ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES
POR MEIO DE DERIVADAS
(CADERNO DE ATIVIDADES)
Luiz Gonzaga Alves da Cunha1
João Bosco Laudares2
1
Faculdade Única de Ipatinga/Departamento de Engenharia/ [email protected]
2
Puc-Minas/Departamento de Matemática/ [email protected]
Resumo
Este artigo apresenta recorte de uma Pesquisa realizada no Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática e descreve um Objeto de Aprendizagem (O.A.) embasado na
informática educativa. Foi elaborado por meio de atividades direcionadas ao estudo do
comportamento de funções pela análise de suas derivadas. Fundamentado na teoria da
sequência didática, enfatizou a interpretação geométrica da derivada para reconhecimento
de crescimento e decrescimento de funções, pontos máximo e mínimo, ponto de inflexão e
concavidade de uma função. Inseridos nesse ambiente de aprendizagem, estudantes de um
curso de engenharia exploraram a capacidade de visualização e interpretação gráfica. A
análise dos dados foi direcionada para as contribuições que o O.A. poderia proporcionar às
aulas exclusivamente expositivas.
Palavras-chave: Sequência Didática; Informática Educacional; Comportamento de
funções com derivadas.
INTRODUÇÃO
Este trabalho é um recorte de uma pesquisa realizada no Mestrado Profissional em
Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais e
apresenta uma metodologia de ensino que utiliza um Objeto de Aprendizagem (O.A.)
apoiado pela informática educativa. Este O.A. tem como tema central o estudo do
comportamento de funções por meio da análise de suas derivadas. Tal metodologia foi
aplicada em alunos do segundo período do curso de Engenharia Civil no interior de Minas
Gerais.
Como contribuição para um projeto denominado Estratégias de Ensino e
Aprendizagem de Matemática e Estatística na Educação Superior: Repensando Ambientes
de Aprendizagem, proposto pelos grupos de pesquisa Grupimem1 e Pinem2 e apoiado pela
FAPEMIG, esta Pesquisa é resultado de análises das metodologias utilizadas no ensino de
Matemática. Tais análises constataram a necessidade de diversificação das práticas
educativas com o intuito de promover interesse do aluno e, consequentemente, uma
aprendizagem mais efetiva.
1
2
Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática.
Práticas Investigativas em Ensino de Matemática
Com o objetivo de elaborar um ambiente de aprendizagem efetiva, abordaram-se
fundamentos teóricos tais como o O.A. inserido no contexto da Informática Educativa.
Esse referencial auxiliou a construção de um ambiente de ensino que estimulasse a
exploração, a visualização, a discussão, a construção de conceitos e a produção de
conhecimento.
Dessa forma, a ação do aluno que acontece por meio da visualização, da
experimentação, da interpretação e da criação de conjecturas, vai de encontro à passividade
presente em uma aula exclusivamente expositiva.
Com o intuito de atingir o estimulo do aluno e a compreensão efetiva, a estratégia
utilizada neste trabalho é uma ferramenta computacional construída por meio de um
software livre de geometria dinâmica (GeoGebra).
INFORMÁTICA EDUCATIVA E O ENSINO DE MATEMÁTICA/CÁLCULO
Dentre as características que se pode apresentar na utilização da tecnologia em sala
de aula, e mais precisamente do computador, destaca-se a importância da visualização e do
pensamento visual no ensino e aprendizagem de Matemática. (...) a linguagem visual no
estudo de cálculo revela-se de extrema importância, pois (...) muitos dos conceitos (...)
chegaram à forma como são ensinados hoje, apoiados nos métodos intuitivos e visuais.
(Couy, 2008). A relevância do processo visual na aprendizagem de Cálculo também é
citada por Tall quando afirma que negar a visualização é negar as raízes de muitas de
nossas mais profundas ideias matemáticas.
Diversas formas de pensamentos visuais aparecem em grande escala quando se
utilizam os computadores em sala de aula. Mesmo que o aluno seja levado a uma
interpretação equivocada daquilo que se observou, a ação visual tem seu valor pelo simples
fato de ter proporcionado o espírito investigativo.
Outra característica que se deve levar em consideração é a pratica da simulação
quantas vezes forem necessários devido ao dinamismo que tais recursos proporcionam. Tal
procedimento seria inviável se aplicados com a utilização de lápis e papel apenas.
Assim, a visualização e a simulação são características a ser levadas em
consideração quando se decide introduzir tecnologias em sala de aula como auxílio das
práticas pedagógicas. Nas aulas de Matemática, sua utilização pode proporcionar
ambientes favoráveis ao aprendizado.
SEQUÊNCIA DIDÁTICA DO OBJETO DE APRENDIZAGEM
A sequência didática planejada para esta Pesquisa é composta de atividades
encadeadas com o objetivo de proporcionar ao aluno, ao analisar a derivada de uma
função, a capacidade de entender o comportamento dessa função.
Serão descritas a seguir algumas atividades elaboradas acerca do estudo do
comportamento de funções por meio de derivadas apoiadas pela Informática Educacional.
Um Objeto de Aprendizagem foi construído baseados em applets a partir do software livre
de geometria dinâmica, o GeoGebra. Este O.A. procurou abranger elementos que
favorecessem a visualização, simulação e construção de conceitos.
Sua organização permitiu que cada sujeito envolvido pudesse compreender a
relação entre o comportamento da função e sua derivada. Tais atividades são constituídas
das seguintes sequências de atividades:
1ª ATIVIDADE - DEFININDO O CRESCIMENTO E O DECRESCIMENTO DE
UMA FUNÇÃO
Com o objetivo de conceituar função crescente e decrescente em um intervalo, esta
atividade estimula o aluno a investigar, em gráficos de funções, o comportamento da
imagem da função enquanto se variam os valores de “x” em seu domínio. Além disso,
promove discussões e conjecturas acerca da ideia de funções crescentes e decrescentes em
um intervalo e a compreensão desse conceito.
Ao interagir com o gráfico da atividade 1 (figura 1), o aluno é levado a movimentar
o ponto da função em intervalos pré-determinados para as abscissas e observar a variação
do valor da função nesses intervalos. Ao observar essas variações, o aluno elabora
conjecturas acerca do conceito de uma função crescente e decrescente em um intervalo.
Figura 1 – Gráfico da Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (Geogebra)
2ª ATIVIDADE - A RELAÇÃO ENTRE O CRESCIMENTO
DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO E SUA DERIVADA.
E
O
Objetivando a análise do crescimento e o decrescimento de uma função por meio
do sinal da derivada, essa atividade estimulou o aluno a investigar em gráficos de funções,
os sinais de sua derivada enquanto seu comportamento alternava de crescente e decrescente
e vice-versa. A compreensão da influência da derivada de uma função em seu
comportamento foi proporcionada pela visualização da derivada como taxa de variação e
declividade da reta tangente.
Ao observar o gráfico da atividade 2 (figura 2), o aluno foi levado a movimentar o
ponto da função em intervalos pré-determinados e realizar comparações entre o
comportamento da reta tangente, o coeficiente dessa reta e o valor da derivada. A seguir, o
aluno formula conjecturas acerca da relação entre os valores da derivada e o
comportamento crescente e/ou decrescente da função no intervalo estudado.
Figura 2 – Gráfico da Atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor (Geogebra)
3ª ATIVIDADE - ANÁLISE DOS PONTOS MÁXIMOS E MÍNIMO DA FUNÇÃO.
Nesta atividade a investigação em gráficos e a realização de discussões, também
foram incentivados. Conjecturas acerca da localização dos pontos de máximos e mínimos
por meio de derivadas da função promoveram a compreensão acerca da influência da
derivada na localização dos pontos críticos de máximo e mínimo.
Com gráfico da terceira atividade disponível, os alunos foram incentivados a
movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento de pontos críticos no
gráfico e assim, estimar as coordenadas desses pontos críticos já que as limitações gráficas
do GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas. Dessa forma, conjecturas são
formuladas acerca do comportamento da função e da derivada nas proximidades dos
pontos críticos e, consequentemente, segundo os comportamentos da função e da derivada,
classifica se o ponto crítico como de ponto de máximo ou de mínimo.
Figura 3 – Gráficos da Atividade 3
Fonte: Elaborado pelo autor (Geogebra)
4ª ATIVIDADE - ANÁLISE DO PONTO DE INFLEXÃO
Esta atividade estimula o aluno a investigar, em gráficos de funções (manipulando
comandos nos applets), a relação entre derivada de uma função e os pontos de inflexão.
Promove também discussões e a criação de conjecturas acerca da localização dos pontos de
inflexão, por meio de derivadas da função. Com o gráfico desta atividade disponível, o
aluno é levado a movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento do
ponto de inflexão e estimar suas coordenadas. Dessa forma, conjecturas são formuladas
acerca de como a derivada pode auxiliar na localização do ponto de inflexão.
Figura 4 – Gráfico da Atividade 4
Fonte: Elaborado pelo autor (Geogebra)
5ª ATIVIDADE - ANÁLISE DA CONCAVIDADE
Aqui o aluno é estimulado a investigar em gráficos de funções (manipulando
comandos nos applets), a relação entre derivada e o sentido da concavidade da curva de
uma função e com a s discussões e conjecturas promovidas compreendem a influência da
derivada na determinação do sentido da concavidade de uma curva. Com o gráfico da
atividade disponível, o aluno é levado a movimentar o ponto da função próximo ao ponto
de inflexão e observar os comportamentos da primeira e da segunda derivada e analisar a
variação da segunda derivada em função do comportamento da primeira derivada antes e
depois do ponto de inflexão. Dessa forma, conjecturas são formuladas acerca da utilização
da segunda derivada para determinar se a curva é côncava para cima ou para baixo.
Figura 5 – Gráfico da Atividade 5
Fonte: Elaborado pelo autor (Geogebra)
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A metodologia de elaboração das atividades pautou-se na representação geométrica
e foram organizadas em unidades didáticas ordenadas e articuladas que relacionam entre si
e proporcionam um valor didático.
À procura de diversificar as metodologias aplicadas no ensino de Cálculo, o Objeto
de Aprendizagem criado nesta Pesquisa diversificou utilizando, durante as atividades, o
processo de observação e investigação por meio de gráficos dinâmicos.
O Objeto de Aprendizagem cumpriu o seu papel uma vez que permitiu ampla
interação entre estudantes e o objeto de estudo, além de estimulá-los a fazer
experimentações e simulações. O uso da informática educativa por meio de um software
dinâmico permitiu a exploração e formalização de conceitos a partir de movimentação de
pontos, variação de abscissas e de ordenadas, dos valores e sinais das derivadas e dos
comportamentos dos gráficos das funções.
Destaca-se que, durante a aplicação do Objeto de Aprendizagem, mudanças
consideráveis foram percebidas nos alunos no que se refere à sua autonomia e postura
crítica e, à medida que a familiarização com o software aumentava, tais características se
tornaram mais evidentes.
Essa mudança de postura se refletiu no ambiente em sala de aula, onde
questionamentos e reflexões se tornaram mais frequentes e, dessa forma, a passividade
observada no início do processo, deu lugar a uma postura mais ativa perante o
desenvolvimento do conteúdo.
Por meio da utilização de um Objeto de Aprendizagem em ambientes
informatizados, esta pesquisa contribuiu de forma significativa para a flexibilização das
práticas docente e assim sendo.
Portanto, devido às contribuições ao ensino proporcionado por este Objeto de
aprendizagem, pretende-se divulgar este trabalho no meio acadêmico por meio do VII
Encontro Mineiro de Educação Matemática (EMEM), do VI Seminário Internacional de
Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM) e do XLIII Congresso Brasileiro de Educação
em Engenharia (COBENGE) no qual a apresentação deste já está confirmada.
Este Produto Educacional pode ser encontrado em:
https://drive.google.com/file/d/0B3tBA8fEVZghWl9hYTl0ME5mOW8/view
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de
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Disponível
em:http://reusability.org/read/ chpters/wiley.doc>. Acesso em: 10 fev. 2010.