Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
1. (Unifesp 2015) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas quadradas. Duas dessas casas
formam uma dupla de casas contíguas se estão lado a lado, compartilhando exatamente um de
seus lados. Veja dois exemplos de duplas de casas contíguas nos tabuleiros.
Dispõem-se de duas peças, uma na forma , e outra na forma , sendo que cada uma cobre
exatamente uma casa do tabuleiro.
a) De quantas maneiras diferentes é possível colocar as peças  e  em duplas de casas
contíguas de um tabuleiro de xadrez?
b) Considere as 64 casas de um tabuleiro de xadrez como sendo os elementos de uma matriz
A  (aij )88 . Coloca-se a peça , ao acaso, em uma casa qualquer do tabuleiro tal que i  j.
Em seguida, a peça  será colocada, também ao acaso, em uma casa qualquer do tabuleiro
que esteja desocupada. Na situação descrita, calcule a probabilidade de que as peças  e
 tenham sido colocadas em duplas de casas contíguas do tabuleiro.
2. (Unesp 2015) Um dado viciado, que será lançado uma única vez, possui seis faces,
numeradas de 1 a 6. A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de cada face.
número na face
probabilidade de
ocorrência da face
1
1
5
2
3
10
3
3
10
4
1
10
5
1
20
6
1
20
Sendo X o evento “sair um número ímpar” e Y um evento cuja probabilidade de ocorrência
seja 90%, calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva uma possível descrição do
evento Y.
3. (Espcex (Aman) 2015) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se
duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o
número da segunda bola ser divisível por 5 é
12
a)
.
245
14
b)
.
245
59
.
c)
2450
59
.
d)
1225
11
e)
.
545
4. (Unesp 2015) Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas,
ao acaso, em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e
Alice na fila que será formada.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
Generalize uma fórmula para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o
mesmo grupo de "8 pessoas”, trocando " 4 pessoas” por "m pessoas”, em que 1  m  6. A
probabilidade deverá ser dada em função de m.
5. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado
Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá
dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas
terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.
a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões
são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para
N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.
c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas,
ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P  1/ 50.
Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988,
cada unidade da Federação é representada por três senadores.
6. (Unifesp 2014) Uma população de 10 camundongos, marcados de 1 a 10, será utilizada
para um experimento em que serão sorteados aleatoriamente 4 camundongos. Dos 10
camundongos, apenas 2 têm certa característica C 1, 5 têm certa característica C2 e nenhum
deles tem as duas características. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos camundongos com a característica C 1
esteja no grupo sorteado?
b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado tenha apenas 1 camundongo com a
característica C1 e ao menos 2 com a característica C2?
7. (Unesp 2014) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla
escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no
número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele
deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por
diante, como mostra o modelo.
Modelo de folha de resposta (gabarito)
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
A
X
B
C
D
E
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas
alternativas corretas, será
a) 302 400.
b) 113 400.
c) 226 800.
d) 181 440.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
e) 604 800.
8. (Insper 2014) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos
Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sulamericanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra,
França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os
jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando
os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de
maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem
no mesmo grupo é
a) 140.
b) 120.
c) 70.
d) 60.
e) 40.
9. (Ita 2014) Seja Ω o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do
lançamento simultâneo de três dados. Se A  Ω é o evento para o qual a soma dos resultados
dos três dados é igual a 9 e B  Ω o evento cuja soma dos resultados é igual a 10, calcule:
a) n(Ω);
b) n(A) e n(B);
c) P(A) e P(B).
10. (Fgv 2014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo
de lado igual a L.
Esta face está parcialmente tampada por uma placa de metal (área em cinza) e parcialmente
destampada (área em branco), sendo AE  AF  L / 2. João e Maria arremessam bolinhas de
diâmetro desprezível sobre essa face. Considere que a probabilidade de a bolinha atingir
qualquer região dessa face é proporcional à área da região e que os arremessos são
realizados de forma independente.
a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia na região do quadrado ABCD, qual é a
probabilidade de que passe diretamente pela parte branca (destampada)?
b) Se João arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os
lançamentos as bolinhas caiam na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que
ao menos uma passe diretamente pela parte branca?
c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a bolinha cair na região do quadrado
ABCD, qual é a probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe
diretamente pela parte branca?
11. (Enem 2014) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um
candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas
devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o
psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20.
A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é
a) 0,02048.
b) 0,08192.
c) 0,24000.
d) 0,40960.
e) 0,49152.
12. (Espcex (Aman) 2014) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores
inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de
12 é:
1
a)
2
3
b)
5
1
c)
3
2
d)
3
3
e)
8
13. (Unesp 2014) Em um condomínio residencial, há 120 casas e 230 terrenos sem
edificações. Em um determinado mês, entre as casas, 20% dos proprietários associados a
cada casa estão com as taxas de condomínio atrasadas, enquanto que, entre os proprietários
associados a cada terreno, esse percentual é de 10%. De posse de todos os boletos
individuais de cobrança das taxas em atraso do mês, o administrador do empreendimento
escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um proprietário
de terreno sem edificação é de
24
a)
350
24
b)
47
47
c)
350
23
d)
350
23
e)
47
14. (Unicamp 2014) Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis.
a) Para uma aposta em três números, qual é a probabilidade de acerto?
b) Se a aposta em três números custa R$ 2,00, quanto deveria custar uma aposta em cinco
números?
15. (G1 - ifsp 2014) O sangue humano é classificado em quatro tipos: A, B, AB e O. Além
disso, também pode ser classificado pelo fator Rh em: Rh+ ou Rh–. As pessoas do tipo O com
Rh– são consideradas doadoras universais e as do tipo AB com Rh+ são receptoras universais.
Feita uma pesquisa sobre o tipo sanguíneo com 200 funcionários de uma clínica de estética, o
resultado foi exposto na tabela a seguir.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
Rh+
Rh–
A
27
15
B
24
13
AB
23
13
O
55
30
Um desses 200 funcionários será sorteado para um tratamento de pele gratuito. A
probabilidade de que o sorteado seja doador universal é
a) 7,5%.
b) 10%.
c) 15%.
d) 17,5%.
e) 20%.
16. (Mackenzie 2014) Em uma secretaria, dois digitadores atendem 3 departamentos. Se em
cada dia útil um serviço de digitação é solicitado por departamento a um digitador escolhido ao
acaso, a probabilidade de que, em um dia útil, nenhum digitador fique ocioso, é
1
a)
2
3
b)
4
7
c)
8
2
d)
3
5
e)
8
17. (Fgv 2014) a) Lançam-se ao ar 3 dados equilibrados, ou seja, as probabilidades de ocorrer
cada uma das seis faces são iguais. Qual é a probabilidade de que apareça soma 9?
Justifique a resposta.
b) Um dado é construído de tal modo que a probabilidade de observar cada face é proporcional
ao número que ela mostra. Se lançarmos o dado, qual é a probabilidade de obter um número
primo?
18. (Unicamp 2014) Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 20 e 50
reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser
ímpar é igual a
1
a) .
4
2
b) .
5
2
c) .
3
3
d) .
5
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com
as seis cartas mostradas a seguir.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em seguida,
o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par.
19. (Insper 2014) Suponha que o primeiro jogador tenha virado as duas cartas mostradas
abaixo.
Como não foi feito par, o programa desvira as duas cartas e é a vez do segundo jogador, que
utiliza a seguinte estratégia: ele vira uma das quatro cartas que não foi virada pelo primeiro
jogador. Se a carta virada for um quadrado ou um triângulo, ele certamente forma um par, pois
sabe onde está a carta correspondente. Caso contrário, ele vira uma das outras três cartas que
ainda não foram viradas. A probabilidade de que o segundo jogador forme um par usando a
estratégia descrita é
1
a) .
2
5
b) .
8
2
c) .
3
3
d) .
4
5
e) .
6
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) Há três tipos de casas no tabuleiro: 4 situadas nos vértices; 24 nas bordas, exceto os
vértices e 36 interiores. Para cada uma das casas nos vértices, existem 2 casas contíguas;
3 para cada uma das casas nas bordas, e 4 para cada uma das interiores. Portanto, o
resultado pedido é 4  2  24  3  36  4  224.
b) Para as casas a11 e a88 existem duas casas contíguas, enquanto que para as outras 6
casas do tipo i  j há 4 casas contíguas. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por
1 
2
4  1
2
 6
 .
8  63
63  18
Resposta da questão 2:
A probabilidade de sair um número ímpar será dada por:
1 3
1
11 55
P(x)  



 55%
5 10 20 20 100
Poderemos admitir o evento Y como sendo “Sair um número menor ou igual a quatro”, pois
neste caso, a probabilidade de ocorrência do evento Y seria dada por:
1 3
3
1
9
90
P(y) = 




 90%
5 10 10 10 10 100
Resposta da questão 3:
[D]
Divisíveis por 4: A  {4,8,12,16,20, ,48} e n(A)  12
Divisíveis por 5: B  {5,10,15, ,50} e n(B)  10
Divisíveis por 4 e 5: A  B  {20,40} e n(A B)  2
Portanto, a probabilidade pedida será:
P
12  10  2  1 118
59


50  49
2450 1225
Resposta da questão 4:
Existem 2 maneiras de posicionar Renato e Alice. Podemos dispor m pessoas entre os dois
6!
de A 6, m 
maneiras. Além disso, considerando agora as 8  (m  2)  6  m pessoas
(6  m)!
restantes, temos P(6m)1  P7m  (7  m)! possibilidades. Por outro lado, podemos organizar o
grupo em fila de P8  8! modos, sem qualquer restrição.
Desse modo, a probabilidade pedida é dada por
2
6!
 (7  m)!
7m
(6  m)!

.
8!
28
Em particular, se m  4, temos
74
3

.
28
28
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
Resposta da questão 5:
a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a
Sul 3.
9
9!
b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há   
 36
 2  7!  2!
 4
4!
modos de escolher duas unidades da região Nordeste e   
 6 modos de escolher
2
2!
 2!
 
duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma
unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3
maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da
Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem,
temos
N  36  6  7  4  3  37  25  311  7.
c) Como existem 27  3  81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de
 81
81!
 
7
74!
 7!
 
81 80  79  78  77  76  75

765432
 50  22  34  11 13  19  79
maneiras. Logo,
25  311  7
P
50  22  34  11 13  19  79
1 18 63 108




50 19 79 143
1

,
50
pois
18 63
108
,
e
são menores do que 1.
19 79
143
Resposta da questão 6:
C8,4
70
1 2
a) 1 
 1
 1   (Onde C8,4 é a quantidade de sorteados em que nenhum
C10,4
210
3 3
camundongo tenha a característica C1)
b)
C5,1  C5,2  C3,1
C10,4

C2,1  C5 ,3
C10.4

2  10  3 2  10 6
2
8




210
210 21 21 21
Resposta da questão 7:
[B]
C10,2  C8,2  C6,2  C4,2  C2,2  45  28  15  6  1  113400
Resposta da questão 8:
[D]
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
3
Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá duas seleções sul-americanas,    3
 2
5
5!
modos de escolher essas duas seleções, e   
 10 modos de escolher as duas
2
3!
 2!
 
seleções europeias que irão formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo
grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-se que o resultado
pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é 2  3  10  60.
Resposta da questão 9:
a) Supondo que os dados possuem seis faces e que os resultados possíveis no lançamento
de um desses dados sejam 1, 2, 3, 4, 5 e 6, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que
n()  6  6  6  216.
b) Se (a, b, c) é a terna ordenada que exprime um resultado do lançamento dos três dados,
então o número de elementos do conjunto A corresponde ao número de soluções inteiras e
positivas da equação a  b  c  9, com 1  a  6, 1  b  6 e 1  c  6. Esse resultado é
dado por
8
8!
CR36    
 28.
 6  6!  2!
Contudo, ainda devemos descontar as soluções (7, 1, 1), (1, 7, 1) e (1, 1, 7). Assim, vem que
n(A)  28  3  25.
Analogamente, o número de soluções inteiras e positivas da equação a  b  c  10 é igual a
9
9!
CR73    
 36.
7
7!
 2!
 
Dentre essas soluções devemos descontar aquelas em que {a, b, c}  {1, 1, 8} (3 soluções) e
{a, b, c}  {1, 2, 7} (3!  6 soluções). Portanto, segue-se que n(B)  36  3  6  27.
c) Supondo que os dados são equilibrados, vem
n(A)
25
P(A) 

n() 216
e
P(B) 
n(B)
27
1

 .
n() 216 8
Resposta da questão 10:
a) A probabilidade pedida é dada por
1 L L


2 2 2 1
 .
4
L2
b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a
2
1
9

.
1   

4
16
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é
9
7
1

.
16 16
c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o
resultado pedido é dado por
4
2
6  1   3 
6!
1 9


     
4!  2! 256 16
 4  4   4 
9
4096
 3,30%.
 15 
Resposta da questão 11:
[B]
Para que o teste termine na quinta pergunta, o candidato deverá errar exatamente uma
pergunta dentre as quatro primeiras e errar a quinta. Por conseguinte, o resultado é
 4
3
   (0,8)  0,2  0,2  4  0,512  0,04  0,08192.
1
 
Resposta da questão 12:
[C]
360 = 23.32.5
Número de divisores positivos de 360: (3 + 1).(2 + 1).( 1 + 1) = 24
Divisores de 360 que são múltiplos de 12: {12,24,36,60,72,120,180,360} n = 8
Portanto, a probabilidade pedida será: P = 8/24 = 1/3.
Resposta da questão 13:
[E]
P: probabilidade pedida.
20% de 120 = 24
10% de 230 = 23
Logo, P 
23
23

.
23  24 47
Resposta da questão 14:
 12 
12!
a) Podemos sortear três números distintos entre doze possíveis de   
 220
3
3!
 9!
 
1
maneiras. Portanto, a probabilidade pedida é
.
220
5
5!
b) Uma aposta em cinco números corresponde a   
 10 apostas de três números.
3
3!
 2!
 
Em consequência, uma aposta em cinco números deveria custar 2  10  R$ 20,00.
Resposta da questão 15:
[C]
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
30
15

 15%.
200 100
Resposta da questão 16:
[B]
Cada departamento pode solicitar um digitador de 2 maneiras distintas. Logo, pelo Princípio
Multiplicativo, os três departamentos podem solicitar um digitador de 2  2  2  8 modos em um
dia útil. Por outro lado, um dos digitadores ficará ocioso, em um dia útil, desde que o outro
digitador seja solicitado por todos os departamentos, e isso pode ocorrer de 2 maneiras. Em
2 3
consequência, a probabilidade pedida é dada por 1   .
8 4
Resposta da questão 17:
a) Seja (a, b, c), com 1  a  6, 1  b  6 e 1  c  6 a terna ordenada que representa um
resultado do lançamento dos três dados. O número de ternas que apresentam soma igual a
9 corresponde ao número de soluções inteiras e positivas da equação a  b  c  9, ou seja,
8
8!
CR36    
 28.
 6  6!  2!
Contudo, desse resultado devemos descontar as ternas (1, 1, 7), (1, 7, 1) e (7, 1, 1) e, portanto,
existem 28  3  25 ternas favoráveis.
Finalmente, sendo 6  6  6  216 o número de ternas possíveis, tem-se que a probabilidade
25
pedida é igual a
.
216
b) Sabendo que P(1)  k, P(2)  2k, P(3)  3k, P(4)  4k, P(5)  5k e P(6)  6k, com k sendo
a constante de proporcionalidade, obtemos
P(primo) 
2k  3k  5k 10

.
21k
21
Resposta da questão 18:
[B]
Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cédulas de 20 reais, o número de cédulas de
50 reais e o número total de cédulas, isto é, n  x  y. Logo, para um saque de 400 reais,
temos:
20x  50y  400
nxy
5n  40  3x
 0  x  20
0  x  20
.
0y8
0y8
Como 40  3x é um múltiplo de 5, por inspeção, encontramos
Ω  {(x, y) 
2
; (0, 8), (5, 6), (10, 4), (15, 2), (20, 0)}.
Portanto, como os únicos casos favoráveis são (5, 6) e (15, 2), segue-se que a probabilidade
pedida é igual a
2
.
5
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Exercícios de Aprofundamento – Mat. – Combinação e Probabilidade
Resposta da questão 19:
[C]
A probabilidade de que o segundo jogador ganhe na primeira tentativa, isto é, ao virar a
2 1
primeira carta, é igual a
 . Assim, como a probabilidade dele ganhar ao virar a segunda
4 2
1 1 1

carta é  1     , tem-se que a probabilidade dele formar um par usando a estratégia
2 3 6

1 1 2
descrita é igual a   .
2 6 3
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