao mês o tomador pagou
considerando o negócio como um todo?)
b) qual era o saldo devedor?
c) se um terceiro tivesse adquirido os 15 títulos restantes por R$ 6.000,00 qual teria sido a taxa
de retorno dele (desse terceiro)?
Resposta: a) i = 2,25%
b) R$ 6.581,00
c) i=3,26%
4.8.26. Qual a taxa efetiva mensal de 24% a.a. capitalizados semestralmente?
Resposta: 1,9068%a.m.
4.8.27 Num empréstimo com prazo de três meses, são descontados 22% antecipadamente.
Qual a taxa efetiva mensal?
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Resposta: 8,6347%a.m.
4.8.28 Qual a melhor alternativa: Banco A anuncia 40% a.a. por 30 dias corridos (21 dias úteis);
Banco B anuncia 3,25% para 33 dias corridos (24 dias úteis)?
Resposta: O banco A rende o equivalente a 3,2564% em 24 dias úteis e praticamente empata
com o banco B.
4.8.29. Qual a taxa de retorno do investimento a seguir:
Resposta: 6,6279% no período
4.8.30. Em 1/04/09 um investidor adquiriu um título por R$ 100.000,00 para ser resgatado em
seis meses a 2% a.m. Em 1/07/09 um segundo investidor propõe ao primeiro a aquisição
desse título. Quanto deve oferecer, se sua seu custo de oportunidade é de 2,5% a.m.?
Resposta: R$ 102.024,76
4.8.31. Qual a taxa equivalente:
a) Anual a 42% ao ano capitalizada mensalmente?
b) Trimestral de 50% ao ano capitalizada semestralmente?
c) Trimestral de 15% ao mês?
d) Semestral da seguinte transação: empresto-te 500 para devolveres 1.000 em um mês?
e) Bimestral de 50% ao ano capitalizada trimestralmente?
f) Trimestral de 25% ao mês?
Resposta:
a) 51,107% a.a.
b) 11,803% a.t.
c) 52,087% a.t.
d) 6,300% a.s.
e) 8,169 a.b.
f) 95,513% a.t.
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4.8.32. Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %):
a) 5% ao mês de correção monetária mais 10% ao trimestre de juros.
b) 2% à quinzena de correção cambial mais 15% ao ano de juros.
Resposta:
a) 62,15 a.s. b) 36% a.s.
4.8.33. Um empréstimo de US$ 1.000 feito em 12 de dezembro/97 foi resgatado em 12 de
junho/98, sendo a taxa de juros de 2% ao mês. Calcule o valor pago em US$, sabendo que:
Valor do US$ em 12 de dezembro de 1997: R$ 1,11
Valor do US$ em 12 de junho de 1998: R$ 1,15
Obs: Cotações hipotéticas.
Resposta:
R$ 1.295,09.
4.8.34 Qual a taxa efetiva anual de:
a) 60% ao ano com capitalização trimestral
b) Correção monetária de 1% ao mês e juros de 12% ao ano
c) 30% ao semestre com capitalização quinzenal
d) 50% ao ano com correção monetária de 15% ao trimestre
Resposta:
a) 74,90 a.a. b) 26,20% a.a.
c) 80,87% a.a.
d) 162,35% a.a.
4.8.35. Um empréstimo de R$ 100.000,00 em dólares deve ser pago no final de dois anos com
juros de 1% ao mês. Quanto deverá ser devolvido se a valorização do dólar for de 25% ao
semestre em relação à R$?
Resposta: R$ 309.993,81
4.8.36. Calcule a taxa global mensal de juros a ser paga por um empréstimo no exterior sujeito
a uma taxa de juros prime de 10% ao ano, mais um spread de 1%. Admita que neste
empréstimo o banco estrangeiro exija que a empresa aplique 10% do valor do empréstimo na
compra de um equipamento que poderia ser comprado no mercado nacional pela metade do
valor. Admita ainda que a empresa espera uma valorização do dólar em relação a nossa moeda,
de 5% ao mês. O empréstimo será pago de forma integral ao final de um ano.
Resposta: 6,37%
4.8.37. Um empréstimo de R$ 10.050 será saldado em três prestações iguais e mensais de R$
4.000, sendo que a primeira vencerá em 60 dias. Calcule a taxa real de juros (não confundir
com taxa global) cobrada, sabendo que foi prevista uma inflação de 3% ao mês no período.
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Engenharia Econômica
Demétrio E. Baracat
Resposta: 3,04% ao mês.
4.8.38. Em fevereiro de 1993, uma pessoa comprou R$ 200.000,00 em dólares e depositou-os
em um banco uruguaio, o qual lhe garantiu um rendimento de 3,5% ao semestre. A valorização
do dólar em relação a nossa moeda foi de 32% ao mês nesse semestre e a inflação foi de 31,5%
ao mês. A diferença entre o preço de compra e venda do dólar é de 1%. Calcule:
a) Quantas R$ foram obtidas em agosto com a venda dos dólares depositados.
b) Qual o ganho real obtido, expresso em uma porcentagem mensal.
Resposta: a) R$ 1.084.049,53
b) 0,788%
4.8.39 Um empréstimo de R$ 40.000 pelo sistema Price, em 10 prestações trimestrais e taxa de
10% ao trimestre, foi saldado pontualmente até a quarta prestação. Após essa prestação, a
dívida foi renegociada pelo SAC em oito prestações na mesma taxa. Calcule o valor da primeira
prestação pelo SAC.
Resposta: R$ 6379,19
4.8.40. O banco quer emprestar ganhando 1,5% a.m. acima da inflação. Que taxa anual global
deve cobrar para uma inflação estimada em 17% a.a.?
Resposta: 39,89% a.a.
4.8.41. Uma financeira está cobrando 7,5% a.m.. Se a inflação é de 2% a.m., quanto ela está
cobrando de taxa real anual?
Resposta: 87,8% a.a
4.8.42. Considere o seguinte fluxo anual em reais, de um projeto voltado a exportação:
Se a estimativa da variação cambial for de 20, 25 e 30% a.a. e a inflação for estimada em 22; 28
e 35% para os próximos três anos, qual a taxa de retorno real estimada?
Resposta: 18,97% a.a.
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Engenharia Econômica
Demétrio E. Baracat
4.8.43 R$ 1.000.000 foram tomados a 11,68% a.a. num banco alemão, mais variação cambial,
para serem pagos em cinco prestações anuais pelo SAC. Elabore a planilha financeira para
variações cambiais de 36, 35, 38, 40 e 39% para os próximos cinco anos.
Resposta: Em milhares de Reais
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