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PROCESSO SELETIVO 2006
QUESTÕES OBJETIVAS
MATEMÁTICA
01 - O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via
telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas durante um período de
sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
Dia
Número de
chamadas
domingo
segunda
Terça
quarta
quinta
sexta
sábado
3
4
6
9
5
7
8
Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as seguintes afirmativas:
I.
O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6.
II.
A variância dos dados é 4.
III.
O desvio padrão dos dados é
2.
Assinale a alternativa correta.
*)
-)
-)
-)
-)
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
01. Sendo M a média aritmética, V a variância e DP o desvio padrão, temos:
I. Verdadeira:
3+ 4+6 +9 +5 +7 +8
M=
7
42
M=
7
M=6
II. Verdadeira:
( 3 − 6 ) 2 + ( 4 − 6 ) 2 + (6 − 6 ) 2 + (9 − 6 ) 2 + (5 − 6 ) 2 + (7 − 6 ) 2 + (8 − 6 ) 2
V=
7
V=4
III. Falsa:
Dp = V
Dp = 4
Dp = 2
4
02 - Os clientes de um determinado banco podem fazer saques em um caixa automático, no qual há cédulas disponíveis
nos valores de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00. Considere as seguintes afirmativas referentes a um saque no valor de
R$ 300,00:
I.
II.
III.
Existe somente uma maneira de compor esse valor com 60 cédulas.
Existem somente quatro formas de compor esse valor com 20 cédulas.
Existe somente uma maneira de compor esse valor com a mesma quantidade de cédulas de cada um dos três
valores disponíveis.
Assinale a alternativa correta.
*)
-)
-)
-)
-)
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
sejam
x cédulas de R$ 5,00
y cédulas de R$ 10,00
z cédulas de R$ 20,00
temos:
5x + 10y + 20z = 300
I. Verdadeira
5x + 10y + 20z = 300

 x + y + z = 60
(1)
eliminando x:
5y + 15z = 0 ∴ y = – 3z
substituindo em (1):
x + (–3z) + z = 60 ∴ x = 60 + 2z
só é possível se z = 0, daí x = 60 e y = 0
II. Verdadeira
5x + 10y + 20z = 300

 x + y + z = 20
(2)
eliminando o x:
5y + 15z = 200 ∴ y = 40 – 3z
substituindo em (2):
x + 40 – 3z + z = 20 ∴ x = 2z – 20
as respostas serão:
x
y
z
0
10
10
2
7
11
4
4
12
6
1
13
Logo, há 4 soluções.
III. Falsa
5x + 10y + 20z = 300

x= y= z

substituindo:
5x + 10x + 20x = 300
35x = 300
60
x=
∉Z
7
Logo, é impossível compor o valor dado.
5
03 - Sendo λ a circunferência de equação x 2 + y 2 − 6 y + 7 = 0 no plano cartesiano, considere as seguintes afirmativas:
I.
II.
III.
O raio de λ é 7 .
O centro de λ é o ponto C = (0, 3) .
A reta r tangente a λ no ponto P = (1, 2) tem equação y = 1 + x .
Assinale a alternativa correta.
*)
-)
-)
-)
-)
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente a afirmativa II é verdadeira.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
x2 + y2 – 6y + 7 = 0 ⇒ x2 + (y – 3)2 = 2
Logo, o centro C = (0,3) e raio R = 2
I. Falsa
II. Verdadeira
III. Verdadeira
O ponto P = (1,2) e λ, logo temos a figura:
∆y 3 − 2
= −1
=
∆x 0 − 1
CP ⊥t ⇒ mt = +1
A equação da reta t é:
y – 2 = 1 . (x – 1)
y=x+1
MCP =
04 - Um dado é lançado duas vezes. No primeiro lançamento obtém-se um número b, e no segundo lançamento obtém-se
um número c. Qual é a probabilidade de o polinômio x 2 + bx + c = 0 NÃO ter raiz real?
*)
-)
-)
-)
-)
17/36
1/4
11/36
1/2
1/3
Comentário:
x2 + bx + c = 0
A equação não tem raiz real se, e somente se, ∆ < 0.
∆<0
b2 –4ac < 0
b2 – 4.1.c < 0
b2 < 4c
No lançamento de dois dados, existem 6.6 = 36 resultados possíveis. A tabela seguinte apresenta os resultados que satisfazem b2 < 4c.
b
Logo, a probabilidade é p =
c
nº de resultados
3
1; 2
2
4
1; 2; 3
3
5
1; 2; 3; 4; 5; 6
6
6
1; 2; 3; 4; 5; 6
6
2+ 3+6 +6
17
ou p =
36
36
6
05 - Um recipiente com água tem, internamente, o formato de um cilindro reto com base de raio R cm. Mergulhando nesse
9R
cm. Qual é o raio dessa esfera?
recipiente uma esfera de metal de raio r cm, o nível da água sobe
16
*)
r=
-)
r=
-)
r=
-)
r=
-)
r=
3R
cm
4
9R
cm
16
3R
cm
5
R
cm
2
2R
cm
3
9R
cm
16
Comentário:
VESFERA = VÁGUA DESLOCADA
4
9R
. π r3 = π . R2 .
3
16
27R3
64
3R
cm
r=
4
r3 =
06 - Dadas as funções f : R → R e g : R → R definidas por f (x ) = ax + b e g(x ) = x 2 , considere as seguintes afirmativas:
I.
II.
III.
(g ο f )(1) = (a + b) 2 .
(f ο g)(− x ) = (f ο g)(x ) , para qualquer x ∈ R.
(g ο f )(x ) = (f ο g)(x ) , para qualquer x ∈ R.
Assinale a alternativa correta.
*)
-)
-)
-)
-)
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
I. (gof)(1) = g(f(1)) = g(a.1 + b) = g(a + b) = (a + b)2 (V)
II. Sendo g(x) = x2 uma função par, então:
g(x) = g(–x), logo (fog)(–x) = (fog)(x) (V)
III. g(f(x)) = f(g(x))
[f(x)]2 = a.[g(x)] + b
(ax + b)2 = a.(x2) + b
a2.x2 + 2abx + b2 = ax2 + b (F)
7
07 - Na figura ao lado está representado um período completo do
gráfico da função
πx
f ( x ) = 3 ⋅ sen
4
Para cada ponto B sobre o gráfico de f, fica determinado um
triângulo de vértices O, A e B, como na figura ao lado. Qual é
a maior área que um triângulo obtido dessa forma pode ter?
*)
-)
-)
-)
-)
12
3π
6π
8
9
B
A
O
Comentário:
 πx 
O período da função f(x) = 3 . sen  é dado por:
 4
P=
2π
 π
 
 4
P=8
Logo, as coordenadas ao ponto A são (8, 0) e, portanto, a base do triângulo de vértices O, A e B é constante e mede 8
unidades.
Para x = 2 ou x = 6, temos a maior altura possível.
Tomando, por exemplo, o valor para x = 2, temos:
 2π 
f(2) = 3.sen  
 4
 π
f(2) = 3.sen  
 2
f(2) = 3.1 = 3 (altura)
A área máxima é dada por:
base x altura
SOAB =
2
8. 3
SOAB =
2
SOAB = 12
8
08 - Uma determinada substância radioativa desintegra-se com o tempo, segundo a função
M(t ) = M0 ⋅ e −k⋅ t
sendo M0 a massa inicial, k uma constante característica da substância e t o tempo dado em anos. Sabendo que a
quantidade inicial de 100 g dessa substância radioativa diminui para 50 g em 28 anos, calcule quanto tempo será
necessário para que 100 g dessa substância se reduzam a 25 g. (Considere log e 2 = 0,7 )
*)
-)
-)
-)
-)
56 anos
48 anos
72 anos
42 anos
64 anos
Comentário:
M(t) = M0 . e– k . t
M(28) = 100 . e– k . 28
50 = 100 . e– 28k
1
= e– 28k
2
Queremos que:
M(t) = 25
100 . e– k . t = 25
1
e– kt =
4
 1
e– kt =  
 2
2
e– kt = (e– 28k)2
– kt = – 56k
como k ≠ 0, temos:
t = 56
09 - Numa certa rede bancária, cada um dos clientes possui um cartão magnético e uma senha formada por seis dígitos.
Para aumentar a segurança e evitar que os clientes utilizem datas de aniversário como senha, o banco não permite o
cadastro de senhas nas quais os dois dígitos centrais correspondam aos doze meses do ano, ou seja, senhas em
que os dois dígitos centrais sejam 01, 02, …, 12 não podem ser cadastradas. Quantas senhas diferentes podem ser
compostas dessa forma?
*)
10 6 − 12.10 4
-)
10 6 − 12
-)
10 6 − 12.10 2
-)
10 4 + 12.10 2
-)
10 4 − 12
Comentário:
SENHA:
dígitos centrais
9
10 - Os três lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão r > 0 . A respeito desse triângulo,
considere as seguintes afirmativas:
I.
II.
III.
A área desse triângulo é 16r.
Esse triângulo é semelhante ao triângulo de lados 3, 4 e 5.
O perímetro desse triângulo é 12r.
Assinale a alternativa correta.
*)
-)
-)
-)
-)
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Comentário:
• (x + r)2 = (x – r)2 + x2
x2 + 2xr + r2 = x2 – 2xr + r2 + x2
x2 – 4xr = 0
x = 0 ou x = 4r
(não)
I. Falsa
Área =
x.(x – r) 4r . 3r
=
= 6r2
2
2
II. Verdadeira
Os lados medem 3r, 4r e 5r
III. Verdadeira
2p = 3r + 4r + 5r = 12 r