MATEMÁTICA IV
PROBABILIDADE
DISCURSIVAS – SÉRIE AULA – AULA 03
1) (FGV-SP 2008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A
probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de ônibus, a probabilidade de
chegar atrasada ao trabalho é 10% e, se for de moto, a probabilidade de se atrasar é 20%. A
probabilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao trabalho é igual a:
Resolução:
•
Probabilidade de atrasar indo de ônibus:
•
Probabilidade de atrasar indo de moto:
30 ⋅ 10 ⇒ P = 3%
P1 = 100
1
100
70 ⋅ 20 ⇒ P = 14%
P 2 = 100
2
100
Assim, a probabilidade “P” de Cláudia chegar atrasada ao trabalho, com os meios de transporte
disponíveis, é:
= 1+ 2 ⇒
=
.
P P P
P 17%
Consequentemente, a possibilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao trabalho é:
P = 100% − 17% ⇒ P = 83%
Resposta: 83%.
2) (UERJ 2011) Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal,
que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja
escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa
escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal.
Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.
X
Resolução: 10 árbitros 
 outros 9
10
Número total de casos para a escolha de três árbitros:   = 120
 3 
9
Número de casos em que o árbitro X faz parte do trio escolhido: X ? ? ⇒   = 36
2
36
3
Probabilidade do árbitro X ser contemplado no 1º sorteio: p 1 =
⇒ p1 =
10
120
1
Probabilidade de X ser sorteado no 2º sorteio: p 2 =
3
Probabilidade de X ser o juiz principal, nas condições previstas no enunciado:
p = p1 ⋅p 2 ⇒ p =
3 1
⋅ ⇒
10 3
p = 10%
Resposta: 10%.
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3) (UNICAMP 2009 modificada) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral.
Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem
crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que,
por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. Suponha que as oito pessoas receberam
ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre
elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas?
Resolução:
Número total de maneiras " T " dos 8 ingressos serem distribuídos:
T = P8 ⇒ T = 8 !
Número de maneiras " N" de o casal receber ingressos em poltronas vizinhas:
N =(P7 ).(P2 )⇒ N = 7! 2!
Legenda: H (homem), M (mulher)
Considerando “p” a probabilidade que atende ao enunciado:
Resposta: 25%.
p = 78! 2! ! ⇒ p = 41 ⇒ p = 25%
4) (FGV-SP) Num sorteio, a urna “A” tem 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. A urna “B” tem 5 bolas brancas
e 5 bolas pretas. Foi retirada uma bola da urna “A”, não se sabe sua cor, e foi colocada na urna “B”; em
seguida, foi sorteada uma bola da urna “B”. Qual é a probabilidade desta bola ser branca?
Resolução:
Caso 1: (BR, BR)
Caso 2: (PT, BR)
Caso 1 (BR, BR)
Caso 2 (PT, BR)
12
2  6 
p1 =   ⋅   ⇒ p1 =
55
 5   11 
15
3  5 
p 2 =   ⋅   ⇒ p1 =
55
 5   11 
p = p1 + p 2 ⇒
15 ⇒ p = 27
p = 12
+
55
55 55
página 2 de 6
Resposta:
27
55
5) (UP 2012) O médico geriatra do professor Júnior Bola (o papa da Geografia) constatou em uma pesquisa
recente sobre a fertilidade na 3ª idade que Júnior Bola, num exame específico, apresentou a
probabilidade de gerar filhos do sexo feminino 5 vezes maior do que a de gerar filhos do sexo masculino.
Com base na pesquisa do geriatra, qual a probabilidade de um casal (onde o homem tem as mesmas
características de fertilidade que o professor Júnior Bola) gerar 2 filhas e 3 filhos em 5 gestações
sucessivas?
Resolução: Considerando H (filho) e M (filha), Considerando também que “p” é a probabilidade do casal em
questão gerar “filho-H” e “5p” a de gera “filha-M”,
1

1 P H = 6
p + 5 p = 100% ⇒ p + 5 p = 1 ⇒ p =

6 P = 5
 M 6
Uma das situações favoráveis pode ser representada por: M – M – H – H – H
Sabemos que os 5 elementos que compõem a situação favorável poderão permutar entre si, fato esse que
2,3
−2
H4
−H
−3
H ⇒ P5
viabilizará outras condições favoráveis: M
1−4M4
4
44
2,3
P5
=
5!
2,3
⇒ P5 = 10
2!3!
14243
Assim, a probabilidade do nascimento de 2 filhas (M) e 3 filhos (H) em 5 gestações sucessivas será:
2
3
25 ⋅  1  ⇒ P = 125 ⇒ P ≅ 3,2%
P = 10 ⋅  56  ⋅  61  ⇒ P = 10 ⋅  36
216
3888







1444424444
3
6) (FGV–SP 2009) Considere um piso composto por placas
quadradas e justapostas de lado L, e um anel de raio
R<
L
, como mostra a figura abaixo.
2
Lançando o anel sobre esse piso, determine a
probabilidade de o círculo delimitar regiões contidas em,
no máximo, três placas.
Resolução:
Interpretando a pergunta, concluímos que o anel não
poderá delimitar regiões contidas em 4 (quatro) placas,
entretanto, poderá delimitar regiões em 1 ou 2 ou 3
placas.
Nesse caso, basta que calculemos a probabilidade de o anel delimitar regiões em 4 placas e efetuarmos
o calculo da probabilidade complementar, ou seja: a probabilidade “p” será p = 1− P4 , onde P4
corresponde à probabilidade de o anel delimitar regiões em 4 placas.
No quadrado ABCD, temos, em cada vértice, um quarto de círculo
de raio R; são as regiões hachuradas. Um círculo de raio R delimita
regiões contidas em exatamente 4 (quatro) placas se, e somente
se, o centro dele pertencer ao interior de uma das regiões
hachuradas.
A área correspondente à delimitação de 4 (quatro) placas é igual à
soma dos quatro setores circulares hachurados na figura ao lado,
que, por sua vez, é igual à área do anel: πR 2 .
Como as probabilidades calculadas são proporcionais às áreas
delimitadas, a probabilidade de o anel delimitar regiões contidas em
EXATAMENTE quatro placas é P4 =
πR 2
L2
.
Assim, a probabilidade de o círculo delimitar regiões contidas em, no máximo, três placas
(de NÃO DELIMITAR QUATRO PLACAS) será:
p = 1− P4
Página 3 de 6
⇒
p = 1−
πR 2
L2
Resposta: 1−
πR 2
L2
.
DISCURSIVAS – SÉRIE CASA – AULA 03
1) (FGV–SP 2009.2) Um meteorito foi detectado por astrônomos nas proximidades da Terra e cálculos feitos
mostraram que ele deveria atingir a superfície em uma região deserta, com a forma de um retângulo
ABCD.
Sabe-se que a área da região S, que tem a forma de
2
um trapézio retângulo, mede 7km . Expresse, em
porcentagem, a probabilidade de o meteorito cair na
região R ou na região T.
Resolução:
x x
 + ⋅4
7x
x x
x x
6 8
Área do trapézio “S”: S =
=  + ⋅2 =  +  ⇒
=7 ⇒
12
2
6 8
3 4
Soma das áreas “R” e “T”:
.
A = 48 Km ² .
R + T = A − S ⇒ R + T =(48 )−(7 )⇒ R + T = 41Km ²
Área “A” do retângulo ABCD:
A = 4x ⇒
x = 12 Km
A = 4 ⋅12 ⇒
Como as probabilidades são proporcionais às áreas, a probabilidade “p” do meteorito cair na região R ou na
R+T
41
≅
⇒ p=
⇒
região T, será: p =
A
•
48
p 85,4%
Outra maneira:
A probabilidade de o meteorito cair na região R ou na região T é igual à probabilidade
dele não cair na região “S”, ou seja:
p = 1 − AS ⇒ p = 1 − 487
⇒ p=
41
⇒
48
p ≅ 85,4% .
Resposta: Aproximadamente 85,4%.
2) (UNESP 2010) Duas máquinas A e B produzem juntas 5000 peças em um dia. A máquina A produz 2000
peças, das quais 2% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 3000 peças, das quais 3% são
defeituosas. Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constatouse que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça escolhida tenha sido produzida pela
máquina A?
Resolução:
•
•
•
2
⋅ 2 000 = 40 peças.
100
3
Número de peças “defeituosas” produzidas pela máquina B:
⋅ 3 000 = 90 peças.
100
Número de peças “defeituosas” produzidas pela máquina A:
Número total de peças defeituosas: 130 peças.
Probabilidade de a peça defeituosa ter sido produzida pela máquina A:
p=
Resposta:
4
.
13
Peças defeituosa s da máquina A
40
⇒p=
⇒
Total de peças defeituosa s
130
página 4 de 6
p=
4
13
3) (FGV-SP 2008) Um carteiro leva três cartas para três destinatários diferentes. Cada destinatário tem sua
caixa de correspondência, e o carteiro coloca, ao acaso, uma carta em cada uma das três caixas de
correspondência.
a) Qual é a probabilidade de o carteiro não acertar nenhuma caixa de correspondência?
b) Qual é a probabilidade de o carteiro acertar exatamente uma caixa de correspondência?
Resolução:
A
a
B
b
C
c
a
c
b
ACERTOU APENAS UMA
b
a
c
ACERTOU APENAS UMA
b
c
a
NÃO ACERTOU NENHUMA
c
a
b
NÃO ACERTOU NENHUMA
c
b
a
ACERTOU APENAS UMA
Consideraremos os endereços A, B e C e as respectivas cartas correspondentes a, b e c.
As cartas poderão ser distribuídas de P3 = 3! = 6 maneira distintas, nas três caixas de correspondências,
as quais perfazem o espaço amostral dessa distribuição.
a) Pa =
Respostas: a)
1
.
3
2
⇒
6
b)
Pa =
1
3
b)
1
.
2
Pb = 3
6
⇒
Pb =
1
2
4) (PUC-PR 2009 adaptada) Em uma pesquisa, 210 voluntários declararam sua preferência por um dentre
três tipos de sobremesa e uma dentre quatro opções de sabores.
Os resultados foram agrupados e dispostos no quadro a seguir.
Gelatina
Pudim
Mousse
TOTAL
Morango
15
28
4
47
Limão
40
7
12
59
Baunilha
6
29
18
53
Coco
5
16
30
51
TOTAL
66
80
64
210
Sendo sorteado ao acaso um dos voluntários, calcule a probabilidade de que a sua preferência seja pelo
sabor morango, se já é sabido que sua sobremesa predileta é pudim.
Sendo sorteado ao acaso um dos voluntários, calcule a probabilidade de que a sua preferência
seja pelo sabor morango, se já é sabido que sua sobremesa predileta é pudim.
Resolução:
•
•
Trata-se de um caso de probabilidade condicional, ou seja, deveremos reduzir o espaço
amostral inicial ...
Número de elementos do espaço amostral inicial: 210.
Informação a respeito do sorteio: o voluntário sorteado tem preferência por pudim.
Com a informação sobre o voluntário que tem preferência por pudim, o espaço amostral será reduzido
para apenas 80 elementos.
Assim, a probabilidade pedida será:
7 = 35% .
P = 28
⇒ P=
80
20
Página 5 de 6
Resposta: 35%.
5) (FGV-SP) Uma moeda é viciada de tal forma que os resultados possíveis, cara e coroa, são tais que a
probabilidade de sair cara num lançamento é o triplo da de sair coroa.
a) Lançando-se uma vez a moeda, qual a probabilidade de sair cara?
b) Lançando-se três vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma cara?
Resolução: Considerando “K” a face “cara” e “C” a face coroa...
•
Primeiramente vamos determinar as probabilidades de cada face:
Sabemos que p k + p c = 100% ⇒
p k + p c = 1 ⇒ 3. p c + p c = 1 ⇒
•
Assim:
pk + pc =1 .
1
pc = e k =
4
p 34
3
a) A probabilidade de sair cara será: p k = ⇒ p k = 75%
14243
4
b) A probabilidade de sair exatamente uma cara será: K-C-C
Permutando-se os 3 símbolos: P32 =
3!
⇒ P32 = 3 ;
2!
3  1  1
p =(P32 )
⋅  ⋅  ⋅ 
4 4 4
9
 3 
p =(3 )
⋅
 ⇒ p=
 64 
1
4264
4
3
Respostas: a) 75%
b) 9/64.
6) (UFG-GO 2007) Um grupo de 150 pessoas é formado por 28% de crianças, enquanto o restante é
composto de adultos. Classificando esse grupo por sexo, sabe-se que 1/3 dentre os de sexo masculino é
formado por crianças e que 1/5 entre os de sexo feminino também é formado por crianças. Escolhendose ao acaso uma pessoa nesse grupo, calcule a probabilidade dessa pessoa ser uma criança do sexo
feminino.
Resolução:
Sendo “C” o número de crianças do grupo analisado,
28 ⋅150 ⇒ C = 42 crianças.
C = 100
Considerando “M” o número total de pessoas (crianças ou adultos) do sexo masculino e “F” o número total
de pessoas (crianças ou adultos) do sexo feminino, teremos:
 M + F = 150

 M + F = 42
 3 5
Resolvendo o sistema acima encontramos M = 90 e F = 60 ;
60
O número de crianças do sexo feminino “CF” será: C F =
⇒ C F = 12 crianças.
5
÷
A probabilidade “P” que atende ao enunciado será: =
⇒ =
=
.
÷
Resposta: 8%.
12 6
P 150
6
página 6 de 6
P 252 ou P 8%