Universidade do Minho
Departamento de Engenharia Mecânica
Mecânica dos Fluidos
exercícios propostos
José Carlos Fernandes Teixeira
Luís Barreiros Martins
MECÂNICA DOS FLUIDOS
LISTA DE PROBLEMAS PROPOSTOS
Os exercícios propostos estão agrupados de acordo com a organização dos assuntos expostos
na sebenta.
Exemplos práticos
/1/
1.
CONCEITOS
1.1
Quais as dimensöes de μ e ν no sistema BG, SI e cgs?
1.2
Considere uma massa de 3 kg num planeta com g=5 m/s2.
a) Qual a massa do corpo nesse planeta?
b) Qual o seu peso em Newtons?
c) Qual a força (em lbf) para uma aceleração de 25 ft/s2?
1.3
Óleo SAE 70 tem a viscosidade de 0.0088 slug/(ft.s).
a) Qual a sua viscosidade em kg/(m.s)?
b) Se ele pesar 55 lbf/ft3 qual é a sua viscosidade cinemática em m2/s?
1.4
Se o perfil de velocidades de um certo escoamento for dada pela equação:
u=
B
μ
(r
2
0
)
− r2 ,
quais são as dimensões de B?
1.5
O cavalo vapor é a unidade de potência equivalendo a 550 (ft.lbf)/s. Quantos kWh de
energia são dispendidos num dia?
1.6
Verifique se a equação de Bernoulli
homogeneidade dimensional.
1.7
Assumindo a distribuição de velocidade
mostrada no diagrama da figura P.1.7,
que é uma parábola com o vértice a 4'' da
parede, calcule a tensão de corte para
y=0, 1, 2, 3 e 4'' da parede se μ=400 cP.
p0 = p + 1 2 ρ u2 + ρ g z satisfaz o princípio da
Fig. P.1.7
Exemplos práticos
/2/
1.8
Suponha que o fluido viscoso que se
encontra entre as duas placas representadas
na figura P.1.8 é óleo SAE 30 com
viscosidade de 0.29 kg/(m.s). Determine a
tensão de corte no fluido quando a
velocidade da placa móvel é 3 m/s e a
distância entre placas é 2 cm.
Fig. P.1.8
1.9
Se um bloco de 10 kg deslizar num plano inclinado a 20°, qual é a sua velocidade
terminal se entre o bloco e o plano existir uma película de óleo (μ=0.3 kg/m.s) de 2 mm
de espessura? Considere a área do bloco igual a 0.2 m2.
1.10 Numa chumaceira de D=10.2 cm roda a 100 rpm, concentricamente, um veio com
D=10.0 cm. O intervalo está preenchido com um óleo de μ=0.3 kg/m.s. O comprimento
da chumaceira é 10 cm. Qual o calor dissipado em cal/hora?
1.11 Um viscosimetro tem a forma representada na
figura P.1.11. Se o fluido tiver a viscosidade μ,
qual o valor do binário necessário para rodar o
cone à velocidade ω?
1.12 Água (ρ=1000 kg/m3; μ=1x10-3 kg/m.s) escoa-se
por uma conduta (D=5 cm), justamente na
transição entre os regimes laminar e turbulento.
a) Qual o caudal de escoamento?
b) Se a água for substituida por outro fluido (ex:
glicerina ρ=1264 kg/m3; μ=1.5 kg/m.s), qual
seria a velocidade média de escoamento deste
fluido?
Fig. P.1.11
1.13 Para um perfil de velocidades igual ao do problema P.1.4 qual é a velocidade central uo
para um tubo de 1 cm de raio e um caudal mássico de 1.2 kg/s? (μ=10-3 ; ρ=1000) [SI]
1.14 Se o perfil de velocidades for dado pela fórmula:
n
⎛
r⎞
u = umax ⎜1 − ⎟ , com
⎝ r0 ⎠
n= 0.14
calcule a velocidade média na conduta.
Exemplos práticos
/3/
1.15 O perfil de velocidades ao longo de um canal
(Fig. P.1.15) é dado pela equação
aproximada:
⎛ y⎞
u = umax ⎜ ⎟
⎝ h⎠
17
Se umax=1.5 m/s, h=2 m e a largura do canal
b=20 m, quantas horas leva a que 106 m3 de
água passem nesse canal?
Fig. P.1.15
1.16 Determine as dimensões e unidades no SI
das seguintes grandezas físicas derivadas, identificando se correspomdem a formas de
energia, energia específica ou de potência.
r
& ⋅ g ⋅ z ; Q ⋅ ΔP ; ρ ⋅ Q ⋅ g ⋅ z ; 1 / 2 ⋅ V 2 ; 1 / 2 ⋅ m ⋅ V 2 ; 1 / 2 ⋅ ρ ⋅V 3⋅ A
F × d ; F × V; m ⋅ g ⋅ z ; m
1.17 Determine O comprimento médio livre de um gás é definido como a distância média
percorrida pelas moléculas entre duas colisões sucessivas. De acordo com a teoria
cinética dos gases, o seu valor para um gás ideal é dado por, l = 1.26 ⋅ μρ ⋅ (RT ) −1 / 2 , onde
R é a constante do gás e T a temperatura absoluta. Será a constante 1.26 adimensional?.
1.18 Determine A velocidade de propagação C de ondas viajando na interface entre dois
1/ 2
⎛ π⋅γ ⎞
⎟⎟ , onde ρa é a média das massas volúmicas dos dois
fluidos é dada por, C = ⎜⎜
⎝ ρa ⋅ λ ⎠
fluidos, γ a tensão superficial e λ o comprimento da onda. Sendo a fórmula
dimensionalmente homogénea, quais as dimensões e unidades de γ ?
1.19 O calor específico a pressão constante Cp do ar nas condições ambientes, é de cerca de
1.005 kJ.kg-1.K-1, valor utilizado habitualmente em termodinâmica. Em mecânica dos
fluidos, o Cp é mais convenientemente expresso como uma velocidade ao quadrado a
dividir por uma temperatura absoluta. Qual o valor do Cp do ar em m2.s-2.K-1 ?
1.20 Devido à tensão superficial existente na interface entre dois fluidos, existe uma
diferença de pressão através de uma interface curva. Determine essa diferença de
pressão para, (a) o interior de um cilindro de líquido, (b) o interior de uma gota esférica.
Sabendo que as tensões superficiais a 20 ºC para água-ar, bolha de sabão-ar, e mercúrioar, são respectivamente, 0.073,0.088 e 0.48 N/m, determine o acréscimo de pressão no
interior de uma gota de água, um bola de sabão e uma gota de mercúrio, todas com um
diâmetro de uma polegada.
Exemplos práticos
/4/
1.21 Quando uma interface líquida intersecta uma superfície sólida, um importante
parâmetro é o chamada ângulo de molhamento θ. Diz-se que o líquido molha a
superfície se θ <90º e que não molha se θ > 90º. O efeito de capilaridade em tubos de
pequeno diâmetro depende de γ e de θ. A componente vertical da força, devida à tensão
superficial correspondente ao anel de contacto líquido-sólido-ar, explica a diferença de
nível h entre o líquido no interior e no exterior do tubo. Demonstre que
2 ⋅ γ ⋅ cos θ
. Para um tubo de vidro de 2 mm de diâmetro, determine h no caso de
h=
ρ⋅g⋅R
uma interface mercúrio-vidro-ar (θ = 130º, γ = 0.48 N/m, dhg = 13.6) e no caso de uma
interface água-vidro-ar (θ ≈ 0º, γ = 0.073 N/m).
Exemplos práticos
/5/
2.
ESTÁTICA DOS FLUIDOS
2.1
Um tanque contém 5 m de água, sobre os quais estão
2 m de óleo (ρ=800 kg/m3) (fig. P.2.1). Calcule a
pressão hidrostática na interface e no fundo do
tanque.
Óleo
ρ = 800 Kg/m
Água
ρ = 1000 Kg/m
Fig. P.2.1
2.2 Considere o reservatório da figura P.2.2. Qual a força
exercida na superfície do ponto 1? Qual a força
exercida no fundo? Esta força será maior, menor ou
igual ao peso da água contida no reservatório?
Nota: na parte superior o reservatório tem um diâmetro
de 0.5 m e na sua parte inferior o valor é de 1.0 m.
1
Água
ρ = 1000 Kg/m
Fig. P.2.2
2.3
Considere o manómetro de dois fluidos
representado na figura P.2.3. Qual a
relação entre p1 e p4 ?
Fig. P.2.3
Exemplos práticos
/6/
2.4
A porta AB na figura P.2.4 é
suportada pela parede vertical.
Calcule a força de pressão resultante
e o seu ponto de aplicação sabendo
que a porta AB tem 5 m de largura.
Fig. P.2.4
2.5
Sabendo que a 20°C o manómetro A na
figura P.2.5 indica 300 kPa (absoluta),
qual é a altura h da água em cm? Qual
será a pressão lida pelo manómetro B?
Fig. P.2.5
2.6
A barragem representada na figura P.2.6
tem 40 m de comprimento e é feita de
betão pesando 22 kN/m3. Calcule a força
hidrostática na superfície AB. Pode esta
força fazer tombar a parede da barragem
se ela rodar em torno do ponto C?
Fig. P.2.6
Exemplos práticos
/7/
2.7
A garrafa de champanhe (ρ=960 kg/m3) está sobre
pressão como indicado na figura P.2.7. Calcule a força
resultante no fundo da garrafa de forma semi-esférica.
2.8
O depósito da figura P.2.8 tem secção recta circular.
a)
Determine a força de pressão sobre o tronco
de cone ABCD.
b)
Fig. P.2.7
Qual a força sobre o plano EF?
c)
Esta força é igual ao peso do fluido contido
no depósito? Em caso negativo justifique a diferença.
R: (a) 9 kN; (b) 27.1 kN
2.9
A A figura P.2.9 representa dois reservatórios que
comunicam entre si por uma comporta AB de 1.2 m
de largura, articulada em A. O reservatório da direita
é aberto para a atmosfera e contém óleo com a densidade
de 0.75. O da esquerda é pressurizado, contendo água até
5.4 m de altura e ar no topo, à pressão indicada pelo
manómetro. Calcule a força a aplicar em B para manter a
comporta AB fechada.
R: F = 2510 kgf, para a esquerda.
2.10 A represa da figura P.2.10 tem uma comporta vertical
ABCDE que inclui um elemento semi-cilíndrico BCD de
2 m de raio. A largura da comporta é de 4 m.
a) Trace o diagrama das forças de pressão horizontais e
verticais na comporta.
b) Calcule as componentes horizontal FH e vertical FV
dessas forças.
c) Calcule o módulo e o ponto de aplicação da resultante
global R de FH e FV.
d) Calcule o momento de abertura da comporta, sabendo
que roda em torno do eixo O.
R: b) FH=1254.4E3N; FV=246.2E3 N; c) R=1278.3E3 N;
X=0.85 m; Y=2.67 m; d) I=1457.3E3 Nm.
Exemplos práticos
/8/
2.11 Determine a pressão absoluta e a massa volúmica do ar atmosférico a 40 000 ft de
altitude assumindo que:
a) a atmosfera é isotérmica;
b) a temperatura varia com a altitude de acordo com o perfil aprovado para a atmosfera
standard (ISA ou ICAO); calcule também a temperatura à mesma altitude;
c) apenas para a pressão, estime o erro relativo dos resultados das alíneas a) e b), por
comparação com o valor publicado na tabela da ICAO;
d) um passageiro viajava num avião àquela altitude quando reparou que o seu relógio
com altímetro barométrico indicava uma “altitude” de 1500 m. Estime a resultante das
forças de pressão exercidas numa janela do avião, A janela tem a forma circular com
um diâmetro de 25 cm. Haveria vantagens se os aviões deixassem de ter janelas?
2.12 Demonstre que a condição limite de estabilidade para a estratificação térmica negativa
de um gás (dT/dz < 0) é dada por –g/R em que g é a aceleração da gravidade e R a
constante do gás. Determine e comente o valor para o ar atmosférico.
2.13 A figura P2.13 representa uma comporta vertical em forma de L cujo bordo superior
está a 2 m de profundidade:
a) determine as coordenadas do centro de
gravidade da superfície em L;
b) calcule a resultante da força de pressão;
c) calcule o momento de inércia Ixx e o
produto de inércia Ixy em relação aos eixos
que passam pelo centro de gravidade;
Y
2m
d) determine as coordenadas yCP e xCP do
centro de pressão.
2m
2m
Exemplos práticos
2m
X
/9/
3.
ANÁLISE DIMENSIONAL
3.1
A queda de pressão (Δp) ao longo de uma tubagem é função das seguintes variáveis:
Δp=f(ρ, u, μ, D, ε)
Utilizando as técnicas de análise dimensional determine os grupos adimensionais
característicos.
3.2
A flexa (δ) na extremidade de uma barra encastrada é função de:
δ=f(P, L, I, E)
Utilizando as técnicas de análise dimensional determine os grupos adimensionais
característicos.
3.3
Num sistema de pulverização o diametro (d) das gotas resultante é função de:
d=f(D, u, ρ, μ, σ)
Utilizando as técnicas de análise dimensional determine os grupos adimensionais
característicos.
3.4
a) Considere uma chumaceira de diametro D lubrificada com um óleo de viscosidade
μ e rodando à velocidade angular Ω. Se o binário M necessário para mover a
chumaceira depender da carga N a que a chumaceira está sujeita, determine os
grupos adimensionais que relacionam estas variavéis.
b) Duas chumaceiras iguais estão sujeitas à mesma carga mas em óleos diferentes em
que a viscosidade de um é 10 vezes a do outro. Qual a relação entre as velocidades
de rotação de cada uma das chumaceiras para garantir semelhança dinâmica entre
as duas situações?
3.5
Um tubo liso, com um Di = 10 mm e um comprimento de 1 m, foi montado na
horizontal num laboratório, com o objectivo de se determinar a queda de pressão,
provocada pelo atrito viscoso, em função do caudal de água que o atravessa, tendo-se
obtido os seguintes valores:
Q (L/s)
ΔP (Pa)
h ; ΔP = ρgh
0.0785
1578
0.157
5307
0.393
26437
<U>
0.785
88723
Utilizando a análise dimensional, estime a perda de carga numa conduta lisa com Di =
100 mm e 100 m de comprimento, na qual circulam 100 L/s de ar a 100 ºC.
Exemplos práticos
/10/
3.6
A qualidade aerodinâmica de um automóvel é avaliada por intermédio de um modelo à
escala 1:10, ensaiado num túnel de água a 7 m/s. Sabendo que o dinamómetro acusa
uma força de 45 kgf e que o carro real (protótipo) tem uma área frontal de1.8 m2,
determine:
a) O coeficiente da força de arrasto adimensional (CD ou CX nas revistas de
automóveis).
b) Para o mesmo número de Reynolds, qual a velocidade no caso real, correspondente
à de ensaio do modelo?
c) Assumindo que o CD se mantém aproximadamente constante para nºs de Reynolds
maiores ou iguais a 106, determine a força de arrasto a que o veículo real fica
sujeito à,
i) velocidade de b)
ii) 120 km/h
iii) 180 km/h
d) Sabendo que a força de atrito ao rolamento, no caso real, é proporcional à
velocidade sendo dada por,
Fa = U(m/s) x 8 (N/(m/s),
determine a potência que o motor tem de
fornecer, às velocidades da alínea anterior.
3.7
Verifica-se experimentalmente que para uma certa gama de velocidades do vento
sobre cilindros rígidos, se geram sons audíveis. Ensaios em túnel aerodinâmico com
um cilindro de 3.2 mm de diâmetro, produziram os seguintes valores de frequência às
velocidades:
<U> (m/s)
3.0
6.0
12.0
18.0
24.0
30.1
f (Hz)
42
229
603
977
1351
1725
a) Qual a frequência do som produzido por um cilindro
de 12.8 mm de diâmetro sujeito a um vento de 5.1
m/s?
b) Qual a frequência do som produzido por uma
chaminé de 3 m de diâmetro com um vento de 80
km/h ?
3.8
Mostre, atendendo à teoria da análise dimensional, que quando um fluido de massa volúmica ρ e vi
τ0/(ρ<U>2 = Φ[(ρ<U>D/μ)]
Exemplos práticos
/11/
Se a tubagem fosse rugosa, sendo ε a altura média das rugosidades da parede interna,
qual o grupo adimensional adicional a considerar ?
3.9
a) Mostre que a força de arrasto F a que fica sujeito um navio de comprimento L, que
se desloca à superfície de um líquido de massa volúmica ρ e de viscosidade μ , com
uma velocidade V em relação ao líquido, num campo de gravidade g, é da forma:
F/(ρV2L2) = Φ [ (ρVL)/μ), V2/(gL) ]
em que o parâmetro adimensional V2/(gL) é o número
de Froude (medida da relação entre as forças de inércia
e da gravidade.
b) Se um navio tiver um comprimento do casco de 138
m e navegar a 7.6 m/s, para que haja semelhança
dinâmica, qual deverá ser a velocidade de um modelo à
escala de 1:30 arrastado através da água ?
Exemplos práticos
/12/
4.
EQUAÇÕES DE BALANÇO MACROSCÓPICO
4.1
Água é introduzida no tanque por duas
entradas,
conforme
o
esquema
representado na figura P.4.1. Determine
uma expressão para a variação de altura
dh/dt de água no tanque. O ar é retido na
parte superior do tanque.
Fig. P.4.1
4.2
Considere a figura P.4.2. Sabendo que
Q3=0.01 m3/s; D1=5 cm; D2=7 cm; <u1>=4
m/s e a altura h se mantém constante
determine o valor de <u2>.
Fig. P.4.2
Exemplos práticos
/13/
4.3
Determine a velocidade do fluido à saída
da seringa (ρ=1500 kg/m3). Os restantes
dados são indicados junto da figura P.4.3.
Fig. P.4.3
4.4
Observe a figura P.4.4. Qual a quantidade de ar
(em N/s) que passa pela secção 3 e em que
direcção.
γ1=90 N/s
γ2=50 N/s
Fig. P.4.4
4.5
Para o escoamento de água em regime
estacionário representado na figura P.4.5
verificam-se as seguintes condições: D1=10
cm, Q1=200 m3/h, p1=170 kPa, D2=8 cm,
Q2=100 m3/h, p2=205 kPa, D3=5 cm e
p3=240 kPa. Desprezando os efeitos da
gravidade, temperatura e transferência de
calor, calcule o trabalho (potência)
realizado pelo/sobre o sistema.
Fig. P.4.5
Exemplos práticos
/14/
1.5m
4.6
Com base nos dados indicados junto da figura
P.4.6 calcule as perdas por atrito. Se estas forem
proporcionais ao comprimento da conduta qual a
pressão em A?
ρ = 1500 Kg/m
Fig. P.4.6
4.7
No escoamento de água numa
tubagem como a indicada na figura
P.4.7, as medições de pressão entre
os pontos 1 e 2 mostram uma queda
de pressão de 120 para 15 psig.
ρ=1000 kg/m3.
a) Qual a energia dissipada
quando o caudal é de 400
l/min?
b) Qual a perda de carga para uma
tubagem
equivalente,
mas
horizontal?
Fig. P.4.7
c) Qual a perda de carga para uma dissipação nula, com a tubagem inclinada?
4.8
Uma bomba de 5 hp é usada para bombear 200 l/min de água numa conduta
perfeitamente isolada (figura P.4.8). Determine a elevação de temperatura da água
(cp=4180 J/kg.K). Despreze as perdas por atrito. Comente o resultado.
Exemplos práticos
/15/
2
1
Fig. P.4.8
4.9
A barragem esquematizada na figura P.4.9 é
usada para produzir energia eléctrica. O
diâmetro da conduta é de 7.5 m e a
velocidade média da água é de 16 km/h.
Admitindo que as perdas por atrito são 90
ft.lbf/lbm, calcular a energia gerada por uma
turbina com eficiência de 90%.
Fig. P.4.9
4.10 Se desprezarmos atritos no sistema
de escoamento de água indicado na
figura P.4.10, qual será a leitura do
manómetro de mercúrio?
<u1> = 2 ft/s
D1=3"
D2=1"
ρHg=13600 kg/m3
Fig. P.4.10
Exemplos práticos
/16/
4.11 Considere o escoamento de água entre
dois reservatórios de acordo com o
esquema representado na figura P.4.11.
a) Qual a potência dissipada por atrito?
b) Se a pressão de vapor for 8 kPa e a
pressão atmosférica 100 kPa, qual o
menor diametro do estrangulamento
que
não
provoca
cavitação.
Considere a perda por atrito igual à
alinea a).
Fig. P.4.11
4.12 O motor a jacto ilustrado na figura P.4.12 recebe ar a 20 oC e 1 atm na secção 1, onde a
velocidade é 200 m/s e a área é 0.3 m2. A
relação fuel/ar é 1/40. O ar sai a uma
temperatura superior na secção 2, onde a
velocidade é 1000 m/s e a área 0.25 m2.
Calcule a força de reacção na horizontal,
em Newtons, que equilibre o impulso do
motor
funcionando
em
regime
estacionário.
Fig. P.4.12
4.13 Um caudal de 20000 cm3/s de água escoam-se num tubo de 9 cm de diametro, sobre um
cone fixo com angulo θ e diametro de base de 40 cm. Se a água sair de forma cónica
com a mesma velocidade da verificada no tubo, qual é a força necessária para manter o
cone fixo.
4.14 Considere o escoamento de água em
regime estacionário numa curva de
redução como mostra a figura P.4.14.
As condições são p1=300 kPa, d1=30
cm, u1=2 m/s, p2=150 kPa e d2=10 cm.
Calcule a força a que os parafusos da
flange terão que resistir desprezando o
peso da curva e da água.
Fig. P.4.14
Exemplos práticos
/17/
4.15 Quando o escoamento num tubo se expande subitamente de A1 para A2, como ilustrado
na figura P.4.15, formam-se vórtices nos cantos
e o escoamento expande-se gradualmente até
recolar na secção A2 a jusante. Utilizando o
volume de controlo recomendado e assumindo
que a pressão no anel do canto é igual a p1
(indicado na figura) demonstre que a pressão a
jusante é dada por,
p 2 = p1 + ρV12
A1
A2
⎛
A ⎞
⎜⎜1 − 1 ⎟⎟
A2 ⎠
⎝
e que a perda de pressão, por comparação
com a equação de Bernoulli, corresponde
a,
Δp perda
⎛
A ⎞
= 1 / 2 ρV ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟
A2 ⎠
⎝
2
2
1
ou seja, para uma expansão súbita, o coeficiente de perda de carga localizada K
(definido no capítulo 6) vem dado simplesmente por,
2
⎛ ⎛D
⎛
A1 ⎞
⎟⎟ = ⎜1 − ⎜⎜ 1
K = ⎜⎜1 −
⎜ ⎝ D2
A2 ⎠
⎝
⎝
Exemplos práticos
⎞
⎟⎟
⎠
2
2
⎞
⎟ = (1 − β )2
⎟
⎠
/18/
5.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE BALANÇO
5.1 Em que condições o campo de velocidades u=(a1 x + b1 y + c1 z) i + (a2 x + b2 y + c2 z) j
+ (a3 x + b3 y + c3 z) k, em que (a1, b1, ... = cte), representam um escoamento
incompressível que conserve a matéria?
5.2 Um campo de velocidades num escoamento incompressível é dado por: ux= a(x2 -y2);
uy=?; uz=b. Qual a forma de uy?
5.3
O campo de velocidades bidimensional: ux =
k⋅y
k⋅x
; uy = 2
com k=cte. satisfaz
2
x +y
x + y2
2
a continuidade incompressível?
⎛ 2⋅ y
y2 ⎞
5.4 Um escoamento bidimensional tem o perfil de velocidades: ux = U ⎜
− 2 2 ⎟ perto
⎝a⋅x a ⋅x ⎠
da parede, onde a=cte.. Calcular uy (x,y) assumindo que para y=0, uy=0.
5.5 Determine o perfil de velocidades para um fluido Newtoniano incompressível numa
conduta circular, em que a aceleração da gravidade actua segundo o eixo da conduta.
5.6 Para o perfil de velocidades bidimensional: ux= a(x2 - y2); uy= - 2.a.x.y; uz=0, determine
em que condições as equações de Navier - Stokes são satisfeitas. Determine uma
expressão para o campo de pressões.
5.7
Para o escoamento re-presentado na
figura P.5.7 determine o perfil de
velocidades do escoamento se a
viscosidade do fluido for dada pela
relação:
μ = μo e -(α x)/δ
Fig. P.5.7
Exemplos práticos
/19/
5.8
Determinar o perfil de velocidades para o escoamento laminar tangencial entre dois
cilindros concêntricos coaxiais em que o cilindro exterior roda com a velocidade
angular Ωo. Considere o raio externo R e o raio interno KR.
5.9
Determine para o sistema mostrado
na figura P.5.9 a curva da superfície
livre do líquido quando sujeito a
uma rotação angular Ω.
Fig. P.5.9
5.10 Considere um fluido não Newtoniano escoando-se em regime estacionário por uma
tubagem de diâmetro 2R. Determine o perfil de velocidades para uma determinada
queda de pressão dp/dz, se o fluido for um plástico de Bingham.
Exemplos práticos
/20/
6. ESCOAMENTO EM CONDUTAS
6.1
Calcule para uma tubagem de 1'' de diâmetro, o máximo gradiente de pressão, de modo
a que o regime seja laminar. Qual a tensão de corte na parede?
6.2
Em regime turbulento <u2> ~ <u>2 . Veja qual o erro introduzido em regime laminar
nesta aproximação.
6.3
Óleo de densidade 0.85 e ν=1.8x10-5 m2/s escoa-se por uma tubagem de 10 cm de
diâmetro, com caudal de 0.5x10-3 m3/s. Calcule:
a) A velocidade no centro da conduta.
b) O factor de atrito.
c) A tensão de corte na parede da conduta.
d) A perda por atrito por metro de conduta.
6.4
Resolva o problema anterior com um caudal de 0.05 m3/s.
6.5
Calcule as tensões de corte de natureza turbulenta e viscosa nas seguintes condições:
D=4 cm; Re=50000; μ=1.5x10-3 kg/m.s; ρ=1000 kg/m3, para um tubo liso para r=0; r=1
e r=2 cm.
6.6
Ar a 20°C escoa-se por uma tubagem de 14 cm de diâmetro, com o perfil
completamente desenvolvido. A velocidade no centro é de 5 m/s. Estime:
a) A velocidade de corte.
b) A tensão de corte na parede.
c) A velocidade média.
6.7
Transporta-se óleo (ρ=52 lbm/ft3 e μ=3.4 cP) de um tanque a 1 atm para um
reservatório pressurizado a 50 psig usando o esquema indicado na figura P.6.7. O
caudal mássico é 23.1x103 lbm/hora e processa-se através de uma tubagem de 3'' de aço
comercial. O comprimento total de tubagem recta é de 135 m. Calcular a potência
necessária para que uma bomba, trabalhando com uma eficiência de 60%, possa
transportar o óleo.
Exemplos práticos
/21/
B
GLOBO
CUNHA
Fig. P6.7
6.8
Benzeno (ρ=881 kg/m3 e μ=0.65 cP) está contido num reservatório ventilado. Deseja-se
bombar este líquido com um caudal constante de 55 kg/min para o topo de uma coluna
também com ventilação exterior, de acordo com o esquema da figura P.6.8. Dispõe-se
de uma bomba com um motor de 0.5 hp que pode operar a uma eficiência máxima de
80%, sendo a tubagem de saída de 1''.
a) Pode usar-se a tubagem de 1'' em toda a linha?
b) Poderia usar-se uma tubagem menor?
(Nota: A resistência do rotâmetro é equivalente a 6 m de tubagem recta. As válvulas são
de cunha.)
B
30 m
Fig. P.6.8
6.9
Um líquido de densidade 1.26 é bombado por uma conduta de A para B. Em A, o
diâmetro da conduta é de 24'' e a pressão 45 psia. Em B, o diâmetro é de 12'' e a pressão
de 50 psia. O ponto B está 1 m abaixo do ponto A. A potência útil fornecida pela bomba
é de 22 hp. Calcule o caudal volumétrico, desprezando as perdas por atrito.
Exemplos práticos
/22/
6.10 Uma bomba centrifuga é usada para bombar água de um tanque pressorizado a 5 psig. O
ponto de sucção encontra-se 4.5 m abaixo do nível da bomba e a linha de sucção tem 15
m e um diâmetro de 6''. A descarga é feita através de uma tubagem de 60 m e diâmetro
de 8'' para um tanque aberto cuja superfície livre está 3 m abaixo do nível do tanque
pressorizado (figura P.6.10). Admitindo que a bomba debita 2 hp, calcule:
a) O caudal de transferência.
b) A pressão à entrada da bomba.
c) O NPSH do sistema.
B
Fig. P.6.10
6.11 É necessário fazer um transporte de água de um reservatório aberto para um tanque
situado 10 m acima. Dispõe-se de uma conduta de 200 m de comprimento, 3'' de
diâmetro e de uma bomba centrifuga da qual se conhece os valores do seguinte quadro:
Descarga (ft3/s)
0.1
0.14
0.18
0.20
0.21
Wv
ρg < U > A
76
70
62
50
36
hb =
(ft)
A perda de carga total nos vários acidentes é equivalente a um factor de energia cinética
de 16. Nestas condições, calcule o caudal espectável e a potência, admitindo uma
eficiência de 50%.
Exemplos práticos
/23/
6.12 Pretende-se transportar água de um rio para um tanque conforme ilustra a figura P.6.12.
O comprimento de sucção é 10 m, o comprimento de descarga é 200 m e a tubagem é
em aço comercial de 3" de diametro. Determine:
a) O caudal máximo.
b) A pressão à entrada da bomba.
c) A potência consumida.
A bomba de que se dispõe tem as seguintes características:
Q (m3/s)
0.000
hb (m)
85.3
79.2
67.1
48.8
33.5
19.2
8.5
3.0
1.5
η (%)
0
45
60
60
56
50
43
37
30
0.0015 0.0030 0.0045 0.0060 0.0075 0.0090 0.0105 0.0120
Fig. P.6.12
Exemplos práticos
/24/
6.13
Determine o caudal de água que se escoa por gravidade, do depósito A para o depósito
B. Trace a curva da instalação e marque o ponto de funcionamento. Conduta de ferro
fundido com diâmetro nominal de 4 polegadas (Schedule nº 80); duas válvulas de
cunha.
(1)
20 m
(6)
(3)
(2)
(4)
300 m
(5)
6.14 Uma pequena turbina laboratorial extrai uma certa potência útil, do escoamento de
água de um reservatório para a atmosfera, através de uma tubagem de aço
galvanizado, conforme a figura.
a) Determine a potência útil fornecida pela turbina, quando o caudal escoado é de 2.5
L/s, sabendo que o seu rendimento é de 80%.
b) Assumindo que o rendimento da turbina é constante (não varia com o caudal),
determine os dois caudais escoados possíveis de modo a que a turbina forneça uma
potência útil de 150 W. Qual dos dois pontos escolheria para o funcionamento da
turbina?
c) Desenhe a curva da instalação e marque os 3 pontos de funcionamento (o da alínea
“a)” e os dois da alínea “b)” ).
10 m
Di= 6 cm
Exemplos práticos
30 m
T
Di= 4 cm
/25/
7. TRANSFERÊNCIA DE CALOR
CONDUÇÃO
7.1
Considere uma parede constituída por uma camada de 10 cm de tijolo (k=0.7 W/(m.°C)),
sobreposta por uma outra camada de 5 cm de gesso (k=0.48 W/(m.°C)). Qual a
espessura de lã de vidro (k=0.065 W/(m.°C)) a ser adicionada à parede de modo a
reduzir as perdas de calor em 80%.
7.2
Um tubo espesso de aço inox (k=19 W/(m.°C)) com 2 cm de diâmetro interior e 4 cm de
diâmetro exterior está coberto com uma camada de 3 cm de isolante (k=0.2 W/(m.°C)).
Se a temperatura interior do tubo é mantida a 600 °C e a exterior do isolamento a 100
°C, calcule as perdas de calor por unidade de comprimento . Qual a temperatura na
interface inox-isolante?
7.3
Determine a densidade de fluxo de calor do bloco esquema-tizado na figura P.7.3.
Q
B
D
A
C
370°C
2.5
7.5
T = 66°C
5
[cm]
Fig. P.7.3
Fig. P.7.3
Exemplos práticos
/26/
CONDUÇÃO EM ESTADO NÃO ESTACIONÁRIO
7.4
Uma esfera de aço (Cp=0.46 kJ/(Kg.°C), k=35 W/(m.°C)) com 5 cm de diâmetro e
inicialmente à temperatura de 450 °C é colocada num local onde a temperatura é de 100
°C. O coeficiente de transferência de calor convectivo é de 10 W/(m2.°C). Calcule o
tempo necessário para atingir os 150 °C.
7.5
Um bloco de aço (k=45 W/(m.°C) e α=1.4x10-5 m2/s) está inicialmente à temperatura de
35 °C. A superfície é exposta a um fluxo de calor constante de 3.2x105 W/m2. Calcule a
temperatura a uma profundidade de 2.5 cm após uma exposição de 0.5 min.
7.6
Uma placa de alumínio com a temperatura inicial de 200 °C (uniforme) vê a
temperatura da sua superfície baixada para 70 °C. Qual a quantidade de calor removida
da placa, quando a temperatura a uma distância de 4 cm da superfície baixou para 120
°C.
7.7
Uma placa de alumínio à temperatura de 200 °C é exposta a um ambiente a 70 °C em
que o coeficiente de transferência de calor convectivo é 525 W/(m2.°C). Calcule o
tempo necessário para a temperatura atingir 120 °C à distância de 4 cm.
7.8
Uma placa de alumínio com 5 cm de espessura a 200 °C é colocada na situação do
problema anterior. Calcule a temperatura para x=1.25 cm e 1 min após ser colocada
nesse ambiente. Quanta energia foi removida por unidade de área nesse tempo?
7.9
Um cilindro longo de alumínio, inicialmente à temperatura de 200 °C é subitamente
exposto à temperatura de 70 °C onde h=525 W/(m2K). Calcule a temperatura a um raio
de 1.25 cm e o calor perdido por unidade de comprimento 1 min após o cilindro ter sido
exposto a esse ambiente.
Exemplos práticos
/27/
CONVECÇÃO
7.10 Ar a 27 °C e 1 atm escoa-se sobre uma placa de 1 m de largura à velocidade de 2 m/s.
Supondo que a placa se encontra aquecida à temperatura de 60 °C em todo o seu
comprimento, calcule o fluxo de calor existente nos primeiros 20 cm da placa.
7.11 Em relação ao problema anterior, calcule a força de atrito entre a placa e o fluido nos
primeiros 20 cm da placa.
7.12 Ar a 200 °C e 2 atm é aquecido à medida que se escoa num tubo de 1'' de diâmetro à
velocidade de 10 m/s. Calcule o fluxo de calor por unidade de comprimento se a
temperatura da parede for mantida 20 °C acima da temperatura do gás ao longo do tubo.
Qual será o aumento de temperatura em 3 m de tubo.
7.13 Água a 60 °C entra num tubo de 1'' de diâmetro com a velocidade média de 2 cm/s.
Calcule a temperatura de saída se o tubo tem 3 m de comprimento e se a temperatura da
parede for mantida constante a 80 °C.
7.14 Óleo entra numa tubagem de 1'' de diâmetro à temperatura de 60 °C à velocidade de 2
m/s. Se a temperatura da parede da tubagem for de 140 °C, determine qual o
comprimento necessário para elevar a temperatura do óleo para 100 °C.
Exemplos práticos
/28/