MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Probabilidade
Probabilidade de Laplace
A teoria do azar consiste em reduzir todos os
acontecimentos do mesmo gênero a um certo número
de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência,
e em determinar o número de casos favoráveis ao
acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão
deste número para o de todos os casos possíveis é
a medida dessa probabilidade, a qual é, portanto,
uma fração cujo numerador é o número de casos
favoráveis e cujo denominador é o número de todos
os casos possíveis.
Pierre Simon Laplace
Ensaio filosófico sobre as Probabilidades
Ω = {1, 2, ..., 6}, # ( Ω ) = 6
Os elementos do espaço amostral são chamados
eventos elementares. Os subconjuntos do espaço
amostral serão chamados eventos. Por exemplo, o
subconjunto
A={2, 4, 6}
é o evento que acontece se o número mostrado
na face de cima é par.
Passamos agora à segunda etapa: a de calcular a probabilidade de um evento A. Consideremos
o caso do evento A={2, 4, 6} de nosso exemplo. É
claro intuitivamente que se repetimos o experimento
um grande número de vezes obteremos um número
par em aproximadamente a metade dos casos; ou
seja o evento A vai ocorrer mais ou menos a metade
das vezes. O que está por trás dessa intuição é o
seguinte:
a)os eventos elementares são todos igualmente “prováveis”.
b)o número de elementos de A (#(A) = 3) é
justamente a metade dos elementos de
(#( ) =6).
EM_V_MAT_015
Uma das aplicações mais importantes dos resultados anteriores é na teoria das probabilidades.
Diremos que um experimento é determinístico
quando repetido em condições semelhantes conduzindo a resultados essencialmente idênticos. Os
experimentos que, repetidos sob as mesmas condições, produzem resultados geralmente diferentes
serão chamados experimentos aleatórios. Fenômenos
aleatórios acontecem constantemente em nossa vida
diária. São frequentes perguntas tais como: Choverá
amanhã? Qual será a temperatura máxima no próximo domingo? Qual será o número de ganhadores da
Loteria Esportiva? Quantos habitantes terá o Brasil
no ano 2 020?
A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa
modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
O modelo matemático utilizado para estudar
um fenômeno aleatório particular varia em sua complexidade matemática, dependendo do fenômeno
estudado. Mas todos esses modelos têm ingredientes
básicos comuns. O que vamos fazer agora é estudar
uma série de fenômenos aleatórios relativamente
simples e interessantes, e fixar uma série de ideias
e noções que são totalmente gerais.
A definição de probabilidade como quociente
do número de “casos favoráveis” sobre o número de “casos possíveis” foi a primeira definição
formal de probabilidade, e apareceu pela primeira
vez em forma clara na obra Líber de Ludo Aleae, de
Jerônimo Cardano (1 501-1 576). A probabilidade
introduzida nesta seção tem, como veremos, várias
propriedades.
Consideremos o seguinte experimento
aleatório: jogue um dado e observe o número
mostrado na face de cima.
A primeira tarefa consiste em descrever todos os
possíveis resultados do experimento e calcular o seu
número. De outra forma: explicitar qual é o conjunto
de possíveis resultados do experimento e calcular o
número de elementos contidos nele. Este conjunto
é chamado espaço amostral. É fácil descrevê-lo em
nosso exemplo:
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1
Estas considerações motivam a definição de
probabilidade de um evento como A, da seguinte
forma
Probabilidade de A=
#(A)
3
1
=
=
#( )
6
2
Laplace referia-se aos elementos de A (ou
eventos elementares que compõem A como os casos
favoráveis. Os elementos do espaço eram chamados
casos possíveis. Defina então
Probabilidade =
número de casos favoravéis
número de casos possíveis
Vamos então resumir as considerações feitas
até agora, que permitem a utilização desta definição
de probabilidade.
Suponha que os experimentos aleatórios têm as
seguintes características:
a)há um número finito (digamos n) de eventos
elementares (casos possíveis). A união de
todos os eventos elementares é o espaço
amostral ;
se. Essas probabilidades “recalculadas” recebem o
nome de probabilidade condicional, cuja definição
apresentamos a seguir.
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por
P (A B) e dada por
P (A B)= P (A B), P(B)>0
P(B)
``
Exemplo:
Considere a seguinte situação hipotética. Uma grande
região de 100km² contém um aquífero (reservatório
de água) subterrâneo com a água igual a 2km², cuja
localização é desconhecida (ver figura a seguir). A fim de
determinar a posição de aquífero, perfurações são feitas
ao acaso. Vamos representar por H o evento de encontrar a água. Temos P ( H) = 0,02, obtida pelo quociente
da área do aquífero pela área total, onde usamos que o
espaço amostral é = {região de 100km²}.
b)os eventos elementares são igualmente
prováveis;
Definimos então:
Probabilidade de
número de casos favoráveis
A = P(A) =
número de casos possíveis
Consequências imediatas desta definição são
as seguintes propriedades:
1)Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2)P( ) = 1.
3)P(Ø) = 0 (porque #(Ø) = 0).
4)Se A ∩ B = Ø, então
5)P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Probabilidade condicional
Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em
etapas. A informação que ocorreu em uma determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de
ocorrência das etapas sucessivas.
Neste caso, dizemos que ganhamos informações
e podemos “recalcular” as probabilidades de interes-
2
H20
= Região (100km2)
Suponha agora que, após um ano de pesquisas, uma
área de cerca de 20km² já foi amplamente perfurada
sem encontrar água e pode ser descartada para novos
furos. Representamos essa informação por I. Qual seria
agora a probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o
aquífero? Vamos representar por P (H \ I) a probabilidade
desejada. Com a mesma argumentação utilizada acima,
a nova região de procura terá área de 80km² e, portanto,
P (H \ I) = 0,025. Isto é, como esperávamos, a probabilidade de obter água aumentou devido à informação recebida. Vamos refazer este cálculo utilizando a fórmula de
probabilidade condicional. Para tal, seja B a nova região
de procura correspondendo à área total inicial menos a
parte que foi descartada para as novas tentativas. Temos
que P (B) = 0,8. O evento H B representa a ocorrência
de, sem nenhuma informação auxiliar, que encontremos
água num furo feito na região B. Pelas suposições iniciais,
H B = H e então, P (H B) = P (H) = 0,02.
P (H B) = P (H B) = 0,02 = 0,025
P(B)
0,8
A figura a seguir apresenta o efeito da informação I no
espaço amostral.
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EM_V_MAT_015
c) todo evento A é uma união de m eventos
elementares onde m ≤ n.
É muito comum, à primeira vista, confundir
eventos independentes e eventos disjuntos. O próximo exemplo ajuda a esclarecer essa questão.
H20
= Região (100km2)
H20
= Nova Região (80km2)
O espaço amostral perdeu 20km², que é a área descartada para novos furos.
Da definição de probabilidade condicional, deduzimos a
regra do produto de probabilidades, uma relação bastante
útil que é apresentada na figura.
Sejam A e B eventos de . Então,
P (A B)=P(A B) P (B),
com P(B)>0
Um conceito muito importante em probabilidade é o
da independência de eventos, que será utilizado
repetidamente ao longo de todo o texto.
Independência de eventos
Dois eventos A e B são independentes se a
informação da ocorrência ou não de B não altera a
probabilidade da ocorrência de A. Isto é:
P (A B) = P (A) > 0,
ou ainda a seguinte forma equivalente:
P (A
``
Exemplo:
Uma empresa produz peças em duas máquinas I e
II, que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10, respectivamente. No início do dia
de operação um teste é realizado e caso a máquina
esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia
passando por revisão técnica. Para cumprir o nível
mínimo de produção, pelo menos uma das máquinas
deve operar. Você diria que a empresa corre risco de
não cumprir com suas metas de produção?
Seja Oi o evento da máquina i estar operando, i = 1 ou
2. Pelas informações disponíveis temos P (O1 ) = 0,95 e
P (O2 ) = 0,90.
Na figura apresentamos um diagrama conhecido como
árvore de probabilidades, que consiste em apresentar
os eventos e as probabilidades condicionais associadas
às realizações. Cada um dos caminhos da árvore indica
uma possível ocorrência.
No preenchimento dos valores de probabilidades
na árvore, observe que assumimos a independência
entre O1 e O2 , pois acreditamos que a eventual falta
de ajuste em uma máquina não interfere no comportamento da outra. Note que, no caso da independência, o segundo ramo da árvore não é afetada pela
ocorrência dos eventos que aparecem no primeiro
ramo. Portanto, pela definição de independência,
segue que P (O2 O1 ) = P(O2 ) = 0,90.
Para facilitar a notação, vamos escrever O1 O2 para
o evento O1 O2. Sua probabilidade da ocorrência é
dada pelo produto dos ramos que levam nesse evento.
Isso correspondendo à aplicação da regra do produto
de probabilidades:
P (O1 O2 ) = P (O2 O1 ) P(O1 ).
0,95
O1
B) = P (A) P (B)
O2
0,10
O2c
0,90
O2
0,10
O2c
Oc1
Árvore de probabilidade
A tabela a seguir resume as ocorrências e suas
respectivas probabilidades.
EM_V_MAT_015
Não é difícil verificar que se A é independente
de B, então B é independente de A. O uso da expressão acima permite ainda verificar que o evento vazio é
independente de qualquer evento. As demonstrações
são deixadas a cargo do leitor.
0,05
0,90
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3
Probabilidade
O1O2
0,95 x 0,90 = 0,855
O1O2c
0,95 x 0,10 = 0,095
Oc1O2
0,05 x 0,90 = 0,045
Oc1O2c
0,05 x 0,10 = 0,005
Para obter o nível mínimo de produção diária,
precisamos ter pelo menos uma máquina operando.
Isso corresponde à ocorrência do evento O1 O2 O1
Oc2 Oc1O2. Temos
P(O1O2 O1Oc2 Oc1O2)= P(O1O2) + P(O1Oc2 )+P(Oc1O2)
pois as três realizações são disjuntas. Por exemplo, não é possível as duas máquinas estarem operando (evento O1 O2) e ao mesmo tempo só a máquina I
operar (evento O1Oc2 ). Dessa forma, concluímos que a
probabilidade de manter o nível mínimo de produção
é 0,995. Portanto, a empresa tem alta probabilidade
de cumprir com suas metas de produção.
No exemplo anterior, os eventos representados
pelas intersecções O1O2, O1 Oc2 , Oc1 O2 e Oc1 Oc2 formam
novos eventos que têm a propriedade de serem mutuamente exclusivos, e cuja união completa todas as
possíveis combinações.
Distribuição binominal
4
Uma quantidade X, associada a cada possível
resultado do espaço amostral, é denominada de
variável aleatória discreta se assume os valores
num conjunto enumerável, com certa probabilidade.
Por outro lado, será denominada variável aleatória
contínua se seu conjunto de valores é qualquer intervalo dos números reais, o que seria um conjunto
não-enumerável.
Na construção de um certo prédio, as fundações
devem atingir 15 metros de profundidade e, para cada
cinco metros de estacas colocadas, o operador anota
se houve alteração no ritmo de perfuração previamente
estabelecido. Essa alteração é resultado de mudanças
para mais ou para menos, na resistência do subsolo.
Nos dois casos, medidas corretivas serão necessárias,
encarecendo o custo da obra. Com base em avaliações
geológicas, admite-se que a probabilidade de ocorrência de alterações é de 0,1 para cada cinco metros. O
custo básico inicial é de 100UPCs (unidade padrão de
construção) e será acrescido de 50k, com k representando o número de alterações observadas. Como se
comporta a variável custo das obras de fundação?
Assumimos que as alterações ocorrem independentemente entre cada um dos três intervalos de
cinco metros e representamos por A a ocorrência de
alteração em cada intervalo, sendo Ac seu complementar. A figura a seguir apresenta as três etapas
com os possíveis resultados da perfuração. Cada etapa
tem duas possibilidades que, quando combinadas
com as outras duas etapas, originam oito possíveis
eventos. Por exemplo, o evento AAcA representa que
na primeira e na terceira etapas aconteceram alterações, enquanto que na segunda nada se alterou. Como
temos três etapas, com dois possibilidades em cada
uma, temos no total 23 = 8 eventos.
O espaço amostral consiste na união de todos os
caminhos que levam de um ponto a outro da árvore
de probabilidades.
A
0,1
A
0,1
0,9
Ac
0,1
A
0,9
Ac
0,1
A
0,9
Ac
0,9
0,1
Ac
A
0,9
0,1
Ac
A
0,9
0,1
Ac
A
0,9
Ac
Sendo C a variável aleatória custo da obra,
obtemos a seguinte tabela:
Eventos
AAA
Probabilidade
0,13
C (em UPCs)
250
AAAc
0,12 x 0,9
200
AA A
0,1 x 0,9
200
AAcAc
0,1 x 0,92
150
AcAA
0,12 x 0,9
200
c
A AA
0,1 x 0,9
150
AAA
0,1 x 0,9
150
AcAcAc
0,93
100
c
c
c
c
2
2
2
Note que associamos a cada evento do espaço
amostral um valor para a variável aleatória C. Os
distintos possíveis valores são c1 = 100, c2 = 150, c3
= 200 e c4 = 250. Além disso, podemos ter um mesmo
valor da variável associado a mais de um elemento
do espaço amostral, por exemplo,
P (C = c2) = P (C = 150) = P (AAcAc AcAAc AcAcA).
Tendo em vista que os eventos são disjuntos, a
probabilidade da união fica sendo simplesmente a
soma das probabilidades de cada evento. Então,
P (C = 150) = P (AAcAc) + P (AcAAc) + P (AcAcA)
= 3 x 0,1 x 0,92 = 0,243.
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EM_V_MAT_015
Eventos
ΣS S ... S FF ... F
k vezes n - k vezes
Σppp ... p . (1 – p)...(1 – p) = pk(1 – p)n – k,
As probabilidades para os outros valores de C
podem ser obtidas de modo análogo, resultando na
seguinte função de probabilidades:
C
pI
100
0,729 150
200
250
0,243 0,027 0,001
Dessa forma, o comportamento da variável de
interesse pode ser estudado através da associação
de cada custo com sua probabilidade de ocorrência.
Essa informação pode auxiliar na previsão de gastos
e na elaboração de orçamentos.
Consideremos agora um experimento com apenas dois resultados possíveis, que chamaremos de
sucesso e fracasso.
``
k fatores
n - k fatores
pois as provas são independentes.
É claro que, em outra ordem, a probabilidade
seria a mesma, pois apenas a ordem dos fatores se
alteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e
n – k fracassos em qualquer ordem é pk(1– p)n–k muln
tiplicado pelo número de ordem possíveis que é
k
(para escolher uma ordem basta escolher em quais
das n provas ocorrerão os k sucessos). Acabamos
de provar o
Exemplos
Teorema binominal: a probabilidade de
ocorrerem exatamente k sucessos em uma
sequência de n provas independentes, na qual
a probabilidade de sucesso em cada prova é
p, igual a:
a) Jogamos uma moeda não-viciada e atribuímos sucesso = cara, e fracasso = coroa.
b) Jogamos um dado não-viciado e atribuímos sucesso
= o resultado é 5 ou 6 e fracasso = o resultado é
1,2,3 ou 4.
n
c) De uma urna que contém seis bolas brancas e quatro bolas pretas, sacamos uma bola e atribuímos
sucesso = a bola é preta, e fracasso = a bola é
branca.
EM_V_MAT_015
Chamamos de p, a probabilidade de sucesso e q
= 1 – p, a probabilidade de fracasso. Nos nossos
4
1 2
exemplos os valores de p são ,
e
, respec2 6 10
tivamente.
Suponhamos agora que façamos repetições
(provas) do nosso experimento, realizando-o um
número fixo: n vezes.
Assim, por exemplo, no caso n = 3 jogamos a
moeda três vezes, jogamos o dado três vezes, sacamos sucessivamente três bolas da urna.
Suponhamos ainda que a probabilidade p de
sucesso mantenha-se constante ao longo das provas.
Isso, no exemplo a, significa que a probabilidade de
obter cara em qualquer dos lançamentos é 1/2.
Suponhamos finalmente que as provas sejam
independentes, isto é, que o conhecimento dos resultados de algumas provas não altere as probabilidades
dos resultados das demais. Isso, no exemplo c, significa que as bolas são sacadas com reposição.
O problema que queremos resolver é o seguinte: qual é a probabilidade de obtermos k sucessos
nessas n provas?
A probabilidade de nessas n provas obtermos
k sucessos e, em uma ordem predeterminada, por
exemplo, os sucessos nas k primeiras provas e os
fracassos nas demais:
k
pk(1– p)n–k
1. Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a
probabilidade de obter duas caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos duas coroas?
``
Solução:
Vamos indicar com H, cara, e com T, coroa. O espaço
amostral é então
= {(H H H), (H H T), (H T H), (H T T), (T H H), (T H
T), (T T H), (T T T)}
Donde:
#( ) = casos possíveis = 8.
Se A indica o evento “obter duas caras” temos que
A = {(H H T), (H T H), (T H H)}
Assim #(A) e, portanto:
P(A) =
# (A) 3
= .
#( Ω ) 8
Se B denota o evento “obter pelo menos duas caras”
temos
B = {(H H T), (H T H), (T H H), (H H H)}.
Resulta que # (B) = 4 e P(B) =
4 1
=
8 2
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5
2. Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a
probabilidade de que a soma dos números mostrados
nas faces de cima seja 7.
``
A probabilidade procurada é, portanto:
6 . 4 . 3 . 22!
3
=
≈ 0.13.
24!
23
Solução:
1
2
3
4
5
6
1
(1, 2)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
Número do segundo dado
2
3
4
5
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)
(2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5)
(3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5)
(4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5)
(5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)
(6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5)
6
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
O número de eventos elementares (casos possíveis) é igual
a #( ) = 36. Seja A o conjunto dos pares (i, j) tais que i
+ h = 7. Esses pares estão destacados na figura. Temos
que #(A) = 6 e, portanto,
P(A) =
# (A)
6
1
=
=
# ( Ω ) 36 6
Na maior parte dos problemas concretos o espaço amostral não é descrito com tanto cuidado. Este é um costume
generalizado (e às vezes perigoso). Nos exemplos não
descreveremos precisamente o espaço amostral, mas
ao leitor é aconselhado em todos os casos a defini-los
com precisão.
3. Para a Copa do Mundo, 24 países são divididos em
seis grupos, com quatro países cada um. Supondo
que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso,
calcular a probabilidade de dois times A e B caírem no
grupo 1?. (Na realidade a escolha não é feita de forma
completamente aleatória).
``
Solução:
Vamos tomar como espaço amostral o conjunto de todas
as permutações de 24 elementos; ou seja o número de
casos possíveis é 24! Consideremos o diagrama da figura
a seguir, que
1
••••
2
••••
3
••••
4
••••
5
••••
6
••••
representa os 24 times divididos em seis grupos. Quantas permutações existem tais que A e B pertencem ao
primeiro grupo? A pode ser colocado em quatro lugares;
restam para B três lugares e os times restantes podem ser
dispostos em 22! formas diferentes. Portanto, o número
de permutações com A e B no primeiro grupo é
4 x 3 x 22!
6
4. A probabilidade de um casal ter um filho do sexo
masculino é 0,25. Então, a probabilidade do casal
ter dois filhos de sexos diferentes é:
1
a)
16
3
b)
8
9
c)
16
3
d)
16
3
e)
4
`` Solução: B
Para cada filho desses pais temos quatro possibilidades : H M M M (uma possibilidade de
meninos e três de meninas)
Para dois filhos temos o seguinte espaço amostral:
(H,H) ; (H,M); (H,M); (H,M)
(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)
(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)
(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)
Temos então seis casos de dois filhos de sexos
diferentes em 16 possibilidades:
Logo a probabilidade é : 6 = 3
16 8
5. Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:
fala inglês
homens
mulheres
92
101
fala
alemão
35
33
fala
francês
47
52
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que
esta pessoa fala francês, qual é a probabilidade de
que seja homem?
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EM_V_MAT_015
Número do
primeido dado
O espaço amostral Ω consiste de todos os pares (i, j) onde
i e j são inteiros positivos compreendidos entre 1 e 6. A
figura descreve o espaço amostral completamente.
``
Solução:
Solução:
``
Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francês e B se a pessoa escolhida é homem. Temos
99
P(A) = 47 + 52 =
360
360
P(A
B) =
47
360
1/2
47
P(B/A) = P(A B) = 47 / 360 =
99
P(A)
99 / 360
Equilibrado
1
1 1
x
=
36
6 6
Temos:
Note-se que:
P (B/A)= 47 = 47 = (A B).
99 47+52
(A)
6.
Dois uns
1/2
portanto
1x 1 = 1
4
2 2
Dois uns
Viciado
P [observar dois uns] =
5 ,
1 .1 1 . 1
=
+
36
2 4 2 36
P [dado viciado e dois uns] =
Numa prova há sete perguntas do tipo verdadeiro
falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas
as sete se:
1
1 .1
= .
8
2 4
A probabilidade buscada é então igual a:
1/8
9
= = 90%
5/36 10
a) escolhermos aleatoriamente as sete respostas;
b) escolhermos aleatoriamente as respostas, mas sabendo que há mais respostas “verdadeiro” do que
“falso”.
``
Solução:
Há 27 = 128 possibilidades e portanto P [acertar os
1
sete testes] =
128
Seja A o conjunto de todos os pontos com mais respostas
“V” do que “F”. Temos que
8. Um exame de laboratório tem eficiência de 95%
para detectar uma doença, quando essa doença
existe de fato.
Entretanto o teste aponta um resultado “falso
positivo” para 1% das pessoas sadias testadas.
Se 0,5% da população tem a doença, qual é a
probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado
que o seu exame foi positivo?
(A)= 7 + 7 + 7 + 7 = 35+21+7+1=64,
7
6
5
4
e portanto a probabilidade buscada é igual a 1/64.
7.
``
Solução:
Consideremos dois dados, um deles equilibrado:
P(doente positivo) =
=
P(doente e positivo)
P(positivo)
=
P(doente) . P (positivo doente)
P.(doente). P (positivo doente) + P (sadio). P (positivo sadio)
=
0,005 . 0,95
95 ≅
=
0,3231
294
0,005 . 0,95 + 0,995 . 0,01
EM_V_MAT_015
(P ( 1 ) = (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/6
e outro viciado com:
(P ( 1 ) = 1/2 e (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/10.
Escolhe-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois
lançamentos, obtendo-se dois “uns”. Qual a probabilidade condicional de que o dado escolhido tenha sido
o viciado?
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7
9. Jogamos uma moeda não-viciada 10 vezes. Qual é a
probabilidade de obtermos exatamente cinco caras?
3
20 0,1k 0,920 – k
k
20
20
=
0,10 0,920 + 20 0,11 0,919 +
0,12 0,918 +
2
1
0
P(X 3) =
Solução:
Estipulando sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada
prova e as provas são independentes. Queremos achar
a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas.
Pelo teorema binominal, a resposta é:
10
5
1
2
5
1–
1
2
5
=
pi
(0, 200)
0,06
= 0,122 + 0,270 + 0,285 + 0,190 = 0,867.
(200,
(300,
(400,
(500,
(600,
300)
400)
500)
600)
700)
0,15
0,16
0,25
0,28
0,10
Várias universidades americanas exigem um escore
mínimo de 600 pontos para aceitar candidatos de
países de língua não-inglesa. De um grande grupo
de estudantes brasileiros que prestaram o último
exame, escolhemos ao acaso 20 deles. Qual seria
a probabilidade de, no máximo, três atenderem ao
requisito mínimo mencionado?
``
Esse valor reflete as altas probabilidades atribuídas aos
escores menores de 600, conforme o modelo de desempenho no teste.
11. Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla
escolha com dez questões e cinco alternativas por questão. Qual
é a probabilidade dele acertar exatamente quatro questões?
``
Solução:
Estipulando sucesso = acerto, temos p = 1/5 em cada
prova, e as provas são independentes.
A probabilidade pk dele acertar k questões é a probabilidade dele obter k sucessos em n = 10 provas. Pelo
teorema binominal,
pk =
p4 =
Pelo critério das universidades, o estudante é classificado como apto se seu escore é de 600 pontos ou mais,
caso contrário, será considerado não-apto. Dessa forma,
para cada indivíduo, teremos a classificação de apto ou
não, feita de modo independente e com as seguintes
probabilidades:
P(apto) = 0,10 e P(não-apto) – 0,90
Definindo uma nova variável X como o número de
estudantes aptos dentre os 20. A probabilidade de
no máximo três serem aptos á calculada pela função de
distribuição no ponto 3, ou seja:
F(3) = P(X 3).
10
k
1
5
k
1– 1
5
10 – k
=
10
k
410–k
510
A probabilidade dele acertar exatamente k = 4 questões é:
Solução:
Vamos admitir que a tabela acima representa o escore
dos estudantes que estão prestando esse último exame.
Essa é uma suposição razoável tendo em vista que a tabela foi feita a partir de conjunto muito grande de dados.
Isso quer dizer que um aluno selecionado ao acaso apresentará um dos vários escores de acordo com as probabilidades apresentadas na tabela. Por exemplo, a chance
de apresentar menos de 200 pontos é 0,06. Admitimos
ainda que os estudantes brasileiros têm comportamento
similar aos demais, e portanto, a tabela também pode ser
usada para representar esse desempenho.
8
20 0,13 0,917
3
252
63
=
1 024 256
10. O escore em um teste de proficiência na Língua Inglesa
varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um
melhor desempenho. Informações coletadas durante
vários anos permitem estabelecer o seguinte modelo
para o desempenho no teste:
Pontos
k=0
10 46
172032
=
0,088.
4 510
1953125
E a probabilidade dele acertar pelo menos 4 questões é:
1 – P0 – P1 – P2– P3 =
1–
10 4
10 49
10 48
10 47
–
–
–
=
10
10
0 5
1 5
2 510
3 510
10
1180409
9765625
0,121.
12. Suponha que uma característica (como a cor dos
olhos, por exemplo) depende de um par de genes.
Representemos por A um gen dominante e por a um
gen recessivo. Assim um indivíduo com genes AA é
dominante puro, um com genes aa é um recessivo
puro, e um com genes Aa é um híbrido. Dominantes puros e híbridos são semelhantes em relação à
característica. Filhos recebem um gen do pai e um
da mãe. Suponha que pai e mãe sejam híbridos e
tenham quatro filhos.
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EM_V_MAT_015
``
Dessa forma, temos:
a) Qual é a probabilidade do primeiro filho ser um
recessivo puro?
b) Qual é a probabilidade de exatamente um dos
quatro filhos ser um recessivo puro?
``
Solução:
Se os pais são Aa, a probabilidade de o primeiro filho
ser aa é 1 . 1 . 1 = 25%
2 2 4
Pelo teorema binomial,
C14 =
1
4
1
1–
1
27
=
0,4219 = 42,19%
4
64
1. (VUNESP) Após uma partida de futebol, em que as
equipes jogaram com as camisas numeradas de 1 a 11
e não houve substituições, procede-se ao sorteio de
dois jogadores de cada equipe para exame antidoping.
Os jogadores da primeira equipe são representados por
11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da
segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B.
Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma
bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o
processo deve ser repetido com as 10 bolas restantes
de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados
dois jogadores de números iguais, a probabilidade de
que aconteça o mesmo na segunda extração é de:
a) 0,09
b) Qual a probabilidade da soma dos resultados ser
maior ou igual a 16?
4. (CESGRANRIO) Uma urna contém quatro bolas
brancas e cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas
ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e
sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam
brancas vale:
1
a)
6
2
b)
9
4
c)
9
16
d)
81
20
e)
81
5. Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15
em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída.
Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na
amostra seja defeituosa.
6. (Pôquer com dados) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em:
a) A1 = todos diferentes;
b) A2 = um par;
c) A3 = dois pares;
d) A4 = três iguais;
b) 0,1
e) A5 = full (três iguais e dois iguais);
c) 0,12
f) A6 = quatro iguais (pôquer);
d) 0,2
g) A7 = cinco iguais;
e) 0,25
h) A8 = uma sequência (números consecutivos)
2. (FUVEST)
a) Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas
brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se uma
bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja
igual a 2/3?
EM_V_MAT_015
a) Quantos são os resultados possíveis em que os três
números obtidos são diferentes?
b) Considere agora uma outra urna que contém uma
bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis.
Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor
é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa
urna. Para valores de x a probabilidade de que as
duas bolas sejam da mesma cor vale 1/2?
3. (UNICAMP) Um dado é jogado três vezes, uma após
a outra. Pergunta-se:
Calcule a probabilidade de cada caso ocorrer.
7. Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A,
B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:
12 000 leem A;
8 000 leem B;
7 000 leem A e B;
6 000 leem C;
4 500 leem A e C;
1 000 leem B e C;
500 leem A, B e C.
Qual é a probabilidade de que um habitante leia:
a) pelo menos um jornal;
b) só um jornal.
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9
8. (UFRJ) Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 são escritos em cinco
cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem
reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão
aparecendo são escritos da esquerda para a direita,
formando um número de cinco algarismos.
a) Calcular a probabilidade de que o número escrito
seja par.
b) Se a escolha fosse com reposição qual seria a probabilidade?
9. Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja
deixada desocupada.
10. (Fuvest) Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm
probabilidades iguais). Com relação a esse experimento
considere os seguintes eventos:
I. O resultado do lançamento é par.
II. O resultado do lançamento é estritamente maior
que 4.
III. O resultado é múltiplo de 3.
a) I e II são eventos independentes?
b) II e III são eventos independentes?
11. (Fuvest) São efetuados lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda perfeita (as probabilidades
de cara e coroa são iguais) até que apareça cara pela
segunda vez.
b)
1
2
c)
3
8
d)
11
21
4
25
14. Para ter acesso a um determinado programa de computador o usuário deve digitar uma senha composta por
quatro letras distintas. Supondo que o usuário saiba
quais são essas quatro letras mas não saiba a ordem
correta em que devem ser digitadas, qual a probabilidade desse usuário conseguir acesso ao programa numa
única tentativa?
1
a)
4
e)
b)
1
12
a) Qual é a probabilidade de que a segunda cara apareça no oitavo lançamento?
c)
1
16
b) Sabendo-se que a segunda cara apareceu no oitavo
lançamento qual é a probabilidade condicional de
que a primeira cara tenha aparecido no terceiro?
d)
1
24
12. (Cesgranrio) Uma urna contém quatro bolas brancas e
cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são
sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A
probabilidade de que ambas sejam brancas vale:
1
a)
6
1
256
15. (Mackenzie) Uma pessoa A concorre com você neste
Concurso Vestibular com 40% de chance de ser aprovada. A probabilidade de que pelo menos um de vocês
dois seja aprovado é 64%. Então, relativamente à pessoa
A, a probabilidade de você ser aprovado é: (sabendo
que os eventos são independentes)
e)
b)
2
9
c)
4
9
b) o dobro.
d)
16
81
d) a metade.
a) a mesma.
c) o triplo.
e) um quarto.
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EM_V_MAT_015
20
e)
81
10
13. (FEI) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade
foram feitas duas perguntas aos alunos. 120 responderam “sim” a ambas; 300 responderam “sim” à primeira;
250 responderam “sim” à segunda e 200 responderam
“não” a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso,
qual é a probabilidade de ele ter respondido “não” à
primeira pergunta?
1
a)
7
16. (Unirio) As probabilidades de três jogadores marcarem
um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2,
2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a:
•• com a manteiga para cima (evento A)
c) 17 %
•• com a manteiga para baixo (evento B)
Uma possível distribuição de probabilidade para esses
eventos é:
a) P(A) = P(B) = 3/7
d) 20 %
b) P(A) = 0 e P(B) = 5/7
e) 25 %
c) P(A) = - 0,3 e P(B) = 1,3
a) 3 %
b) 5 %
17. (UFRJ) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas
são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma
delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma
pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna.
Determine a probabilidade de que as duas bolas
retiradas sejam de cores distintas.
18. Sacam-se, com reposição, quatro bolas de uma urna que
contém sete bolas brancas e três bolas pretas. Qual a
probabilidade de serem sacadas duas bolas de cada cor?
Qual seria a resposta no caso sem reposição?
19. Lança-se um dado não viciado até a obtenção do terceiro 6. Seja X o número do lançamento em que isso
ocorre. Calcule:
a) P (X = 10);
c) P (X < 10).
22. Em uma fábrica de parafusos, a probabilidade de um
parafuso ser perfeito é de 96%. Se retirarmos da produção, aleatoriamente, três parafusos, a probabilidade
de todos eles serem defeituosos é igual a:
b) 5-3
c) 5-4
d) 5-5
24. (UFPR) Uma loja tem um lote de 10 aparelhos de rádio/
CD e sabe-se que nesse lote existem dois aparelhos com
defeito, perceptível somente após uso continuado. Um
consumidor compra dois aparelhos do lote, escolhidos
aleatoriamente. Então, é correto afirmar.
(( ) A probabilidade de o consumidor comprar somente
aparelhos sem defeito é 28/45.
(( ) A probabilidade de o consumidor comprar pelo menos um aparelho defeituoso é 0,70.
(( ) A probabilidade de o consumidor comprar os dois
aparelhos defeituosos é 1/45.
)A probabilidade de o segundo aparelho escolhido
ser defeituoso, sendo que o primeiro já foi escolhido, é 10/45.
25. Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos
alunos é dada pelo gráfico seguinte:
5
Número de alunos
21. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas.
O primeiro que obtiver 12 vitórias ganha a série. No
momento o resultado é 6 x 4 a favor de A. Qual é a
probabilidade de A ganhar a série sabendo que em
cada partida as probabilidades de A e B vencerem são
respectivamente 0,4 e 0,6?
a) 5
e) P(A) = 6/7 e P(B) = 0
((
20. Dois adversários A e B disputam uma série de 10 partidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6,
e não há empates. Qual é a probabilidade de A ganhar
a série?
-2
d) P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6
(( ) A probabilidade de o primeiro aparelho escolhido
ser defeituoso é 0,20.
b) P (X > 10);
EM_V_MAT_015
23. (FGV) Uma fatia de pão com manteiga pode cair no chão
de duas maneiras apenas:
4
3
2
1
0
16
17
18
19
20
21
Idade de alunos
Com base nos dados do gráfico, determine:
a) o número total de alunos do curso e o número de
alunos com no mínimo 19 anos.
b) escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade
de sua idade ser no mínimo 19 anos ou ser exatamente 16 anos.
e) 5-6
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11
2. (UNIRIO) Considerando-se um hexágono regular e
tomando-se ao acaso uma de suas diagonais, a probabilidade de que ela passe pelo centro do hexágono é de:
1
9
1
b)
6
1
c)
3
2
d)
9
2
e)
3
3. (PUC-SP) Os 36 cães existentes em um canil são apenas
de três raças: poodle, dálmata e boxer. Sabe-se que
o total de cães das raças poodle e dálmata excede o
número de cães da raça boxer em seis unidades, enquanto que o total de cães das raças dálmata e boxer
é o dobro do número dos de raça poodle. Nessas condições, escolhendo-se, ao acaso, um cão desse canil, a
probabilidade de ele ser da raça poodle é:
1
a)
4
1
b)
3
1
c)
5
1
d)
2
2
e) 3
4. No jogo da Loto são sorteadas cinco dezenas distintas
entre as dezenas 01 – 02 - ... – 99 – 00. O apostador
escolhe 6, 7, 8, 9 ou 10 dezenas e é premiado se são
sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas
escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador
que escolheu 10 dezenas fazer:
b) Supondo que essa distribuição seja aleatória, qual
a probabilidade de uma delas receber exatamente
nove bolas?
6. Há oito carros estacionados em 12 vagas em fila.
a) Qual é a probabilidade das vagas vazias serem
consecutivas?
b) Qual é a probabilidade de não haver duas vagas
vazias consecutivas?
a)
a) um terno;
b) uma quadra;
c) a quina.
12
7.
Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é
a probabilidade delas possuírem um número comum?
8. (FUVEST ) Um tabuleiro tem quatro linhas e quatro
colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da
casa inferior esquerda(casa (1, 1)) para a casa superior
direita (casa (4, 4)), sendo que esta peça deve moverse, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou
imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas
existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela.
Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o
trajeto são (1, 1)(1, 2)(2, 2)(2, 3)(3, 3)(3, 4)(4, 4) e (1,
1)(2, 1)(2, 2)(3, 2)(4, 2)(4, 3)(4, 4).
a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar
esse trajeto?
b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas
opções de movimento, lança-se uma moeda nãoviciada; se der cara, a peça move-se para a casa à
direita e se der coroa, ela se move para a casa acima.
Desta forma, cada caminho contado no item a) terá
uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que têm maior probabilidade de
serem percorridos e calcule essa probabilidade.
9. Em um grupo de 10 pessoas, quatro são sorteadas
para ganhar um prêmio. Qual é a probabilidade de uma
particular pessoa ser sorteada?
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EM_V_MAT_015
1. Dez pessoas são separadas em dois grupos de cinco
pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que
duas pessoas determinadas A e B façam parte do
mesmo grupo?
5. (UNICAMP)
a) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas
iguais entre três crianças de modo que cada uma
delas receba, pelo menos, cinco bolas?
Há C410 modos de selecionar os premiados. Premiando a
particular pessoa, há modos de selecionar os outros
premiados.
10. Qual é a probabilidade de uma permutação dos números
(1, 2, ..., 10) ter exatamente cinco elementos no seu
lugar primitivo?
11. (UERJ) Protéticos e dentistas dizem que a procura
por dentes postiços não aumentou. Até declinou um
pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira
de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem
nenhum dente na boca, e 80% delas já usam dentadura.
Assunto encerrado.
(Adaptado de VEJA, out. 1997.)
Considere que a população brasileira seja de 160 milhões de habitantes.
Escolhendo, ao acaso, um desses habitantes, a
probabilidade de que ele não possua nenhum dente na
boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:
a) 0,28%
15. Duas máquinas A e B produzem 3 000 peças em um
dia. A máquina A produz 1 000 peças, das quais 3% são
defeituosas. A máquina B produz as restantes 2 000,
das quais 1% são defeituosas. Da produção total de um
dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a,
constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de
que a peça tenha sido produzida pela máquina A?
16. Três urnas I, II e III contêm respectivamente uma bola
branca e duas pretas, duas brancas e uma preta e três
brancas e duas pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e
dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II?
b) 0,56%
17. Um estudante resolve um teste com questões do tipo
verdadeiro-falso. Ele sabe dar solução correta para 40%
das questões. Quando ele responde uma questão cuja
solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros
casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade de que
ele sabia a resposta?
c) 0,70%
18. Sejam A e B dois eventos independentes tais que
d) 0,80%
12. Nos cartões da Sena, as dezenas são apresentadas em
um quadro com cinco linhas e 10 colunas. Determine a
probabilidade das seis dezenas sorteadas:
a) pertencerem à mesma linha;
b) pertencerem a apenas duas linhas, cinco numa linha e uma na outra;
c) idem, quatro numa linha e duas na outra;
d) idem, três numa linha e três na outra;
e) pertencerem a apenas três linhas, duas em cada;
f) pertencerem a linhas diferentes.
13. Dois armários guardam as bolas de voleibol e basquete. O armário 1 tem três bolas de voleibol e uma
de basquete, enquanto o armário 2 tem três bolas de
voleibol e duas de basquete. Escolhendo-se ao acaso
um armário e, em seguida, uma de suas bolas, calcule
a probabilidade dela ser:
a) de voleibol, sabendo-se que o armário 1 foi escolhido.
b) de basquete, sabendo-se que o armário 2 foi escolhido.
c) de basquete.
EM_V_MAT_015
respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar
dois jogos consecutivos, de um série de 3. Que série de
jogos é mais favorável para o jogador: ABA ou BAB?
14. Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros
A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as
probabilidades dele ganhar de A e de B são 1/3 e 2/3
P(A) = 1/4 e P(A∪B) = 1/3.
Calcule P(B).
19. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A
e B os eventos:
A: cara na primeira jogada.
B: cara na segunda jogada.
Verifique que A e B são independentes.
20. Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade
condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que
a soma dos resultados foi 7.
21. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito
apresentado na figura abaixo é igual a p, 0 < p < 1.
Se todos os relés funcionam independentemente, qual
é a probabilidade de que haja corrente circulando entre
os terminais A e B?
22. Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas
e duas urnas iguais. O prisioneiro deve colocar do modo
que preferir as bolas nas duas urnas (nenhuma das
urnas pode ficar vazia). As urnas serão embaralhadas
e o prisioneiro deverá, de olhos fechados, escolher uma
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
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13
23. (Unifesp) Tomam-se 20 bolas idênticas (a menos da cor),
sendo 10 azuis e 10 brancas. Acondicionam-se as azuis
numa urna A e as brancas numa urna B. Transportamse 5 bolas da urna B para a urna A e, em seguida,
transportam-se 5 bolas da urna A para a urna B. Seja p
a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca
da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma
bola azul da urna B.
Então:
a) p = q
b) p = 2/10 e q = 3/10
c) p = 3/10 e q = 2/10
d) p = 1/10 e q = 4/10
e) p = 4/10 e q = 1/10
24. (Unirio) A Organização Mundial da Saúde – OMS –
pesquisou e concluiu que um casal sadio, em que os
dois não sejam parentes consanguíneos (parentes em
primeiro grau), ao gerar uma criança, pode apresentar o
seguinte quadro probabilístico em relação a problemas
congênitos: sexo masculino tem 2% de risco e sexo
feminino, 3%. A probabilidade de um casal gerar um
menino com doença congênita ou uma menina sadia é,
em %, expressa por:
a) 0,485
b) 2,5
c) 49,5
d) 97,5
e) 99
25. (UERJ) Uma prova é composta por seis questões com
quatro alternativas de resposta cada uma, das quais
apenas uma delas é correta.
Cada resposta correta corresponde a três pontos
ganhos; cada erro ou questão não respondida, a 1
ponto perdido.
Calcule a probabilidade de um aluno que tenha
respondido aleatoriamente a todas as questões obter
um total de pontos exatamente igual a 10.
26. Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas
somas iguais a sete antes de obtermos três somas
iguais a três?
27. Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançando-a 12 vezes qual o mais provável valor do número de
caras obtidas?
28. Para cada uma das 30 questões de uma prova objetiva
são apresentadas cinco alternativas de respostas, das
quais somente uma é correta.
Considere as afirmações relativas à prova:
I. Existem no máximo 150 maneiras diferentes de responder à prova.
II. Respondendo aleatoriamente, a probabilidade de
errar todas as questões é (0,8)30.
III. Respondendo aleatoriamente, a probabilidade
de exatamente 8 questões estarem corretas é
30!
(0,2)8 . (0,8)22
8! (22)!
Analisando as afirmações, concluímos que:
a) apenas III é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas I e III são verdadeiras.
d) apenas II e III são verdadeiras.
e) I, II e III são verdadeiras.
29. Joga-se uma moeda não-viciada. Qual é a probabilidade
de serem obtidas cinco caras antes de três coroas?
30. (FGV) Um lote com 20 peças contém duas defeituosas.
Sorteando-se três peças desse lote, sem reposição, a
probabilidade de que todas sejam não defeituosas é:
68
a)
95
70
b)
95
72
c)
95
74
d)
95
76
e)
95
31. Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre os que têm
essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que
julgar necessária, responda qual a probabilidade de:
a) todos serem curados?
b) pelo menos dois não serem curados?
c) ao menos 10 ficarem livres da doença?
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urna e, nesta urna, uma bola. Se a bola for branca ele
será libertado e, caso contrário, condenado. Como deve
proceder o prisioneiro para maximizar a probabilidade
de ser libertado?
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Suposição: os indivíduos submetidos à cirurgia são (ou
não) curados independentemente uns dos outros com
probabilidade de cura constante e igual a 0,80. Assim D:
número de curados dentre os 15 pacientes é binominal
(n = 15, p = 0,8).
32. Um matemático sai de casa todos os dias com duas
caixas de fósforos, cada uma com n palitos. Toda vez
que ele quer acender um cigarro, ele pega (ao acaso)
uma das caixas e retira daí um palito. O matemático é
meio distraído, de modo que quando retira o último
palito de uma caixa, não percebe que a caixa fica vazia,
Como ele fuma muito, em certa hora, pega uma caixa
e constata que ela está vazia. Qual é a probabilidade
de, nesse momento, a outra caixa conter exatamente
k (0 ≤ k ≤ n ) palitos?
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e) 0,039
f) 0,0039
g) 0,00077
1. B
h) 0,031
2. a) Devem ser colocadas na urna 16 bolas azuis.
7.
7
15
1
b) 12
b) x = 1 ou x = 9
a)
3. a) 120 resultados.
8.
b) 5/108
2
5
2
b)
5
4. A
≅ 1 – 0,001 ≅ 0,999 ou 99,9%
6.
a) 9,3%
b) 0,463
16
9.
10. b – 1 . (b – 1)!
2
bb–2
c) 0,231
a) I e II são independentes.
d) 0,154
b) II e III não são independentes.
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5.
a)
11.
4.
a) 7/256
b) 1/7
a) A resposta é
(que é aproximadamente igual a
12. A
13. D
b) A resposta é
14. D
(que é aproximadamente igual a
15. A
).
c) A resposta é
16. B
5.
17. 50%
a) 21 maneiras.
2 2
18. C7 .4C 3 ⇒ sem reposição
b) 2/7
C10
6.
0,26 ⇒ com reposição
a) 1/55
19.
b) 14/55
2
9 −2
7
1
1
1 5
a) C29   .  1−  . = 8 ≅ 0, 0465
6
6
6
6
  

2
10 −2
b) C102  1  .  1− 1 
6 
6
≅ 0, 2907
7.
8.
a) 20
c) 1− P( x = 10) − P( x > 10) ≅ 0, 66
20.
).
10
∑C
k =6
k
10
b) Os caminhos que passam pelo centro têm maior
probabilidade.
0, 6k (1− 0, 6 )10−k ≅ 0, 6331
9.
21. ≅ 0,43
A deve obter seis vitórias antes que B obtenha oito
vitórias. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente
que A obtenha pelo menos seis vitórias nas próximas
treze partidas.
22. E
23. D
10.
11. C
12.
a)
24. V, F, V, V, F
25.
a) 20 alunos e 8 alunos.
b) 60 %
b)
c)
d)
1.
4
9
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2. C
e)
3. B
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13.
31.
a) P (D = 15) = 0,035=(0,8)15.
a) 0,75
b) 0,4
c) 0,325
b) P (pelo menos dois não serem curados) = P (no
máximo 13 curados) = P (D ≤ 15) = 0,833.
c) P (D ≥ 10) = 0,939.
14. A probabilidade do jogador vencer se escolher a primeira
série ABA é (ganha de A, ganha de B ou perde para
A, ganha de B e ganha de A) 10 , enquanto que para
27
BAB é 8 .
27
15. 3 5
32.
2n - k
n
1
2
2n - k
16. 5 12
17. 4
7
18. 1
9
19. P(A) = P(B) = 1/2, pois em cada lançamento há dois
resultados possíveis que são igualmente prováveis (cara
e coroa) e, em cada lançamento há apenas um resultado favorável (cara). P(A∪B) = 1/4, pois, para os dois
lançamentos, há quatro resultados possíveis que são
igualmente prováveis (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara
e coroa-coroa) e apenas um favorável (cara-cara).
Como P(A∩B) = P(A). P(B) os eventos A e B são
independentes.
1
20.
6
21. p.(2p – p2)2
22. Uma urna recebe uma bola branca e a outra as outras 99.
23. A
24. C
25. 135/4 096
k
4
k 3
26. ∑ C 4 .  
4
k =2
1
 
4
4 –k
=
243
≅ 0,9492
256
27. 5
28. D
7  7  7 
     
5
6
7
29. p5 + p6 + p7 =   +   +   = 29 ≈ 0,23
7
7
128
2
2
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30. A
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