Para cada uma das seguintes questões, seleccione a resposta correcta entre as
quatro alternativas que são indicadas, justificando a sua escolha.
1.
A função m : x → x
2
− x − 2 tem por representação gráfica.
A
C 1
B
D
1
2. Seja f uma função definida em |R . Sabe-se que:
•
•
•
existem limites laterais da função em x = a ;
f não é contínua em x = a ;
f ′ (a − ) < 0 e f ′ (a + ) > 0 (finitas ou infinitas).
Qual das seguintes afirmações é verdadeira:
A
f (a ) não pode ser mínimo de f.
B
f (a ) é mínimo de f se e só se existir limite no ponto a.
C
f (a ) é mínimo de f se e só se as duas derivadas laterais forem finitas.
D
f (a ) é um mínimo de f .
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3.
Sendo f uma função real definida num intervalo [a, b], afirma-se que:
( i ) Se a taxa de variação média de f em [a, b] é positiva, então f é crescente nesse
intervalo.
( ii ) Se f é continua nesse intervalo [a, b] e f(a) . f(b) < 0 então | f | tem pelo menos um
zero pertencente a esse intervalo.
Quanto à veracidade ou falsidade das afirmações anteriores:
A
C
B
são ambas verdadeiras.
D
( i) é falsa e ( ii ) é verdadeira.
( i ) é verdadeira e ( ii ) é falsa.
são ambas falsas.
4. Sabendo que o gráfico da função x → g (x) admite como assímptotas apenas as rectas
x = 1 , x = −2 e y = 3 , podemos concluir que o gráfico da função x → g ( x − 1) + 2
admite como assímptotas:
y = 5 ; x = 2 ; x = −1
A
C
B
y = 5 ; x = 0 ; x = −3
D
y = 1 ; x = 2 ; x = −1
y = 4 ; x = −4 ; x = −1
5. A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto A de abcissa 2. A derivada de f
no ponto 2 é:
y
A
1.
B
2.
f
t
2
A
C
D
1
.
2
3
.
4
1
2
x
0
2
6. A recta t é tangente ao gráfico de f no ponto (a , f ( a ) ) . Sabendo que f admite primeira
e segunda derivadas no ponto a , então podemos
y
concluir que:
x
a
t
A
f ' (a) ⋅ f ' ' (a ) > 0
B
f (a) ⋅ f ' ' (a) > 0
C
f ' (a) ⋅ f ' ' (a ) < 0 .
D
f (a) ⋅ f ' (a ) < 0 .
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7. Seja h( x) = π − x . Então lim [h(1) + h(2 ) + h(3) + ⋅ ⋅ ⋅ + h(n)] é igual a:
n→ +∞
1
π −1
A
1
1+ π
C
B
+∞
D
0
8. A representação gráfica de uma função g em [0, 2π ] é a seguinte:
Quanto à existência de assimptotas do gráfico da função
1
, no mesmo intervalo, pode afirmar-se que:
g
y
não existem.
B
são as rectas x = 0 , x = π
C
são as rectas x = 0 ,
D
são as rectas x = 0 , x =
e x = 2π
2π
π
0
A
x
9. Seja g a função cuja representação
gráfica é a semi-circunferência indicada ao
lado.
y =0.
1
e x=
π
1
2π
y
x
-3
3
Então, uma representação gráfica da função
derivada g ′ , pode ser:
A
B …
y
-3
y
3
x
-3
3
x
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C
D 1
y
y
-3
-3
3
x
x
3
10. Seja f uma função que satisfaz as seguintes condições:
• não existe limite no ponto 2;
• f ′(1) = f ′′(1) = 0
lim ( f ( x) + x − 2 ) = 0
•
x→ + ∞
Uma possível representação gráfica de f é:
A
B
1
y
y
2
2
1
1
x
1
x
2
2
1
C
D
1
y
y
2
2
1
x
1
2
1
x
1
2
-2
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11. A recta t é tangente ao gráfico da função h no ponto A de abcissa 4.
A Segunda derivada de h , no ponto 4:
y
A
t
é 2.
h
B
é
1
.
2
A
2
C
não existe.
D
é 0
x
0
4
12. Indique quantos são os pontos comuns aos gráficos das funções f e g definidas por
f ( x) = x 2
e
g ( x) = x
A
0
B
1
C
2
D
3
13. Na figura abaixo está uma representação gráfica de g’, derivada de uma certa função g.
y
2
x
0
A função h é definida por h(x)=g(x)+1. Nestas condições, uma representação gráfica de h’ ,
derivada de h , pode ser:
A
B
1
y
y
x
0
2
-2
0
x
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C
D
1
y
y
3
3
1
x
0
14. Na figura estão representadas:
x
0
y
r
•
Parte do gráfico de uma função f
diferenciável em |R
Uma recra r tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa 3
•
O valor de f’(3), derivada da função f
no ponto 3, pode ser igual a
A
-1
B
f
0
3
1
f (3)
C
2
D
1
15. De uma função g , de domínio |R, sabe-se que:
• g(0)=1
• g é estritamente crescente em [0, + ∞[
• g é par
Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira.
A
C
O contradomínio de g é [0, + ∞[
g é injectiva
B
D
g é estritamente crescente em |R
g não tem zeros
16. Na figura ao lado está parte da
representação gráfica de uma função s
de domínio |R.
y
1
-1
x
0
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Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação gráfica da função t
1
definida por t ( x) =
s( x )
A
B 1
y
y
-1
1
x
-1
0
1
x
0
C
D
1
y
y
-1
1
x
0
-1
1
x
0
17. Se a representação gráfica da função g é
y
-1
1
x
0
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Então a representação gráfica de g ′ pode ser
A
B 1
y
y
-1
-1
1
1
x
x
0
0
C
D
1
y
y
-1
-1
1
1
x
0
0
18. Considere a função g definida por g ( x) =
2x − 5
x −1
Indique qual o valor de lim+ g ( x)
x→ 1
A
0
B
2
C
−∞
+∞
D
19. Um projéctil é lançado verticalmente de baixo para cima.
Admita que a sua altitude h (em metros) , t segundos após Ter sido lançado, é dada pela
expressão
h(t ) = 100t − 5t 2
Qual é a velocidade (em metros por segundo) do projéctil, dois segundos após o
lançamento?
A
80
B
130
C
170
D
230
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x
20. De uma função h sabe-se que:
lim h( x) = 0
o domínio de h é ℜ+
lim h( x) = −∞
x→ +∞
x→ 0
Indique qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de h.
A
B
1
y
y
x
x
x
0
C
D
1
y
y
x
x
0
21. Seja g a função definida em ℜ por g ( x) = x 5 − x + 1 .
O teorema de Bolzano permite-nos afirmar que a equação g(x) = 8 tem pelo menos
uma solução no intervalo
A
] − 1, 0 [
B
] 0, 1 [
C
] 1, 2 [
D
] 2, 3 [
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22. Na figura estão representadas graficamente duas funções: f e g.
y
f
g
-1
0
os seguintes gráficos poderá ser o da função
A
x
2
f
?
g
B
1
y
y
0
-1
x
2
0
x
2
-1
C
D
y
1
y
-1
x
0
2
-1
x
0
2
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23.
Na figura junta está a
representação gráfica de uma função h
e de uma recta t , tangente ao gráfico
de h no ponto de abcissa a.
A recta t passa pela origem do
referencial
e
pelo
ponto
de
coordenadas (6,3).
y
t
3
x
6
a
0
O valor de h′(a ) é
−
A
1
2
B
1
6
1
3
C
1
2
D
24. Considere as funções f e g de domínio |R, cujas representações gráficas se indicam a
seguir:
y
y
g
f
1
-2
2
-2
x
2
x
0
0
-1
A representação de f x g é:
A
B
1
y
y
-2
2
-2
x
2
x
0
0
C
D
1
y
y
-2
2
0
x
-2
x
0
2
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25. Na figura ao lado está a representação
gráfica de uma função f , da qual a recta t é
assímptota.
y
f
t
x
2
O valor de lim [ f ( x) − ( x − 2)] é:
-2
x→ + ∞
A
−∞
B
0
+∞
C
D
26. Na figura ao lado está parte da
representação gráfica de uma função g de
domínio |R e contínua em |R\{0}.
Considere a sucessão de termo geral Un =
1
y
1
n
2
1
Indique o valor de lim g (u n )
x
n→ + ∞
0
A
0
B
1
C
2
D
+∞
27. Numa certa localidade, o preço a pagar por mês pelo consumo de água é a soma das
seguintes parcelas:
•
•
•
500 escudos pelo aluguer do contador
200 escudos por cada metro cúbico de água consumido até 10 m3.
400 escudos por cada metro cúbico de água consumido para além de 10 m3.
Indique quais das funções seguintes traduz correctamente o preço a pagar, em escudos, em
função do número x de metros cúbicos consumidos.
A
⎧700 x, se x ≤ 10
a ( x) = ⎨
⎩500 + 400 x, se x > 10
⎧500 + 200 x, se x ≤ 10
B b( x ) = ⎨
⎩500 + 400 x, se x > 10
C
⎧500 + 200 x, se x ≤ 10
c( x) = ⎨
⎩2500 + 400 x, se x > 10
⎧500 + 200 x, se x ≤ 10
D d ( x) = ⎨
⎩2500 + 400 ( x − 10), se x > 10
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28. Seja f a função real de variável real cujo gráfico é
y
x
A
Então,
um gráfico de f (− x ) é
B
y
um gráfico de − f ( x ) é
y
x
C
um gráfico de f (− x ) é
x
D
um gráfico de − f ( x ) é
y
y
x
x
29. Seja f uma função real e contínua em |R tal que
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ ℜ
Então, pode concluir que:
A a função f é constante
B
a função f é periódica
C
D
a função f é impar
a função f é par
30. Considere os subconjuntos de ℜ , A = ] 0, 1 [ e B = ] − ∞, 0 [ U ] 0, + ∞ [ e sejam
f : A → ℜ e g : B → ℜ duas funções diferenciáveis tais que f ' ( x) > 0, ∀x ∈ A
e g ' ( x) < 0, ∀x ∈ B .
Das afirmações seguintes,
I . f é crescente em A.
II . g é decrescente em B.
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Pode concluir-se que:
e II são verdadeiras
A
I
C
I e II são falsas
B
I é verdadeira e II é falsa
D
I é falsa e II é verdadeira
31. Seja f uma função real de variável real, cujo gráfico é
y
1
-1
1
x
0
-1
Então um gráfico de f ′ é:
A
B
1
y
y
1
-1
1
x
-1
1
0
x
0
C
D
1
y
y
1
1
-1
1
0
x
-1
1
x
0
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32. A figura ao lado representa um gráfico da derivada
de uma função real f, de domínio ℜ .
y
Pode então concluir-se que:
A a função f tem um extremo relativo em x = 1 .
B a função f é decrescente em ]− ∞, 1]
x
0
C a função f é crescente em ℜ
1
D a concavidade do gráfico de f está sempre virada para cima.
33. Quais das funções cujos gráficos são os seguintes, têm um máximo relativo em x = a ?
f:
y
y
g:
x
0
x
a
a
0
y
y
j:
h:
x
0
A
f , g,
x
a
0
j.
B
g , h.
C
f , h.
a
D
j, g.
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34.
Se C (x) representa o maior inteiro menor ou igual a x, então a figura
y
x
-2
-1
0
1
2
3
4
C
x − C ( x)
Representa o gráfico da função
A
C ( x)
B
2 x − C ( x)
D
x + C ( x)
35. Seja f : ℜ + → ℜ uma função derivável verificando as quatro condições seguintes:
( i ) f (1) = 2;
( ii )
( iii ) lim f ( x) = 1
( iv ) ∀x ∈ ℜ +
x→ + ∞
lim f ( x) = + ∞
x→ 0+
f ' ( x) < 0
⎛1⎞
Seja g ( x) = f ⎜ ⎟ . Considere os seguintes esboços gráficos:
⎝ x⎠
y
y
II.
I.
2
2
1
0
0
x
1
x
1
y
y
IV.
III.
2
2
1
1/2
0
x
1
0
x
1
Podem ser gráficos de g
A
I e III
B
I e II
C
Apenas IV
D
Apenas I
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36. Seja f uma função real de variável real cujo gráfico é:
Então o gráfico da sua função derivada pode ser representado por:
A
B
1
C
D
|
37. Seja f : ℜ → ℜ uma função derivável tal que ∀x ∈ ℜ
concluir que
A
C
f ( x) = cos x .
f ' ( x) = − f ' (− x) .
B
D
f ( x) = − f (− x) , então pode
f ( x) = sen x .
f ' ( x) = f ' (− x) .
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38. A figura ao lado representa o gráfico
de uma função f real de variável real.
y
1
2
1
-2
x
0
-1
-1
Qual dos seguintes gráficos pode
representar a função g definida por
g ( x) = f ( x) − 1 ?
A
B
|
y
y
2
1
x
-2
0
-1
2
1
2
1
-2
x
0
-1
-1
C
D
|
y
y
2
1
-2
x
0
-1
x
-1
39. Seja f uma função contínua no intervalo [− 2, 2] tal que f ′(0) = 0 , f ′(1) não existe e
f ′′( x) < 0 para − 2 < x < 0 . Qual dos seguintes gráficos pode ser um gráfico de f ?
A
B
|
y
y
x
x
-2
0
1
2
-2
0
1
2
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C
D
|
y
y
x
x
-2
0
1
2
-2
0
1
2
40. A função f ( x) = x 2 − 2 x tem mínimo relativo:
A
Em 0, 1 e 2.
B Apenas em 0 e 2.
C Apenas em 1.
D Apenas em zero.
41. A figura representa o gráfico de uma função f ( x) : [0, d ] → ℜ .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A
C
f ′( x) ⋅ f ′′( x) ≥ 0,
f ′( x) ⋅ f ′′( x) ≥ 0,
] 0, a [ .
∀x ∈ ] b, c [ .
B
D
f ′( x) ⋅ f ′′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ] a, b [ .
f ′( x) ⋅ f ′′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ] c, d [ .
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42. A figura representa o gráfico de uma função f , real de variável real.
y
x
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A
B
C
lim f (x) = + ∞ e lim [ f ( x) − x] = + ∞
x→ + ∞
x→ + ∞
lim f ( x) = 0 e lim [ f ( x) − x] = + ∞
x→ − ∞
x→ + ∞
lim f ( x) = 0 e lim [ f ( x) − x] = 0
x→ − ∞
x→ + ∞
D lim f ( x) = + ∞ e lim [ f ( x) − x] = 0
x→ 0
x→ + ∞
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