Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
EXERCÍCIOS DE
MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Março 1997
• Transformação de Energia
• Máquina Assíncrona
Bacharelato em Engenharia Electrotécnica
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA
Perguntas Teóricas
1 - A que características deverão obedecer dois transformadores para que o seu
paralelo seja feito nas melhores condições?
2 - A que são devidas as perdas no Ferro e como variam com a carga?
3 - Considerando a simplificação do método de Kapp, trace o circuito equivalente de um
transformador monofásico com carga indutiva e desenhe o diagrama vectorial
correspondente.
4 - Defina coercividade Hn num íman permanente e dê dois exemplos de materiais
magnéticos deste tipo.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 1
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA
Problemas
1- Um circuito magnético como é mostrado na figura tem as seguintes dimensões:
ln = 40 cm; N = 750 espiras; An = 16 cm2; Ag =16 cm2; g = 0,1 cm.
Assumindo que o valor de µr = 10.000 para o ferro e que o circuito magnético está
operando com Bn = 1 Tesla. Calcular:
a) As relutâncias ℜn e ℜg
b) O fluxo ϕ e o fluxo ligado λ
c) A corrente i
d) A auto-indução L
e) A energia magnética armazenada Wcmp
f) A f. e. m. induzida “ e “ para uma indução Bn = 1,2 senωt Wb/m2, com alimentação
a 55 Hz.
2- Um relé feito de material magnético como é mostrado na figura tem as seguintes
dimensões:
x = 0,08 m ; N = 750 espiras ; g = 0,002 m ; d = 0,16 m ; l = 0,1 m ; i = 10 A
Assumindo que o material magnético do relé e da cavilha móvel é o mesmo e de
permeabilidade infinita, e que a altura da cavilha é muito maior do que o comprimento do
entreferro ( h » g ). Calcular:
a) A energia magnética armazenada Wcmp, na
posição x;
b) A força da cavilha na posição x , para a
corrente no enrolamento constante de 10 A,
usando a expressão da coenergia;
c) Num sistema linear qual a relação entre a
energia e a coenergia?
d) Elabore um gráfico da energia e da coenergia para um sistema não linear.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 2
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA
3- Um modelo de um sistema simples com dois conjuntos de terminais eléctricos é
mostrado na figura. As indutâncias em Henry são dadas por:
L11 = 0,8x10-3 cos2θ; L12 = 0,1 cosθ; L22 = 10 cos2θ.
a) Determinar a coenergia W’cmp(θ) em função das correntes i1 e i2 ;
b) Calcular o binário Tcmp(θ) correspondente às correntes i1= 1,5 A e i2= 0,015 A;
c) Identifique os dois termos do binário obtido na alínea anterior.
4 - Um circuito magnético como é mostrado na figura tem as seguintes dimensões:
ln = 60 cm; g = 0,1 cm ;N = 900 espiras; An = 25 cm2 ; Ag =25 cm2,
sendo An a área de corte do núcleo uniforme e ln o comprimento médio do núcleo.
Assumindo que o valor de µr=10.000 para o ferro e que o circuito magnético está
operando com Bn = 1,2 Tesla. Calcular:
a) As relutâncias ℜn e ℜg
b) O fluxo Φ e o fluxo ligado λ
c) A corrente i
d) A auto-indução L
e) A energia magnética armazenada Wcmp
f) A f. e. m. induzida “ e “ para uma indução Bn
= 1,4 senωt Wb/m2, com alimentação a 60 Hz.
5 - Um transformador monofásico tem as seguintes características nominais: 50 KVA;
2400/240 V ; 50 Hz. Os ensaios de recepção conduziram aos seguintes resultados:
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 3
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
Vazio: 240 V ; 390 W ; 5,41 A
(alimentação pelo secundário)
Curto-circuito: 48 V ; 720 W ; In (alimentação pelo primário)
Calcular, no funcionamento à potência nominal, com factor de potência 0,85 indutivo e a
tensão nominal no secundário:
a) A tensão no primário
b) O valor da regulação em %.
c) O rendimento da transformação.
6 - De um transformador monofásico são conhecidas as seguintes características
nominais: 200 KVA ; 10000/230 V ; 50 Hz. Durante os ensaios foram obtidos os
seguintes resultados:
Vazio: 10000 V ; 460 W ; 0,25 A
(alimentação pelo primário)
Curto-circuito: 11,7 V ; 1022,4 W ; 850 A (alimentação pelo secundário)
Calcular, no funcionamento à potência nominal, com factor de potência 0,85 indutivo e a
tensão nominal no secundário:
a) A tensão no primário
b) O valor da regulação em %.
c) O rendimento da transformação.
7 - Um transformador monofásico tem as seguintes características nominais: 200 KVA;
6/15 KV ; 50 Hz. Os ensaios de recepção conduziram aos seguintes resultados:
Vazio : 15000 V ; 390 W ; 0,22 A
(alimentação pelo secundário)
Curto-circuito : 320 V ; 2320 W ; In
(alimentação pelo primário)
Calcular, no funcionamento à potência nominal, com factor de potência 0,85 indutivo e a
tensão nominal no secundário:
a) O regime de funcionamento no primário (tensão, corrente, factor de potência).
b) O valor da regulação em %.
c) O rendimento da transformação
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 4
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA
8 - Três transformadores monofásicos de 70 KVA, 4000/250 V, 50 Hz têm uma
impedância equivalente de 0,004+j0,018 Ω referido ao lado da baixa tensão, cada um, e
vão ser ligados como banco trifásico Y-Y e alimentados por uma linha com uma
impedância de 0,12+j1,2 Ω por fase. A tensão composta no início da linha é de 6900 V.
Do lado do secundário os transformadores alimentam através de uma linha, cuja
impedância é 0,0005+j0,002 Ω por fase, uma carga trifásica equilibrada.
a) Calcular a tensão composta no lado da carga quando esta recebe a corrente
nominal dos transformadores, com factor de potência 0,85 indutivo.
b) Desenhar o circuito equivalente e o diagrama vectorial, mostrando os valores das
grandezas.
c) Determinar, para um curto-circuito trifásico nos terminais da carga, o valor da
corrente no início da linha de 6900 V.
9 - Três transformadores monofásicos de 60 KVA, 4000/250 V, 50 Hz têm cada um uma
reactância equivalente de 0,018 Ω referido ao lado da baixa tensão, e vão ser ligados
como banco trifásico ∆-Y e alimentados por uma linha com uma reactância de 1,2 Ω por
fase. A tensão composta no início da linha é de 3980 V. Do lado do secundário os
transformadores alimentam através de uma linha, cuja reactância é 0,002 Ω por fase,
uma carga trifásica equilibrada. Todas as resistências do circuito são desprezadas.
a) Calcular a tensão composta no lado da carga quando esta recebe a corrente
nominal dos transformadores, com factor de potência 0,85 indutivo.
b) Desenhar o circuito equivalente e o diagrama vectorial, mostrando os valores das
grandezas.
c) Determinar, para um curto-circuito trifásico nos terminais da carga, o valor da
corrente no início da linha de 3980 V.
10 - Três transformadores monofásicos de 70 KVA, 4000/250 V, 50 Hz têm cada um
uma reactância equivalente de 0,022 Ω referido ao lado da baixa tensão, e vão ser
ligados como banco trifásico ∆-Y e alimentados por uma linha com uma reactância de
1,4 Ω por fase. A tensão composta no início da linha é de 3980 V. Do lado do secundário
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 5
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
TRANSFORMAÇÃO DE ENERGIA
os transformadores alimentam através de uma linha, cuja reactância é 0,004 Ω por fase,
uma carga trifásica equilibrada. Todas as resistências do circuito são desprezadas.
a) Calcular a tensão composta no lado da carga quando esta recebe a corrente
nominal dos transformadores, com factor de potência 0,85 indutivo.
b) Desenhar o circuito equivalente e o diagrama vectorial, mostrando os valores das
grandezas.
c) Determinar, para um curto-circuito trifásico nos terminais da carga, o valor da
corrente no início da linha de 3980 V.
11 - Um transformador trifásico de 160 KVA, 10000/400 V, 50 Hz, tem uma impedância
equivalente de 0,005+j0,02 Ω, referida ao lado da baixa tensão, e está ligado ∆-Y
alimentado por uma linha cuja impedância é 0,18+j1,4 Ω por fase Y equivalente. O
transformador alimenta, através de uma linha cuja impedância é 0,034+j0,02Ω por fase
uma carga trifásica equilibrada de 80 KW, com factor de potência 0,8 indutivo e tensão
de 380 V.
a) Faça o esquema equivalente do sistema alimentador da carga;
b) Calcule as tensões simples e compostas no secundário do transformador;.
c) Calcule a tensão no início da linha de 10 KV;
d) Calcule o factor de potência no início da linha de alta tensão;
e) Calcule o valor da regulação do transformador em %;
f)Calcule o rendimento do transformador.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 6
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Perguntas Teóricas
1 - Para uma máquina com 3 bobinas de 2 secções iguais, cada secção com 16
condutores activos, distribuídas por 3 duplos intervalos polares, diga, justificando qual o
angulo eléctrico correspondente aos 360° geométricos da maquina.
2 - Enuncie o teorema de Ferraris, e aplique-o no estudo do comportamento temporal do
campo criado por uma corrente trifásica para uma máquina com p=1.
3 - Enuncie o teorema de Ferraris e explique em termos espaciais o que sucede para
uma máquina de p = 2.
4 - Enuncie o teorema de Ferraris, e aplique-o no estudo do comportamento temporal do
campo criado por uma corrente trifásica para uma máquina com p=2.
5 - Enuncie o Teorema de Maurice LeBlanc e diga qual o domínio de aplicação deste
teorema.
6 - Para uma mesma potência, os motores com 2 pólos, apresentarão maior, menor, ou
igual rendimento? Justifique.
7 - Constata-se, na prática, que, em motores com o mesmo numero de pólos, a
velocidade nominal encontra-se tanto mais próxima da velocidade de sincronismo
quanto mais potente é o motor. Explique quais os motivos deste comportamento
utilizando para isso a noção de balanço de potência da máquina de indução.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 7
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
8 - Descreva um rotor de gaiola dupla e explique o seu funcionamento. Inclua uma
representação gráfica no acompanhamento da sua explicação, bem como o respectivo
circuito eléctrico equivalente (estator + rotor).
9 - Descreva a o conversor de frequência baseado na máquina assíncrona. Inclua o
esquema de montagem e deduza a respectiva lei de funcionamento.
10 - Descreva um rotor de gaiola dupla e explique o seu funcionamento. Explique a sua
aplicabilidade aos motores de indução monofásicos.
11 - Diga quais os métodos que conhece para limitar a corrente no arranque dos
motores de indução. Explique detalhadamente 3 deles.
12 - Nomeie e descreva quatro processos para controlar a velocidade dos motores de
indução.
13 - Diga justificadamente que informação é extraída do ensaio com o rotor travado. E
qual é a informação que se pode extrair do ensaio sem carga ? Justifique.
14 - Deduza a expressão que lhe permite determinar o escorregamento correspondente
ao binário máximo de uma máquina de indução ligada a uma rede infinita.
15 - Um motor de indução encontra-se a funcionar no seu regime nominal. Se a carga
aplicada ao veio aumentar, diga justificadamente (recorrendo ás respectivas leis de
funcionamento), como variam as seguintes grandezas:
a) A velocidade da máquina
b) O escorregamento
c) A tensão induzida no rotor
d) A corrente no rotor
e) A frequência do rotor
f) A velocidade de sincronismo
g) As perdas no cobre do rotor
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 8
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
16 - Dois motores de indução de 380 [V], 100 [HP], são fabricados. Um deles é
construído para funcionar a 50 [Hz] e o outro a 60 [Hz], sendo nos restantes aspectos
semelhantes. Diga justificadamente qual destas máquinas é a maior.
17 - Compare a máquina assíncrona de rotor bobinado com a máquina assíncrona de
rotor em gaiola. Diga quais as vantagens e inconvenientes de cada uma delas.
18 - Porque não se deve usar um motor de indução sobredimensionado em termos de
potência?
19 - Descreva dois dispositivos de arranque mais usuais nos motores assíncronos
monofásicos de baixa potência. Acompanhe a descrição de esquemas elucidativos.
20 - Um motor de indução trifásico f [Hz], tem p pares de pólos e opera com um
escorregamento s para uma certa carga. Determinar a expressão que permite calcular:
a) A velocidade do campo magnético do rotor em relação ao rotor
b) A velocidade do campo magnético do rotor em relação ao estator
c) A velocidade do rotor em relação ao estator
d) A velocidade do rotor em relação ao campo magnético do estator
e) A velocidade do campo do rotor em relação ao campo do estator
21 - Qual a relação entre a máquina assíncrona de rotor bobinado e a máquina de rotor
em curto-circuito. Diga quais as vantagens e inconvenientes da primeira.
22 - Compare a máquina assíncrona de rotor bobinado com a máquina assíncrona de
rotor em gaiola. Diga quais as vantagens e inconvenientes de cada uma delas.
23 - Para uma mesma potência, os motores com uma velocidade de sincronismo de
3000 [r.p.m], são os que apresentam o menor diâmetro e, consequentemente, o menor
volume. Comente justificadamente esta afirmação?
24 - Considerando um motor trifásico de indução.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 9
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
a) Explique porque é que o rotor não giraria na direcção oposta ao do campo
magnético girante
b) Supondo que se obrigava o rotor a girar em sentido contrário ao do campo
girante, marque no diagrama de Heyland o ponto de funcionamento nessa situação
25 - Qual o dispositivo de arranque mais usual nos motores assíncronos monofásicos de
baixa potência. Justifique a sua resposta, acompanhando-a de um esquema elucidativo.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 10
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Problemas
1 - Um motor assíncrono trifásico de rotor em gaiola, 8 [kW], 220 [V], 4 pólos, 50 [Hz],
cosϕ = 0,85, η = 80 %, tem uma corrente de arranque directo igual a 2,2 vezes a
corrente nominal. Calcular a corrente de arranque directo para a tensão de 110 [V].
2 - Uma máquina de indução trifásica de 4 pólos, rotor bobinado, ligação estrelatriângulo, faz-se funcionar como um transformador de campo girante, medindo-se em
vazio a tensão aos terminais do estator, e a tensão entre anéis. A partir do valor da
relação entre estas tensões igual a 1,45 e sabendo que o n.º de espiras por fase no
enrolamento estatorico é de 360, determinar o n.º de espiras por fase no enrolamento
rotórico.
NOTA: Os factores de enrolamento do estator e do rotor são respectivamente 0,915
e 0,945.
3 - Um motor de indução trifásico 50 [Hz], tem 4 pólos e opera com um escorregamento
de 0,04 para uma certa carga. Calcular:
a) A velocidade do rotor em relação ao estator.
b) A velocidade do rotor em relação ao campo magnético do estator.
c) A velocidade do campo magnético do rotor em relação ao rotor.
d) A velocidade do campo magnético do rotor em relação ao estator.
e) A velocidade do campo do rotor em relação ao campo do estator.
4 - Um motor de indução trifásico, 60 [Hz], roda a 596 r.p.m. em vazio, e a 560 r.p.m. á
plena carga.
a) Quantos pólos tem este motor.
b) Qual é o escorregamento na situação de carga descrita.
c) Diga qual é a velocidade aproximada a um quarto da carga aplicada, e qual é a
frequência das grandezas rotóricas nessa situação.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 11
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
5 - Uma máquina assíncrona de 4 pólos é alimentada a 50 [Hz]. Quais os valores do
escorregamento, e quais os regimes de funcionamento, quando roda a:
a) 1428 r.p.m.?
b) 1566 r.p.m.?
c) 1500 r.p.m.?
d) Suponha que a máquina está a trabalhar a 1428 [r.p.m.] nas condições da alínea
a). Mantendo-se constante o escorregamento, qual o valor da velocidade após a
frequência rotórica passar para 0,5 [Hz]?
6 - Uma máquina assíncrona de 8 pólos é alimentada a 50 [Hz]. Quais os valores do
escorregamento, e quais os regimes de funcionamento, quando roda a:
a) 714 r.p.m.?
b) 783 r.p.m.?
c) Suponha que a máquina está a trabalhar a 714 [r.p.m.] nas condições anteriores.
Mantendo-se constante o escorregamento, qual o valor da velocidade após a
frequência de alimentação passar para 58 [Hz]?
d) Qual é a frequência das grandezas rotóricas na situação da alínea anterior
7 - Um motor assíncrono trifásico é alimentado a 3x380 [V], 50 [Hz], e roda a 1430
[r.p.m.]. Pretende-se travá-lo por contracorrente (frenagem).
No momento imediato à inversão de 2 fases, diga quais os novos valores de:
a) Escorregamento
b) Frequência das correntes rotóricas.
c) Diga como supõe que se efectua a travagem do motor por contra corrente.
d) O mesmo motor é submetido a um abaixamento na sua frequência de
alimentação para 40 [Hz]. No instante imediato qual o valor do escorregamento e
qual o regime de funcionamento.
8 - A velocidade de rotação à plena carga de um motor trifásico de 40 [kW], 50 [Hz] é de
715 [r.p.m.], e s = 3,6 %. Calcular:
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 12
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
a) A velocidade de sincronismo
b) O n.º de pólos do motor
c) As frequências estatórica e rotórica
9 - Os seguintes dados foram obtidos do ensaio de uma máquina de indução, 4 pólos,
208 [V], 60 [Hz], ligação em estrela, classe A, com uma corrente nominal de 28 [A].
Ensaio DC: V = 13,6 [V]; I = 28[A]
Ensaio em vazio: VT=208[V]; f=60[Hz]; Pin=420[w]; IA=8,12[A];
IB=8,20[A]; IC=8,18 [A]
Ensaio em Curto-circuito: VT=25[V]; f=15[Hz]; Pin=920[w]; IA=28,1[A];
IB=28,0[A]; IC=27,6 [A]
a) Apresente o circuito equivalente por fase deste motor
b) Calcule para a situação de binário máximo o escorregamento da máquina
NOTA: A classe A significa que se assume que a reactância é dividida igualmente
entre o estator e o rotor
10 - Um motor de indução trifásico, 460 [V], 25 [CV], 6 pólos, 50 [Hz], apresenta um
escorregamento à plena carga de 4 [%], e um rendimento de 89 [%] com um factor de
potência de 0,86 indutivo. No arranque o motor desenvolve 1,75 vezes o binário nominal
mas consome 7 vezes a corrente nominal à tensão nominal. Pretende-se arrancar este
motor recorrendo a um autotransformador.
a) Qual deve ser a tensão aos terminais de saída do transformador para que o
binário de arranque seja igual ao binário nominal do motor.
b) Qual será a corrente de arranque do motor, e qual a corrente pedida à fonte de
alimentação nesta situação.
11 - Efectuaram-se vários ensaios com um motor assíncrono de rotor bobinado, com 4
pólos, de tensão nominal de 3 kV, 50 Hz, com o estator ligado em triângulo, e o rotor em
estrela.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 13
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
- Ensaio em vazio a 3KV: I1o = 60 [A], Po = 19 [kW], pmec = 6 [kW]
- Ensaio em curto-circuito: U1cc = 540 [V], I1cc = 200 [A], Pcc = 28 [kW]
- Ensaio com o rotor aberto: U1 =3 [kV], U2 = 748 [V]
- Medição da resistência do estator a quente: 0,204 [Ω]
a) Determinar o esquema equivalente em L supondo a reactância do rotor e do estator
iguais.
b) Calcular a corrente e a potência absorvida quando a máquina está a rodar a 1425
rpm.
c) Qual a resistência adicional, acoplada em triângulo, deve ser prevista para obter o
mesmo binário da alínea anterior para um s = 0,45. (Se não resolveu b) considere T
=5000 Nm)
d) Qual o escorregamento na situação de arranque, e de binário máximo.
12 - Os valores nominais de um motor trifásico tetrapolar, cujo valor da resistência do
estator medida entre bornes é 0,104 [Ω], são:
380[V]; 50 [Hz]; 80 [A]; cosϕ = 0,83; η = 86[%]; ligação em estrela
Do ensaio em vazio extraem-se as seguintes características:
380 [V]; 26 [A]; cosϕ = 0,140
Sabendo ainda que as perdas mecânicas em regime nominal importam em 600 [W],
determine em regime nominal:
a) A potência útil;
b) As perdas de Joule no estator;
c) As perdas de Joule no rotor;
d) As perdas totais no ferro;
e) A velocidade em r.p.m.;
f) O binário mecânico.
13 - Os ensaios em vazio e com o rotor bloqueado de um motor assíncrono trifásico de
rotor em curto-circuito, 380 V - 50 Hz, com 4 pólos e com os enrolamentos do estator
ligados em estrela conduziram aos seguintes resultados:
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 14
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
Ensaio em vazio:
Ensaio com o rotor bloqueado:
380 V
80 V
4 A 300 W
8 A 600 W
A resistência de cada enrolamento do estator é de 1,9 Ω.
a) Determine os parâmetros do esquema equivalente simplificado da máquina.
b) Determine o valor do binário de arranque.
c) Determine o binário máximo e a correspondente velocidade de rotação.
d) Determine os valores da corrente, das perdas por efeito de Joule nos
enrolamentos do estator e do rotor, bem como o rendimento e a velocidade de
rotação no regime nominal, sendo o escorregamento nominal de 4%.
14 - Um motor assíncrono consome em vazio 251 [W] a 220 [V], e 4,6 [A], estando o
enrolamento ligado em estrela. Se as perdas por atrito forem 70 [W]. Calcular a
resistência de perdas e a reactância de magnetização considerando:
a) As perdas por atrito
b) Sem considerar as perdas por atrito
15 - Considerando a tabela de características eléctricas, fornecida por um fabricante,
para diferentes tipos de motores assíncronos trifásicos, apresentada em anexo. Calcule
com a precisão possível, para um motor do tipo BF3 250 L 82, alimentado a partir de
uma rede trifásica de 380 [V], justificando cada simplificação :
a) O escorregamento a plena carga
b) O binário electromagnético e o binário útil
c) As perdas mecânicas
d) A corrente no rotor
16 - Considerando a tabela de características eléctricas, fornecida por um fabricante,
para diferentes tipos de motores assíncronos trifásicos, apresentada em anexo. Calcule
com a precisão possível, para um motor do tipo BF4 100 L 14, alimentado a partir de
uma rede trifásica de 190 [V], justificando cada simplificação :
a) A potência de perdas total
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 15
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
b) As perdas de Joule no rotor
c) A corrente no primário
d) O numero de pólos da máquina
17 - Um motor de indução trifásico, 6 pólos, 50 Hz, ligado em estrela, forneceu nos dois
ensaios os seguintes resultados:
Vazio: 380 V , 10 A , 320 W
Curto-circuito: 100 V , 20 A , 600 W
Sabe-se também que as relações entre resistência do estator/resistência do rotor e
reactância do estator/reactância do rotor são iguais a 1/2 (com as grandezas reduzidas
ao estator) e que as perdas mecânicas valem 200 W.
Numa dada situação de carga, leu-se a velocidade do motor com um taquímetro que
indicou 960 r.p.m.. Do exposto:
a) Faça o esquema equivalente do motor indicando todos os valores dos parâmetros
calculados;
b) Calcule a potência mecânica útil;
c) Calcule o binário útil;
e) Calcule o rendimento do motor ;
f) Elabore um diagrama de tensões-correntes assinalando nele o ϕr e o ϕe;
g) Qual a velocidade para a qual o binário é máximo? E qual será o valor desse
binário máximo?
18 - Um motor cuja chapa de características tem as indicações:
5,5 C.V. ; ∆-Y - 220/380 V ; 50 Hz ; p = 6 , vai ser ligado a uma rede de 220/380
V, 50 Hz e vai funcionar em triângulo.
Nos dois ensaios realizados, previamente, obtiveram-se os seguintes resultados:
Vazio: 10 A ; 500 W
Curto-circuito: 80 V ; 14,4 A ; 800 W
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 16
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Sabe-se também que as relações entre resistências do estator/rotor e reactâncias do
estator/rotor são iguais (com grandezas reduzidas ao estator) e que as perdas
mecânicas são desprezáveis. Do exposto:
a) Determine, a partir dos dois ensaios, todos os parâmetros possíveis do motor;
b) Faça o esquema equivalente do motor indicando nele todos os parâmetros
calculados;
c) Determine a velocidade do motor quando ele fornece a sua potência nominal
(plena carga) sabendo que a corrente absorvida da rede é 16,4 A sob um cos ϕe =
0,71
19 - Um motor de indução trifásico com um estator ligado em estrela tem as seguintes
características:
- A relação entre espiras do estator e do rotor é 2 ;
- A resistência do rotor por fase é de 0,3 Ω (desprezam-se a resistência e
reactância do estator e considera-se que as perdas em vazio são nulas)
Este motor está ligado a uma rede e desenvolve o seu binário máximo, 400 N.m, às 900
r. p. m., absorvendo dessa rede uma corrente de 50 A.
Considerando todas as grandezas reduzidas ao estator e para a situação de binário
máximo:
a) Determine o escorregamento;
b) Determine a reactância do rotor;
c) Faça o esquema equivalente do motor;
d) Determine o rendimento do motor;
e) Determine o factor de potência do motor;
f) Determine a tensão entre dois terminais do estator sabendo que está ligado em
estrela.
20 - Um motor assíncrono trifásico tem as seguintes características:
500 [V], 50 [Hz], 8 pólos, ligação em estrela.
Do ensaio em vazio: 500 [V], 29 [A], 2100 [W]
Do ensaio em curto-circuito: 160 [V], 115 [A], 7500 [W]
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 17
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
A temperatura do estator em serviço normal é de 90 [ºC], apresentando nesta situação
uma resistência entre terminais do estator de 0,165 [Ω].
Baseado nestes dados trace o diagrama de Heyland, e responda ás seguintes questões:
a) Qual a corrente absorvida, quando Pu = 70 [kW]?
b) Qual o correspondente cosϕ ?
c) Qual o binário útil ?
d) Qual o escorregamento ?
e) Qual o rendimento do motor ?
f) Qual a potência máxima ?
g) Qual o binário máximo ?
21 - Um motor assíncrono de rotor bobinado, com ligação em estrela no estator e no
rotor, é alimentado a 380 [V], 50 [Hz]. Ele apresenta as características seguintes:
2p = 6
Rs = 0,05 Ω
R'r = 0,04 Ω
Xm = 10 Ω
m = 1,5
Xs = 0,1 Ω
X'r = 0,15 Ω
Rp desprezável
a) Calcular a corrente e a potência absorvida para s = 0,05.
b) Qual a resistência adicional, acoplada em triângulo, deve ser prevista para obter o
mesmo binário da alínea anterior para um escorregamento de 0,12. (Se não
resolveu a alínea anterior considere T =50 Nm)
c) Qual o escorregamento e o binário na situação de arranque.
d) Qual o escorregamento e a potência na situação de binário máximo
e) Qual a resistência adicional a inserir por fase para se obter um binário de
arranque de 178,4 Nm.
22 - Um motor trifásico com 8 pólos é alimentado à tensão de 220 [V], e à frequência de
50 [Hz], absorvendo uma corrente de 60 [A], com um cosϕ=0,81 e com um s=3,5%. No
funcionamento em vazio o motor absorve 18 [A] com cosϕ = 0,12. O estator tem as
fases ligadas em triângulo e a resistência medida entre terminais vale 0,16 [Ω]. No rotor
ligado em estrela, a resistência entre terminais é de 0,06 [Ω]. Calcular:
a) A soma das perdas mecânicas com as do ferro no motor
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 18
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
b) As perdas no cobre do estator e do rotor nas condições de carga
c) A potência útil no veio, o binário e o rendimento
d) A intensidade da corrente no rotor à plena carga
23 - As impedâncias das gaiolas interna e externa de um motor de indução, quando ele
está bloqueado, são respectivamente:
Zi = 0,02 + j2 [Ω] e Ze = 0,2 + j [Ω]
(valores por fase)
Para que escorregamento os binários produzidos pelas duas gaiolas serão iguais ?.
Utilize o circuito seguinte:
Zi
Z
24 - Um motor de indução trifásico de 6 pólos, rotor bobinado, funcionando a uma carga
constante, absorve de uma rede de 220 V a potência de 15 kW com uma corrente de
47 A. A frequência da rede durante o funcionamento foi de 50 Hz e a velocidade de
rotação 970 r.p.m..
O mesmo motor a funcionar em vazio, absorve uma potência de 760 W com uma
corrente de 20,5 A.
Sabe-se que a resistência efectiva do enrolamento estatórico, ligado em estrela, medida
entre terminais do motor é de 0,38 Ω e que as perdas mecânicas valem 220 W. Calcular:
a) O cosϕ do motor;
b) A potência que chega ao rotor;
c) As perdas no cobre do rotor;
d) A potência mecânica útil;
e) O binário útil;
f) O rendimento do motor.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 19
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
25 - Um motor de indução trifásico de 6 pólos, tem o estator ligado em triângulo e é
alimentado por uma fonte de 380 V, 50 Hz. A resistência do rotor por fase é de 0,2 Ω e a
reactância de 2 Ω.
(Desprezam-se a resistência e a reactância do estator e considera-se que não existem
perdas em vazio.)
Sabe-se também que a relação entre espiras do estator e do rotor é 2 e que a frequência
das correntes do rotor é 4 Hz. Do exposto:
a) Faça o esquema equivalente do motor indicando todos os seus parâmetros;
b) Calcule o binário útil a plena carga;
c) Calcule a velocidade para a qual o binário é máximo;
d) Calcule o binário máximo.
26 - Um motor de indução trifásico de 20 C.V., com 6 pólos, está ligado a uma rede de
500 V, 50 Hz, e roda à velocidade de 950 r.p.m. quando fornece a corrente nominal.
Sabendo que as perdas mecânicas valem 5% da potência debitada e que as perdas do
estator são 1500 W, calcular:
a) O escorregamento;
b) As perdas de Joule no rotor;
c) A potência absorvida e a corrente na linha (nota: o factor de potência à plena
carga é 0,86);
d) Por que razão se desprezam as perdas no ferro do rotor.
27 - Um motor assíncrono trifásico absorve 16 [A] sob 220 [V], 50 [Hz] com um factor de
potência de 0,80 e com um rendimento de 82[%], e rodando a 1440 [r.p.m]. Sabendo
que a corrente de arranque é igual a 4 vezes a corrente nominal, calcule :
a) O escorregamento
c) A corrente absorvida
b) O binário útil no veio
d) A corrente de arranque
28 - Um motor de indução trifásico, 220 [V], ligado em estrela, com 7,5 [kW], 60 [Hz], 6
pólos, apresenta os seguintes parâmetros em ohms referidos ao estator:
R1 = 0,294
R2 = 0,144
X1 = 0,503
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
X2 = 0,209
Xm = 13,25
Página nº 20
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Rp desprezível
As perdas por fricção, e outras de carácter mecânico podem ser assumidas como
constantes, valendo no total 403 [W], independentemente da carga.
Para um escorregamento de 2 [%], calcule justificadamente:
a) A velocidade da máquina
b) Binário útil
c) Potência útil
d) Corrente no estator
e) Factor de potência
f) Rendimento do motor
29 - Um motor de rotor bobinado com 400 [kW] (á saída), com os seus anéis curtocircuitados apresenta as seguintes propriedades:
Escorregamento a plena carga - 1,5[%]
Perdas por efeito de Joule no rotor a plena carga - 5,69 [kW]
Escorregamento na situação de binário máximo - 6[%]
Binário na situação de s = 20[%] é igual a 1,20 vezes o binário a plena carga
Corrente rotórica para s = 20 [%] é igual a 3,95 a corrente rotórica a plena carga
Se o valor ohmico do rotor for aumentado de 5 vezes através da ligação de resistências
não indutivas em série com cada um dos anéis do rotor, determine:
a) O escorregamento para o qual o motor desenvolverá o mesmo binário da plena
carga
b) As perdas de Joule totais no circuito do rotor na situação em que se desenvolve o
mesmo binário da plena carga
c) A potência de saída na situação da alínea anterior
d) O escorregamento no binário máximo
e) A corrente rotórica na situação da alínea anterior
f) O binário de arranque
g) A corrente de arranque
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 21
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
30 - Um motor de indução trifásico de rotor em gaiola, 4 [kW], 380 [V], 50 [Hz],
cosϕ = 0,82, η = 80 %, 1440 [r.p.m.], absorve no seu arranque uma corrente igual a 4
vezes a corrente nominal. Calcular:
a) O escorregamento
c) A corrente absorvida
b) O binário útil no veio
d) A corrente de arranque
31 - Pretende-se accionar um monta-cargas através de uma engrenagem redutora de
relação de transmissão 30 : 1, e de um tambor de enrolamento do cabo com 200 [mm]
de diâmetro, e com um rendimento global de 66 %. A carga máxima a elevar pesa 500
[Kg]. Para este accionamento, seleccionou-se um motor de indução trifásico de rotor em
curto circuito com as seguintes características nominais:
3 [kW],
380 [V],
50 [Hz],
930 [r.p.m],
cosϕ = 0,80 ,
η = 80%
A corrente de arranque directo, em triângulo, é igual a 3,6 vezes a corrente nominal, e o
binário de arranque é igual ao binário nominal.
a) Calcular a corrente de arranque.
b) Calcular o binário de arranque.
c) Verificar se este motor se adapta ao accionamento do monta-cargas.
d) Se o motor for o aconselhado, será que se pode utilizar um arranque estrela
triângulo?
32 - Um motor de elevação do guincho de uma ponte rolante é motor em gaiola com o
enrolamento em triângulo, e tem as seguintes características:
10CV,
4 pólos,
380 [V],
50 [Hz],
s = 0,05, cosϕ = 0,85 ,
η = 90%
Este motor está associado a uma engrenagem redutora de relação 50:1 e com
rendimento de 100%, e que acciona um tambor com 200[mm] de diâmetro no qual se
enrola o cabo que suspende a carga.
a) Calcular a corrente absorvida.
b) Calcular a velocidade de rotação.
c) Calcular o binário útil.
d) Determinar a carga máxima que o motor consegue elevar.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 22
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
MÁQUINA ASSÍNCRONA
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
e) Calcule a velocidade do motor quando eleva uma carga de 800 [Kg] considerando
os enrolamentos do motor em triângulo.
f) Calcule a velocidade do motor quando eleva uma carga de 800 [Kg] considerando
os enrolamentos do motor em estrela.
33 - Considere o seguinte mecanismo de elevação, onde a transmissão é assegurada
através de uma caixa redutora de relação 60:1.
Tambor
D=1,6m
Motor
Caixa
60:1
P=1500
kgf
Elevad
Admite-se que o rendimento da caixa redutora é constante e igual a 93%. A rede de
alimentação do motor é 220/380V - 50 Hz. Considere 1kgf = 9,8N.
a) Com base na seguinte tabela, escolha o motor a utilizar:
MOTOR
POTÊNCIA
ESCORREGAMENTO
VELOCIDADE DE
NOMINAL (CV)
NOMINAL (%)
SINCRONISMO (RPM)
A
45
-
1000
B
45
3
-
C
40
3
1500
b) Quantos pólos deve ter o motor escolhido? Justifique.
c) Nas condições nominais de funcionamento, determine a velocidade linear de
ascensão e a carga máxima.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 23
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
34 - Um motor assíncrono trifásico de rotor em curto-circuito acciona uma turbina de
ventilação, directamente sem redução ou multiplicação de velocidade. A zona estável de
funcionamento do motor contem o ponto de coordenadas 50 [Nm], 950 [r.p.m.]. O binário
resistente da turbina é proporcional ao quadrado da velocidade, e contem o ponto 10
[Nm], 500 [r.p.m.].
a) Calcular a velocidade de rotação do grupo.
b) Calcular a potência útil do motor.
c) Sendo desaconselhável o arranque directo, será possível o arranque estrelatriângulo ?
35 - Pretende-se equipar um veiculo de tracção com um motor eléctrico e com a
respectiva caixa de transmissão. O veiculo deverá conseguir subir uma rampa de 10º de
inclinação a uma velocidade constante de 25 km/h. A tara do veículo é igual a 300 kgf e
supõe-se que a força de atrito é constante e equivalente a 50 kgf, contrária ao
movimento.
A rede de alimentação disponível é de 220/380 V - 50 Hz. Considere 1 kgf = 9,8 N.
a) Qual das seguintes combinações (motor + caixa de transmissão) escolheria?
b) Para o motor escolhido, determine a corrente nominal pedida á rede, admitindo
que o estator está ligado em triângulo.
c) Nas condições da alínea a) determine a carga máxima que o veículo poderá
transportar, sem entrar em sobrecarga.
36 - Considere um motor monofásico de 4 pólos, 60 [Hz], 110 [V], com os seguintes
parâmetros em ohms, reduzidos ao estator:
R1 = 1,86 X1 = 2,56 R2 = 3,56 X2 = 2,56 Xm = 53,5
Rp desprezível
Considere ainda que as perdas mecânicas são de 5 [%] de Pmi.
a) Trace o circuito eléctrico equivalente do motor e indique nele o valor de todos os
parâmetros do mesmo.
b) Calcule a potência útil para um escorregamento de 5[%]
c) Calcule o rendimento para um escorregamento de 5 [%]
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 24
EXERCÍCIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Centro de Investigação e Projecto em
Controlo e Aplicação de Máquinas Eléctricas
MÁQUINA ASSÍNCRONA
d) Considerando como relevante a alínea b) diga qual o método de arranque
adequado para este motor
e) Considerando como relevante a alínea c) diga qual o método de arranque menos
adequado para este motor
37 - Em repouso, as impedâncias das gaiolas interior e exterior de um motor de gaiola
dupla são de 0,4 + 3j Ω e 3+j0,4 Ω respectivamente. Calcular a relação dos binários
produzidos pelas duas gaiolas:
a) No instante do arranque.
b) Na situação de um escorregamento de 5%.
I.S.E.L. - Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação - Secção de Máquinas Eléctricas
Página nº 25