FÍSICA (Eletromagnetismo)
Campos Elétricos
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza
FÍSICA (Eletromagnetismo)
CAMPOS ELÉTRICOS
1 O CONCEITO DE CAMPO
Suponhamos que se fixe, num determinado ponto, uma partícula com carga positiva, q1, e a seguir
coloquemos em suas proximidades uma segunda partícula também positivamente carregada, q2. De acordo
com a lei de Coulomb, sabemos que q1 exerce uma força eletrostática repulsiva sobre q2 e, com dados
suficientes, poderíamos determinar o módulo, a direção e o sentido dessa força. Ainda assim, uma questão
embaraçosa permanece: como q1 “sabe” da presença de q2? Isto é, desde que as partículas não se tocam,
como pode q1 exercer força sobre q2?
Essa questão sobre ação à distância pode ser respondida através do conceito de campo. Campo, de uma
maneira geral, é uma grandeza que pode ser associada à posição. Por exemplo, a temperatura do ar em
uma sala tem um valor específico em cada ponto, e neste caso temos um campo de temperaturas T(x, y, z).
Se ao invés de uma grandeza escalar como a temperatura ou pressão, tivermos grandezas vetoriais, como a
velocidade do fluxo num fluido, teremos um campo vetorial associado a cada ponto do fluido, ⃗u(x, y, z). Outro
exemplo de um campo vetorial é o campo gravitacional terrestre.
No caso da interação entre cargas elétricas, dizemos que a carga q1 cria um campo elétrico no espaço ao
seu redor. Em qualquer ponto P desse espaço, o campo tem módulo, direção e sentido (campo vetorial). O
módulo depende do módulo de q1 e da distância entre P e q1. A direção e o sentido dependem da direção da
reta que passa por q1 e P e do sinal elétrico de q1. Assim, quando colocamos q2 no ponto P, q1 interage com
q2 através do campo elétrico existente em P, isto é:
A primeira carga gera um campo elétrico, e a segunda interage com ele. O módulo, a direção e o sentido
desse campo elétrico determinam o módulo, a direção e o sentido da força que atua sobre q2.
2 O CAMPO ELÉTRICO
Definimos o campo elétrico ⃗E associado a um certo conjunto de cargas em termos da força exercida sobre
uma carga de prova positiva q0, em um determinado ponto, ou seja
A unidade SI para o campo elétrico é o newton/coulomb (N/C).
Note que a carga de prova q0 deve ser suficientemente pequena para não perturbar a distribuição de cargas,
cujo campo elétrico estamos tentando medir.
3 LINHAS DE FORÇA
As linhas de força do campo elétrico constituem um auxílio para visualizar o campo. Uma linha de força ou
linha de campo é traçada de tal maneira que sua direção e sentido em qualquer ponto são os mesmos que
os do campo elétrico nesse ponto. A Figura 2.1 mostra exemplos de linhas de campo para algumas
distribuições de cargas elétricas. Características das linhas de força são listadas a seguir:
1. As linhas de força mostram a direção do campo elétrico em qualquer ponto. Em linhas curvas, a
direção do campo é tangente à curva.
2. As linhas de força se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.
3. As linhas de força são desenhadas de modo que o número de linhas por unidade de área da seção
reta (perpendicular às linhas) seja proporcional à intensidade do campo elétrico.
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Figura 1 - Exemplos de linhas de campo elétrico: uma partícula com carga positiva; uma partícula com carga negativa; um dipolo
elétrico; duas partículas com mesma carga positiva; duas partículas com cargas +2q e -q (Serway)
4 CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME
Seja uma carga de prova positiva q0 situada a uma distância r de uma carga puntiforme q. O módulo da força
que atua sobre q0 é dado pela lei de Coulomb,
O módulo do campo elétrico no ponto em que se encontra a carga de prova é
A direção de 𝐸⃗⃗ será idêntica à de 𝐹⃗ , ao longo de uma linha radial com origem em q, apontando para fora se q
for positiva e para dentro se negativa.
Para uma distribuição de N cargas pontuais, o campo elétrico 𝐸⃗⃗ será obtido através do princípio da
superposição
ou seja, num dado ponto, os campos elétricos devidos a uma distribuição de cargas separadas simplesmente
se somam (vetorialmente) ou se superpõem independentemente.
5 CAMPO ELÉTRICO CRIADO POR UM DIPOLO ELÉTRICO
A Figura 2.2 mostra uma configuração de cargas chamada dipolo elétrico. As cargas positiva e negativa


geram campos elétricos E e E , respectivamente. Os módulos destes dois campos em P são iguais,
porque P é equidistante das cargas positiva e negativa.
Figura 2 - Cargas positivas e negativas de igual magnitude formam um dipolo elétrico. O campo elétrico E em qualquer ponto é o
vetor soma dos campos gerados pelas cargas individuais. No ponto P sobre o eixo x, o campo tem apenas um componente: y.
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O campo elétrico total em P é dado pela soma vetorial dos campos individuais:
𝐸⃗⃗ = 𝐸⃗⃗+ + 𝐸⃗⃗−
E+ e E- tem módulos iguais
As magnitudes dos campos de cada uma das cargas são dadas por
𝑞
𝐸+ = 𝐸− = 𝑘 𝑟2
A componente x do campo será nula, já que:
O campo total

E possui apenas a componente y, com modulo dado por:
𝐸 = 𝐸+ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐸− 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2. 𝐸+ 𝑐𝑜𝑠𝜃
O ângulo θ é determinado por
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑟
Substituindo este resultado, obtemos
𝐸 = 2𝑘
𝑞
𝑞 𝑑
2. 𝑞. 𝑑
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑘 2 = 𝑘 3
2
𝑟
𝑟 𝑟
𝑟
𝐸=𝑘
2.𝑞.𝑑
𝑟3
dipolo elétrico
A equação¸ fornece o módulo do campo elétrico em P devido ao dipolo. O produto qd é denominado
momento de dipolo elétrico, p:
Frequentemente, observamos o campo de um dipolo elétrico em pontos P cuja distância x ao dipolo é muito
grande comparada com a separação d, isto é, x >> d, logo
𝐸=𝑘
2.𝑞.𝑑
𝑧3
para pontos distantes
6 CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
Vamos agora considerar uma distribuição contínua de carga, cujo campo gerado pode ser calculado
dividindo-se a distribuição em elementos infinitesimais de carga dq. Cada elemento de carga produz um

campo dE num ponto P e o campo resultante é determinado pelo princípio da superposição, somando-se
(integrando-se) as contribuições de campo de cada elemento dq, ou seja,
O campo criado por cada elemento de carga é dado por:
onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P.
Em geral, uma distribuição contínua de cargas é descrita pela sua densidade de carga. Numa distribuição
linear como, por exemplo, um fino filamento carregado, um elemento arbitrário de comprimento ds possui
uma carga dq dada por
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onde λ é a densidade linear de carga (ou carga por unidade de comprimento) do objeto. Se o objeto estiver
uniformemente carregado, então λ será constante e igual à carga total do objeto, dividida pelo seu
comprimento total L. Neste caso,
carga linear uniforme
Se a carga estiver distribuída sobre uma superfície, a carga dq contida em qualquer elemento de área dA
será
onde σ será a densidade superficial de carga (ou carga por unidade de área). Numa distribuição uniforme de
carga sobre a superfície, σ será constante e igual à carga total dividida pela área total, ou seja
carga superficial uniforme
Analogamente, podemos considerar uma carga distribuída num volume: a carga dq contida no elemento de
volume dV será
onde ρ é a densidade volumétrica de carga (ou carga por unidade de volume). Se o objeto estiver
uniformemente carregado, ρ será constante, de forma que
carga volumétrica uniforme
Alguns exemplos do cálculo do campo elétrico de algumas distribuições contínuas de carga serão discutidas
a seguir.
Linha infinita de cargas
A Figura 2.3 mostra uma linha contendo cargas positivas uniformemente distribuídas ao longo de seu
comprimento. Vamos determinar o módulo do campo elétrico em um ponto P localizado a uma distância x do
ponto médio O da linha. Assumimos que x é muito menor que o comprimento da linha e que λ é a densidade
linear de cargas. Definimos um sistema de coordenadas de tal forma que o eixo y está na direção da linha,
com origem no ponto O.

Um segmento da linha dy possui carga dq = λ dy. O campo elétrico dE no ponto P produzido por este
elemento de carga (ou pelo segmento da linha) é dado por:

onde r = (x2 + y2)1/2. O vetor dE possui componentes dEx e dEy, como mostrado na figura, onde
dEx = dE cos θ e dEy = dE sen θ.
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Como o ponto O está na metade da linha, a componente y do campo
contribuições iguais para E y 
 dE
y

E será zero, já que haverá
acima e abaixo de O:
Portanto, temos
A integral é feita em y, logo x é constante. Devemos agora escrever y em função de θ.
Como tanθ = y/x, temos y = x tan θ, derivando a equação (lembrando que dtanx/dx = 1/cos 2x) então dy = x
dθ/ cos2 θ. Além disso, como cos θ = x/r = x/ √ (x2 + y2), temos que 1/(x2 + y2) = cos2 θ/x2. A integral acima fica:
onde assumimos que a linha é extremamente longa em ambos os lados (y → ±∞) que corresponde aos limites
θ = ±π/2.
Anel de cargas
Um anel de raio a possui uma carga total Q positiva distribuída uniformemente. Vamos calcular o campo
elétrico devido a este anel de cargas em um ponto P localizado a uma distância x do seu centro ao longo de
um eixo central perpendicular ao plano do anel (Figura 2.4).
O módulo do campo elétrico no ponto P devido a um segmento de carga dq é
Este campo possui uma componente dEx = dE cos θ ao longo do eixo x e uma componente dE⊥ perpendicular
ao eixo x. O campo resultante em P deve estar orientado apenas no eixo x já que as componentes
perpendiculares de todos os elementos de carga se cancelarão. Ou seja, a componente perpendicular do
campo criado por um elemento de carga qualquer é cancelada pela componente perpendicular criada por um
elemento no lado oposto anel.
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Todos os segmentos do anel possuem a mesma contribuição para o campo no ponto P pois eles estão à
mesma distância desse ponto. Assim, podemos integrar a expressão acima para obter o campo total em P:
Este resultado mostra que o campo é zero em x = 0.
Disco uniformemente carregado
Na Figura 2.5, carga elétrica está distribuída uniformemente sobre um disco circular de raio R. A carga por
unidade de área (C/m2) é σ. Vamos calcular o campo elétrico em um ponto P sobre o eixo do disco, a uma
distância z acima do seu centro. Podemos imaginar o disco como um conjunto de anéis concêntricos.
Podemos então aplicar o resultado obtido anteriormente para o caso de um anel carregado e integrar ao
longo de R, somando as contribuições de infinitos elementos de carga na forma de anéis.
Para um anel de raio r mostrado na Figura 2.5, o campo elétrico possui módulo:
onde escrevemos dE (ao invés de E) para este fino anel de carga total dq. O anel possui uma área (dr)(2πr) e
densidade superficial de carga σ = dq/(2πr dr). Logo, dq = σ2πr dr, e substituindo na expressão acima para
dE temos:


E em qualquer ponto z ao longo do eixo do disco. A direção de cada elemento dE

devido a cada anel está na direção do eixo z, e portanto essa também é a direção do campo E . Se q (e σ) são positivos,


E aponta para fora do disco; se q (e σ) são negativos, E aponta em direção ao disco.
Esta expressão dá o módulo de
Plano infinito
Se o raio do disco é muito maior que a distância do ponto P ao disco, isto é, se z ≪ R, temos a configuração
de um “plano infinito”. Neste caso, o segundo termo da expressão do campo elétrico para o disco carregado
torna-se desprezível, de forma que para um plano infinito temos:
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Este resultado é válido para qualquer ponto acima (ou abaixo) de um plano infinito de qualquer formato que
possui uma densidade superficial de cargas σ. Ele também é válido para pontos próximos de um plano finito,
desde que o ponto esteja suficientemente próximo do plano comparado com sua distância para as bordas do
plano. Assim, o campo nas proximidades de um plano carregado uniformemente é uniforme, e dirigido para
fora do plano se a carga é positiva.
7 CARGA PUNTIFORME EM UM CAMPO ELÉTRICO
Uma partícula de carga q em um campo elétrico


E experimenta uma força F dada por
Para estudar o movimento da partícula no campo elétrico, tudo o que precisamos fazer é usar a segunda lei

de Newton,

 F  m.a , onde a força resultante sobre a partícula inclui a força elétrica e quaisquer outras
forças que possam estar atuando. A aceleração da partícula é portanto:

Se E é uniforme (isto é, constante em magnitude e direção), a aceleração é constante. Se a partícula possui
carga positiva, sua aceleração está na direção do campo. Se a carga for negativa, sua aceleração é na
direção oposta ao campo elétrico.
Exemplo: uma carga positiva acelerada
Uma partícula com carga positiva q e massa m parte do repouso em um campo elétrico uniforme
ao longo do eixo x, como mostra a Figura 2.6. Vamos descrever o seu movimento.


E dirigido
A aceleração da partícula é constante e é dada por qE / m , portanto ela descreverá um movimento linear
simples ao longo do eixo x. Considerando as equações de cinemática em uma dimensão, podemos
descrever seu movimento:
Escolhendo xi = 0 e vi = 0, temos:
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A energia cinética da partícula após ela ter percorrido uma distância x = xf − xi é
PROBLEMAS
2.1 Qual deve ser o módulo de uma carga puntiforme escolhida de modo a criar um campo elétrico de 1 N/C
em pontos localizados a 1 m de distância?
2.2 Duas cargas puntiformes de módulos q1 = 2,0 x 10-7 C e q2 = 8,5 x 10-8 C estão separadas por uma
distância de 12 cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico que cada carga produz no local da outra? (b) Que
força elétrica atua sobre cada uma delas?
2.4 Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio r. Uma carga +q está distribuída
uniformemente ao longo da metade superior, e uma carga -q, distribuída uniformemente ao longo da metade
inferior, como mostra a Figura 2.3. Determine o campo elétrico E no ponto P, o centro do semicírculo.
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2.5 Na Figura 2.4, duas barras finas de plástico, uma de carga +q e a outra de carga -q, formam um círculo
de raio R no plano xy. Um eixo x passa pelos pontos que unem as duas barras e a carga em cada uma delas
está uniformemente distribuída. Qual o m´módulo, a direção e o sentido do campo elétrico → criado no centro
𝐸
do círculo?
2.6 A que distância, ao longo do eixo central de um disco de plástico de raio R, uniformemente carregado, o
módulo do campo elétrico é igual a metade do seu valor no centro da superfície do disco?
2.7 Um elétron é solto a partir do repouso num campo elétrico uniforme de módulo 2,0 x 104 N/C. Calcule a
sua aceleração (ignore a gravidade).