Matemática
Financeira
2012
Capitalização Composta
Juros e Montante
Compostos
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Juros e Montantes Compostos
2012
Quando estuda-se juros simples a calcula-se o montante produzido por R$600,00, aplicados a
6% a.m. depois de 3 meses, tem-se um montante final de R$708,00.
No entanto é muito mais comum as aplicações serem feitas a juros compostos, ou seja, após
cada período de tempo, os juros são integrados ao capital, passando também a render juros,
como, por exemplo, nas cadernetas de poupança.
Vamos refazer esse problema de juros simples, agora utilizando-se juros compostos:
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Calcular o montante produzido por R$600,00, aplicados a 6% a.m. depois de 3 meses, tem-se
um valor de? R.: R$714,61.
Após o 1º. período (mês), o montante será:
1,06 x 600 = 636
Após o 2º. período (mês), o montante será:
1,06 x 636 = 674,16
Após o 3º. período (mês), o montante será:
1,06 x 674,16 = 714,61
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Juros e Montantes Compostos
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Esse é montante final, representado por M.
Observe que esse montante é maior do que o achado anteriormente quando utiliza-se juros
simples.
Assim como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma fórmula para cálculo de juros
compostos:
Sejam:
C = Capital Inicial
i = taxa
n = número de períodos
M = Montante
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Juros e Montantes Compostos
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Então:
Após o 1º. período (mês), o montante será:
M1 = C + i . C
M1 = C . ( 1 + i )
Após o 2º. período (mês), o montante será:
M2 = M1 + i . M1
M2 = M1 . ( 1 + i )
M2 = C . ( 1 + i )2
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Juros e Montantes Compostos
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Após o 3º. período (mês), o montante será:
M3 = M2 + i . M2
M3 = M2 . ( 1 + i )
M3 = ( C . ( 1 + i )2 ) . ( 1+ i )
M3 = C . ( 1 + i ) 3
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Juros e Montantes Compostos
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Procedendo-se de modo análogo, fica fácil concluir que, após “n” períodos de tempo, o valor
do montante Mn, que será indicado simplesmente por M, será:
M = C . ( 1 + i )n
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Juros e Montantes Compostos
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Assim, resolvendo novamente o problema apresentado, tem-se:
M = C . ( 1 + i )n
M = 600 x ( 1 + 0,06)3
M = 600 x ( 1,06)3
M = 600 x 1,191016
M = 714,61
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Juros e Montantes Compostos
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Na fórmula para o cálculo do M aparecem quatro variáveis. Pode-se encontrar qualquer uma
delas, desde que se conheçam as outras três:
Para poupar o trabalho algébrico de todos nós, que é necessário para isolar cada um dos três
elementos da fórmula básica dada anteriormente, apresenta-se, a seguir, os outros elementos,
já isolados:
M
C = ---------------( 1 + i )n
M
i = n√ ------- - 1
C
log M – log C
n = --------------------log ( 1 + i )
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Juros e Montantes Compostos
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Dá-se o nome de capitalização o processo de incorporação de juros ao capital (ou montante)
de uma operação financeira.
Contudo, é comum encontrarmos as expressões regime de capitalização simples e regime de
capitalização composta, no lugar de juros simples e juros compostos, respectivamente.
Frequentemente encontrar-se-á, nos enunciados dos problemas ou questões, outras
expressões usadas para indicar o regime de juros compostos, por exemplo:
 Taxa composta de X% a.m. – indicando juros compostos com a capitalização mensal;
 Taxa de x% a.a., capitalizado semestralmente – indicando juros compostos e
capitalização semestral.
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Um capital de R$200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% a.m.
Calcule o montante desta aplicação após três meses.
Dados:
C = 200
i = 20% a.m.
n = 3 meses
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Um capital de R$200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% a.m.
Calcule o montante desta aplicação após três meses.
Dados:
C = 200
i = 20% a.m.
n = 3 meses
M = C ( 1 + i )n
M = 200 x ( 1 + 0,20 )3
M = 200 x ( 1,2)3
M = 200 x 1,728
M = 345,60
Ou seja, o Montante da aplicação após os três meses resultará em R$ 345,60
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, pois, após cada mês,
os juros são incorporados ao capital. Nessas condições, qual o montante produzido por
R$720.000,00, em 4 meses, a 10% a.m.?
Dados:
C = 720.000
i = 10% a.m.
n = 4 meses
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, pois, após cada mês,
os juros são incorporados ao capital. Nessas condições, qual o montante produzido por
R$720.000,00, em 4 meses, a 10% a.m.?
Dados:
C = 720.000
i = 10% a.m.
n = 4 meses
M = C ( 1 + i )n
M = 720.000 x ( 1 + 0,10 )4
M = 720.000 x ( 1,10 )4
M = 720.000 x 1,4641
M = 1.054.152
O Montante final da aplicação após os quatro meses resultará em R$1.054.152,00
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Qual o capital aplicado em caderneta de poupança, que produz um montante de R$ 41.674,50
em 3 meses, a juros de 5% a.m.?
Dados:
C=
i = 5% a.m.
n = 3 meses
M = 41.674,50
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Qual o capital aplicado em caderneta de poupança, que produz um montante de R$ 41.674,50
em 3 meses, a juros de 5% a.m.?
Dados:
C=
i = 5% a.m.
n = 3 meses
M = 41.674,50
M
C = ------------( 1 + i )n
C = 41.674,50 / ( 1 + 0,05 )3
C = 41.674,50 / ( 1,05)3
C = 41.674,50 / 1,15763
C = 35.999,84
O Capital aplicado é de R$ 35.999,84.
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Determinar em quantos meses um capital de R$240.000,00 produz R$37.830,00 de
rendimento, quando aplicado a juros compostos de 5% a.m.
Dados:
C = 240.000
i = 5% a.m.
n=
J = 37.830
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Determinar em quantos meses um capital de R$240.000,00 produz R$37.830,00 de
rendimento, quando aplicado a juros compostos de 5% a.m.
Dados:
C = 240.000
i = 5% a.m.
n=
J = 37.830
Formula:
log M – log C
n = --------------------log ( 1 + i )
Precisamos acha o elemento que está faltando  o Montante
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Dados:
C = 240.000
i = 5% a.m.
n=
J = 37.830
M=C+J
M = 240.000 + 37.380
M = 277.380
log M – log C
n = --------------------log ( 1 + i )
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
Dados:
C = 240.000
i = 5% a.m.
n=
J = 37.830
M = 277.380
log M – log C
n = --------------------log ( 1 + i )
n = 12,53314369 - 12,38839420 / log 1,05
n = 12,53314369 - 12,38839420 / 0,04879016
n = 0,14474949 / 0,04879016
n = 3 meses
O capital ficou aplicado durante 3 meses
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
A que taxa percentual ao mês foi aplicado, em caderneta de poupança, um capital de
R$300.000,00 para, na quarta parte do ano, produzir um montante de R$347.287,50?
Dados:
C = 300.000
i=
n = 3 meses
J = 47.287,50
M = 347.287,50
M
i = n√ --------- - 1
C
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Juros e Montantes Compostos
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Exemplo:
A que taxa percentual ao mês foi aplicado, em caderneta de poupança, um capital de
R$300.000,00 para, na quarta parte do ano, produzir um montante de R$347.287,50?
Dados:
C = 300.000
i=
n = 3 meses
J = 47.287,50
M = 347.287,50
M
i = n√ --------- - 1
C
i = 3√ 347.287,50 / 300.000,00 - 1
i = 3√ 1,157625 - 1
i = 1,05 – 1
i=5
A taxa foi de 5% a.m.
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Desconto Composto
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Desconto é a diferença entre o valor nominal (valor de face ou valor futuro) de um título de
crédito e o seu valor atual (valor presente).
Sendo:
N = valor nominal (valor de face ou valor futuro)
A = valor atual (valor presente)
D = desconto composto
i = taxa
n = período ou prazo
D=N–A
N
A = ---------------( 1 + i )n
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Desconto Composto
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Exemplo:
Quero liquidar, três meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo
valor nominal é de R$ 100,00. Sabendo-se que o Banco credor utiliza uma taxa de desconto
composto de 3% a.m., ache o valor atual desse título e o valor do desconto.
Dados:
N = 100
A=
D=
i = 3% a.m.
n = 3 meses
D=N–A
N
A = ---------------( 1 + i )n
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Desconto Composto
Exemplo:
Quero liquidar, três meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo
valor nominal é de R$ 100,00. Sabendo-se que o Banco credor utiliza uma taxa de desconto
composto de 3% a.m., ache o valor atual desse título e o valor do desconto.
Dados:
N = 100
A=
D=
i = 3% a.m.
n = 3 meses
N
A = ---------------( 1 + i )n
A = 100 / ( 1 + 0,03 ) 3
A = 100 / 1.092727
A = 91,51
D = N – A  100 – 91,51 = 8,49
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O valor do título será de R$ 91,51m e o desconto
concedido será de R$ 8,49
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2012
Exercícios
1) Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanto
tempo essa quantia rendeu R$23.205,00. (Resposta: 4 meses)
2) Determine quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 200.000,00 a juros compostos,
nos seguintes casos:
1) O montante foi de R$ 292.820,00, a 10% a.m.; (Resposta: 4 meses)
2) O montante foi de R$ 203.015,02, a 0,5% a.d.; (Resposta: 3 dias)
3) Determine o capital que, aplicado a juros compostos, produz:
1) Um montante de R$ 13.996,80, em 2 meses, a 8% a.m. (Resposta: 12.000)
2) Um montante de R$ 224.972,80, em 3 meses, a 4% a.m. (Resposta: 200.000)
4) A quantia de R$ 60.000,00 foi aplicada a juros compostos. Determine o montante obtido,
conforme solicitado abaixo:
1) Depois de 2 meses, a 8% a.m. (Resposta: R$ 69.984,00)
2) Depois de 3 dias, a 0,2% a.d. (Resposta: 60.360,72)
3) Depois de 4 meses, a 7% a.m. (Resposta: 78.647,76)
4) Depois de um quarto de ano, a 10% a.m. (Resposta: R$ 79.860,00)
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Exercícios
5) Um título de valor nominal igual a R$ 200.000,00, foi liquidado 6 meses antes de seu
vencimento utilizando-se de taxa de desconto composto mensal de 7% a.m., qual foi o
valor pago no dia da liquidação desse título? (Resposta: R$ 133.268,44)
6) Uma nota promissória, de valor de face igual a R$ 71.500,00, foi paga antes do vencimento
á taxa de juros compostos de 3% a.m.. O prazo na qual foi liquidada antecipadamente
essa nota promissória foi de 4 meses. Qual o valor pelo qual a nota promissória foi
liquidada? (Resposta: R$ 63.526,82)
7) Usando-se a taxa de desconto composto de 5%a.m., achar o valor atual do fluxo de caixa
(para 1º. De janeiro) de uma empresa que tem a seguinte previsão pra o ano: (Resposta:
R$ 239.383,81)
Recebimentos:
Pagamentos
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1º. Fev
-
400.000,00
1º. Nov
-
600.000,00
1º. Mai
-
300.000,00
1º. Dez
-
450.000,00
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Exercícios
1) Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanto
tempo essa quantia rendeu R$23.205,00. (Resposta: 4 meses)
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Exercícios
2) Determine quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 200.000,00 a juros compostos,
nos seguintes casos:
1) O montante foi de R$ 292.820,00, a 10% a.m.; (Resposta: 4 meses)
2) O montante foi de R$ 203.015,02, a 0,5% a.d.; (Resposta: 3 dias)
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Exercícios
3) Determine o capital que, aplicado a juros compostos, produz:
1) Um montante de R$ 13.996,80, em 2 meses, a 8% a.m. (Resposta: 12.000)
2) Um montante de R$ 224.972,80, em 3 meses, a 4% a.m. (Resposta: 200.000)
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Exercícios
4) A quantia de R$ 60.000,00 foi aplicada a juros compostos. Determine o montante obtido,
conforme solicitado abaixo:
1) Depois de 2 meses, a 8% a.m. (Resposta: R$ 69.984,00)
2) Depois de 3 dias, a 0,2% a.d. (Resposta: 60.360,72)
3) Depois de 4 meses, a 7% a.m. (Resposta: 78.647,76)
4) Depois de um quarto de ano, a 10% a.m. (Resposta: R$ 79.860,00)
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Exercícios
5) Um título de valor nominal igual a R$ 200.000,00, foi liquidado 6 meses antes de seu
vencimento utilizando-se de taxa de desconto composto mensal de 7% a.m., qual foi o
valor pago no dia da liquidação desse título? (Resposta: R$ 133.268,44)
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Exercícios
6) Uma nota promissória, de valor de face igual a R$ 71.500,00, foi paga antes do vencimento
á taxa de juros compostos de 3% a.m.. O prazo na qual foi liquidada antecipadamente
essa nota promissória foi de 4 meses. Qual o valor pelo qual a nota promissória foi
liquidada? (Resposta: R$ 63.526,82)
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2012
Exercícios
6) Usando-se a taxa de desconto composto de 5%a.m., achar o valor atual do fluxo de caixa
(para 1º. De janeiro) de uma empresa que tem a seguinte previsão pra o ano: (Resposta:
R$ 239.383,81)
Recebimentos:
Pagamentos
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1º. Fev
-
400.000,00
1º. Nov
-
600.000,00
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-
300.000,00
1º. Dez
-
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