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TÓPICOS DE REVISÃO
MATEMÁTICA I
MÓDULO 1 : Matemática
comercial e financeira
3a Série – Ensino Médio
Prof. Rogério Rodrigues
NOME : ..................................................... Número : ......Turma : ......
2
1) Razões e proporções :
Uma forma de comparar duas grandezas semelhantes medidas é na forma
denominada razão, onde cada unidade de uma delas é associada a um número de
unidades correspondentes da outra . Então , se as grandezas são a e b, a razão entre
a
elas é
, que se lê “ a está para b” . Supondo que b seja o dobro de a,
b
a 1
= (lê-se : “a está para b , assim como 1 está para 2” ).
teremos
b 2
Exemplos:
a)Uma barra de metal quando aquecida dilata 2 mm para cada 2 cm de seu
2 mm
comprimento . Então , a razão que mede a dilatação da barra é
cujos
2 cm
2
1
1
ou
. Neste caso , a razão
é
termos expressos na mesma unidade no dão
20
10
10
chamada de Coeficiente de dilatação do metal , ou seja , para cada 10 milímetros
de comprimento da barra , ela dilatará 1 milímetro .
b)Um trabalhador recebeu 5% de reajuste salarial . Isso significa que para cada
R$ 100,00 que ele recebia antes do reajuste passou a receber R$ 5,00 a mais.
5
1
Então, dizemos que a razão de seu reajuste foi de
ou
.
100
20
c) Se duas esferas têm raios 9 cm e 27 cm, dizemos que a razão entre seus raios
1
( 1 para 3) .
é de
3
Se duas razões são iguais , isso é indicado através da expressão matemática chamada
de Proporção . Então, uma proporção é uma igualdade entre razões, assim
a c
=
, com b ≠ 0 e d ≠ 0 ( a está para b , assim como c está para d )
b d
→ Na proporção acima , os termos a e c são chamados de antecedentes e os
termos b e d são chamados de conseqüentes .
→ A mesma proporção anterior poderia ser escrita como a : b = c : d e , por isso ,
os termos a e d são chamados de extremos e os termos b e c são chamados de
meios .
→ Propriedade fundamental das proporções : Numa proporção, o produto dos
meios é igual ao produto dos extremos .
3 9
Exemplo : Na proporção
=
, temos 3 . 15 = 9 . 5.
5 15
3
→ Uma proporção não se altera quando suas razões são multiplicadas ou
divididas por um mesmo número.
Exemplos:
a) A proporção
teremos
2 4
= , onde se vê que 2 . 6 = 4 . 3 .
3 6
b) A proporção
Teremos
1 2
=
não será alterada se multiplicarmos suas razões por 2 .Aqui
3 6
9 18
=
não será alterada se dividirmos suas razões por 3 .
5 10
3 6
= , onde 3 . 6 = 3. 6.
3 6
a c
= , com b ≠ 0 e d ≠ 0 ainda será uma proporção se
b d
b d
- trocarmos de posição os antecedentes e os conseqüentes : = ;
a c
d c
- trocarmos de posição os extremos : = ;
b a
a b
- trocarmos de posição os meios : = ;
c d
d b
- trocarmos de posição os antecedentes e também os conseqüentes : = ;
c a
c a
- trocarmos de posição as razões : = .
d b
→ Uma proporção
→ É comum se referir aos termos a , b , c e d da proporção
a c
=
como 1o
b d
termo , 2o termo , 3o termo e 4o termo , respectivamente .
→ Outras propriedades das proporções : Na proporção
ainda valem as seguintes propriedades :
a±b c±d
=
e
a
c
a±c a c
= =
•
b±d b d
a.c a 2 c 2
•
=
=
b.d b 2 d 2
•
a±b c±d
=
b
d
a c
= com b ≠ 0 e d ≠ 0 ,
b d
4
2) Grandezas proporcionais :
Em nosso cotidiano é muito comum lidar com grandezas que se relacionam
matematicamente. E , na maioria das vezes , isso se dá de modo tão intuitivo , que nem
nos preocupamos com a maneira segundo a qual tais grandezas variam .
O carro hoje é um bem que deixou de ser um luxo pra ser uma necessidade.
Quando lidamos com carros no nosso dia a dia, percebemos intuitivamente
que:
→ Se devemos fazer uma viagem de quilômetros, quanto maior o trajeto,
maior será o tempo de viagem .
→ Mas, quanto maior for a velocidade, menor será o tempo de viagem .
Observe , como uma mesma situação contextual pode exibir pares de grandezas que
se comportam de modos tão diferentes. No primeiro par, a grandeza comprimento do
trajeto e a grandeza tempo de viagem se comportam assim: Se o comprimento do
trajeto aumentar, o tempo de viagem também aumenta e, se ao contrário, o
comprimento do trajeto diminuir, o tempo de viagem também diminui. Mas, no segundo
par, as grandezas velocidade e tempo de viagem se comportam de modo bem
diferente: Quanto mais se aumenta a velocidade, mais o tempo de viagem diminui e, se
a velocidade diminui , o tempo de viagem aumenta .
Grandezas que se comportam como no primeiro par, são chamadas de grandezas
diretamente proporcionais . As que se comportam com no segundo par, são ditas
grandezas inversamente proporcionais.
Muitos outros pares são exemplos desses tipos de relações entre grandezas:
→ A área de um lote e o preço do lote . (diretamente proporcionais )
→ O número de pessoas de uma comunidade e o tempo que o estoque de comida
dessa comunidade vai durar. (inversamente proporcionais)
→ O preço do pacote de feijão e seu peso . (diretamente proporcionais)
→ O comprimento de uma mola , pressionada contra uma parede , por uma força e o
tamanho dessa força . ( inversamente proporcionais )
→ E muitos outros . . .
Se uma seqüência de números a1 , a2 , a3 , a4 , ... an é diretamente
proporcional a outra seqüência b1 , b2 , b3 , b4 , ... bn , então a razão entre os
termos correspondentes é constante e se chama Razão de proporcionalidade :
a
a1
a
a
a
= 2 = 3 = 4 . . . n = k (Razão de proporcionalidade)
b1
b2
b3
b4
bn
5
Exemplos :
1o) 1 , 2 , 3 , 5 , 6
e
3 , 6 . 9 , 15 , 18
são diretamente proporcionais , pois :
1 2 3 5 6
= = = =
= k (Razão de proporcionalidade)
3 6 9 15 18
2o) 3 , 4 , 5 , 6 , 8
pois :
e
6 , 8 , 10 , 12 , 16
também são diretamente proporcionais ,
3
4
5
6 8
1
=
=
=
= = = k (Razão de proporcionalidade)
6
8
10 12 16 2
Se uma seqüência de números a1 , a2 , a3 , a4 , ... an é inversamente proporcional
a outra seqüência b1 , b2 , b3 , b4 , ... , bn , então o produto entre os termos
correspondentes é constante e se chama Razão de proporcionalidade :
a 1 . b1 = a 2 . b 2 = a 3 . b 3 = a 4 . b 4 = . . . = a n . b n = k
(k = Razão de proporcionalidade)
Exemplos:
1o) Os números 1 , 2 , 3 , 4 são inversamente proporcionais a 12 ,6 ,4 , 3 , pois
1 . 12 = 2 . 6 = 3 . 4 = 4 . 3 = 12 = k (Razão de proporcionalidade)
2o) Os números 3 , 4 , 7 , 8 são inversamente proporcionais a 56 , 42 , 24 , 21 , pois
3 . 56 = 4 . 42 = 7 . 24 = 8 . 21 = 158 = k (Razão de proporcionalidade)
3) A divisão proporcional :
No cotidiano , muitos problemas tratam de dividir um determinado número em
partes proporcionais a outros números dados .Essas divisões podem ser em partes
direta ou inversamente proporcionais aos números dados . Veja bem a estrutura
algébrica desses problemas a seguir .
a) Dividir um número x em partes diretamente proporcionais a a1 , a2 , ... e an
Supondo que as partes encontradas sejam x1 , x2 , ... e xn , teremos:
 x1 + x 2 + ... + x n = x

xn
 x1 x 2
 a = a = ... = a
2
n
 1
b) Dividir um número x em partes inversamente proporcionais a a1 , a2 , ... e an
.Supondo que as partes encontradas sejam x1 , x2 , ... e xn , teremos:
 x1 + x 2 + ... + x n = x

 x1 a1 = x 2 a 2 = ... = x n a n
6
Exercícios resolvidos :
1) Três amigos A, B e C resolveram juntar um dinheiro, com esse dinheiro
comprar latas de refrigerantes e revendê-las com o maior lucro possível. Depois
eles dividiriam o lucro total em partes proporcionais às contribuições em dinheiro
de cada um . O amigo A contribuiu com R$ 200,00, o amigo B contribuiu com
R$ 250,00 e o C contribuiu com R$ 350,00 . Se , no final da venda dos
refrigerantes , constatou-se um lucro de R$ 720,00, quanto cada um dos três vai
receber do lucro?
Resolução :
Sejam a , b e c as partes que cada um dos três vão receber . Então, teremos:
a + b + c = 720

b
c
 a
 200 = 250 = 350
ou
a b c
= =
4 5 7
a b c
= = = k e , neste caso,
4 5 7
a = 4k , b = 5k , c = 7k e a + b + c = 16k = 720 , sendo k = 45 . Então , a = 180 reais,
b = 225 reais e c = 315 reais.
Se a razão de proporcionalidade acima é k , temos
Esse problema poderia ter sido resolvido também por uma das propriedades das
proporções , assim :
a+b+c a b c
720 a b c
= = =
ou seja
= = =
, de onde se conclui que a = 45
4+5+7 4 5 7
16
4 5 7
reais, b = 225 reais e c = 315 reais .
2) Quatro garçons de uma lanchonete vão receber uma bonificação de R$ 720,00
divididos de acordo com a freqüência de cada um durante um determinado
período . O garçon A faltou 2 vezes naquele período , o garçon B faltou 3 vezes ,C
faltou 5 vezes e D faltou 6 vezes . Quanto vai receber cada garçon?
Resolução :
Sejam a , b , c e d, respectivamente, as partes da bonificação dos garçons A, B, C
e D. Então, temos
a + b + c + d = 720

2a = 3b = 5c = 6d = k (razão de proporcionalidade inversa)
k
k
k
k
k k k k
Então, a =
, b =
, c =
e d =
. Daí,
+ + + = 720 e
2
3
5
6
2 3 5 6
15k + 10k + 6k + 5k
= 720 ⇒ 36k = 30 . 720 ⇒ k = 600 e a = 300 reais, b = 200
30
reais, c = 120 reais e d = 100 reais .
7
Exercícios Propostos :
a) Numa brincadeira com seus cinco filhos, Armando escondeu, nos limites de sua
casa, 16 cartões “vale -brinde” iguais e prometeu dividir um prêmio de R$
1.600 ,00 entre eles, de modo proporcional ao número de cartões que eles
conseguissem encontrar. Amanda encontrou 4 cartões, Bernardo encontrou 3,
Cecília 2 , Tiago 5 e Túlio 2 . Quanto vai ganhar Bernardo?
b)Um determinado imposto é tal que pode sofrer reduções de modo proporcional
aos investimentos do contribuinte em obras filantrópicas . Num determinado ano,
uma contribuição de R$ 14.800 ,00 , a ser recolhida de três contribuintes , deveria
ser dividida entre eles de acordo com o investimento de cada um em obras
filantrópicas ; o contribuinte A investiu R$450.000,00 , o contribuinte B investiu R$
600.000,00 e o contribuinte C investiu R$ 800.000,00. Quanto pagará da tal
contribuição o contribuinte B?
c) Uma companhia de energia elétrica , premiando o consumidor que economiza ,
resolveu dividir um prêmio de R$ 4.578,00 entre quatro consumidores sorteados,
um de cada região da cidade . A divisão teria como critério o número de kwh de
cada um durante os três últimos meses. O consumidor da região norte da cidade
consumiu, nos últimos três meses, 240 kwh; o consumidor da região sul consumiu
220 kwh, o da região leste consumiu 200 kwh e o da região oeste consumiu 180
kwh. Que parte do prêmio receberá o consumidor da região oeste?
d) Uma prova escrita deveria ser composta de 39 questões de Matemática ,
Português , História e Geografia , sendo que o número de questões de cada
disciplina seria de acordo com os pesos de cada disciplina na instituição.
Matemática tem peso 4 , Português tem peso 5 , História e Geografia têm peso 2 .
Quantas questões de Português deverá ter a prova ?
.............................................................................................................................................
Respostas: a) R$ 300,00 b) 4.800,00 c) R$ 1.320,00 d) 15 questões
.............................................................................................................................................
8
4) A regra de três :
Muitos são os problemas de grandezas proporcionais que envolvem
simultaneamente várias grandezas. Para tais problemas, existe um recurso de
resolução muito conhecido chamado de Regra de três .
a) A regra de três simples: Envolve apenas duas grandezas proporcionais . Veja as
convenções e conceitos envolvidos no processo de resolução , através dos
exemplos a seguir . Indicaremos com setas a proporcionalidade direta ou inversa entre
as grandezas .
Exemplo 1:
Se 200 trabalhadores concluem uma obra em 15 dias, em quantos dias 150
trabalhadores concluiriam a mesma obra , nas mesmas condições anteriores?
RESOLUÇÃO:
Observe as grandezas número de trabalhadores e tempo de duração da obra
dispostas em duas colunas:
número de trabalhadores
tempo de duração da obra(dias)
200
.............................................. 15
150
.............................................. x
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna do x e depois ,verificando
que quando o número de trabalhadores diminui, o tempo de duração da obra
aumenta; portanto as duas grandezas são inversamente proporcionais. Então, a seta
da coluna da esquerda deve ter sentido contrário à da coluna do x. Isso é
fundamental na formulação da resolução , pois uma das razões expressas nas
colunas deverá ser invertida; inverteremos a coluna da esquerda:
150
15
=
200
x
⇒ 150x = 3000
⇒ x = 20 dias .
Exemplo 2 :
Um pintor sabe que 12 latas de tinta é suficiente para pintar 360 m2 de
superfície. Guardando as mesmas proporções, quantos metros quadrados de superfície
se pode pintar com 15 latas de tinta?
RESOLUÇÃO:
Dispondo-se as duas grandezas (número de latas e área da superfície) em
colunas, temos as duas setas voltadas para o mesmo sentido, pois as grandezas
são diretamente proporcionais, já que quanto maior a superfície, mais tinta se
consome:
número de latas
área da superfície
12
.............................
360
15
.............................
x
9
Então ,
12
360
=
⇒ 12x = 360 . 15 ⇒ x = 450 m2.
15
x
b) A regra de três composta : Envolve mais de duas grandezas e a coluna da
incógnita é igual ao produto das outras , observando a proporcionalidade .
Exemplo 1:
Vinte operários constroem 4.000 m de estrada em 12 dias , trabalhando 6 horas
por dia . Em quantos dias, 30 operários construirão 6.000 m de estrada, trabalhando
8 horas por dia?
RESOLUÇÃO:
Dispondo-se as grandezas em colunas , vamos agora verificar a proporcionalidade
entre a grandeza da incógnita x e cada uma das outras .Então, com a primeira seta
colocada na coluna do x, temos:
- número de operários é inversamente proporcional ao número de dia ; quanto
mais operários trabalhando , menor é o tempo de duração da obra ; seta contrária
à do x .
- comprimento da obra e número de dias são diretamente proporcionais; quanto
maior o comprimento da obra, maior é seu tempo de duração; seta no mesmo sentido
da seta do x .
- horas por dia e número de dias são inversamente proporcionais; quanto mais
se trabalha por dias, menos dias se tem que trabalhar; seta contrária à do x.
número de operários
20
30
comprimento da obra número de dias
4.000
12
6.000
x
horas/dia
6
8
12
30 4.000 8
=
, onde as colunas de setas contrárias à do x foram
x
20 6.000 6
invertidas. Efetuando as simplificações do lado direito da equação, teremos
12
4
=
⇒ 4x = 36 ⇒ x = 9 dias.
x
3
Então, temos:
Exemplo 2 :
Quatrocentos quilos de ração alimentam 600 frangos durante 40 dias, servindo-se 4
vezes ao dia. Quantas vezes se pode servir ao dia, para que 300 quilos de ração
alimentem 400 frangos durante 60 dias?
RESOLUÇÃO :
Do mesmo modo anterior temos:
Quantidade de ração número de frangos
400 ..................... 600
.........
300 ..................... 400
.........
tempo número de refeições / dia
40 ..............
4
60 ..............
x
10
4
400 400 60
=
x
300 600 40
⇒
4
4
=
x
3
⇒ x = 3 refeições por dias.
Exercícios Propostos :
1) Para fazer 50 fardas para o exército, foram gastos 120 m de tecido. Quantos
metros de tecido se gastará para fazer 1.200 uniformes do mesmo tipo?
2) Com a velocidade média de 42 km/h, um navio percorre a distância entre dois pontos
em 6 horas e 30 minutos. Que velocidade deverá desenvolver para fazer mesmo
trajeto em 5 horas e 15 minutos?
3) Um pedreiro constrói um muro em 29 dias, trabalhando em média 5 horas e 30
minutos por dia. Em quantos dias terminará o muro, se trabalhar 7 horas e 15 minutos
por dia?
4) As rodas dianteiras de um trator têm um perímetro de 1,80 m e as traseiras têm 3m
de perímetro .Enquanto a roda menor dá 90 voltas, quantas voltas dá a roda maior ?
5) Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de
trigo são necessários para fabricar 162,5 kg de farinha?
6) Uma roda de engrenagem dá 5.820 voltas em 15 minutos. Quantas voltas dará em
1 h 18 min ?
7) Em cada 10 voltas um parafuso avança 4,5 mm. Quantas voltas dará para avançar
6,3 mm?
8) Qual é a altura de uma torre que projeta uma sombra de 110 m , se uma vara de 2 m,
colocada verticalmente ao lado da torre, projeta uma sombra de 5 m?
9) Para forrar as paredes de uma sala , precisamos de 21 peças de papel de 0,8 m de
largura .Quantas peças devem ser empregadas para forrar as mesmas paredes com peças
de papel de 1,2 m d largura?
10) Em 8 horas de trabalho, um operário cimentou uma área de 30 m2. Quanto tempo
levará para cimentar uma área de 75 m2?
11) Em um hotel, gastam-se 210 litros de azeite, durante 45 dias para 150 hóspedes.
Quantos litros de azeite serão gastos durante 20 dias com 270 hóspedes?
12) Uma peça de tecido com 50 m de comprimento, 0,60 m de largura, custou R$
37.750,00. Quantos metros de comprimento tem outra peça do mesmo tecido, se tem
0,80 m de largura e custou R$ 27.000,00?
13) Um livro tem 210 páginas, com 35 linhas cada página, cada linha tendo 60 tipos.
Reimpresso em formato menor, com 300 páginas, quantos tipos deverá ter por
linha, se o total de linhas por página é 30?
11
14) Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Quanto
tempo levarão para arar esse mesmo campo, 12 homens, trabalhando 5 horas por dia?
15) Quinze operários escavam uma vala em 20 dias. Depois, saem 3 operários. Quanto
tempo os operários restantes levarão para fazer outra vala do mesmo tamanho?
16) Cinco operários , trabalhando 2 dias , a 7 horas por dia , fizeram 126 metros de certo
material. Quantos metros do mesmo material farão 2 operários, trabalhando 3 horas por
dia, durante 5 dias?
17) Em uma pensão gastaram-se R$ 3.000,00 para o sustento de 6 pessoas, durante 10
dias. Quanto se teria gasto com 15 pessoas, durante 25 dias?
18) Se 5 máquinas fazem 20.000 metros de tecido em 12 dias, quantas máquinas
farão 12.000 metros do mesmo tecido em 4 dias?
19) Se 60 cavalos comem 30.000 kg de ração em 45 dias, em quantos dias 45 cavalos
comerão 18.000 kg de ração?
20) Uma peça de madeira tem 3,20 m de comprimento, 0,24 m de largura, 0,12 m de
espessura e pesa 42,24 kg . Qual é o comprimento de outro pedaço da mesma madeira,
de 0,16 m de largura, 0,18 m de espessura e 68,64 kg de peso?
.............................................................................................................................................
Respostas: 1) 2.280 m 2) 52 km/h 3) 22 dias 4) 54 voltas 5) 250 kg 6) 30.264
voltas 7) 14 voltas 8) 44 m 9) 14 peças 10) 20 h 11) 168 litros 12) 26,82 m 13)
49 tipos 14) 18 dias 15) 25 dias 16) 54 m 17) R$ 18.750,00 18) 9 máquinas 19)
36 dias 20) 5,2 m.
.............................................................................................................................................
5) Porcentagem :
A expressão por cento, tão presente no nosso cotidiano, nada mais significa do que
em cada cem . Em termos de símbolo, se indica % e em termos de numeral,
temos, por exemplo,
10
1
1
=
= 0,1 (10% é o mesmo que
)
100 10
10
20
2
1
20% =
=
= = 0,2 ( 20% é o mesmo que quinta parte)
100 10
5
30
3
30% =
=
= 0,3 (30% é o mesmo que 3 décimos)
100 10
40
4
2
40% =
=
=
= 0,4 (40% é o mesmo que dois quintos)
100 10
5
50
5
1
50% =
=
=
= 0,5 ( 50% , você já sabia , é o mesmo que a metade)
100 10
2
80
8
4
80% =
=
=
= 0,8 (80% é o mesmo que 4 em cada 5)
100 10
5
10
100% =
= 1 (100% é o próprio inteiro)
100
→ 10% =
→
→
→
→
→
→
12
Então , uma taxa percentual pode ser representada por uma fração centesimal, por
uma fração decimal, às vezes por uma fração ordinária e sempre por um número
decimal.
Exemplos:
a) calcule 35% de R$ 1.200,00.
RESOLUÇÃO :
35
. 1.200 = 35 . 12 = 420 ⇒ R$ 420,00
100
O mesmo cálculo poderia ter sido feito na notação: (0,35).(1.200) = 420 .
35% de 1.200 =
b) Se uma mercadoria custava R$ 72,00 e teve um reajuste de preço de
quanto ela passou a custar ?
12% ,
RESOLUÇÃO:
O novo preço será 72 + (12% de 72) = 72 + (0,12).(72) = 72 + 8,64 = 80,64, ou
seja, R$ 80,64. Observe que a expressão 72 + (0,12).(72) pode ser escrita na forma
de dois fatores, colocando-se o 72 em evidência: 72 + (0,12).(72) = 72 .( 0,12 + 1),
que é o mesmo que (1,12).(72).
Em geral, para um acrécimo percentual i a uma
grandeza C, o valor com acréscimo M será
M = (1 + i).C
sendo i na notação decimal .
c) Um trabalhador recebe , mensalmente, R$ 560 , 00 brutos. Descontando-se a
contribuição para o INSS, da ordem de 10%, quanto ele recebe liquido?
RESOLUÇÃO :
O salário liquido será 560 - (0,10).(560) = 560 . ( 1 - 0,10) = (0,90)(560) = 504,
ou seja , R$ 504,00.
Em gera , para uma situação de desconto de um
percentual i em grandeza C, o valor com desconto
M será
M = (1 – i) . C
Onde i está na notação decimal .
d) Um contribuinte pagou , em determinado ano , R$ 3.600,00 de imposto de renda
retido na fonte e recebeu de restituição o equivalente a 45% desse valor. Alguns
meses antes de receber a restituição, o contribuinte tomou de empréstimo num banco
70% de sua restituição, pagando um total de 9% de juros ao banco. Então, quanto
sobrou para o contribuinte da sua restituição .
13
RESOLUÇÃO :
→ Restituição: 45% de 3.600 = (0,45).(3.600) = 1.620;
→ Empréstimo: 70% de 1.620 = 1.134;
→ Juros: 9% de 1.134 = 102,06;
→ Saldo restante: 1.620 - 1.134 - 102,06 = 383,94.
Observe que o juro bancário é 9% de 70% da restituição. O cálculo do juro
poderia ter sido indicado assim: (0,09).(0,70).(1.620) .
Em geral , quando várias taxas percentuais i1 , i2 , i3 , ... , in
incidem sobre uma mesma grandeza C de modo que i1 incide
sobre C produzindo C1 , i2 incide sobre C1 produzindo C2 , i3
incide sobre C2 , ... , in incide sobre Cn-1 produzindo Cn , entã , a
grandeza Cn será
Cn = i1 . i2 . i3 . ... . in . C
onde as taxas percentuais estão na notação decima .
Um problema de porcentagem também pode ser resolvido por regra de três
simples; veja como exemplo a questão a seguir.
Numa escola com 1800 alunos , foi feita uma pesquisa pelo grêmio estudantil
que registrou os seguintes dados e projeções :
→ 62% dos alunos são do sexo feminino ;
→ Haverá , no próximo ano , um aumento de 25% no número de alunos ;
→ 72% dos alunos estão com média em matemática .
1o) Quantas alunas há na escola ?
2o) Segundo a projeção , quantos alunos estarão matriculados na escola no
próximo ano ?
3o) Quantos alunos estão sem média em matemática ?
RESOLUÇÃO :
1o) Veja a regra de três
número de alunos
equivalente percentual (%)
100
............................
1.800
62
............................
x
1.800 . 62
onde x =
= 1.116 alunas .
100
2o) Haverá , segundo a projeção , um acréscimo de 25% sobre o número de alunos,
que equivale aos 100%; então veja a regra de três
equivalente percentual (%)
número de alunos
100
.......................... 1.800
125
..........................
x
14
onde x =
125 . 1.800
= 2.250 alunos.
100
3o) Se 72% dos alunos estão com média em matemática, então 28% estão sem
média. A regra de três é
equivalente percentual (%)
número de alunos
100 ................................. 1.800
28 .................................
x
28 . 1.800
onde x =
= 504 alunos .
100
Com base nos exemplos anteriores, vamos deduzir uma fórmula para cálculo de
porcentagem. Seja C a grandeza sobre a qual incide a taxa percentual i e seja P o
resultado de i% de P. Por regra de três, temos
equivalente percentual (%)
grandezas de referência
100
............................... C
i
............................... P
onde
P =
C .i
100
Exercícios propostos :
1) Se uma pessoa compra um lote por R$ 22.000,00 e o vende com um lucro
de R$ 11.440,00, qual foi a porcentagem de lucro?
2) Um comerciante arrecadou R$ 8.448,00 pela venda de mercadorias. Se o
percentual de lucro foi de 32%, qual foi o preço de custo das mercadorias?
3) Uma pessoa compra um apartamento por R$ 30.000,00 e paga de taxas,
comissões e escritura R$ 7.200,00. Por quanto essa pessoa deve vender o
apartamento para lucrar 12% ?
4) Numa fábrica , 28% dos operários são mulheres .Se 216 dos operários são homens ,
qual é o total de operários da fábrica?
5) Um grupo de 127 consumidores foram consultados sobre sua preferência por
refrigerantes. Dos entrevistados, 48 tomam Guaraná , 70 tomam Coca-cola, 16
tomam os dois refrigerantes e vários não tomam refrigerantes. Qual é o percentual
de pessoas que não tomam refrigerantes?
.............................................................................................................................................
Respostas: 1) 52% 2) R$ 6.400,00 3) R$ 41.664,00 4) 300 operários 5) 20%
...........................................................................................................................................
15
6) Juros simples e Juros compostos:
Quando um capital C é aplicado a uma taxa de i% por um período de tempo
(dia , mês , ano , ...) t, duas alternativas de investimento podem aparecer:
- Juros periódicos fixos ou juros simples ou
- Juros cumulativos ou juros compostos.
1o) Juros simples: O juro periódico é constante , ou seja é i% de C em cada
período de tempo. Se a taxa periódica for compatível com a unidade de tempo,
C.i
teremos, em cada período de tempo, um juro de
. Então, em t períodos de
100
tempo, teremos
J =
Cit
100
Da fórmula anterior, pode-se explicitar qualquer das incógnitas C , i e t:
C =
100 j
it
i =
100 j
Ct
t =
100 j
Ci
Exemplos :
a) A que taxa mensal um capital de R$ 2.150,00 deve ser aplicado durante 8
meses de modo a render juros de R$ 344,00?
RESOLUÇÃO :
Como C = 2.150 reais, t = 8 meses e j = 344 reais, temos i =
100 . 344
= 2% ao
2.150 . 8
mês.
b) Por quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 10.800,00 a uma taxa de
12% ao ano, para que o montante final seja de R$ 17.280,00?
RESOLUÇÃO :
Montante é a soma do capital aplicado com os juros rendidos. Então, neste caso,
100 . 6.480
j = 17.280 - 10.800 = 6.480 . Então, teremos : t =
= 5 anos .
10.800 . 12
Muitas vezes a taxa e a unidade de tempo têm que ser compatibilizadas; é o
caso da taxa ser dada a .m. (ao mês) e o tempo ser dado em dias ou em anos, por
exemplo. Nesses casos, as fórmulas anteriores podem ser adaptadas, considerando que
16
→ 1 mês comercial = 30 dias ou m = 30d ⇒ d =
→ 1 ano = 12 meses
ou
a = 12m
→ 1 ano comercial = 360 dias
ou
⇒ m=
a = 360d
m
;
30
a
;
12
⇒ d=
a
.
360
1
30 =
Então, se a taxa for a.m. (ao mês) e o tempo for em dias, temos j =
100
1
C. i .
Cit
12 =
. Se a taxa for a .a . (ao ano) e o tempo for em meses, temos j =
=
3000
100
1
C. i .
C .i. t
360 =
=
. Se a taxa for a .a. e o tempo for em dias, teremos j =
1200
100
Cit
.
=
36000
C. i .
EXEMPLOS :
a) Que capital deve ser aplicado durante 25 dias a uma taxa de 4% a .m. para
gerar um montante de R$ 620,00?
RESOLUÇÃO:
Neste caso, o juro é j = 620 - C e, como a taxa é a .m. e o tempo é em dias,
C . 4 . 25
C + 30C
temos 620 - C =
⇒
= 620 ⇒ C = 600, ou sejá, R$ 600,00.
3000
30
b) Aplicado a juros simples de 24% a.a , quantos meses levará um capital para
dobrar de valor?
RESOLUÇÃO:
Como a taxa é a.a. e o tempo é em meses, temos j =
o capital vai dobrar. Então, C =
C .i. t
, onde j = C, já que
1200
C . 24 . t
⇒ 24t = 1200 e t = 50 meses.
1200
Exercícios propostos:
1) Calcule os juros que um capital de R$ 1.800,00 rende a 5% ao mês durante 17
dias.
2) Que capital produziu juros de R$ 627,00 a 10% ao mês durante 6 meses?
3) A que taxa esteve aplicado o capital de R$ 1.250,00 para produzir juros de R$
900,00 em 9 anos?
17
4) Durante quanto tempo um capital de R$ 6.800,00 deverá ser aplicado a uma taxa
de 2% ao mês para render R$ 340,00 de juros?
5) Quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano leva para triplicar de valor?
6) Uma certa aplicação a juros simples rendeu 30% do capital aplicado em 5
meses. Qual foi a taxa mensal considerada?
7) Uma pessoa empresta R$ 3.00,00 durante 40 dias, R$ 4.000,00 durante 30 dias e
R$ 3.000,00 durante 50 dias, à taxa de 7,2% ao ano. Calcule o tempo em que a
soma desses capitais, à mesma taxa, produza os mesmos juros.
.............................................................................................................................................
Respostas: 1) R$ 51,00 2) R$ 1.045,00 3) 40% a.a. 4) 75 dias 5) 6 anos e 3 meses
6) 6% a.a. 7) 39 dias
.............................................................................................................................................
2o) Juros compostos:
Na grande maioria das situações que envolvem transações comerciais ou bancárias, o
juro considerado é cumulativo, ou seja, o juro de cada período incide sobre o juro
do período anterior; é o chamado juro composto. Então, o juro mensal, nesse caso,
é variável. Veja o exemplo a seguir.
Qual é o montante de uma aplicação de R$ 2.000,00 a juros compostos de 2%
ao mês, durante 3 meses?
RESOLUÇÃO:
Verifiquemos a evolução do montante ao longo da aplicação:
→ com 1 mês: 2.000 + (0,02)(2.000) = 2.000.(1 + 0,02)
→ com 2 meses: 2.000.(1 + 0,02) + (0,02). 2.000.(1 + 0,02) = 2.000.(1 + 0,02)2
→ com 3 meses: 2.000.(1 + 0,02)2 + (0,02). 2.000.(1 + 0,02)2 = 2.000.(1 + 0,02)3
Então o montante final é M = 2.000.(1 + 0,02)3 = 2.122,42, ou seja, R$ 2.122 ,42.
Observe que, em cada mês, o montante M é o produto do capital inicial C por uma
potência de (1 + i); o expoente da potência corresponde ao tempo de aplicação. Em
geral temos
M = C (1 + i)t
EXEMPLOS:
a) Qual é o montante de uma aplicação de R$ 100,00 a juros compostos de 5% ao
mês durante dois meses?
RESOLUÇÃO: M = 100.(1 + 0,05)2 = 100 . 1,28 = 110,25, ou seja, R$ 110,25.
b) Em quantos anos se deve aplicar, a juros compostos, um capital de R$ 6.400 ,00
a 50% ao ano para gerar um montante de R$ 32.400,00?
18
RESOLUÇÃO:
Neste caso, temos 32.400 = 6.400.(1 + 0,5)t. Então,
324
64
= (
3 t
) , ou seja,
2
81
3
3
3
= ( ) t ou ainda ( ) 4 = ( ) t ⇒ t = 4 anos.
16
2
2
2
OBSERVAÇÃO:
A expressão que explicita o tempo t na fórmula de juro composto pode ser obtida com a
aplicação de logaritmo decimal, assim:
log M = log [C(1 + i)t] ⇒ log M = log C + t.log(1 + i) ⇒ t.log(1 + i) = log M – log C.
M
M
: log(1 + i).
Então, t.log(1 + i) = log
⇒ t = log
C
C
EXEMPLO:
Em quanto tempo um capital de R$ 2.500,00 passa a valer R$ 25.000,00, aplicado a
juros compostos de 100% ao quinquênio? (Dado: log 2 = 0,3)
25.000
: log(1 + 1) = (log 10) : (log 2) = 1: 0,3 = 3,33
2.500
quinquênios = 16,65 anos = 16 anos e 8 meses aprox.
RESOLUÇÃO: t = log
Exercícios propostos :
1) (UFMG) – Um consumidor adquiriu determinado produto em um plano de
pagamento de 12 parcelas mensais iguais de R$ 462,00, a uma taxa de juros de 5% ao
mês. Ele pagou as 10 primeiras prestações no dia exato do vencimento de cada uma
delas. Na data do vencimento da 11a prestação, o consumidor decidiu quitar a última
também, para liquidar a sua divida. Ele exigiu então, que a última prestação fosse
recalculada, para a retirada dos juros correspondentes ao mês antecipado, no que foi
atendido. Depois de recalculado, de quanto passou a ser o valor da última prestação?
2) (UFMG) – Um mestre-de-obras e cinco pedreiros foram contratados para fazer um
certo serviço, pelo qual receberiam a quantia de Q reais. Essa quantia seria repartida
entre eles de modo que todos os pedreiros recebessem o mesmo valor e o mestre-deobras ganhasse 60% a mais que cada um deles. Na última hora um dos pedreiros
desistiu. Então, o mestre-de-obras e os quatro pedreiros restantes decidiram fazer
sozinhos o serviço e combinaram uma nova divisão dos Q reais: os quatro pedreiros
receberiam valores iguais, mas o mestre-de-obras ganharia, agora , 50% a mais que cada
um deles. Qual foi o aumento percentual que cada um dos quatro pedreiros teve com
a desistência do outro?
3) (UFJF) – O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode
pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de
R$128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais,
qual é a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo?
19
4) (UFJF) – Numa prova de 40 questões , cada resposta certa vale 0,25 e cada resposta
errada vale - 0,1. Um aluno resolveu todas as questões e obteve nota 0,2. Determine a
percentagem de erros desse aluno em relação ao número total de questões.
5) (UNA - BH) – Uma pesquisa realizada na semana da eleição mostrou a intenção de
voto em relação aos candidatos da esquerda e da direita, como se segue:
• 75% votaram no candidato da esquerda;
• 50% votaram no candidato da direita;
• 20% votaram em branco.
Sabendo-se que foram entrevistados 20.000 eleitores e que o voto “nulo” é voto para
os dois candidatos, calcule o número de eleitores que têm a intenção de anular o voto.
6) (UNA - BH) –Três sócios lucraram juntos R$38.000,00. Miguel investiu R$ 5.000,00
durante 1 ano; Pedro investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e João investiu
R$6.000,00 durante 5 meses. Qual foi a parte do lucro que Pedro recebeu?
7) (PUC – MG) – Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado a juros simples durante 180
dias, rendendo R$ 900,00. Qual é a taxa anual dessa aplicação?
7
e guarda
8) (PUC – MG) – Do salário que recebe mensalmente , um operário gasta
8
o restante, R$ 122,00, em caderneta de poupança. Qual é o salário mensal desse
operário?
9) (PUC – MG/) – A tabela a seguir indica o preço de mercado de certo carro,de
acordo com o ano de fabricação:
Essa tabela mostra que o valor do veículo aumenta cerca de 19% ao ano. Com base
nessas informações, o valor aproximado do modelo 2.001 desse carro pode ser obtido
multiplicando-se 18.700 por qual número?
10) ( Newton Paiva - BH) – Um carro é vendido por R$ 25.000.00 à vista. Nas compras
a prazo, a concessionária aplica um reajuste no saldo a pagar, pelo regime de juros
simples, com base na taxa de 2,5% a.m. Um cliente propõe a compra do carro,
pagando R$ 8.500,00 de entrada e o restante em 6 meses. Qual será o total pago pelo
carro?
11) ( Newton Paiva - BH) – O salário de uma pessoa era, em julho de 1998, de
R$2.000,00, em outubro o seu salário foi de R$ 2.238,70. Sabe-se que as taxas de
reajuste aplicadas ao salário de agosto e setembro foram, respectivamente, de 5% e 3%.
Qual foi a taxa de reajuste em outubro?
20
12) (PUC – MG) – Uma loja vende uma certa mercadoria por R$ 504,00 à vista ou em
4 prestações mensais de R$ 144,00.Qual é o percentual aproximado de acréscimo na
compra à prazo, em relação ao preço à vista?
13) (PUC – MG) – Um livro tem 150 páginas, cada página tem 36 linhas e cada linha,
50 letras. Se quisermos escrever o mesmo texto em 250 páginas sendo cada página com
30 linhas, qual será o número de letras de cada linha?
14) (PUC – MG) – Estudos feitos por economistas indicam que 1% da população
brasileira detém 53% das riquezas do país; os outros 47% das riquezas são divididos por
99% da população. Com base nesses dados, construído o gráfico em forma de pizza
representando a divisão das riquezas entre os habitantes do Brasil.Um indivíduo que
esteja na região A da pizza detém m vezes mais riquezas que um outro que esteja na
região B. Calcule o valor de m.
15) (PUC – MG) – Um galão de dez litros está cheio de um combustível resultante de
uma mistura que tem 14% de álcool e 86% de gasolina; um outro galão de 20 litros está
cheio com uma outra mistura que tem 20% de álcool e 80% de gasolina. Despejando-se
o conteúdo dos dois galões em um só recipiente, obtém-se uma nova mistura. Qual é a
porcentagem de gasolina nessa nova mistura?
16) (PUC – MG) – O custo de um imóvel é composto por 40% de mão-de-obra, 30%
para o terreno, 25% para o material e 5% para a administração. Se houver um aumento
de 15% no preço da mão-de-obra e 10% no preço do material, de que porcentagem será
o reajuste no custo do imóvel?
17) (PUC – MG) – Duas bancas de um mercado vendem presunto pelo mesmo preço
de Segunda a Sexta-feira. Aos sábados, cada uma das bancas faz uma promoção:
♦ banca A - pague 4 quilos e leve 5.
♦ banca B – leve 4 quilos e pague 3.
Qual é o percentual de desconto na banca mais barata?
18) (UFMG) – Certa região do país, cuja área é de 300.000 km2, possui 80% de terras
cultiváveis, 25% das quais são improdutivas. Essas terras improdutivas, deverão ser
usadas no assentamento de famílias de agricultores sem terra. Supondo que cada família
receba 30 hectares ( 1há = 10.000 m2) e que o custo de assentamento de cada uma delas
seja de R$ 30.000,00, qual será, em bilhões de reais, o custo total do assentamento
naquela região?
21
19) (UFMG ) – Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o
salário dos restantes, fazendo que o valor de sua folha de pagamento diminuísse 10%. O
salário médio da empresa – folha de pagamento dividido pelo número de empregadosteve um aumento percentual de quanto?
20) (Newton Paiva) – Dois rapazes combinaram fazer uma tarefa juntos, num prazo
previsto de 2 meses. Ao completar o 15o dia , um dos rapazes ficou doente, e o outro
resolveu terminar a tarefa em 75 dias. Qual seria o tempo necessário para que um dos
rapazes fizesse, trabalhando sozinho, a tarefa toda?
21) (PUC – MG) – Um trabalhador ganha R$ 1.200,00 por mês. São reservados 20%
para a prestação da casa própria, 40% para alimentação e 22% para gastos diversos. O
restante é depositado em caderneta de poupança. Que valor mensal ele deposita na
caderneta de poupança?
22) (PUC – MG) – Na crise do real, o preço do dólar passou, em poucos dias, de R$
1,21 para R$ 2,12. Qual foi, aproximadamente, o percentual de aumento?
23) (PUC – MG) – Dois líquidos A e B são misturados na proporção 1: 4 nessa ordem,
para formar 60 litros de mistura. Quantos litros de substância A estão contidos na
mistura?
24) (PUC – MG) – De acordo com a Comissão de Política Econômica da FIEMG, há
dinheiro para investir no setor produtivo e melhorar o nível de vida dos brasileiros.
Como exemplo, cita o lucro do setor financeiro que, em 1999, ficou na faixa de 19% a
25% sobre o patrimônio líquido, bem acima do lucro obtido no mercado internacional
que ficou em torno de 9%. (FONTE : Estado de Minas 15/04/00).
Com base nessas informações, pode-se estimar que o lucro do setor financeiro do
Brasil, em 1999, em relação ao lucro obtido pelo mesmo setor em outros países, foi m
vezes maior. Determine o intervalo real de extremos inteiros que contém m.
25) (PUC – MG) – A organização mundial de saúde considera pobres todos aqueles
que recebem menos de US $ 70 mensais. Por esse critério, 54% dos brasileiros são
pobres, 85 milhões de pessoas. Com base nessas informações, qual é a população
aproximada do Brasil?
26) (PUC – MG) – Em um grupo de pessoas, 30% têm mais de 45 anos, 50% têm idade
entre 30 e 40 anos, e as 16 restantes têm menos de 20 anos. Quantas pessoas têm mais
de 45 anos?
27) (PUC – MG) – Após dois anos de uso, um carro custa R$ 17.672,00. Sabendo que
sua desvalorização é de 6% ao ano, qual era o preço do carro há dois anos atrás?
28) (PUC – MG) – Do salário de Paulo são descontados:
INSS
4%
FGTS
8%
IR
15%
Após esses descontos, Paulo recebe o salário líquido de R$ 2.190,00. Qual é o salário
bruto de Paulo?
22
29) ( UFV – Viçosa) – Três pessoas possuíam juntas uma quantia p, sendo a parte
correspondente a cada pessoa proporcional a 2, 3 e 4, respectivamente. Com a quantia
p, essas pessoas abriram uma poupança conjunta com rendimento mensal de 10%.
Após um mês, verificou-se que havia R$ 990,00 na conta. Quanto possuía cada pessoa
a) antes da abertura da poupança?
b) um mês depois da quantia p ser depositada na poupança?
30) (UFMG /1998) – Um televisor estava anunciado por R$ 500,00 para pagamento à
vista ou em três prestações mensais de R$ 185,00 cada; a primeira delas a ser paga um
mês após a compra . Paulo, ao invés de pagar à vista, resolveu depositar, no dia da
compra, os R$ 500,00 numa caderneta de poupança, que lhe renderia 2% ao mês, nos
próximos três meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dívida, fazendo retiradas de
R$ 185,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de cada prestação. Calcule
quanto a mais Paulo teve que desembolsar para pagar a última prestação.
31) (UFV – Viçosa) – Um cliente entrega ao Banco a quantia de R$ 201,10 para
emissão de uma ordem de pagamento telegráfica. O Banco cobra 0,4% de comissão
sobre o valor a ser emitido e R$ 0,30 pelo telegrama. Calcule o valor líquido a ser
recebido pelo destinatário da referida ordem.
32) (UEMG) – Numa pequena cidade do interior paulista , os resultados de uma eleição
municipal foram os seguintes:
CANDIDATO
X
Y
Votos nulos ou em
branco
PORCENTAGEM DO
NÚMERO DE VOTOS
56%
35%
9%
NÚMERO DE VOTOS
31.752
Calcule a diferença entre os números de votos dos candidatos X e Y.
33) (PUC – MG) – Uma pessoa investiu R$30.000,00 em ações. No primeiro ano, ela
ganhou 38% do total investido e, no segundo ano, ela perdeu 20% do que havia ganho.
Qual é o montante dessa pessoa após os dois anos?
34) (PUC – MG) – Na equação M = C(1 + i)n, M = 20.000, C = 15.000 e i = 1.
Sabendo que log 2 3 = a , calcule n em função de a.
35) (PUC – MG) – Esses são os dizeres de duas faixas afixadas em algumas avenidas
da capital mineira em fevereiro de 2.001: “ Com os radares, 95 vidas foram preservadas
em BH no ano 2.000”, “ O uso de radares reduziu em 24% o número de mortes no
trânsito de BH no ano 2.000”. Com base nas informações contidas nessas faixas,
pode-se estimar que, durante o ano de 2.000, o trânsito fez m vítimas fatais em Belo
Horizonte. Calcule o valor aproximado de m.
36) (PUC – MG) – “ Um bom motivo para deixar a guerra fria para trás é o bolso.
Depois de se tornar um modelo na região, com crescimento anual superior a 7%
durante toda a década passada , o Chile não exibe o mesmo fôlego .Os investimentos
externos, que chegaram a 9,77 bilhões em 1.999, despencaram para 3,73 bilhões, uma
23
queda de p % . O desemprego, que estava em 6% em meados da década passada, passa
dos 9%. (FONTE : revista Veja , 28?02/01).
Com base no texto
a) Qual é o valor inteiro mais próximo de p?
b) Qual foi , aproximadamente , o aumento percentual da taxa de desemprego?
37) (PUC – MG) – Uma zeladora de prédio gastou 40% do seu salário e, do que lhe
1
restou, aplicou
, ficando ainda com R$ 100,00. Qual é o salário mensal dessa
6
zeladora?
38) (PUC – MG) – Dez homens levam 9 horas para executar uma tarefa. Qual é o
tempo aproximado que 6 homens, em iguais condições dos anteriores, levarão para fazer
a mesma tarefa?
39) (PUC – MG) – A tabela mostra o investimento anual do governo federal em saúde
no período que vai de 1.995 a 2.000. Com base nos dados da tabela, se o investimento
em saúde teve um aumento de 34% de 1.999 para 2.000, qual é o valor de m, em bilhões
de reais?
40) (UFMG) – Em um grupo de pessoas , 32% têm idade entre 30 e 40 anos; 48%
estão entre 41 e 50 anos e os demais 20%, entre 51 e 60 anos. Dos que têm de 30 a 40
anos, 30% praticam exercícios regularmente. Esse número sobe para 40% na faixa dos
que estão entre 41 e 50 anos, mas só 22% daqueles que têm entre 51 e 60 anos praticam
exercícios regularmente. Considere, agora , apenas as pessoas desse grupo que têm
entre 30 e 50 anos. Qual é o percentual, nessa faixa etária, das pessoas que fazem
exercícios regularmente?
41) (UFU/Uberlândia) – Uma loja de artigos para presente sempre colocou seus
produtos à venda aplicando 50% a mais sobre o preço de custo. No entanto, devido à
recessão, ela anunciou uma liquidação com 20% de desconto sobre todos os produtos
para pagamento à vista. Nesse caso, qual será o lucro da loja na venda à vista de cada
produto?
42) (UFMG) – Um fabricante de papel higiênico reduziu o comprimento dos rolos de
40m para 30m. No entanto, o preço dos rolos, para o consumidor, manteve-se constante.
Qual foi o percentual de aumento no preço do metro de papel para o consumidor?
43) (UFMG) - Um capital de R$ 30 000,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira
pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de
12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em
ambas as aplicações foram iguais. Assim sendo, qual foi a diferença dos capitais
aplicados?
44) (UFMG) - Um carro, que pode utilizar como combustível álcool e gasolina
misturados em qualquer proporção, é abastecido com 20 litros de gasolina e 10 litros de
álcool. Sabe-se que o preço do litro de gasolina e o do litro de álcool são,
respectivamente, R$ 1,80 e R$ 1,20. Nessa situação, qual é o preço médio do litro do
combustível que foi utilizado?
24
45) (UFMG) - Uma pessoa compra mensalmente 8 quilos de arroz e 5 quilos de feijão.
Em um dado mês, o preço do quilo de arroz e o do quilo de feijão eram,
respectivamente, R$ 2,20 e R$ 1,60. No mês seguinte, o preço do quilo de arroz teve um
aumento de 10% e o do quilo de feijão teve uma redução de 5%. Assim sendo, qual foi
o aumento percentual do gasto mensal dessa pessoa com arroz e feijão?
46)(UFMG) - Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava
R$4200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos.
Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um
desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não
haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então,
quanto Francisco pagou por esse pacote de viagem?
47) (UFMG) - Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de
freqüentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual
da participação masculina passou de 30% para 24%. Considerando-se essas
informações, calcule o aumento percentual do número de mulheres que freqüentam esse
clube, após a promoção.
48) (UFMG) - No período de um ano, certa aplicação financeira obteve um rendimento
de 26%. No mesmo período, porém, ocorreu uma inflação de 20%. Qual foi o
rendimento efetivo da referida aplicação?
49) (PUC – MG) - Certo atacadista de roupas oferece aos compradores de conjuntos
femininos as seguintes condições:
- até 15 conjuntos: R$ 20,00 por conjunto comprado;
- de 16 a 30 conjuntos: desconto de 10% em cada conjunto que exceder a 15 conjuntos;
- acima de 30 conjuntos: desconto de 20% em cada conjunto que exceder a 30
conjuntos. Com base nessas informações, qual é o preço a ser pago por um comprador
que adquire 50 conjuntos femininos desse atacadista?
50) (PUC – MG) - Após consultar um mapa rodoviário, certo motorista decide por um
itinerário 17% mais longo do que aquele que faz habitualmente. Como o tráfego de
veículos nesse novo trajeto é menor, sua velocidade média aumentará em 30%. Nessas
condições, em que percentual o tempo de viagem diminuirá?
51) (PUC – MG) - Pensando em aumentar seus lucros, um lojista aumentou os preços
de seus produtos em 25%. Como, a partir desse aumento, as vendas diminuíram, o
comerciante decidiu reduzir os novos preços praticados em 25%. Com base nessas
informações, é correto afirmar que, após essa redução, as mercadorias dessa loja
passaram a:
a) ter o preço original.
b) ser 5% mais caras.
c) ser 10% mais caras.
d) ser mais baratas.
52) (PUC – MG) - Um dos indicadores usados para medir a inclusão digital da
população de um país é o número de hosts, isto é, o número de computadores que estão
conectados à internet. A tabela abaixo mostra a evolução do número de hosts, em
25
milhares de unidades, nos três países que lideram o setor de tecnologia da informação
na América Latina.
Brasil
Argentina
Colômbia
2003
2.238
496
56
2004
3.163
742
115
2005
3.935
1.050
325
2006
5.095
1.465
441
2007
7.422
1.837
721
De acordo com os dados dessa tabela, os dois desses três países que apresentaram,
respectivamente,
o maior e o menor crescimento percentual no número de hosts, no período 2003-2007,
foram:
a) Brasil e Colômbia
b) Argentina e Brasil
c) Colômbia e Argentina
d) Colômbia e Brasil
53) (PUC – MG) - Para facilitar a contagem de germes de uma determinada amostra
de leite, foram feitas duas diluições, ambas em água destilada. Na primeira, misturou-se
1cm3 de leite em 99cm3 de água. Depois, diluiu-se 1cm3 dessa mistura em 9cm3 de
água contida em um segundo frasco. Calcule a razão entre a quantidade de leite e a
quantidade de água nesse segundo frasco.
54) (PUC – MG) - 2Dos 12.500 domicílios pesquisados em certo município, 12% têm
somente TV por assinatura, 26% usam apenas antena parabólica, 48% dispõem
exclusivamente de antenas comuns e os demais 14% não possuem televisão. Sabendo-se
que a aproximação dos dados dessa pesquisa é de 2 pontos percentuais para mais ou
para menos, pode-se estimar que, no máximo, p desses domicílios não possuem
televisão. Calcule o valor de p.
55) (PUC – MG) - Para ir de Belo Horizonte a Poços de Caldas, um automóvel é
abastecido com gasolina, ao preço de R$2,50 o litro e percorre os 483 quilômetros que
separam essas duas cidades fazendo, em média, 14,0 quilômetros por litro. Na volta,
esse mesmo automóvel é abastecido com álcool, ao preço de R$1,40 o litro e percorre a
mesma distância fazendo, em média, 11,5 quilômetros por litro. Com base nessas
informações e considerando-se apenas o gasto com combustível, calcule quanto foi
economizado na volta.
56) (PUC – MG) - Ao misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3kg de café em pó do
tipo II, um comerciante obtém um tipo de café cujo preço é R$6,80 o quilograma. Mas,
se misturar 3kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, o quilo da
nova mistura custará R$8,20. Com base nessas informações, calcule o preço de um
quilo do café em pó do tipo I.
57) (PUC – MG) - A tabela seguinte contém dados divulgados pela Controladoria Geral
da União (CGU) sobre o número de processos abertos contra servidores federais no ano
de 2007. Com base nesses dados, calcule a porcentagem de processos abertos devido ao
uso do cargo público em benefício próprio, em relação ao total.
26
Razão de abertura do processo
Uso do cargo em benefício próprio
Improbidade administrativa
Abandono de cargo
Recebimento de propina (suborno)
Desvio de dinheiro público
TOTAL
Numero de servidores
779
474
242
141
140
1.776
58) (PUC – MG) - O percentual de pessoas não atendidas por telefonia fixa em uma
cidade era 32%. Após uma promoção realizada por certa operadora, 3 de cada 11 dessas
pessoas passaram a usufruir desse meio de comunicação e, a partir de então, o número
de pessoas que não dispunham de telefone fixo ficou reduzido a 12 800. Com base
nessas informações, calcule o número de habitantes dessa cidade.
59) (PUC – MG) - O custo para fabricar uma bicicleta é de R$ 84,00, e seu fabricante
pretende que esse valor represente 70% do preço de venda ao lojista. Este, por sua vez,
deseja que o valor pago ao fabricante seja 80% do total que custará ao consumidor final.
Para que essas condições sejam satisfeitas, calcule o preço que o consumidor final
deverá pagar por uma bicicleta.
60) (CEFET – MG) - Misturam-se dois tipos de leite: um com 3% de gordura e outro
com 4%, para se obter o total de 80 litros com 3,25% de gordura. Nessas condições,
calcule a quantidade de litros de leite com 4% de gordura.
61) (CEFET – MG) - Uma pessoa, ao vender uma propriedade rural por R$
2
350.000,00, aplicou esse capital da seguinte forma:
em fundo de investimento, 20%
7
em ações, R$ 30.000,00 em dólar e R$ 150.000,00 na compra de um apartamento. Ao
final de um ano, o dólar teve uma desvalorização de 15%, as ações desvalorizaram 10%,
o fundo de investimento valorizou 12% e o apartamento foi revendido por R$
160.000,00. Conclui-se corretamente que, nesse período de um ano, as aplicações
tiveram
a) ganho de 3%.
b) perda de 3,5%.
c) ganho de 4%.
d) perda de 4,5%.
e) ganho de 5%.
62) (CEFET – MG) - Uma escola, após pesquisa feita entre seus 2400 alunos, decide
redistribuir o número de vagas de seus turnos letivos: manhã, tarde e noite. O total de
alunos que prefere cursos diurnos é 60% daqueles interessados nos cursos noturnos. A
quantidade de alunos optantes por cursos da manhã é 25% dos que escolheram cursos à
tarde e à noite. Calcule o número de alunos que optou por cursos à tarde.
63) (CEFET – MG) - Três amigos A, B e C possuem juntos uma quantidade x em
dinheiro. Se A ceder R$ 5,00 a B, ambos passarão a ter a mesma quantia. Se C repassar
40% do que dispõe a B, C ficará com o valor que B tinha e B com o que C possuía.
Caso A gaste R$ 15,00, ele ficará com a metade do que tem C. Nessas condições,
calcule o valor de x.
27
64) (CEFET – MG) - Um carro flex, bicombustível, gasta um litro de gasolina num
percurso de 10 km e um litro de álcool num trecho de 8 km. Colocando-se no tanque de
combustível, que está vazio, 70% de gasolina e 30% de álcool, calcule o número de
quilômetros percorridos, quando o veículo consumir um litro da mistura.
65) (CEFET – MG) - Uma instituição dividirá uma quantia de 1 200 reais, em partes
iguais, para um certo número de carentes. No dia da distribuição, faltaram 3 pessoas e
cada um dos presentes recebeu, então, 20 reais a mais. Calcule o número inicial de
pessoas.
66) (PUC – RJ/) -Uma carteira de investimento rende 2% ao mês.Quanto
valem,aproximadamente, R$ 1.500,00 aplicados cumulativamente nessa carteira,
depois de três meses?
67) (FUVEST – SP) – Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de
venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço
que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, qual seria a porcentagem do seu
lucro?
68) (UnB – Brasília) – A massa crua com que é fabricado um certo tipo de pão é
composta de 40% de água, 58% de farinha e 2% de sal e fermento. Enquanto é
assada, 67% da água contida na massa evapora, sendo esta a única substância perdida
nesse processo. Nessas condições, calcule, em gramas , a massa crua de pão necessária
para obter-se um pão assado de 35 g. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso
exista.
69) (EsPCex) – No desenvolvimento do projeto de um automóvel , uma empresa
realizou testes envolvendo misturas com o combustível A e o aditivo B e obteve o
resultado apresentado na tabela abaixo :
MISTURA
1
2
3
A
100%
90%
80%
B
0%
10%
20%
CONSUMO
10 km/l
12 km/l
14 km/l
Considerando que o custo do combustível A é de R$ 0,80 o litro e o aditivo B é R$
1,00 o litro, pode-se afirmar que
a) a mistura 3 proporciona uma economia de 25% em relação à mistura 1.
b) a mistura 2 proporciona uma economia de 20% em relação à mistura 1.
c) a utilização de qualquer uma das misturas implica em um mesmo custo.
d) a mistura 2 proporciona um custo adicional de 15% em relação à mistura 1.
e) a mistura 3 proporciona um custo adicional de 25% em relação à mistura 1.
70) (FGV – SP) – Um vidro de perfume é vendido à vista por R$ 48,00 ou a prazo,
com dois pagamentos de R$ 25,00 cada um , o primeiro no ato da compra e o outro um
mês depois. Qual é, aproximadamente, a taxa mensal de juros do financiamento?
28
71) (FGV – SP) – Uma empresa comprou para o seu escritório 10 mesas idênticas e 15
cadeiras também idênticas. O preço de cada mesa é o triplo do preço de cada cadeira.
Quanto por cento da despesa total representa a despesa com cadeiras?
72) (UFRJ) – A organização de uma festa distribuiu gratuitamente 200 ingressos para
100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30% dos quais para mulheres. As
500 pessoas com ingresso foram à festa.
a) Determine o percentual de mulheres na festa.
b) Se os organizadores quisessem ter igual número de homens e de mulheres na festa,
quantos ingressos a mais eles deveriam distribuir apenas para pessoas do sexo
feminino?
.............................................................................................................................................
Respostas dos Exercícios Propostos :
1) R$ 440,00 2) 20% 3) 96% 4) 70% 5) 9.000 eleitores 6) R$ 8.000,00 7) 12%
8) r$ 976,00 9) 1,19 10) R$ 27.475,00 11) 3,5% 12) 14% 13) 25 letras 14) m =
=111,64 15) 82% 16) 8,5% 17) 25% 18) 6 bilhões de reais 19) 12,5% 20) 100
dias 21) R$ 216,00 22) 75% 23) 12 litros 24) 2 < m < 3 25) 157 milhões de
habitantes 26) 24 pessoas 27) R$ 20.000,00 28) R$ 3.000,00 29) a) R$ 200,00, R$
300,00 e R$ 400,00 b) R$ 220,00, R$ 330,00 e R$ 440,00 30) R$ 35,57 31) aproxim.
R$ 200,00 32) 74.088 votos 33) R$ 39.120,00 34) 2 – a 35) 301 36) a) 61% b)
50% 37) R$ 200,00 38) 15 horas 39) 20,1 bilhões de reais 40) 36% 41) 20% 42)
33,3% 43) R$ 6.000,00 44) R$ 1,60 45) 8,4% 46) R$ 3.792,00 47) 90% 48) 5%
1
54) 2.000 55) R$ 27,45 56) R$
49) 890 reais 50) 10% 51) d 52) d 53)
999
11,00 57) 44% 58) 55.000 habitantes 59) R$ 150,00 60) 20 litros 61) a 62) 420
alunos 63) R$ 120,00 64) 9,4 km 65) 15 pessoas 66) R$ 1.592,00 67) 50% 68)
47 g 69) a 70) 8,7 % a. m. 71) 33,33% 72) a) 38% b) 120 ingressos.
.............................................................................................................................................
APÊNDICE : Exercícios Propostos Sobre JUROS COMPOSTOS
1) Qual é o montante de uma aplicação de R$ 6.250,00 a juros compostos de 20% ao
ano durante 60 meses?
2) Se uma quantia de R$ 4.096,00 for aplicada sob o regime de juros compostos de 75%
ao triênio, durante 18 anos, quanto de juros renderá nesse tempo?
3) Se um determinado capital, aplicado a juros compostos de 100% ao quinquênio,
rendeu 31 vezes o seu valor, quantos anos durou essa aplicação?
4) Um capital, aplicado a juros compostos de 200% ao decênio, capitalizou em 81 vezes
o seu valor, quantos quinquênios durou essa aplicação?
5) A que taxa quinquenal um montante de R$ 6.400,00 se forma em 30 anos, a partir de
um capital de R$ 100,00?
6) Uma determinada aplicação bancária rende 4% ao mês de juros compostos. Aplicarei
todo o saldo da minha conta corrente, que é R$ 3.906,25, de modo a transformá-lo em
R$ 4.569,76. Durante quanto tempo tenho que deixar esse saldo aplicado?
29
7) Um montante de R$ 16.900,00 foi produzido a partir de R$ 10.000,00, aplicado a
juros compostos de 30% ao ano, durante m meses. Qual é o valor de m?
8) Durante vários meses um capital de R$ 320.000,00 ficou emprestado a uma empresa
a juros compostos de 5% ao mês. Quando a empresa se dispôs a pagar a dívida, seu
valor era de R$ 388.962,00. Quanto tempo essa empresa demorou para saldar a dívida?
9) Aplicado a juros compostos, um capital de R$ 1.000.000,00 se transformou em R$
1.771.561,00, num tempo de 3 anos. Qual foi a taxa semestral aplicada?
10) A que taxa bienal de juros compostos, um capital de R$ 2.500,00 passa a valer R$
10.240,00 em 6 anos?
11) Uma pessoa programou comprar uma casa por R$ 235.298,00 em 72 meses, à vista,
aplicando antecipadamente um determinado capital a juros compostos de 40% ao ano.
Qual deverá ser esse capital?
12) Quanto se deve aplicar a juros compostos de 2,5% ao bimestre, durante 1 semestre,
para se obter um montante de R$ 3.446,05?
.............................................................................................................................................
Respostas :
1) R$ 15.552,00
2) R$ 113.553,00
3) 25 anos 4) 8 quinquênios 5) 100% ao
quinquênio
6) 4 meses
7) 24 meses
8) 4 meses 9) 10% ao semestre
10) 60% ao biênio
11) R$ 31.250,00 12) R$ 3.200,00.
30