Relatório Final da disciplina de
Probabilidades e Estatística
Economia
Gestão
Informática e Gestão
Docentes:
Paulo Infante (responsável)
Inês Sousa Dias
Ano Lectivo 2007/2008
Índice
• Relatório Crítico de Leccionação
• Programa detalhado e informação da disciplina
• Sumários
• Material de apoio às aulas
• Provas de avaliação
• Resultados de avaliação
• Inquérito anónimo realizado aos alunos
Relatório Crítico de Leccionação
Estatística Aplicada à Gestão I
Gestão
Ano Lectivo 2007/2008
Relatório Crítico de Leccionação
A unidade curricular de Estatística Aplicada à Gestão I é ministrada ao Curso de
Licenciatura em Gestão. Trata-se de uma unidade curricular semestral, nível básico,
sendo leccionada no 3º Semestre. Funcionou, ainda, para alguns alunos do Curso de
Licenciatura em Informática e Gestão como substituição da disciplina de Probabilidades
e Estatística que integra o respectivo plano de estudos.
Neste ano lectivo o programa foi inteiramente cumprido e podemos dizer que os
objectivos inicialmente propostos foram amplamente atingidos.
Todo o material de apoio foi colocado à disposição dos alunos na plataforma
Moodle. Para além de diversas informações também se disponibilizavam os sumários
das aulas.
Esta é a primeira unidade curricular da área de Estatística do curso de Gestão e
tem como suporte de base, em termos teóricos e metodológicos, alguns conceitos de
Estatística Descritiva e de Introdução às Probabilidades leccionados no Ensino
Secundário. Em alguns pontos foi possível fazer apenas uma revisão de conhecimentos,
mas noutros a matéria foi dada como se fosse a primeira vez. Tal permitiu uma
consolidação de conhecimentos em pontos que julgamos muito importantes numa
primeira fase da análise de dados e permitiu também consolidar interpretações e
desenvolver o espírito crítico.
No que concerne à sua carga horária semanal, esta unidade curricular tem 4 horas
teórico-práticas, correspondendo-lhe 5,5 ECTS. Com esta carga horária não é possível
uma exploração muito específica das potencialidades de tratamento estatístico com a
utilização de um pacote de software. Refira-se, com base em alguma experiência que
temos do ensino deste tipo de matérias, que esta é uma unidade curricular difícil para os
alunos, os quais revelam grandes dificuldades na compreensão de alguns conceitos. Tal
é também em vários casos explicado pela sua fraca formação de base em matemática e
pela falta de sentido crítico. Numa unidade curricular deste tipo fica clara a deficiência
de muitos alunos em saber pensar, o que do nosso ponto de vista se tem vindo a
acentuar nos últimos anos.
Como referimos, o programa desta unidade curricular inclui também a utilização
efectiva de software estatístico optando-se pelo pacote SPSS e por um pouco da folha
de cálculo Excel. A propósito, gostaríamos de salientar que as aulas este ano foram
dadas numa sala com melhores condições do que as de anos anteriores. Apesar disso, o
elevado número de alunos por cada turma condiciona um pouco o normal
desenvolvimento das aulas em que se faz uso do computador.
Tentámos implementar na unidade curricular as ideias subjacentes no Processo de
Bolonha, nomeadamente, num maior trabalho realizado pelo aluno e um maior
acompanhamento da matéria leccionada, bem como numa maior taxa de assistência às
aulas. Procurámos, sempre que possível, quer com trabalhos realizados em casa, quer
com exercícios sugeridos na sala de aula, que fossem os alunos a dinamizar as aulas
práticas. Fomentou-se as dúvidas carteira a carteira e a resolução do exercício
individualmente pelo aluno. Durante todo o semestre houve a preocupação de manter as
turmas ao mesmo nível, resolvendo-se os mesmos exercícios em cada aula, de forma a
ter turmas homogéneas e a que alguns alunos pudessem circular entre turmas diferentes
por dificuldades de horário, apesar dos docentes serem diferentes.
Os alunos podiam optar por Avaliação Contínua ou por Avaliação por Exame
Final. No sistema de Avaliação Contínua foram realizadas três provas de avaliação
sendo que a nota mínima para transitar entre frequências foi fixada em 7 valores. Por
outro lado, exigiu-se a presença em 70% das aulas aos alunos neste regime.
Relativamente ao regime de Avaliação por Exame Final, este consistiu na realização de
um exame na época normal e dum exame em época de recurso.
Apesar de termos disponibilizado um horário para, de uma forma complementar e
menos formal, esclarecer dúvidas e aprofundar matérias, a verdade é que a grande
maioria dos alunos apareceram apenas nos dias que antecederam cada prova de
avaliação. Contudo, registámos algum recurso ao e-mail para esclarecimento de
dúvidas, o que facilitou o nosso contacto com os alunos mesmo fora da data de
realização das frequências e exames. Mas, também por esta via, o maior número de
questões surgiram junto à data de realização das provas de avaliação.
O trabalho desenvolvido pelos alunos fora das aulas revelou-se novamente um
aspecto muito importante e fundamental não só para obter aprovação à unidade
curricular, mas também para a obter com uma nota razoável. E pensamos ter sido uma
das razões principais pela discrepância entre a taxa de aprovações verificada nos dois
sistemas de Avaliação à semelhança do que tinha acontecido no ano anterior.
O número de alunos que assistiram às aulas manteve-se aproximadamente constante
ao longo do semestre e consideravelmente superior ao número de alunos que
consideramos avaliáveis. Note-se que não notámos grandes quebras sazonais de
assistência, que acontecem em períodos de maior número de provas de avaliação.
Pensamos que tal é revelador de termos conseguido motivar os alunos para a
necessidade de assistência às aulas e termos incutido o interesse pela unidade curricular.
Tal revela também a empatia entre alunos e docentes. Num inquérito anónimo realizado
aos alunos, mais de 95% dos alunos que responderam ao inquérito (n=43) avaliaram
globalmente os docentes com notas de Bom ou Muito Bom.
Antes de apresentarmos os resultados finais gostaríamos de salientar que mais de
75% dos alunos pontuaram com notas de Bom ou Muito Bom a correspondência entre
conhecimentos avaliados e matéria leccionada.
Relativamente aos resultados finais, se tivermos como referência o número de
inscritos na unidade curricular (n=109 EAGI +9 PE), a percentagem de aprovações foi
igual a 39,3%. Caso tenhamos como referência o número de alunos que compareceram
a toda a avaliação contínua e/ou a algum dos exames, o que nós designamos por
alunos avaliáveis (n=61), a percentagem de aprovações foi igual a 75,4%.
Pensamos que uma boa coordenação entre os docentes é essencial para uma troca
sistemática de informações acerca das aulas, para a rápida resolução de algumas
questões que surjam durante o semestre e para o bom acompanhamento dos alunos. No
inquérito de avaliação do docente e disciplina mais de 90% dos alunos pontua com
notas de Bom e Muito Bom a coordenação entre os docentes. Tal mostra ser possível
que unidades curriculares com aulas teórico-práticas sejam leccionadas por mais do que
um docente sem se registarem hiatos de leccionação.
Programa detalhado e informação da
unidade curricular
•
ECONOMIA (3º semestre), GESTÃO (3º semestre; funciona também para os
inscritos em Estatística I), INFORMÁTICA E GESTÃO (3º semestre).
•
Carga horária: 3 T + 3 P
•
6 ECTS
•
Docentes: Paulo Infante (Responsável) – [email protected]
Inês Sousa Dias – [email protected]
•
Todas as informações relativas à disciplina podem ser consultadas através do
link:
http://www.ensino.uevora.pt/pe_eg
OBJECTIVOS
Esta disciplina fornece um conjunto de conceitos e métodos que visam, por um lado,
permitir que os alunos sejam capazes, através da sua correcta aplicação, de interpretar e
analisar dados amostrais e, por outro lado, inferir conclusões tendo presente o carácter
probabilístico que lhes está associado.
Para além do domínio de noções fundamentais da teoria das Probabilidades,
incluindo as distribuições de probabilidade mais utilizadas, os alunos deverão ser
capazes de, consoante a natureza dos dados e a situação experimental, aplicar as
técnicas apropriadas à análise dos dados e interpretar os resultados de uma forma crítica.
Os alunos deverão ainda ser capazes de utilizar o software estatístico SPSS.
ATENDIMENTO AOS ALUNOS
•
Paulo Infante
Terça-feira: 15h-16h
•
/
Qinta-feira: 9h30m -10h30m
Inês Sousa Dias
Terça-feira: 10h30m -12h30m
¾ Os docentes apresentam disponibilidade total para responder a qualquer dúvida por
e-mail.
AVALIAÇÃO
De acordo com uma Directiva do Conselho de Departamento de Matemática, todas as
disciplinas leccionadas o limite mínimo de sessões presenciais para o aluno obter
aprovação numa disciplina de licenciatura leccionada pelo Departamento de Matemática
è de 70%.
1. Avaliação Contínua
a. O regime de avaliação contínua consiste na realização de 3 Frequências
com a duração de 2 horas cada.
b. A primeira Frequência a realizar em 10 de Novembro de 2007.
c. A segunda Frequência a realizar em 7 de Dezembro de 2007.
d. A terceira Frequência a realizar em 12 de Janeiro de 2008.
e. A matéria para avaliação será definida nas aulas uma semana antes da
data prevista para a realização das frequências.
f. Em cada frequência o aluno(a) terá que ter uma nota superior ou igual a 7
valores. Caso a nota seja inferior a 7 valores em alguma frequência, o
aluno(a) opta automaticamente pelo regime de avaliação por Exame
Final e caso a nota seja inferior a 7 valores na terceira Frequência o aluno
reprova.
g. A nota final (NF) será a média aritmética das notas obtidas nas 3
frequências.
h. Para obter aprovação à unidade curricular a nota final (NF) deverá ser
igual ou superior a 9.5 valores e a nota de cada frequência igual ou
superior a 7 valores.
i. A apreciação do desempenho do aluno durante as aulas poderá, se daí
resultar benefício para o aluno, alterar a nota final.
j. Caso o aluno(a) não realize uma das frequências opta automaticamente
pelo regime de avaliação por Exame Final.
2. Exame Final
a. O regime de avaliação por Exame Final, em época normal, consiste na
realização de uma chamada com a duração de 3 horas.
b. O exame de época normal realizar-se-á no dia 16 de Janeiro de 2008 e
em época de recurso no dia 29 de Janeiro de 2008.
c. A nota final será a da prova de exame e deverá ser igual ou superior a 9.5
valores para obter aprovação à disciplina.
d. A matéria para avaliação será toda aquela leccionada durante o semestre.
e. O Exame de Época Especial, com a duração de 3 horas, realizar-se-á em
17 de Setembro de 2008.
OBSERVAÇÕES:
¾ As Frequências e os Exames são provas sem consulta, podendo os alunos utilizar
um formulário de apoio e tabelas estatísticas fornecidos para o efeito.
¾ Os alunos podem utilizar máquina de calcular (pessoal e intransmissível).
PROGRAMA
Cap I – Introdução
Cap. 2 – Estatística Descritiva
2.1. Distribuições de frequência
2.2. Medidas de Localização
2.3. Medidas de Dispersão
2.4. Medidas de Assimetria e Achatamento
2.5. Medidas de Concentração
Cap. 3 – Introdução às Probabilidades e Probabilidades Condicionais
3.1. Conceitos de Probabilidade
3.2. Experiências aleatórias e acontecimentos
3.3. Definição axiomática de probabilidade
3.4. Probabilidade condicional e independência
3.5. Teorema da probabilidade total
3.6. Teorema de Bayes
Cap. 4 – Variáveis Aleatórias Unidimensionais e Bidimensionais
4.1. Variáveis aleatórias discretas
4.1.1. Função massa de probabilidade
4.1.2. Função distribuição
4.2. Variáveis aleatórias contínuas
4.2.1. Função densidade de probabilidade
4.2.2. Função distribuição
4.3. Esperança matemática
4.4. Variância e desvio padrão
4.5. Momentos
4.6. Distribuições conjuntas e marginais
4.7. Distribuições condicionais
4.8. Independência entre variáveis aleatórias
4.9. Covariância e coeficiente de correlação
Cap. 5 – Principais Distribuições de Probabilidade
5.1. Distribuição de Bernoulli
5.2. Distribuição Binomial
5.3. Distribuição de Poisson
5.4. Distribuição Geométrica
5.5. Distribuição Uniforme
5.6. Distribuição Exponencial
5.7. Distribuição Normal
5.8. Distribuição qui-quadrado, t-student e F de Fisher-Snedecor.
5.9. Lei dos grandes números
5.10. Teorema do limite central
Cap. 6 – Introdução à Amostragem
6.1. Noção de estatística
6.2. Distribuições amostrais
6.2.1. Distribuição amostral de médias
6.2.2. Distribuição amostral de variâncias e de razão de variâncias
6.2.3. Distribuição amostral de diferença de médias
6.2.4. Distribuição amostral de proporções
6.2.5. Distribuição amostral de diferença de proporções
Cap. 7 – Estimação Pontual e Intervalos de Confiança
7.1. Noção de estimador e de estimativa
7.2. Estimação pontual
7.2.1. Propriedades dos estimadores pontuais
7.2.2. Método dos momentos
7.2.3. Método da máxima verosimilhança
7.3. Estimação por intervalos
7.3.1. Intervalo de confiança da média
7.3.2. Intervalo de confiança da variância e da razão de variâncias
7.3.3. Intervalo de confiança da diferença de médias
7.3.4. Intervalo de confiança de proporções
7.3.5. Intervalo de confiança de diferença de proporções
Cap. 8 – Testes de Hipóteses
8.1. Hipótese nula e hipótese alternativa
8.2. Região de aceitação e de rejeição
8.3. Erros tipo I e tipo II
8.4. Nível de significância
8.5. Testes bilaterais e unilaterais
8.6. Potência de um teste
8.7. Testes de médias
8.8. Testes de variâncias e comparação de variâncias
8.9. Testes de diferença de médias
8.10. Testes de proporções
8.11. Testes de diferença de proporções
Cap. 9 – Testes Não Paramétricos
9.1. Testes de ajustamento e de independência
9.1.1. Teste do qui-quadrado como teste de ajustamento
9.1.2. Teste de Kolmogorov-Smirnov
9.1.3. Tabelas de contingência
9.2. Outros testes não paramétrico
Cap. 10 – Correlação e Regressão Linear e Não-Linear Simples
10.1. Noção de correlação e de regressão
10.2. Diagrama de dispersão
10.3. Regressão linear e não linear
10.4. Método dos mínimos quadrados
10.5. Coeficiente de determinação e coeficiente de correlação
10.6. Testes de hipóteses dos coeficientes de regressão
10.7. Predição de novas observações
OSERVAÇÕES:
¾ Para as aulas práticas haverá folhas de exercícios visando uma diversidade de
exemplos de aplicação, sendo os alunos aconselhados a resolver, para além
destes, outros exercícios de livros apresentados na Bibliografia.
¾ Parte do estudo da Estatística Descritiva e Introdução às Probabilidades foi
iniciado no decurso do Ensino Secundário, pelo que se pressupõe o
conhecimento destes conteúdos pelos alunos, sendo feita uma revisão de
conhecimentos em alguns dos pontos já anteriormente abordados no ensino
secundário.
BIBLIOGRAFIA
Murteira, B. J. F.; Silva Ribeiro, C.; Andrade e Silva, J.; Pimenta, C. (2001) –
Introdução à Estatística, McGraw-Hill.
OUTRA BIBLIOGRAFIA
Berenson, M. L.; Levine, D. M.; Krehbiel, T. C. (2001) – Basic Business Statistics:
Concepts and Applications, 5th Ed., Prentice Hall.
Carlson, W. L.; Thorne, B. (1996) – Applied Statistical Methods: For Business,
Economics, and the Social Sciences, Prentice Hall.
D’Hainault, L. (1990) – Conceitos e Métodos da Estatística, Uma Variável a uma
Dimensão, Vol I, Fundação Calouste Gulbenkian.
D’Hainault, L. (1992) – Conceitos e Métodos da Estatística, Duas ou Três Variáveis
a Duas ou Três Dimensões, Vol II, Fundação Calouste Gulbenkian.
Galvão de Mello, F. (2000) – Probabilidades e Estatística, Conceitos e Métodos
Fundamentais, Vol I, 2ª Ed., Escolar Editora.
Galvão de Mello, F. (1997) – Probabilidades e Estatística, Conceitos e Métodos
Fundamentais, Vol II, Escolar Editora.
Guimarães, R.C.; Cabral, J. A. S. (1998) – Estatística, 2º Ed., McGraw-Hill.
Hines, W. W.; Montgomery, D. C. (1990) – Probability and Statistics in
Engineering and Management Science, 3rd Ed., John Wiley.
Maroco, J. (2003) – Análise Estatística - Com Utilização do SPSS, Edições Sílabo.
Martins, M. E. G. (2000) – Introdução às Probabilidades e à Estatística, SPE.
Mendenhall, W.; Scheaffer, R. L.; Wackerly, D. D. (2001) – Mathematical Statistics
with Applications, 6th Ed., Duxbury Press.
Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. (1974) – Introduction to the Theory of
Statistics, 3rd Ed. McGraw-Hill International Editions.
Murteira, B. (1990) – Probabilidades e Estatística, Vol I e II, 2ª Ed., McGraw-Hill.
Newbold, P.; Carlson, W. L.; Thorne, B. (2002) – Statistics for Business and
Economics, Pearson Higher Education.
Pestana, D. D.; Velosa, S. F. (2002) – Introdução à Probabilidade e à Estatística,
Fundação Calouste Gulbenkian.
Pereira, A. (2003) – SPSS - Guia Prático de Utilzação, 4ª Ed., Edições Sílabo.
Pinto, J. C. C.; Curto, J. J. D. (2000) – Estatística para Economia e Gestão, Edições
Sílabo.
Ross, S. M. (2000) – Introduction to Probability and Statistics for Engineers and
Scientists, Academic Press.
Sumários
Aulas Teórico-Práticas
Aula número 1 do dia 18/09/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Apresentação genérica do programa e da Bibliografia. Considerações gerais
sobre o modo de funcionamento das aulas. Definição do método de avaliação da
disciplina. Marcação das datas dos testes e do horário de atendimento dos alunos.
Considerações genéricas sobre as Probabilidades e a Estatística. Conceito de população
e de amostra. Tipos de dados estatísticos. Variáveis discretas e contínuas. Noção de
frequência absoluta, frequência relativa e de frequências acumuladas. Tábua de
distribuição de frequências.
Aula número 1 do dia 18/09/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Apresentação genérica do programa e da bibliografia. Considerações sobre o
modo de funcionamento das aulas. definição do método de avaliação da disciplina.
Marcação das datas dos testes e do horário de atendimento aos alunos.
Considerações gerais sobre probabilidade e estatística. Conceito de população e
amostra. Dados estatísticos; variáveis discretas e contínuas. Noções de frequência
absoluta e relativa simples e acumulada. Tabua de frequências.
Aula número 2 do dia 20/09/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Tábua de distribuição de frequências com dados discretos. Exemplo de
aplicação. Interpretação dos valores das frequências. Diagrama de barras e diagrama
integral.
Medidas de localização: média, moda e mediana. Quantil de ordem p: quartis, decis e
percentis. Exemplos de aplicação com interpretação dos valores obtifdos. Exercício com
variáveis discretas.
Amplitude inter-quartis. Barreiras Internas e Barreiras Externas. Noção de outlier.
Caixa-de bigodes. Exemplo de aplicação.
Aula número 2 do dia 20/09/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Medidas de localização: média , mediana e moda; Quantil de ordem p: quartis,
decis e percentis. Amplitude inter-quartis, barreiras internas e externas. Noção de
outlier. Caixa de Bigodes.
Exercicio de aplicação.
Aula número 3 do dia 25/09/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Resolução de um exercicio exercicio com esboço de caixa de bigodes.
Medidas de dispersão: amplitude amostral, amplitude inter-quartil, variância, desvio
padrão e coeficiente de variação. Noçao de dispersão absoluta e dispersão relativa.
Medidas de assimetria; Noção de assimetria; comparação entre média, mediana e moda;
grau de assimetria de Pearson e Coeficiente de assimetria de Bowley.
Medidas de achatamento; Noção de achatamento; Coeficiente percentil de curtose.
Diagrama de Caule-e-folhas.
Exemplos e exercicios de aplicação.
Aula número 3 do dia 25/09/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Exercício com esboço e interpretação de caixas-de-bigodes.
Medidas de dispersão: noção de dispersão, amplitude, amplitude inter-quartis, variância
e desvio padrão. Noção de dispersão absoluta e de dispersão relativa: coeficiente de
variação. Exemplo exercício de aplicação.
Medidas de Assimetria: noção de assimetria; comparação entre media, mediana e moda;
grau de assimetria de Pearson; coeficiente de assimetria de Bowley. Medidas de
achatamento: noção de achatamento, coeficiente percentil de curtose.
Aula número 4 do dia 27/09/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Introdução ao SPSS. Análise descritiva de dados usando o SPSS (Medidas de
localização, dispersa, assimetria e achatamento, graficos de barras e caixa com bigodes).
Interpretação de outputs. Agrupamento em classes.
Aula número 4 do dia 27/09/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Introdução ao SPSS. Análise descritiva de dados usando o SPSS.
Interpretação critica de outputs. Agrupamento em classes. Representações gráficas.
Aula número 5 do dia 02/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Momentos ordinários e momentos centrais. Coeficiente de assimetria de
Fisher e coeficiente de curtose. Agrupamento de dados e formação de classes.
Histograma, poligono de frequências e polígono integral. Calculo de medidas de
localização e dispersão para dados agrupados. Exemplos e exercicios de aplicação.
Aula número 5 do dia 02/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Momentos ordinários e momentos centrais.
Coeficiente de assimetria de Fisher e coeficiente de curtose.
Agrupamento de dados e formação de classes: algumas considerações e exemplos.
Histograma, poligono de frequências e polígono integral. Calculo de medidas de
localização e dispersão para dados agrupados. Exemplos e exercicios de aplicação com
interpretação de resultados.
Aula número 6 do dia 04/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Noção de concentração. Curva de Lorentz e índice de Gini. Interpretação.
Exemplos e exercícios de aplicação.
Histograma no caso em que as classes têm diferentes amplitudes. Exercício de
aplicação.
Aula número 6 do dia 04/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Medidas de concentração: Curva de Lorenz; Indice de Gini. Interpretação.
Dados Contínuos; classes de diferente amplitude.
Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 7 do dia 09/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Correcção de um exercício de estatística descritiva.
Noção de experiência aleatória, espaço amostra, acontecimento elementar e
acontecimento. Algebra d e acontecimentos. Noção de acontecimentos disjuntos ou
incompatíveis. Definições de probabilidades: Clássica (Laplace), frequencista e
subjectiva. Exemplos. Axiomática de Kolmogorov. Algumas propriedades da
probabilidade. Regra da adição. Noção de probabilidade condicional. Regra das
probabilidades compostas. Conceito de independencia de acontecimentos. Exemplos de
aplicação. Exercício.
Aula número 7 do dia 09/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Noção de experiência aleatória, espaço amostra, acontecimento elementar e
acontecimento. Algebra de acontecimentos. Noção de acontecimentos disjuntos ou
incompatíveis. Definições de probabilidades: Clássica (Laplace), frequencista e
subjectiva. Exemplos. Axiomática de Kolmogorov. Algumas propriedades da
probabilidade. Regra da adição. Noção de probabilidade condicional. Fórmula das
probabilidades compostas. Conceito de independencia de acontecimentos. Exemplos de
aplicação. Exercícios.
Aula número 8 do dia 11/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Resolução do exercício para casa. Regra da multiplicação. Independência vs
incompatibilidade. Exemplos e exercícios de aplicação. Teorema da Probabilidade
Total. Teorema de Bayes. Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 8 do dia 11/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Continuação de um exercício da aula anterior. Independência vs
incompatibilidade. Exemplos e exercícios de aplicação.
Teorema da Probabilidade Total. Exemplos de aplicação. Teorema de Bayes. Exemplos
de aplicação. Exercício.
Aula número 9 do dia 16/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Exercicios de aplicação do teorema da probabilidade total e do teorema de
Bayes.
Conceito de variável aleatória. Exemplos. Variáveis aleatórias discretas. Função de
probabilidade. Função distribuição. Representação gráfica. Propriedades da função
distribuição de uma variável aleatória discreta. Conceito de Esperança Matemática.
Propriedades da Esperança Matemática. Conceito de variância de uma variável
aleatória. Propriedades da variância. Desvio padrão. Exemplo. Exercicio de aplicação.
Aula número 9 do dia 16/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Exercicios de aplicação do teorema da probabilidade total e do teorema de
Bayes.
Conceito de variável aleatória. Exemplos. Variáveis aleatórias discretas. Função massa
de probabilidade. Função distribuição. Representação gráfica. Propriedades da função
distribuição. Conceito de Esperança Matemática. Propriedades da Esperança
Matemática. Conceito de variância de uma variável aleatória. Propriedades da variância.
Desvio padrão. Exercicio de aplicação.
Aula número 10 do dia 18/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Exercício sobre variáveis aleatórias discretas.
Variáveis aleatórias contínuas: função densidade de probabilidade, função de
distribuição e propriedades, esperança matemática e variância. Exercício de aplicação.
Aula número 10 do dia 18/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Resolução de exercícios sobrea variáveis aleatórias discretas.
Variáveis aleatórias Contínuas: função densidade de probabilidade, função de
distribuição, esperança matemática e variância. Exemplo.
Aula número 11 do dia 23/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Resolução de exercicios de variáveis aleatórias contínuas.
Coeficiente de variação. Momentos. Coeficiente de assimetria e de achatamento.
Variáveis aleatórias bidimensionais discretas: funçãode probabilidade conjunta e função
distribuição.Distribuições marginais. Independência entre variáveis aleatórias.
Distribuições condicionadas. Exemplo de aplicação.
Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas: função densidade de probabilidade
conjunta e função distribuição. Funções densidade marginais.
Aula número 11 do dia 23/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Resolução de exercicios de variáveis aleatórias contínuas.
Coeficiente de variação. Momentos. Coeficiente de assimetria e de achatamento.
Variáveis aleatórias bidimensionais discretas: função de probabilidade conjunta e
função distribuição. Distribuições marginais. Independência entre variáveis aleatórias.
Distribuições condicionais. Exemplo de aplicação.
Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas: função densidade de probabilidade
conjunta. Funções densidade marginais.
Aula número 12 do dia 25/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Resolução de exercícios com variáveis aleatórias bidimensionais discretas.
Conceito de covariância e de correlação. Coeficiente de correlação linear. Exemplo de
aplicação no caso de
variáveis bidimensionais discretas.
Distribuição Uniforme. Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 12 do dia 25/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Exercícios com variáveis aleatórias bidimensionais discretas.
Conceito de covariância e de correlação. Coeficiente de correlação linear. Exemplo
variáveis bidimensionais discretas.
Distribuição Uniforme. Exemplos. Exercícios.
Aula número 13 do dia 30/10/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Distribuição de Bernoulli. Exemplos. Distribuição Binomial. Exemplos.
Referência à distribuição Hipergeométrica.
Distribuição Geométrica. Exemplos.
Exercícios de aplicação.
Aula número 13 do dia 30/10/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Distribuição de Bernoulli e distribuição Binomial. Exemplos. Referência à
distribuição Hipergeométrica. Distribuição Geométrica. Exemplos.
Exercícios.
Aula número 14 do dia 06/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Distribuição de Poisson. Exemplos. Distribuição Exponencial. Exemplos.
Exercícios de Aplicação.
Aula número 14 do dia 06/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Distribuição de Poisson. Aproximação da distribuição Binomial pela
distribuição de Poisson. Exemplos e exercícios de
aplicação.
Distribuição exponencial. Falta de memória da distribuição exponencial. Exemplos e
exercícios de aplicação.
Aula número 15 do dia 08/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Algumas considerações sobre a matéria da primeira
frequência. Exercícios.
Aula número 15 do dia 08/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Distribuição exponencial (cont). Exercício.
Aula de dúvidas. Resolução de exercícios
Aula número 16 do dia 13/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Distribuição Normal. Variável aleatória normal reduzida. Leitura e utilização
da tabela da distribuição
normal. Quantis da distribuição normal. Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 16 do dia 13/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Distribuição Normal. Distribuição normal padrão. Interpretação da tabela da
distribuição normal. Quantis da distribuição normal. Exemplos e exercícios de
aplicação.
Aula número 17 do dia 15/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Soma de variáveis aleatórias normais independentes. Teorema do Limite
central. Distribuição amostral de média. Aproximação da distribuição binomial pela
distribuição normal. Aproximação da distribuição Poisson pela distribuição normal.
Correcção de continuidade. Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 17 do dia 15/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Soma de variáveis aleatórias normais independentes. Teorema do Limite
Central. Exemplos de aplicação. Distribuição amostral de médias.
Aproximação da Binomial pela Normal. Aproximação da Poisson pela Normal.
Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 18 do dia 20/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Noção de estatística, estimador e estimativa. Propriedades dos estimadores.
Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 18 do dia 22/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Noção de estatística, estimador e estimativa. Propriedades dos estimadores:
estimadores não enviesados, eficientes e consistentes. Erro quadrático médio. Exemplos
e exercícios de aplicação.
Aula número 19 do dia 22/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Método dos momentos e método da máxima verosimilhança. Exemplos e
exercícios de aplicação.
Aula número 19 do dia 26/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Método dos momentos e método da máxima verosimilhança. Exemplos e
exercícios de aplicação.
Aula número 20 do dia 27/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Exercicio de aplicação.
Aula número 20 do dia 27/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Resolução de exercícios sobre estimação pontual.
Aula número 21 do dia 29/11/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Estimação intervalar: precisão vs confiança. Intervalo de confiança para a
média quando o desvio padrão é conhecido. Conceito de erro padrão da estimativa.
Exemplos.
Distribuição t-student. Quantis de probabilidade. Intervalo de confiança para a média
quando o desvio padrão é desconhecido. Exemplo.
Exercícios de aplicação.
Aula número 21 do dia 29/11/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Estimação intervalar: precisão vs confiança. Intervalo de confiança para a
média quando o desvio padrão é conhecido. Conceito de erro padrão da estimativa.
Exemplos e exercícios de aplicação. Distribuição t-student. Quantis de probabilidade.
Intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão é desconhecido. Exemplo
de aplicação.
Aula número 22 do dia 04/12/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário:
Exercícios sobre intervalos de confiança para a média com desvio padrão desconhecido.
Distribuição amostral da proporção.
Intervalos de confiança para proporções. Erro máximo da amostra.
Exemplos e exercícios de aplicação.
Aula número 22 do dia 04/12/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Estimação Intervalar (cont.)
Intervalos de confiança para a média. Exercícios de aplicação.
Distribuição amostral para a proporção. Intervalos de confiança para a proporção.
Noção de ero máximo de estimativa. Exemplo. Exercícios de aplicação.
Aula número 23 do dia 06/12/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Revisões
Revisões da matéria dada.
Considerações sobre a 2ª frequância.
Aula número 23 do dia 06/12/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Exercícios de revisão e algumas considerações sobre a matéria dada.
Aula número 24 do dia 11/12/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Estimação Intervalar (cont.)
Distribuição amostral da variância. Distribuição do Qui-quadrado. Exemplo. Intervalos
de confiança para a variância.
Distribuição t-Student.
Distribuição amostral do máximo e do mínimo da amostra. Exemplo.
Distribuição amostral para a diferença de médias e intervalos de confiança para a
diferença de médias com variâncias conhecidas e desconhecidas mas iguais. Exemplos.
Aula número 24 do dia 11/12/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Distribuição amostral da variância. Distribuição do Qui-quadrado. Exemplo.
Intervalos de confiança para a variância.
Distribuição t-Student.
Distribuição amostral do máximo e do mínimo da amostra. Exemplo.
Distribuição amostral para a diferença de médias. Intervalos de confiança para a
diferença de médias com variâncias conhecidas e desconhecidas mas iguais. Exemplos
de aplicação.
Aula número 25 do dia 13/12/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Estimação Intervalar. Testes de Hipóteses.
Resolução de um exercício de aplicação de IC para a diferença de médias.
Distribuição amostral para a razão de variâncias. Distribuição F-Snedecor e suas
propriedades; consulta da tabela. Exemplo.
Tetes de hipótese: Erros do Tipo I e do Tipo II; hipótese nula e hipótese alternativa.
Passos a seguir para efectuar um teste de hipóteses. Exemplo. Noção de p-value.
Exercício de aplicação.
Aula número 25 do dia 13/12/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário:
Distribuição F de Snedecor. Quantis de probabilidade e leitura da tabela.
Distribuição amostral da razão de variâncias.
Introdução aos tetes de hipóteses: hipótese nula e hipótese alternativa; erro de 1ª espécie
e erro de 2ª espécie; teste unilateral e teste bilateral; nível de significância e região
crítica; valor de prova. Exemplos de aplicação.
Testes de hipótese para a média com desvio padrão conhecido. Exemplos e exercícios
de aplicação.
Aula número 26 do dia 18/12/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Testes de Hipóteses.
Potência do teste. Dualidade entre testes de hipótese e Intervalos de confiança.
Exemplos. Resolução de exercícios.
Aula número 26 do dia 18/12/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário:
Testes de Hipoteses.
Conceito de potncia de um teste.
Dualidade entre testes de hipóteses e intervalos de confiança.
Exemplos de aplicação.
Aula número 27 do dia 20/12/2007 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário:
Testes de hipótese para a média, igualdade de variâncias, diferença de médias para
amostras independentes e diferença de médias para amostras emparelhadas usando o
SPSS.
Intervalos de confiança para a média e diferença de médias usando o SPSS.
Interpretação crítica de outputs.
Aula número 27 do dia 20/12/2007 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Laboratório de informática.
Resolução de exercícios sobre intervalos de confiança e testes de hipóteses com o
auxilio do SPSS. Interpretação de outputs.
Aula número 28 do dia 03/01/2008 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário:
Teste t para amostras emparelhadas. Exemplos e exercícios de palicação usando o SPSS
e o Excel.
Teste t para amostras independentes e teste de razão de variâncias. Resolução de
exercícios usando o Excel.
Teste de comparação de proporções e intervalos de confiança para a diferença de
proporções.
Aula número 28 do dia 03/01/2008 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário: Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses
Amostras emparelhadas: intervalos de confiança e testes de hipóteses para a mostras
emparelhadas. Exemplo.
Resolução de exercícios com o auxílio do SPSS e do EXEL. Análise de outputs.
Aula número 29 do dia 08/01/2008 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário:
Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses
Resolução de exercícios com interpretação de outputs do SPSS e do EXEL.
Aula número 29 do dia 08/01/2008 (turma - C e D): por Paulo Infante
Sumário: Resolução de exercícios com interpretação de outputs do SPSS e do EXEL.
Aula número 30 do dia 10/01/2008 (turma - A e B): por Inês Dias
Sumário:
Revisões
Revisões para a 3ª frequência.
Aula número 30 do dia 10/01/2008 (turma - Todas): por Paulo Infante
Sumário: Exercícios de revisão e algumas considerações críticas sobre a matéria dada.
Material de apoio às aulas
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. Admita que se realizou um inquérito a um grupo de compradores de 30 carros novos
para determinar quantas reparações ou substituições de peças foram feitas durante o
primeiro ano de utilização dos carros, tendo-se obtido os seguintes resultados:
1
4
1
2
2
3
3
2
1
2
3
2
3
1
0
1
2
7
4
3
5
1
2
4
2
1
3
1
0
1
a) Apresente os dados numa tabela de distribuição de frequências.
b) Represente graficamente as frequências absolutas e relativas.
c) Calcule e interprete a média, a mediana, a moda e o desvio-padrão.
d) Determine a função de distribuição empírica e represente-a graficamente.
e) Determine os quartis da distribuição e diga qual o seu significado.
f) Represente os dados numa caixa-de-bigodes e interprete.
g) Estude a distribuição quanto à assimetria e ao achatamento.
h) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS.
2. Admita que o volume de vendas anuais, numa dada unidade monetária, de 20
empresas do sector do papel e de 25 empresas do sector de Marketing foi o seguinte:
20
40
40
45
45
45
50
50
50
50
55
55
60
60
60
60
70
80
85
100
10
30
40
45
45
45
50
50
50
50
50
55
55
55
60
60
60
60
70
75
75
80
85
100
20
Realize uma análise descritiva aos dados. Retire as conclusões que entender
convenientes.
3. Os seguintes dados representam as contribuições fiscais, numa dada unidade
monetária e durante um ano, de 40 pessoas escolhidas aleatoriamente:
2392
5928
780
2132
1976
1404
676
4472
3728
208
2236
4404
5132
1196
1716
1092
832
3959
3172
728
2132
1040
2028
4108
988
3926
468
2132
624
1710
4040
3174
3208
2948
1248
2704
150
200
988
624
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2006/2007
EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
a) Obtenha a tábua de distribuição de frequências.
b) Calcule a média, a mediana e a moda. Comente.
c) Calcule o P5 e P95 (percentis 5% e 95%) e interprete os valores obtidos.
d) Classifique a distribuição quanto à assimetria e à curtose.
e) Represente, para esta distribuição a caixa de bigodes.
f) Refaça as alíneas anteriores recorrendo ao SPSS.
g) Complete as afirmações:
I. ___ % dos contribuintes pagaram um valor superior a 1000 €.
II. 75% dos contribuintes pagaram um valor inferior a ____ €.
4. Considere que agrupou os gastos energéticos, em milhares de euros, de 60 empresas
de uma dada actividade, tendo obtido a seguinte distribuição de frequências:
Classes
[0, 2)
fi
0,10
[2, 4)
0,20
[4, 6)
0,25
[6, 8)
0,20
[8, 10)
0,15
c) Sabendo que o coeficiente de variação é igual a 50.9%
[10, 12]
0,10
e que o quarto momento central é igual a 42.7,
a) Esboce o histograma e o polígono de frequências
absolutas
b) Calcule a mediana e o nono decil. Interprete os seus
valores.
comente a proposição: “A distribuição é platicúrtica”.
d) Admita que um seu colega, depois de calcular o terceiro momento central, tirou a
seguinte conclusão: “A maior parte das empresas tem um consumo energético
inferior à média.”. Suporte a veracidade ou a falsidade desta conclusão.
e) Diga, sem efectuar cálculos, se as seguintes proposições são verdadeiras ou
falsas:
i) A moda é igual a 5000 euros.
ii) 75% da empresas têm um gasto energético superior a 10000 euros.
f) O gasto energético de 55% das empresas com menor consumo representa ___% do
total do gasto energético das empresas desta actividade.
g) Esboce a curva de Lorenz e calcule o índice de Gini. Comente.
EAG I - EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA____________________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2006/2007
EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
5. Admita que um grupo de 50 analistas financeiros efectuou uma previsão do ganho
por acção, em euros, de uma empresa no próximo ano, sendo os resultados
apresentados em 7 classes de igual amplitude, na tabela seguinte:
Classes
Pontos
médios
(x’i)
5
Número
de
analistas
Ni
Fi
4
0,08
8
[8, 10)
[10, 12)
8
27
13
17
37
5
0,74
1,00
a) Complete a tabela.
b) Calcule a mediana e interprete o seu valor.
c) Diga, sem efectuar cálculos, se as seguintes questões são verdadeiras ou falsas:
i) O percentil 74 é igual a 13 euros.
ii) 84% dos analistas previram um ganho por acção superior a 8 euros.
d) Complete a seguinte afirmação:
___ % dos analistas previram um ganho por acção inferior a 12,40 euros.
6. Admita que, relativamente às comissões com vendas imobiliárias (em milhares de
euros) de um conjunto de mediadores, se obteve o seguinte output do SPSS:
Statistics
Volume de vendas
N
Valid
Missing
Mean
Mode
Std. Deviation
Range
Minimum
Maximum
Percentiles
10
25
50
75
90
72
0
51,1111
47,00
19,93974
94,00
11,00
105,00
25,0000
38,0000
47,5000
62,0000
80,0000
a)
Interprete os valores das estatísticas do
output.
b) Esboce a caixa de bigodes, sabendo que
a segundo maior mediador recebeu um
total de 92 mil euros.
c)
Justifique
afirmação:
a
falsidade
“O
da
terceiro
seguinte
momento
centrado é nulo.”.
EAG I - EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA____________________________________________________ 3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2006/2007
EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
7. Admita que os montantes duma amostra de 1000 depósitos a prazo, em milhares de
euros, de um certo grupo bancário, se distribuem de acordo com o seguinte
histograma:
200
175
150
125
100
75
35
50
10
25
0
1
2
5
10
25
M ilhare s de Euros
a) Construa a tabela de distribuição de frequências.
b) Comente, sem efectuar cálculos, a proposição: “A moda da distribuição encontrase no intervalo (1500, 2500).”.
c) Calcule o índice de Gini. Comente.
d) Complete a seguinte afirmação: “67,5% dos depósitos a prazo correspondem a
___% do montante total depositado.”.
8. Com base numa amostra constituída por rendimentos anuais colectáveis de 1000
famílias residentes numa determinada cidade, obteve-se a seguinte distribuição de
frequências:
Rendimentos
Frequências
Colectáveis (em euros)
absolutas
a) Represente o histograma e esboce o
[0; 7500[
b) Comente,
6
polígono integral.
sem
fazer
cálculos,
a
[7500; 15000[
102
proposição: “Mais de metade das
[15000; 22500[
134
famílias
[22500; 37500[
293
colectável superior a 20000 €.”.
[37500; 75000[
364
[75000; 150000[
101
têm
um
rendimento
c) Calcule a mediana, a moda e o
terceiro quartil e interprete-os.
d) Complete as seguintes afirmações:
I. 90 % das famílias têm um rendimento colectável inferior a...............euros.
II. .......% das famílias têm um rendimento colectável superior a 40 000 euros.
EAG I - EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA____________________________________________________ 4
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES
9. Suponha que numa determina população, 10% dos indivíduos são leitores da revista
A, 30% são leitores da revista B e 5% são leitores de ambas. Determine a
probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso:
a) Ser leitor de alguma das revistas.
b) Ser leitor apenas da revista A.
c) Não ser leitor da revista B.
d) Não ser leitor de nenhuma das revistas.
e) Ser leitor da revista A sabendo que também é leitor da revista B.
10.Uma caixa contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Extraem-se, ao acaso, duas bolas
com reposição. Qual a probabilidade de:
a) Ser vermelha a primeira bola escolhida?
b) Ser vermelha a segunda bola escolhida?
c) Ambas as bolas serem vermelhas?
d) Ser vermelha a primeira e azul a segunda?
e) Refaça as alíneas anteriores, admitindo que se extraem as bolas sem reposição.
11.De um baralho de 40, extraem-se, sucessivamente e sem reposição cartas. Calcule a
probabilidade de:
a) A primeira carta extraída ser um ás ou um rei.
b) As duas primeiras cartas extraídas serem ouros.
c) As três primeiras cartas extraídas serem do mesmo naipe.
d) Seja A o acontecimento que consiste em sair uma carta de copas e B o
acontecimento que consiste em sair uma figura (rei, dama, valete). Comente a
proposição: “Os acontecimentos A e B são independentes.”.
12.Sejam A e B acontecimentos tais que P[A] = .2, P[B] = p e P[A∪B] = .6. Calcule p
considerando A e B:
a) Mutuamente exclusivos.
b) Independentes.
13. Uma
empresa
produtora
de
electrodomésticos
verificou
que
as
causas
de
reclamações que recebeu durante um certo período de tempo se distribuíam da
seguinte forma:
Período de garantia
Fora da garantia
Causa das Reclamações
Aparência
Avaria eléctrica Avaria mecânica
90
65
160
60
110
15
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES
a) Determine a probabilidade de uma dada reclamação ter como origem a aparência
se foi feita fora do período de garantia.
b) Se uma dada reclamação foi feita por avaria eléctrica, qual a probabilidade ter
sido durante o período de garantia?
c) Comente a proposição: “ A reclamação por avaria mecânica é independente do
período em que a reclamação foi feita.”
14.Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer. Mostre que
P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(A∪B) ≤ P(A)+P(B).
15.Considere um sistema com 3 componentes em paralelo, cujas probabilidades de
avaria para um período de 1000 horas de funcionamento são iguais a 0.05, 0.02 e
0.01. Calcule a probabilidade do sistema estar a funcionar ao fim de 1000 horas de
funcionamento. E no caso dos componentes estarem em série?
16.Num teste de resposta múltipla com 20 perguntas, cada uma com 3 respostas
possíveis, calcule a probabilidade de acertar todas as perguntas admitindo que
responde ao acaso. Qual a probabilidade de ter 10 valores se todas as perguntas
valem o mesmo e não se penalizam resposta erradas?
17.Aos armazéns de uma empresa chegam dois lotes de 1000 produtos cada, um de
uma fábrica A e outro de uma fábrica B. Admita que o fornecimento da fábrica A tem
10% de produtos defeituosos e o da B 20%. Supondo que se misturou ao acaso os
produtos dos 2 lotes e que, extraindo um produto, também ao acaso, se verificou que
era defeituoso, determine a probabilidade do produto ter sido produzido pela fábrica
A.
18.Suponha que existem 3 tipos de vírus duma dada doença, sendo 0,3; 0,5 e 0,2 as
probabilidades de um indivíduo ser atacado por cada um deles. Para a vacina
disponível as probabilidades de imunização são 0,8; 0,9 e 0,95 respectivamente.
a) Qual a probabilidade de um indivíduo vacinado contrair a doença?
b) Se um indivíduo vacinado resistiu ao ataque, qual a probabilidade de ter sido
atacado por um vírus do 2º tipo?
19.O Governo de um determinado país pretende avaliar o crescimento do produto
interno bruto (PIB). Para tal, resolve pedir previsões da evolução de diversos
componentes, em três vertentes distintas, a um economista. Neste caso, 40% das
EAG I - EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES_________________________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES
estimativas são referentes às receitas (vertente em que a probabilidade do
economista estimar correctamente é igual a 0,80), 35% das estimativas são
referentes às despesas (vertente em que a probabilidade do economista estimar
correctamente é igual a 0,20) e 25% das estimativas são referentes às importações e
exportações (vertente em que a probabilidade do economista estimar correctamente
é igual a 0,40).
a) Determine a probabilidade de, escolhida ao acaso uma estimativa referente às
receitas, esta esteja estimada incorrectamente.
b) Relativamente a um dada estimativa verificou-se que estava correcta. Calcule a
probabilidade de ser relativa às importações e exportações.
20.Uma companhia de seguros refere que 30% dos seus clientes são de alto risco, 45%
dos seus clientes são de médio risco e os restantes clientes são de baixo risco. Em
cada caso, a probabilidade de terem acidentes no ano coberto pelo seguro é igual a
0.25, 0.16 e 0.08, respectivamente.
a) Determine a probabilidade de escolher ao acaso um cliente que não seja de alto
risco.
b) Determine a probabilidade de um condutor ser de alto risco, sabendo que não
teve acidentes no ano coberto pelo seguro.
EAG I - EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES_________________________________________________________ 3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
21.Num sorteio foram emitidos 10000 bilhetes. Sorteia-se um prémio de 50000 euros,
dez prémios de 5000 euros e cem prémios de 50 euros.
a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X (valor do prémio
possível para o possuidor de um bilhete de lotaria).
b) Obtenha a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
c) Calcule a esperança do ganho.
22.Uma máquina de jogos tem dois discos que funcionam independentemente um do
outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma
pessoa paga 80 cêntimos e acciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs, ganha 40
cêntimos. Se aparecerem 2 bananas ganha 80 cêntimos. Se aparecerem 2 peras
ganha 140 cêntimos e ganha 180 cêntimos se aparecerem 2 laranjas. Calcule a
esperança de ganho numa única jogada.
23.Considere a v. a. X (número de unidades vendidas por semana de um dado produto),
com a seguinte distribuição:
x
1
2
3
4
F(x)
0,1
0,4
0,9
1
a) Calcule a probabilidade de vender no máximo duas unidades do produto.
b) Obtenha a função de probabilidade p(x) e represente-a graficamente.
c) Calcule o número esperado e o desvio padrão de unidades vendidas por semana.
d) Determine o salário médio semanal do vendedor sabendo que recebe de base
150€ e um extra de 200€ por cada unidade vendida.
24.Segundo o Censos de 2001, a proporção de residentes por família clássica em
Portugal era:
Nº residentes
Proporção de famílias
clássicas
1
2
3
4
0,173
0,284
0,252
0,200
5 ou
mais
0,095
Seja X a variável aleatória descrita na distribuição de probabilidades acima.
a) Qual a probabilidade de um alojamento escolhido ao acaso ter uma família com no
máximo dois residentes?
b) E de ter pelo menos 4 residentes?
c) Obtenha a função distribuição de X e com base nesta calcule P(2≤X≤4).
d) Qual o nº esperado de residentes por família?
e) Calcule o desvio padrão da variável X.
f)
Determine a mediana e a moda de X.
g) Classifique a distribuição quanto à assimetria e ao achatamento.
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
25.Uma cadeia de hipermercados vende, por semana, uma quantidade de carne
(expressa em toneladas) que admitimos ser uma variável aleatória X com função
densidade de probabilidade dada por:
⎧⎪ x
⎪ + k, 0 ≤ x ≤ 3
f ( x) = ⎪⎨ 6
⎪⎪
⎪⎩0, caso contrario
a) Obtenha a função distribuição, o valor médio e a mediana de X.
b) Calcule a probabilidade da cadeia de hipermercados vender numa semana pelo
menos duas toneladas? E de vender entre 1 e 2 toneladas?
c) Determine a quantidade de carne que deve ser recebida semanalmente para que
em 80% das semanas não haja falta do produto.
d) Calcule a variância das vendas semanais de carne da cadeia de hipermercados.
e) Classifique a distribuição quanto à assimetria e achatamento.
26.Suponha que o consumo diário (em litros) de leite, em famílias de um determinado
concelho, é uma variável aleatória com função distribuição
f ( x) =
k
x, 0 ≤ x ≤ 1
2
a) Determine o consumo médio e o consumo mediano de leite, de uma determinada
família, durante um dia.
b) Calcule o desvio padrão do consumo mensal de uma dada família desse concelho.
c) Obtenha a função distribuição de X e, com base nesta, calcule a probabilidade de
num dia uma dada família consumir entre 0,5 e 0,75 litros.
27. Suponha que as necessidades, nos meses de primavera e verão, de gás natural de
um determinado país podem ser descritas por uma variável aleatória contínua com
função densidade de probabilidade dada por:
f ( x) =
3x 2
, 0≤ x≤2
8
Admita que você é o director da empresa fornecedora do país, GasPor, e que o
ministro desse país propôs que nos meses cujo fornecimento não cobrisse as
necessidades a sua empresa fosse penalizada em 100000€ enquanto no caso
contrário a sua empresa beneficiaria de um prémio de 50000€. Não sendo possível
assegurar mais que 1.5 unidades por mês no abastecimento de gás ao país, acha que
seria vantajoso para a sua empresa aceitar a proposta do ministro? Justifique.
EAG I - EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ____________________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
28.Considere que o tempo gasto por um trabalhador de uma determinada empresa para
chegar ao emprego (em horas) é descrito por uma variável aleatória com a função de
distribuição:
⎧0, x ≤ 0
⎪k
⎪
F(x) = ⎨ ( 4x − x 2 ) , 0<x<2
⎪2
⎪⎩1, x ≥ 2
a) Calcule a probabilidade de um trabalhador demorar menos de 30 minutos a
chegar ao emprego.
b) Determine o tempo médio e o tempo mediano gasto por cada trabalhador para
chegar ao emprego.
29.Admita que numa dada loja de componentes para computadores, as vendas diárias
de processadores das marcas X e Y têm a seguinte função de probabilidade conjunta:
X\Y
0
1
2
0
1/12
1/6
1/12
1
1/6
2
1/12
1/6
1/6
1/12
a) Calcule a probabilidade de num dado dia se vender o mesmo número de
processadores das duas marcas.
b) Determine o número médio de processadores vendidos diariamente da marca X e
o desvio padrão do número de processadores vendidos semanalmente (5 dias) da
marca Y.
c) Pode afirmar que as variáveis são independentes? Justifique.
30.Uma companhia produz artigos, cada um dos quais pode ter 0, 1 ou 2 defeitos, com
probabilidades iguais a 0.7, 0.2 e 0.1, respectivamente. Se um artigo tem dois
defeitos os inspectores retiram-no e substituem-no por um perfeito antes da
distribuição. Seja X o número original de defeitos num artigo produzido e Y o número
de defeitos no correspondente artigo distribuído.
a) Determine a função de probabilidade conjunta.
b) Determine a função de probabilidade de Y.
c) Se um artigo distribuído revela ser perfeito, qual a probabilidade de ser fruto de
uma substituição?
EAG I - EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ____________________________________________________ 3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
31.Numa empresa de aluguer de aviões a procura diária de aviões de passageiros, X, e a
procura diária de aviões de transporte rápido de correio, Y, constitui um variável
aleatória bidimensional (X, Y) cuja função de probabilidade conjunta é dada por:
X
0
1
2
3
Y
0
1
2
0
0,1
0
0,2
0,05
0,1
0,1
0,5
0,25
0,35
p + 0,2
P
a) Complete a tabela, determinando o valor de p.
b) Existe alguma relação entre a procura diária de aviões de passageiros e a procura
diária de aviões de transporte? Justifique.
c) Determine o valor médio e o desvio padrão da procura média diária de aviões de
transporte rápido de correio.
d) Calcule Var (3X+1).
32.Um aluno da Universidade de Évora para se deslocar para as aulas utiliza 2 meios de
transporte, cuja duração conjunta é uma variável aleatória bidimensional (X, Y) com
densidade
⎧k (6 − x − y ) ; 0<x<2, 2<y<4
f ( x, y ) = ⎨
.
⎩0 ; restantes valores
a) Determine a constante k.
b) Calcule o tempo médio de duração do segundo transporte ( Y ).
c) Calcule o tempo mediano de duração do primeiro transporte ( X ).
d) As variáveis X e Y são independentes? Justifique.
EAG I - EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ____________________________________________________ 4
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
32. O conteúdo de leite de certa marca é uma variável aleatória com distribuição
uniforme entre 0,90 e 1,05 litros. Calcule a probabilidade de um pacote de leite ter
menos de 1 litro.
33. Um autocarro chega a uma paragem em intervalos de 15 minutos, a partir das
7h00m. Se um passageiro chegar à paragem segundo uma distribuição uniforme
entre as 7h00m e as 7h30m, calcule a probabilidade de esperar:
a) Menos de 15 minutos;
b) Pelo menos 12 minutos;
c) Entre 1 a 5 minutos.
34.Um comboio chega a uma estação segundo uma distribuição uniforme entre as
10h00m e as 10h15m. Um passageiro chegou à estação às 10h00m.
a) Calcule a probabilidade de esperar mais de 10 minutos pelo comboio.
b) São 10h05m e o comboio ainda não chegou. Calcule a probabilidade do
passageiro esperar pelo menos mais 5 minutos.
35.Suponha que um aparelho de detecção de fogos utiliza quatro células sensíveis à
temperatura, actuando independentemente umas das outras e podendo uma ou mais
activar o alarme. Cada célula possui uma probabilidade de activar o alarme igual a
0,9 quando a temperatura for igual ou superior a 100º C. Seja X = {número de
células que activam o alarme quando a temperatura atinge os 100º C}.
a) Calcule a probabilidade de pelo menos uma das células não funcionar quando a
temperatura atinge os 100º.
b) Calcule a probabilidade de que o alarme funcione quando a temperatura atinge os
100º.
36.Um corrector de seguros vende apólices a 5 homens, todos da mesma idade e em
boas condições de saúde. De acordo com as tábuas actuariais, a probabilidade de um
homem dessa idade estar vivo daqui a 30 anos é igual a 2/3. Determine a
probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) Todos estejam vivos.
b) Pelo menos 3 estejam vivos.
c) Somente 2 estejam vivos.
37.Admita que, entre um determinado fornecedor e um determinado cliente, foi
acordada uma proporção de produtos defeituosos igual a 5%. Admita, ainda, que
aquando da entrega de um lote de grandes dimensões, o cliente decide inspeccionar
25 unidades, aceitando a garantia do fornecedor se, no máximo, uma das 25
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
unidades inspeccionadas for defeituosa. Sabendo que a verdadeira proporção de
unidades defeituosas é igual a 15%:
a) Calcule a probabilidade do cliente aceitar a garantia do fornecedor.
b) Calcule a probabilidade anterior no caso do lote ter 60 unidades das quais 9 são
defeituosas.
c) Calcule a probabilidade do cliente encontrar a primeira unidade defeituosa depois
de inspeccionadas 3 unidades.
d) Em média, ao fim de quantas unidades inspeccionadas espera o cliente encontrar
a primeira defeituosa?
38.Admita que o número de camiões TIR que, por hora, atravessam a ponte Vasco da
Gama segue uma distribuição de Poisson com variância igual a 8. Calcule a
probabilidade de numa hora atravessarem a ponte:
a) Exactamente 4 camiões TIR.
b) Pelo menos 3 camiões TIR.
39.Suponha que, na produção de um determinado tipo de unidades de tecido (calças,
por exemplo), o número médio de defeitos por unidade é igual a 6.
a) Calcule a probabilidade de uma dessas unidades ter pelo menos dois defeitos.
b) Calcule a probabilidade de uma dessas unidades ter no máximo um defeito.
c) Calcule a probabilidade de em 5 unidades haver pelo menos três delas com mais
de 2 defeitos.
d) Admita que se considera que a qualidade melhorou caso o número de defeitos
numa unidade seja inferior a 2.
I.Calcule a probabilidade de, através de uma unidade inspeccionada, concluir que
não houve melhoria.
II.Calcule a probabilidade de necessitar inspeccionar mais de 4 unidades para poder
concluir que a qualidade melhorou.
III.Calcule o número médio de unidades de tecido a inspeccionar até poder concluir
que a qualidade melhorou.
40.Seja X o número de avarias que ocorrem por hora em certo dispositivo, com
distribuição de Poisson, tal que P(X = 1) = P(X = 2).
a) Calcule a probabilidade de ocorrerem quanto muito 4 avarias em ½ hora.
b) Qual a probabilidade de termos de aguardar mais de ¼ hora até ocorrer a 1ª
avaria.
EAG I - EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ____________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
41.O número de pessoas que chega a uma repartição de finanças em cada meia hora é
descrito por um processo de Poisson de média 6. Determine a probabilidade de nos
próximos 5 minutos chegarem 2 clientes.
42.O número de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria por dia tem
distribuição de Poisson com média igual a 2. Admita, ainda, que as actuais instalações
do porto podem atender, no máximo, 3 navios por dia, devendo os eventuais
excedentes seguir para outro porto.
a) Num dia, qual a probabilidade de haver navios que tenham de ser enviados para
outro porto?
b) Qual o número esperado de navios que são atendidos diariamente?
c) Qual o número esperado de navios que terão que se dirigir diariamente a outros
portos?
43.Num sítio de Internet de consulta de artigos científicos, a consulta de cada artigo por
hora é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média igual a 20.
a) Calcule a probabilidade de um determinado artigo ser consultado no máximo 2
vezes em 15 minutos?
b) De entre 12 artigos consultados em 15 minutos, determine a probabilidade de
pelo menos 3 terem no máximo 2 consultas.
44.O tempo de funcionamento (em horas) de um certo equipamento é uma v.a com
distribuição exponencial. Sabendo que o tempo médio de funcionamento é igual a 2
horas:
a) Calcule a probabilidade da primeira avaria ocorrer depois de pelo menos 1 hora de
funcionamento.
b) Comente a proposição: “A probabilidade de um equipamento que está a funcionar
há 3 horas sem avarias continuar a funcionar durante mais 7 horas é inferior à
probabilidade de um equipamento novo funcionar sem avarias pelo menos 7
horas.”.
45.Suponha que um dispositivo electrónico tem um tempo de vida X (em unidades de
1000 horas), descrito por uma v.a. exponencial de média igual a 1 unidade. Admita,
ainda, que o custo de fabrico de um desses dispositivos é igual a 200 € e que o
fabricante o vende por 500€, mas garante o reembolso total se a duração do
dispositivo for menor ou igual a 900 horas. Determine o lucro que o fabricante espera
obter por dispositivo.
EAG I - EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ____________________________________________ 3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
46.Uma determinada empresa tem produção constante de 100 toneladas por mês. Sabese que a procura é uma v. a. Normal com média igual a 80 toneladas e desvio padrão
igual a 10 toneladas.
a) Determine a probabilidade de ocorrer procura excedentária.
b) Para reduzir a probabilidade de ocorrer procura excedentária para 0,0027, a
empresa deve aumentar a sua produção mensal em quantas toneladas.
47.As notas da primeira frequência de uma dada unidade curricular têm distribuição
aproximadamente normal com média igual a 11 e desvio padrão igual a 2,5. Calcule a
nota correspondente ao último decil.
48.O tempo (em horas) que um gestor demora a avaliar um determinado projecto é uma
variável aleatória com distribuição normal com média igual a 10 horas e desvio
padrão igual a 2 horas.
a) Determine a probabilidade do gestor demorar entre 9 e 11 horas a avaliar um
determinado projecto.
b) Se ao gestor fosse pedida uma previsão do tempo necessário para avaliar um
dado projecto, de modo a que a probabilidade do estudo não estar concluído
nesse tempo apenas fosse igual a 0,025, que valor indicaria?
c) O gestor recebe uma compensação monetária sempre que termina a avaliação de
um projecto em menos de 8 horas. Admitindo que o gestor recebeu 7 projectos
distintos para avaliar, calcule a probabilidade de ser compensado em pelo menos
2 projectos.
49.Suponha que a procura semanal de uma determinada marca de óleo lubrificante,
numa dada estação de serviço, segue uma distribuição normal com valor médio igual
a 50 litros e desvio padrão igual a 3 litros.
a) Calcule a probabilidade de numa determinada semana se consumirem entre 45
litros e 65 litros.
b) Comente, sem efectuar cálculos: “Se o stock no início de cada semana for inferior
a 50 litros, então em mais de metade das semanas haverá ruptura de stock.”.
c) Qual deverá ser o stock de óleo no início de uma determinada semana, de modo a
que a probabilidade de haver ruptura de stock, nessa semana, seja igual a 0.015?
50.Seja X a variável aleatória que representa o comprimento de barras de ferro. Sabe-se
que X tem distribuição Normal de valor médio igual a 10 e variância igual a 4.
EAG I - EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ____________________________________________ 4
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Suponha que uma barra é considerada não defeituosa se {8 ≤ X ≤ 12} e defeituosa
em caso contrário.
a) Qual a probabilidade de uma barra, escolhida ao acaso, do fabrico diário, seja não
defeituosa?
b) Qual a probabilidade de que em dez barras escolhidas aleatoriamente do fabrico
diário, pelo menos duas sejam defeituosas?
51.Uma determinada empresa tem produção mensal igual a 100 toneladas. Sabendo que
a procura mensal é uma variável aleatória normal com média 80 toneladas e desvio
padrão 10 toneladas, calcule a probabilidade de num semestre haver procura
excedentária no máximo em dois meses.
52.Admita que os responsáveis de uma determina empresa produtora de açúcar, face a
uma diminuição registada nas vendas do produto, encararam a hipótese de fechar
uma das suas sucursais. De acordo com estudos efectuados, para não encerrar a dita
sucursal, a empresa necessita que a procura semanal (7 dias) seja superior a 65.000
kg. Sabendo que a procura diária de açúcar se distribui normalmente, com média
10.000 kg e desvio-padrão 1.000 kg, determine a probabilidade da sucursal encerrar.
53.Numa multinacional, o responsável pela comercialização de um produto alimentar,
não sazonal e de procura rígida, apurou que as vendas semanais tinham média igual
a 8 toneladas e desvio padrão igual a 1 tonelada. Qual a probabilidade de ao fim de
60 semanas as vendas totalizarem pelo menos 470 toneladas?
54.Suponha que o peso dos indivíduos de uma determinada população segue uma
distribuição normal de média 60 kg e desvio-padrão 10 kg e que tal população utiliza
um elevador público de tara máxima 300 kg para 4 pessoas.
a) Calcule a probabilidade do peso das 4 pessoas exceder a tara máxima.
b) Calcule a probabilidade do peso médio de 4 pessoas:
i)
Exceder 60 kg.
ii) Estar compreendido entre 40 kg e 60 kg.
55.Suponha que o gasto médio em telefone, num conjunto numeroso de empresas do
mesmo ramo de actividade, foi de 2400€/ano com um desvio-padrão de 400€.
Considerando 64 quaisquer dessas empresas, qual a probabilidade do gasto médio
anual de cada empresa ter sido superior a 2500€?
EAG I - EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE ____________________________________________ 5
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
56.O número de defeitos de isolamento por cada 100m de cabo eléctrico tem distribuição
de Poisson com média igual a 4. Determine a probabilidade de em 5 cabos de 1000m
não encontrar nenhum com mais de 50 defeitos.
57.O tempo de realização de uma tarefa é uma variável aleatória com distribuição
normal de desvio padrão igual a 40 minutos. Para estimar o tempo médio μ
consideraram-se 64 realizações da tarefa.
a) Calcule a probabilidade da média da amostra exceder μ em mais de 5 minutos.
b) Calcule a probabilidade da média da amostra se afastar no máximo 2 minutos de μ.
58.Admitindo que um em cada oito alunos de uma dada Universidade tem carro, calcule
a probabilidade de mais de 15% de alunos terem carro numa amostra de 800.
59.Num processo eleitoral, um determinado candidato obteve 45% dos votos. Determine
a probabilidade de, numa secção de voto ter havido uma maioria absoluta de votos a
favor desse candidato, sabendo que o número de votantes foi:
a) 200.
b) 1000.
60.Considere
uma
amostra
X1,X2,...,Xn
proveniente
de
uma
população
X
com
distribuição Uniforme entre 0 e θ real positivo. Verifique que o estimador T = 2 X do
parâmetro θ é não enviesado.
61.A variável aleatória X, que representa o número de avarias de um dispositivo durante
um período de tempo, tem distribuição de Poisson com parâmetro λ desconhecido.
Para este parâmetro foram sugeridos três estimadores:
X + Xn
; λˆ3 = X min
λˆ1 = X ; λˆ2 = 1
2
Qual dos estimadores escolheria? Justifique a sua resposta.
62.Para o parâmetro θ de uma certa população foram indicados dois estimadores:
θˆ 1 e θˆ 2 . Diga qual preferiria, sabendo que k é uma constante e:
n +1
E ⎡⎢θˆ 1 ⎤⎥ =
θ
⎣ ⎦
n
n +1
E ⎡⎢θˆ 2 ⎤⎥ =
θ
⎣ ⎦
n
k
Var ⎡⎢θˆ 1 ⎤⎥ =
⎣ ⎦ n
k
Var ⎡⎢θˆ 2 ⎤⎥ =
⎣ ⎦ n +3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
63.Seja X1, X2, ...,Xn, uma amostra aleatória de uma distribuição com função densidade
dada por
⎧⎪θx θ−1 ;0 < x < 1, θ > 0
f ( x ) = ⎪⎨
⎪⎪0; caso contrário
⎩
a) Determine, pelo método dos momentos, o estimador de θ.
b) Determine, pelo método de máxima verosimilhança, o estimador de θ.
64.Determine, pelo método da máxima verosimilhança, um estimador para a variância
de uma população normal.
65.Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
⎧
1
⎪
⎪
- α, x = 0, 2, 4
⎪
⎪
3
⎪
1
⎪
f ( x | θ ) = ⎨α, x = 1, 3, 5
, com 0 ≤ α ≤
⎪
3
⎪
⎪
0, outros valores de x
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a) Determine, pelo método dos momentos, um estimador para o parâmetro α.
b) Verifique se o estimador encontrado é centrado e consistente.
X1 + X n − 4
.
6
d) Considerando a amostra (1, 0, 5, 2, 3, 1, 0, 3, 4, 4, 5, 2), determine uma
c) Será melhor o estimador encontrado na alínea a) ou o estimador αˆ =
estimativa para o parâmetro α pelo método da máxima verosimilhança.
66.Numa multinacional, o responsável pela comercialização de um produto alimentar,
não sazonal e de procura rígida, apurou que as vendas semanais tinham distribuição
(aproximadamente) normal com média μ toneladas e desvio padrão 1 tonelada e que
ao fim da 30ª semana as vendas totalizaram 235 toneladas.
a) Obtenha um intervalo, com 90% de confiança, para a média μ das vendas
semanais.
b) Qual deve ser a dimensão da amostra para reduzir o erro de estimativa para 200
kg, mantendo o nível de confiança?
67.Numa fábrica de computadores a administração pretende uma estimativa para o
tempo médio de vida de um determinado tipo de disco rígido. Para tal, foi
seleccionada uma amostra constituída por 15 discos rígidos. Com base nesta amostra
obteve-se um tempo médio de vida igual a 27 350 horas. Admitindo que o tempo de
vida segue uma distribuição normal com desvio padrão igual a 3000 horas:
a) Calcule a probabilidade do menor tempo de vida registado ter sido superior a
20000 horas.
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
b) Obtenha um intervalo de confiança a 99% para o tempo médio de vida dos discos
rígidos.
c) Caso pretendesse diminuir para metade a amplitude do intervalo anterior,
quantos discos rígidos deveria observar? Neste caso, diga qual o erro da
estimativa.
68.Com o objectivo de prever a produção de trigo duma certa região dividiu-se a mesma
em pequenos talhões, procedendo-se em seguida ao registo, ao acaso, da produção
de alguns desses talhões. Admita que a quantidade de trigo produzida por talhão tem
distribuição normal com desvio padrão igual a 60 Kg.
a) Determine o número mínimo de talhões que o experimentador deverá analisar se
desejar garantir, com uma confiança de pelo menos 95%, que a média da
amostra difira no máximo 30 Kg do verdadeiro valor da produção média por
talhão.
b) Qual o número mínimo de talhões que será necessário analisar se o nível de
confiança exigido for de 99%?
c) Acha que a hipótese de normalidade é essencial na resolução das alíneas a) e b)?
Justifique a resposta.
69.Um fabricante produz peças cujos diâmetros têm distribuição normal. Uma amostra
aleatória de 20 peças conduziu aos resultados seguintes:
20
∑x
i
= 1999, 60 e
i =1
20
∑ ( x − x)
2
i
= 111,91
i =1
a) Obtenha um I. C. a 95% para o diâmetro médio das peças.
b) Obtenha um I. C. a 95% para a variância do diâmetro das peças.
70.Recolheu-se uma amostra aleatória de 16 tempos de entrega de SMS, de uma dada
operadora, TM, durante o período de Natal, tendo-se obtido uma média igual a 28
segundos e uma variância igual a 36 segundos.
a) Obtenha intervalos de confiança a 95% e a 99% para a média e para a variância
do tempo de entrega de SMS durante o período de Natal.
b) Sabendo que, durante o mês de Outubro, numa amostra de 24 SMS se obteve um
valor médio do tempo de entrega igual a 19 segundos e um desvio padrão igual a
9 segundos, diga se há evidência estatística, ao nível de significância de 5%, que
lhe permita concluir que os tempos de entrega no Natal são superiores aos
tempos
de
entrega
em
Outubro.
Admita
os
pressupostos
que
entender
necessários.
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
71.Considere uma amostra aleatória obtida numa grande cidade, constituída por 2000
indivíduos. Das entrevistas efectuadas constatou-se que 165 pessoas responderam
não ter emprego.
a) Obtenha um intervalo de confiança a 95% para a proporção de indivíduos
desempregados na referida cidade.
b) Caso pretenda reduzir para metade a amplitude do intervalo relativo à alínea
anterior, mantendo o mesmo grau de confiança, qual a dimensão da amostra
adequada? Justifique a resposta.
72.Um determinado Município pretende efectuar uma sondagem junto da população que
vive num bairro mais afastado a fim de determinar a proporção de pessoas que
diariamente utilizam os transportes públicos.
a) Determine o número de munícipes a inquirir de modo a obter um erro de
estimativa máximo igual a 2% para um nível de confiança de 95%.
b) Os meios financeiros disponíveis apenas permitiram inquirir 1000 pessoas, das
quais 150 afirmaram utilizar os transportes públicos regularmente. Obtenha um
intervalo de confiança a 95% para a proporção de munícipes que utilizam
regularmente os transportes públicos. Diga qual o erro de estimativa associado e
comente o resultado obtido.
73.Num determinado período pré eleitoral foi realizada uma sondagem com o objectivo
de analisar a popularidade de dois candidatos A e B num determinado distrito. Para
tal, foram inquiridas 780 pessoas residentes nesse distrito manifestando-se 55% dos
inquiridos a favor do candidato A. Obtenha intervalos de confiança a 90%, 95% e
99% para a percentagem de pessoas do distrito que são a favor do candidato A.
Comente as diferenças obtidas para os três intervalos.
74.A Reitoria de uma dada Universidade dispõe-se a oferecer aos seus 7000 alunos a
possibilidade de estes frequentarem aulas à noite se a procura para este horário for
suficientemente alta. Determine a dimensão apropriada da amostra de alunos a
inquirir para obter uma estimativa, para a proporção de alunos com interesse por
aquele horário, com erro máximo de 5% e uma confiança de 95%.
75.Numas eleições Presidenciais de determinado país foi realizada uma sondagem à boca
das urnas num dado concelho. Nessa sondagem foram inquiridas 210 pessoas, 78 das
quais disseram ter votado no candidato CS.
a) Haverá evidência estatística para concluir, ao nível de 5%, que o candidato CS
obterá nesse Concelho mais de 30% dos votos?
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 4
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
b) As sondagens apresentadas por um canal de televisão, apresentavam o vencedor
com uma votação de 51,5%, com uma confiança de 95% e um erro máximo de
2,23%. Calcule a dimensão da amostra utilizada por esse canal de televisão.
76.As vendas diárias de dois estabelecimentos A e B de certa cadeia são aleatórias.
Suponha que eram conhecidos os seguintes parâmetros:
μ A = 6250 €; σ A = 900 € ; μB = 7000 €; σ A = 750 €
Nestas condições, qual a probabilidade de, em 2 meses de actividade (60 dias), a
média diária de vendas no estabelecimento A se revelar superior à do
estabelecimento B.
77.Uma determinada empresa B dividiu-se em duas sub-empresas, a B1 e a B2, tendo
colocado à disposição dos subscritores acções, de cada uma dessas novas empresas,
com cotações médias de 5,3 e 6,2 euros e desvio padrão de 3,1 e 2,1 euros,
respectivamente. Assumindo que as populações são normais, calcule a probabilidade
de em 16 dias, a diferença entre as cotações das acções médias amostrais ser
superior a 1 euro.
78.O gerente de um banco está interessado em analisar a diferença entre os valores
esperados dos saldos das contas à ordem de duas das suas agências. Para tal, de
cada uma delas recolheu uma amostra aleatória de saldos, tendo-se registado os
seguintes resultados:
A
Dimensão
da amostra
17
Média
amostral
240 euros
Desvio padrão
amostral
13,50 euros
B
13
225 euros
12,05 euros
Agência
Admitindo a normalidade dos dados, obtenha um intervalo de confiança a 90% e
outro a 95% para os saldos médio da agência A e da agência B e para a diferença
entre os saldos médios das contas à ordem das duas agências. Admita os
pressupostos necessários.
79.Para comparar a eficiência de dois métodos de ensino, uma turma de 24 alunos foi
dividida aleatoriamente em dois grupos, sendo aplicado um método diferente a cada
grupo. Os resultados no fim do semestre, numa escala de 0 a 100, foram os
seguintes:
Grupos
I
II
Tamanho Amostra
13
11
Média
74,5
71,8
Variância
82,6
112,6
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 5
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Assumindo que as populações são normais com variâncias iguais, obtenha um
intervalo de confiança a 95% para a diferença entre os valores esperados das duas
populações. Comente.
80.Um comerciante recebeu uma remessa de ovos com a garantia de serem da classe A,
isto é, ovos cujo peso segue uma distribuição normal de média igual a 55gr e desvio
padrão igual a 4gr. Como o fornecedor só lhe concede pouco tempo para reclamar,
resolve pesar 9 ovos e escolhe para nível de significância 5%.
a) Calcule a probabilidade do peso do maior ovo ser inferior a 60 gr, considerando
que os ovos são da classe A.
b) Admitindo que o peso médio dos 9 ovos é igual a 53 gr, qual a decisão que ele
deve tomar? Calcule o valor p do teste e interprete-o.
c) Calcule a probabilidade do erro de 2ª espécie, caso o verdadeiro peso médio dos
ovos seja igual a 52gr.
d) Pretendendo um erro de 2ª espécie β inferior a 10%, mantendo α = 5%, qual
deverá ser o número de ovos que o comerciante deve pesar?
81.Suponha
que
a
média
dos
volumes
de
leite
de
16
embalagens
retiradas
aleatoriamente da linha de produção é igual a 997ml. Admitindo que o desvio padrão
da população, considerada normal, é igual a 5ml:
a) Calcule a probabilidade da embalagem com menor volume de leite na amostra ter
quando muito 990 ml, considerando que a média da população é igual a 1 litro.
b) Há evidência estatística, ao nível de 5%, de que o volume médio dos pacotes de
leite difere de 1 litro?
c) Admitindo que a média da população é igual a 995ml, calcule a probabilidade de
aceitar a hipótese testada na alínea anterior.
82.Admita que, numa determinada produção, o peso de sacos de café é normalmente
distribuído com desvio padrão 10 gramas. Admita, ainda, que a máquina de
enchimento está regulada para sacos de 500 gramas. Nestas condições, para aferir o
funcionamento da máquina analisou-se uma amostra de 9 sacos aleatoriamente
retirados da produção e definiu-se que se rejeitava a hipótese de bom funcionamento
da máquina se X > 510 gramas.
a) Calcule a probabilidade de cometer um erro de 1ª espécie.
b) Se o verdadeiro peso médio dos sacos for igual a 505 gramas, calcule a
probabilidade de aceitar a hipótese de bom funcionamento.
c) Sabendo que o verdadeiro peso médio dos sacos é igual a 505 gramas, qual
deverá ser o tamanho da amostra a retirar da produção se pretender cometer um
erro de 2ª espécie inferior a 15%, mantendo o mesmo erro de 1ª espécie?
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 6
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
83.Os empregados de uma determinada empresa deveriam trabalhar, em média, 8h
diárias. De forma a investigar se os empregados estão a trabalhar mais do que as
horas previstas, o sindicato registou o número de horas que 150 trabalhadores
(escolhidos ao acaso) trabalharam num determinado dia, tendo obtido os seguintes
resultados:
150
∑ xi = 1498
i =1
2
150
∑ ( x − x)
i
= 600
i =1
a) Teste ao nível de significância de 5%, se a empresa deverá ser punida por exigir
que os seus empregados trabalhem mais do que deviam.
b) Qual o tipo de erro que pode cometer relativamente à decisão que tomou?
84.Numa determinada empresa pensa-se importar um grande lote de instrumentos de
precisão, para os quais o fabricante garante um peso médio igual a 100 gr. Sendo o
peso uma característica importante para a qualidade do produto, resolveu-se testar a
veracidade da afirmação do fabricante. Para tal, o departamento técnico da empresa
importadora obteve uma amostra de 15 instrumentos, através da qual se obtiveram
os seguintes valores:
15
∑ xi = 1407 e
i =1
15
∑(x − x )
2
i
= 1674
i =1
Admitindo a normalidade dos pesos, qual a sua opinião, ao nível de significância de
1%, relativamente à afirmação do fabricante.
85.O administrador de um Hospital pretende estimar as contas em aberto (ainda não
cobradas), referentes a tratamentos e internamentos. Admita que o montante de
cada dívida segue uma distribuição normal e que a experiência de anos anteriores
permite considerar um valor para o desvio padrão igual a 50 euros. Para levar a cabo
o seu objectivo, o administrador seleccionou aleatoriamente 25 dessas contas e
avaliou o seu valor, tendo obtido um total em dívida igual a 1850 euros.
a) Determine um intervalo de confiança a 95% para o montante médio de cada
conta não saldada.
b) Poderá afirmar estatisticamente, ao nível de 1%, que o valor médio de cada conta
não saldada é inferior a 100 euros? Que erro pode estar a cometer com a sua
decisão?
c) Admitindo que o verdadeiro valor médio de cada conta não saldada é igual a 85
euros, calcule a probabilidade de cometer um erro de 2ª espécie.
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 7
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
d) Um valor do desvio padrão amostral, obtido com base nas 25 contas, igual a 60
euros, poderá pôr em causa, ao nível de 10%, o valor de σ considerado
anteriormente?
86.Um determinado fornecedor de acesso à Internet tem um pacote que indica uma
velocidade de download de 2MB. Vinte e cinco dos seus clientes mediram as suas
velocidades de download num período que pode ser considerado de menor tráfego,
registando-se uma velocidade média igual a 1.5Mb e um desvio padrão igual a 1 Mb.
Haverá evidência, ao nível de 1%, para podermos concluir que a velocidade de
download é inferior à indicada por esse fornecedor? Admita os pressupostos que
entender necessários.
87.Admita que a direcção comercial de uma determinada empresa pretende lançar um
novo serviço de telecomunicações. De acordo com critérios empresariais, o serviço só
deverá ser lançado no mercado se houver mais de 80% de potenciais compradores.
Assim, para averiguar o eventual lançamento do serviço, a empresa decidiu efectuar
um inquérito a 400 grandes clientes, tendo 340 sido favoráveis à aquisição do novo
serviço.
a) Para um nível significância de 5%, que se pode concluir quanto ao lançamento do
serviço? E para um nível de significância de 1%?
b) Determine o valor p do teste e interprete-o.
88.Um canal de televisão deseja saber qual tinha sido a percentagem de pessoas que
viram determinado programa. Para tal, realizou uma sondagem tendo sido inquiridas
220 pessoas, das quais 132 disseram ter visto o referido programa. Poder-se-á
afirmar, ao nível de 5%, que mais de metade das pessoas viram o programa? Calcule
valor p do teste interprete-o.
89.As pilhas Duramais e Duramuito custam o mesmo preço. De forma a testar se ambas
têm a mesma duração, recolheram-se duas amostras de 100 pilhas de cada marca,
tendo-se obtido os seguintes resultados:
Marca
Dimensão
da amostra
Média
Desviopadrão
Duramais
100
1180
120
Duramuito
100
1160
40
Que pode concluir a um nível de significância de 5%? E a 1%?
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 8
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
90.Suponha que as produções médias de tecido (em gramas) de dois teares de uma
fábrica se podem considerar normais. Admita, ainda, que numa experiência efectuada
com o objectivo de comparar esses dois teares, em termos das suas produções
médias, se obtiveram os seguintes resultados:
8
Tear 1:
∑x
i
= 80,8 gr
i =1
2
i
= 816, 664 gr 2
i =1
9
Tear 2:
8
∑x
∑y
i
= 96,3 gr
i =1
9
∑y
2
i
= 1030,959 gr 2
i =1
a) Ao nível de significância de 5%, teste a igualdade de variância dos teares.
b) Compare, ao nível de significância de 1%, as produções médias dos dois teares.
Admita os pressupostos necessários.
91.Uma repartição de finanças tem dois funcionários a receber declarações de IRS, o Sr.
Vagaroso e o Sr. Caracol. Na semana passada foi destacado um novo Director para
esta repartição. Este, para ter uma ideia do tipo de atendimento ao público realizado
pelos seus funcionários, resolveu consultar o livro amarelo das reclamações, onde
verificou que grande parte das queixas apresentadas eram respeitantes ao
atendimento demasiado moroso do Sr. Vagaroso, especialmente quando comparado
com o tempo de atendimento do Sr. Caracol. Para testar a veracidade destas
afirmações, o director resolveu recolher uma amostra sobre o tempo de atendimento,
em minutos, despendido por cada um destes funcionários com cada utente. Os
resultados amostrais obtidos foram os seguintes:
Funcionário
ni
xi
s i'
Sr. Caracol
16
22
20
Sr. Vagaroso
21
29
12
a) Teste a hipótese de igualdade das variâncias populacionais (considere α = 1%).
b) Supondo que os tempos de atendimento de cada um dos funcionários seguem
uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança a 99% para a
diferença entre os tempos médios de atendimento dos dois funcionários. Comente
os resultados a que chegou.
c) Supondo que os tempos de atendimento de cada um dos funcionários seguem
uma distribuição normal, decida se o director deve ou não concordar com as
queixas dos utentes, ao nível de significância de 5%.
d) Teste a hipótese da variância do tempo de atendimento do Sr. Caracol ser igual a
350, ao nível de significância de 1%.
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 9
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
92.Suponha que uma determinada empresa de cigarros enviou para um laboratório
amostras de tabaco tratado por dois processo diferentes, tendo sido obtidos os
seguintes resultados para cinco medições do conteúdo de nicotina, por mg:
Processo A
24
27
26
21
24
Processo B
27
28
23
31
26
a) Admitindo que os conteúdos de nicotina, por mg, seguem distribuições normais
com desvios padrões iguais a 2 para o processo A e a 2.5 para o processo B, que
pode concluir ao nível de 5%? E ao nível de 1%?
b) Resolva a alínea anterior admitindo que não conhece os desvios padrão.
93.Suponha que pretende fazer um estudo em que se pretende comparar a remuneração
média de homens e mulheres numa certa categoria profissional. Admitindo que a
remuneração tem distribuição normal com desvio padrão igual a 30 unidades
monetárias, determine a dimensão comum das duas amostras (homens e mulheres)
para que, com uma confiança de 95%, seja possível determinar a diferença média
das remunerações com um erro de estimativa que não exceda 10 unidades
monetárias.
94.Um analista financeiro pretende comparar as rendibilidades de dois activos
financeiros X e Y. Admitindo que as rendibilidades seguem uma distribuição normal
com desvios padrões iguais a 0.7 e 0.5 respectivamente, que poderá concluir, ao
nível de 5%, se numa amostra de dimensão 50 a rendibilidade média de X foi igual a
0.8 e a de Y igual a 0.6?
95.Em face do problema da falta de água, foi efectuada uma forte campanha para
incentivar a redução do consumo de água, visando que o consumo médio mensal seja
inferior a 20 m3. No mês seguinte seleccionaram-se, ao acaso, 25 contadores de um
determinado bairro, obtendo-se um consumo médio igual a 19 m3 e um desvio
padrão igual a 2 m3.
a) Adoptando um nível de significância de 5%, poderá afirmar que a campanha
atingiu os objectivos nesse bairro?
b) Num outro bairro, foram seleccionados 27 contadores, obtendo-se um consumo
médio igual a 18 m3 e um desvio padrão igual a 3 m3. Com base num intervalo de
confiança apropriado, poderá afirmar, ao nível de 1%, que o consumo médio de
água é significativamente diferente nos dois bairros? Admita os pressupostos
necessários e indique que tipo de erro pode estar a cometer na sua decisão.
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 10
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
96.Admita que uma amostra aleatória de 400 domicílios de uma determinada cidade
revelou que 8% destes são casas de aluguer, enquanto que, numa outra cidade, uma
amostra de 270 domicílios revelou que 37 eram casas de aluguer. Poderá afirmar
estatisticamente, ao nível de 5%, que há maior percentagem de casas de aluguer em
alguma das duas cidades? Justifique.
97. O Gestor de uma grande empresa decidiu comparar 50 empregados contratados por
meio de um centro de recrutamento com 75 empregados contratados por outras vias.
O resultado mostrou que 50% dos contratados pelo centro falharam a progressão
para o nível médio de administração com 5 anos de empresa, enquanto a
percentagem correspondente do outro grupo foi de 60%. Com base num intervalo de
confiança a 99%, que conclusão pode retirar em relação à eficácia dos métodos de
contratação?
98.Comente a seguintes proposições:
a) “Supondo que o intervalo de confiança a 99% para a diferença de médias é dado
por (0.02, 0.15), então podemos concluir que as médias populacionais diferem ao
nível de 5%.”.
b) “Num teste de hipóteses unilateral direito para a média, com desvio padrão
conhecido, com um valor igual a 2,1 para a estatística de teste, o valor de prova
deste teste leva à rejeição da hipótese nula para um nível de significância superior
a 1%. ”.
c) “O erro de 2ª espécie de um teste de hipóteses aumenta à medida que o
verdadeiro valor do parâmetro a testar se aproxima do valor considerado na
hipótese nula.”.
99.Suponha que um investigador estudou o nível de actividade antes e depois de almoço
em 6 indivíduos, tendo obtido (numa determinada unidade de medida) os seguintes
resultados:
Antes de almoço
51
48
52
48
53
54
48
Depois de almoço
48
47
50
48
45
50
50
Poderá concluir, estatisticamente ao nível de 5%, que o nível de actividade depois de
almoço diminui?
100.
Para se estudar a influência do final da semana no desempenho laboral de
economistas e gestores, pediu-se a um conjunto de 12 gestores e economistas que
realizassem um determinado estudo de impacto económico no início da semana e um
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 11
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
estudo semelhante no final da semana. O desempenho foi medido através de
métodos adequados e apresentado numa escala de (0-20), tendo-se obtido os
seguintes resultados:
Inicio 12
Fim
8
18
19
14
10
13
13
20
16
Desempenho
7
11
10
12
11
14
15
16
17
11
12
6
15
10
Com base num teste não paramétrico adequado poderá afirmar que as classificações
obtidas no teste em diferentes alturas da semana são significativamente diferentes ao
nível de 5%?
101.
Na ficha técnica de uma sondagem recentemente divulgada pode ler-se: “Este
estudo da Eurosondagem para a Renascença, Expresso e SIC foi feito através de
1.028 entrevistas telefónicas validadas a eleitores do Continente, entre 29 de
Novembro e 5 de Dezembro de 2006. A distribuição foi feita proporcionalmente por
idades e regiões. O erro máximo da amostra é de 3%, para um grau de probabilidade
de 95%.”. Comente sobre o método de amostragem utilizado e explicite como se
obtém o valor de 3% para o erro máximo da amostra.
EAG I - EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA___________________________________________________ 12
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. c)
x = 2, 23 ; x% = 2, 00 ; ˆ
x = 1, 00 ; s = 1,52
e) Q1=1,00 ; Q2=2,00; Q3=3,00
f) BII=0; BIS=6; BEI=0; BES=9. Bigodes em 0 e 5. O valor 7 é outlier moderado.
g) g=0.81>0 ou g1=1,04>0 - Assim. Positiva.
K=0,333>0,263 ou g2=-1,82 - Platicúritca.
h)
Statistics
Frequency
2
9
8
6
3
1
1
0
1
2
3
4
5
7
Percent
6,7
30,0
26,7
20,0
10,0
3,3
3,3
Cumulative
Percent
6,7
36,7
63,3
83,3
93,3
96,7
100,0
Repsubs
N
Valid
Missing
Mean
Median
Mode
Std. Deviation
Percentiles
30
0
2,23
2,00
1
1,524
1,00
1,00
2,00
3,00
4,00
10
25
50
75
90
2.
Statistics
N
Valid
Missing
Mean
Median
Mode
Std. Deviation
Skewness
Std. Error of Skewness
Kurtosis
Std. Error of Kurtosis
Minimum
Maximum
Percentiles
10
25
50
75
90
Sector do
papel
20
10
56,00
52,50
50a
17,667
,707
,512
1,419
,992
20
100
40,00
45,00
52,50
60,00
84,50
a. Multiple modes exist. The smallest value is shown
Sector do
Marketing
25
5
55,00
55,00
50
19,579
-,018
,464
,865
,902
10
100
26,00
45,00
55,00
65,00
82,00
Sector do Marketing
Sector do papel
0
20
40
60
80
100
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2006/2007
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
3. Por exemplo, agrupando em classes de amplitude 1000 temos:
contclasses
ni
Valid
(0,1000]
(1000, 2000]
(2000, 3000]
(3000, 4000]
(4000, 5000]
(5000, 6000]
Total
12
8
8
6
4
2
40
Percenfit
30,0
20,0
20,0
15,0
10,0
5,0
100,0
Cumulative
Percent
30,0
50,0
70,0
85,0
95,0
100,0
NI
12
20
28
34
38
40
b) x = 2200 ; x% = 2000 ; ˆ
x = 750
c) P5=166,67; P95=5000
d) Assimétrica positiva; platicúrtica.
e) f)
Statistics
__Contribuições fiscais
N
Mean
Median
Mode
Skewness
Std. Error of Skewness
Kurtosis
Std. Error of Kurtosis
Percentiles
Valid
Missing
5
10
25
50
75
90
95
40
0
2165,0750
2002,0000
2132,00
,634
,374
Contribuições fiscais
-,487
,733
200,4000
483,6000
871,0000
2002,0000
3199,5000
4374,4000
5099,0000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
g) I. 70%; II. 3199.50.
4. b) x% = 5, 6; P90 = 10, 0
c) x = 5, 8 ; proposição verdadeira, pois g2=-2,44<0.
d) Verdadeiro, pois mediana<média.
e) i) Verdadeiro, pois é o ponto médio da classe modal e neste caso as classes
adjacentes têm a mesma frequência.
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA_________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2006/2007
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
ii) Falso, pois 75% tem consumo inferior a 8000€.
f) 33,6%
g) G=0,28
5. a)
Número
de
analistas
4
Ni
Fi
[4,6)
Pontos
médios
(x’i)
5
4
0,08
[6, 8)
7
4
8
0,16
[8, 10)
9
11
19
0,38
[10, 12)
11
8
27
0,54
[12, 14)
13
10
37
0,74
[14, 16]
15
8
45
0,90
[16, 18]
17
5
50
1,00
Classes
b) 11,5
c) i) Falso, P74=14.
ii) Verdadeiro.
d) 58%.
6. b) Bigodes em 11 e 92000. O valor 105 é um outlier moderado.
c) Falso, pois a distribuição é assimétrica positiva.
7. a) Por exemplo, as frequências absolutas são ni = 175, 200, 300, 175, 150.
b) Falso, pois a classe anterior tem maior frequência que a classe posterior.
c) G=0.58.
d) 26,7%.
8. b) Verdadeiro, pois a classe mediana é a classe [22500, 37500).
x% = 35708,19 ; ˆ
x = 24675,17;
c)
Q3=59649,73
d) i) 75742,57
ii) 44,1%
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA_________________________________________ 3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES
9.
a) 0,35
b) 0,05
c) 0,70
d) 0,65
e) 0,17
10.
a) 2/5
b) 2/5
c) 4/25
d) 6/25
e) 2/5, 2/5, 1/10, 3/10
11.
a) 0,20
b) 0,06
c) 0,05
d) Verdadeiro
12.
a) 0,4
b) 0,5
13. Uma
empresa
produtora
de
electrodomésticos
verificou
que
as
causas
de
reclamações que recebeu durante um certo período de tempo se distribuíam da
seguinte forma:
Período de garantia
Fora da garantia
a) 3/37.
Causa das Reclamações
Aparência
Avaria eléctrica Avaria mecânica
90
65
160
60
110
15
b) 90/150
c) Falso
14.
15. Paralelo: 0,99999;
16. (1/3)20 ; 0,054
Série: 0,92
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES
17.1/3
18.
a) 0,12
b) 0,51
19.
a) 0,20
b) 0,20
20.
a) 0,70
b) 0,27
EAG I – SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES_______________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
21.
c) E(X)=10,5€
22. E(X)=-0,59€.
23.Considere a v. a. X (número de unidades vendidas por semana de um dado produto),
com a seguinte distribuição:
x
1
2
3
4
F(x)
0,1
0,4
0,9
1
a) 0,4
b) μ=2,6 e σ=0,8
b) 670€.
24.
a) 0,457
b) 0,295
c) F(4)-F(2)+p(2)=0,736
d) E(X)=2,77
⎧
0; x < 0
⎪
⎪
⎪
2
⎪
x
⎪x
25. a) F( x ) = ⎨ + ;0 ≤ x ≤ 3
⎪
12 12
⎪
⎪
⎪
1;
x>3
⎪
⎪
⎩
E[X] = 15/8; μ% = 2
b) P ( X ≥ 2) = 1/ 2; P (1 ≤ X ≤ 2) = 1/ 3
c) 2,63
d) Var[X] = 39/64
c) γ1= 0,48; γ2=-0,82.
26. a) E(X)=2/3; μ% =
b) σ =
2
2
2
6
⎧0; x < 0
⎪
⎪
⎪ 2
c) F( x ) = ⎪
⎨x ; 0 ≤ x ≤ 1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩1; x > 1
P(0,5≤X≤0,75)=F(0,75)-F(0,5)=0,3125
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
27. E(ganho)=-36718.75€
28. a) 7/16
b) E(X)= 2/3; μ% = 0,59
29. a) P(X=Y)=1/6
b) E(X)=1; 1,83
c) As variáveis não são independentes.
30. a)
X\Y
0
1
2
0
0,7
0
0,1
1
0
0,2
0
b)
Y
p(y)
0
0,8
1
0,2
c) P(X=2 | Y=0) = 0,125
31. a) p= 0,1
b) Sim, porque as variáveis não são independentes.
c) E[Y] = 1,1; Var[Y] = 0,49
d) Var(3X+1)= 7,99
32.
a) 1/8
b) E[Y] = 17/6
c) Mediana X = 0,764
d) Não, porque f(x,y) ≠ f(x)f(y)
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS_________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
32. 2/3
33. a) 1
b) 1/5
c) 4/15
34. a) 1/3
b) 1/2
35. a) 0,3439
b) 0,9999
36. a) 0,1317
b) 0,7901
c) 0,1646
37. a) 0,0931
b) 0,0446
c) 0,1084
d) 6,67
38. a) 0,0573
b) 0,9862
39. a) 0,9826
b) 0,0174
c) 0,9978
d) i) 0,9826 ii) 0,9322 iii) 57,47
40. a) 0,9963
b) 0,6065
41. 0,1839
42. a) 0,1429
b) 1,78
c) 0,22
43. a) 0,1247
b) 0,1811
44. a) 0,6065
b) Falso.
45. 3,28€
46. a) 0,0228
b) Deve aumentar 7,8 toneladas
47. 14,2
48. a) 0,383
b) 13h55m
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
c) 0,31
49. a) 0,95
b) Verdadeira
c) 56,51
50. a) 0,6826
b) 0,8759
51. 0,9998
52. 0,0294
53. 0,9015
⎛
⎞
> 300 ⎟ =0,0013
i =1
⎠
b) i) P ( X > 60 ) =0,5
4
∑X
⎝
54. a) P ⎜
(
i
)
ii) P 40 ≤ X ≤ 60 =0,5
55. 0,0228
EAG I – SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES___________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
56. 0,7799
57 a) 0,1587
b) 0,3108
58. 0,0143
59. a) 0,0681
b) 0,0007
61. λ̂1 é estimador não enviesado e o mais eficiente dos 3.
62. θ̂2 é mais eficiente que θ̂1
X
1− X
a)
θ =
b)
θ =−
n
n
∑ ln ( x )
i
i =1
64.Tem-se:
L(σ
n
2 −2
−
1
n
∑ ( xi −μ )
2
) = ( 2πσ ) .e
1
1
ln L ( σ ) = − ⎡⎣ n ( ln 2π + ln σ ) ⎤⎦ −
∑(x
2
2σ
2
2 σ2
i =1
n
2
2
2
n
( xi − μ )
∑
d ln L
n
i =1
=− 2 +
dσ 2
2σ
2σ 4
Consequentemente,
i =1
i
− μ)
2
2
σ2 =
2
1 n
Xi − X )
(
∑
n i =1
65.Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
⎧
1
⎪
⎪
- α, x = 0, 2, 4
⎪
⎪
3
⎪
1
⎪
f ( x | θ ) = ⎨α, x = 1, 3, 5
, com 0 ≤ α ≤
⎪
3
⎪
⎪
0, outros valores de x
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
a)
α1 =
X −2
3
c) O melhor estimador é α1 , pois é mais eficiente do que α 2 .
d) α1 = 1/ 6 .
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
66.
a) IC90% (μ) =(7,53; 8,13).
b) n =68.
67.
a) P ( X min > 20000 | μ = 27350) = 0,9929 .
b) IC99% (μ) =(25354,6; 29345,4).
c) n=60. Erro da estimativa=997,7.
68.
a) n ≥ 16.
b) n ≥ 27.
c) Sim, porque em ambas a dimensão da amostra é inferior a 30.
69.
a) IC95% (μ) = (98,84; 101,12).
b) IC95% (σ 2 ) = (3,40; 12,56).
70.
a) IC95% (μ) = (24,8; 31,2) ; IC99% (μ) = (23,6; 32,4)
IC95% (σ 2 ) = (19,6; 86,3) ; IC99% (σ 2 ) = (16,5; 117,4)
⎧⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
b) ⎪
⎨
⎪⎪
⎩ H1 : μ1 − μ2 > 0
Como T= 3.51 rejeita-se H0 ao nível de 5%.
71.
a) IC95% ( p ) = (0,070; 0,095)
b) Para reduzir a amplitude para 0,01:
p̂ for conhecido e igual a 0,0825, n ≥ 11632
Se p̂ não for conhecido toma-se p̂ =0,5, vindo n ≥ 38416
Se
72.
a) n ≥ 2401.
b) IC95% ( p ) =(0,128; 0,172).
73.
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA________________________________________ 2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
IC90% ( p ) = (0,521;0,579)
IC95% ( p ) = (0,515;0,585)
IC99% ( p ) = (0,504;0,596)
74. n ≥ 385.
75.
⎧
⎪H 0 : p = 0.3
a) ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩H1 : p > 0.3
Como Z=2,21, rejeita-se H0 ao nível de 5%.
b) n=1931 ou n=1932.
76. P ( X 1 − X 2 > 0) = 0 .
77. P ( X 1 − X 2 > 1) = 0, 4774 .
78.
IC90% (μ1 − μ2 ) = (6,92; 23, 08)
IC95% (μ1 − μ2 ) = (5, 27; 24, 73)
79. IC95% (μ1 − μ2 ) = (-5,64; 11,04)
80.
a)
P ( X max < 60 | μ = 55) = 0,3663
⎧
⎪ H 0 : μ = 55
b) ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ H1 : μ ≠ 55
Como Z=-1,5, não se rejeita H0 ao nível de 5%.
Valor p= 0,1336.
c) β= 0,3859
d) n≥19
80*.
⎧
⎪ H : μ = 55
b) ⎪⎨ 0
⎪
⎪
⎩ H1 : μ < 55
Como Z=-1,5, não se rejeita H0 ao nível de 5%.
Valor p= 0,0668
c) β= 0,2709
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA________________________________________ 3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
d) n≥16
81.
a) P ( X min ≤ 990 | μ = 1000) = 0,3086
⎧ H : μ = 1000
⎪
b) ⎪⎨ 0
⎪
⎪
⎩ H1 : μ ≠ 1000
Como Z= -2,4 rejeita-se H0 ao nível de 5.
c) 0,0207
82.
a) α=0,0013
b) β=0,9332
c) n ≥ 66.
83.
⎧
⎪H : μ = 8
a) ⎪⎨ 0
⎪
⎪
⎩ H1 : μ > 8
Como T=12,13 rejeita-se H0 ao nível de 5%.
b) Erro do tipo I.
84.
⎧⎪⎪ H 0 : μ = 100
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ ≠ 100
Como T= -2,20 não se rejeita H0 ao nível de 1%.
85.
a) IC95% (μ) = (54, 4;93, 6)
⎧⎪ H : μ = 100
b) ⎪⎨ 0
⎪⎪⎩ H1 : μ < 100
Como Z= -2,60 rejeita-se H0 ao nível de 1%.
Erro do tipo I.
c) β=0,7967
⎧⎪H 0 : σ 2 = 2500
d) ⎪
⎨
2
⎪⎪H1 : σ ≠ 2500
⎩
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA________________________________________ 4
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Como Χ 2 = 34.56 , não se rejeita H0 ao nível de 10%.
86.
⎪⎧⎪ H 0 : μ = 2
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ < 2
Como T= -2,50 rejeita-se H0 ao nível de 1%.
87.
⎧⎪H : p = 0.8
a) ⎪⎨ 0
⎪⎪⎩H1 : p > 0.8
Como Z = 2.5 , rejeita-se H0 ao nível de 5% e ao nível de 1%.
b) p = 0,0062.
88.
⎪⎧⎪ H 0 : p = 0,5
⎨
⎪⎪⎩ H1 : p > 0,5
Como Z= 2,97 rejeita-se H0 ao nível de 5%.
p=0,0015
89.
⎧⎪⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ1 − μ2 ≠ 0
Como Z= 1,58 não se rejeita H0 ao nível de 5% e, consequentemente, ao nível de 1%.
90.
⎧⎪H : σ 2 = σ22
a) ⎪⎨ 0 12
2
⎪⎪H1 : σ1 ≠ σ2
⎩
Como F=1,20 não se rejeita H0 ao nível de 5%.
⎧
⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
b) ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ H1 : μ1 − μ2 ≠ 0
Como T=-4,49 rejeita-se H0 ao nível de 1%.
91.
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA________________________________________ 5
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
⎧⎪H 0 : σ12 = σ22
a) ⎪
⎨
2
2
⎪⎪H1 : σ1 ≠ σ2
⎩
Como F=2,78 não se rejeita H0 ao nível de 1%
b) IC99% (μ1 − μ2 ) = (-21,42; 7,42)
⎧
⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
c) ⎪
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ1 − μ2 < 0
Como T= -1,32 não se rejeita H0 ao nível de 5%.
⎧
⎪
H 0 : σ12 = 350
⎪
d) ⎨
2
⎪
⎪
⎩ H1 : σ1 ≠ 350
Como χ2= 17,14 não se rejeita H0 ao nível de 1%.
92.
⎧⎪ H : μ − μ2 = 0
a) ⎪⎨ 0 1
⎪⎪⎩ H1 : μ1 − μ2 ≠ 0
Como Z= -1,82 não se rejeita H0 ao nível de 5% e, consequentemente, ao nível de 1%.
b)
Como T= -1,57 não se rejeita H0 ao nível de 5% e, consequentemente, ao nível
de 1%.
93. n1=n2≥70.
94.
⎧⎪⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ1 − μ2 ≠ 0
Como Z= 1,64 não se rejeita H0 ao nível de 5%.
95.
⎧
⎪ H 0 : μ = 20
a) ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ H1 : μ < 20
Como T= -2,50 rejeita-se H0 ao nível de 5%.
b)
⎧⎪⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ1 − μ2 ≠ 0
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA________________________________________ 6
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Como T= 1,40 não se rejeita H0 ao nível de 1%.
96.
⎪⎪⎨⎧ H 0 : p1 − p2 = 0
⎪⎪⎩ H1 : p1 − p2 ≠ 0
Como Z= -2,29 rejeita-se H0 ao nível de 5%.
97.
IC99% ( p2 − p1 ) =(-0,13; 0,33)
98.
a) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira
99.
⎧⎪⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ1 − μ2 > 0
Como T=1,89 não se rejeita H0 ao nível de 5%.
100.
⎧⎪⎪ H 0 : μ1 − μ2 = 0
⎨
⎪⎪⎩ H1 : μ1 − μ2 ≠ 0
Como T=1,36 não se rejeita H0 ao nível de 5%.
101.
1,96
0,5× 0,5
(=3,06%)
1028
Nota: No caso dos testes de hipóteses deve dizer-se sempre o que significa, em cada
contexto, rejeitar ou não rejeitar a hipótese testada.
EAG I – SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA________________________________________ 7
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
AULA DE SPSS
1. Abordagem inicial ao SPSS
Conhecimento básico dos Menus
• File, Edit: Menus idênticos aos existentes em qualquer software.
Servem para abrir, guardar, imprimir, etc, ficheiros.
• View: Muda a fonte em que se escrevem os dados, permite visualizar o
rótulo das variáveis.
• Data: Funções relacionadas com a alteração estrutural do ficheiro de
dados. Menu onde se inserem e definem as variáveis a utilizar
• Transform: É usado para calcular novos valores e variáveis e
recodificar variáveis, nomeadamente, é utilizado para a construção de
classes.
• Analyse: Menu que contém as ferramentas de análise, desde as
ferramentas da estatística descritiva, como a construção de
distribuições de frequências e a regressão, até à análise dos dados
através de análise de variância, séries temporais, análise de
sobrevivência, testes não paramétricos, dados categorizados, etc, etc
• Graphs: Construção de todo o tipo de gráficos.
2. Introdução dos dados
• Introduzir dados:
File →New→data
o Tipo de variáveis: numéricas, de caracteres, etc.
- Data → Define variable
o Definição do nome da variável (Só pode ter no máximo 8
caracteres e começar por uma letra)
→ Variable Name
o Tipo: String, Numeric..
→Type
o Formato: Nominal, Ordinal, Scale.
→Measurement
Licenciatura em GESTÃO ____________________________________________________________________1
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
AULA DE SPSS
o Rótulos: Nome do rótulo
→ Labels→ Value Label
(Exemplo 0 – Mascluino 1 – Feminino)
o Gravar ficheiro
o Abrir Ficheiro
• De um ficheiro Excel
É necessário que o Excel tenha os dados num formato que
seja possível o SPSS ler: o nome das variáveis só pode ter,
no máximo, oito caracteres.
→ File → Open →ficheiro do tipo *.xls
• De um ficheiro SPSS
→ File → Open →nome.sav
3. Estatística Descritiva
• Caracterizar a variável na folha Variable View
• Analyze → Descriptive Statistic → Frequencies
- Escolha das variáveis
- Quadro de frequências
- Analisar as opções: Statistics, Graphs.
• Representações gráficas
- Gráficos de barras
- Box-Plot
- Histogramas
Licenciatura em GESTÃO ____________________________________________________________________2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
AULA DE SPSS
NOTA:
A medida de Assimetria usada pelo SPSS:
n ∑ n i (x i − x )
3
m3
n2
g1 =
=
(n −1)(n − 2)s '3 (n −1)(n − 2) s '3
i
Erro padrão de g1:
6n (n −1)
(n − 2)(n + 1)(n + 3)
distribuição simétrica→ g1=0
distribuição assimétrica positiva → g1>0
distribuição assimétrica negativa → g1<0
A medida de Achatamento usada pelo SPSS é:
n (n + 1) m4
(n −1)
− 3×
g2 =
4
−
−
−
1
2
3
'
n
n
n
s
(
)(
)(
)
(n − 2)(n − 3)
2
distribuição mesocúrtica → g2 = 0
distribuição platicúrtica → g2 < 0
distribuição leptocúrtica → g2 > 0
Licenciatura em GESTÃO ____________________________________________________________________3
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
AULA DE SPSS
Se pretendermos construir classes:
Transform/Recode/Into Different Variables...
Seleccionar variável ContFisc como Numeric Variable
Para Output Variable definir
Name: CFClas
Label: CFClas
Clique em Old and New Values
New Value
Old→New
0 Through 1000
1
Add
1000 Through 2000
2
Add
2000 Through 3000
3
Add
3000 Through 4000
4
Add
4000 Through 5000
5
Add
5000 Through 6000
6
Add
Old Value
Range:
Continue
Change
Ver outputs no exercício 4
Licenciatura em GESTÃO ____________________________________________________________________4
Aula 2 de SPSS
(Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Lisboa
13.6
16.8
15.0
16.5
12.2
12.5
18.5
12.8
18.0
16.7
Porto
13.4
8.0
15.7
16.0
15.0
12.3
12.5
11.4
13.6
Resultado
13.6
16.8
15.0
16.5
12.2
12.5
18.5
12.8
18.0
16.7
13.4
8.0
15.7
16.0
15.0
12.3
12.5
11.4
13.6
Cidades
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Inicio
12
18
14
13
20
7
11
10
15
17
12
15
Fim
8
19
10
13
16
12
11
14
16
11
6
10
Antes
51
48
52
48
53
54
48
Depois
48
47
50
48
45
50
50
Os dados Lisboa e Porto (Resultado e Cidade) correspondem a classificação de desempenho de empregados de determinada empresa nas
sucursais de Lisboa a Porto.
Os dados (Início, Fim) e (Antes, Depois) correspondem aos exercícios 100 e 99, respectivamente, da folha de exercícios de EAG1.
Group Statistics
Classificação dos
empregados
Cidades
Lisboa
Porto
N
Mean
15.260
13.100
10
9
Std. Deviation
2.3533
2.4754
Std. Error
Mean
.7442
.8251
One-Sample Test
Test Value = 0
t
Classificação dos
empregados da
socursal de Lisboa
df
20.505
9
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
.000
15.2600
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
13.577
16.943
Dos outputs anteriores podemos, por exemplo, retirar a seguinte informação:
•
IC95%(µL) = (13.577; 16.943)
•
⎧ H 0 : µ L = 13
⎨
⎩ H 1 : µ L > 13
E.T.
T=
X − µ0
S
n
∩t
(n − 1)
Rc: [1.833; +∞ [
T0 = (15.26-13) /0.7442 = 3.037 ∈ Rc → Rejeitar H0 a 5%
Para efectuar o teste acima, caso “Test Value = 13” bastaria olhar para o valor p do teste e dividir por 2, pois neste caso temos um teste unilateral.
Note-se que para obter o IC95%(µL), teríamos de adicionar o valor colocado em “Test Value”, tal como se pode observar facilmente no output
seguinte:
One-Sample Test
Test Value = 13
t
Classificação dos
empregados da
socursal de Lisboa
•
df
3.037
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
.014
2.2600
9
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
.577
3.943
⎧ H 0 : µ L = 13
⎨
⎩ H 1 : µ L > 13
E.T.
T=
X − µ0
S
n
∩t
(n − 1)
T0= 3.037
p =0.014/2 = 0.007 → Rejeitar H0 aos níveis usuais de significância.
Amostras Independentes
Compare-se as classificações de Lisboa e Porto considerando nível de significância de 10%
Independent Samples Test
Levene's Test for
Equality of Variances
F
Classificação dos
empregados
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
.140
Sig.
.713
t-test for Equality of Means
t
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference
90% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
1.949
17
.068
2.1600
1.1080
.2325
4.0875
1.944
16.565
.069
2.1600
1.1112
.2241
4.0959
Teste T: duas amostras com variâncias iguais
Teste F: duas amostras para variâncias
Variável 1 Variável 2
15.26
13.1
5.538222
6.1275
10
9
9
8
0.903831
0.437754
0.309638
Média
Variância
Observações
gl
F
P(F<=f) uni-caudal
F crítico uni-caudal
•
E.T.
Variável 1
Variável 2
15.26
13.1
5.538222222
6.1275
10
9
5.815529412
0
17
1.94941174
0.03397036
1.739606432
0.06794072
2.109818524
⎧H 0 : µ L = µ P
⎧H 0 : µ L − µ P = 0
⇔⎨
⎨
⎩H1 : µ L ≠ µ P
⎩H1 : µ L − µ P ≠ 0
T=
(X
1
− X 2 ) − (µ1 − µ 2 )0
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S 2
n1 + n 2 − 2
•
Média
Variância
Observações
Variância agrupada
Hipótese de diferença de média
gl
Stat t
P(T<=t) uni-caudal
t crítico uni-caudal
P(T<=t) bi-caudal
t crítico bi-caudal
∩t
1
1
+
n1 n 2
⎧H 0 : µ L − µ P = 0
⎧H 0 : µ L = µ P
⇔⎨
⎨
⎩H1 : µ L − µ P > 0
⎩H1 : µ L > µ P
Se pretendermos testar
⎧H 0 : µ L − µ P = 1
⎧H : µ = µ P + 1
• ⎨ 0 L
⇔⎨
⎩H 1 : µ L − µ P > 1
⎩H 1 : µ L > µ P + 1
(n1 + n2 − 2) ;
T0= 1.949
T0= 1.949
p = 0.068 < 0.1→ Rejeitar H0 a 10%
p = 0.068 /2 = 0.034 < 0.1→ Rejeitar H0 a 10%
Rc: [1.333; +∞ [
T0 =
2.16 − 1
= 1.047 ∉ Rc → Não Rejeitar H0 a 10%
1.108
O pressuposto de variâncias homogéneas facilmente é verificado. Por exemplo, através do output obtido pelo EXEL podemos efectuar o teste
paramétrico:
⎧
σ L2
:
=1
H
⎪ 0
⎧⎪ H 0 : σ L2 = σ P2
σ P2
⎪
⇔⎨
⎨
2
⎪⎩ H 1 : σ L2 > σ P2
⎪H : σ L > 1
⎪ 1 σ2
P
⎩
onde F0 = 0.904
e
p = 0.438→ Não Rejeitar H0 aos níveis usuais de significância.
Já através do output do SPSS podemos chegar a conclusões semelhantes através dos resultados do teste não paramétrico de Levene.
Amostras Emparelhadas
Paired Samples Statistics
Pair
1
Inicio
Fim
Mean
13.67
12.17
N
12
12
Std. Deviation
3.627
3.664
Std. Error
Mean
1.047
1.058
Paired Samples Test
Paired Differences
Pair 1
Inicio - Fim
Mean
1.500
Std. Deviation
3.826
Std. Error
Mean
1.104
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
-.931
3.931
t
1.358
df
11
Sig. (2-tailed)
.202
Teste T: duas amostras emparelhadas para médias
Variável 1
Variável 2
13.6666667 12.1666667
13.1515152 13.4242424
12
12
0.4492825
Média
Variância
Observações
Correlação de Pearson
Hipótese de diferença de
média
gl
Stat t
P(T<=t) uni-caudal
t crítico uni-caudal
P(T<=t) bi-caudal
t crítico bi-caudal
•
0
11
1.35820488
0.10080121
1.79588369
0.20160241
2.20098627
⎧H 0 : µ I − µ F = 0
⎧H 0 : µ I = µ F
⇔⎨
⎨
⎩H 1 : µ I − µ F ≠ 0
⎩H 1 : µ I ≠ µ F
E.T.
T=
D − µ0
SD
n
∩t
(n − 1)
onde T0 = 1.358
e
p = 0.202→ Não Rejeitar H0 aos níveis usuais de significância.
1. Para avaliar o desempenho de duas agências de um dado banco na subscrição de Planos Poupança,
observaram-se os valores subscritos na agência A durante 6 semanas obtendo-se uma média igual
a 120 e um desvio padrão igual a 20 unidades monetárias; observaram-se também os valores
subscritos na agência B durante 8 semanas obtendo-se uma média igual a 99 e um desvio padrão
igual a 25 unidades monetárias.
a) Admitindo que os valores subscritos em Planos Poupança seguem distribuições normais, verifique
que pode assumir a igualdade das variâncias das populações e obtenha e interprete um intervalo
de confiança a 95% para a diferença média dos valores subscritos em Planos Poupança nas duas
agências.
b) Com base no output do SPSS, comente a seguinte proposição: “Existe evidência estatística na
amostra, ao nível de 5%, de que o valor médio subscrito em Planos Poupança na agência A é
superior a 100 unidades monetárias por semana.”.
One-Sample Test
Test Value = 100
AgênciaA
t
2,453
df
5
Sig. (2-tailed)
,058
Mean
Difference
20,000
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
-,96
40,96
2. O serviço de transportes públicos de uma grande cidade tem vindo a ser alvo de fortes críticas
desde que alterou os itinerários da sua rede de transportes. Em particular, os utentes de um
determinado percurso afirmam que com o novo sistema os trajectos entre casa e trabalho têm uma
duração média superior a 10 minutos aos registados com o antigo sistema. O serviço de transportes
resolveu estudar a situação e seleccionou aleatoriamente 12 autocarros, registando os tempos que
demoraram a fazer um determinado percurso, antes e depois da implementação do novo sistema:
Antes
20 17 23 30 20 35 38 22 21 26 18 16
Depois 32 34 43 44 33 35 36 45 42 48 34 32
A partir destes dados obteve-se o seguinte output do SPSS:
Paired Samples Test
Paired Differences
Mean
Pair 1
Antes - Depois
?
Std. Deviation
8,00
Std. Error
Mean
2,31
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
-19,41
-9,26
t
?
df
11
Sig. (2-tailed)
,00007
Admitindo que os tempos de percurso seguem uma distribuição aproximadamente normal, acha que
a amostra apresenta evidência estatística que suporte a veracidade da afirmação dos utentes ao
nível de 5%? Obtenha os dois valores que faltam no output.
3. Admita que pretende comprar uma máquina e que tem duas propostas alternativas. Para avaliar o
desempenho das duas máquinas alternativas A e B observaram-se, num período experimental de
12 dias, os índices de produtividade obtidos com cada uma. Como a máquina A tem um custo
ligeiramente superior, apenas se avançará para a sua compra no caso da diferença de produtividade
entre as duas máquinas ser superior a 2 unidades no referido índice. Realizada uma análise de
dados que se entendeu conveniente, obteve-se o seguinte output:
Group Statistics
Prod
Máquinas
Máquina A
Máquina B
N
12
12
Mean
126,6667
104,0833
Std. Deviation
16,67515
26,19666
Std. Error
Mean
4,81370
7,56233
Independent Samples Test
Levene's Test for
Equality of Variances
F
Prod
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
1,780
Sig.
,196
t-test for Equality of Means
t
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference
90% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
2,519
22
,020
22,58333
8,96440
7,19016
37,97650
2,519
18,657
,021
22,58333
8,96440
7,06809
38,09858
Refira o que pode concluir a partir do output apresentado. Ao nível de 5%, que máquina
aconselharia a administração a comprar?
4. Realizou-se uma análise estatística aos ganhos por hora de trabalho, numa determinada unidade
monetária, a partir de uma amostra aleatória de 8 indivíduos com uma determinada profissão
liberal A e de uma amostra aleatória de 6 indivíduos com uma profissão liberal B, tendo-se obtido
os seguintes outputs:
Teste F: duas amostras para variâncias
Variável 1
Média
61.5000
Variância
878.8571
Observações
8
gl
7
F
1.0055
P(F<=f) uni-caudal
0.5162
Variável 2
36.6813
874.0556
6
5
Teste T: duas amostras com variâncias iguais
Média
Variância
Observações
Variância agrupada
Hipótese de diferença de média
gl
Stat t
P(T<=t) uni-caudal
t crítico uni-caudal
P(T<=t) bi-caudal
Variável 1 Variável 2
61.5000 36.68133
878.8571 874.0556
8
6
876.8565
0
12
1.5519
0.0733
1.7823
0.1466
Admitindo a normalidade das remunerações, poderemos concluir, ao nível de 10%, que o ganho médio
por hora na profissão A é superior ao ganho médio por hora na Profissão B? E superior a 2 unidades?
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
FORMULÁRIO DE APOIO I
xp = li +
np − N i−1
× Ri
ni
s2 =
⎧⎪ x[np ] + x[np ]+1
⎪⎪
, np ∈ `
xp = ⎪⎨
2
⎪⎪
⎪⎪⎩ x[np ]+1 , np ∉ `
1 n
2
ni ( xi − x )
∑
n i=1
[Q1 − 3IQ, Q3 + 3IQ ]
IQ = Q3 − Q1
k
m3 = m − 3m m + 2 (m )
'
3
'
2
' 3
1
'
1
∑ n (x − x )
r
i
mr =
m4 = m4' − 4m3' m1' + 6m2' (m ) − 3(m )
' 2
1
' 4
1
i
i =1
n
k
∑n x
r
i i
mr' =
γ1 =
i =1
n
i
pi =
γ2 =
j =1
k
qi =
j
∑ ni xi
j =1
k
∑n x
g=
Q3 − Q1
Q3 − Q1
2 ( P90 − P10 )
x − xˆ
s
k −1
∑q
i
G = 1−
i i
j =1
(Q3 − x)− ( x − Q1 )
m4
−3
s4
i
∑ nj
∑n
m3
s3
i =1
k −1
∑p
P ( Ai | B ) =
n
P ( B ) = ∑ P ( B | Ai )P ( Ai )
n
∑ P ( A ) P (B | A )
k
i
, i = 1, 2, ..., n
k
k =1
i =1
j =1
P ( Ai )× P ( B | Ai )
P ( A − B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B )
i =1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B | A) = P ( B ) P ( A | B )
x
F ( x) = ∑ P ( X = k ) ; F ( x) = ∫ f (u )du
k ≤x
μ = E(X
'
m
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
−∞
m
) = ∑ ( x) P ( X = x)
m
x
+∞
; μ = ∫ x m f ( x)dx
'
m
−∞
m
m
μm = E ⎢⎡( X − E ( X )) ⎥⎤ = ∑ ( x − E ( X )) P ( X = x ) ; μm =
⎣
⎦
x
m
−∞
∫
f ( x, y )dy
−∞
y
x
∫ ( x − E ( X ))
+∞
p ( x ) = P ( X = x ) = ∑ P ( X = x, Y = y ) ; f X ( x ) =
p ( y ) = P ( Y = y ) = ∑ P ( X = x, Y = y ) ; f Y ( y ) =
+∞
+∞
∫
f ( x, y )dx
−∞
σ XY = C ov( X , Y ) = E ⎡⎣( X − E ( X ) )(Y − E (Y ) ) ⎤⎦ = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
E ( XY ) = ∑∑ xi y j P ( X = xi , Y = y j ) ; E ( XY ) =
xi
yj
+∞ +∞
∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy
−∞ −∞
f ( x)dx
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
FORMULÁRIO DE APOIO I
Var ( X ± Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) ± 2C ov( X , Y )
⎛ n⎞
n− k
P ( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ p k (1− p ) , k = 0, 1, ..., n ; E ( X ) = np ; Var ( X ) = np(1- p)
⎜⎝k ⎠⎟
k −1
P ( X = k ) = (1− p )
P( X = k) =
p, k = 1, 2, ... ; E ( X ) =
1
1- p
; Var ( X ) = 2
p
p
e−λλ k
, k = 0, 1, ... λ > 0 ; E ( X ) = Var ( X ) = λ
k!
(b - a)
x−a
a +b
1
f ( x) =
a < x < b ; F ( x) =
, a < x < b ; E( X ) =
; Var ( X ) =
b−a
b−a
2
12
2
f (t ) = λe−λt , t ≥ 0 λ >0 ; F (t ) = 1− e−λt , t ≥ 0 λ >0 ; E (T ) =
∑X
i
i
(
& N nμ , σ n
∩
)
;
1
λ
; Var (T ) =
X − np
X −λ
& N (0,1) ;
& N (0,1)
∩
∩
np (1 − p )
λ
EAG I – FORMULÁRIO DE APOIO I____________________________________________________ 2
1
λ2
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão II - 2007/2008
SEGUNDA FREQUÊNCIA – 7 de Dezembro de 2007
⎛ n⎞
n−k
P ( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ p k (1− p ) , k = 0, 1, ..., n ; E ( X ) = np ; Var ( X ) = np (1- p)
⎜⎝k ⎟⎠
k −1
P ( X = k ) = (1− p )
P( X = k) =
p, k = 1, 2, ... ; E ( X ) =
1
1- p
; Var ( X ) = 2
p
p
e−λλ k
, k = 0, 1, ... λ > 0 ; E ( X ) = Var ( X ) = λ
k!
(b - a)
x−a
a +b
1
f ( x) =
a < x < b ; F ( x) =
, a < x < b ; E( X ) =
; Var ( X ) =
b−a
b−a
2
12
2
f (t ) = λe−λt , t ≥ 0 λ >0 ; F (t ) = 1− e−λt , t ≥ 0 λ >0 ; E (T ) =
∑X
i
(
N nμ , σ n
∩
i
)
;
1
λ
; Var (T ) =
1
λ2
X − np
X −λ
⎛ σ ⎞
N (0,1) ;
N (0,1) ; X ∩ N ⎜ μ,
∩
∩
⎟
n⎠
λ
np (1 − p )
⎝
() ()
EQM ( θˆ ) = Var ( θˆ ) + ⎡ Env ( θˆ ) ⎤
⎣
⎦
Env θˆ = E θˆ − θ
{
2
lim E θ = θ ; lim Var θ = 0
n →∞
()
n →∞
()
n
n
k =1
k =1
L ( θ ) = ∏ f ( x k ) ou L ( θ ) = ∏ P ( X = x k )
2
⎧⎪ ⎡ d
⎡ d2
⎤
⎤ ⎫⎪
I ( θ ) = E ⎨ ⎢ ln f ( x | θ ) ⎥ ⎬ = −E ⎢ 2 ln f ( x | θ ) ⎥
⎦ ⎪⎭
⎣ dθ
⎦
⎪⎩ ⎣ dθ
+∞
⎧ '
r
r
'
r
⎪μ r = E ( X ) = ∑ ( x k ) P ( X = x k ) ; μ r = ∫ x f (x)dx
xk
−∞
⎪⎪
μ'r = m'r com ⎨
n
r
( xi )
⎪
∑
⎪ m 'r = i=1
⎪⎩
n
⎛
⎛
σ
σ ⎞
X −μ
s
s ⎞
; ⎜x − t
∩ t n −1 ; ⎜ x − z α ×
,x+t
, x+z α ×
⎟
⎟
α ×
α ×
n −1, 1−
n −1, 1−
S
1−
1−
n
n⎠
n
n⎠
⎝
2
2
⎝
2
2
n
UNIVERSIDADE DE ÉVORA - Departamento de Matemática
ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO I - 2007/08
FORMULÁRIO DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
INTERVALOS DE CONFIANÇA
⎛ σ ⎞
X ∩ N ⎜ μ,
⎟
n⎠
⎝
⎛
σ
σ ⎞
, x+z α ×
⎜ x − z1− α ×
⎟
1−
n
n⎠
2
2
⎝
Z=
X − μ0
σ
n
X −μ
∩ t n −1
S
n
⎛
s
s ⎞
,x+t
⎜ x − t n −1, 1− α ×
⎟
α ×
n −1, 1−
n
n⎠
2
2
⎝
T=
X − μ0
S
n
( n − 1) S2 ∩ χ2
σ2
n −1
ESTATÍSTICA DE TESTE
⎛
⎞
⎜ 2 n −1 2 n −1 ⎟
,s 2 ⎟
⎜ s χ2
χα ⎟
α
⎜
1− ,n −1
,n −1
2
2
⎝
⎠
⎛
p (1 − p ) ⎞
N ⎜ p,
⎟
p̂ ∩
⎜
⎟
n
⎝
⎠
⎛
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ ) ⎞
⎜ pˆ − z α ×
⎟
, pˆ + z α ×
1−
1−
⎜
⎟
n
n
2
2
⎝
⎠
S12 σ22
× ∩ Fn1 −1,n2 −1
S22 σ12
⎛ s22
⎞
s22
F
,
⎜ 2 n −1,n −1, α 2 Fn −1,n −1, 1− α ⎟
2 ⎠
⎝ s1 1 2 2 s1 1 2
⎛
σ2 σ2 ⎞
X1 − X 2 ∩ N ⎜ μ1 − μ 2 , 1 + 2 ⎟
⎜
n1 n 2 ⎟⎠
⎝
⎛
σ2 σ2
σ2 σ2 ⎞
⎜ x1 − x 2 − z α × 1 + 2 , x1 − x 2 + z α × 1 + 2 ⎟
⎜
1−
1−
n1 n 2
n1 n 2 ⎟⎠
2
2
⎝
Χ
2
Z=
n − 1) S2
(
=
σ02
p̂ − p0
p0 (1 − p0 )
n
F=
(X
1
S12
S22
− X 2 ) − ( μ1 − μ 2 )0
σ12 σ22
+
n1 n 2
UNIVERSIDADE DE ÉVORA - Departamento de Matemática
ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO I - 2007/08
FORMULÁRIO DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
(X
1
− X 2 ) − ( μ1 − μ 2 )
1 1
Ŝ
+
n1 n 2
∩ t n1 + n2 −2
( n1 − 1) S12 + ( n 2 − 1) S22
com Sˆ =
n1 + n 2 − 2
( D) − (μ
1
− μ2 )
Sd n
com Sd =
∩ t n −1
2
1 n
Di − D )
(
∑
n − 1 i =1
⎛
p (1 − p1 ) p 2 (1 − p 2 ) ⎞
N ⎜ p1 − p 2 , 1
⎟
pˆ 1 − pˆ 2 ∩
+
⎜
⎟
n
n
1
2
⎝
⎠
INTERVALOS DE CONFIANÇA
ESTATÍSTICA DE TESTE
⎛
1 1
1 1 ⎞
ˆ
+ , x1 − x 2 + t
+ ⎟
⎜ x1 − x 2 − t n + n −2, 1− α × sˆ
α ×s
n1 + n 2 − 2, 1−
1
2
n1 n 2
n1 n 2 ⎠
2
2
⎝
com sˆ =
T=
(X
− X 2 ) − ( μ1 − μ 2 )0
1
Ŝ
( n1 − 1) s12 + ( n 2 − 1) s22
1 1
+
n1 n 2
n1 + n 2 − 2
⎛
sd
sd ⎞
, d+t
⎜ d − t n −1, 1− α ×
⎟
α ×
n −1, 1−
n
n⎠
2
2
⎝
com s d =
T=
2
1 n
di − d )
(
∑
n − 1 i =1
⎛
pˆ (1 − pˆ 1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
pˆ (1 − pˆ 1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) ⎞
⎜ pˆ 1 − pˆ 2 − z α × 1
⎟
, pˆ 1 − pˆ 2 + z α × 1
+
+
1−
1−
⎜
⎟
n
n
n
n
1
2
1
2
2
2
⎝
⎠
Z=
D − ( μ1 − μ 2 )0
Sd
n
( pˆ 1 − pˆ 2 ) − ( p1 − p 2 )0
pˆ 1 (1 − pˆ 1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
+
n1
Estimação Pontual
() ()
EQM ( θˆ ) = Var ( θˆ ) + ⎡ Env ( θˆ ) ⎤
⎣
⎦
+∞
⎧ '
r
r
'
r
⎪μ r = E ( X ) = ∑ ( x k ) P ( X = x k ) ; μ r = ∫ x f (x)dx
xk
−∞
2
⎪⎪
; μ'r = m'r com ⎨
n
r
x
(
)
⎪
∑
i
⎪ m 'r = i=1
lim E θ = θ ; lim Var θ = 0
n →∞
n →∞
⎪⎩
n
{
()
()
n
n
k =1
k =1
L ( θ ) = ∏ f ( x k ) ou L ( θ ) = ∏ P ( X = x k )
Env θˆ = E θˆ − θ
;
dL ( θ | x )
d ln L ( θ | x )
= 0 ou
=0
dθ
dθ
n2
Provas de avaliação
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2006/2007
PRIMEIRA FREQUÊNCIA – 4 de Novembro de 2006
1. Considere a distribuição do número de empresas por Concelho no ano 2000 em
Portugal (Censos 2001):
Número de
empresas
[0, 500)
Número de
Concelhos
34
[500, 1000)
74
[1000, 2000)
74
b) Comente, sem efectuar cálculos, a
[2000, 5000)
66
proposição: “ A moda da distribuição
[5000, 10000)
36
pertence ao intervalo (750, 1000).”
[10000, 20000)
17
[20000, 150000]
7
a) Calcule a mediana e interprete o seu
valor.
c) Classifique
a
distribuição
quanto
à
assimetria.
d) Complete as seguintes afirmações:
i) ____% dos Concelhos têm pelo menos 1000 empresas.
iii) Aos 7,8% dos Concelhos com maior número de empresas pertencem ____%
do total das empresas do país.
e) Calcule o índice de Gini. Comente.
2. Admita que as aplicações em 25 depósitos a prazo (em centos de euros) num dado
Banco foram os seguintes:
5
25
40
60
60
65
70
75
75
75
75
80
80
85
85
85
88
90
92
92
92
95
105
125
80
a) Esboce a caixa-de-bigodes. Comente.
b) Da análise, através do SPSS, de uma amostra de aplicações em acções resultou o
seguinte output:
Statistics
acções
N
Mean
Median
Mode
Std. Deviation
Skewness
Std. Error of Skewness
Kurtosis
Std. Error of Kurtosis
Minimum
Maximum
Percentiles
Valid
Missing
25
50
75
25
283
55,00
55,00
55
19,843
-,030
,464
,662
,902
10
100
45,00
55,00
67,50
O seu colega do lado concluiu que os
clientes preferem investir em aplicações de
menor risco (depósitos a prazo). Tendo a
informação adicional de que o segundo
momento
central
da
distribuição
dos
valores dos depósitos a prazo é igual a
26.6, concluiu também que há uma maior
dispersão dos valores aplicados em acções.
Concorda com estas conclusões?
3. Num sorteio foram emitidos 10000 bilhetes. Sorteia-se um prémio de 5000 euros,
dez prémios de 500 euros e cem prémios de 50 euros. Calcule o valor de cada bilhete
de modo a que o jogo seja equilibrado.
4. Considere a v. a. X (número de unidades vendidas diariamente de um dado produto),
tem a seguinte distribuição:
x
0
1
2
3
4
F(x)
0,3
0,5
0,7
0,9
1
Obtenha a função de probabilidade de X e diga quantas unidades de produto deverá
haver em stock de modo a que num dado dia a probabilidade de satisfazer todos os
clientes seja superior a 75%.
5. Sabe-se que, num dado país, 45% dos utilizadores de Internet em casa são clientes
de uma empresa A, 35% são clientes de um empresa B e 20% são clientes das
restantes empresas fornecedoras do serviço. Num estudo de mercado, 25% dos
clientes da empresa A afirmam estar satisfeitos com o serviço, o mesmo acontecendo
com metade dos clientes da empresa B e com 85% dos clientes das restantes
empresas. Seleccionada aleatoriamente uma pessoa que utiliza a Internet em casa:
a) Calcule a probabilidade de não ser cliente da empresa A e estar satisfeito com
o serviço.
b) Determine a probabilidade de ser cliente da empresa A sabendo que se trata
de um cliente insatisfeito.
6. Mostre que se A (i) B então A (i) B .
Apoio:
xp = li +
np − N i−1
× Ri
ni
s2 =
⎧⎪ x[np ] + x[np ]+1
⎪⎪
, np ∈ `
xp = ⎪⎨
2
⎪⎪
⎪⎪⎩ x[np ]+1 , np ∉ `
1 n
2
ni ( xi − x )
∑
n i=1
[Q1 − 3IQ, Q3 + 3IQ ]
IQ = Q3 − Q1
k
m3 = m − 3m m + 2 (m )
'
3
'
2
'
1
' 3
1
∑ n (x − x )
r
i
m4 = m4' − 4m3' m1' + 6m2' (m ) − 3(m )
' 2
1
' 4
1
mr =
i
i =1
n
k
∑n x
r
i i
mr' =
i =1
n
γ1 =
i
pi =
∑ nj
j =1
k
∑n
j
j =1
m3
s3
γ2 =
qi =
j =1
k
∑n x
g=
Q3 − Q1
x − xˆ
s
Q3 − Q1
2 ( P90 − P10 )
k −1
i
∑ ni xi
(Q3 − x)−( x − Q1 )
m4
−3
s4
∑q
i
G = 1−
i i
j =1
n
P ( B ) = ∑ P ( B | Ai )P ( Ai )
i =1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
i =1
k −1
∑p
i
i =1
P ( Ai | B ) =
P ( Ai )× P ( B | Ai )
n
∑ P ( A ) P (B | A )
k
, i = 1, 2, ..., n
k
k =1
P ( A − B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B )
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B | A) = P ( B ) P ( A | B )
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
SEGUNDA FREQUÊNCIA – 7 de Dezembro de 2007
1. De acordo com o Barómetro de Telecomunicações da Marktest, no trimestre móvel de Outubro
de 2007, 1 304 000 residentes em Portugal com 15 e mais anos afirmam já ter mudado de
operador de rede móvel, um valor que corresponde a 17.2% dos possuidores de telemóvel
nesta faixa etária. Admita que está a fazer um inquérito sobre telecomunicações. Calcule a
probabilidade de necessitar inquirir pelo menos 4 pessoas até encontrar uma que tenha
mudado de operador.
2. Num gabinete de análise financeira, os projectos desenvolvidos têm custos de execução com
distribuição normal de média 700 € e desvio padrão 100€. O projecto é considerado eficiente
se o seu custo de execução não exceder a média em mais de um desvio padrão.
a) Calcule a probabilidade de um projecto, escolhido aleatoriamente, ser considerado
eficiente.
b) Em 10 projectos desenvolvidos pelo gabinete, determine a probabilidade de pelo menos 2
serem considerados eficientes.
c) Obtenha o afastamento, relativamente à média, que o custo de um projecto deverá ter
para estar entre os 10% de projectos mais eficientes.
3. Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
X
0
1
2
3
4
p(x)
1- 4 α
α
α
α
α
Obtenha o estimador do parâmetro α pelo método dos momentos e diga, justificando, se acha
preferível o estimador α1 =
X1 + X n
ao estimador obtido pelo método dos momentos.
20
4. Numa pizzaria o número de pedidos para entregas ao domicílio é uma variável aleatória com
distribuição de Poisson de parâmetro
λ.
a) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança de
λ.
b) Sabendo que em 10 horas foram recebidos 40 pedidos, determine uma estimativa de
máxima verosimilhança para a probabilidade da pizzaria receber no máximo dois pedidos
num quarto de hora.
5. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:
a) Se a dimensão da amostra se mantiver fixa, a precisão de um intervalo de confiança
diminui quando aumenta o nível de confiança.
b) Um estimador consistente é sempre um estimador centrado.
6. Numa multinacional, o responsável pela comercialização de um produto alimentar, não sazonal
e de procura rígida, apurou que as vendas semanais tinham distribuição (aproximadamente)
normal com média µ toneladas e desvio padrão 1 tonelada. Com base nas vendas de 25
semanas obteve uma média igual a 20500 quilos e um intervalo de confiança das vendas
médias semanais (19882, 21118).
a) Determine o nível de confiança do intervalo obtido?
b) Qual deve ser a dimensão da amostra para reduzir o erro de estimativa para 250 kg,
considerando o nível de confiança 95%?
7. Com o objectivo de determinar a concentração de monóxido de carbono perto de uma das vias
mais movimentadas da cidade de Évora, foram recolhidas 8 amostras de ar para um período de
3 meses, tendo-se obtido as concentrações: 102; 95; 104; 99; 88; 91; 102; 103. Obtenha um
intervalo de confiança a 95% para a concentração média de monóxido de carbono perto
daquela via.
FORMULÁRIO DE APOIO
 n
n−k
P ( X = k ) =   p k (1− p ) , k = 0, 1, ..., n ; E ( X ) = np ; Var ( X ) = np (1- p )
k 
k −1
P ( X = k ) = (1− p )
P( X = k) =
p, k = 1, 2, ... ; E ( X ) =
1
1- p
; Var ( X ) = 2
p
p
e−λλ k
, k = 0, 1, ... λ > 0 ; E ( X ) = Var ( X ) = λ
k!
2
(b - a)
1
x−a
a +b
f ( x) =
a < x < b ; F ( x) =
, a < x < b ; E( X ) =
; Var ( X ) =
b−a
b−a
2
12
f (t ) = λe−λt , t ≥ 0 λ >0 ; F (t ) = 1− e−λt , t ≥ 0 λ >0 ; E (T ) =
∑X
i
(
N nµ , σ n
∩
i
)
;
1
λ
; Var (T ) =
1
λ2
X − np
X −λ
 σ 
N (0,1) ;
N (0,1) ; X ∩ N  µ,
∩
∩

λ
n
np (1 − p )

() ()
EQM ( θˆ ) = Var ( θˆ ) +  Env ( θˆ ) 


Env θˆ = E θˆ − θ
{
()
2
()
lim E θ = θ ; lim Var θ = 0
n →∞
n →∞
n
n
k =1
k =1
L ( θ ) = ∏ f ( x k ) ou L ( θ ) = ∏ P ( X = x k )
2
  d
 d2

 
I ( θ ) = E   ln f ( x | θ )   = − E  2 ln f ( x | θ ) 
 
 dθ

  dθ
+∞
 '
r
r
'
r
µ r = E ( X ) = ∑ ( x k ) P ( X = x k ) ; µ r = ∫ x f (x)dx
xk
−∞

'
'
µ r = m r com 
n
r
( xi )

∑
 m 'r = i=1

n


X −µ
σ
σ 
s
s 
∩ t n −1 ;  x − z α ×
; x − t
, x+z α ×
,x+t


α ×
α ×
S
n −1, 1−
n −1, 1−
1−
1−
n
n
n
n

2
2

2
2
n
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
TERCEIRA FREQUÊNCIA – 12 de Janeiro de 2008
1. Um dado equipamento de enchimento automático está regulado para encher garrafas de meio
litro de um dado refrigerante. Do comportamento do processo ao longo do tempo, podemos
admitir uma distribuição normal com desvio padrão conhecido e igual a 4 mililitros.
a) Suponha que retirou da linha de enchimento uma amostra aleatória de quatro garrafas tendo
obtido uma média igual a 495 ml. Pode afirmar, estatisticamente ao nível de 5%, que o
equipamento está a encher embalagens com peso médio superior ao especificado?
b) Relativamente à alínea anterior, indique o tipo de erro que pode ter cometido. Diga, ainda,
para que níveis de significância mantém a conclusão retirada anteriormente.
c) Caso a quantidade média vertida em cada garrafa seja igual a 496 ml, calcule e interprete a
probabilidade de cometer um erro do tipo II para amostras de 4 garrafas e mantendo o nível
de significância usado na alínea a).
2. No contexto do exercício 2), admita que para reduzir a variabilidade foram realizados
ajustamentos ao processo e que numa amostra aleatória de 9 garrafas, retiradas após esses
ajustamentos, se obteve um desvio padrão igual a 2 ml. Haverá evidência estatística suficiente
para poder concluir, ao nível de 10%, que os ajustamentos realizados atingiram o objectivo
pretendido?
3. Comente a seguinte proposição: “Se o intervalo de confiança a 99% para a diferença de
proporções fôr (0.07, 0.15), então existe evidência estatística suficiente na amostra para concluir
que as proporções diferem ao nível de 5%.”.
4. Com base em informação recolhida no mês passado, sabe-se que numa dada região 30% de das
pessoas fumava mais de um maço por dia. Após a introdução da nova lei, realizou-se um
inquérito a 800 pessoas, tendo 150 afirmado que fuma mais de um maço diariamente.
a) Haverá evidência estatística suficiente, ao nível de 1%, para concluirmos que houve uma
redução do consumo de cigarros?
b) Admita que pretende uma estimativa intervalar da proporção de pessoas que fuma menos de
um maço diariamente, com uma confiança de 95% e um erro máximo de 2%. Quantas
pessoas deveriam ser inquiridas?
5. Um componente industrial foi fabricado por 2 métodos diferentes: método A e método B. Sabe-se
que os tempos de fabrico (em minutos) se comportam de forma aproximadamente normal.
Realizou-se uma análise estatística a partir dos tempos de fabrico de 12 componentes pelo
método A e outros 12 pelo método B, tendo-se obtido os seguintes outputs do EXCEL e do SPSS:
Teste F: duas amostras para variâncias
Média
Variância
Observações
gl
F
P(F<=f) uni-caudal
F crítico uni-caudal
Método A Método B
8,5000
7,9250
0,3473
0,1766
12
12
11
11
1,9665
0,1387
2,8179
Independent Samples Test
Levene's Test for
Equality of Variances
F
Tempos
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
t-test for Equality of Means
Sig.
2,704
t
,114
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference
99% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
2,752
22
,012
,57500
,20894
-,01395
1,16395
2,752
19,889
,012
,57500
,20894
-,01985
1,16985
a) Haverá evidência estatística, ao nível de 5%, para concluir que o tempo de execução pelo
método A é superior a 8 minutos?
b) Obtenha um intervalo de confiança ao nível de 95% para a diferença dos tempos médios de
execução da tarefa pelos dois métodos e com base neste diga se pode concluir que um dos
métodos é mais vantajoso. Confirme a sua conclusão através de um teste de hipóteses
adequado.
6. Dez indivíduos participaram num tratamento para perder peso, registando-se o peso dos
indivíduos antes e depois do tratamento. Com base nos valores obtidos realizou-se uma análise
estatística e obtiveram-se, entre outros, os seguintes outputs:
Teste T: duas amostras com variâncias iguais
Antes
79,7000
91,3444
10
85,5667
10
18
1,6921
0,0539
1,7341
0,1079
2,1009
Média
Variância
Observações
Variância agrupada
Hipótese de diferença de média
gl
Stat t
P(T<=t) uni-caudal
t crítico uni-caudal
P(T<=t) bi-caudal
t crítico bi-caudal
Depois
62,7000
79,7889
10
Paired Samples Correlations
N
Pair 1
Antes & Depois
10
Correlation
,762
Sig.
,010
Paired Samples Test
Paired Differences
Pair 1
Antes - Depois
Mean
17,00000
Std. Deviation
6,41179
Std. Error
Mean
2,02759
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
12,41328
21,58672
t
8,384
df
9
Sig. (2-tailed)
,000
Há evidência de que em média este tratamento faz reduzir o peso em mais de 10 quilos? Diga que
pressupostos admitiu para responder a esta questão.
Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXAME DE ÉPOCA NORMAL – 17 de Janeiro de 2008
1. Considere a distribuição das receitas, em centos de euros, relativas às comissões ganhas no
último mês pelos vendedores de uma dada empresa:
Comissões
(X 100€)
Número de
Vendedores
[0, 10)
6
[10, 20)
9
[20, 30)
14
[30, 40)
32
[40, 50)
14
[50, 100)
5
a) Complete as seguintes afirmações:
i) “25 % dos vendedores ganharam uma comissão
inferior a ______ euros.”.
ii) “___
%
dos
vendedores
ganharam
uma
comissão superior a 4000 euros.
b) Classifique a distribuição quanto à assimetria.
c) Faça um esboço aproximado da caixa de bigodes,
sabendo que houve um vendedor que não recebeu
comissão e que as comissões da última classe foram: 52, 58, 65, 82, 96.
2. Numa determinada empresa sabe-se que 50% dos empregados utilizam um meio de transporte
público para chegar ao local de trabalho e destes 35% são do sexo feminino; 40% dos
empregados utilizam viatura particular, sendo 20% do sexo feminino; os restantes empregados
vão a pé para o local de trabalho, sendo 80% do sexo masculino. Do conjunto dos empregados do
sexo feminino, determine a proporção dos que vão a pé para o local de trabalho.
3. Diga, justificando, se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa: “Dos alunos de Gestão inscritos
em EAG I (110), uma proporção deles, p>0, são mulheres. A probabilidade de encontrarmos 2
homens, ao seleccionarmos ao acaso um grupo de 4 alunos, é igual a 4p.”.
4. Suponha que a percentagem de álcool num certo composto é uma variável aleatória com função
2
densidade f ( x) = kx , 0 < x < 1 . Admita que o preço de custo do composto é igual a 8€ e que este
é vendido a 15€, caso a percentagem de álcool esteja entre 0,2 e 0,6, sendo vendido a 10€, no
caso contrário. Determine o valor esperado do lucro obtido na venda de 50 unidades.
5. Sabe-se que, durante os períodos de testes, o número de alunos que acorrem ao atendimento se
distribui de acordo com um Processo de Poisson com média 6 por hora. Calcule a probabilidade de
no último quarto de hora de atendimento chegar no máximo um aluno.
6. O tempo que um aluno demora a responder a uma pergunta de uma Frequência de uma unidade
curricular de Estatística é uma variável aleatória com distribuição exponencial. Determine o
estimador de máxima verosimilhança para o parâmetro λ da distribuição e uma sua estimativa,
sabendo que o tempo de resposta a 40 perguntas totalizou 480 minutos.
7. Considere uma amostra X1,X2,...,Xn proveniente de uma população X com distribuição Uniforme
entre 0 e θ real positivo. Verifique que o estimador θˆ = 2X do parâmetro θ é consistente.
8. No século XVIII, Buffon lançou uma moeda 4040 vezes, obtendo 2048 vezes uma face. Baseandose na frequência relativa dessa face, ele concluiu que a moeda seria equilibrada.
a) Poder-se-á afirmar que há evidência a favor da conclusão de Buffon ao nível de significância
de 1%?
b) Determine a potência do teste realizado na alínea anterior, caso a probabilidade de sair essa
face seja igual a 0.6.
9. Um componente industrial foi fabricado por 2 métodos diferentes: método A e método B. Sabe-se
que os tempos de fabrico (em minutos) se comportam de forma aproximadamente normal.
Realizou-se uma análise estatística a partir dos tempos de fabrico de 12 componentes pelo
método A e outros 12 pelo método B, tendo-se obtido os seguintes outputs do EXCEL e do SPSS:
Teste F: duas amostras para variâncias
Método A Método B
8,5000
7,9250
0,3473
0,1766
12
12
11
11
1,9665
0,1387
2,8179
Média
Variância
Observações
gl
F
P(F<=f) uni-caudal
F crítico uni-caudal
Independent Samples Test
Levene's Test for
Equality of Variances
F
Tempos
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
t-test for Equality of Means
Sig.
2,704
t
,114
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference
99% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
2,752
22
,012
,57500
,20894
-,01395
1,16395
2,752
19,889
,012
,57500
,20894
-,01985
1,16985
a) Obtenha e interprete um intervalo de confiança ao nível de 95% para o tempo médio de
execução da tarefa pelo método A.
b) Com base no intervalo de confiança ao nível de 99% para a diferença dos tempos médios de
execução da tarefa pelos dois métodos, justifique porque não pode concluir ao nível de 5%
que um dos métodos é mais vantajoso. Caso considere toda a informação apresentada, para
que níveis de significância é possível tirar a conclusão que o método B é mais rápido em
média que o método A?
10. Foi enviado um questionário a 12 firmas seleccionadas ao acaso de um certo sector industrial. De
entre os resultados das 10 que responderam, os outputs seguintes reflectem a análise aos
referentes ao montante dispendido com acções de formação profissional do pessoal em 2002 e em
2007. Admita a normalidade das amostras.
Paired Samples Test
Paired Differences
Pair 1
a)
2002 - 2007
Justifique
o
Mean
-3.600
facto
de
Std. Deviation
7.427
se
ter
Std. Error
Mean
2.349
feito
uma
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
-8.913
1.713
análise
estatística
t
-1.533
df
9
Sig. (2-tailed)
.160
considerando
amostras
emparelhadas.
b) Poderemos afirmar estatisticamente, ao nível de 1%, que houve um aumento superior a 1
unidade monetária no montante médio dispendido em formação profissional por cada
empresa entre 2002 e 2007?
FORMULÁRIO DE APOIO
xp = li +
np − N i−1
× Ri
ni
s2 =
1 n
2
ni ( xi − x )
∑
n i=1
[Q1 − 3IQ, Q3 + 3IQ ]
IQ = Q3 − Q1
k
 x[np ] + x[np ]+1

, np ∈ xp = 
2

 x[np ]+1 , np ∉ m3 = m − 3m m + 2 (m )
'
3
'
2
' 3
1
'
1
'
3
'
1
'
2
r
i
mr =
m4 = m − 4m m + 6m (m ) − 3(m )
'
4
∑ n (x − x )
' 2
1
' 4
1
i
i =1
n
k
∑n x
r
i i
mr' =
i =1
n
γ1 =
i
pi =
∑ nj
j =1
k
∑n
m3
s3
γ2 =
j =1
k
qi =
∑n x
j
Q3 − Q1
∑q
i
G = 1−
i i
j =1
g=
Q3 − Q1
2 ( P90 − P10 )
x − xˆ
s
k −1
i
∑ ni xi
(Q3 − x) −( x − Q1 )
m4
−3
s4
i =1
k −1
∑p
P ( Ai | B ) =
i
j =1
n
∑ P ( A ) P (B | A )
k
i =1
P ( B ) = ∑ P ( B | Ai )P ( Ai )
P ( Ai )× P ( B | Ai )
n
, i = 1, 2, ..., n
k
k =1
P ( A − B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B )
i =1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B | A) = P ( B ) P ( A | B )
x
F ( x) = ∑ P ( X = k ) ; F ( x) = ∫ f (u )du
k ≤x
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a )
−∞
 n
n −k
P ( X = k ) =   p k (1− p ) , k = 0, 1, ..., n ; E ( X ) = np ; Var ( X ) = np (1- p )
k 
k −1
P ( X = k ) = (1− p )
p, k = 1, 2, ... ; E ( X ) =
1
1- p
; Var ( X ) = 2
p
p
e−λλ k
P(X = k) =
, k = 0, 1, ... λ > 0 ; E ( X ) = Var ( X ) = λ
k!
(b - a )
1
x−a
a +b
f ( x) =
a < x < b ; F ( x) =
, a < x < b ; E( X ) =
; Var ( X ) =
b−a
b−a
2
12
2
f (t ) = λe−λt , t ≥ 0 λ >0 ; F (t ) = 1− e−λt , t ≥ 0 λ >0 ; E (T ) =
∑X
i
i
(
N nµ , σ n
∩
)
;
1
λ
; Var (T ) =
1
λ2
X − np
X −λ
 σ 
N (0,1) ;
N (0,1) ; X ∩ N  µ,
∩
∩

λ
np (1 − p )
n

Universidade de Évora - Departamento de Matemática
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
EXAME DE RECURSO – 29 de Janeiro de 2008
1. No quadro seguinte apresenta-se o resultado de um estudo efectuado aos lucros, em milhões de
euros, de 40 empresas do mesmo ramo num determinado ano.
Lucros
(Milhões de euros)
Número de
Empresas
[-10, -5)
3
[-5, 0)
8
[0, 5)
12
[5, 10)
13
[10, 15)
4
a) Complete as seguintes afirmações:
i) “25 % das empresa tiveram lucros superiores a
______ euros.”.
ii) “___
%
das
empresa
tiveram
lucros
negativos.”
b) Classifique a distribuição quanto à assimetria.
c) Faça um esboço aproximado da caixa de bigodes,
sabendo que os lucros da primeira classe foram -8, -7 e -6 e os lucros da última classe foram 10,
12, 12.5 e 14.5, todos em milhões de euros.
2. Nas eleições de um determinado país concorrem os partidos R e D, aos quais as sondagens
atribuem 53% e 47%, respectivamente. De entre os apoiantes do partido R concordam com a
pena de morte 60% enquanto essa percentagem é apenas 30% nos apoiantes do partido D.
Seleccionado ao acaso um eleitor que concorda com a pena de morte, calcule a probabilidade de
votar no partido R.
3. Admita que o preço de custo de um dado composto é igual a 8€ e que este é vendido a 15€, caso
a percentagem de álcool esteja entre 0,2 e 0,6 (o que ocorre com probabilidade igual a 0,6),
sendo vendido a 10€, no caso contrário. Determine o valor esperado do lucro obtido na venda de
50 unidades.
4. O tempo (em horas) que um gestor demora a avaliar um determinado projecto é uma variável
aleatória com distribuição normal de média igual a 10 horas e desvio padrão igual a 2 horas.
O gestor recebe uma compensação monetária sempre que termina a avaliação de um projecto em
menos de 7 horas. Admitindo que o gestor recebeu 5 projectos distintos para avaliar, calcule a
probabilidade de ser compensado em pelo menos 1 projecto.
5. Uma máquina electrónica de venda de chocolates e bebidas pode sofrer avarias. Suponha que o
número de avarias numa semana é uma v.a. com distribuição de Poisson de parâmetro 1.5.
Calcule a probabilidade de, num mês, haver cinco avarias, sabendo que de facto ocorreram
avarias nesse mês.
6. Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
X
0
1
2
p(x)
a
θ
θ
X + Xn
a) Compare o estimador encontrado pelo método dos momentos com θˆ1 = 1
.
6
b) Considerando a amostra (1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 2, 2), determine uma estimativa para
o parâmetro θ pelo método da máxima verosimilhança.
7. Diga, justificando, se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa: “Supondo que o intervalo de
confiança a 95% para a razão de variâncias é dado por (0.87, 1.95), então não rejeitamos a
hipótese da igualdade das variâncias populacionais ao nível de 1%.”.
8. Com base em informação recolhida no mês passado, sabe-se que numa dada região 30% de das
pessoas fumava mais de um maço por dia. Após a introdução da nova lei, realizou-se um
inquérito a 800 pessoas, tendo 150 afirmado que fuma mais de um maço diariamente.
a) Obtenha e interprete um intervalo de confiança de nível 98% para a proporção de pessoas
naquela região que actualmente fuma mais de um maço por dia.
b) Admita que pretende uma estimativa intervalar da proporção de pessoas que fuma menos de
um maço diariamente, mantendo a confiança do intervalo da alínea anterior, mas com um
erro máximo de 3%. Quantas pessoas deveriam ser inquiridas?
9. Um componente industrial foi fabricado por 2 métodos diferentes: método A e método B. Sabe-se
que os tempos de fabrico (em minutos) se comportam de forma aproximadamente normal.
Realizou-se uma análise estatística a partir dos tempos de fabrico de 12 componentes pelo
método A e outros 12 pelo método B, tendo-se obtido os seguintes outputs do EXCEL e do SPSS:
Independent Samples Test
Levene's Test for
Equality of Variances
F
Tempos
Equal variances
assumed
Equal variances
not assumed
t-test for Equality of Means
Sig.
2,704
t
,114
df
Sig. (2-tailed)
Mean
Difference
Std. Error
Difference
99% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
2,752
22
,012
,57500
,20894
-,01395
1,16395
2,752
19,889
,012
,57500
,20894
-,01985
1,16985
Haverá evidência estatística ao nível de 5% para conclui que o método B é mais rápido em média
que o método A em 30 segundos?
10. Suponha que uma grande repartição de finanças foi seleccionada para uma experiência piloto na
qual se pretendem testar novos procedimentos. Para tal, mediu-se o tempo despendido (em
minutos) no processamento de uma determinada operação, antes e depois de terem sido
introduzidos novos procedimentos. A partir de cronometragens seleccionadas aleatoriamente
obtiveram-se os resultados seguintes:
Paired Samples Test
Paired Differences
Pair 1
Antes - Depois
Mean
-1,07500
Std. Deviation
1,50119
Std. Error
Mean
,53075
99% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
-2,93235
,78235
t
-2,025
df
7
Sig. (2-tailed)
,082
Haverá evidência estatística, ao nível de 5%, de que o tempo de processamento diminuiu com a
introdução dos novos procedimentos?
FORMULÁRIO DE APOIO
xp = li +
np − N i−1
× Ri
ni
 x[np ] + x[np ]+1

, np ∈ xp = 
2

 x[np ]+1 , np ∉ s2 =
1 n
2
ni ( xi − x )
∑
n i=1
[Q1 − 3IQ, Q3 + 3IQ ]
IQ = Q3 − Q1
k
m3 = m − 3m m + 2 (m )
'
3
'
2
'
1
' 3
1
∑ n (x − x )
r
i
m4 = m4' − 4m3' m1' + 6m2' (m ) − 3(m )
' 2
1
' 4
1
mr =
i
i =1
n
k
∑n x
r
i i
mr' =
i =1
n
γ1 =
i
pi =
∑ nj
j =1
k
∑n
m3
s3
γ2 =
i i
j =1
k
qi =
∑n x
j
Q3 − Q1
∑q
i
G = 1−
i i
j =1
g=
Q3 − Q1
2 ( P90 − P10 )
x − xˆ
s
k −1
i
∑n x
(Q3 − x) −( x − Q1 )
m4
−3
s4
i =1
k −1
∑p
P ( Ai | B ) =
i
j =1
n
∑ P ( A ) P (B | A )
k
i =1
P ( B ) = ∑ P ( B | Ai )P ( Ai )
P ( Ai )× P ( B | Ai )
n
, i = 1, 2, ..., n
k
k =1
P ( A − B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B )
i =1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B | A) = P ( B ) P ( A | B )
x
F ( x) = ∑ P ( X = k ) ; F ( x) = ∫ f (u )du
k ≤x
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a )
−∞
 n
n −k
P ( X = k ) =   p k (1− p ) , k = 0, 1, ..., n ; E ( X ) = np ; Var ( X ) = np (1- p )
k 
k −1
P ( X = k ) = (1− p )
P(X = k) =
p, k = 1, 2, ... ; E ( X ) =
1
1- p
; Var ( X ) = 2
p
p
e−λλ k
, k = 0, 1, ... λ > 0 ; E ( X ) = Var ( X ) = λ
k!
(b - a )
1
x−a
a +b
f ( x) =
a < x < b ; F ( x) =
, a < x < b ; E( X ) =
; Var ( X ) =
b−a
b−a
2
12
2
f (t ) = λe−λt , t ≥ 0 λ >0 ; F (t ) = 1− e−λt , t ≥ 0 λ >0 ; E (T ) =
∑X
i
i
(
N nµ , σ n
∩
)
;
1
λ
; Var (T ) =
1
λ2
X − np
X −λ
 σ 
N (0,1) ;
N (0,1) ; X ∩ N  µ,
∩
∩

λ
np (1 − p )
n

Inquérito anónimo realizado aos alunos
Estatística Aplicada à Gestão I - 2007/2008
Proposta de avaliação dos docentes e da unidade curricular
Caro(a) aluno (a),
Com o objectivo de procurar melhorar a leccionação desta unidade curricular nos próximos anos,
muito lhe agradecíamos se pudesse partilhar a sua opinião sobre o seu conteúdo e a docência.
Nos pontos que a seguir se seguem, avalie, por favor, a Unidade Curricular e os Docentes,
assinalando com uma cruz a sua opção. Use as seguintes categorias de resposta:
A – Muito Bom; B – Bom; C – Suficiente; D – Insuficiente; E – Muito insuficiente
Avaliação da Unidade Curricular
1. Adequação do número de horas lectivas ____________
A B C D E
2. Acesso à bibliografia recomendada ______________________
A B C D E
3. Correspondência entre conhecimentos avaliados e matéria leccionada _
A B C D E
4. Adequação dos recursos utilizados para a leccionação desta disciplina
A B C D E
5. Interesse dos conteúdos leccionados _____________________________ A B C D E
6. Considera a sua assiduidade às aulas nesta unidade curricular __________A B C D E
7. Coordenação entre os Docentes __________________________________A B C D E
8. Em média quantas horas de estudo pensa ter dedicado a esta u.c. por semana ___
Avaliação do Docente (Paulo Infante)
9. Preparação, organização e utilização do tempo de aula
_______
A B C D E
10. Clareza com que o Docente expõe a matéria __
A B C D E
11. Empenho e o entusiasmo mostrados no ensino _
A B C D E
12. Aptidão para incentivar e para estimular o interesse dos Alunos
A B C D E
A B C D E
13. Disponibilidade para esclarecer dúvidas __________
14. Respeito, tolerância e honestidade para com os Alunos
A B C D E
15. Assiduidade e pontualidade _________
A B C D E
16. Transparência, lealdade e igualdade na avaliação dos Alunos _
A B C D E
A B C D E
17. Classificação global do Docente _____
Avaliação do Docente (Inês Sousa Dias)
18. Preparação, organização e utilização do tempo de aula
_______
A B C D E
19. Clareza com que o Docente expõe a matéria __
A B C D E
20. Empenho e o entusiasmo mostrados no ensino _
A B C D E
21. Aptidão para incentivar e para estimular o interesse dos Alunos
A B C D E
22. Disponibilidade para esclarecer dúvidas __________
A B C D E
23. Respeito, tolerância e honestidade para com os Alunos
A B C D E
24. Assiduidade e pontualidade _________
A B C D E
25. Transparência, lealdade e igualdade na avaliação dos Alunos _
A B C D E
A B C D E
26. Classificação global do Docente _____
CRÍTICAS / COMENTÁRIOS / SUGESTÕES
_____ ____
____
____
___________