FÍSICA 3
Aula de Exercícios
02/07/2013
Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba
Lei de Coulomb
Duas cargas positivas de igual magnitude q1 = q2 = 2.0 µC estão localizadas em
x = 0, y = 0.30 m e x = 0, y = -0.30 m, respectivamente.
Qual é a direção e a magnitude da força elétrica total que q1 e q2 exercem sobre
a terceira carga Q = 4.0 µC localizada em x = 0.40 m, y = 0?
Problema trata da adição vetorial do campo elétrico em um plano.
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Lei de Coulomb
Deve-se calcular a força exercida por cada carga (q1 e q2) sobre a terceira
carga Q e encontrar a soma vetorial dessas forças. Verifica-se que neste caso
específico as componentes das forças ao longo do eixo y se cancelam e as
componentes das forças ao longo do eixo x se somam.
Exemplo 21.4, cap. 21, pg. 698, 13a. edição
Lei de Coulomb
Módulo da força aplicada sobre Q por cada carga.
Cálculo da componente ao longo de x:
Magnitude total resultante: FR = 0,23 + 0,23 = 0,46 N. A força resultante se encontra
na direção positiva do eixo x.
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Exercício de Compreensão
(a) Uma carga pontual negativa se desloca ao longo de uma linha reta
em direção a uma carga pontual positiva estacionária.
Quais aspectos da força elétrica sobre a carga negativa permanecerão
constantes a medida que ela se move? (i) magnitude; (ii) direção;
(iii) magnitude e direção? (iv) nem magnitude e nem direção.
(b) Uma carga pontual negativa se move ao longo de uma órbita circular em torno
de uma carga pontual positiva. Quais aspectos da força elétrica sobre a carga
negativa permacerão constantes quando esta se move?
(i) magnitude; (ii) direção; (iii) magnitude e direção;
(iv) nem magnitude e nem direção.
Lei de Coulomb
Uma carga Q está uniformemente distribuída ao redor de um anel
condutor de raio a, como mostra a abaixo. Encontre o campo elétrico
em um ponto P no eixo do anel a uma distância x do seu centro.
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Lei de Coulomb
Divide-se o anel em segmentos infinitesimais ds, que contribuem para o
cálculo do campo total no ponto P.
A densidade linear de cargas é dada por: λ = Q / (2 π a). Um segmento ds
possuirá, portanto, dQ = λ ds
Exemplo 21.9, cap. 21, pg 705, 13a. edição
Lei de Coulomb
A contribuição ao campo elétrico devido a um segmento de carga ds será dada por:
A componente ao longo do eixo x é dada por dEx = dE cos α, onde
cos α = x / r = x / (x2 + a2)1/2. Portanto,
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Lei de Coulomb
Para se determinar a contribuição de todos os segmentos deve-se integrar ao
longo de todo o comprimento do anel, ou seja, s deve variar de 0 a (2 π a).
Integrando pode ser retirado para fora da operação de integração, pois possui
o mesmo valor. Assim,
Qual é o valor do campo no centro do anel?
Qual é o valor do campo em um ponto x muito distante do anel?
Dipolo Elétrico
A figura abaixo mostra um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme
de magnitude 5.0x105 N/C que é paralelo ao plano da figura. As cargas
são 1.6 x 10-19 C e ambas se encontram no plano e estão separadas por uma
distância de 0.125 nm = 0.125x10-9 m. Encontre a força resultante exercida
pelo campo sobre o dipolo; (b) a magnitude e a direção do
momento do campo elétrico; (c) a magnitude e a direção do torque.
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Dipolo Elétrico
a) O campo é uniforme e as cargas tem igual valor. A força aplicada
sobre cada carga é igual, mas de sentido contrário. Portanto, a resultante
da força sobre o dipolo é igual a zero.
b) A magnitude calculada como: p = qd
A direção do dipolo é determinada da carga negativa para a positiva,
a partir do sentido horário m relação ao vetor campo elétrico. Portanto,
a direção é de 145°.
Exemplo 21.13, cap. 21, pg 711, 13a. edição
Dipolo Elétrico
c) A magnitude do torque é calculada como: τ = p x E
O vetor resultante aponta para fora da página.
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Lei de Gauss
Uma carga elétrica positiva está distribuída uniformemente ao longo de um
fio fino com extensão infinita. A densidade de carga por unidade de comprimento
é λ. Encontre o campo elétrico usando a Lei de Gauss
Exemplo 2222-6, cap. 22, pg 738, 13a. edição
Lei de Gauss
Encontre o campo elétrico gerado por uma folha fina, plana e infinita que possui
uma densidade de carga superficial igual a σ.
Exemplo 2222-7, cap. 22, pg 739, 13a. edição
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Lei de Gauss
Uma carga elétrica positiva Q está distribuída uniformemente por todo o volume
de uma esfera de raio R. Encontre a magnitude do campo elétrico em um
ponto P a uma distância r do centro da esfera.
Exemplo 2222-9, cap. 22, pg. 740, 13a. edição
Lei de Coulomb
Uma carga positiva Q está distribuída uniformemente ao longo do eixo y entre os
pontos y = -a e y = +a. Encontre o campo elétrico no ponto P localizado no eixo x e a
uma distância x da origem.
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Lei de Coulomb
Pode-se calcular a contribuição de cada elemento de carga dQ no ponto x.
A densidade linear de carga é dada como: λ = Q / (2a). Assim,
As contribuições das componentes ao longo de x e y são calculadas como:
dEx = dE cos α e dEy = - dE sen α , onde cos α = x/r e sen α = y/r.
Lei de Coulomb
Portanto, a contribuição de dEx e dEy é dada por:
Para se calcular a contribuição total do elemento linear, deve-se integrar
as respectivas contribuições entre y = -a e y = +a. Assim,
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Lei de Coloumb
Finalmente, o campo resultante encontra-se apenas ao longo do
eixo x, no sentido positivo.
Recalcule o valor do campo no ponto P quando a >> x.
Lei de Coulomb
Um disco não condutor de raio R apresenta uma distribuição de carga
positiva uniforme de densidade σ. Encontre o campo elétrico em um
ponto ao longo do eixo do disco a uma distância x de seu centro.
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Lei de Coloumb
Neste caso, determina-se inicialmente a contribuição de um elemento de
carga dQ pertencente a um anel de raio r.
Neste caso, a densidade de carga será dada por: σ = dQ / dA.
Portanto, dQ = σ dA = σ (2π r dr).
Assim, a contribuição de um elemento de campo dEx devido ao anel é dada
por:
Lei de Coulomb
O resultado final é obtido ao se integrar as contribuições de todos os
aneis que compõe o disco. Para isso é necessário realizar a integração
de r = 0 a r = R.
Para se realizar a integração, faz-se a substitição de variável: t = r2 + x2
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Lei de Coulomb
O resultado dessa integração é:
Lei de Gauss
Encontre o campo elétrico gerado por uma folha fina, plana e infinita que possui
uma densidade de carga superficial igual a σ.
Exemplo 2222-7, cap. 22, pg 739, 13a. edição
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Lei de Gauss
Uma esfera oca de parede fina, com raio de 0,250 m possui uma
distribuição de carga desconhecida distribuída uniformemente sobre
sua superfície. A uma distância de 0,300 m do centro da esfera, o
campo elétrico aponta radialmente para dentro e possui intensidade
de 1,8x10-2 N/C. Quanta carga existe na superfície da esfera?
Lei de Gauss
Neste caso, como a(s) carga(s) estão sobre a superfície da esfera condutora,
pode-se escolher uma superfície gaussiana (também esférica) que envolva a
superfície condutora que contém as cargas.
Deseja-se determinar a quantidade q. Para isso, deve-se calcular o fluxo que
atravessa tal superfície, como dado pela Lei de Gauss.
r r q
Φ E = ∫ E ⋅ dA =
ε0
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Lei de Gauss
De exemplos e estudos anteriores, verifica-se que neste caso o campo elétrico
radial (simétrico) e é uma função apenas da distância r a partir do centro da
esfera.
Assim, deve-se considerar que E e o vetor unitário de área são paralelos e
que q deve ser negativo, pois as linhas de fluxo apontam para dentro
da superfície.
r r
q
Φ E = ∫ E ⋅ dA = − E 4π r 2 =
(
(
)
)
ε0
∴ q = − E 4π r 2 ε 0
[
]
q = 1,8 ×10 2 N / C (4π )ε 0 (0,300m )
2
= −1,8 ×10 −9 C
Lei de Coulomb
Quatro cargas idênticas Q são colocadas nos vértices de um quadrado de lado igual
a L. Faça um diagrama mostrando todas as forças que atuam sobre uma das cargas.
Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante exercida pelas outras
três cargas sobre a carga considerada.
+
+
+
+
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Lei de Coulomb
Quatro cargas idênticas q são colocadas nos vértices de um quadrado de lado igual
a L. Faça um diagrama mostrando todas as forças que atuam sobre uma das cargas.
Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante exercida pelas outras
três cargas sobre a carga considerada.
F=
Fq2q4
q1 +
q4
Fq1q4
F1→ 4 =
1 QQ
4π ε 0 L2
F2→4 =
1 QQ
4π ε 0 L2
QQ
1
4π ε 0 L 2
(
+
2
=
1 QQ
Fq3q4
4π ε 0 2 L2
L√2
L
q3 +
)
q2
+
Lei de Coulomb
FRq4
q1
45°
+
q2 +
+ q3
Como as forças são colineares, pode-se somar o módulo das
forças individuais:
F=
 1
1  5 QQ 1
×  2 + 2 2  = ×
×
4π ε 0  2 L
L  8 π ε 0 L2
QQ
Se for esbelecido um sistema de referência com origem na carga q4,
verifica-se que a força resultante faz um ângulo de 45°com o eixo horizontal.
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Lei de Coloumb
Dois fios não condutores de 1,20m se encontram em um ângulo reto. Um
segmento possui +2,50 µC de carga uniformemente distribuída ao longo
do comprimento, e a outra possui -2,50 µC uniformemente distribuída ao longo
do comprimento. Determine o módulo a direção e o sentido do campo
elétrico produzido por esses fios no ponto P, que se situa a 60 cm de cada fio.
1,2 m
++ ++ + + + +
1,2 m
-
0,6 m
0,6 m P
Lei de Coloumb
Dois fios não condutores de 1,20m se encontram em um ângulo reto. Um
segmento possui +2,50 µC de carga uniformemente distribuída ao longo
do comprimento, e a outra possui -2,50 µC uniformemente distribuída ao longo
do comprimento. Determine o módulo a direção e o sentido do campo
elétrico produzido por esses fios no ponto P, que se situa a 60 cm de cada fio.
1,2 m
++ ++ + + + +
1,2 m
-
Verificar solução de exercício
Anterior (barra com densidade
linear de carga):
0,6 m
0,6 m P
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Lei de Gauss
Encontre o campo elétrico gerado por uma folha fina, plana e infinita que possui
uma densidade de carga superficial igual a σ.
Exemplo 2222-7, cap. 22, pg 739, 13a. edição
Lei de Coloumb
Um carga puntiforme está distribuída uniformemente ao longo de uma
semicircunferência de raio a. Obtenha o campo elétrico (módulo, direção e
sentido no centro de curvatura P.
Q
y
a
P
x
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Lei de Coloumb
Um carga positiva está distribuída uniformemente ao longo de uma
semicircunferência de raio a. Obtenha o campo elétrico (módulo, direção e
sentido no centro de curvatura P.
λ = Q/(πa) dQ = λ dr
y
dE x = dE cos α
dQ , dr
a
dE y = dE sen α
P
x
dE =
=
dQ
1 λ dr
=
=
2
4π ε 0 r
4π ε 0 a 2
1
1 (Q π a )dr
1 Q
=
dr
4π ε 0
a2
4π 2 ε 0 a 3
Lei de Coloumb
Um carga positiva está distribuída uniformemente ao longo de uma
semicircunferência de raio a. Obtenha o campo elétrico (módulo, direção e
sentido no centro de curvatura P.
y
dQ , dr
a
P
x
dE x =
1
Q
(cos α )dr
4π ε 0 a 3
2
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