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Electromagnetismo
1
Fı́sica Geral II - Electromagnetismo
1
Introdução.
O Electromagnetismo é a parte da Fı́sica que se ocupa das interacções entre
partı́culas carregadas. A estrutura da matéria e muitos processos biológicos
são determinados por este tipo de interacções. A nossa sociedade está também
muito dependente das propriedades das cargas em movimento: sem electricidade, quase nada funciona! Michael Faraday (1791-1867), um fı́sico autodidacta, que começou por ser encadernador e aprendeu muito lendo os livros
que lhe davam para encadernar, foi contratado para a Royal Institution, em
Londres, para descobrir maneiras de obter vidros mais perfeitos. Na altura,
os métodos de fabricação do vidro conduziam a vidros com bolhas de ar e
outras imperfeições que tornavam difı́cil a aplicação a lentes. Mas aquilo que
Michael Faraday gostava realmente de investigar, e que no princı́pio só conseguia fazer nas horas vagas, era o electromagnetismo. As suas investigações
permitiram perceber a ligação ı́ntima que existe entre o campo eléctrico e o
campo magnético, pelo que ele deve ser considerado o fundador do electromagnetismo.
As aplicações do electromagnetismo na sociedade actual não podem ser
subestimadas, por exemplo, as correntes eléctricas são fundamentais para
fazer funcionar o cada vez maior número de máquinas que temos em casa.
Mas a atracção e repulsão entre corpos carregados têm muitas outras aplicações
industriais, como nas fotocopiadoras e impressoras.
2
Carga eléctrica.
Já os Gregos antigos sabiam que se se esfregasse um pedaço de âmbar, este
levantaria pedacinhos de palha. Há uns 200 anos tornou-se claro que há
dois tipos de cargas, a que se convencionou chamar positivas e negativas. As
designações “positiva” e “negativa” e os sinais das cargas foram escolhidos
arbitrariamente por Benjamin Franklin (1706-1790).
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Electromagnetismo
2
Na época de Franklin pensava-se que a corrente eléctrica era um fluxo
contı́nuo. Ainda no princı́pio do século vinte muitos cientistas não acreditavam na hipótese atómica. Agora sabemos que a matéria é discreta, que é
feita de átomos, e também que a carga eléctrica é quantificada e não vem em
quantidades menores que um electrão. As correntes que alimentam objectos
como uma lâmpada, envolvem 1019 destas cargas elementares e por isso o
carácter quantificado da carga eléctrica não tem grande importância para a
descrição do seu funcionamento. Por outro lado, nos sistemas biológicos, os
processos que envolvem transferência de carga são quase sempre em termos
de quantidades pequenas, ou de iões que passam de um lado para outro de
uma membrana, ou de electrões que são transferidos de uma molécula para
outra.
Enquanto o electrão é a menor quantidade de carga negativa, o protão
constitui carga positiva elementar e a matéria é neutra porque é formada
por números iguais de electrões e protões. Por exemplo, os átomos são formados por núcleos, os quais são positivos porque são formados por protões
e partı́culas não carregadas, chamadas neutrões, à volta dos quais orbitam
electrões. O conjunto do núcleo com os electrões à volta é neutro. O átomo
de hidrogénio é o único que não inclui neutrões, sendo formado por um protão
e um electrão.
A carga eléctrica constitui uma grandeza fı́sica com uma natureza própria
e não é redutı́vel às grandezas mecânicas (massa, espaço e tempo) ou termodinâmicas (temperatura, pressão, etc). A sua unidade no sistema SI é
o coulomb. Por razões que têm a ver com a precisão das medidas (é mais
fácil medir uma corrente do que medir cargas elementares), a unidade de
carga define-se a partir da unidade de corrente, o ampere: 1 coulomb é a
quantidade de carga que é transferida através de uma secção de um fio num
segundo quando nele flui uma corrente de 1 ampere. Em coulomb, a carga
de um electrão é:
e = −1.602 × 10−19 C
(1)
3
Condutores e isoladores.
Nalguns materiais, como os metais, a água da torneira e o corpo humano,
parte da carga negativa pode mover-se mais ou menos livremente. Chamamos
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Electromagnetismo
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a estes materiais condutores. Noutros materiais, como o vidro, a água destilada e o plástico, nenhuma carga se pode mover livremente. Chamamos a
estes materiais não condutores ou isoladores.
Nos condutores, como o cobre, acontece o seguinte. Quando os átomos de
cobre se ligam para formar uma fase sólida, alguns dos electrões das últimas
camadas, que estão menos ligados ao núcleo, libertam-se dos átomos de que
fazem parte e deslocam-se livremente pelo sólido. Estes electrões chamamse electrões de condução. Um não condutor tem muito poucos ou nenhum
destes electrões.
Semicondutores, como o silı́cio e o germânio, são materiais que têm propriedades condutoras intermédias entre os condutores e os isoladores. A
microelectrónica, que é usada nos computadores que tanto mudaram a vida
nas últimas décadas, é baseada nos semicondutores.
Há também outros materiais, chamados supercondutores, que não oferecem qualquer resistência à passagem da corrente. Os condutores, de maneira
geral, apresentam resistência à corrente eléctrica. Esta resistência é devida
à agitação constante em que se encontram os átomos de qualquer material,
a temperatura finita. Nos supercondutores a corrente eléctrica flui sem resistência nenhuma. As correntes nos condutores subsistem apenas enquanto
eles estão ligados a uma bateria. A bateria fornece energia de forma constante, a qual é necessária para compensar a perda de energia permanente,
devida à resistência. Nos supercondutores, depois de gerarmos uma corrente,
ela mantem-se indefinidamente, mesmo na ausência de qualquer bateria. Tais
materiais são muito cobiçados porque precisam de muito pouca energia para
trabalharem.
A supercondutividade foi descoberta por Heike Kammerling Onnes (18531926), quando este estudava a variação da resistência do mercúrio sólido com
a temperatura. Ele esperava que à medida que a temperatura fosse diminuindo, a resistência aumentasse, porque pensava que o movimento dos electrões
deveria diminuir com a temperatura. Foi uma grande surpresa quando ele
verificou, que em vez de aumentar, abaixo de 4.2 K, a resistência se tornava
nula (ou melhor, não detectável). O problema continua a ser que é preciso arrefecer os materiais a temperaturas muito baixas para obter supercondutores.
Nos últimos anos foi possı́vel obter outros materiais que são supercondutores
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a temperaturas mais altas (50-150 K, 160 K a 106 atmosferas) mas o que se
pretende realmente são materiais supercondutores à temperatura ambiente.
4
Conservação da carga.
Podemos carregar um objecto de vidro esfregando-o com um pedaço de seda.
O objecto de vidro fica carregado positivamente, enquanto a seda fica carregada negativamente. Isto acontece porque houve electrões que fluiram do
vidro para a seda. Ou seja, a carga não pode ser criada, só pode ser transferida de uma região para outra. Este é mais um princı́pio de conservação,
o Princı́pio de Conservação da Carga Eléctrica, que foi proposto primeiramente por Franklin e que tem sido essencialmente provado como verdadeiro,
tanto em processos macroscópicos, como em processos microscópicos, que
envolvem átomos, núcleos e partı́culas elementares.
Por exemplo, no declı́nio radioactivo, quando o Urânio-238 decai para o
Tório-234, por emissão α (ou seja, por emissão de um núcleo de Hélio):
238
92 U
4
⇒234
90 Th +2 He.
Se nós contarmos o número de protões antes e depois desta reacção nuclear
temos: o átomo de Urânio, com um número atómico Z=92, tem 92 protões.
A partı́cula α emitida tem Z=2, é um átomo de Hélio ionizado, com 2 protões
e o núcleo filho, constituı́do pelo átomo de Tório, com um número atómico
Z=90, é formado por 90 protões. Assim, a carga total dos núcleos depois do
decaı́mento continua a ser 92 protões.
Um caso que à partida pode parecer violar o princı́pio de conservação
da carga é a criação e aniquilação de partı́culas. Vocês já devem ter ouvido
falar da antimatéria. Cada partı́cula elementar tem a sua correspondente
antipartı́cula. Assim, o electrão tem uma antipartı́cula, que é o positrão. O
positrão tem uma massa igual à do electrão, é em tudo igual ao electrão,
menos na carga, que é igual em módulo, mas de sinal diferente. Quando uma
partı́cula choca com a sua antipartı́cula, pode acontecer que elas se aniquilem
uma à outra, levando à criação de energia:
e− + e+ ⇒ γ
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Pode à primeira vista parecer que este processo viola o princı́pio da conservação de carga, porque no inı́cio do processo temos duas partı́culas carregadas e no fim temos só energia. Mas se contarmos a carga total antes
e depois do processo, no princı́pio temos uma carga total nula e no fim
temos a mesma coisa, pelo que a carga total se conservou neste processo. A
este processo chama-se aniquilação. Existe também o processo inverso em
que um fotão (radiação electromagnética) de alta energia, ao atravessar a
matéria, cria um par electrão-positrão. Estes processos chamam-se processos
de criação de pares electrão-positrão. Eles podem-se observar numa câmara
de bolhas, porque as partı́culas carregadas ionizam a matéria por onde passam e as regiões ionizadas agem como núcleos para a condensação da água.
5
Força de Coulomb.
Um princı́pio fundamental é também que cargas de sinal contrário se atraem
e cargas de sinal igual repelem-se. A lei que descreve a força de interacção
entre partı́culas carregadas em repouso chama-se lei de Coulomb, em honra
do fı́sico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) que fez um estudo
intensivo dessas forças em 1785, usando uma balança de torsão semelhante
à usada por Henry Cavendish (1731-1810) no estudo da força gravitacional.
O resultado é que a força que a carga q1 exerce sobre a carga q2 é dada por:
q1 q2
(2)
F~E = K 2 ~e12
r12
onde r12 é a separação entre as cargas, ~e12 é um vector unitário (versor)
que indica a direcção da carga 1 para a carga 2 e K é chamada a constante
electrostática. O ponto de aplicação desta força é na carga 2, mas a força é
devida à presença da carga 1.
A força electrostática entre duas cargas (2) é análoga à força gravitacional, se as cargas forem substituı́das pelas massas e K for substituı́da pela
constante gravitacional. A constante K escreve-se também como:
1
K=
= 8.99 × 109 Nm2 /C2
(3)
4 π 0
onde 0 é a permitividade eléctrica do vácuo:
0 = 8.85 × 10−12 C2 /Nm2 .
(4)
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A permitividade eléctrica do ar é aproximadamente igual à do vácuo.
Quando as partı́culas se encontram noutro meio, fica:
1
4π
onde é a permitividade eléctrica desse meio.
K=
(5)
Aplicação.
Consideremos dois iões de sódio no ar à distância de 100 Å. Qual a força de
interacção entre eles? Já estudámos duas possibilidades: a força gravitacional
e agora a força eléctrica. Vamos calcular estas duas forças. A força (de
atracção) gravitacional entre dois iões de sódio é:
FG = G
−27 2
m2Na
)
−11 (22.99 × 1.66 × 10
=
6.67
×
10
≈ 10−42 N
2
−10
2
r
(100 × 10 )
(6)
Por outro lado usando (2) determinamos que a força (de repulsão) eléctrica
é:
(1.602 × 10−19 )2
FE = 8.99 × 109
≈ 10−12 N
(7)
(100 × 10−10 )2
Ou seja, vemos que a força eléctrica entre dois iões sódio é 30 ordens de
grandeza maior que a força gravitacional. Por isso, as forças gravitacionais
entre objectos carregados podem-se desprezar. Por outro lado, quando consideramos massas macroscópicas, como a Terra, a Lua ou o Sol, que são
globalmente neutras, são as forças gravitacionais que prevalecem e os seus
movimentos são regulados pelas forças gravitacionais. Assim, enquanto a estrutura da matéria é regulada pelas forças eléctricas, a estrutura do Universo
é regulada pelas forças gravitacionais.
6
O Princı́pio de sobreposição.
Se tivermos não uma, mas várias cargas eléctricas, podemos calcular as forças
que elas exercem umas sobre as outras considerando que elas interagem separadamente, duas a duas. Assim, a força eléctrica que actua sobre a carga
q, devida à presença das cargas q1 , q2 , q3 , q4 , etc, é a soma das forças F~1 , F~2 ,
F~3 , F~4 , etc:
F~tot = F~1 + F~2 + F~3 + F~4 + · · ·
(8)
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7
onde, para cada uma das forças, F~i , se aplica a expressão da força de Coulomb
(2). A equação acima traduz o chamado Princı́pio de sobreposição das forças
eléctricas e diz-nos que a força total resulta da sobreposição linear das forças
individuais, devidas a cada uma das cargas. As forças são vectores e portanto
esta soma é uma soma vectorial, ou seja, o módulo da soma não é, em geral,
igual à soma dos módulos de cada uma das forças.
7
O campo eléctrico
Quando se aproximam duas cargas e elas interagem pela força de Coulomb
(2), como é que elas sabem da existência uma da outra, não estando em contacto directo? Esta mesma questão já tinha sido considerada por Newton ao
estudar a força gravitacional, a qual pode interagir através de vastas regiões
de espaço vazio. Tão longe, que um objecto pode começar a sentir o efeito
dessa força muito antes de poder ver o objecto que a cria. É a chamada
acção à distância, que é explicada em termos da existência de um campo
criado pelas cargas. O conceito de campo é um conceito misterioso do ponto
de vista fı́sico porque significa que o efeito das cargas não fica confinado
ao local onde elas se encontram ou ao volume que ocupam, como no caso
dos choques mecânicos entre partı́culas, mas estende-se por toda a região do
espaço à volta delas. Mas, embora do ponto de vista fı́sico não seja muito
fácil perceber como é que isto acontece, do ponto de vista matemático há
formalismos bem definidos para descrever campos e as suas propriedades.
Já vimos uns exemplos de campo, por exemplo, a pressão. Numa sala,
a pressão tem um certo valor médio. Isso quer dizer que podemos tomar as
várias regiões dessa sala e atribuir-lhes um valor para a pressão. No caso
dessa sala, essa pressão é aproximadamente igual em todos os pontos. Do
ponto de vista matemático, o volume ocupado por essa sala é um campo de
pressões uniforme. Na atmosfera terrestre, ou seja, numa camada esférica
a certa distância da superfı́cie terrestre, a pressão não é igual em todos os
pontos. São estes gradientes de pressão que geram os ventos e contribuem
para as variações climatológicas. A este conjunto de pontos, cada um dos
quais com certo valor da pressão, chama-se um campo de pressões. Como a
pressão é um escalar, o campo das pressões é um campo escalar.
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Electromagnetismo
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Da mesma forma, o campo eléctrico criado por uma carga é o conjunto
de valores que o campo eléctrico assume na região do espaço à volta dessa
carga. Como o campo eléctrico é um vector, em cada ponto do espaço vai
estar definido um vector que é o valor do campo eléctrico nesse ponto. Podemos entender a acção à distância implicita na força electrostática entre duas
cargas (2) da forma seguinte: dizemos que uma carga, q1 , cria um campo
eléctrico no espaço. Esse campo representa uma espécie de zona de influência
criada pela carga q1 . Quando se insere uma outra carga, q2 , nesse campo,
o campo vai exercer sobre a carga q2 uma força que, em qualquer ponto do
campo, é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as duas.
Este campo é o campo eléctrico criado pela carga q1 . Dizemos que q1 é a
~ onde se encontra a carga
fonte do campo. O campo eléctrico no ponto P2 , E,
q2 , define-se como a força eléctrica por unidade de carga:
~
~ = FE
E
q2
7.1
(9)
Linhas equipotenciais e linhas de campo.
Como se faz a visualização de um campo eléctrico? Quando assistem aos
boletins meteorológicos vocês vêem representações gráficas do campo da
pressão atmosférica. Os mapas mostram as chamadas linhas equipotenciais
da pressão, que se obtêm ligando os pontos que estão todos à mesma pressão.
Quando completo, esse mapa mostra as regiões onde a pressão é alta e onde a
pressão é baixa. Podemos desenhar estes mapas porque a pressão varia sem
grandes descontinuidades de ponto para ponto. Em geral, a força eléctrica e
o campo eléctrico variam também de forma contı́nua de ponto para ponto.
Mas há uma diferença fundamental entre o campo das pressões e o campo
eléctrico: a pressão é uma quantidade escalar e o campo eléctrico é uma
quantidade vectorial. No caso do campo eléctrico, ou da força, não só temos
uma intensidade em cada ponto, mas também um sentido e uma direcção.
Faraday, que introduziu a ideia de campos para descrever as interacções entre
partı́culas carregadas no século 19, pensava no espaço à volta de um corpo
carregado como cheio das chamadas linhas de força. Agora preferimos falar
de linhas de campo. Como contruı́mos as linhas de campo?
Suponhamos que queremos representar a força eléctrica devida a uma
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Electromagnetismo
9
carga negativa −Q medindo essa força com uma carga de prova1 . Como a
carga de prova é positiva, a carga de prova é atraı́da pela carga que cria o
campo. As linhas de força são radiais, dirigindo-se todas para o local onde se
encontra a carga. No caso de uma carga positiva, as linhas de força têm ainda
a mesma direcção radial, mas têm um sentido inverso, dirigindo-se para fora
da carga. Como se pode ver pela definição de campo eléctrico (9), as linhas
de campo são colineares com as linhas de força e como a carga de prova é
positiva, têm também a mesma direcção (ver Figura 1). A direcção destas
linhas é igual à da força em cada ponto (ver figura 1).
Figure 1: Linhas de força ou linhas de campo (a) à volta de uma carga
negativa e (b) à volta de uma carga positiva. A densidade das linhas diminui
com o quadrado da distância à carga fonte.
Para cargas isoladas, as linhas de força prolongam-se até ao infinito ou
vêm do infinito. Mas como a matéria é neutra, não há cargas isoladas, pelo
que as linhas de campo têm um princı́pio e um fim. Consideremos o caso em
que temos dois objectos, um carregado positivamente e outro carregado negativamente. Para esta configuração de cargas as linhas de campo são como
mostra a figura 2: nascem na carga positiva e acabam na carga negativa.
Esta observação é válida não só para a configuração da figura 2 como para
qualquer outra configuração. De modo geral, se as linhas de campo forem
rectilı́nias a sua direcção é a direcção do campo em cada ponto. Se as linhas
1
Uma carga de prova é uma carga hipotética, pontual, sempre positiva, que é suficientemente pequena para não alterar o campo.
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Electromagnetismo 10
forem curvas, a tangente às curvas em cada ponto dá a direcção do campo
eléctrico nesse ponto. A intensidade do campo numa região é proporcional
ao número de linhas de campo numa área perpendicular à direcção das linhas
de campo.
Figure 2: As linhas do campo eléctrico começam na carga positiva e terminam
na carga negativa.
Os campos eléctricos estão longe de ser uma abstracção matemática: é
possı́vel visualizá-los usando limalha de ferro ou até sementes. Quando submetidas a um campo eléctrico, as cargas positivas vão sofrer uma força num
sentido e as cargas negativas vão sofrer uma força em sentido contrário. Por
causa desta separação de cargas a semente fica com um lado positivo e o
outro negativo. A este processo chama-se polarização. Uma vez polarizadas,
as partı́culas alinham-se segundo a direcção do campo e tornam visı́veis as linhas de campo. A figura 3 mostra as linhas de campo para várias distribuições
de carga.
7.2
Campo Eléctrico de uma carga pontual.
O campo eléctrico criado por uma carga pontual, q1 , no ponto 2, pode obterse colocando uma carga de prova, q2 , nesse ponto e medindo a força de
Coulomb que a carga q1 exerce sobre a carga q2 . Da expressão (2) e da
expressão do campo eléctrico (9), fica:
~ = K q1 ~e12
E
(10)
2
r12
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Electromagnetismo 11
Figure 3: Linhas do campo eléctrico em torno de (a) duas cargas de sinal
igual, (b) duas cargas de sinal oposto, (c) um anel carregado (note que o
campo dentro do anel é nulo), (d) um condutor carregado de forma arbitrária,
(e) uma placa carregada e (f) um par de placas de carga igual, distribuida
uniformemente e sinal contrário.
temos assim o campo eléctrico, no ponto P2 , criado por uma carga, q1 , situada
no ponto P1 . Do princı́pio de sobreposição para as forças electrostáticas pode-
Electromagnetismo 12
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~ 1,
mos deduzir o princı́pio de sobreposição para os campos eléctricos. Sendo E
~ 2, E
~ 3 , · · ·, E
~ n , os campos criados por n cargas diferentes, separadamente,
E
~ criado por essa distribuição de cargas é:
o campo total, E
~ =E
~1 + E
~2 + E
~3 + · · · + E
~n
E
7.3
(11)
Campo criado por um dipolo.
Uma das distribuições de carga mais simples em que podemos pensar é a
formada por uma carga positiva e uma carga negativa, iguais em módulo.
Chamamos dipolo a esta configuração e ao campo eléctrico criado por ela
chamamos campo dipolar. Podemos calcular o campo dipolar usando o
princı́pio de sobreposição e calculando primeiro os campos eléctricos criados pela carga positiva e negativa, separadamente. Para isso consideremos
um ponto P a uma distância z do centro do dipolo (carga negativa abaixo
da carga positiva, z é a distância ao centro do dipolo, r é a distância à carga
positiva). Assim temos:
!
q ~
1
1
~ = E + E = K q ~j − K
~j (12)
E
j
=
Kq
−
d
r2
(r + d)2
(z − 2 )2 (z + d2 )2
~+
ou
~−

~ =K q  1− d
E
z2
2z
!−2
−
!−2 
d
 ~j
1+
2z
(13)
Considerando o desenvolvimento em série de McLaurin:
f (x) = f (0) + f 0 (0) x +
para a funções (1 ± x)−2 , onde x =
d
,
2z
1 00
f (0) x2 + · · ·
2
(14)
temos:
f (0) = 1 ; f 0 (x) = ∓2 (1 ± x)−3 ; f 00 (x) = +2 × 3 (1 ± x)−4
ou seja,
f 0 (0) = ∓2 ; f 00 (0) = +6
fica:
d
d
d
(1 ± )−2 = 1 ∓ + 3
2z
z
2z
!2
+ ···
(15)
Electromagnetismo 13
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e temos, até à terceira potência de
d
1−
2z
!−2
d
:
2z
d
− 1+
2z
!−2
=2
d
z
(16)
o que, substituı́do na expressão (13), fica:
~
~ = K q 2 d ~j = 2 K q d j = 1 p~
E
z2 z
z3
2π0 z 3
(17)
O vector p~ = q d ~j é o momento eléctrico dipolar. Trata-se de um vector que
se dirige da carga negativa para a carga positiva e que tem a direcção do eixo
do dipolo. O campo eléctrico criado pelo dipolo ou campo eléctrico dipolar é
proporcional à intensidade do momento eléctrico dipolar, ou seja, ao produto
de q por d. Se a dimensão do dipolo aumentar de um certo factor e a carga
diminuir do mesmo factor, o campo dipolar não se altera.
A expressão (17) tem várias limitações, já que foi deduzida para pontos
no eixo do dipolo e suficientemente afastados dele para o desenvolvimento
em série de Taylor ser válido. Mas pode-se provar que o campo eléctrico
de um dipolo é inversamente proporcional ao cubo da distância, em todos
os pontos, onde a distância é a distância ao centro do dipolo. Notar que o
campo criado por uma carga varia proporcionalmente ao inverso do quadrado
da distância e portanto decresce muito mais devagar que o campo dipolar.
A grandes distâncias, um dipolo parece um conjunto de duas cargas iguais
em módulo e de sinal diferente que quase coincidem. Os campos criados por
elas são quase iguais e opostos, mas não se cancelam completamente.
8
Campo de uma distribuição contı́nua de
cargas.
Já dissémos que as cargas eléctricas não ocorrem em quantidades menores
que a carga de um electrão. Mas, em certas distribuições, que envolvem
um grande número de cargas, podemos ignorar o carácter descontı́nuo da
distribuição e tratá-la como se fosse contı́nua. As distribuições contı́nuas são
descritas por funções densidade de carga. Vamos ver como se calculam os
campos eléctricos criados por distribuições contı́nuas.
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8.1
Electromagnetismo 14
Campo eléctrico de um anel carregado.
No caso de uma distribuição de carga ao longo de um condutor unidimensional podemos definir a carga por unidade de comprimento, λ = q/L, onde
q é carga total do condutor e L o seu comprimento. Consideremos uma distribuição de carga contı́nua, positiva e uniforme, num anel fino de raio R.
Qual é o campo eléctrico num ponto P ao longo do eixo do anel e à distância
z do plano do anel? Não podemos aplicar a lei (10) directamente porque não
temos só uma carga. Mas podemos dividir o anel em elementos diferenciais
tão pequenos que eles se comportem como cargas pontuais e aplicar (10) a
cada um deles. Vemos que para cada elemento do anel existe um elemento
directamente oposto (a 180 graus) que cria um campo igual em módulo mas
com uma projecção sobre o plano contrária. Assim, por simetria, podemos
concluir que as componentes do campo no plano do anel se anulam e que a
única componente não nula do campo vai ser segundo o eixo do anel. Sendo
λ a densidade de carga num elemento do anel, a carga desse elemento é:
dq = λ ds
(18)
Podemos considerar este elemento de carga como uma carga pontual e aplicar
ao campo por ele criado a expressão (10):
~ =
dE
1 dq
~k + sin θ ~er ) = 1 λ d s (cos θ ~k + sin θ ~er )
(cos
θ
4 π 0 r 2
4 π 0 r 2
(19)
onde ~k é o versor do eixo do anel (assumindo que o sentido positivo é para
cima) e ~er é o versor que indica a direcção radial no plano do anel. Como vimos, as componentes do campo eléctrico perpendiculares ao eixo do anel para
elementos directamente opostos, anulam-se mutuamente pelo que a única
componente não nula é segundo o eixo do anel. O módulo dessa componente
é:
Z
Z
Z πR
1 λ cos θ
~ = ~ =
~ =
|E|
d
E
2
|d
E|
2
ds
(20)
4 π 0 r 2
anel
anel/2
0
(Notemos que em geral o módulo do integral não é igual ao integral do
módulo, tal como o módulo de uma soma de vectores não é igual à soma dos
módulos de cada um deles. Mas como neste caso todos os vectores têm a
mesma direcção e sentido, o módulo da soma (o módulo do integral) é igual
à soma dos módulos (o integral do módulo)).
Electromagnetismo 15
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A função integranda é constante ao longo do perı́metro da circunferência
pelo que a podemos passar para fora do integral e fica:
1 2 λ cos θ Z πR
1 λ cos θ
d
s
=
2πR
(21)
4 π 0
r2
4 π 0 r 2
0
√
Como podemos escrever cos θ = z/r e r = R2 + z 2 , obtemos finalmente:
~ =
|E|
~ =
|E|
λR
z
1
qz
=
2
2
3/2
2
20 (z + R )
4 π 0 (z + R2 )3/2
(22)
onde q = λ 2πR é a carga total no anel. Se a carga no anel for negativa, em
vez de ser positiva, o módulo do campo e a direcção do campo são os mesmos
mas o sentido é contrário e o campo aponta para o anel, em vez de apontar
para fora do anel.
Num ponto do eixo que esteja suficientemente longe do centro do anel
z >> R e a expressão do campo fica:
~ =
|E|
1 q
4 π 0 z 2
(23)
o que quer dizer que a grande distâncias o anel de carga cria um campo
idêntico ao de uma carga pontual com a mesma carga. Isso é natural porque
a grande distância, um anel é indistinguı́vel de uma carga pontual.
No centro do anel, para z = 0, concluı́mos que o campo é nulo. Também
podemos concluir isto da simetria do problema, visto que no centro do anel,
só as componentes radiais criadas por cada elemento são não nulas, mas elas
anulam-se aos pares.
8.2
Campo eléctrico de um disco carregado.
Consideremos um disco de raio R carregado positivamente e seja σ = Q/A a
carga por unidade de área, ou densidade superficial de carga. A carga total
do disco pode escrever-se:
Z
q=
σ dS
(24)
área
Qual o campo eléctrico num ponto, P , situado à distância, z, do eixo do
disco? Podemos usar o resultado obtido antes e considerar o disco como
c
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Electromagnetismo 16
um conjunto de anéis concêntricos, de raio variável. A carga num elemento
diferencial de área é:
dq = σ dS
(25)
Escrevendo o elemento diferencial de área como dS = 2πr dr e substituindo
~ criado por este elemento
a carga total no anel por dq, o campo eléctrico dE
de carga superfı́cial é:
~ =
dE
1
dq z
2r dr
~k = 1 σ 2πr zdr ~k = σz
~k (26)
2
2
3/2
2
2
3/2
2
4 π 0 (z + r )
4 π 0 (z + r )
40 (z + r2 )3/2
Nesta expressão a variável ao longo da qual queremos integrar é r, o raio do
anel, que vai variar de 0 a R, por forma a gerar o disco. O campo eléctrico
gerado por cada um dos anéis é segundo o eixo dos zz e, se a carga no anel
for positiva, é segundo o sentido positivo desse eixo. Assim, podemos mais
uma vez calcular o módulo do campo eléctrico total a partir do integral do
módulo:
Z
σz Z R
2r
~
~
|E| = |dE| =
dr
(27)
2
40 0 (z + r2 )3/2
Para fazer esta integração queremos uma primitiva da função integranda. É
fácil ver que:
"
#
2r
−2
P
= 2
(28)
2
2
3/2
(z + r )
(z + r2 )1/2
O campo eléctrico ao longo do eixo do disco fica:
"
1
~ = −2 σz
|E|
2
40 (z + r2 )1/2
#R
σz
=−
20
1
1
√
−
z 2 + R2 z
!
σ
z
=
1− √ 2
20
z + R2
0
(29)
Se fizermos R ⇒ ∞ mantendo z finito, o segundo termo de entre parêntesis
tende para zero e o campo eléctrico fica:
~ = σ
|E|
(30)
20
que corresponde ao campo criado por uma superfı́cie plana infinita com uma
distribuição uniforme de carga. Devemos notar que este campo não depende
da coordenada z, é igual em todos os pontos do espaço. Não parece muito
realista, mas uma superfı́cie plana infinita também não é muito realista. Mas
a expressão é também válida para campos gerados por superfı́cies planas finitas, em pontos que estejam suficientemente longe das extremidades.
!
c
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9
9.1
Electromagnetismo 17
Movimento de cargas em campos eléctricos.
Força de Lorentz.
Na secção anterior vimos como se pode obter o campo eléctrico gerado por
vários tipos de distribuição de carga. Resta-nos ver o que acontece a uma
partı́cula carregada quando está sujeita a um campo eléctrico.
A expressão (9) permite-nos também escrever a força eléctrica que actua
~ sob a forma
numa carga, q, que está sob a acção de um campo eléctrico, E,
seguinte:
~
F~E = q E
(31)
que é conhecida como a força de Lorentz, em honra do fı́sico holandês, Henrik Antoon Lorentz (1853-1928). Aqui o campo eléctrico não é o campo
gerado pela carga q mas sim o campo sofrido pela carga q. Para distinguir,
~ em (31) o campo externo ou campo
chamamos muitas vezes ao campo E
aplicado. Esta fórmula é geral e aplica-se a todos campos, quer eles sejam
gerados por uma carga pontual e tenham a forma dada pela lei de Coulomb
(10), quer sejam criados por outras distribuições de carga. Assim, uma vez
determinada a expressão matemática de um campo podemos usar a equação
(31) para calcular a força que vai actuar sobre uma partı́cula carregada nesse
campo. Uma vez tendo a força, podemos usar a segunda lei de Newton para
descrever o movimento dessa partı́cula carregada. Vamos ver um exemplo.
9.2
O tubo de raios catódicos.
O osciloscópio é um instrumento electrónico usado para fazer medições eléctricas. A sua componente principal é o tubo de raios catódicos, que também
podemos encontrar numa televisão ou num monitor de um computador. O
tubo de raios catódicos é um tubo de vácuo em que os electrões são acelerados
e deflectidos sob a acção de campos eléctricos. Um feixe de electrões é produzido por um conjunto chamado canhão de electrões situado na parte mais
fina do tubo. Este conjunto inclui um aquecedor, um eléctrodo negativamente carregado (cátodo) e um eléctrodo positivamente carregado (ânodo).
O aquecedor é aquecido através de uma corrente eléctrica e, por sua vez,
aquece o cátodo. Quando a temperatura do cátodo é suficientemente grande,
este emite electrões. Estes electrões são colimados pelo ânodo, que tem, para
Electromagnetismo 18
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isso, um orifı́cio no centro. Assim se forma um feixe de electrões que, ao incidir no écran fluorescente, produz um ponto luminoso. O feixe de electrões
pode ser deflectido quando passa por dois pares de placas, um vertical, outro
horizontal. Estas placas criam um campo eléctrico vertical ou horizontal.
Quando um electrão passa por entre as placas e estas estão carregadas, ele
vai ser deflectido devido à força de Lorentz. Por causa da fluorescência, no
écran podemos ver a trajectória do electrão devida à força aplicada. Ou seja,
variando o campo eléctrico entre as placas horizontal e vertical, podemos
variar a posição do feixe no écran. Os sinais que se medem no osciloscópio
fazem variar os campos eléctricos das placas. Se a variação do campo das
placas for suficientemente rápida, podemos desenhar curvas no écran.
10
Fluxo de um campo.
Já vimos como se obtêm expressões para o campo eléctrico de várias distribuições de carga usando essencialmente a lei de Coulomb. Agora vamos
ver como se podem obter expressões para o campo eléctrico gerado por distribuições de carga com um elevado grau de simetria. Nestes casos podemos
usar a chamada Lei de Gauss. Antes de falarmos da lei de Gauss, temos que
definir um conceito aplicável a qualquer campo vectorial: o conceito de fluxo.
Vejamos, por exemplo, como definimos o fluxo de ar através de um plano. O
movimento do ar é representado por um campo de velocidades, ou seja, cada
região do ar move-se com uma certa velocidade. Chama-se fluxo do campo
de velocidades através da superfı́cie S à quantidade Fv :
~
Fv = ~v · S
(32)
~ é o vector área, definido como um vector de intensidade igual à área
onde S
~ é colinear com ~v , o fluxo fica:
e cuja direcção é normal ao plano. Quando S
Fv = vS =
V
LS
=
t
t
(33)
o que mostra que o fluxo do campo da velocidade corresponde ao volume
que passa através da área S por unidade de tempo. Mas é também o fluxo
do campo de velocidades através da área S. Esta outra definição é extensiva
a qualquer campo vectorial. O fluxo desse campo vectorial através de uma
superfı́cie é assim a quantidade desse campo que intercepta essa superfı́cie.
De modo geral, os campos não são uniformes, ou seja, o valor do vector
Electromagnetismo 19
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não é igual para todos os pontos da superfı́cie, e o fluxo é calculado como
a soma dos fluxos infinitesimais através de elementos de área infinitesimais.
Para o campo eléctrico definimos o fluxo do campo eléctrico através de uma
superfı́cie S, Fe , como:
Z
~ · dS
~
Fe = E
(34)
onde o integral é feito ao longo da superfı́cie S.
10.1
Lei de Gauss.
O comportamento do campo electromagnético é descrito pelas equações de
Maxwell. Estas equações exprimem, numa forma local, as relações entre
o campo eléctrico e o campo magnético e as respectivas fontes. São das
equações mais gerais que já têm sido propostas, descrevem um número imenso
de situações fı́sicas e conduziram à previsão da existência das ondas electromagnéticas, à identificação da luz como uma onda electromagnética e à
consequente unificação da óptica com o electromagnetismo.
A lei de Gauss é equivalente a uma das equações de Maxwell que relaciona
o campo eléctrico com as cargas eléctricas que o geram e diz-nos que o fluxo
do campo eléctrico através de uma superfı́cie (conceptual) é proporcional à
quantidade de carga contida no volume delimitado por essa superfı́cie:
Fe =
Z
~ · dS
~= q
E
0
(35)
onde o integral é feito sobre uma superfı́cie fechada que delimita a carga total, q. Temos pois que a quantidade de campo eléctrico que intercepta essa
superfı́cie é igual à carga total contida na superfı́cie.
Devemos notar que estas superfı́cies não têm que ser reais, em muitas
aplicações são conceptuais e podemos escolhê-las como quisermos. Em exemplos veremos que a forma mais conveniente é escolher superfı́cies que
têm a mesma simetria da distribuição de carga.
Consideremos as quatro superfı́cies na figura 4. A superfı́cie 1 contém no
seu interior apenas carga positiva. Na superfı́cie 1, o campo eléctrico tem
um sentido para fora da superfı́cie em todos os elementos de área pelo que,
se medı́ssemos o fluxo do campo eléctrico através desta superfı́cie, ele seria
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Electromagnetismo 20
Figure 4: Fluxo do campo eléctrico através de quatro superfı́cies de Gauss.
(Figura 25-5, p. 684, Halliday, Resnick and Walker).
positivo (a função integranda é positiva em toda a superfı́cie), o que está de
acordo com a lei de Gauss. Ou seja, a carga eléctrica contida no volume delimitado por esta superfı́cie é positiva. A superfı́cie 2 contém no seu interior
apenas carga negativa. Na superfı́cie 2, o campo eléctrico tem um sentido
para dentro em todos os pontos. O fluxo do campo eléctrico através desta
superfı́cie é negativo (a função integranda é negativa em todos os elementos
de área). A superfı́cie 3 não contém qualquer carga e vemos que o fluxo total
que passa através dela é nulo, porque as mesmas linhas do campo eléctrico
que entram, tornam a sair. Finalmente, a superfı́cie 4 inclui ambas as cargas,
a positiva e a negativa. A carga total nela contida é nula, pelo que, pela lei
de Gauss, o fluxo total do campo eléctrico através da superfı́cie 4 deve ser
nulo. Vemos que, por causa da carga positiva, há linhas de campo do campo
eléctrico que saem através da superfı́cie 4 e, por causa da carga negativa,
há linhas de campo eléctrico que entram. E há outras linhas que entram e
Electromagnetismo 21
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saem, como acontece na superfı́cie 3. Se fossemos avaliar tudo de uma forma
quantitativa precisa verı́amos que o número de linhas de campo que saem da
superfı́cie 4 é igual ao número de linhas que entra nessa superfı́cie. Como a
intensidade do campo eléctrico é proporcional ao número de linhas de campo,
o fluxo do campo eléctrico que entra na superfı́cie 4 é igual ao fluxo do campo
eléctrico que sai dessa superfı́cie.
Podemos usar a lei de Coulomb e a lei de Gauss para calcular campos
para diversas distribuições de carga. Fisicamente, na lei de Coulomb, as
fontes são as cargas, enquanto na lei de Gauss o campo eléctrico está em
pé de igualdade com a carga: o primeiro gera a segunda e vice versa. Na
verdade, para cargas estacionárias, ou que se movem lentamente, as duas leis
são equivalentes. Se as cargas se movem rapidamente, as linhas de campo são
comprimidas num plano perpendicular à direcção do movimento e perdem a
simetria esférica. Nesse caso, a lei de Coulomb deixa de ser válida, mas a lei
de Gauss continua a ser. Ou seja, a lei de Gauss é mais geral que a lei de
Coulomb.
Vamos mostrar como se pode deduzir a lei de Coulomb a partir da lei de
Gauss. Consideremos uma carga pontual q positiva e uma superfı́cie esférica
~ é perpendicular à
imaginária centrada na posição da carga. O vector dS
superfı́cie em cada ponto e tem um sentido para fora da esfera. (A normal
à superfı́cie num ponto tem a mesma direcção que o gradiente, portanto
é dirigida segundo o sentido crescente das superfı́cies equipotenciais). Por
outro lado, o campo eléctrico é também perpendicular à superfı́cie, dirigido
para fora e em módulo igual em todos os pontos. Isto resulta da simetria
esférica: se rodarmos a distribuição de carga em torno de qualquer eixo
que passe pelo centro da esfera obtemos uma distribuição de carga em tudo
idêntica à original. Se a distribuição é a mesma, então o campo produzido
por ela deve ser o mesmo. Mas o campo entretanto rodou também. A única
forma do campo ser o mesmo é se os vectores rodados são iguais aos não
rodados: campos perpendiculares em cada ponto, dirigidos para fora e iguais
em módulo. A lei de Gauss permite-nos então encontrar a expressão do
campo eléctrico em função da distância. Temos:
Z
~ · dA
~=
E
Z
~ dA =
|E|
q
0
(36)
~ ser constante na superfı́cie da esfera, podemos passar
Usando o facto de |E|
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Electromagnetismo 22
~ para fora do integral. Fica:
|E|
~
|E|
Z
~ 4πr2 = q ⇒ |E|
~ = 1 q
dA = |E|
0
4π0 r2
(37)
onde a última expressão é a lei de Coulomb.
A escolha da superfı́cie imaginária teve três efeitos:
1. O produto interno do campo eléctrico pelo vector área é simplesmente
o produto dos módulos de cada um destes vectores.
2. Pudémos usar a simetria da distribuição e a da superfı́cie para concluir
que o módulo do campo eléctrico é igual em todos os pontos da esfera
e passar este módulo para fora do integral.
3. A integração sobre a superfı́cie reduziu-se ao cálculo da superfı́cie da
esfera, ou seja, pudemos evitar a integração da projecção do campo
eléctrico sobre a superfı́cie.
A escolha da superfı́cie imaginária é totalmente arbitrária e o resultado
não depende dessa escolha. Mas as integrações são muito mais difı́ceis de fazer
se as superfı́cies não tiverem a mesma simetria que a distribuição. Noutras
distribuições de carga procuramos escolher superfı́cies de forma a que possamos usar aquelas consequências.
10.2
Distribuição de carga num condutor isolado.
Num condutor isolado, ou em equilı́brio electrostático, não há corrente. Isto
quer dizer que o campo eléctrico dentro do condutor é nulo. Mas se o campo
eléctrico dentro do condutor é nulo, então o fluxo do campo eléctrico, através
de qualquer superfı́cie contida no condutor, é nulo. Se o fluxo através de qualquer superfı́cie contida no condutor é nulo, pela lei de Gauss, a carga dentro
do condutor é também nula. Assim, podemos concluir que a carga de um
condutor isolado, ou em equilı́brio electrostático, se encontra à superfı́cie.
Poder-se-ia pensar que uma distribuição de carga à superfı́cie do condutor
deveria gerar um campo eléctrico dentro do condutor. Se nós considerarmos
as diferentes regiões à superfı́cie do condutor cada uma delas gera um campo
eléctrico. Mas as diferentes cargas nas diferentes regiões geram campos que
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Electromagnetismo 23
se anulam uns aos outros, em todos os pontos. Ou seja, o vector soma do
campo eléctrico devido a todos os elementos de carga é nulo.
Podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo eléctrico na região
imediatamente fora do condutor. Para isso usamos uma superfı́cie imaginária
com a forma de um cilindro, centrado num elemento de carga da superfı́cie,
com uma área suficientemente pequena para podermos ignorar a curvatura.
Um dos lados do cilindro fica dentro do condutor e o outro sai para o lado
de fora do condutor. O campo eléctrico na superfı́cie é perpendicular à
superfı́cie. Se não fosse, então existiria uma componente não nula do campo
segundo a superfı́cie e esse campo produziria uma corrente no condutor.
Quando as cargas estão em equilı́brio, não há corrente e o campo eléctrico
segundo a superfı́cie é nulo. Assim o fluxo do campo eléctrico através do
cilindro só tem contribuições não nulas através da tampa exterior (visto que
o campo eléctrico dentro do condutor é nulo). O fluxo através da tampa
~ ·A
~ = E A e pela lei de Gauss, esse fluxo é proporcional à
exterior é E
quantidade de carga dentro do cilindro, σA. Temos então:
EA=
q
σA
σ
=
⇒E=
0
0
0
(38)
(Esta expressão pode parecer contraditória com a expressão (30) do campo
de uma superfı́cie infinita carregada. A diferença é que uma superfı́cie infinita tem campo não nulo dos dois lados, enquanto que a superfı́cie de um
condutor tem um lado (o exterior) em que o campo não é nulo, e o outro, o
interior, em que o campo é nulo.)
Concluı́mos que o campo eléctrico numa região imediatamente fora do
condutor é proporcional à quantidade de carga superficial nessa região do
condutor. Se o condutor for esférico, a distribuição de carga é uniforme e
esta densidade de carga superficial é igual em todos os pontos. Mas a fórmula
acima é válida seja qual for a forma do condutor e mesmo que a densidade
de carga superficial não seja constante.
10.3
Campo eléctrico de um fio carregado.
Consideremos um fio infinitamente longo carregado, com uma distribuição de
carga por unidade de comprimento λ. Qual o campo eléctrico a uma certa
Electromagnetismo 24
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distância r do fio?
Escolhemos uma superfı́cie imaginária com a mesma simetria do fio, isto
é, uma simetria cilı́ndrica. Qual a direcção do campo ao longo deste cilindro
? Imaginemos que rodávamos o fio em torno do seu eixo ou de maneira a trocarmos as suas extremidades: o sistema continuava exactamente na mesma e
o campo eléctrico criado pelo sistema continuava também na mesma. Assim,
o campo criado pelo fio só pode ser radial, se tivesse outras componentes,
estas seriam alteradas por aquelas operações de simetria. Além de radial, o
campo deve também ser igual em módulo ao longo do cilindro, isto é, não
pode variar com a direcção, se não, ao rodar o cilindro, o campo gerado pelo
fio seria diferente do campo gerado pelo fio antes da rotação. O fluxo do
campo eléctrico através do cilindro resume-se ao fluxo através da parede do
cilindro (como o campo eléctrico é perpendicular às tampas, o fluxo através
das tampas é zero). Temos:
Fe =
Z
~ · dS
~=
E
Z
E dS = E
Z
dS = E 2πr h
(39)
e a carga contida no cilindro é q = λh. Pela lei de Gauss, o campo eléctrico
criado pelo fio carregado é:
E 2πr h =
λh
1 λ
⇒E=
0
2π0 r
(40)
Esta é a expressão do módulo do campo eléctrico de um fio carregado
infinitamente longo a uma distância r. A direcção do campo é radial e o seu
sentido é para fora se a carga do fio for positiva e para dentro se a carga
do fio for negativa. Esta expressão é também válida para o campo eléctrico
de um fio finito, desde que seja suficientemente longe das extremidades do fio.
Aplicação.
Podemos aplicar a expressão (40) à descarga eléctrica de um raio durante
uma trovoada. O raio é precedido de um estágio invisı́vel durante o qual
uma coluna de electrões se forma entre as nuvens e o chão. Estes electrões
ficam livres devido à ionização das moléculas de ar dentro da coluna. A
distribuição de carga dentro da coluna é tipicamente de −1 × 10−3 C/m.
Quando a coluna atinge o chão, os electrões dentro dela são rapidamente
despejados para o solo. Esta corrente gera muitas colisões entre os electrões e
o ar dentro da coluna, da qual resultam as emissões de luz do raio. Assumindo
Electromagnetismo 25
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que as moleculas de ar se ionizam quando o campo eléctrico é superior a
3 × 106 N/C, qual o raio da coluna? Apesar da coluna não ser rectilı́nia,
nem infinitamente longa, numa primeira aproximação, podemos considerá-la
como uma linha direita carregada e usar (40) para descrever o campo criado
por ela. (Uma vez que a carga contida na coluna é negativa, o campo eléctrico
criado pela coluna tem um sentido para dentro). A superfı́cie da coluna tem
de corresponder a um raio r para o qual a intensidade do campo eléctrico é
pelo menos 3 × 106 N/C, porque as moléculas de ar aı́ se ionizam enquanto
as que estão a distâncias maiores não o fazem. Resolvendo (40) em relação
ao raio r temos:
r=
λ
1 × 10−3 C/m
=
=6m
2π0 E
(2π)(8.85 × 10−12 C2 /N · m2 )(3 × 106 N/C)
Aquele valor diz-nos alguma coisa sobre a distância a que é preciso estar de
um raio para se estar a salvo. O raio da parte luminosa é mais pequeno,
talvez de 0.5 m. Mas apesar do raio da coluna ser 6 m, não pense que está
a salvo se estiver a uma distância ligeiramente maior que essa do ponto de
impacto. Os electrões que são despejados no solo criam correntes no solo, e
estas correntes também são mortais!
10.4
Campos eléctricos de superfı́cies planas carregadas.
Consideremos um plano infinito carregado. Podemos concluir que o campo
eléctrico tem uma direcção radial rodando o plano em torno de um eixo
perpendicular ao plano e vendo que a distribuição de carga não varia, pelo
que o campo eléctrico por ela criado também não pode variar. Tomemos
como superfı́cie imaginária um cilindro que atravessa o plano de um lado ao
outro. O fluxo do campo eléctrico é apenas através das tampas. Pela lei de
Gauss temos:
Z
Z
~
~
E · dS = E dS = (EA + EA) = σA
(41)
onde os dois termos correspondem ao fluxo do campo através das duas tampas. Concluı́mos que o campo eléctrico criado pelo plano carregado é:
E=
σ
20
(42)
que é a expressão que já tı́nhamos obtido a partir do disco carregado (30).
Electromagnetismo 26
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10.5
Campo eléctrico de uma camada esférica.
Seja uma camada esférica carregada uniformemente e uma superfı́cie imaginária de raio inferior ao da camada esférica. Dentro desta superfı́cie não
há qualquer carga pelo que segundo a lei de Gauss o campo eléctrico dentro
da camada esférica carregada é nulo.
Consideremos uma superfı́cie esférica conceptual de raio superior ao da
camada esférica. Pela simetria da distribuição de carga podemos concluir
que o campo é puramente radial. Pela lei de Gauss temos:
Z
~ · dS
~=
E
Z
~
~
|E|dS
= |E|
Z
q
2
~
dS = |E|(4πr
)=
0
(43)
pelo que o campo eléctrico fora da camada esférica é:
~ =
E
1 q
~er
4π0 r2
(44)
igual ao de uma carga pontual com o mesmo valor e centrada no mesmo
ponto.
11
Potencial eléctrico.
O trabalho realizado pela força eléctrica para levar uma carga q de um ponto
para outro numa região onde existe um campo eléctrico pela expressão que
estudaram na Mecânica:
~
dW = F~ · dr
(45)
Usando a expressão da força de Lorentz (31) e integrando entre um ponto
inicial, i, e um ponto final, f , esse trabalho fica:
Wif = q
Z
f
~
~ · dr
E
(46)
i
Tal como na Mecânica o trabalho realizado pela força da gravidade sobre
uma partı́cula é o simétrico da variação da energial potencial (gravı́tica), o
trabalho realizado pela força eléctrica sobre uma partı́cula carregada é igual
a menos a variação da energia potencial (eléctrica) da partı́cula:
Wif = −∆EP = − [ EP (f ) − EP (i) ]
(47)
Electromagnetismo 27
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Considerando o campo eléctrico criado por uma carga pontual, (10), podemos
calcular o trabalho de levar uma carga, q1 , de um ponto, i, à distância ri dessa
carga pontual, até um ponto, f , a uma distância rf dessa carga:
Wif = K q1 q
Z
rf
ri
1
q1 q
q1 q
=− K
−K
2
r
rf
ri
!
(48)
Donde podemos deduzir que a energia potencial da carga q1 , no campo criado
pela carga q, à distância r da carga q, é, a menos de uma constante:
EP = K
q1 q
r
(49)
A energia potencial de uma carga, q1 , num campo, depende do valor da carga,
como se pode ver pela expressão (49). É possı́vel definir uma grandeza que
não depende do valor da carga, chamada potencial eléctrico, Φ:
Φ=
EP
q1
(50)
O potencial eléctrico é pois a energia potencial por unidade de carga. No
sistema SI, a unidade do potencial eléctrico é o joule por coulomb. A esta
unidade chama-se também volt. 1 volt representa pois a diferença de potencial entre dois pontos quando o trabalho de levar uma carga de 1 C entre
esses dois pontos é igual a 1 J:
1 V = 1 J/C.
(51)
Ao contrário do campo eléctrico, o potencial eléctrico é uma grandeza escalar. Já vamos ver qual a relação entre os dois.
A expressão (49) estava definida a menos de uma constante de integração,
pelo que o potencial eléctrico (50) está também definido a menos de uma
constante aditiva. Normalmente medimos diferenças de potencial em relação
à terra, que convencionamos estar a um potencial zero. Nos processos fı́sicos
a quantidade que importa considerar é a diferença de potencial entre dois
pontos. Por exemplo, nas nossas casas, a diferença de potencial entre dois
fios eléctricos é normalmente 220 V, enquanto uma pilha pode fornecer uma
diferença de potencial igual a 1.5 V.
Electromagnetismo 28
c
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Uma outra unidade de energia que se usa para descrever processos microscópicos é o electrão-volt. Esta unidade corresponde ao trabalho necessário
para transportar um electrão entre dois pontos com uma diferença de potencial de 1 V:
1 eV = e × 1V = (1.602 × 10−19 C) × (1V) = 1.602 × 10−19 J
(52)
Os processos atómicos e moleculares, por exemplo as reacções quı́micas,
envolvem trocas de energia da ordem do eV. Os raios X, que resultam de
transições de nı́veis electrónicos mais profundos do que aqueles que participam nas reacções quı́micas, têm energias de 103 eV (keV). As reacções nucleares envolvem energias de 106 eV (MeV) e as interacções entre partı́culas
elementares, como as que se produzem nos aceleradores de partı́culas, envolvem energias de 109 eV (GeV). Apesar de ser uma energia considerável
para uma só partı́cula, 1 GeV representa uma quantidade pequena em termos
macroscópicos, sendo “apenas” 1.6 × 10−10 J. Um meteorito de 0.1 g que caia
na Terra a uma velocidade de 50 km/s tem uma energia aproximada de 8 x
1014 GeV! Neste caso, faz mais sentido escrever a sua energia em J (12.5 x
105 J).
Da definição de potencial eléctrico (50), e da energia potencial de uma
carga num campo criado por uma carga pontual (49), deduzimos que o potencial eléctrico de uma carga pontual, q, a uma distância r da carga é:
q
(53)
Φ=K
r
Chamamos superfı́cies equipotenciais às superfı́cies constituı́das pelos pontos
que têm todos o mesmo potencial. No caso do potencial eléctrico de uma
carga pontual, as superfı́cies equipotenciais são esféricas e estão centradas no
ponto onde se encontra a carga. Vemos também que as linhas equipotenciais
são, em cada ponto, perpendiculares à direcção do campo eléctrico nesse
ponto. Isto é verdade para o campo criado por uma carga pontual e também
para qualquer outro campo. Há uma razão matemática para este facto. Das
definições de trabalho eléctrico (46) e de potencial eléctrico (50), deduzimos:
Φf − Φi = −
Z
f
~
~ · dr
E
(54)
i
Para uma variação infinitesimal do potencial dΦ temos:
~
~ · dr
dΦ = E
(55)
Electromagnetismo 29
c
L.
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Considerando um campo eléctrico geral:
~ = Ex ~i + Ey ~j + Ez ~k
E
(56)
~ = dx~i + dy ~j + dz ~k
dr
(57)
dΦ = −(Ex dx + Ey dy + Ez dz)
(58)
~
e um caminho geral dr:
Substituindo em (55) fica:
Como dΦ(x, y, z) =
∂Φ
∂x
dx +
Ex = −
∂Φ
∂y
∂Φ
∂x
dy +
∂Φ
∂z
dz deduzimos que:
Ey = −
∂Φ
∂y
Ez = −
∂Φ
∂z
(59)
Estas igualdades podem também escrever-se de forma mais condensada como:
~ = −∇Φ
~
E
(60)
~ é o chamado gradiente do potencial eléctrico. O gradiente é uma
onde ∇Φ
espécie de extensão da derivada de uma função. Quando temos uma função
de várias variáveis, em cada ponto existe um número infinito de derivadas,
porque, em cada ponto, podemos considerar um número infinito de direcções.
O gradiente indica a direcção em que a derivada de uma função é máxima.
Ou seja, indica a direcção em que a função tem uma variação máxima. Considerando as superfı́cies equipotenciais, quanto mais próximas estas forem,
tanto maior é a variação da função para a mesma variação dos argumentos. Assim, o gradiente é segundo a direcção em que a distância entre as
superfı́cies equipotenciais é menor. Essa distância é segundo a perpendicular
às superfı́cies equipotenciais em cada ponto. Desta forma qualitativa se vê
que o gradiente é perpendicular às superfı́cies equipotenciais em cada ponto.
Como o campo eléctrico é, em módulo, igual ao gradiente do potencial, as
linhas do campo eléctrico são perpendiculares às linhas equipotenciais do potencial eléctrico. Devemos notar que um gradiente positivo aponta a direcção
em que a função aumenta. O campo eléctrico é o simétrico do gradiente, pelo
que tem a mesma direcção que o gradiente, mas tem um sentido contrário.
Electromagnetismo 30
c
L.
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Aplicação.
No modelo do átomo de hidrogénio de Bohr, o electrão move-se numa órbita
circular com um raio 0.53 Å. Qual o campo eléctrico e o potencial eléctrico
na posição onde se encontra o electrão? Usando (10) temos:
q2
(9 × 109 Nm2 /C2 ) × (1.6 × 10−19 C)
=
= 5.1 × 1011 V/m
r2
(0.53 × 10−10 m)2
(61)
o que é um campo muito grande. Para comparar, as faı́scas no ar são causadas
por campos da ordem de 3 x 106 V/m. Por outro lado, usando (53) o potencial
eléctrico vem dado por:
E=K
Φ=K
q2
(9 × 109 Nm2 /C2 ) × (1.6 × 10−19 C)
=
= 27 V
r
0.53 × 10−10 m
(62)
Para comparar, a diferença de potencial entre os terminais de uma bateria
de automóvel é 12 V. Enquanto o campo tem uma dependência no quadrado
do inverso da distância e é muito grande quando as distâncias são pequenas,
o potencial eléctrico tem uma dependência no inverso da distância e é muito
mais pequeno.
11.1
Potencial de um grupo de cargas pontuais.
Uma consequência da relação entre o campo eléctrico e o potencial (60) é
que o princı́pio de sobreposição que se aplica ao campo eléctrico se aplica
~ i,
também ao potencial eléctrico. Ou seja, se tivermos N campos eléctricos E
cada um dos quais resulta de um potencial Φi :
~ 1 = −∇Φ
~ 1, E
~ 2 = −∇Φ
~ 2, E
~ 2 = −∇Φ
~ 2 , ··· , E
~ N = −∇Φ
~ N,
E
(63)
~ é:
o campo eléctrico resultante, E,
~ =
E
N
X
~i = −
E
i=1
N
X
~ i = −∇Φ
~
∇Φ
(64)
i=1
porque o gradiente é um operador linear e portanto a soma dos gradientes é
igual ao gradiente da soma e onde Φ corresponde à sobreposição linear dos
N potenciais:
Φ=
N
X
i=1
Φi
(65)
c
L.
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Electromagnetismo 31
Usando o princı́pio de sobreposição, podemos calcular os campos e potenciais devidos a distribuições de carga. Por exemplo, já vimos antes o
potencial eléctrico gerado por uma carga q, (53). Usando (65), o potencial
eléctrico, num ponto P, criado por uma distribuição de cargas pontuais, qi ,
é:
N
X
qi
(66)
Φ=K
i=1 ri
onde ri é a distância da carga qi ao ponto P.
Nas subsecções seguintes vamos ver outras aplicações do princı́pio de sobreposição.
11.2
Potencial Eléctrico de um dipolo.
As moléculas são, de forma geral, electricamente neutras o que quer dizer que
as suas cargas eléctricas negativas são em mesmo número que as suas cargas
eléctricas positivas. Muitas vezes, as suas distribuições de carga podem ser
representadas por pares de cargas, uma positiva, Q, e outra negativa, −Q,
separadas por uma distância, d. Já vimos que esta configuração de carga se
chama dipolo eléctrico e que o produto da carga Q pela distância d, é o módulo
do momento dipolar, |~p| = Q d. A direcção do dipolo é a recta que une os pontos onde estão as duas cargas e o seu sentido é da carga negativa para a carga
positiva. Por exemplo, a molécula de água tem um excesso de carga negativa
no átomo de oxigénio e um excesso de carga positiva nos átomos de hidrogénio
e um momento dipolar p = 6.17 × 10−30 C m, orientado do oxigénio para
o ponto central entre os dois átomos de hidrogénio. Noutros casos, os dipolos eléctricos podem ter um tamanho macroscópico. Devido a complexos
fenómenos de polarização e despolarização das suas células, podemos, em
primeira aproximação, considerar o coração como um dipolo eléctrico cuja
intensidade e direcção varia ao longo do perı́odo de batimento. Um electrocardiograma mede a variação da intensidade do campo criado por esse dipolo.
Usando o princı́pio de sobreposição podemos calcular o potencial eléctrico
e o campo eléctrico de um dipolo. Consideremos duas cargas, +q e −q, à
distância d uma da outra e calculemos o potencial eléctrico criado por elas
num ponto, A, a uma distância r muito maior que d. Aplicando a cada carga
Electromagnetismo 32
c
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a expressão (53), o potencial eléctrico total no ponto A é:
1
1
Φ = Φ + + Φ− = K q
−
r+ r−
!
(67)
Desenvolvendo (67) fica:
r− − r +
Φ=Kq
r− r+
!
≈K
p~ · ~r
r3
(68)
onde se usaram as relações matemáticas seguintes:
r >> d
(69)
r− − r+ ≈ d sin θ
(70)
2
r− r+ ≈ r
(71)
p~ = q d ~ey
(72)
~r
~ey ·
= sin θ
(73)
r
A expressão (68) é o potencial eléctrico criado por um dipolo a uma distância
grande quando comparada com o tamanho, d, do dipolo. Usando (60) deduzimos a fórmula seguinte para o campo criado por um dipolo:
~ =K1
E
r3
!
3(~p · ~r)~r
− p~
r2
(74)
Aqui, calculámos o campo eléctrico a partir do respectivo potencial eléctrico.
11.3
Potencial de uma distribuição contı́nua de cargas.
Podemos usar a expressão do potencial de uma carga pontual (53) e o
princı́pio de sobreposição para calcular o potencial de uma distribuição contı́nua
de cargas:
Z
1 dq
1 Z dq
dΦ =
⇒ Φ = dΦ =
(75)
4π0 r
4π0
r
onde o integral é feito sobre a região onde se encontra a carga.
Já vimos antes o campo eléctrico criado por um disco uniformemente
carregado num ponto ao longo do eixo. Neste caso, podemos considerar
como um elemento de carga dq, a carga num anel de raio r:
dq = σ (2πr)dr
(76)
c
L.
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Electromagnetismo 33
onde σ é a densidade de carga por unidade de superfı́cie. Substituindo (76)
em (75) fica:
σ √ 2
1 Z R σ (2πr)
σ Z R r dr
√
√
Φ=
=
( z + R2 − |z|) (77)
dr
=
20
20 0
4π0 0
z 2 + r2
z 2 + r2
Usando as expressões 59) ou(60) podemos calcular o campo eléctrico a
partir da expressão do potencial eléctrico. No caso de um disco carregado,
como o potencial ao longo do eixo do disco, que deduzimos acima, só depende
de uma coordenada, a coordenada z, só vamos ter uma componente para o
campo eléctrico, e é:
∂Φ
σ d
σ
z
=−
[(z 2 + R2 )1/2 − z] =
1− √ 2
Ez = −
∂z
20 dz
20
z + R2
!
(78)
resultado que coincide com o encontrado antes, ao calcular o campo eléctrico
de um disco carregado (29), directamente a partir da lei de Coulomb. Desta
forma, já usámos três maneiras para calcular campos eléctricos: a primeira
foi usando a lei de Coulomb, a segunda foi a lei de Gauss, que é especialmente
adequada a distribuições de carga com elevado grau de simetria e a terceira
é esta que vimos agora, a partir da expressão do potencial.
11.4
Condensadores.
A um par de superfı́cies condutoras separadas por um meio isolador chama-se
um condensador. Um condensador pode ser carregado quando se ligam as
suas placas a uma bateria que gera uma diferença de potencial entre elas.
Uma bateria é um instrumento com dois terminais: um terminal positivo,
chamado ânodo, e um terminal negativo, chamado cátodo. Para carregar o
condensador nós ligamos o ânodo a uma placa do condensador e o cátodo
à outra placa por meio de um fio condutor. Este fio e a placa que lhe está
ligada tornam-se extensões do terminal da bateria ao qual estão ligados. Assim, carga negativa acumula-se na placa que está ligada ao terminal negativo
e carga positiva acumula-se na placa ligada ao terminal positivo. Esta acumulação de carga continua até que a diferença de potencial entre as placas
seja igual à diferença de potencial da bateria. Esta é a condição de equilı́brio
eléctrico estático (ou seja, na ausência de corrente eléctrica). No equilı́brio,
a quantidade de carga positiva, Q, na placa positiva é igual à quantidade
de carga negativa na outra placa. Seja σ a densidade superficial de carga
Electromagnetismo 34
c
L.
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nas placas. Vimos que o campo eléctrico fora da superfı́cie de um condutor
~ = σ/0 . Este campo é constante excepto junto às extremidades
plano é |E|
da placa. Vamos ignorar estes efeitos das extremidades. A diferença de
potencial entre a placa positiva e a placa negativa é:
+
−
∆Φ = Φ − Φ = −
Z
~
~ · dr
E
(79)
onde o integral é feito de um ponto da placa negativa para um ponto da placa
positiva. O integral (79) é mais fácil de calcular quando a recta que une esses
~ fazem um ângulo
~ e dr
dois pontos é perpendicular às placas. Nesse caso (E
de 180o ):
Z d
~
~ = σ d
(80)
∆Φ = |E|
dr = |E|d
0
0
A carga total, Q, nas placas é:
Q
A
S
onde A é a área das placas. Substituindo (81) em (80) fica:
Q=
Z
σ dS = σ A ⇒ σ =
(81)
Q d
A 0
(82)
Q = C ∆Φ
(83)
∆Φ =
o que também se pode escrever:
Quanto maior a diferença de potencial, ∆Φ, da bateria, tanto maior a carga
que se acumula. C, a constante de proporcionalidade, chama-se a capacidade
do condensador e é dada por:
0 A
A
=
(84)
d
4πK d
Quanto maior for a área das placas tanto maior é a quantidade de carga
Q que se acumula, ou seja, tanto maior a capacidade do condensador. Por
outro lado, quanto menor for a distância entre as placas, tanto maior o campo
~ = ∆Φ/d, e tanto menor a quantidade de cargas
eléctrico entre as placas, |E|
que se acumula, para a mesma diferença de potencial.
C=
A unidade de capacidade é o coulomb por volt, que também se designa
por farad, em honra de Michael Faraday, um grande fı́sico inglês que fez contribuições fundamentais para o estudo dos fenómenos electromagnéticos.
c
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12
Electromagnetismo 35
Corrente Eléctrica.
Chama-se corrente eléctrica ao movimento de cargas de uma posição para
outra. As partı́culas que constituem as correntes eléctricas nas células são
muitas vezes iões, mas nos meios materiais sólidos as correntes são devidas
a movimentos de electrões. Como os núcleos dos átomos têm massas que
são entre 2,000 e 100,000 vezes maiores que a massa dos electrões, os núcleos
mantêm-se relativamente estacionários e são os movimentos dos electrões que
produzem correntes eléctricas. Quando dizemos que uma placa de um condensador é carregada positivamente se ligada ao terminal positivo de uma
bateria, isso é devido a um fluxo de electrões da placa do condensador para o
terminal da bateria. Para que um material seja condutor é preciso que tenha
electrões livres. Na ausência de campo eléctrico estes electrões deslocam-se
com igual probabilidade em todas as direcções e a corrente média em qualquer direcção é nula. Quando as extremidades de um condutor são ligadas a
uma bateria, estabelece-se um campo eléctrico e gera-se uma corrente através
~ e a carga
do condutor. Como a força que age sobre os electrões é F~ = e E
do electrão é negativa, gera-se um movimento de electrões com a direcção
contrária à do campo eléctrico aplicado. Mas, por convenção, considera-se
como o sentido positivo da corrente o do movimento correspondente de cargas positivas, que é igual ao do campo eléctrico. Assim, nos condutores, as
correntes são devidas a movimentos de electrões, mas o sentido positivo da
corrente é contrário ao sentido do movimento dos electrões. Quando ligamos
uma bateria, o sentido positivo da corrente é do terminal positivo da bateria
para o terminal negativo da bateria, mesmo que o que esteja a acontecer seja
um fluxo de electrões do terminal negativo para o terminal positivo. Quando
falamos em corrente ou fluxo de corrente referimo-nos à corrente convencional
que tem a mesma direcção que as linhas de campo.
Vimos que os átomos de uma substância a temperatura finita se encontram num permanente estado de agitação. Os electrões livres de um condutor
encontram-se também em permanente estado de agitação. Se nós considerarmos um plano qualquer num condutor, através desse plano passam constantemente electrões de condução. Apesar disso, na ausência de campos não
observamos nenhuma corrente porque, em média, o número de electrões que
passam num sentido é igual ao número de electrões que passam em sentido
contrário. Mas, se aplicarmos um campo, por exemplo, ligando uma bateria, vai haver uma força que favorece um dos sentidos, pelo que haverá mais
Electromagnetismo 36
c
L.
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electrões a fluir num sentido do que no sentido contrário e geramos uma corrente. A corrente I que passa num condutor define-se como a quantidade de
carga que passa através de uma secção do condutor por unidade de tempo:
dq
(85)
dt
Sabendo o valor da corrente que circula num condutor nós podemos calcular
a quantidade de carga que passa através da secção de um condutor num
intervalo de tempo de 0 a t por integração de (85):
I=
q=
Z
dq =
Z
t
I dt
(86)
0
onde a corrente I(t) pode, ou não, ser constante no tempo. Quando a corrente
é constante no tempo diz-se estacionária. Neste caso, a conservação da carga
implica que a quantidade de carga que passa através de qualquer secção
que atravessa o condutor completamente é igual seja qual for a orientação
dessa secção , ou a sua localização. Para as correntes estacionárias, por cada
electrão que entra no condutor tem que haver um electrão que sai. Este
princı́pio de conservação também implica que se temos um fio eléctrico que
se bifurca, a corrente que flui no fio antes da bifurcação tem de ser igual à
soma das correntes que circulam em cada um dos fios a seguir à bifurcação :
I0 = I1 + I2
(87)
No sistema internacional, a unidade de corrente é o ampere e temos que
1 ampere é a corrente que transporta uma carga de 1 coulomb por segundo.
A definição da unidade de corrente, independente da unidade de carga, fazse a partir das forças magnéticas entre fios condutores, como veremos mais
adiante.
Chama-se força electromotriz, ou f.e.m., a qualquer agente capaz de gerar
uma corrente eléctrica. Um agente óbvio é o potencial eléctrico. Mas as correntes eléctricas podem também ser geradas por efeitos mecânicos, térmicos e
quı́micos. Por exemplo, as baterias possuem uma f.e.m. gerada por reacções
quı́micas e as f.e.m dos geradores eléctricos são devidas à rotação mecânica
de circuitos. Em todos estes casos, energia sob forma não eléctrica é transformada em energia eléctrica. Embora inclua a palavra ‘força’, a f.e.m. não
é uma força: a sua unidade é o volt. Dizemos que a f.e.m. de uma pilha é
1.5 V ou que a f.e.m. de um gerador são 400 V.
c
L.
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12.1
Electromagnetismo 37
Densidade de corrente.
Em termos matemáticos, a corrente eléctrica pode ser descrita pelo campo
~ O vector J~ tem a mesma direcção e
vectorial da densidade de corrente, J.
sentido que o campo eléctrico e o seu módulo é igual à intensidade de corrente
por unidade de área:
~ = I
|J|
(88)
A
De modo geral, para qualquer superfı́cie, seja ela plana ou não, podemos
~ através
calcular a corrente, I, como o fluxo da densidade de corrente, J,
dessa superfı́cie:
Z
~
I = J~ · dS
(89)
~ é vector diferencial de área, o qual, como já vimos antes, se define
onde dS
como um vector de módulo igual a um elemento de área e de direcção perpendicular à superfı́cie em cada ponto.
A intensidade de corrente, I, é uma grandeza macroscópica. Como se
relaciona I com as grandezas microscópicas associadas ao movimento das
cargas? Consideremos uma corrente que resulta de um fluxo de carga com
uma velocidade constante, ~vd . Sendo n o número de cargas por unidade
de volume, a quantidade de carga, ∆q, que passa num volume, AL, de um
condutor, num intervalo de tempo ∆t = L/|v~d | é:
∆q = (n A L) e
(90)
A corrente através da superfı́cie A é:
I=
∆q
nALe
=
= n A e |v~d |
∆t
L/|v~d |
(91)
Usando (88) obtemos:
~ = n e |v~d |
|J|
(92)
J~ = n e ~vd
(93)
ou, sob forma vectorial:
Como, por convenção, a carga que se desloca é sempre positiva, o vector
densidade de corrente é colinear com o vector velocidade de deriva, ~vd , e este,
por sua vez, é colinear com o vector campo eléctrico.
c
L.
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Electromagnetismo 38
Aplicação.
Os electrões de um condutor estão em agitação permanente e podemos
q calcular esta velocidade devida à agitação térmica através da fórmula 3 kmBe T ,
o que conduz a velocidades da ordem dos 105 m/s. Mas esta agitação
térmica não produz qualquer corrente, porque os movimentos são igualmente
prováveis em todas as direcções. Vamos ver que a velocidade de deriva é
muito mais baixa. Consideremos um fio de cobre com um diâmetro de 1.8
mm e no qual flui uma corrente eléctrica de 1.3 A. O módulo do vector densidade de corrente é I/A, onde A é a área do fio, A = πr2 = π(0.9 × 10−3 )2 =
2.54 × 10−6 m2 , pelo que o módulo da densidade de corrente é:
~ =
|J|
I
1.3 A
=
= 5.1 × 105 A/m2
A
2.54 × 10−6 m2
No cobre há praticamente 1 electrão de condução por cada átomo. O número
de electrões de condução por unidade de volume é pois o mesmo que o número
de átomos por unidade de volume. A densidade do cobre (massa por unidade
de volume) a dividir pela massa molar é o número de moles de átomos de
cobre por unidade de volume e isso, a multiplicar pelo número de Avogadro,
é o número de átomos de cobre por unidade de volume e, portanto, também
o número de electrões por unidade de volume, n:
n=
ρ
(9.0 × 103 kg/m3 ) (6.023 × 1023 mol−1 )
NA =
= 8.47 × 1028 elec/m3
M
64 × 10−3 kg/mol
A velocidade de deriva é então :
|~vd | =
~
|J|
5.1 × 105 A/m2
=
= 3.8 × 10−5 m/s
ne
(8.47 × 1028 elec/m3 ) (1.6 × 10−19 C/elec)
= 14 cm/h
Ou seja, a velocidade de deriva é 10 ordens de grandeza mais pequena que
a velocidade de agitação térmica. Se cada um de nós fosse um electrão, no
meio de uma corrente eléctrica, não veria corrente nenhuma. Tudo o que veria seriam muitos electrões, deslocando-se a velocidades enormes, em todos os
Electromagnetismo 39
c
L.
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sentidos. As correntes eléctricas são o que sobra quando se subtrai todo este
ruı́do. Então vemos que, subjacentes, há correntes com velocidades muito
menores. Mas são essas correntes que fazem funcionar os aparelhos eléctricos.
Podemos perguntar como é que, sendo a corrente tão lenta, as luzes de
uma sala se acendem tão rapidamente quando se liga o interruptor? É que
uma coisa é a velocidade de corrente e outra é a velocidade com que a mudança do campo eléctrico se propaga através do fio. Esta velocidade é quase
igual à velocidade de propagação da luz no vácuo (∼300,000 km/s). Por
isso, electrões ao longo de todo o fio começam a movimentar-se quase todos
ao mesmo tempo. O mesmo acontece quando se abre a torneira de uma
mangueira. Se a mangueira estiver cheia de água, a mudança de pressão
transmite-se ao longo da água à velocidade do som, pelo que a água começa
a sair quase a seguir à abertura da torneira, embora a velocidade com que a
água sai da torneira seja muito mais lenta.
12.2
A Lei de Ohm.
Para campos eléctricos que não são muito intensos temos que o vector densidade de corrente é proporcional ao campo eléctrico:
~
~ =E
J~ = σ E
ρ
(94)
~ J|
~ é a resistividade
onde σ é a condutividade do condutor e ρ = σ1 = |E|/|
do condutor (não confundir com a densidade de um material que também
representamos pela mesma letra). Quando o campo eléctrico é constante, a
partir de (54) temos que:
+
−
∆Φ = Φ − Φ = −
Z
r+
r−
~ · d~r = |E|L
~
E
(95)
~ e d~r fazem um ângulo de 180o ) e onde L = |r+ − r− |. Assim, o
(porque E
módulo do campo eléctrico neste caso é:
~ =
|E|
∆Φ
L
(96)
Usando (88) fica:
ρ=
~
|E|
=
~
|J|
∆Φ
L
I
A
=
∆Φ A
L I
(97)
c
L.
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Electromagnetismo 40
ou
∆Φ = R I
(98)
que é a lei de Ohm na sua forma mais conhecida e onde R, a resistência do
condutor, é:
L
R=ρ
(99)
A
A resistência de um condutor estima-se medindo a corrente que passa entre
dois pontos onde se aplicou uma diferença de potencial dada, ∆Φ. A unidade
da resistência no sistema internacional é o ohm, onde 1 ohm corresponde a
1 volt por ampere.
Nos ciruitos eléctricos há elementos cuja única função é introduzirem uma
certa resistência. A esses elementos chama-se também resistências. Para uma
dada diferença de potencial, quanto maior for a resistência de um condutor,
tanto menor é a corrente. Por isso, o nome está bem escolhido. Enquanto
a resistência depende da forma do condutor, a resistividade só depende do
material de que o condutor é feito.
12.3
Efeitos da corrente eléctrica no corpo humano.
Muitas das funções do corpo humano são mediadas por correntes eléctricas.
A contracção muscular, incluindo a respiração e os batimentos cardı́acos, são
controlados por correntes eléctricas. O processamento de informação pelo
cérebro também é feito por correntes eléctricas. Por isso, correntes eléctricas
geradas por causas externas podem causar danos ou mesmo ser fatais. A
corrente que entra no corpo depende da d.d.p, ∆Φ, aplicada e da resistência
do corpo. Para corrente contı́nua ou de baixa frequência a resistência do
corpo é essencialmente a da pele (a corrente não penetra muito no organismo).
A resistência da pele é muito maior se a pele estiver seca. Por exemplo, a
resistência entre duas extremidades, por exemplo, uma mão e um pé, é 105 Ω
se a pele estiver seca nos pontos de contacto, mas pode ser apenas 1 % deste
valor se a pele estiver molhada. Assim, as correntes máximas que podem
geradas no corpo humano por uma máquina eléctrica doméstica são, no caso
da pele estar seca:
220 V
(100)
I = 5 = 2.2 mA
10 Ω
c
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Electromagnetismo 41
e no caso da pele estar molhada:
I=
220 V
= 147 mA
1500 Ω
(101)
Enquanto uma corrente de 1 mA quase não se nota, uma de 147 mA pode
ser fatal, se não for imediatamente interrompida e seguida de tratamento.
13
O Campo Magnético.
Já há mais de 2,000 anos que se sabe que certas pedras (ı́manes) têm a particularidade de se atraı́rem umas às outras e de atraı́rem pequenos pedaços
de ferro. Estas pedras encontram-se numa região chamada Magnésia, da
Turquia, e são por isso conhecidas por magnetes. Quando suspensas livremente, elas orientam-se sempre segundo a direcção norte-sul da Terra e foram
por isso usadas como bússulas na navegação.
Os magnetes oferecem-nos um ponto de referência para definirmos direcções quando queremos descrever efeitos magnéticos. A extremidade de
um magnete que procure o Norte geográfico chama-se o pólo N do magnete.
De modo análogo, a extremidade que procura o Sul geográfico chama-se o
pólo S do magnete. Pólos de sinal contrário atraem-se e pólos de sinal igual
repelem-se, tal como sucede com as cargas eléctricas. Do ponto de vista das
suas propriedades magnéticas, a Terra comporta-se como se fosse um grande
magnete cujo pólo sul está virado para o Norte geográfico e vice-versa (ver
figura 5). Por isso, o pólo N de uma bússula é atraı́do pelo pólo S do campo
magnético terrestre.
Os magnetes possuem a propriedade curiosa de, quando divididos ao meio,
nunca se separarem os dois pólos e de gerarem sempre dois magnetes, cada
um com o seu pólo N e pólo S orientados da mesma maneira que no magnete
inicial. Esta impossibilidade de separação dos pólos magnéticos constitui
uma diferença fundamental em relação ao campo eléctrico, para o qual se
podem isolar cargas positivas e negativas. As interacções magnéticas podem descrever-se também através da acção de um campo, chamado o campo
magnético. Tal como as fontes do campo eléctrico são as cargas positivas e
negativas, as fontes do campo magnético são os dipolos magnéticos. (Veremos
também como as cargas eléctricas em movimento geram campos magnéticos).
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Electromagnetismo 42
Figure 5: O campo magnético terrestre é como o de um enorme magnete
cujo pólo S está localizado perto do norte geográfico.
Os campos magnéticos podem representar-se também através das suas linhas
de campo. Vimos que as linhas de campo do campo eléctrico começam nas
cargas positivas e terminam nas cargas negativas. Para o campo magnético,
a ausência de pólos isolados (cargas magnéticasou monopolos magnéticos)
tem como consequência que as linhas do seu campo não têm princı́pio, nem
fim. Na região exterior ao magnete, convenciona-se que a orientação das linhas do campo magnético é igual ao de um magnete nessa posição, ou seja,
as linhas vão do pólo N para o pólo S, (ver figura 6) e, ou vêm do infinito e
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Electromagnetismo 43
vão para o infinito, ou se fecham sobre elas próprias.
Figure 6: Linhas de campo em torno de um dipolo magnético e orientação
de um magnete.
13.1
Força de Lorentz Magnética.
Vimos que a força que actua numa partı́cula de carga q, que se encontre num
~ é F~E = q E,
~ (31). Experimentalmente, verifica-se que
campo magnético E,
o campo magnético não exerce qualquer acção sobre uma carga em repouso
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Electromagnetismo 44
e que a sua presença só se faz sentir sobre as cargas em movimento. Assim
a força que actua na partı́cula de carga q que se desloca a uma velocidade ~v
~ é:
num campo magnético B
~
F~B = q ~v × B
(102)
~ sin θ, sendo
ou seja, a força magnética é um vector cuja intensidade é |~v | |B|
~
θ é o ângulo que ~v faz com B, e a sua direcção e sentido são dados pela regra
da mão direita (ver abaixo). Sabendo a velocidade, direcção e sentido do
movimento da carga e medindo a força que actua sobre a partı́cula é possı́vel
definir completamente o vector campo magnético. A direcção e sentido do
campo magnético assim definido coincide com a determinada pela posição de
um ı́mane no mesmo local.
A expressão (102) é chamada também a força de Lorentz magnética. Ela
indica-nos que:
1. A força magnética é sempre perpendicular ao vector velocidade. Tal
como a aceleração centrı́peta, a força magnética só muda a direcção da
velocidade, e não altera a intensidade da velocidade. Assim, a força
magnética deflecte as trajectórias das partı́culas carregadas mas não
altera a energia cinética das partı́culas.
2. A força magnética não exerce qualquer acção em partı́culas carregadas
que se movam paralelamente (ou anti-paralelamente) ao campo magnético.
Isto porque em módulo, a força de Lorentz é:
~ sin θ
|F~B | = q |~v | |B|
(103)
~ Do mesmo modo, vemos que a força
onde θ é o ângulo que ~v faz com B.
de Lorentz é máxima quando a partı́cula se move perpendicularmente
~
ao campo eléctrico. Nesse caso, em módulo, temos |F~B | = q |~v | |B|.
3. A intensidade da força magnética é proporcional à intensidade da carga
e ao módulo da velocidade da partı́cula.
4. A direcção da força magnética depende do sinal da carga: as cargas
positivas são deflectidas em sentido contrário ao das cargas positivas. A
direcção e sentido da força magnética pode determinar-se pela regra da
mão direita: se a carga for positiva, colocando a mão de tal forma que os
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Electromagnetismo 45
~ a direcção e sentido
dedos se fechem no sentido da rotação de ~v para B,
da força são a direcção e sentido apontados pelo polegar estendido. Se
a carga for negativa, a direcção da força magnética é ainda a mesma
mas o sentido é o oposto ao apontado pelo polegar.
Como se pode ver pela expressão (102) a unidade do campo magnético no
sistema SI é Newton/ [coulomb (m/s)]. Outra possibilidade é em função do
ampere e fica: N/[(C/s) m] = N/ (A m). A esta unidade chama-se também
1 Tesla (T). Outra unidade também muito usada para o campo magnético é
o Gauss (G):
1 T = 104 G
(104)
O campo magnético responsável pela orientação dos magnetes à superfı́cie da
Terra tem uma intensidade de 1 G (10−4 T), enquanto o campo magnético
à superfı́cie da Lua tem uma intensidade de 10−4 G (10−8 T). O campo
magnético em torno de um pequeno magnete é da ordem de 102 G (10−2 T).
13.2
Movimento de uma partı́cula carregada num campo magnético.
Consideremos uma partı́cula de carga positiva que se desloca entre as placas de um condensador e que entra com uma velocidade perpendicular ao
campo eléctrico. Essa partı́cula vai sofrer uma força (eléctrica) de Lorentz
(31) que tem a mesma direcção que o campo eléctrico entre as placas. Consideremos que o eixo dos y está alinhado segundo o campo eléctrico e que a
velocidade inicial da partı́cula é segundo o eixo dos x. Então a partı́cula vai
sofrer uma aceleração segundo o eixo dos y, ou seja, vai ter um movimento
uniformemente acelerado segundo o eixo dos y. Segundo o eixo dos x, o seu
movimento vai ser uniforme (ver a figura 7). A partı́cula vai desviar-se para a
placa negativa, num movimento uniformemente acelerado, ao mesmo tempo
que progride num movimento uniforme ao longo das placas.
Consideremos um outro caso, em que uma partı́cula de carga positiva,
com uma velocidade inicial segundo o eixo dos x, entra numa região onde há
um campo magnético uniforme, alinhado segundo o eixo dos y (ver figura 7
(b)). Neste caso, inicialmente, a força de Lorentz vai ter um sentido positivo
do eixo dos z. Esta força vai originar uma componente da velocidade segundo
o eixo dos z, ou seja, a direcção da velocidade vai variar. Mas, se a direcção da
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Electromagnetismo 46
Figure 7: (a) Trajectória de uma partı́cula carregada positivamente num
campo eléctrico: a força tem a mesma direcção do campo. (b) Movimento de
uma partı́cula carregada positivamente num campo magnético: a trajectória
é circular. Se a velocidade inicial da partı́cula for suficientemente pequena,
o raio da trajectória será suficientemente pequeno para caber na região onde
se encontra o campo magnético.
velocidade muda, a direcção da força também vai mudar. Em todos os pontos,
temos que a direcção da força é perpendicular à direcção da velocidade: ou
seja, temos um movimento circular em torno de um eixo paralelo ao campo
magnético. Se a velocidade da partı́cula for suficientemente pequena, e/ou o
campo magnético for suficientemente intenso, pode ser possı́vel fazer com que
a partı́cula continue numa órbita circular entre as duas placas. Desta forma,
Electromagnetismo 47
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um campo magnético pode servir para armazenar cargas. Matemáticamente,
sendo ac a aceleração centrı́peta, temos:
FB = q v B = m ac = m
v2
mv
⇒R=
R
qB
(105)
Se o campo magnético for suficientemente forte, o raio é suficientemente
pequeno para a trajectória da partı́cula ficar completamente contida dentro
da região onde está o campo magnético. Nesse caso, a partı́cula, uma vez
tendo entrado nessa região, já não consegue sair dela. A velocidade angular
do movimento, ω = v/R, é:
qB
ω=
(106)
m
e a frequência do movimento, f , é:
f=
ω
qB
=
2π
2π m
(107)
donde se deduz que o perı́odo, T , é:
T =
2π m
1
=
f
qB
(108)
Notemos que tanto o perı́odo, como a frequência, como a velocidade angular,
não dependem da velocidade da partı́cula. As partı́culas que se deslocam
a velocidades elevadas movem-se em circunferências de raios maiores que as
partı́culas que se movem a velocidades menores, mas todas as partı́culas que
possuam a mesma razão de carga/massa levam o mesmo tempo a completar
uma circunferência.
Se uma partı́cula tem uma velocidade inicial com uma componente não
nula paralela ao campo magnético, ao longo desta direcção o campo magnético
não exerce qualquer força e essa componente da velocidade vai manter-se
constante. O movimento da partı́cula pode então decompôr-se num movimento circular, que ten lugar num plano perpendicular à direcção do campo
magnético, com um movimento uniforme, ao longo da direcção do campo
magnético. Ou seja, o movimento da partı́cula vai ser em espiral (vide figura
8 (a)), sendo o eixo da espiral paralelo ao campo magnético. Quando o campo
magnético não é uniforme, o raio da circunferência varia ao longo da espiral,
sendo menor onde o campo é mais intenso (vide figura 8 (b)). Em pontos
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Electromagnetismo 48
em que o campo é suficientemente intenso, a partı́cula pode ser reflectida,
ou seja, o sentido da sua velocidade pode inverter-se. Se uma partı́cula for
reflectida nas duas extremidades de uma trajectória circular diz-se que está
apanhada numa garrafa magnética. Partı́culas como electrões e protões, emitidas pelo Sol, são apanhadas desta maneira pelo campo magnético terrestre,
formando os chamados Van Allen radiation belts, que produzem arcos bem
acima da atmosfera terrestre, entre o polo Sul e polo Norte terrestres. Os
protões e os electrões que constituem esses arcos oscilam entre os dois extremos da garrafa magnética num perı́odo de segundos. Quando as emissões
solares são particularmente intensas, o excesso de carga produz um campo
eléctrico adicional que contraria a reflexão na atmosfera. Os electrões em excesso conseguem então penetrar a atmosfera, colidindo com os seus átomos
e moléculas, excitando-os e fazendo-os emitir luz. É esta luz que constitui
a aurora, uma cortina de luz que se encontra a uma altitude de uns 100
kilometros. Os átomos de oxigénio emitem luz verde e os átomos de azoto
emitem luz cor de rosa, mas muitas vezes a intensidade não é muito grande e
apenas se vê luz branca. O espectáculo da aurora estende-se ao longo de um
arco chamado a auroral oval. Este arco é muito extenso, mas a sua espessura é apenas 1 km porque as trajectórias dos electrões convergem à medida
que eles fazem a sua espiral descendente, uma vez que as linhas do campo
magnético nessa direcção são convergentes.
Outra aplicação do movimento de cargas eléctricas num campo magnético
é nos aparelhos que medem a velocidade do fluxo sanguı́neo: um medidor
electromagnético do fluxo. Dentro do sangue há uma grande concentração
de cargas eléctricas sob a forma de iões. O plasma sanguı́neo tem uma concentração aproximada de 145 mM/l de iões Na+ e 125 mM/l de iões Cl− .
Para simplificar, consideremos que há um certo número de iões carregados
que se deslocam com uma velocidade, ~v , alinhada no sentido do eixo dos
~ no sentido do eixo dos
x. Aplicando à artéria um campo magnético, B,
y, as cargas positivas vão sofrer uma força de Lorentz magnética no sentido positivo do eixo dos z e as negativas vão sofrer uma força oposta. O
campo magnético gera uma separação de cargas. (Este efeito foi medido pela
primeira vez em 1879, por um estudante chamado Edwin H. Hall, num fio de
cobre e é chamado o efeito Hall). Esta separação de cargas, pelo seu lado,
gera um campo eléctrico no sentido negativo do eixo dos z. O equilı́brio
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Electromagnetismo 49
Figure 8: (a) Movimento de uma partı́cula carregada com uma velocidade ~v
que não é perpendicular ao campo magnético: a trajectória é em espiral. (b)
O mesmo que em (a) mas para um campo magnético de intensidade variável.
estabelece-se quando a força total que actua nas cargas é nula:
FE = FB ⇒ q E = q v B
(109)
Considerando a artéria como um condensador, e usando a relação entre o
campo eléctrico e a d.d.p de um condensador (??) fica:
q
∆Φ
∆Φ
=qvB⇒v=
d
Bd
(110)
Medindo a diferença de potencial (que se chama a diferença de potencial de
Hall) que se estabelece entre os dois lados de uma artéria após a aplicação
de um campo magnético, podemos calcular a velocidade do fluxo sanguı́neo.
Na prática, estas diferenças de potencial são muito pequenas. Considerando
uma artéria com 1 cm de diametro, e uma velocidade de v = 30 cm/s, num
campo magnético de 1000 G, a diferença de potencial é:
∆Φ = v B d = (0.30m/s) × (0.1 T) × (0.01 m) = 0.3 × mV
(111)
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Electromagnetismo 50
Um outro problema nesta aplicação é que a acumulação de cargas dentro da
artéria vai gerar uma acumulação de cargas de sinal contrário do lado de fora
da artéria. Para evitar isso, usam-se campos magnéticos alternados, que mudam de sentido periodicamente. A frequência com que o campo magnético
muda tem que ser suficientemente pequena para que possa haver acumulação
de cargas na parte interna da artéria, e suficientemente grande para que não
haja acumulação na parte externa da artéria. Verificou-se que frequências de
algumas centenas de Hz eram satisfatórias.
14
Força magnética sobre uma corrente eléctrica.
Já vimos que um campo magnético exerce uma força que sobre uma partı́cula
em movimento. Uma corrente é formada pelo movimento concertado de
muitas partı́culas, por isso um campo magnético vai exercer uma força sobre
uma corrente. Sendo q = i ∆t a quantidade de carga que passa numa secção
~
de um fio num certo intervalo de tempo, a força magnética que um campo B
exerce sobre uma corrente I é:
~ = I ∆t ~v × B
~ =IL
~ ×B
~
FB = q ~v × B
(112)
~ = ~v ∆t é um vector que define a direcção da corrente. Quando o fio
onde L
onde a corrente circula não é rectı́lineo, consideramos elementos desse fio que
sejam suficientemente pequenos para podermos desprezar a curvatura e para
~ temos uma força magnética diferencial, dF
~ B:
cada um desses elementos dL
~ B = I dL
~ ×B
~
dF
(113)
~ exerce sobre o fio, obtem-se inA força total que o campo magnético, B,
tegrando (113) ao longo do fio. É preciso notar que não há correntes em
elementos isolados de um fio. A corrente entra sempre de um lado e sai do
outro. As expressões que derivámos aplicam-se nesses casos.
14.1
O motor de corrente contı́nua.
Consideremos um circuito rectangular através do qual flui uma corrente I e
~ Consideremos o caso em
que está imerso num campo magnético uniforme B.
Electromagnetismo 51
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que o circuito se encontra numa posição em que a normal ao plano do circuito
faz um ângulo θ com o campo magnético. Seja qual for o valor de θ, o lado
maior, de tamanho a é sempre perpendicular ao campo magnético (esse lado
é sempre paralelo ao plano do magnete e esse plano é sempre perpendicular
ao campo magnético). Por outro lado, os lados menores, de tamanho b, fazem
um ângulo 90 − θ com o campo magnético. O módulo da força magnética
exercida nos lados mais pequenos é pois:
~ sin(90 − θ) = Ib|B|
~ cos θ
|F~2 | = |F~4 | = I b |B|
(114)
Como os sentidos da corrente são contrários de um lado e do outro, os sentidos destas forças são opostos. A orientação é a mesma, pelo que as forças
exercidas nos lados mais pequenos se anulam.
Consideremos agora as forças sobre os lados maiores do circuito. Como
os lados maiores são perpendiculares ao campo magnético, as duas forças em
módulo têm o valor seguinte:
~
|F~1 | = |F~3 | = I a |B|
(115)
e como a corrente flui em sentido contrários em cada um deles, as forças
vão também ser em sentido contrário. Mas, neste caso, a linha de acção das
forças é diferente da direcção das forças, pelo que estas forças vão dar origem
a um momento sobre o circuito, que vai fazer o circuito rodar em torno de
um eixo que divide os lados menores ao meio. Por definição de momento de
uma força, ~τ = ~r × F~ , o momento total devido às duas forças é:
b
|τ | = |~r1 × F~1 + ~r3 × F~3 | = 2|~r1 × F~1 | = 2
2
!
~ sin θ = I A |B|
~ sin θ
I a |B|
(116)
onde o torque produzido pelas duas forças é igual porque ~r1 = −~r2 e F~1 =
−F~2 e onde A é a área do circuito, A = a b. Este é o momento total da força
magnética sobre o circuito. Foi deduzido para um circuito com uma forma
especı́fica, mas é válido para qualquer circuito que delimite a mesma área A.
E, se em vez de um circuito, tivermos N circuitos, o momento que o campo
magnético induz em cada um deles é igual, pelo que o momento total nesse
caso é:
~ sin θ
|~τ | = (N I A) |B|
(117)
Electromagnetismo 52
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O momento é máximo quando θ = 90o , ou seja, quando o plano do circuito
é paralelo ao campo magnético. A quantidade N I A caracteriza todas as
propriedades do circuito: o número de espiras, a sua área e a corrente que
passa nas espiras. A equação (117) diz-nos que um circuito fechado, no
qual passa uma corrente, fica sujeito a um momento quando submetido a
um campo magnético. Este é o princı́pio do funcionamento dos motores
eléctricos, nos quais energia eléctrica, que gera a corrente, é convertida em
energia mecânica, a da rotação do circuito e do tudo aquilo que a ele estiver
ligado.
15
Lei de Biot-Savart.
No inicio do século 19 pensou-se que a electricidade e o magnetismo eram
fenómenos independentes. Mas, em 1820, o fı́sico dinamarquês Hans Christian Oersted (1777-1851) descobriu, por acidente, que uma corrente eléctrica
pode influenciar a orientação de uma bússula. Isto acontece porque uma
corrente eléctrica cria um campo magnético local, que se sobrepõe ao campo
magnético terrestre, desviando a bússula da sua posição normal.
A lei que descreve o campo magnético criado por uma corrente, I, que
flui num elemento de circuito, d~s, situado num ponto P, chama-se lei de
Biot-Savart e diz o seguinte:
~ =
dB
µ0
4π
Id~s × ~r
r3
(118)
onde ~s representa um elemento do circuito, dirigido no mesmo sentido que
a corrente e ~r é o vector que descreve a posição do ponto P em relação ao
elemento d~s. Notemos que o módulo do campo magnético é inversamente
proporcional ao quadrado da distância de um ponto ao fio, de forma semelhante ao que sucede com o campo eléctrico. Àquela lei chama-se lei de
Biot-Savart. Esta lei é o correspondente magnético da lei de Coulomb. A lei
de Coulomb permite-nos calcular o campo eléctrico de uma carga pontual,
ou seja, diz-nos que as fontes do campo eléctrico são as cargas eléctricas. A
lei de Biot-Savart permite-nos calcular o campo magnético a partir de uma
distribuição de correntes. Diz-nos que uma das fontes do campo magnético
são as cargas em movimento.
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Electromagnetismo 53
Aplicações.
Campo magnético de um fio rectı́lineo.
Vamos aplicar a lei de Biot-Savart ao campo magnético criado por um fio
condutor. Consideremos que o fio se encontra colocado verticalmente, no
plano do quadro e que a corrente corre debaixo para cima. Pela regra da
mão direita, o campo magnético criado por qualquer elemento do fio, num
ponto, P , do plano do quadro, à direita do fio, é perpendicular ao plano do
quadro e tem um sentido para dentro do plano do quadro. Por isso, podemos
calcular o módulo do campo magnético total somando os módulos de todos
os campos magnéticos diferenciais:
~ =|
|B|
Z
~ =
dB|
fio
µ0 I Z +∞ sin θ|ds|
~
|dB| =
4 π −∞
r2
fio
Z
(119)
onde θ é o ângulo que o elemento do fio, d~s, faz com o vector ~r, que liga esse
elemento ao ponto P . Temos que:
tan (180 − θ) =
R
R
⇒s=
s
tan (180 − θ)
(120)
onde R é a distância a que o ponto P se encontra do fio e portanto:
ds = −
R
R
= − 2 dθ
sin (180 − θ)
sin θ
2
(121)
Por outro lado, temos também:
1
sin2 θ
R
= sin (180 − θ) = sin θ ⇒ 2 =
r
r
R2
(122)
Substituindo (121) e (122) em (119) fica:
µ0 I Z θ2 sin θ
µ0 I
µ0 I
~
|B| =
dθ =
[− cos θ]θθ21 =
(cos θ1 − cos θ2 ) (123)
4 π θ1 R
4πR
4πR
Quando o fio é infinito θ1 = 0o e θ2 = 180o e o campo magnético no ponto P
fica:
~ = µ0 I
|B|
(124)
2πR
O módulo do campo magnético num ponto P só depende da distância do
ponto ao fio. As linhas do campo magnético criado por um fio rectı́lineo
Electromagnetismo 54
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são pois circunferências centradas no fio e o campo magnético é tangente
a essas circunferências em cada ponto. Se nós fecharmos os dedos da mão
direita na mesma direcção em que o campo magnético roda ao longo dessa
circunferência, o polegar estendido aponta no sentido da corrente. Assim, se
a corrente for para cima, as circunferências devem ser percorridas no sentido
contrário ao dos ponteiros do relógio e vice versa.
Força magnética entre dois fios carregados.
Consideremos dois fios condutores, a e b, paralelos, com correntes paralelas, Ia e Ib . Para calcular a força que um fio exerce sobre o outro, consideramos primeiro o campo magnético criado por um dos fios e o efeito
desse campo magnético sobre o outro fio. Como vimos antes, o módulo do
campo magnético criado pelo fio a nos pontos onde se encontra o fio b é
~ a | = (µ0 Ia )/(2 π d), onde d é a distância entre os dois fios. Fechando os
|B
dedos em torno do fio a de forma a que o polegar aponte no sentido da corrente no fio a vemos que o campo magnético criado pelo fio a em b é dirigido
para baixo, nesse ponto. Podemos aplicar a lei (112) para calcular a força
magnética que este campo magnético exerce sobre a corrente que corre no fio
b. Como o campo magnético é perpendicular ao fio, o módulo da força é:
~ a| =
|F~B | = Ib L |B
µ0 L Ia Ib
2πd
(125)
Pela regra da mão direita, vemos que a força é perpendicular ao fio b (como
os fios são paralelos é também perpendicular ao fio a) e dirigida no sentido do
fio a. Ou seja, dois fios paralelos, com correntes no mesmo sentido, atraem-se.
É fácil mostrar que se as correntes forem antiparalelas, os fios repelem-se.
15.1
Lei de Ampère.
A lei de Ampère é o correspondente magnético da lei de Gauss e diz-nos que:
I
~ · d~s = µ0 I
B
(126)
~ · d~s é feito ao longo de um circuito fechado imaginário,
onde o integral de B
também chamado circuito de Ampère e a corrente I é a corrente total através
da superfı́cie delimitada por esse circuito. O sentido do vector d~s é dado pela
regra seguinte: fechando os dedos da mão direita no sentido da integração, o
polegar aponta o sentido positivo da corrente. Se a corrente for em sentido
Electromagnetismo 55
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contrário a esse, por definição, o seu sentido é negativo.
Da mesma forma que usamos a lei de Gauss, que relaciona o fluxo do
campo eléctrico através de uma superfı́cie fechada com a carga total dentro
da superfı́cie, para calcular o campo eléctrico, podemos usar a lei de Ampère
para calcular o campo magnético, quando a distribuição de correntes tem
uma simetria particular. Como exemplo, vamos aplicar a lei de Ampère ao
campo magnético criado por um fio rectilı́neo. Consideremos um circuito
imaginário circular, centrado no fio. Como a distribuição de correntes tem
simetria cilı́ndrica, concluı́mos que o campo magnético tem a mesma intensidade em todos os pontos que se encontrem à mesma distância do fio, ou seja,
em pontos que se encontrem numa circunferência centrada no fio. Suponhamos que o campo magnético tinha uma direcção radial. Este campo não
~ ·d~s = 0, e o lado direito de (126) seria nulo
obedece à lei de Ampère porque B
mesmo quando a corrente não é nula. Concluı́mos pois que a componente radial do campo magnético criado por uma corrente é nula. Se o campo tivesse
uma direcção não radial, poderia sempre ser decomposto numa direcção radial e uma direcção tangente, mas já sabemos que a direcção radial não é
possı́vel. Por isso, concluı́mos que o campo magnético criado por uma corrente é tangente à circunferência em todos os pontos. Há duas possibilidades:
ou o campo magnético é no sentido de d~s, ou é no sentido inverso. Vamos
supor que é no mesmo sentido. Se esta opção estiver errada, surgir-nos-á um
sinal negativo no módulo. Aplicando o lado direito da lei de Ampère (126):
I
~ · d~s =
B
I
~ cos θ|d~s| = |B|
~
|B|
I
~ (2πr)
ds = |B|
(127)
Pela lei de Ampère, isto é igual a µo I e o módulo do campo magnético fica:
~ =
|B|
µo I
2πr
(128)
como já tı́nhamos concluido pela lei de Biot-Savart.
15.2
Indução Magnética.
Já vimos que correntes eléctricas geram campos magnéticos. Agora vamos
ver o inverso: como os campos magnéticos podem gerar correntes eléctricas.
Consideremos um circuito eléctrico no qual não circula nenhuma corrente e
que se move num campo magnético perpendicular ao plano do circuito. As
Electromagnetismo 56
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cargas que estão em repouso no circuito, estarão em movimento em relação
ao campo magnético e, pela lei de Lorentz, (102), vai exercer-se uma força
sobre elas, ou seja, vai-se gerar uma corrente. A este fenómeno chama-se
indução magnética. Podemos dizer que a indução magnética produz uma
f.e.m. e que essa f.e.m. tem o efeito de criar uma corrente. A intensidade da
f.e.m. é função do campo magnético através de um conceito de fluxo que já
vimos antes a propósito da lei de Gauss.
~ e uma superfı́cie plana,
Consideremos um campo magnético uniforme, B,
de área A. Chama-se fluxo magnético, FB , à quantidade de campo magnético
que passa através da superfı́cie:
FB =
Z
~ · dS
~
B
(129)
onde o integral é feito sobre a superfı́cie de área A. Quando o campo é normal
~ · dS
~ = B dS, e se o campo é uniforme, podemos passá-lo
à superfı́cie fica B
para fora do integral (129) e fica:
FB = B
Z
dS = B A
(130)
Considerando o campo magnético representado pelas suas linhas de campo,
quanto maior for o número de linhas por unidade de volume tanto maior a
intensidade do campo e tanto maior o fluxo. No sistema SI, a unidade do
fluxo magnético é o weber (Wb), em honra do fı́sico alemão Wilhelm Eduard
Weber (1804-1891). O campo magnético pode então exprimir-se em Wb/m2 ,
uma unidade a que chamámos T:
1 Wb/m2 = 1 T = 104 G
(131)
A relação matemática entre o valor da f.e.m. gerada por indução e o campo
magnético foi determinada experimentalmente por Faraday e é:
∆Φ = −
dFB
dt
(132)
que nos diz que a f.e.m. gerada pelo movimento de um circuito num campo
~ é proporcional à taxa de variação do fluxo do campo magnético
magnético B
através da superfı́cie delimitada pelo circuito. O sinal menos indica que a
f.e.m. gerada se opõe à causa que a gerou (lei de Lenz).
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Electromagnetismo 57
A lei de Faraday diz-nos que variar o fluxo magnético através de um
circuito é equivalente a ligar esse circuito a uma bateria. A corrente no circuito dura apenas enquanto durar a variação do fluxo magnético. O fluxo
magnético pode variar se campo magnético variar, se o ângulo que o campo
magnético faz com o plano do circuito variar, ou se a área do circuito variar.
Vemos assim que enquanto cargas que são postas em movimento por um
campo eléctrico criam um campo magnético, magnetes em movimento, ou
mais geralmente, uma variação do campo magnético gera um campo eléctrico.
A indução magnética mostra pois a ligação que existe entre os fenómenos
eléctricos e os fenómenos magnéticos.
Aplicação.
Considere um circuito com uma área de 0.6 m2 e que consiste em 20 espiras.
Seja R = 12 Ω a resistência do circuito. Supondo que o campo magnético é
reduzido a uma taxa constante de 8000 G para 3000 G em 2 s, qual o valor
da corrente que se gera no circuito? Podemos escrever a lei de Faraday como:
∆Φ = −20
∆FB
∆B
= −20 A
∆t
∆t
(133)
porque neste caso a área é constante e o que está a diminuir é a intensidade
do campo magnético. A f.e.m. ∆Φ gerada por esta diminuição é pois:
f.e.m. = −20 × (0.6 m2 ) ×
(0.8 − 0.3) T
= −3 V
2s
(134)
Pela lei de Ohm, a intensidade da corrente que flui no circuito enquanto o
campo magnético diminui é:
I=
∆Φ
3V
=
= 0.25 A
R
12 Ω
(135)
Assim que o fluxo magnético deixa de variar no circuito, esta corrente cessa.