19/08/2014
CONTABILIDADE ATUARIAL
Construção das tábuas de mortalidade
Tábuas de Mortalidade

Uma tábua de mortalidade se baseia em dados de
nascimentos e mortes e nas idades ao morrer. A utilidade
destes dados depende de que as estatísticas sejam exatas,
representativas, comparáveis e adequadas. Quando a
informação concernente a estas estatísticas de vida se
dispõe em forma de tabela se obtém o que se chama uma
tábua de mortalidade e dela se pode deduzir, por meio da
teoria das probabilidades, a probabilidade de vida ou
morte de uma pessoa.
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Disposição da Tábua de Mortalidade - EXEMPLO
“American Experience Table”.
Coluna X



Em termos gerais, é costume referir-se à idade pela
letra X, isto é, considerando-se como uma idade
qualquer; assim, quando falarmos de uma pessoa de
idade X, queremos dizer uma pessoa de qualquer
idade compreendida na coluna de “idade” da
“American Experience Table”.
Na sequência, nos referimos frequentemente a esta
coluna como a “coluna X”.
Coluna X = idade
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O Símbolo lx
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




Para maior conveniência e brevidade se usou a letra l para designar
dados na coluna de pessoas “vivas”. Ainda, para maior comodidade se
juntou à letra l pequenos sub-índices para designar os dados específicos
nesta coluna.
Assim, l 10 indica o número de pessoas vivas na idade de 10 anos,
l 35 indica o número das que vivem na idade de 35 anos;
l 95 o número das que vivem aos 95 anos.
Posto que x pode aplicar-se a qualquer idade,
Lx aplicar-se-á a qualquer dado na coluna de pessoas “vivas”;
chamaremos, pois, esta coluna de “coluna l x”
O Símbolo dx






dx o número de pessoas que morrem entre as idades de x e x+1
Na coluna (3) aparece o número de pessoas que morrem num período de doze
meses, que começa na idade indicada na mesma linha na coluna (1).
À frente do 10 da coluna de “idade” se encontra, na coluna de “número de
pessoas que morrem”, o número 749. Isto quer dizer que, das 100.000 pessoas
iniciais houve 749 que morreram entre os 10 e os 11 anos.
Da mesma maneira, à frente do 11 da coluna de “idade” aparece na coluna (3) a
cifra 746, que é o número de pessoas que morreram entre os 11 e 12 anos.
Estes dados formam todos parte da “matéria-prima” usada e se obterão dos
dados originais apurados.
Para facilitar a memorização dos símbolos se designa pela letra d o número de
pessoas que morrem num dado ano.
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O Símbolo qx


qx representa a probabilidade de que uma
pessoa de idade x morra antes de chegar a idade
x + 1.
Razão pela qual a coluna (4) de “probabilidade
anual de morrer” se conhece com o nome de coluna
q x, e q x designa um dado qualquer desta
coluna.
O Símbolo px

px denota a probabilidade de que uma pessoa de
idade x viva até chegar a idade x + 1.
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Resumo dos Símbolos
x - indica qualquer idade incluída na tábua de mortalidade.
lx - indica o número de pessoas que chegam a idade x.
dx - indica o número de pessoas que morrem entre as idades x
e x + 1.
px - indica a probabilidade de que uma pessoa de idade x
viva um ano mais.
qx - indica a probabilidade de que uma pessoa de idade x
morra dentro de um ano.
Resumo de fórmulas

(189) lx + 1 = lx - dx
Fórmula para o número de pessoas vivas na idade x + 1

(190) dx = lx - lx + 1
Fórmula para o número de pessoas que morrem na idade x

(191) lx = dx + dx + 1 + dx + 2 + ... + d(w)
Fórmula para o número de pessoas vivas na idade x

(192) lx - lx + n = d x + d x + 1 + ... +
Fórmula para o número de pessoas que dx + n - 1 morrem entre os x e os
x + n anos
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1) Com auxílio da tábua American Experience, determinar a
probabilidade de vida para a idade de 45 anos.
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Solução:
Queremos obter p45 .
Temos da tábua American Experience que
A probabilidade de vida da idade de x anos é
l45 = 74 173 e
l46 = 73 345.
Logo,









px =
l x +1
lx
p 45 =
l 46
l 45
p 45 =
73.345
74.173
 0 , 98884
Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 30 anos? –
Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 40 anos? –
Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 80 anos? –
Quantas pessoas morreram com 39 anos?
Quantas pessoas morreram com 57 anos?
Quantas pessoas morreram antes de completar 6 anos?
Quantas pessoas morreram entre 70 e 79 anos?
Qual a probabilidade de um recém nascido viver até os 14 anos de
idade?
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Probabilidade de falecimento
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P = probabilidade
Dx = óbitos
Lx = sobreviventes
P=
dx
lx
Aos 36 anosP =
216 =
0,00229
94.456
Das 94.456 pessoas sobreviventes a chance de uma delas falecer é de 0,00229
Probabilidade de falecer daqui a 10 anos
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


P = probabilidade
D = óbitos
L = sobreviventes
P = Lx – (Lx – 1) .
Lx
Aos 36 anos P = 94456 – (92009-1). =
0,02590
94456
Uma pessoa hoje com 36 anos tem a
probabilidade de 0,02590 de vir a falecer
daqui a 10 anos
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Probabilidade de estar viva daqui a 10 anos
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P = probabilidade
D = óbitos
L = sobreviventes
P=
Lx +1 .
Lx
Aos 36 anos P = 92009 + 1. = 0,97410
94456
Uma pessoa hoje com 36 anos tem a probabilidade de
0,97410 de estar viva daqui a 10 anos
Probabilidade de estar viva daqui a 10 anos
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P = probabilidade
D = óbitos
L = sobreviventes
Probabilidade de falecer
= 0,02590
Probabilidade de estar vivar = 0,97410
Total
= 1,00000
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Probabilidade de falecer entre duas idades
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P = probabilidade
D = óbitos
L = sobreviventes
P=
(Lx+n) – (Lx +n+x).
Lx
Aos 36 anos P = 89877 - 82767 = 0,07527
entre 50 e 60 anos
94456
Uma pessoa hoje com 36 anos tem a probabilidade
de 0,07527 de vir a falecer entre 50 e 60 anos.
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EXERCÍCIOS
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EXERCÍCIOS
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(l) a coluna sobreviventes inicia com um valor base
100.000 ou 1.000.000
(d) A coluna Óbitos é conseguida através dos
registros em cartórios em comparação com os dados
fornecidos pelos hospitais.
l – d = (l) + 1ano
EXERCÍCIOS – TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011
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

- A tabela mostra 97.986 sobreviventes com 10 (dez) anos e com 25
óbitos com 10 (dez) anos logo teremos 97.961 sobreviventes com 11
(onze) anos;
- A tabela mostra 81.789 sobreviventes com 61 (sessenta e um) anos e
com 1038 (mil e trinta e oito) óbitos com 61 (sessenta e um) anos logo
teremos 80.751 sobreviventes com 62 (sessenta e dois) anos;
- A tabela mostra 69.590 sobreviventes com 70 (setenta) anos e com
1835 (mil oitocentos e trinta e cinco) óbitos com 70 (setenta) anos logo
teremos 67.755 sobreviventes com 71 (setenta e um) anos;
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EXERCÍCIOS – TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011
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Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 30 anos?
Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 40 anos?
Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 80 anos?
Quantas pessoas morreram com 39 anos?
Quantas pessoas morreram com 57 anos?
Quantas pessoas morreram antes de completar 6 anos?
Quantas pessoas morreram entre 70 e 79 anos?
Qual a probabilidade de um recém nascido viver até os 14 anos
de idade?
EXERCÍCIOS – TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011
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
Qual a probabilidade de um jovem com 17 anos completos não
sobreviver aos 40 anos?
Qual a probabilidade de um jovem com 17 anos viver até os 40
anos?
0,95790 = probabilidade de estar vivo
0,04210 = probabilidade de falecer
1,00000 =
11
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EXERCÍCIOS – TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011
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Qual a probabilidade de um indivíduo de 55 anos vir
a falecer antes de alcançar a idade de 62 anos?
Qual a probabilidade deste indivíduo de 55 anos ter
de uma vida feliz ate alcançar a idade de 62 anos?
0,92944 = probabilidade de estar vivo
0,07056 = probabilidade de falecer
1,00000 =
EXERCÍCIOS – TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011
24
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Qual a probabilidade de um indivíduo de 41 anos
vir a falecer entre a idade de 59 e 68 anos?
Qual a probabilidade de um indivíduo de 20 anos
vir a falecer entre a idade de 40 e 60 anos?
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EXERCÍCIOS – TÁBUA MORTALIDADE IBGE 2011
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Qual a probabilidade de um individuo de 60 anos:
Atingir com vida a idade de 78 anos
Atingir com vida a idade de 75 anos
Atingir com vida a idade de 65 anos
Falecer com 63 anos
Falecer com 68 anos
Falecer com idade entre 60 e 79 anos
Falecer com idade entre 62 e 79 anos
EXERCÍCIOS – Tábua de Mortalidade CSO-58
26
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Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 30 anos?
Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 40 anos?
Quantas pessoas estariam vivas a atingiriam a idade de 80 anos?
Quantas pessoas morreram com 39 anos?
Quantas pessoas morreram com 57 anos?
Quantas pessoas morreram antes de completar 6 anos?
Quantas pessoas morreram entre 70 e 79 anos?
Qual a probabilidade de um recém nascido viver até os 14 anos
de idade?
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EXERCÍCIOS – Tábua de Mortalidade CSO-58
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Qual a probabilidade de uma pessoa de 25 anos
falecer antes de atingir a idade de 70 anos?
Antonio tem 40 anos. Calcule a probabilidade de
Antonio chegar com vida aos 65 anos
Qual a probabilidade de uma pessoa com 35 anos
falecer com 36 anos?
EXERCÍCIOS – Tábua de Mortalidade CSO-58
28
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Qual a probabilidade de uma pessoa de 50 anos
falecer entre as idades de 65 e 85 anos?
Qual a probabilidade deste indivíduo de 55 anos ter
de uma vida feliz ate alcançar a idade de 62 anos?
0,92944 = probabilidade de estar vivo
0,07056 = probabilidade de falecer
1,00000 =
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EXERCÍCIOS – Tábua de Mortalidade CSO-58
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Qual a probabilidade de um indivíduo de 41 anos
vir a falecer entre a idade de 59 e 68 anos?
Qual a probabilidade de um indivíduo de 20 anos
vir a falecer entre a idade de 40 e 60 anos?
EXERCÍCIOS – Tábua de Mortalidade CSO-58
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Qual a probabilidade de um individuo de 60 anos:
Atingir com vida a idade de 78 anos
Atingir com vida a idade de 75 anos
Atingir com vida a idade de 65 anos
Falecer com 63 anos
Falecer com 68 anos
Falecer com idade entre 60 e 79 anos
Falecer com idade entre 62 e 79 anos
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