AEFUZZY - SÍNTESE OTIMIZADA DE CONTROLADORES FUZZY VIA
ALGORITMOS EVOLUTIVOS
Leonardo de Assis Silva∗, Edson de Paula Ferreira∗, Diego Nunes Bertolani†
∗
Universidade Federal do Espı́rito Santo - UFES - Av. Fernando Ferrari, 514 - Vitória, ES, Brasil
†
Instituto Federal do Espı́rito Santo - IFES - Estrada da Tartaruga, s/n - Guarapari, ES, Brasil
Emails: [email protected], [email protected],
[email protected]
Abstract— In this paper an interface called AEFuzzy is presented, it was developed for terms and gains
tuning of fuzzy controllers using evolutionary algorithms (Genetic and Differential Evolution). The strategy is
based on knowledge of the PID classical structures. The results were validated using three plants with different
characteristics: a fourth order system, a second order system with time delay and a third-order non-minimum
phase system. Based on the tests it was possible to verify that AEFuzzy tool can tune a PID fuzzy to any
controlled system. It is also possible to conclude that AEFuzzy presents skills of simplicity, generality and
efficience to aid the tuning of fuzzy controllers.
Keywords—
Intelligent control, fuzzy systems, evolutionary algorithms, fuzzy.
Resumo— Neste trabalho é apresentada uma interface, denominada AEFuzzy, desenvolvida para a sı́ntese de
termos ou ganhos de controladores fuzzy, utilizando algoritmos evolutivos (Genético e Evolução Diferencial). A
estratégia é baseada no conhecimento sobre as estruturas clássicas de PID. Os resultados foram validados em
três plantas com diferentes caracterı́sticas: um sistema de quarta ordem, um sistema de segunda ordem com
atraso e outro de terceira ordem de fase não mı́nima. Dos testes foi possı́vel confirmar que a ferramenta AEFuzzy
consegue sintonizar um PID fuzzy para qualquer sistema compensado. Conclui-se também que o AEFuzzy
apresenta atributos de simplicidade, generalidade e eficiência no auxı́lio a sı́ntese de controladores fuzzy.
Palavras-chave—
1
Controle inteligente, sistemas nebulosos, algoritmos evolutivos, fuzzy.
Introdução
Os sistemas ou processos, industriais ou não, normalmente precisam ter a sua dinâmica compensada ou serem controlados para adequar-se a certas caracterı́sticas parametrizadas de desempenho, como: baixa oscilação, rapidez de resposta,
precisão e robustez, tudo isso face a perturbações,
ruı́dos, restrições no estado e controle, além de
diversas não linearidades e incertezas. Quando
o comportamento relevante pode ser descrito por
modelos aproximadamente lineares, num particionamento adequado em intervalos do espaço de estados, no entorno das correspondentes condições
nominais de operação, em geral, a primeira abordagem consiste na sintonia de soluções clássicas,
que utilizam realimentações das variáveis de saı́da,
para cada intervalo. Temos então o problema global “quebrado” em dois: o da sintonia em cada
intervalo e o da transição entre intervalos no controle de “movimentos” amplos no espaço de estados. Na literatura diversos autores propõe a “fuzificação” de soluções baseadas na sı́ntese clássica,
visando ampliar os intervalos de validade das soluções, além de melhorar os parâmetros de desempenho. Neste trabalho, colocamos ênfase especial
no esforço de controle. Essas soluções “fuzificadas” teriam a vantagem adicional de possibilitar
uma interpolação fuzzy, que garantiria uma transição “suave” no controle entre intervalos. Os maiores problemas nas soluções disponı́veis são a falta
de uma sistemática consistente de sı́ntese baseada
em critérios objetivos e a dificuldade de generalização. Assim, neste trabalho são apresentadas
estratégias sistematizadas de sı́ntese fuzzy e uma
interface adequada de auxı́lio à sı́ntese otimizada,
AEFuzzy.
Os populares controladores PID são simples,
flexı́veis e tem, em geral, bom desempenho. Eles
são objeto de modificações heurı́sticas para ampliar o seu uso em sistemas não lineares, ou com
parâmetros variáveis, através da adaptação de
ganhos, (Sharkawy, 2010). Entretanto, em casos onde o sistema apresenta fatores complicadores, como incertezas e não linearidades relevantes, uma das alternativas mais promissoras
acaba sendo o controle inteligente, como visto em
(Abeywardena et al., 2009). Nestes casos, a sintonia pode não ser trivial, assim, alguns métodos de
sı́ntese e modelagem práticos e com menos complexidade, como algoritmos iterativos de busca baseados somente em uma função custo (fitness),
foram desenvolvidos, como o Algoritmo Genético
(Bertolani et al., 2014; Costa et al., 2010).
É neste contexto, que apresentamos uma aplicação desenvolvida, denominada AEFuzzy, para
a sı́ntese de ganhos e termos de controladores
fuzzy, utilizando técnicas de inteligência computacional (Algoritmo Genético e Evolução Diferencial), a partir de PIDs clássicos sintonizados a priori. Além de contribuir com o desenvolvimento
de sistemas fuzzy para a área de controle e modelagem de plantas, a relevância deste trabalho
está em propor uma metodologia de ajuste de con-
troladores fuzzy utilizando algoritmos evolutivos,
obtendo resultados melhores que os compensadores clássicos, dando ainda importância ao esforço
de controle, normalmente negligenciado na literatura.
Este trabalho é dividido em 4 partes: a Seção 2 contextualiza o trabalho proposto, a Seção 3
explica o funcionamento completo do AEFuzzy,
apresenta e justifica a estrutura fuzzy utilizada
pela interface e expõe brevemente os algoritmos
utilizados: Algoritmo Genético (AG) e Evolução
Diferencial (ED). As implementações dos dois algoritmos e de todas as funcionalidades da ferramenta se encontram detalhadas em (Silva, 2014).
A Seção 4 apresenta os resultados e as análises realizadas, sendo as conclusões expostas na Seção 5.
2
Contexto da Estratégia Proposta
Em (Carli et al., 1994) é proposta uma estratégia de um sistema fuzzy embarcado para o ajuste
dos parâmetros de controle, Kp e Ki, de um
controlador PI, em função do erro estacionário
e da derivada do erro. De forma análoga, em
(Sharkawy, 2010) é apresentado um controlador
PID utilizado para o controle de sistemas de freio
automotivo ABS. No entanto, diferentemente do
primeiro, os parâmetros, Kp, Kd e Ki, são sintonizados em tempo de execução por um sistema
fuzzy-genético.
Um controlador hı́brido fuzzy-não linear é
proposto em (Ferreira et al., 2010) para o controle dos movimentos em marcha ré de Robôs Móveis Multiarticulados (RMMAs). Este se diferencia dos demais já citados por propor um controlador fuzzy, enquanto nos outros, a técnica fuzzy
é utilizada para interpolação dos ganhos dos controladores clássicos em tempo de execução.
Em (Abeywardena et al., 2009) aplica-se a
lógica fuzzy como uma estratégia para estabilizar e controlar um Veı́culo Aéreo Não Tripulado
(VANT), demonstrando, juntamente dos outros
trabalhos citados, a grande aplicabilidade dos sistemas fuzzy, que aumentam o escopo de atuação
das soluções clássicas. Sua sı́ntese pode ser realizada com o auxı́lio de algoritmos genéticos, como
visto em (Bertolani et al., 2014), que propõe um
software denominado A4G que utiliza o algoritmo
genético para ajustar 4 ganhos que compõem o
controle não linear de RMMAs.
Diferentemente dos trabalhos supracitados, o
artigo propõe a substituição de controladores PID
de sistemas já sintonizados, por compensadores
fuzzy que apresentem desempenho igual ou superior as suas versões clássicas. Neste processo, a
interface permite que se realize uma ação de sı́ntese comparando diferentes soluções podendo obter, como ganho adicional, soluções melhores.
3
Software AEFuzzy
Essa seção é destinada a apresentação da interface e do funcionamento da ferramenta desenvolvida AEFuzzy (Algoritmos Evolutivos para sı́ntese
de controladores Fuzzy). Este programa foi implementado no MATLABr e sua interface elaborada
através do pacote de ferramentas gráfico GUIDE.
3.1
Lógica fuzzy e Estrutura Utilizada
A estrutura do controlador fuzzy utilizada nos testes e sintonizada pelo AEFuzzy foi baseada no
trabalho apresentado em (Jantzen, 1998a; Jantzen, 1998b), em que é proposta uma sistemática de
sı́ntese de controladores fuzzy baseada nos conhecimentos prévios de PIDs clássicos já sintonizados, substituindo os controladores lineares através
de uma equivalência de ganhos (Kp = GE · GU ,
Kd = GCE · GU e Ki = GIE · GU ) e da inserção
de um sistema de inferência fuzzy.
A estrutura, denominada controlador inteligente, apresentada por (Jantzen, 1998a) e utilizada neste trabalho, compõe-se de um núcleo PDfuzzy somado a integral do erro (FPD+I). Esta
foi reproduzida no Simulink (MATLABr) e representada na Figura 1.
O núcleo fuzzy utiliza o modelo linguı́stico de
Mamdani, cujo método de inferência é do tipo
max − min, e para a defuzificação, emprega o método do centro de gravidade. As variáveis linguı́sticas são compostas pelo erro, a derivada do erro
e a saı́da dessa inferência, com granularidade ı́mpar, sendo estes os conjuntos central, zero (ZE),
e os demais, os lados positivo e negativo.
A estrutura fuzzy do controlador proposto
funciona como um somador simples, ou seja, representa a soma do erro com sua derivada compensados pelos seus respectivos ganhos. Por ser
simples na formação da sua base de regras, este
controlador apresenta uma estrutura interessante,
pois possibilita a configuração do compensador de
maneira intuitiva e generalizável, ao contrário da
base proposta por (Jantzen, 1998b).
Uma base de regras de um FPD+I com 7 conjuntos em cada variável de entrada pode ser conferida na Figura 2.
3.2
Algoritmos Evolutivos
Os algoritmos evolutivos são inspirados nos mecanismos adaptativos utilizados pela natureza para
a solução de problemas. O uso destas técnicas
justifica-se pelo fato de que a otimização de um sistema através dos algoritmos evolutivos não exige
grande conhecimento da planta, sendo ainda assim
possı́vel encontrar uma solução ótima.
Atualmente, é comum, encontrar aplicações
e trabalhos que utilizam essa estratégia genética
na otimização de processos e sintonia de controladores, como em (Bertolani et al., 2014), em
Figura 1: Estrutura de controlador fuzzy FPD+I.
Além disso, como as variáveis GE, GCE,
GIE e GU dependem do valor dos ganhos do controlador clássico, GE pode ser variado para alterar
a escala de todos os outros ganhos, sendo, então,
adicionado ao indivı́duo:
T
GE · rand(1)
individuo =
.
individuo
Figura 2: Base de regras de um FPD+I.
(Sharkawy, 2010), em (Saad et al., 2012) e em
(Costa et al., 2010).
Tanto o AG quanto a ED geram uma população inicial de N indivı́duos e, dentro de um certo
número de gerações, aplica sobre esta população
operações genéticas de crossover, mutação e seleção para gerar iterativamente a próxima geração
de indivı́duos.
O software AEFuzzy permite ao usuário selecionar a composição dos indivı́duos, que podem
ser formados de duas maneiras diferentes: os conjuntos fuzzy ficam igualmente espaçados dentro do
universo de cada variável linguı́stica e os limites
variam,

T
limiteerro · rand(1)
individuo =  limitederro · rand(1)  ,
limitesaida · rand(1)
ou os limites de cada universo são fixados e os
conjuntos fuzzy variam,

T
limiteerro · rand(1, N e)
individuo =  limitederro · rand(1, N de)  ,
limitesaida · rand(1, N sa)
Os termos limiteerro , limitederro e limitesaida
são os valores máximos que o universo fuzzy de
cada variável pode alcançar. Já os parâmetros
N e, N de e N sa correspondem ao número de cromossomos de cada indivı́duo. A função rand()
cria a primeira população aleatoriamente.
Cada genótipo do indivı́duo (GE e limites ou
conjuntos) são formados por números reais aproximados até a segunda casa decimal para que os
resultados pudessem ser reconstruı́dos posteriormente.
Algumas particularidades do problema são
utilizadas para diminuir a dimensão do espaço de
busca, caso contrário, o problema de otimização
seria de grande porte. Neste sentido, as contribuições deste trabalho são as seguintes:
• como o sistema se comporta de forma análoga
para valores negativos e positivos do erro e
de sua derivada, o número de termos a serem
sintonizados pode ser reduzido pela metade;
• visto que os conjuntos fuzzy devem ter crossover 0.5, dado que uma regra deve na soma de
todas as possibilidades ter peso 100% (µx =
µconjunto1 +µconjunto2 = 0.5+0.5 = 1), podese sintonizar apenas os picos de cada conjunto;
• finalmente, para que os conjuntos sejam simétricos em relação à origem, o conjunto zero,
deve ter seu pico na origem, reduzindo o tamanho do indivı́duo em 1.
Desta forma, para o caso de conjuntos vari.
ando, os indivı́duos de cada variável se resumem
apenas ao ganho GE e aos picos dos conjuntos
positivos. A avaliação da aptidão de cada indivı́duo é chamada de fitness e é calculada a partir da
soma do erro quadrático entre a resposta ao degrau do sistema compensado pelos controladores
fuzzy e clássico, como apresentado na Equação 1.
f itness = P
1
|yf uzzy − yclássico |2
(1)
Figura 3: Interface gráfica da ferramenta desenvolvida, AEFuzzy.
3.3
A Interface Gráfica
A interface gráfica do AEFuzzy pode ser conferida na Figura 3. No topo da interface, o usuário
pode escolher entre duas opções de algoritmos evolutivos: AGFuzzy e EDFuzzy, que correspondem,
respectivamente, ao Algoritmo Genético e ao algoritmo de Evolução Diferencial.
Na região “Parâmetros”, coloca-se o numerador e o denominador da função de transferência
de malha aberta da planta, os parâmetros do controlador PID clássico a ser copiado, os parâmetros
dos algoritmos evolutivos, como: taxa de crossover, taxa de mutação, taxa de exclusão (exclusiva
do AG), e elitismo. Além disso, o AEFuzzy possibilita ao usuário configurar os parâmetros fuzzy
do sistema: número de variáveis linguı́sticas, o valor do ganho GE e dos limites fuzzy. Caso a opção
seja pela variação de GE e/ou dos limites, os valores configurados previamente valerão, então, como
os limites de variação desses parâmetros.
O programa também possibilita a escolha do
tempo de simulação. Este parâmetro está ligado
diretamente à dinâmica do sistema compensado.
Isto é, caso exista algum comportamento que se
deseja copiar para o controlador fuzzy, como por
exemplo, variações de transitório que ocorram até
2 segundos de simulação, então, neste campo deve
ser colocado pelo menos 2 segundos, para que a
curva da resposta ao degrau do sistema englobe
essa dinâmica. Além disso, o programa também
adiciona ao sistema uma perturbação que ocorre
na metade do tempo de simulação, para que o controlador não só seja capaz de permitir que o sistema responda como o compensado pelo controlador clássico no regime transitório, como também
no regime regulatório.
4
Resultados e Discussões
Os resultados foram obtidos a partir de três plantas com diferentes caracterı́sticas: uma de quarta
ordem, uma de segunda ordem com atraso e outra
de terceira ordem de fase não mı́nima, vide Equações 2, 3 e 4 respectivamente. Mesmo que os testes tenham sido realizados unicamente em simulação, pelas caracterı́sticas dos sistemas apresentados abrangerem situações recorrentes em plantas reais, as soluções obtidas se mostram válidas
e comprovam sua aplicabilidade prática.
G1 (s) =
G2 (s) =
1500
s4 + 40.67s3 + 401.67s2 + 250s
(2)
10e−1s
10 − 5s
= 3
(1 + 8s)(1 + 2s)
8s + 21s2 + 10.5s + 1
(3)
G3 (s) =
1 − 10s
1 − 10s
= 3
(1 + s)3
s + 3s2 + 3s + 1
(4)
A Equação 2 mostra uma planta com 4 polos
sendo um na origem, caracterı́sticas essas representativas de situações reais. O controlador clássico sintonizado para esta planta G1 está mostrado
na Equação 5. As funções de transferência de malha aberta apresentadas nas Equações 3 e 4 foram
retiradas de (Saad et al., 2012), e seus controladores PID podem ser conferidos, respectivamente,
nas Equações 6 e 7.
C1 (s) =
1.08s2 + 0.95s + 0.07
s
(5)
C2 (s) =
1.34s2 + 0.68s + 0.07
s
(6)
C3 (s) =
0.11s2 + 0.19s + 0.07
s
(7)
A planta G2 , apresentada na Equação 3, possui um atraso que é substituı́do por uma aproximação de Padé de primeira ordem. Na prática,
atrasos são corriqueiros e podem tornar complexa
até a questão da estabilidade.
A planta G3 , representada na Equação 4, tem
um zero real positivo, constituindo um sistema de
fase não mı́nima. Em malha fechada, gera um caminho de ganho positivo para um dos polos até
o lado instável do eixo real. Mesmo com os devidos cuidados para que o sistema seja estável, a
dinâmica desta planta realimentada possui uma
resposta inversa inicialmente que aumenta o erro
à entrada, exigindo mais esforço do controlador.
As três plantas e seus devidos controladores
foram testados pelo AEFuzzy. Os parâmetros de
configuração dos algoritmos AG e ED e do sistema fuzzy para as três plantas podem ser conferidos nas Tabelas 1 e 2. Os testes ocorreram tanto
para o caso de limites fixos quanto para variáveis.
Além disso, o ganho GE foi configurado para fazer parte do indivı́duo, indo de 0.01, para que os
ganhos não tenham valor nulo, a 12. Os tempos
de simulação de G1 , G2 e G3 foram de 3.5, 25 e
70 s, respectivamente.
Figura 4: Variável linguı́stica erro para planta G1
com limites fixos usando AG.
A resposta ao degrau unitário do melhor indivı́duo encontrado para planta G3 , com limites fixos usando ED, pode ser conferida na Figura 5 juntamente da curva referência a ser copiada. Nota-se que as diferenças são desprezı́veis.
2.5
Referência
ED − Limites fixos
2
AG
ED
Tamanho população
Taxa de cruzamento
Taxa de mutação
Taxa de exclusão
Número de gerações
Elitista
100
0.9
0.02
0.05
100
Sim
100
0.9
0.6
100
Sim
Amplitude
1.5
Parâmetro
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
10
20
30
40
50
60
70
Tempo (s)
Fixos
Variáveis
conjuntos
Erro mı́n
Erro máx
dErro mı́n
dErro máx
Saı́da mı́n
Saı́da máx
GE mı́n
GE máx
5
-100
100
-200
200
-300
300
0.01
12
5
-150
150
-250
250
-400
400
0.01
12
12
Referência
ED − Limites fixos
10
Referência
ED − Limites fixos
2
1
8
0
Amplitude
Limites
No
Figura 5: Resposta ao degrau unitário para a
planta G3 com limites fixos usando ED.
Amplitude
Tabela 1: Configuração dos parâmetros dos algoritmos AG e ED
6
4
−1
−2
−3
2
−4
Tabela 2: Configuração dos parâmetros fuzzy.
Vale ressaltar que todos os resultados mostraram exito na cópia do compensador clássico,
vide Tabela 3. Posto isso, a Figura 4 apresenta a
variável linguı́stica erro do melhor indivı́duo encontrado para o caso de limites fixos utilizando
AG. Nota-se que os conjuntos N M e N P , e P P
e P M se agrupam, gerando o equivalente a uma
variável de somente 3 conjuntos fuzzy. É notória
a vantagem na diminuição do processamento, que
ao invés de ter que computar 25 regras, processará
apenas 15, mostrando a contribuição da utilização
do AEFuzzy para a obtenção de modelos mı́nimos.
0
−2
0
−5
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
−6
35
35.01
35.02
35.03
Tempo (s)
Tempo (s)
(a) Transitório.
(b) Pertubação.
Figura 6: Detalhes do esforço de controle para a
planta G3 com limites fixos usando ED.
Os detalhes do esforço de controle para o transitório e para pertubação no instante t = 35 s são
apresentados na Figura 6.
Nota-se que na Figura 6a o esforço de controle
no transitório do sistema com compensador fuzzy
foi maior no intervalo [0.0055; 0.0205] segundos,
35.04
que o da resposta para o compensador clássico,
entretanto, o esforço manteve-se em um intervalo
fixo de −6.46 a 6.46 tanto no transitório quanto
no momento de pertubação, Figura 6b. É comum
considerar o esforço de controle no cálculo da fitness para penalizar o indivı́duo. Desse modo, a
partir dos resultados encontrados com o AEFuzzy,
o usuário pode de forma intuitiva estreitar o universo de busca, para eliminar respostas que apresentem esforço de controle fora da faixa de saturação. Vale ressaltar que, geralmente, os sistemas
compensados com controladores clássicos possuem
maior esforço de controle ante os compensados
com controladores FPD+I, Tabela 4. Esta vantagem dos sistemas fuzzy contribuem para seu uso
em substituição aos sistemas clássicos.
AG
ED
Limites
Fixos
Variáveis
Fixos
Variáveis
G1
G2
G3
96.55%
97.06%
89.27%
92.12%
90.95%
92.54%
96.65%
97.00%
99.24%
97.61%
97.23%
93.08%
Tabela 3: Fitness normalizada de cada sistema
testado.
Ref.
AG
ED
Limites
-
Fixos
Variáveis
Fixos
Variáveis
G1
G2
G3
108.95
134.68
11.19
92.72
47.31
10.61
71.49
92.34
14.45
37.84
61.85
6.46
100.17
137.70
15.91
Tabela 4: Máximo valor absoluto do esforço de
controle.
A Tabela 3 apresenta um cálculo de fitness
normalizada calculada como segue, na Equação 8,
sendo norm() a norma 2, y a resposta obtida pelo
sistema com FPD+I, ref a resposta obtida pela
referência e m(ref ) sua média.
norm(y − ref )
f itness(%) = 100 − 100 ·
(8)
norm(ref − m(ref ))
5
Conclusões
Na Tabela 4 é possı́vel notar que o esforço de controle máximo absoluto dos resultados obtidos normalmente são menores que o gerado pelos controladores clássicos. Além disso, o algoritmo ED encontrou o melhor indivı́duo de cada planta, sendo
possı́vel obter respostas aceitáveis em distintas
abordagens na formulação da sı́ntese fuzzy otimizando termos ou limites de intervalos, Tabela 3.
Tendo em vista os resultados apresentados,
podemos concluir que, de fato, a interface e a estratégia propostas proporcionam as seguintes vantagens: as soluções são simples e generalizáveis,
podem ser customizadas e tem sua aplicabilidade
demonstrada para uma ampla gama de dinâmicas.
O AEFuzzy também possibilita o ajuste adequado
num domı́nio ou intervalo de interesse, copiando
soluções clássicas nesse intervalo e, como ganho
adicional, possibilitando uma melhora na solução,
contribuindo no processo de sı́ntese. Também permite melhorias na modelagem do controlador se a
ferramenta encontrar soluções que explicitem possı́vel redução de ordem do modelo. Considerações
adicionais, como a análise dos algoritmos sem elitismo, são objeto para trabalhos futuros.
Referências
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