ESTATÍSTICA
PROBABILIDADE
ANÁLISE COMBINATÓRIA
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1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Definição: Análise de situações que envolvem acaso.
O estudo da probabilidade e análise combinatória teve como seus precursores os
ingleses Isaac Newton (1.642-1.727) e Abraham de Moivre (1.667-1.754), no século
XVII; após este período so houve novos avanços científicos no início do século XX,
quando Georg Cantor desenvolveu a teoria dos números transfinitos e Albert Eistein e
John Von Neumann desenvolveram o estudo de técnicas
de contagem, física e eletrônica que culminaram no desenvolvimento da era da
computação eletrônica.
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2
FATORIAL
Definição: O fatorial de “n”, representado por n! (lê-se ene fatorial) é representado por:
n! = n(n-l).(n-2).(n-3).............l
ex. 4!= 4.(4-l).(4-2).(4-3)
4!=
4. 3 .2
.l = 24
OBS: 0!= 1
1!=1
OPERACÕES:
Regra geral deve-se proceder à resolucão dos fatoriais isoladamen te e
somente após resolver as operacões.
ADICÃO:
2! + 3!
(2+l)+ (3.2.1)
2
+
6
=8
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3
SUBTRACÃO:
5! - 3!
(5.4.3.2.1) - (3.2.1)
120
-
6
= 114
MULTIPLICACÃO:
2! .
3!
(2.1) . (3.2.1)
2
.
6
=l2
DIVISÃO
3!/2! = (3.2.1)/(2.1) = 6/2 = 3 “ou” 3.2!/2! = 3
EXERCÍCIOS: Calcule o resultado dos seguintes fatoriais:
a) 5!
b) 8!
c) 13!
d) 8!/5!
e) 5!/2!
f) 12!/9! 3!
g) 3! . 4!
h) 5! + 3!
i) 8! - 6!
j) 10! - 7!
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4
ANALISE COMBINATÓRIA
ORDEM E NATUREZA
1)NATUREZA: Dois agrupamentos diferem pela natureza de seus elementos,
quando ano possuem os mesmos elementos.
ex: 28 e 27 (os elementos dos 2 números aso diferentes)
28 e 27 ( 8 e 7 aso diferentes)
ANA E JOSÉ
casais diferentes, apesar de terem um elemento
ANA E FLAVIO comum (ANA)
ex: 75 e 57 (mesmos números formando valores diferentes)
128 e 812
EXERCÍCIOS: Analise se ha mudança de ordem ou de natureza nos seguintes
conjuntos:
a) 1758 e 7851
b) 9483 e 8395
c) (Ana e José) e (José e Ana)
d) (0,1,2,3,5,7,4,7,3,6,3,9) e (0,1,2,3,5,7,4,7,3,6,3,2)
e) 171613 e 716131
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5
ARRANJOS SIMPLES
O numero de arranjos simples tomados k a k (k n), que podemos formar com “n”
elementos distintos; onde cada elemento difere dos outros, tanto pela ordem, quanto
pela natureza de seus elementos, e dado por:
Onde: n= numero de elementos do conjunto
k= numero de elementos do grupo
obs: Nos arranjos simples se caracterizam pelas seguintes condições:
• Ano ha repetição de números.
• Diferem tanto pela ordem quanto pela natureza simultaneamente.
Exemplo: quantos números de três algarismos diferentes (distintos)
podemos formar com os elementos do conjunto:
A= (2,3,4,5,6,7,9)
---------------7 elementos=n
Solução:
3
A7
=
7 ! = 7 ! = 7x 6x5x4! = 7x6x5 = 210
_____ ____ ________
(7-3)!
4!
4!
Exercícios: Calcule os seguintes arranjos:
1) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do
conjunto B= (2,3,4,5,6)?
2) Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os elementos do conjunto
R= (1,2,3,4,5,6,7,8,9)?
3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do
conjunto B= (0,2,3,4,5,6)?
4) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os elementos do
conjunto S= (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)?
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6
CURIOSIDADE:
As placas de automóveis, ainda em uso no Brasil, utiliza um sistema alfanumérico
composto por 2 letras e 4 algarismos, que permitem uma infinidade de combinações
(placas diferentes), para calcularmos o numero de placas possíveis podemos utilizar o
calculo por arranjos (que neste caso e complexo) ou utilizarmos uma técnica derivada
da “Teoria Geral da Probabilidade”, segundo a qual o “numero de possibilidades entre
duas variáveis (ou mais) e o produto destas mesmas variáveis.
A B - 1 2 3 4
26 . 26
676
10. 10. 10. 10
x
10.000
6.760.000 placas diferentes
Exercício:
Calcule o numero de placas diferentes que podem ser formadas com 3 letras e quatro
algarismos (sistema que esta sendo adotado no Brasil a partir de 1991).
ex: F A M
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7
PERMUTAÇÃO
Definição: seja um conjunto com “n” elementos distintos, ao total de grupos,
agrupados n a n, denominados de permutação de n elementos.
Na permutação, um grupo difere do outro apenas pela mudança de “ordem” de
seus elementos.
Na permutação, n=k.
n
Pn = An = n ! = n! = n!
_____
___
(n-n) !
0!
Logo, Temos:
Pn = n !
onde n=k
Exemplo: Quantos números distintos de 5 algarismos podemos formar com os
elementos do conjunto: A (1,2,3,4,5)
Exercícios: calcule as permutações:
1) Quantos números distintos de 8 elementos podemos formar com o conjunto
W= (1,2,3,4,5,6,7,8)?
2) De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em fila indiana?
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8
COMBINAÇÃO
Definição: seja M um conjunto com m elementos, isto e, M= (A,A,A....A)
denominamos de combinação de m elementos, tomados r a r, aos conjuntos de M
constituídos de r elementos na combinação, os agrupamentos diferem entre si
“unicamente” pela natureza de seus elementos.
É dada por:
k
Cn =
n!
____________
K ! (n-k)!
Exemplo:
Quantos agrupamentos com 2 elementos podemos formar com o conjunto Q=
(A,M,N)?
.
EXERCÍCIOS
1) Quantos números distintos de 6 algarismos podemos formar com os elementos do
conjunto A=(1,2,3,4,5,6,7,8,9) ?
2) Quantos números distintos de 6 algarismos podemos formar com os lelementos do
conjunto F=(1,2,3,5,6,7) ?
3) Quantos números distintos de 6algarismos podemos formar com os elementos do
conjunto B=(0,1,2,3,4,5,6)?
4) Quantos números distintos de 4 algarismos podemos formar com os elementos do
conjunto G=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ?
5) De quantas formas podemos formar uma fila indiana com turistas, sendo 2
Portugueses, 3 Americanos, 1 Francês e 1 Russo ?
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6) De quantas maneiras 3 homens e 3 mulheres podem se sentar ao redor de uma mesa
redonda ?
7) Seis cavalos disputam o páreo no jóquei clube. Qual o número de resultados possíveis
nas seguintes condições:
a)Para os seis proimeiros colocados;
b)Para os três primeiros colocados;
c)Para os dois primeiros colocados.
8) A uma festa, compareceram oito pessoas (5 mulheres e 3 homens), quantos casais
hetero-sexuais podemos formar ?
9) Vinte carros disputam o Grande Prêmio de Fórmula I; Quantos resultados diferentes
podemos ter nas três primeiras colocações ?
10)Uma jovem tem 5 saias e 8 blusas. Qauntos dias poderá sair sem repetir a mesma
roupa?
11)Um executivo tem 3 ternos, 6 camisas, 12 gravatas. Quantos dias poderá sair sem
repetir a mesma indulmentária ?
12)A diretoria da empresa w concorrem 3 candidatos a presidência e 5 a vice-presidência.
Quantas chapas diferentes poddem ser formadas ?
13)Uma prova de estatística tem 15 questões, e o aluno deve escolher 10 para resolver.
De quantas formas diferentes o aluno pode escolher ?
14)Quantos automóveis podem licenciados na Alemanha, cujo sistema de placas é
composto por 3 letras e 3 algarismos ?
15)Para irmos de uma cidade “A” para “B”, dispomos de 3 caminhos; parsa irmos da
cidade “B”para “C”, dispomos de 4 caminhos; de quantas formas podemos viajar de “A”
para “C”, passando por “B” ?
16)Uma pessoa tem 5 moedas (De valores diferentes entre si). quantas somas diferentes
podem ser efetuadas ?
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17)Vinte e quatro equipes disputam a Copa do Mundo. quais as possibilidades diferentes
para Campeão e Vice ?
18)Dispomos de 10 pessoas para formar uma comissão de negociação salarial na
empresa. quantas chapas diferentes podemos formar com 3 membros cada ?
19)Uma urna contém 5 bolas pretas e 3 bolas brancas. De quantas maneiras podemos
retirar 3 bolas simultaneamente, sendo 2 bolas brancas e 1 bola preta ?
20)Uma classe tem 18 alunas e 5 delas tem olhos azuis. quantos grupos diferentes de 4
pessoas podemos formar, sendo que cada grupo deve ter 1 aluna de olho azul ?
21)De quantas maneiras podem sentar-se em uma fila de 12 carreiras, 5 brasileiros, 4
americanos e 3 alemãs, de forma quew os de mesma nacionalidade fiquem juntos ?
22)Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares. De quantas
formas isso pode ser feito ?
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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Variáveis Aleatórias
A variável aleatória é uma função com valores discretos, cujo valor é
determinado por fatores de chance.
Podem ser discretas ou contínuas.
Variável Aleatória Discreta : é considerada discreta se tem valores que
podem ser contados.
Variável Aleatória Contínua : quando pode assumir qualquer valor de
determinado intervalo.
EXEMPLO:
Um Empreiteiro fez as seguintes estimativas :
Prazo de execução
10 dias
15 dias
22 dias
Probabilidade
0,3
0,2
0,5
SOMA = 1,0
• prazo para a execução da obra é :
0,3(10) + 0,2(15) + 0,5 (22) = 17 dias
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Distribuição de Probabilidades
Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de frequências
relativas para os resultados de um espaço amostral ; mostra a proporção de
vezes em que a variável aleatória tende a assumir cada um dos diversos
valores.
Exemplo:
Número de acidentes no estacionamento de um Shoping
Número de Acidentes Frequência
0
1
2
3
22
5
2
1
Soma = 30
Em um dia , a probabilidade de :
a) Não ocorrer acidentes é:
22
P = _______=
0,73
30
b) Ocorrer 1 acidente é:
5
P = ______ = 0,17
30
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c) Ocorrer 2 acidentes é:
2
P = _______ = 0,07
30
d) Ocorrer 3 acidentes é :
1
P = ______= 0,03
30
Logo....
Tabela de Distribuição de Probabilidades
Número de Acidentes
0
1
2
3
Probabilidade
0,73
0,17
0,07
0,03
Soma = l,00
PROBABILIDADE
Introdução Histórica
As técnicas de cálculo de probabilidades surgiu ainda no século XVI, pôr
incrível que possa parecer, surgiu em decorrência dos jogos de azar (dados,
roleta, cartas, etc...).
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14
Seus precursores foram Cardano e Galileu Galilei no século XVI e Fermat e
Pascal no século XVII, Laplace, Bernouille, Leibnitz. no século XVIII.
Como curiosidade vale mencionar que Cardano (Matemático que viveu no
século XVI) era “viciado”em jogos de azar (de onde tirava o seu sustento) ,
editou no século XVI a obra “Livro dos Jogos de Azar”, onde ensinava
técnicas matemáticas aplicadas á jogos e inclusive ensinava a trapacear.
Atualmente, alem dos jogos, a probabilidade tem ampla aplicação em
medicina, genética, agricultura, engenharia, administração, etc...
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
As probabilidades são utilizadas para exprimir as chances de ocorrência
de um determinado evento.
Experimento Aleatório
Em qualquer situação, nos deparamos com o äcaso”. Assim, como exemplo,
tomemos um jogo de futebol entre Corinthians e Palmeiras ( onde o
Corinthians é favorito) , pode ocorrer:
a) Que o Corinthians ganhe
b) Que (apesar do favoritismo) o Corinthians perca.
c) Que ocorra empate.
Logo;
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15
Experimento Aleatório são aqueles que, mesmo repetidos nas mesmas
condições diversas vezes, apresentam resultados imprevisíveis.
Espaço Amostral (S)
É o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplo:
Jogando um dado, podemos ter 6 resultados (1,2,3,4,5,6) , logo
S = ( 1,2,3,4,5,6)
Jogando uma moeda temos
S = (cara, coroa)
EVENTOS ( E )
Em um experimento aleatório, chamamos de evento ( E ) , a qualquer subconjunto do espaço amostral ( S ).
Exemplo : Ao jogarmos um dado, quais as hipóteses de ocorrer resultado
par.
E = ( 2,4,6 )
PROBABILIDADE ( P )
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A probabilidade P ( E ) de ocorrência de um evento E, é a razão entre o
número de casos favoráveis ao evento E e o número total de possibilidades
do espaço amostral S.
E
_______
P(E) =
S
Se quisermos a probabilidade expressa em porcentagem, basta
multiplicarmos o resultado por 100
E
_______ x 100
P(E) =
S
Exemplo:
Ao jogarmos uma moeda, consideremos o evento E (obter cara);
S = ( cara, coroa ) = 2
E = ( coroa )
= 1
1
P(E) = ______
2
= 0,5 x 100 = 50%
Exemplo 2 Ao jogarmos um dado ( com 6 faces ) não viciado , temos :
a-) Possibilidade de ocorrer o evento face ímpar
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17
S = ( 1,2,3,4,5,6 ) =
E = ( 1, 2, 3 )
=
6
3
3
1
P (E) = _______ = ________ =
6
2
0,5 x 100 = 50%
REGRAS DE CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
1 - ) 0 ≤ P (E) ≤ 1
A probabilidade de ocorrer um evento deve ser
maior ou igual a zero e menor ou igual a hum.
2 -) P ( E ) = 1
A probabilidade de um evento certo é igual a 1.
3-)P(∅)=0
zero
A probabilidade de um evento impossível é igual a
EXERCÍCIOS
1-) Qual a probabilidade de se tirar um ás de ouro ao tirarmos 1 carta de um
baralho de 52 cartas ?
2-) Qual a probabilidade de se tirar um valete ao tirarmos uma carta de um
baralho de 52 cartas ?
3-) Em um lote de 10 peças , 4 são defeituosas ; sendo retirada 1 peça
aleatóriamente , analise :
a) De esta peça ser defeituosa
b) De esta peça não ser defeituosa
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18
4-) Em uma roleta (com 37 posições numeradas de 1 a 37), qual é a
probabilidade de a bola cair em um número:
a) ímpar
b) maior que 28
c) menor que 10
5-) Num grupo de pessoas. 32 tem sangue tipo A, 46 tem sangue tipo B, 25
tem sangue tipo AB e 5 tem sangue tipo ºQual é a probabilidade de que uma
pessoa escolhida ao acaso tenha sangue do tipo AB?
6 - ) Segundo o serviço metereológico, , há 35% de chances de não chover
em um determinado dia.Determine a probabilidade de que chova neste dia.
EVENTOS COMPLEMENTARES
Um evento pode ocorrer ou não. Sendo P a probabilidade de que ele ocorra e
q a probabilidade de que ele não ocorra, para o mesmo evento, existe a
relação:
p + q = 1
⇒
q = 1 − p
Exemplo:
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19
A probabilidade de tirar um 6 no lançamento de um dado é 1 / 6 , logo a
probabilidade de que não ocorra o 6 é :
1
5
q = 1 − ___ = _____
6
6
EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não
realização de um dos eventos não afeta a realização do outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que se realizem
simultâneamente é igual ao produto das probabilidades de realização de cada
um.
P = P1 x P2
Exemplo :
Lançamos dois dados :
A probabilidade de que ocorra 3 no 1.o dado é :
1
P 1 = _______
6
A probabilidade de que ocorra 5 no segundo dado é:
1
P 2 = ________
6
Logo, a probabilidade de obtermos , simultâneamente 3 e 5 ao jogarmos os
dois dados é :
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P
20
1
1
1
= ________ x _______ = _______
6
6
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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização
de um exclui a realização do outro.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos,, a probabilidade de que um ou
outro se realize é igual soma das probabilidades de cada um deles.
P = P1 + P2
Exemplo :
Ao lançarmos um dado , a probabilidade de se tirar 1 ou 6 é:
1
1
2
1
P = ______ + ________ = _______ = _____
6
6
6
3
EXERCÍCIOS
1 - ) De dois baralhos de 52 cartas, retiram-se, simultâneamente 1 carta de
cada. Qual a probabilidade de que a carta do primeiro baralho seja um valete
e a carta do segundo baralho seja um ás de ouro.
2 - ) No lançamento de um dado , qual a probabilidade de se obter um
número não superior a 2 ?
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3 - ) Um casal planeja ter 3 filhos,qual a probabilidade de nascerem :
a -) 3 mulheres
b -) 2 mulheres e 1 homem
4 - ) Numa classe de 60 alunos, apenas 12 foram reprovados. Escolhendo 3
alunos ao acaso, qual a probabilidade de os tres terem sido aprovados.
5 - ) João tem dois automóveis. Nos dias frios, há 20% de probabilidade de
um deles não pegar, e 30% de o outro carro não pegar.
a) Qual a probabilidade de nenhum deles pegar
b) Qual a probabilidade de apenas 1 pegar.
6 - )Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas ; outra urna contem 2
bolas brancas, 6 bolas pretas e 3 bolas azuis.
Extrai-se uma bola de cada uma. Qual a probabilidade de que sejam da
mesma cor ?
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL ( CURVA DE GAUS )
Entre as várias distribuições (binomial, Poisson, Normal, etc...)a normal é
das mais importantes, pois se adapta a análise da maioria dos problemas
sócio-econômicos.
A maioria das distribuições corresponde a curva normal ou dela se
aproximam.
Características da curva normal
„ É simétrica em relação a média aritmética
„ A média aritmética é igual a mediana e a moda.
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22
„ É assíntota em relação ao eixo “x”
„ A área delimitada pela curva da função e o eixo do “x”é igual a 1 .
A principal aplicação da curva normal é calcular a área de um sub-conjunto
( X < Z < X1 )
Como o cálculo da área delimitada é complexo, exigindo o uso de integrais,
usaremos uma técnica alternativa, que inclui o cálculo do coeficiente “Z “, e
o uso de uma tabela para calcular a sub-área, simplificando os cálculos
matemáticos , que denominaremos distriobuição Normal Reduzida, onde :
__
X − X
Z = ____________
S
As probabilidades associadas á curva normal padrão é encontrada em uma
tabela ( anexa)
Exemplo :Uma distribuição tem média aritmética igual a 2 e desvio padrão
igual a 0,04 , queremos calcular o valor de Z = 2,05
P ( 2 < Z < 2,05)
__
X − X
2,05 - 2
Z = ____________ = _________ =
S
0,04
0,05
______
0,04
= 1,25
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23
Decompomos o resultado 1,25 em 1,2 e 5 , e localizamos na tabela,
a intersecção de 5 na horizontal e 1,2 na vertical , e achamos 0,3944
logo:
P ( 2 < Z < 2,05) = 0,3944
logo a área da figura hachurada corresponde á 0,3944 ou multiplicando por
100, achamos a porcentagem :
0,3944 x 100 = 39,44 %
EXEMPLO:
OS SALÁRIOS MENSAIS DE UM GRUPO DE OPERÁRIOS DE UM
GRUPO DE TRABALHADORES SUBMARINOS DA PETROBRAS
SÃO DISTRIBUIDOS NORMALMENTE EM TORNO DA MÉDIA DE
r$ 2.000,00 , COM DESVIO PADRÃO DE R$ 160,00.QUAL É A
PROBABILIDADE DE UM OPERÁRIO TER SALÁRIO MENSAL
ENTRE R$1960,00 E R$ 2.080,00 ?
1960,00 - 2000,00
Z1 = _________________
160,00
2080,00 - 2000,00
Z2 = __________________
160,00
„ Z1 = 0,25
Z2 = 0,5
Procurando na tabela achamos os correspondentes entre Z1 e Z2
0,0987
e
0,1915
somando os dois valores temos 0,2902 ou x 100 = 29,02 %
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24
EXERCÍCIOS :
1 - ) Suponha que a renda média em uma empresa seja de R$ 1.000,00 e o
desvio padrão de R$ 200,00. Qual a porcentgem de funcionários que tem
renda entre R$700,00 e R$ 1.350,00, supondo-se uma distribuição normal .
2 - ) O Pêso médio de 150 estudantes é de 68 KG, com desvio padrão de
6,8 KG. Supondo os pêsos distribuidos normalmente , determine:
a - Quantos estudantes pesarão entre 68kg e 80 kg..
b - Quantos estudantes pesarão entre 50 kg e 75 kg .
3 - ) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas
produzidas por uma determinada máquina é 0,502 polegadas e o desvio
padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para as quais as arruelas são
produzidas permite uma tolerância de (erro) máximo para o diâmetro de
0,006 polegadas , caso contrário, as arruelas serão defeituosas.
Determine a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas por esta
máquina, supondo uma distribuição normal.
4 - ) Um restaurante atende no almoço uma clientela com distribuição
normal; com média de 250 e desvio de 20 por dia. Determine ;
a) Qual a probabilidade de aparecerem entre 225 e 275 clientes num dia.
b) Qual a probabilidade de haver pelo menos 200 clientes num dia.
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25
5 - ) Constatou-se que o tempo médio para se fazer uma prova de Estatística
é de 80 minutos e o desvio médio de 15 minutos, com distribuição normal;
determine:
a- ) Que porcentagem de alunos levará menos de 80 minutos para fazer a
prova.
b- ) Que porcentagem de alunos levará mais de 80 minutos para fazer a
prova.
6 - ) Um componente eletrônico tem, duração média de 850 dias e desvio
padrão de 40 dias. Supondo que a duração é normalmente distribuida,
calcule a probabilidade deste componente durar :
a - Entre 700 e 1.000 dias
b - Mais de 800 dias
c - Menos de 850 dias
As probabilidades associadas á curva normal padrão é encontrada em uma
tabela ( anexa)
Exemplo :Uma distribuição tem média aritmética igual a 2 e desvio padrão
igual a 0,04 , queremos calcular o valor de Z = 2,05
P ( 2 < Z < 2,05)
__
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26
____
X − X
2,05 - 2
Z = ____________ = _________ =
S
0,04
0,05
______
0,04
= 1,25
Decompomos o resultado 1,25 em 1,2 e 5 , e localizamos na tabela,
a intersecção de 5 na horizontal e 1,2 na vertical , e achamos 0,3944
logo:
P ( 2 < Z < 2,05) = 0,3944
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E3
27
logo a área da figura hachurada corresponde á 0,3944 ou multiplicando por
100, achamos a porcentagem :
0,3944 x 100 = 39,44 %
EXEMPLO:
OS SALÁRIOS MENSAIS DE UM GRUPO DE OPERÁRIOS DE UM
GRUPO DE TRABALHADORES SUBMARINOS DA PETROBRAS
SÃO DISTRIBUIDOS NORMALMENTE EM TORNO DA MÉDIA DE
r$ 2.000,00 , COM DESVIO PADRÃO DE R$ 160,00.QUAL É A
PROBABILIDADE DE UM OPERÁRIO TER SALÁRIO MENSAL
ENTRE R$1960,00 E R$ 2.080,00 ?
1960,00 - 2000,00
Z1 = _________________
160,00
2080,00 - 2000,00
Z2 = __________________
160,00
„ Z1 = 0,25
Z2 = 0,5
Procurando na tabela achamos os correspondentes entre Z1 e Z2
0,0987
e
0,1915
somando os dois valores temos 0,2902 ou x 100 = 29,02 %
EXERCÍCIOS :
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28
1 - ) Suponha que a renda média em uma empresa seja de R$ 1.000,00 e o
desvio padrão de R$ 200,00. Qual a porcentgem de funcionários que tem
renda entre R$700,00 e R$ 1.350,00, supondo-se uma distribuição normal .
2 - ) O Pêso médio de 150 estudantes é de 68 KG, com desvio padrão de
6,8 KG. Supondo os pêsos distribuidos normalmente , determine:
a - Quantos estudantes pesarão entre 68kg e 80 kg..
b - Quantos estudantes pesarão entre 50 kg e 75 kg .
3 - ) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas
produzidas por uma determinada máquina é 0,502 polegadas e o desvio
padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para as quais as arruelas são
produzidas permite uma tolerância de (erro) máximo para o diâmetro de
0,006 polegadas , caso contrário, as arruelas serão defeituosas.
Determine a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas por esta
máquina, supondo uma distribuição normal.
4 - ) Um restaurante atende no almoço uma clientela com distribuição
normal; com média de 250 e desvio de 20 por dia. Determine ;
a) Qual a probabilidade de aparecerem entre 225 e 275 clientes num dia.
b) Qual a probabilidade de haver pelo menos 200 clientes num dia.
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5 - ) Constatou-se que o tempo médio para se fazer uma prova de Estatística
é de 80 minutos e o desvio médio de 15 minutos, com distribuição normal;
determine:
a- ) Que porcentagem de alunos levará menos de 80 minutos para fazer a
prova.
b- ) Que porcentagem de alunos levará mais de 80 minutos para fazer a
prova.
6 - ) Um componente eletrônico tem, duração média de 850 dias e desvio
padrão de 40 dias. Supondo que a duração é normalmente distribuida,
calcule a probabilidade deste componente durar :
a - Entre 700 e 1.000 dias
b - Mais de 800 dias
c - Menos de 850 dias
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