Desenho I
Carlos Antonio Vieira
2007
‘
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Sumário
Introdução ________________________________________________________________ 4
Capítulo 01– Construções geométricas fundamentais.
1.1 - De um ponto A traçar a perpendicular a uma reta r. ____________________________
1.2 - Traçar a perpendicular à semi-reta AO, no ponto O, sem prolongá-la ______________
1.3 - De um ponto dado A traçar a reta s, paralela à uma reta dada r.___________________
1.4 - Traçar paralelas através de perpendiculares.__________________________________
1.5 - Traçar a mediatriz de um segmento AB._____________________________________
1.6 - Construir um ângulo igual a um ângulo dado. ________________________________
1.7 - Traçar a bissetriz de um ângulo. ___________________________________________
1.8 - Dividir um segmento AB em n partes iguais. _________________________________
1.9 - Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s, sem usar o vértice _________
1.10 - Construir ângulos de 15o, 30o, 45o, 60o , 75o e ângulos quaisquer.________________
1.11 - Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado. _______________________________
1.12 - Traçar o círculo circunscrito à um triângulo dado . ___________________________
1.13 - Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência. ____________________
1.14a - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente a ela. ___________________
1.14b - De um ponto dado fora da circunferência, traçar as tangentes a ela ______________
1.15 - Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas
tangentes externas comuns. ______________________________________________
1.16 - Dadas duas circunferências de raios R1 e R2 e centros O1 e O2 traçar suas
tangentes internas comuns. ______________________________________________
1.17 - Concordar uma reta dada num ponto A com um arco que deve passar por um
ponto B dado. ________________________________________________________
1.18 - Concordar duas retas r e s com um arco de raio dado R. _______________________
1.19 - Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com um seguimento de
reta AB e uma circunferência dada de raio r ________________________________
1.20 - Concordar duas semi-retas paralelas, em A e B, através de dois arcos. ____________
1.21 - Concordar duas semi retas com o mesmo sentido, com distância entre extremidades
superior a distância entre ambas. __________________________________________
1.22 - Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 externas uma à outra, por meio
de um arco de circunferência de raio R._____________________________________
1.23 - Concordar duas circunferências de raios R1 e R2 internas uma à outra, por meio
de um arco de circunferência de raio R. ____________________________________
1.24 - Divisão de circunferência em 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 10 partes iguais.__________________
1.25 - Regra de Bion para divisão de circunferência. _______________________________
1.26 - Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular.___________
1.27 - Processo de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados ______________
1.28 - Exercícios. ___________________________________________________________
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Capítulo 02 - Ovais, evolvente, cíclicas, cônicas e hélice.
2.1 - Traçado de ovais _______________________________________________________ 21
2.2 – Traçado de arcos_______________________________________________________ 24
2.3 - Traçado de evolvente ___________________________________________________ 26
2.4 - Curvas cíclicas_________________________________________________________ 26
2.5 - Cônicas_______________________________________________________________ 28
2.6 - Hélice ________________________________________________________________ 30
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Capítulo 03 - Projeções
3.1 - Projeções axonométricas ortogonais ________________________________________ 31
3.2 - Projeções axonométricas oblíquas ou cavaleiras ______________________________ 33
3.3 - Perspectivas cônicas ____________________________________________________ 34
3.4 – Perspectivas isométricas de círculos. _______________________________________ 36
3.5 - Exercícios – Perspectivas ________________________________________________ 37
3.6 - Projeções ortogonais ___________________________________________________ 38
3.7 - Exemplos das projeções ortogonais ________________________________________ 43
3.8 - Exercícios 3.2 - Desenhe as vistas em 1º diedro. ______________________________ 46
3.9 - Exercícios 3.3 – Completar as vistas, identificar o diedro e esboçar as perspectivas. __ 50
3.10 - Vistas auxiliares ______________________________________________________ 53
3.11 – Projeções de sólidos geométricos elementares inclinados ______________________ 53
3.12 – Seções, casos fundamentais _____________________________________________ 54
3.13 – Rebatimento e projeções em V.G. ________________________________________ 55
3.14 - Exercícios 3.4 – Completar vistas _________________________________________ 56
3.15 – Exercícios 3.5 – Rebatimento em V.G. _____________________________________ 57
Capítulo 04 - Planificações
4.1 – Desenvolvimento da superfície de uma pirâmide reta de base quadrada. __________
4.2 - Desenvolvimento da superfície de um prisma reto de base hexagonal _____________
4.3 - Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal ______
4.4 - Desenvolvimento da superfície de um oblíquo de cilindro reto __________________
4.5 - Desenvolvimento das superfícies de uma junção de cilindros ___________________
4.6 - Exercícios – Planificação. _______________________________________________
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5 - Bibliografia __________________________________________________________
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Introdução
Caros alunos, muitos de vocês podem até não ter a nítida e definitiva noção do que é ser um
profissional em engenharia, por esse motivo tento descrever o perfil desse profissional exigido
pelo competitivo mercado de trabalho.
O engenheiro deve estar preparado para viver em um ambiente de mudanças sociais,
tecnológicas e econômicas cada vez mais rápidas e para atender todas as exigências do futuro, os
profissionais das engenharias devem ser:
•
•
•
•
•
•
•
exatos, trabalham com margem de erros tendendo a zero;
lógicos, analisar cada parcela individual dos problemas antes de uma conclusão final
sobre o problema;
analítico, possuir a capacidade do pensamento estruturado, dominar a abstração e a
criação para solução de problemas tecnológicos mesmo quando não dispor informações
completas;
autodidata, buscar o conhecimento e as informações necessárias por si só, aprender a
aprender;
excelentes calculistas, dominar a matemática, a estatística e possuir uma ampla base
científica;
empreendedor, construir seu próprio futuro, descobrir suas potencialidades na busca das
oportunidades, conviver com o risco e enfrentar desafios;
humanista, conviver harmoniosamente em grupo, ser comunicativo, ético e apresentar
uma ampla visão do impacto social e ambiental de suas atitudes.
Uma das disciplinas que lhes introduzirá nesse perfil desejado é o Desenho I, cujos objetivos
são:
•
•
•
•
•
desenvolver habilidades para o pensamento e abstração espacial;
conhecer as técnicas do Desenho Geométrico e Descritivo necessárias para a futura
leitura e interpretação do Desenho II, Desenho Técnico;
utilizar-se dos conhecimentos adquiridos para solução de problemas com um grau de
complexidade cada vez maior;
desenvolver uma postura de eficiência, precisão, qualidade e senso de normalização;
relacionar a representação espacial do Desenho com as demais disciplinas do curso.
Na segunda série do curso será visto o Desenho II, desenho técnico, objetivando o
conhecimento do sistema de normalização necessário:
• na apresentação técnica do desenho como linguagem universal das engenharias;
• nos processos de fabricação e de controle da qualidade de produtos e serviços;
• nos procedimento de utilização e manutenção de máquinas e de equipamentos.
Nos últimos anos, o ensino de Desenho tornou-se um grande desafio, pois foi vendida a idéia
de que se aprendesse uma linguagem de desenho assistida por computador, já seria suficiente
para o desenvolvimento das funções de um engenheiro. Esqueceu-se nesse episódio que o
computador só executa uma atividade mediante o comando do seu operador, o engenheiro, sem a
visão espacial, e se as competências acima citadas não forem bem desenvolvidas, não será um
bom computador que nos fará um bom profissional em engenharia.
5
O contato com o desenho assistido por computador é indispensável e necessário no contexto
atual, logo na segunda série do curso será visto em Técnicas Computacionais o Desenho
assistido por computador.
A carência do conhecimento em leitura e interpretação do Desenho Técnico gera
dependências no profissional em engenharia muito perigosas, inviabilizando inclusive a
potencialidade de criação.
O desafio é enorme, no entanto, o professor propiciará um ambiente que permita a você,
aluno, a atingir todos os objetivos de maneira efetiva e eficiente.
Deve-se lembrar que somos todos responsáveis pelo nosso sucesso, todo processo resume-se
a um conjunto de vontades e necessidades de todos nós, alunos, professores e Universidade.
O Material necessário para o desenvolvimento do curso será:
• um compasso;
• uma régua;
• uma lapiseira para desenho.
Apenas para ilustrar os componentes de um compasso é mostrado na Figura I, Compasso de
precisão com parafuso de regulagem.
Parafuso de
regulagem
Ponta seca
Grafite
.
Figura I – Compasso de Precisão com parafuso de regulagem.
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Capítulo 01 - Construções geométricas fundamentais
1.1 - Traçar uma perpendicular a uma reta r que passe pelo ponto dado A.
a) O ponto pertence à reta, Figura 1.1.a.
• ponta seca do compasso em A e um raio qualquer marca-se os pontos B e C;
• ponta seca em B e um raio qualquer traçar os arcos acima e abaixo da reta r;
• ponta seca em C e com o mesmo raio anterior, obtém-se os pontos D, E e a perpendicular.
Figura 1.1.a - Perpendicular
b) O ponto é exterior à reta r, a construção é análoga a anterior, Figura 1.1.b.
Figura 1.1.b – Perpendicular
1.2 - Traçar a perpendicular à semi-reta OA, no ponto O sem prolongá-la para a esquerda.
• ponta seca em O traça-se um raio qualquer OB;
• marcam-se BC = CD = OB;
• com ponta seca em D e um raio qualquer, traçar um arco e com ponta seca em C e o mesmo
raio determina-se o ponto E, Figura 1.2.
Figura 1.2 – Perpendicular à semi-reta
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1.3 - Traçar uma reta paralela à reta dada r passando pelo ponto A.
• ponta seca em A e um raio qualquer AB traçar um arco;
• ponta seca em B e mesmo raio anterior traçar o arco AC;
• toma-se a medida CA, com ponta seca em B obtém-se o ponto D e a paralela. Figura 1.3.
Figura 1.3 – Paralela
1.4 - Traçar paralelas através de perpendiculares.
• traçar em A uma reta perpendicular a r e marca-se sobre essa a medida d obtendo-se B;
• com a ponta seca em A e uma medida qualquer determina-se o ponto C;
• com a mesma abertura do compasso e ponta seca em B traçar um arco;
• toma-se a medida AB e transferindo a ponta seca para C encontra-se D e a paralela.
Figura 1.4.
Figura 1.4 – Paralela
1.5 - Traçar a mediatriz de um segmento AB.
É o equivalente a dividir o segmento AB em duas partes iguais, Figura1 5.
• ponta seca em A e um raio qualquer, traçar um arco de um lado e outro de AB:
• ponta seca em B e mesmo raio anterior obtém C e D;
• CD é mediatriz de AB, pois C e D distam-se igualmente de A e B.
Figura 1.5 - Mediatriz
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1.6 - Construir um ângulo congruente a um outro ângulo dado α , Figura 1.6.
• com a ponta seca em O e um raio qualquer OA traçar o arco AB no ângulo dado α;
• trace um lado do ângulo β e sobre ele CD com raio igual a OA;
• tome a abertura AB e transfira para o novo ângulo β com a ponta seca em D encontre E;
• unindo-se C a E tem-se ângulo DCE congruente AOB, ou seja, com a mesma abertura.
α
β
Figura 1.6 – Ângulos congruentes
1.7 - Traçar a bissetriz de um ângulo, Figura 1.7.
É o quivalente a dividir o ângulo em duas partes iguais.
• com a ponta seca em O e raio qualquer OA traçar um arco AB.
• com a ponta seca em A e depois em B com mesmo raio, trace os arco e encontre o ponto C,
OC é a bissetriz do ângulo.
Figura 1.7 - Bissetriz
1.8 - Dividir um segmento AB em n partes iguais, por exemplo, n = 6, Figura 1.8.
• traçar por A e B retas paralelas, AC paralela a BD, através do procedimento visto em 1.6
• marca-se o número n desejado de partes iguais e quaisquer sobre o segmento AC a partir de
A e em BD a partir de B;
• unindo-se os pontos A-6, 1-5, 2-4, 3-3, 4-2, 5-1, e 6-B obtêm-se a divisão do segmento AB
nas respectivas interseções das paralelas com o mesmo.
Figura 1.8 - Divisão de seguimento de reta.
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1.9 - Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas ‘r’ e ‘s’, sem usar o vértice desse ângulo.
• traçar uma reta qualquer MN, Figura 1.9;
• trace as bissetrizes dos ângulos formados por MN com ‘r’ e ‘s’;
• essas bissetrizes cruzam-se em A e B, que pertencem à bissetriz pedida do ângulo formado
por r e s.
Figura 1.9 – Bissetriz sem o vértice
1.10 - Construir ângulos de 15º , 30º , 60º , 75º e ângulos quaisquer.
Dividir um ângulo em três partes iguais, Figura 1.10.
Construir um ângulo reto, ou seja, traçar a perpendicular conforme o procedimento 1.2.
• com raio qualquer OA, traçar um arco AB;
• ponta seca em A e raio OA, obtém-se o ponto D;
• ponta seca em B e mesmo raio AO, determina-se o ponto C, arco AD = 60°,
logo arco BD = 30°;
• traçando a bissetriz de BD, conforme procedimento 1.7, tem-se o ângulo de 15o, o qual
somado-se com 60o, encontra-se o ângulo de 75o .
Figura 1.10 – Ângulos de 30º
Utilizando-se da trigonometria e da construção de triângulos semelhantes, pode-se desenhar
um ângulo qualquer. A Equação 1 mostra a relação trigonométrica da tangente.
tang.α = cateto oposto / cateto adjacente.
(1)
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1.11 - Traçar o círculo inscrito a um triângulo dado, círculo que tangencie a todos os lados,
Figura 1.11.
• traçam-se as bissetrizes dos ângulos A, B e C do triângulo, pois a interseção destas
bissetrizes é o centro do círculo procurado, ou seja o incentro o triângulo;
• ponta seca no ponto O, determinado pela interseção das bissetrizes, traçar uma perpendicular
a um dos lados, procedimento 1.1 b, para se obter um ponto T de tangência do círculo com
um dos lados.
T
Figura 1.11- Círculo inscrito
1.12 - Traçar o círculo circunscrito a um triângulo dado, Figura 1.12.
• traçam-se as mediatrizes dos lados do triângulo, procedimento 1.5, pois a interseção destas
determina o ponto O, centro do círculo procurado, ou seja o circuncentro do triângulo.
Figura 1.12 – Círculo circunscrito
Nota: No ponto de interseção das medianas (segmento de um vértice ao ponto médio do lado
oposto) do triângulo tem-se o baricentro.
1.13 - Dados três pontos não colineares traçar uma circunferência, Figura 1.13.
Sejam A, B e C os pontos dados.
• traçar a mediatriz do segmento AB e do segmento BC;
• no ponto de interseção das duas mediatrizes tem-se o centro da circunferência pedida.
Figura 1.13 – Circunferência
11
1.14a. - De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente à ela.
• traçar a perpendicular ao raio no ponto dado A, procedimento 1.1a.
Essa perpendicular será a tangente t pedida, Figura 1.14.a.
Figura 1.14.a – Tangente
1.14b. - De um ponto dado A, que não pertence a circunferência traçar as tangentes.
• une-se o ponto dado A ao centro O da circunferência dada, Figura 1.14.b;
• traçar a mediatriz de AO encontrando-se o ponto médio M;
• ponta seca no ponto médio M e com raio MO obtém-se os pontos B e C na circunferência;
• AB e AC serão tangentes por serem perpendiculares aos raios OB e OC.
Figura 1.14.b – Tangentes
1.15 - Dadas duas circunferências de raios R1, R2 e distância entre centros O1O2, traçar suas
tangentes exteriores comuns, Figura 1.15.
• ponta seca no centro O1 e raio r = R1–R2 traça-se uma circunferência auxiliar;
• utilizando-se da circunferência auxiliar e do ponto O2 traça-se as tangentes, conforme o
procedimento 1.14b, obtendo-se os pontos A e B;
• une-se O1 a A encontrando-se C e O1 a B para encontrar D;
• com a ponta seca em O2 e abertura até A, transfere-se esta medida com a ponta seca em D
encontrando-se o ponto F, com a mesma abertura, ponta seca em C encontra-se E.
Figura 1.15 – Tangentes
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1.16 - Dadas duas circunferências de raios R1, R2 e distância entre centros O1 e O2 traçar suas
tangentes interiores comuns, Figura 1.16.
• a construção é análoga ao item anterior 1.15, lembrando apenas que a circunferência auxiliar
tem o valor de r = R1 + R2.
Figura 1.16 – Tangentes
1.17 - Concordar uma reta r num ponto dado A com um arco que passe por um ponto B dado.
• traçar por A a perpendicular a reta r;
• trace a mediatriz de AB, a interseção dessa com a perpendicular determina o centro O do
arco de concordância, Figura 1.17
Figura 1.17 – Concordância de uma reta e um arco
Nota: Regras de concordância:
Diz-se que um arco e uma reta estão em concordância num ponto, quando a reta é
tangente ao arco nesse ponto. Nesse caso, o centro do arco está na perpendicular à reta
tirada desse ponto. O conjunto reta-arco deve formar uma só linha, Figura 1.17.
13
1.18 - Concordar duas retas ‘s’ e ‘r’ com um arco de raio dado R, Figura 1.18.
• traçar AA’ perpendicular à reta ‘s’ e BB’ perpendicular à reta r sendo AA’ = BB’ = R;
• por A’ traça-se uma paralela a ‘s’ e por B’ a paralela a ‘r’ e obtém-se o centro O do arco
de concordância.
• no ponto O traçar as perpendiculares em relação às retas s e r onde se têm os pontos de
concordâncias do arco com as duas retas.
Figura 1.18 – Concordância de duas retas e um arco.
1.19 - Concordar um arco de circunferência de raio R dado, com uma reta r e uma circunferência
dada de raio R1, Figura 1.19.
• traçar uma reta s paralela à reta r;
• ponta seca em O e raio (R1 + R) cruze a reta s encontrando-se o ponto C;
• em C traçar uma perpendicular a reta r encontrando-se o ponto D;
• une-se C a O para encontrar o ponto de tangência E;
• ponta seca em C raio R traçar o arco de concordância do ponto D até E.
Figura 1.19 – Concordância circunferência-arco-reta
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1.20 - Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B, com sentido contrário através
de dois arcos, Figura 1.20.
• traçar por A e B as perpendiculares às semi-retas;
• toma-se um ponto qualquer C em AB, quando não forem necessários raios de mesmos
valores;
• traçar as mediatrizes de AC e CB até encontrar as perpendiculares em O e O' que são os
centros dos arcos pedidos.
Figura 1. 20 – Concordância entre retas e arcos
1.21 - Concordar duas semi-retas paralelas, nas suas origens A e B sendo que as duas semi-retas
têm o mesmo sentido e b deve ser maior que d, Figura 1.21.
• traçar AM perpendicular a ‘r’, marcando a medida MA = d;
• por M traçar a reta s paralela a reta r e marcar MB = b;
• traçar em B uma perpendicular a reta s;
• sobre as perpendiculares a r e s marque o valor do raio de concordância R1 encontrando-se os
pontos O e O’;
• traçar a mediatriz de OO’ até encontrar o prolongamento de AM em O”;
• com centro em O' e raio R1 traçar o arco BC e com centro em O” e raio O”A o arcoAC.
M
Figura 1.21 – Concordâncias de retas e arcos
15
1.22 - Concordar duas circunferências de raios dados R1 e R2 externas uma a outra, por meio de
um arco de circunferência de raio dado R, Figura 1.22.
• com centro em O1 e raio (R1 + R) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros;
• com centro em O2 e raio (R2+ R) traçar dois outros arcos que interceptam os arcos
anteriormente traçados determinando-se os centros O3 e O4;
• une-se O1 a O3 , O2 a O3, O1 O4 e O2 a O4 determinando-se os pontos de concordâncias entre
as circunferências e os arcos dados pelos pontos 1-2 e 3-4;
• ponta seca em O3, abertura R traça-se o arco de 1 a 2 e ponta seca em O4 com o mesmo raio R
o arco de 3 a 4.
Figura 1.22 – Concordância externa de circunferências e arcos
1.23 - Concordar duas circunferências de raios dados R1 e R2 internas a um arco de
circunferência de raio dado R, Figura 1.23.
• com centro em O1 e raio (R -R1) descreve-se um arco acima e outro abaixo dos centros;
• com centro em O2 e raio (R – R2) traçar outros dois arcos de circunferência que interceptam
os arcos anteriores em O3 e O4 respectivamente;
• une-se O1 a O4 , O2 a O4 , O1 a O3 e O2 a O3 encontrando-se os pontos de tangências 1-2-3-4;
• ponta seca em O3 e abertura R traça-se o arco 1 a 2, análogo para o O4 o arco 3 a 4.
Figura - 1.23 Concordância interna de circunferências e arcos
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1.24 - Divisão de circunferência em partes iguais.
Definições: chama-se polígono a parte do plano compreendida entre segmentos consecutivos,
cuja extremidade do último coincida com a origem do primeiro. Um polígono diz-se convexo
quando não é cortado pelo prolongamento de qualquer de seus lados, côncavo no caso contrário;
regular quando todos os lados e todos os ângulos são iguais, irregular no caso contrário.
1.24.1 - Dividir uma circunferência em três partes iguais e construir o triângulo eqüilátero.
• com a ponta seca em A e com raio R da circunferência traça-se o arco D-O-B;
• unindo-se os pontos D , B e C obtém-se o triângulo eqüilátero.
Repedindo-se o procedimento no ponto C obtêm-se seis divisões da circunferência.
Figura 1.24.1 – Triângulo eqüilátero.
1.24.2 - Dividir uma circunferência em quatro partes iguais e construir o quadrado.
• trace o eixo vertical AB;
• traçar a perpendicular CD;
• determina-se as bissetrizes dos quadrantes AD e AC encontrando-se os pontos 1-2-3-4.
Nota: o quadrado em uma outra posição pode ser obtido unindo os pontos A-C-B-D-A e
unindo-se A-1-D-2-B-3-C-4-A obtém-se o octógono.
Figura 1.24.2 - Quadrado
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1.24.3 - Dividir uma circunferência em cinco partes iguais e construir o pentágono.
• centro em D e raio R, igual ao da circunferência dada, descreve-se o arco F-O-E;
• ligar E a F para encontrar o ponto M;
• centro em M e raio M-A, traça-se o arco A-N;
• centro em A e raio A-N, traça-se o arco cujo valor é o lado do pentágono.
Nota: a) o comprimento ON é o valor do lado do decágono.
b) o comprimento ME é o valor do lado do heptágono.
Figura 1.24.3 – Pentágono
1.25 - Regra de Bion para divisão de circunferência, Figura 1.25.
• divide-se o diâmetro AB em n partes iguais que se deseja dividir a circunferência, por
exemplo n=11;
• ponta seca em A e raio AB, depois com a ponta seca B e o mesmo raio, obtêm-se os pontos
C e D;
• unindo-se o ponto C as divisões pares 2, 4, 6, 8 e 10 até cortar a circunferência, onde se têm
as divisões desejadas;
• unindo o ponto D aos mesmos pontos pares até cortar a circunferência, completa-se as
divisões.
Figura 1.25 – Regra de Bion
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1.26 - Dadas as retas paralelas r, s e o vértice A, traçar uma hexágono regular.
• do vértice A traça-se uma perpendicular a reta r encontrando-se na reta s vértice B;
• do vértice A traça-se uma reta a 30º em relação a perpendicular AB até s determinando-se C;
• o seguimento BC é o lado do hexágono procurado;
• com abertura do compasso BC, encontra-se o vértice D, posteriormente E e F.
Figura 1.26 – Hexágono
1.27 - Processo aproximado de Delaistre para construção de polígonos de 5 a 12 lados.
•
•
•
•
tomando-se o seguimento AB como o lado da cada polígono a ser desenhado;
ponta seca em A e abertura até B traça-se os arcos para encontrar C, D;
por CD trace a perpendicular ao lado AB;
com ponta seca em C e abertura até A, traça-se a circunferência do hexágono e determina-se
o ponto E, centro da circunferência do decágono, 12 lados;
• divide-se CE em seis (6) partes iguais e faz-se CF igual a uma destas partes;
• toma-se a partir de F até E os respectivos centros das circunferências a serem divididas em 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 parte iguais.
Figura 1.27 - Processo aproximado de Delaistre
19
1.28 –Exercícios - Desenhe usando todo o desenho geométrico fundamental as figuras dadas em
escala 1:1.
Figura 1.28.1
Figura 1.28.2
Figura 1.28.3
Figura 1.28.4
Figura 1.28.5
Figura 1.28.6
20
Figura 1.28.7
Figura 1.28.8
Figura 1.28.9
Figura 1.28.10
Figura 1.28.11
21
Capítulo 02 - Ovais, arcos, espira evolvente, cíclicas, cônicas e hélice.
2.1-Traçado das ovais
Oval é uma curva fechada, constituída pela concordância de arcos de circunferências.
As ovais classificam-se, como:
• regular ou falsa elipse, apresenta dois eixos de simetria;
• irregular ou oval propriamente dita possui um só eixo;
• quanto à forma, pode ser oval regular arredondada ou alongada.
2.1.1 - Traçar uma oval regular dados os dois eixos, Figura 2.1
• traçar o eixo maior AB perpendicular ao eixo menor CD;
• une-se AD encontrando-se DE igual a AO menos OD;
• traçar a mediatriz de AE encontrando-se o centro 1 sobre o eixo maior e o centro 2 sobre o
eixo menor, ou em seu prolongamento;
• ponta seca em O abertura até o centro 1, transfere-se a abertura encontrando o centro 3;
• ponta seca em O abertura até o centro 2, transfere-se a abertura encontrando o centro 4;
• ponta seca em 1 traçar o arco HAF, em 3 o IBG, em 2 o FDG e em 4 o HCI.
Figura 2.1- Oval regular dado os dois eixos.
2.1.2 - Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo menor AB, Figura 2.2
• traçar a mediatriz de AB para determinar a posição do eixo maior;
• toma-se O1 = O2 = OA/2;
• une-se A1 encontrando C, A2 o D, B1 o F e B2 o E;
• ponta seca em A abertura até o B traça-se o arco CBD, ponta seca em B e mesma abertura o
arco FAE, centro 1 o arco CF e em 2 o DE.
Figura 2.2 - Oval regular arredondada dado o eixo menor.
22
2.1.3 - Traçar uma oval regular arredondada, dado o eixo maior AB, Figura 2.3.
• divide-se o eixo maior dado em três partes iguais determinando O1 e O2;
• trace os triângulos eqüiláteros O1O2O3 e O1O2O4;
• ponta seca em O1 traça-se o arco CAF, em O2 o arco DBE, ponta seca em O3 e abertura até F
o arco FE e em O4 o arco CD.
Figura 2.3 – Oval regular arredondada dado o eixo maior.
2.1.4 - Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo menor AB, Figura 2.4.
• traçar a mediatriz de AB;
• faz-se OO1 = OB = AO = OO2;
• com a ponta seca em A e raio AB trace o arco EBF e em B o arco GAH;
• ponta seca em O1 trace arco GF e em O2 arco EH.
Figura 2.4 – Oval regular alongada dado o eixo menor.
2.1.5 - Traçar uma oval regular alongada, dado o eixo maior AB, Figura 2.5.
• traçar a mediatriz de AB;
• divide-se OA e OB ao meio;
• trace os triângulos eqüiláteros O1O2O3 O1O2O4;
• com ponta seca em O1 trace o arco EAD e em O2 o arco FBC;
• ponta seca em O3, trace o arco DC e em O4 arco EF.
Figura 2.5 – Oval regular alongada dado o eixo maior.
23
2.1.6 - Traçar uma oval irregular de quatro centros, dado AB, Figura 2.6.
• traçar a mediatriz de AB;
• centro em O e raio OA, obtém-se o ponto C;
• une-se AC e BC;
• ponta seca em A e abertura AB trace o arco até encontrar o ponto D e com a ponta seca em B
encontra-se E;
• com ponta seca em C e abertura CE trace o arco ED.
Figura 2.6 – Oval irregular de quatro centros.
2.1.7 - Traçar uma oval irregular de seis centros, dado o diâmetro AB do semicírculo, Figura 2.7.
• traça-se a mediatriz de AB encontrando-se o ponto E no eixo maior;
• faz-se a mediatriz de OB obtendo-se o ponto M;
• ponta seca em A e abertura até M encontra-se C, AC = AM, com a mesma abertura e ponta
seca em B determina-se D, BD = AM;
• une-se C a E e D a E encontrando-se respectivamente os pontos F e G;
• obtém-se J com EJ = OM;
• ponta seca em C abertura até B trace o arco para encontrar o ponto I, com mesma abertura e
ponta seca em D determina-se H;
• com ponta seca em F e abertura até I trace o arco para encontrar L e com a mesma abertura e
a ponta seca em G trace o arco para encontrar o ponto K;
• ponta seca em J e abertura até K trace o arco KL.
Figura 2.7 – Oval irregular de seis centros.
24
2.2 - Traçado de arcos.
2.2.1 - Construir o arco ogival sabendo-se o valor do vão AB, visto na Figura 2.8.
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B;
• ponta seca em A e abertura até B trace um arco e com mesma abertura ponta seca em B
encontrando-se o ponto C.
Figura 2.8 - Arco ogival.
2.2.2 - Construir um arco ogival sabendo-se os valores do vão AB e da flecha OC, visto na
Figura 2.11.
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B;
• encontra-se a mediatriz de AB marcando-se a medida da flecha OC;
• faz-se as mediatrizes de AC e BC encontrando respectivamente os pontos E e D;
• ponta seca no ponto E abertura até A trace o arco AC e com mesmo raio, ponta seca em D o
arco BC.
Figura 2.9 – Arco ogival dado a flecha.
25
2.2.3 - Construir o arco ogival de ferradura sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na
Figura 2.10.
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B;
• trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O;
• ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C;
• prolonga-se AC e BC;
• ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B
encontrando o E;
• ponta seca em A abertura até E trace o arco encontrando F, com a mesma abertura, ponta
seca em B, trace o arco DF.
Figura 2.10 – Arco ogival de ferradura.
2.2.4 - Construir uma ogival gótica sabendo-se o valor do vão AB, mostrada na Figura 2.11.
• traçar o seguimento AB do vão e as perpendiculares a esse em A e B;
• trace a mediatriz do seguimento AB encontrando-se o ponto O;
• ponta seca em O e raio AO encontra-se o ponto C;
• prolonga-se AC e BC;
• ponta seca em C e raio CA trace os arcos a partir de A encontrando D e a partir de B
encontrando o E;
• encontram-se os pontos F e G, fazendo AE = EG = BD = DF;
• ponta seca em F e raio FD traçe um arco e com ponta seca em G e mesmo raio trace outro
arco encontrando H.
Figura 2.11- Arco ogival gótico.
26
2.3 - Espiral Evolvente do círculo.
Evolvente do círculo é a curva descrita por um ponto A fixo numa reta que rola sem deslizar
em torno de uma circunferência, mantendo-se sempre tangente a ela. Essa curva é importante no
estudo das engrenagens com perfis de dentes evolventes.
2.2.1 Traçado da espiral evolvente de um círculo de raio dado R, Figura 2.12.
•
•
•
•
divide-se a circunferência em número n de partes iguais;
traçam-se as tangentes nos pontos das divisões;
com a ponta seca na posição 1 e abertura até o ponto P, marca-se P1 na tangente 1.
na tangente 2 marcam-se duas divisões de raio P1 e assim sucessivamente.
Figura 2.12 – Evolvente.
2.4 - Curvas cíclicas.
2.4.1 – Ciclóide.
É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre uma reta sem
escorregamento, conhecendo-se o raio do círculo gerador pode-se traçar uma ciclóide,
Figura 2.13.
Figura 2.13 – Ciclóide.
27
2.4.2 –Epiciclóide.
É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra exteriormente,
sem escorregamento, Figura 2.14.
Figura 2.14 – Epiciclóide.
2.4.3 – Hipociclóide
É a curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sobre outra, interiormente,
sem escorregamento, Figura 2.15.
Figura 2.15 - Hipociclóide
28
2.5 – Cônicas
•
•
•
As curvas cônicas têm suas origens nas seções feitas em um cone, mostradas na Figura 16.
um plano qualquer da seção tem-se a elipse;
um plano paralelo a uma geratriz tem-se a parábola;
um plano paralelo ao eixo do cone tem-se a hipérbole.
(a)
(b)
(c)
Figura 16 – Seções em um cone: (a) Elípse; (b) Parábola; (c) Hipérbole
2.5.1 Elípse.
É uma curva plana fechada cuja soma das distâncias de qualquer um de seus pontos aos focos
F1 e F2 é constante e igual ao eixo maior AB, Figura 17 .
Figura 17 – Elipse.
29
Pode-se traçar uma elipse usando a seqüência executada na Figura 2.18:
•
•
•
•
•
traçar o eixo maior AB e encontre sua mediatriz determinando o ponto O;
com centro no ponto O descrevem-se duas circunferências de diâmetro AB e CD;
divide-se uma das circunferências em um número qualquer de partes iguais e transfira as
divisões para a outra circunferência;
nas divisões da circunferência AB trace perpendiculares em relação ao eixo maior e na
circunferência de eixo CD trace as perpendiculares em relação ao eixo menor, na interseção
dessas perpendiculares encontram-se os pontos da elipse.
toma-se abertura do compasso igual a medida AO , com a ponta seca em C ou D encontra-se
os focos F e F’ sobre o eixo maior.
Figura 2.18 – Elipse.
2.5.2 - Parábola.
É uma curva plana aberta, cujos ramos se prolongam ao infinito, também é o lugar
geométrico dos pontos do plano que têm igual distância de um ponto fixo chamado foco, F, e de
uma reta chamada diretriz, D, mostrada na Figura 2.19.
O ponto de interseção da parábola com o eixo X chama-se vértice, V.
Figura 2.19 - Parábola.
30
2.5.3 - Hipérbole
É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias de dois pontos fixos chamados
focos têm uma diferença constante e igual a Vo V1, Figura 2.20.
É formada por dois ramos simétricos em relação a dois eixos perpendiculares entre si; destes
eixos, o cortado pelos ramos da hipérbole chama-se eixo transversal e o outro, eixo não
transversal. Os ramos da hipérbole são tangentes, no infinito, a duas retas chamadas assíntotas.
Se as assíntotas são perpendiculares entre si, a hipérbole é eqüilátera.
Figura 2.20 – Hipérbole.
2.6 -Hélice
É a curva formada sobre a superfície cilíndrica por um lado de um ângulo que gira em torno
do cilindro, enquanto o outro lado gira sobre o círculo da base, Figura 2.21
Traçado da hélice sobre um cilindro, conhecidos o passo e o diâmetro.
Figura 2.21 – Traçado de uma hélice.
31
Capítulo 03 – Projeções.
Introdução.
O problema fundamental que se apresenta ao desenhista é o de representar um objeto
tridimensional em um plano com somente duas dimensões e que normalmente é uma folha de
papel ou a tela de um computador.
Os métodos de representação de um objeto num plano são fundamentalmente três:
a) projeção axonométrica, perspectivas:
ƒ
ƒ
projeção axonométrica ortogonal (perspectiva isométrica, dimétrica e trimétrica);
projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira;
b) perspectiva cônica (perspectivas exatas);
c) projeções ortogonais (representadas pelas vistas no desenho técnico).
3.1 -Projeção axonométrica ortogonal.
Supõe-se que uma superfície do objeto, seja colocada não ortogonalmente a um plano P
posterior a ele. Imagine-se que o objeto seja iluminado por uma fonte luminosa colocada à
distância infinita e perpendicular ao plano P e formando com o objeto um ângulo diferente de
90o, obtém-se desta forma a projeção axonométrica ortogonal.
As projeções axonométricas são representações de figuras espaciais, sólidos, num plano,
nestas condições, a figura não se reproduz em verdadeira grandeza, Figura 3.1.
Figura 3.1 – Representação de uma projeção axonométrica ortogonal
32
3.1.1 - Projeção axomométrica isométrica , perspectiva isométrica. Os três ângulos α, β e γ são
iguais entre si e portanto de 120° cada um conforme mostra a Figura 3.2a.
3.1.2 – Projeção Axonometria dimétrica, dois ângulos são iguais entre si e o terceiro é diferente;
consequentemente, duas arestas não sofrem reduções, ao passo que a terceira sofre.
Entre as várias combinações que se possam ter, as normas prevêem o uso dos seguintes
ângulos:131,5°; 131,5° e 97°, com estes valores, a aresta segundo o eixo X sofre uma redução de
50 % , os ângulos são mostrados na Figura 3.2b.
(a)
(b)
Figura 3.2 – Os eixos de uma perspectiva: (a) Isométrica e (b) Dimétrica.
A Figura 3.3 ilustra os três tipos de perspectivas axonométricas ortogonais, incluindo outra
possibilidade de ângulos para as perspectivas dimétricas.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.3 – Projeções axonométricas ortogonais: (a) isométrica; (b) dimétrica e (c) trimétrica.
33
3.2 - Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira.
Se o objeto mantém-se paralelo ao plano P e se coloca a fonte luminosa de modo que os raios
incidam na figura e portanto no plano P com um ângulo diferente de 90°, tem-se projeção
axonométrica oblíqua também chamada projeção axonométrica cavaleira. Neste caso a figura
plana se reproduz também em verdadeira grandeza; todavia, considerando um sólido, a terceira
dimensão deste (profundidade) aparece no plano com comprimento modificado e formando um
certo ângulo com a horizontal, na Figura 3.4 tem-se uma representação dessa projeção.
Figura 3.4 – Representação de uma projeção axonométrica oblíqua
3.2.1 -Projeção axonométrica oblíqua ou cavaleira, ocorre quando o objeto tem a superfície que
se observa paralela ao plano de projeção, como na projeção ortogonal, mas os raios incidentes
são oblíquos em relação ao plano de projeção.
(a)
(b)
(d)
Figura 3.5 – Perspectiva cavaleira; (a) 30º; (b) 45º e (c) 60º.
34
3.3 - Perspectiva cônica.
Se os raios luminosos provêm não do infinito, mas de uma fonte O a uma distância finita,
centro óptico, o contorno do objeto F, que se obtém num plano P, muda de dimensões conforme
a posição da fonte O. Este perfil toma o nome de perspectiva cônica ou central, Figura 3.6.
Figura 3.6 – Representação da projeção cônica
As perspectivas cônicas podem ser representas conforme ilustra a Figura 3.7, com um ponto
de fuga, dois e três.
Figura 3.7 – Representação das perspectivas cônicas com um, dois e três pontos de fuga vistas
de cima.
35
A perspectiva exata pode ser desenhada usando o Processo Prático, ilustrado na Figura 3.8.
Figura 3.8 - Ilustração do método prático
O MÉTODO
1. Desenha-se a planta em uma escala conveniente e com uma aresta sobre a reta PQ, (Plano
de Quadro)
2. Determina-se a distância d, localiza-se PV, tal que o ângulo A-PV-B seja menor que 60o .
3. Traça-se PV- F2 paralelo a O2-A e PV-F'2 paralelo O2-B.
4. Traça-se a LH ( Linha do Horizonte) e a LT (Linha de Terra), a uma distância h ( altura do
observador).
5. Projeta-se F2 sobre a LH e encontra-se f1 , repete-se o processo para F'2.
6. Determina-se a altura O1C1 do objeto.
7. Traça-se f1O1 , f1C1, f'1O1 e f'1C1.
8. Projeta-se A-PV e encontra-se a1 , análogo para b1.
9. Projeta-se a1 sobre f1C1 e f1O1, repete-se para b1.
10. Determina-se desta forma a perspectiva exata do objeto, pelo processo prático.
36
3.4 – A perspectiva isométrica de círculos.
Método de construção da axonométrica isométrica de um círculo:
•
•
•
•
•
•
traçam-se as diagonais maiores e menores de cada face. Elas se cruzam no centro da face,
Figura 3.11.a;
pelo centro das faces traçam-se paralelas aos eixos, as linhas médias;
com centro do compasso na extremidade da diagonal menor de uma das faces, abre-se até
a extremidade mais distante de uma linha média da mesma face, linhas traço-ponto
mostram esses raios, Figura 3.9.b;
traça-se um arco até a extremidade da outra linha média. Assim, são traçados todos os
arcos maiores da figura ;
obtêm-se os centros dos arcos menores pelas interseções das diagonais maiores com os
raios traçados pelas extremidades dos arcos maiores, Figura 3.9.c;
com centro do compasso nesses pontos e abertura até a extremidade mais próxima dos
arcos maiores, traçam-se os arcos menores.
Figura 3.9 - Representação da perspectiva isométrica de um círculo
A Figura 3.10 mostra o método acima descrito de forma detalhada.
Figura 3.10 – Representação detalhada do desenho de círculos em perspectiva isométrica.
37
3.5 – Exercícios 3.1 – Desenhar as perspectivas isométricas dadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
38
3.6 - Projeção ortogonal.
Supõe-se que o objeto, por exemplo a figura plana F, seja colocada paralelamente a um plano
P posterior a ela. Imagine-se que a figura seja iluminada por uma fonte luminosa colocada a uma
distância infinita e perpendicular ao plano de projeção, conseqüentemente, os raios que provêm
da fonte são paralelos entre si e ao mesmo tempo perpendiculares à figura F e ao plano P, eles
reproduzirão, no plano P, uma imagem com o mesmo contorno e a mesma grandeza de F,
chamada projeção ortogonal da figura F no plano P; (ortogonal = perpendicular). Portanto, na
projeção ortogonal a figura plana considerada se reproduz em verdadeira grandeza, a Figura
3.11 representa a projeção ortogonal.
Figura 3.11 – Representação da projeção ortogonal.
3.6.1 – Método Mongeano de Projeções, o ponto.
Para fixar a posição de um ponto no espaço, Gaspard Monge criou o Método da dupla
projeção cílindrico-ortogonal ou Método Mongeano.
Para passar da figura do espaço para o plano, efetua-se o rebatimento do P.H. sobre o P.V.,
até que ambos se coincidam, após uma rotação de 90o, em torno da linha de terra, Figura 3.12.
39
Figura 3.12- Representação do rebatimento de um ponto nos quatro diedros.
3.6.2 -Método Mongeano de Projeções e rebatimento de um objeto nos 4 diedros, Figura 3.13.
Figura 13 – As projeções e o rebatimento nos quatro diedros.
Observando-se na Figura 3.14, o rebatimento das projeções no 2o e 4o diedros se sobrepõem,
o que inviabiliza este tipo de rebatimento para o desenho técnico. Pode-se concluir que o
desenho técnico terá seu rebatimento feito no 1o e 3o diedros.
O método de projeções ortogonais na norma Americana é feito no 3o diedro, enquanto que o
sistema de projeções no Sistema Internacional e incluindo a ABNT, Associação Brasileira de
Normas Técnicas adotam-se as projeções em 1o diedro.
As projeções no desenho técnico são muitas vezes chamadas de vistas e é de fundamental
importância reconhecer em qual diedro foi feito o rebatimento.
3.6.3 - Sistema de projeções em primeiro diedro.
A Figura 3.14 mostra o sistema de projeções e rebatimento, em primeiro diedro.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.14 - Representação de projeções e rebatimento em primeiro diedro: (a) projeção
vertical, vista principal; (b) projeção horizontal, vista superior ou planta,
(c) projeção no plano de perfil, vista lateral esquerda.
40
A Figura 3.15, mostra o objeto em primeiro diedro, a representação do rebatimento e as
vistas.
Figura 3.15 – Rebatimento em primeiro diedro:
(a) objeto no 1º diedro;
(b) visualização do rebatimento;
(c) as projeções ortogonais em 1º diedro.
41
3.6.4 - Sistema de Projeções em terceiro diedro.
A Figura 3.16, mostra o objeto em terceiro diedro, a representação do rebatimento e as
vistas.
Figura 3.16 – Rebatimento em terceiro diedro:
(a) objeto no 3º diedro;
(b) visualização do rebatimento;
(c) as projeções ortogonais em 3º diedro.
42
Escolhe-se a posição de observação que melhor caracterize o objeto com vista principal, a
Figura 3.17 mostra alguns exemplos.
Figura 3.17 – Exemplos da escolha da vista principal.
43
3.6.5 – A Figura 3.18 representa o rebatimento em 1o e 3o diedros das seis projeções ortogonais.
(a)
(b)
Figura 3.18 – Rebatimento(a) em primeiro; (b) terceiro diedros.
3.7 - Exemplos das projeções ortogonais
44
45
46
3.8 -Exercícios 3.2 - Dadas as perspectivas, faça em 1o diedro as três vistas que representam
cada peça.
47
48
49
50
3.9 – Exercícios 3.3 - Dada às vistas, complete-as, identifique os diedros e esboce as
perspectivas.
51
52
53
3.10 -Vistas auxiliares
São vistas obtidas sobre planos auxiliares de projeção, inclinados em relação aos planos
principais de projeções. Empregam-se para representar, com exatidão, detalhes do objeto,
inclinados em relação às faces principais.
(a)
(b)
Figura 3.19 – Projeções de vistas auxiliares: (a) em 1º diedro; (b) em 3º diedro.
3.11 – Projeções dos sólidos geométricos elementares inclinados em relação aos planos de
projeções. Nas Figuras 3.20, 3.21 e 3.22 são mostrados exemplos.
Figura 3.20- Projeção de um prisma
de base octogonal.
Figura 3.21 – Projeção de um cilindro.
54
Figura 3.22 – Projeção de uma pirâmide de base octogonal
3.12 – Seções, casos fundamentais.
A Figura 3.23 mostra uma seção elíptica, a Figura 3.24 uma seção parabólica e a Figura
3.25 uma seção hiperbólica.
Figura 3.23 – Seção elíptica.
55
Figura 3.24 – Seção parabólica
Figura 3.25 – Seção hiperbólica.
As seções quando não são rebatidas ortogonalmente em relação aos seus planos não se
encontram em verdadeira grandeza, deve ser então feito o rebatimento ortogonalmente a seção
para se ter a verdadeira grandeza.
3.13 – Rebatimento de seção, representada na Figura 3.26.
Figura 3.26 – Rebatimento
das seções de um prisma
de base hexagonal.
56
3.14 - Exercícios 3.4 – Dadas as vistas principais completas, determine as vistas superiores e as
laterais.
57
3.15 - Exercícios 3.5 – Determine as verdadeiras grandezas das seções MN nas pirâmides
dadas:
(a)
(b)
Capítulo 04 - Planificação de sólidos geométricos.
A planificação de um sólido significa cortar-lhe a superfície segundo uma ou mais linhas
escolhidas oportunamente, imaginando-o como se fosse uma folha de espessura infinitesimal, e
distendê-la sobre um plano.
4.1 – Desenvolvimento da superfície de uma pirâmide reta de base quadrada.
Figura 4.1. Pirâmide de base quadrada
58
4.2 - Desenvolvimento da superfície de um prisma reto de base hexagonal.
Figura 4.2 – Prisma de base hexagonal.
4. 3 Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal
Figura 4. 4 - Desenvolvimento da superfície de um tronco pirâmide reta de base hexagonal
59
4.4 - Desenvolvimento da superfície de um oblíquo de cilindro reto
Figura 4.5 – Cilindro reto
4.5 - Desenvolvimento das superfícies de uma junção de cilindros
Figura 4.6 – Juntas cilíndricas
60
4.6 –Exercícios 4.1 - Planifique os elementos dados:
5 - Bibligrafia:
A.R. Giongo, Curso de Desenho Geométrico, Nobel , São Paulo, 1975
G. Manfé, Manual de Desenho Técnico Mecânico, Renovada Livros Culturais Ltda.
S.F.Silva, A Linguagem do Desenho Técnico,Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro.
F. Provenza, Desenhista de Máquinas, Pro-Tec, São Paulo, 1978
A.J. Rodrigues, Geometria Descritiva, vol.1, Agir, Rio de Janeiro, 1951.
A. Machado, Geometria Descritiva, Atual Editora, São Paulo, 1986;
Jr, A.R. Príncipe, Geometria Descritiva, Vol I e II, Livraria Nobel, São Paulo, 1983;