PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Resistência dos
Materiais I
Notas de Aula
Profa. Maria Regina Costa Leggerini
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
I. OBJETIVO FUNDAMENTAL
A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das
diversas partes de um corpo quando sob a ação de solicitações.
Ao estudar-se o equilíbrio interno de um corpo, as solicitações internas fundamentais (M, Q,
N e Mt) são determinadas. Se está penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, em
suas diversas seções, a existência e a grandeza dos esforços que a solicitam.
A avaliação destes esforços foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostáticas que
deve preceder a Resistência dos Materiais.
Consideram-se corpos reais, isótropos e contínuos constituídos de pequenas partículas ligadas
entre si por forças de atração. Com a aplicação de esforços externos supõe-se que as partículas
destes corpos se desloquem e que isto prossiga até que se atinja uma situação de equilíbrio
entre os esforços externos aplicados e os esforços internos resistentes. Este equilíbrio se
verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformações
(mudança da forma original), dando origem à tensões internas.
Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que
admitiremos como igual à configuração inicial, pois em estruturas estaremos sempre no
campo das pequenas deformações.
Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre:
1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é deformação.
2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do corpo:
Isto é tensão.
É claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitações que
lhe são impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for
excessivo. É necessário conhecer esta capacidade para que se projete com segurança.
Pode-se resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo:
Cargas Externas Ativas
Estrutura
Tensões
Solicitações
Cargas Externas Reativas
Limite Resistente
do Material
Critério de Resistência
(Coeficiente de Segurança)
Deformaçõe
PROJETO
VERIFICAÇÃO
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II. TENSÕES
Conforme se citou, as tensões que se desenvolvem nas partículas de um corpo são
consequência dos esforços (força ou momento) desenvolvidos. Como os esforços são
elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como consequência também o será.
Lembra-se do método das seções visto em Isostática:
Supõe-se um corpo carregado e em equilíbrio estático. Ao se cortar este corpo por um
plano qualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seção cortada devem
se desenvolver esforços que se equivalham aos esforços da parte retirada, para que
assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços são decompostos e se
constituem nas solicitações internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das
partes deve levar ao mesmo resultado.
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a
situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da
ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.
r r
R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção
de corte da barra.
Partindo-se deste raciocínio pode-se afirmar que em cada elemento de área que constitui a
seção cortada, está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (integral) ao
longo da área mantém o equilíbrio do corpo isolado.
r
R = ∫ ρ.dA
A
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O Momento M resultante se deve à translação das diversas forças para o centro de gravidade
da seção.
r
A tensão média ( ρ m) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a
distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.
∆Α
∆F
Sejam:
∆A
r → Elemento genérico de área ∆Α
∆ F → Elemento de força que atua em ∆Α
r
ρ m → tensão média
r
r
∆F
ρm =
∆A
Como a tensão é um elemento vetorial se pode representá-la aplicada em um ponto
determinado, que obtem-se fazendo o elemento de área tender ao ponto (∆A→0), e então:
r
ρ = Tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto
r
r
r
∆F dF
ρ = lim
=
∆A → 0 ∆A
dA
ou gráficamente:
ρ
Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço
segundo três direções ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referência duas
direções contidas pelo plano da seção de referência "S" (x,y) e a terceira perpendicular à este
plano (n).
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y
τy
x
τx
z
σ
Isto permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias:
1. Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (τ) - contidas pela seção de referência
2. Tensão Normal (σ) - perpendicular à seção de referência
Costuma-se em Resistência dos Materiais diferenciar estas duas tensões pelos efeitos
diferentes que elas produzem (deformações) e se pode adiantar que normalmente trabalham-se
com estas componentes ao invés da resultante.
Também se pode convencionar como seção de referência a seção transversal da peça em
estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referência mudam também as
componentes.
S
τx
ρ τy
σ
S'
τx'
ρτy'
σ'
Existem casos em que a seção transversal não é a de maior interesse, como será demonstrado
oportunamente nas solicitações compostas. Nestes casos o procedimento será alterado.
A. TENSÕES NORMAIS (σ)
A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de
provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as
paralelas.
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Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica
longitudinal (ε).
1. Conceito:
É a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial,
sendo as medidas feitas na direção da tensão.
σ
σ
li
lf
li → comprimento inicial da barra
lf → comprimento final da barra
∆l →deformação total
∆l = l f - l i
ε=
Observe que no exemplo dado ∆ l > 0
∆l
li
portanto ε > 0 (alongamento)
Pode-se mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 conseqüentemente ε < 0 (encurtamento)
σ
σ
li
lf
Neste exemplo ∆ l 〈 0
portanto
ε〈0
2. Sinal:
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(+) alongamento→ Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva
(-) encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também será negativa
3. Unidade:
- adimensional quando tomarmos para ∆l a mesma unidade que para li
-Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos ∆l em mm e li em m(metros).
B. TENSÕES TANGENCIAIS (
τ)
É a tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou
cisalhamento nesta seção.
1. Lei da Reciprocidade das tensões tangenciais
Esta lei representa uma propriedade especial das tensões tangenciais. Pode-se provar a sua
existência a partir das equações de equilíbrio estático. Pode-se enunciá-la de forma simples e
aplicá-la.
Suponha duas seções perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das
faces deste diedro existir uma tensão tangencial normal a aresta de perpendicularidade das
faces, então, obrigatóriamente na outra face, existirá a mesma tensão tangencial normal a
aresta. Ambas terão o mesmo módulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de
perpendicularidade. São chamadas de tensões recíprocas."
Para facilitar a compreensão, pode-se representa-la gráficamente:
(c)
A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tensões de cisalhamento longitudinais,
recíprocas às tensões de cisalhamento desenvolvidas pelo esforço cortante.
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2. Distorção Específica ( γ )
Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.
Supõe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces.
Para melhor ser visualisar a deformação considera-se fixa a face compreendida pelas arestas
A e B.
C’
C
τ
τ
γ
D
D’
τ
A
B
tg γ =
CC' DD'
=
CA DB
τ
Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1
rad, então arco e tangente se confundem :
γ≅
CC' DD'
=
CA DB
2.1 Conceito:
Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva,
medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo
reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento.
2.2 Unidade:
As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específica
longitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional
representa um arco expresso em radianos.
III. DEFORMAÇÕES E ELASTICIDADE
Deformação é a alteração da forma de um corpo devido ao movimentos das partículas que o
constituem.
A tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre as
partículas representa a elasticidade do material. Quanto mais um corpo tende a voltar a sua
forma original, mais elástico é seu material, ou seja, quanto mais ele resiste a ser deformado
maior é a sua elasticidade.
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Pode-se diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma mola
presa a uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a sua
ruptura.
A. DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS
Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a sua
forma original.
Exemplo:
No exemplo acima, se medidas numéricamente as grandezas vamos ver que:
P1 P2
P
=
= ..... = n = k (constante elástica da mola)
d1 d 2
dn
Conclui-se que as duas propriedades que caracterizam uma deformação elástica são:
1. Deformações reversíveis
2. Proporcionalidade entre carga e deformação.
B. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS:
Se fosse aumentada a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a
proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre
restariam as chamadas deformações residuais.
Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico.
Note-se que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das
deformações.
Se fosse aumentada ainda mais a carga, o próximo limite seria a ruptura.
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IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Em Resistência dos Materiais trabalha-se com corpos que apresentam determinadas
características:
A. CONTINUIDADE:
Um corpo é considerado contínuo quando qualquer de suas amostras trabalha de maneira
idêntica as demais. Não havendo descontinuidade, as tensões e as deformações não variam
bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado.
Nestes casos tanto as tensões como as deformações podem ser expressas por funções
contínuas em relação as ordenadas dos pontos que constituem o corpo.
Observe-se que a continuidade não implica em homogeneidade pois podemos ter corpos com
material não homogêneo e no entanto eles trabalham de maneira contínua (exemplo :
concreto).
B. HIPÓTESE DE BERNOULLI (SEÇÕES PLANAS)
Bernoulli observou a seguinte característica no funcionamento dos corpos sujeitos à
solicitações:
"Uma seção plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma peça, continuará plana e
perpendicular ao eixo da mesma durante e após sua deformação.
Eixo longitudinal
Linha Elástica
C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo é igual
a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada.
Este princípio pode ser generalizado, mas só é válido quando causa e efeito forem diretamente
proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistência dos Materiais.
Somente em casos de peças submetidas a flambagem (desequilíbrio elasto-geométrico do
sistema) ou no Trabalho de Deformação este princípio não será válido devido a inexistência
de proporcionalidade entre causa e efeito, o que será oportunamente demonstrado.
Observe-se que este princípio já foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, no
cálculo das reações de apoio em uma estrutura isostática.
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=
+
V. LEI DE HOOKE
A maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, sendo os casos
mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais
moderno e ainda em estudo no campo da Resistência dos Materiais.
Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento
dos corpos em regime elástico.
As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas consequentes são proporcionais
enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material.
A Lei de Hooke pode ser representada pelas expressões analíticas:
σ
= E(mod . de elasticidade longitudinal)
ε
τ
= G (mod .de elasticidade transversal)
γ
Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinados
experimentalmente.
VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)
notação : εt
Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas direções
perpendiculares a da aplicação da tensão normal.
σ
σ
li
lf
D
D+∆D
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A. CONCEITO:
Deformação específica transversal é a relação entre a deformação apresentada e o seu
comprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à da tensão.
εt =
∆D
D
Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal levam as seguintes conclusões:
1.
ε e εt tem sempre sinais contrários
2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um mesmo
material
εt
= −µ
ε
O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também determinada
experimentalmente.
3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para qualquer
direção perpendicular ao eixo.
σ
σ
li
b
b+∆b
a
a+∆a
lf
∆a ∆b
=
= ε t = cons tan te
a
b
As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão:
G=
E
2(1 + µ)
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Resumindo:
εx =
σx
E
σx
−µ E
σ
ε z = −µ x
E
ε y = −µ
µ = Coeficiente de Poisson
VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA
Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tensão em uma só
direção. Na prática os corpos podem estar sujeitos a tensão em todas as direções, o que pode
ser simplificado reduzindo-as a três direções ortogonais tomadas como referência.
A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tensões normais com resultante
nas três direções tomadas como referência no espaço : x, y, e z.
y
σy
σz
σx
σx
x
σz
z
σy
Poisson observou que uma tensão provoca deformação em sua direção e em direções
perpendiculares a sua também.
Poisson:
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εt
= −µ
ε
∴
εt = - µ
σ
E
ε t = -µ
σ
E
Hooke:
σ
=ε
E
∴
O efeito da tensão σx seria:
σx
E
na direção x :
εx =
na direção y :
ε t − y = −µ
σx
E
na direção z:
ε t − z = −µ
σx
E
Pode-se fazer este raciocínio com as demais tensões.
Para determinação da deformação resultante em uma direção, por exemplo x:
σx
E
efeito de σx
εx =
efeito de σy
ε t − x = −µ
efeito de σz
ε t − x = −µ
σy
E
σz
E
Adotando-se o princípio da superposição de efeitos teríamos:
εx =
σy  
σx 
σ 
+  − µ  +  − µ z 
E 
E  
E
Esta expressão simplificada algébricamente fica:
εx =
[
(
1
σ x − µ σ y + σz
E
)]
análogamente
εy =
[
]
1
σ y − µ(σ x + σz )
E
e
εz =
[
(
1
σz − µ σ x + σ y
E
)]
Estas expressões se constituem na LEI DE HOOKE GENERALIZADA
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Observações:
1. Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção.
2. Para a dedução das expressões anteriores as tensões normais foram representadas de
tração e portanto positivas. Se alguma delas for de compressão deverá figurar nas
fórmulas com o sinal negativo convencionado.
3. Resultados positivos para a deformação específica indicam alongamentos enquanto que
resultados negativos significarão encurtamentos.
VIII . PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em
laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova.
No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e
regulamentados pela ABNT.
O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinam-se as TENSÕES LIMITES
dos diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório,
sem que se inicie o seu processo de ruptura.
Com a realização destes ensaios pode-se classificar os materiais em dois grupos:
materiais dúteis

materiais frageis
A. MATERIAIS DÚTEIS :
São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura.
Dentre os materiais dúteis ainda temos duas categorias:
1.
Dútil com escoamento real:
exemplo: aço comum
Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados atravéz de um
diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ).
No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte
modelo:
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reta OA - Indica a proporcionalidade entre σ x ε , portanto o período em que o material
trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis.
σp - Tensão de proporcionalidade
Representa o limite do regime elástico.
curva AB - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico
do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões
e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular
traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste
trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis.
σe - Tensão de escoamento
Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível
molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a
deformação que ele apresenta.
trecho BC - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer
falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.
curva CD - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime
plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora
perceptíveis nítidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as
deformações residuais.
σR - Tensão de ruptura
Conforme se pode analisar no ensaio acima, o material pode ser aproveitado até o
escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.
2.
Dútil com escoamento convencional
Exemplo: aços duros
Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento.
Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona este
limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO,
que é também a TENSÃO LIMITE do material.
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OBSERVAÇÕES:
Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentam
grandes deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico
com pequenas deformações residuais.
Apresentam uma propriedade importantíssima que é resistirem igualmente a tração e a
compressão. Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão.
B. MATERIAIS FRÁGEIS
Exemplo : concreto
São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura. O diagrama
σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke.
Nestes casos a tensão limite é a tensão de ruptura.
Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo
necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites:
σT = Limite de ruptura a tração
σC = Limite ruptura a compressão
Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração.
IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇA
Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Deve-se
aotar um índice que otimize este binômio.
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Pode-se dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão
limite em projetos é arriscada, pois os valores são trabalhados com diversos fatôres de
incerteza.
Em vista do que foi exposto adota-se o seguinte critério:
A tensão limite é reduzida divindo-a por um número que se chama coeficiente de segurança
(s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a
unidade. Então, para que haja segurança:
s ≥1
As tensões assim reduzidas, que são as que realmente se pode utilizar. São chamadas de
tensões admissíveis ou tensões de projeto. Para serem diferenciadas das tensões limites são
assinaladas com uma barra ( σ ).
σ adm =
σ lim
s
Resumindo analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos:
MATERIAIS DÚTEIS
σmáxt =
σmáxc
σe
= σe
s
(tensão de escoamento
admissível)
σe
=
= σe (tensão de escoamento
s
admIssível)
MATERIAIS FRÁGEIS
σmáxt =
σT
= σT (tensão de tração admissível)
s
σmáxc =
σc
s
= σc
(tensão de compressão
admissível)
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Uma barra de latão de seção circular de diametro 3 cm está tracionada com uma força
axial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diametro. São dados do material o
módulo de elastcidade logitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson
0,3.
R: 5,89 . 10-4 cm
2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma
força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e µ = 0,3 , qual a variação
unitária do seu volume ?
R: 0,000133
3. Suponha a barra do problema anterior sumetida à uma força axial de tração.
Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal
0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume
final desta barra?
R: 625,212 cm3
4. Uma barra de alumínio de seção circular de diametro 30 mm está sujeita à uma força de
tração de 50 kN. Determine:
a.
Tensão normal.
b. Deformação específica longitudinal.
c. Alongamento em uma distância padrão de 200 mm.
d. Variação do diâmetro.
e. Variação da área da seção.
f. Variação de volume em um comprimento padrão de 200 mm.
Admite-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2
µ = 0,25
5. A placa da figura é submetida a tensões normais de compressão na direção z de módulo
10 kN/cm2 . Sabe-se que a deformação é impedida na direção x devido à presença de
elementos fixos A e B. Pede-se :
a. Deformação específica na direção y
b. Deformação total na direção y
Dados do material :
E = 105 kN/cm2
µ = 0.86
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σz
z
y
x
σz
σz
z
z
A
B
y
x
6 cm
σz
σz
10 cm
2 cm
R: (a) 1,59 . 10-4
(b) 0,000636 cm
6. A figura abaixo mostra um prisma submetido à força P =30 kN e Q = 32 kN. As peças A
e B são fixas. Pede-se a deformação específica longitudinal na direção y e a deformação
total na direção z.
E = 103 kN/cm2
µ= 0,2
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z
Q
P
x
y
P
Q
P
z
A
x
B
4 cm
B
2 cm
P
4 cm
Q
A
z
x
Q
R: εy = - 4,08 . 10-3
∆lz = 5,64 . 10-3 cm
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7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50
mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força
aplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em
uma distancia padrão de 300 mm. O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm.
Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.
R: µ= 0,33
E =0,7 . 104 kN/cm2
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CAPÍTULO II
TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL (SIMPLES)
I. CONCEITO:
Quando um corpo que está sob ação de forças externas, na direção do seu eixo longitudinal,
origina-se Esforços Normal no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a situação.
Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará.
Adotando-se o método nas seções, e seccionando o corpo, na seção de corte de área A, deve
aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de manter o equilíbrio das partes
do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as partes isoladas forem novamente
unidas, voltamos a situação precedente ao corte.
Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da
seção de corte é necessária para manter o equilíbrio.
Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização
simplificada por vistas laterais.
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P
P
P
σ
N
N
σ
P
P
P
Σ FV = 0
∴
N-P=0
N=P
Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua (A),
ficando a tensão definida pela expressão:
sendo:
σ=
N
A
N → Esforço Normal desenvolvido
A→ Área da seção transversal
A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e
treliças.
A convenção adotada para o esforço normal (N)
+ tração
Normal N
- compressão
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Nas tensões normais, adota-se a mesma convenção.
As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke:
P
P
l
l + ∆l
ε=
∆l
l
ε=
σ =
N=P
∆l σ
=
l
E
σ
E
N
A
∆l N
=
l
EA
∴
∆l =
ou :
N.l
E.A
II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Ao adotar-se as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é
idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para
o equilíbrio da força N.
Pode-se calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção forem somadas
todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a
seção transversal.
N = ∫ σ.dA
A
No caso de adotar-se a distribuição uniforne, em todos os elementos de área atua a mesma
tensão. Decorre daí que:
N = σ. A
Nos materiais reais esta premissa não se verifica exatamente. Por exemplo, os metais
consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas.
25
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o
diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante
irregular.
Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria
matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.
Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo,
maior será o pico de tensões normais.
Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados
corretos.
Dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são
mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção.
Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem
ser verificadas a flambagem.
A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode
provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.
26
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III. TRELIÇAS
Treliça ideal é um sistema reticulado, indeformável, cujas barras tem todas as extremidades
rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas. Pelo fato das rótulas não transmitirem
momento e devido à ausência de cargas nas barras podemos dizer que as barras de uma treliça
estão sujeitas apenas a esforços normais que devem ser calculados.
Treliça é uma opção estrutural em casos de grandes vãos ou grandes carregamentos em que
estruturas tradicionais seriam muito pesadas e dispendiosas. Como as treliças são constituídas
de barras delgadas o peso próprio destas barras é desprezado.
Exemplo:
P
P
B
A
C
P
P
D
F
G
E
H
Observações:
1. Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus
vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:
P
P
2. As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencerem vãos
maiores ou suportar cargas maiores.
3. Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliças
planas, que será o estudado em nosso curso.
4. Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotação
relativa nos nós), conforme figura a. Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta
forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós atravéz de chapas auxiliares, nas quais
rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b).
27
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(a)
(b)
Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós,
com o aparecimento de pequenos momentos nas barras.
Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo
plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os resultados reais
diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria que vamos desenvolver, sendo ela
válida do ponto de vista prático.
A. TRELIÇAS PLANAS
Pode-se facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades
rotuladas (rótulas não absorvem momento), e por terem as cargas aplicadas apenas nos nós,
desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras.
Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça.
Sabe-se que uma rótula não transmite momento, e apenas esforços na direção do eixo da
barra. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós.
A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem
esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém
sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço
cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas
extremidades momentos nulos.
P
P
Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao
longo da mesma.
Como o esforço normal é constante ao longo da barra pode-se calcular o seu valor em uma
seção qualquer da barra que se deseja.
Lembrando a convenção adotada considera-se positivo os esforços de tração e negativos os
esforços de compressão.
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B. CLASSIFICAÇÃO QUANTO A SUA ESTATICIDADE
Pode-se classificar uma treliça quanto a sua estaticidade de maneira muito simples.
Sejam:
b - número de barras
n - número de nós ou rótulas
r - número de reações externas
As incognitas do problema serão em número de (b + r), representando o número de reações (r)
e a solicitação de esforço normal em cada barra (b).
O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam duas equações de equilíbrio de
um ponto material (Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ).
Então:
r+b〈2n
Treliça hipostática.
r+b=2n
Sugere tratar- se de uma treliça isostática, o que não pode ser confirmado sem
antes analisarmos os apoios externos e a lei de formação interna da treliça em questão.
r+b>2n
Sugere tratar- se de uma treliça hiperestática, sendo válidas as observações
feitas no caso anterior.
C. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO
Quanto a formação as treliças podem ser :
1. Simples :
A treliça será simples se puder ser obtida a partir de configurações indeformáveis pela adição
de duas a duas barras partindo nós já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas
novas barras).
Exemplo:
2. Composta
A treliça é isostática é composta quando for formada por duas treliças simples ligadas por 3
barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra sendo que
esta barra não concorre no nó citado.
A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de duas treliças simples, mediante o
cálculo prévio dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins de
cálculo estático.
30
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Exemplo:
3. Complexa:
Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem
composta. Observe que não se pode afirmar se ela é isostática pela simples análise (b+r = 2 n)
dos números de barras e nós, que é uma condição necessária mas não suficiente para garantir
a isostaticidade.
Exemplo:
D. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS SIMPLES
MÉTODO DOS NÓS
É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado.
Devemos INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à
determinar (esforço normal de 2 barras). Aplicamos as equações de equilíbrio estático:
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem determinadas (2 incógnitas) 2 equações
não bastam para a solução do sistema.
1 - Cálculo das reações externas (se necessário)
2 - Escolha do 1º nó à ser examinado
3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido
4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar
se ela tem apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas)
31
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OBS: Este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que por acaso
forem cometidos.
20 kN
Exemplo 1:
20 kN
F
E
3m
C
D
3m
A
B
3m
R: VA = - 40 kN
HA = 20 kN (← )
NAB = 0
NAD = + 28,28 kN
NCD = - 20 kN
NCF = + 28,28 KN
NDF = - 40 kN
VB = 60 kN
NAC = + 20 kN
NBD = - 60 kN
NCE = 0
NEF = - 20 kN
IV. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS
O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser
resistidas. Pode-se observar como se dá a ação do peso próprio:
Peças de eixo vertical
Peças de eixo horizontal
pp
G
32
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Nota-se que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal ao
eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante.
No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peça e
provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculação:
Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este efeito
é de compressão.
O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma
pelo peso específico do material:
G = A.γ.l
Sendo:
A - área da seção transversal da peça
l - comprimento
γ – peso específico do material
Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples.
A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada
resistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas
dimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor desprezível em
presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezar-se o peso próprio da peça.
Exemplo: Treliças e tirantes.
A. ESFORÇOS, TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Considere uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme figura
abaixo:
Sejam:
G
A - área de seção transversal da peça
γ - peso específico do material
l - comprimento da peça
P
P - carga externa atuante na peça
Pode ser feita a determinação de uma expressão genérica para o cálculo das tensões normais
desenvolvidas ao longo da barra e a deformação total consequente.
Usando o método das seções a barra é cortada por uma seção S qualquer e isolado um dos
lados do corte.
Separar-se em duas partes um corpo. Sendo uma delas extremidade livre, é conveniente que
esta parte seja isolada pois evita o cálculo das reações vinculares.
33
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Como o peso do material deve ser considerado, na seção cortada deve aparecer um esforço
normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado.
Isto indica que a posição da seção de corte tem agora importância, pois ela determina o peso
da peça isolado pelo corte.
De acôrdo com esta conclusão deve-se criar uma variável que nos indique a posição da seção
de corte desejada.
Fazendo x ser uma ordenada genérica da posição da seção à ser analizada e como a barra tem
um comprimento L:
N(x)
0≤x≤L
S
x
g(x)
P
Aplica-se a equação de equilíbrio pertinente:
Σ Fy = 0
N-P-g=0
N = P + g(x)
onde g(x) é o peso parcial da barra isolada pelo corte
Para que seja avaliado o peso de um corpo, multiplica-se o seu volume por seu peso
específico
V = A.x
∴
gx = A . γ . x
N=P+A.γ .x
Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de
referência.
Como
x=0
x=l
0 ≤ x ≤ L pode-se calcular os valores extremos do esforço normal
N=P
Nmáx = P + A . γ . L
Chamando de G o peso total da barra
G = A.γ.l
Pode-se escrever de outra forma o máximo esforço normal:
34
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Nmáx = P + G
A descrição da variação do esforço normal pode ser expressa de forma gráfica:
Assim como se desenvolveram as expressões analíticas para o esforço normal, pode-se
desenvlver a expressão para as tensões normais:
σ (x) =
Sabendo que
Como
N
A
N(x) = P + A . γ . x
σ (x) =
então:
σ(x) =
P + A.γ.x
A
ou
P
+ γ.x
A
Substituindo x por seus valores extremos tem-se:
x=0
x=L
σ=
P
A
σmáx =
P
+ γ .l
A
Com modificações algébricas pode-se expressar o valor da tensão máxima em função do peso
total da barra, colocando A como denominador comum às parcelas:
σmáx =
P + A.γ.l
A
ou
σ máx
=
P +G
A
Para a determinação da deformação total ( ∆ l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga
externa (P) e ao seu peso próprio (G), e utiliza-se o método das seções. Isola-se um trecho
35
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
desta barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando
um prisma de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx +
∆dx.
N+∆N
S
S
dx
l
dx +∆dx
dx
S’
S’
N
x
P
ε=
σ=
σx
E
∆ dx
dx
∴
∴
∆ dx =
∆ dx = ε . dx
σx
. dx (alongamento do trecho de comprimento dx)
E
como visto anteriormente
σx =
P
+ γ.x
A
então:
∆dx =
P
γ. x
dx +
dx
EA
E
Como se quer o alongamento da barra toda deve-se fazer o somatório dos diversos trechos de
comprimento dx que compõem a barra, ou seja:
 P 
 γ.x

∆l = ∫ 
.dx 
.dx + 
EA 
 E

0
l
Efetuando as integrais:
P.l γ. l 2
∆l=
+
E.A 2.E
36
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Pode-se expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo
algumas modificações algébricas:
∆l =
l 
G
P + 
EA 
2
Observações:
1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços
externos à peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio.
2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressos em
duas equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso
total da peça. A utilização de uma ou outra equação depende da conveniência do
problema.
3. Como foi utilizado na dedução destas expressões, um exemplo em que tanto a carga
externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas. No
caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deve-se mudar o sinal
da parcela correspondente.
V. BARRAS DE IGUAL RESISTENCIA
Se a área da seção transversal de uma barra varia contínuamente de modo que em todas as
seções atingimos a tensão admissível do material, a barra será chamada de igual resistência.
Existem duas razões para se variar a área da seção transversal de uma peça ao longo de seu
comprimento:
1. Se a área da seção fôr constante ao longo de seu comprimento, aproveita-se a tensão
admissível do material em apenas uma seção (a seção de tensão máxima) ficando as
demais com tensões abaixo da tensão que o material poderia estar desenvolvendo.
Pode-se conseguir uma economia de material diminuindo a área das seções onde a
tensão é inferior à tensão admissível.
2. Nos casos em que o peso específico do material é elevado em presença de sua
resistência procura-se variar a área da seção tornando a peça mais leve e econômica.
Para atingir-se a situação ideal que descreve uma barra de igual resistência, deve-se formar
uma equação que determine a lei de variação da área, mantendo a tensão constante e no
máximo. Se chegaria à uma lei logarítmica do tipo:
A=
γ
x
σ
Ao . e
onde Ao é a área inicial (situação mais favorável), γ o peso específico do material, σ a
tensão admissível do mesmo e x a variável que marca a posição da seção na peça.
O que teóricamente seria o ótimo, pela dificuldade de execução não se mostra econômico pois
não é fácil a execução de uma peça com seção variando segundo uma lei logarítmica. Pode-se,
entretanto, fazer a área da seção variar descontinuamente, mantendo-a constante em
determinados trechos e assim torná-la mais leve e portanto mais econômica.
37
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Este procedimento simplificado leva ao que se chama de barra de igual resistência
aproximada , o que na prática é o mais usado.
VI. SISTEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
Se diz que um sistema é estáticamente indeterminado quando necessita-se de mais condições
para resolvê-lo do que as simples condições estáticas.
A. PEÇAS CONSTITUÍDAS DE DOIS MATERIAIS DIFERENTES E COAXIAIS
Na prática surge frequentemente a necessidade de se projetar peças constituidas de dois ou
mais materiais diferentes, sujeitas á tração ou compressão axial.
Como exemplo para o problema vamos supõe-se um cilindro envolto por um tubo. As peças
são construídas em materiais diferentes e comprimidos entre os pratos de uma prensa. Sendo
os materiais coaxiais tem o centro de gravidade comum.
38
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Corta-se esta peça e adotando-se o método das seções para serem determinadas as tensões
atuantes nestes materiais:
N1 = σ1 . A1
N2 = σ2 . A2
Σ Fv = 0 ∴ P - N1 - N2 = 0
P =N1 + N2
Esta condição da estática não é suficiente pois precisa-se determinar duas incógnitas, de modo
que precisa-se de outra condição para o problema.
Estas são chamadas de Condições de Compatibilidade, são próprias dos casos e normalmente
referem-se à condições de deformações obrigatórias para que os sistemas analisados
trabalhem conforme se observa.
Neste caso pode-se usar a condição de que se a peça trabalha como um bloco único, portanto
a deformação dos diversos materiais deve ser a mesma.
∆ l1 = ∆ l 2 = ∆ l
então:
N1.l1
N 2.l2
=
E1.A1 E 2.A 2
Como l1 = l2 = l
N1.l
N 2.l
=
E1.A1 E 2.A 2
N1
N2
=
E1.A1 E 2.A 2
Substituindo N1 e N 2 por seus valores teremos:
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σ1. A1 σ2 . A2
=
E1.A1 E 2.A 2
σ1 σ2
=
E1 E 2
ou simplesmente:
σ1 E1
=
σ2 E 2
Interpretando físicamente a equação acima, ve-se que a quantidade de tensão desenvolvida em
cada material é proporcional à sua elasticidade.
Como E1 e E2 correspondem à constantes de um material a relação entre as tensões também
é uma constante que poderemos chamar de n.
n=
σ1 = n.σ2
Logo:
E1
E2
Levando este valor à equação de equilíbrio estático temos:
P = (n.σ2) A1 + σ2 . A 2
σ2 =
ou isolando σ2
P
n.A1 + A2
B. PEÇAS HIPERESTÁTICAS
P
a
b
Em casos como o acima indicado, onde a vinculação é excessiva (peça hiperestática), precisase também condições além das estabelecidas pelo equilíbrio estático.
Como os vínculos nas extremidades são de 3ª espécie, conclui-se que a deformação na direção
da carga aplicada é impedida. Considerando-se a barra formada por dois trechos determinados
pelo ponto de carga aplicada, podemos montar o seguinte sistema:
R1
P
a
R2
b
40
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Σ Fx = 0
R1 + P - R2 = 0
Equação de Compatibilidade:
∆l=0
∆l1 + ∆l2 = 0
∆ l1 =
N1.l1
E.A
∆ l2 =
N2.l2
E.A
Pode-se expressar N1 e N2 em função das cargas externas P, R1 e R 2 , e então obtem-se
duas equações com duas incógnitas (R1 e R2 ), o que torna o siatema algébricamente viável.
VII. PEÇAS E RECIPIENTES DE PAREDES FINAS
Outra aplicação de tensões normais uniformemente distribuidas ocorre na análise simplificada
de peças ou recipientes de paredes finas assim como tubos, reservatórios cilíndricos,
esféricos,cônicos, etc. sujeitos à pressão interna ou externa de um gás ou líquido.
Por serem muito delgadas as paredes destas peças, considera-se uniforme a distribuição de
tensões normais ao longo de sua espessura e considera-se também que devido à sua
flexibilidade estas peças não absorvem e nem transmitem momento fletor ou esforço cortante.
A relação entre a espessura e o raio médio da peça não deve ultrapassar 0,1, sendo excluída a
possibilidade de descontinuidade da estrutura.
Nestes casos também existe a possibilidade de ruptura por flambagem das paredes sujeitas à
compressão, possibilidade esta que não será considerada de momento.
As aplicações deste estudo se dão em tanques e recipientes de armazenagem de líquidos ou
gazes, tubulações de água ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de
avião, que são exemplos comuns de vasos de pressão de paredes finas.
A. TUBOS CILINDRICOS DE PAREDES FINAS
Seja o tubo de paredes finas abaixo:
Seja:
pi - pressão interna
ri - raio interno
t - espessura da parede
Intuitivamente se pode observar suas transformações quando sujeito por exemplo à uma
pressão interna pi:
41
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Observe que o arco genérico de comprimento dS após a atuação da pressão interna alongou e
passou a medir dS+∆dS, portanto houve uma tensão de tração capaz de alongá-lo.
Como o arco aumentou na sua própria direção, e como o arco considerado dS é um arco
genérico, pode-se concluir que em todos os arcos elementares que constituem a circunferência
se desenvolve uma tensão normal, que por provocar um alongamento é de tração (+) e por ter
a direção da circunferência chama-se de tensão circunferencial( σcirc ).
1. Deteminação da tensão circunferencial e de sua deformação
Para a determinação do valor desta tensões consida-se um tubo de comprimento 'L'
conforme desenho:
Secciona-se o tubo segundo um plano diametral
longitudinal e aplicamos as equações de equilíbrio:
Ao efetuar-se o corte, na seção cortada devem aparecer tensões que equilibrem o sistema.
Conforme já foi visto são tensões circunferenciais.
Pode-se substituir as presões internas por um sistema equivalente:
42
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Aplicando a equação de equilíbrio estático pertinente:
Σ Fy = 0
σcirc 2.L.t - pi.2.ri.L = 0
2.L.t → área de corte onde atua a σcirc
2.ri.L → área onde atua pi
Efetuando modificações algébricas chega-se na expressão:
σcirc =
pi.ri
t
À tensão crcunferencial corresponde uma deformação circunferencial.
εcirc =
∆dS
dS
Considerando-se o comprimento dos arcos como o da circunferencia toda:
comprimento inicial = 2.π.ri
comprimento final = 2.π. (ri + ∆ri )
então ∆dS = 2.π. (ri + ∆ri ) - 2.π.ri = 2.π.∆ri
εcirc =
2.π.∆ri ∆ri
=
= εrad
2.π.ri
ri
Pela lei de Hooke
εcirc =
então comparando os valores:
σcirc pi.ri
=
E
t.E
∆ri pi.ri
=
ri
t.E
∆ri =
∴
pi. ri 2
t.E
Observações:
Chega-se aos valores das tensões e deformações circunferenciais tomando-se como exemplo
o caso de tubos sujeitos à pressão interna. Quando se estiver diante de um caso onde atuam
pressões externas, pode-se adaptar o formulário.
Pode-se citar como exemplo destes casos tubulações submersas que estão sujeitas à pressão
do líquido na qual estão submersas (pressão externa).
43
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Podemos notar que sob o efeito de pressões internas o comprimento da circunferência que
compõe a seção do tubo diminui ao invés de aumentar e
portanto as tensões circunferenciais são de compressão e
portanto negativas.
Da mesma maneira o raio da seção diminui e portanto também
sua variação é negativa.
O formulário fica:
pe.re
σcirc = t
pe. re2
∆re = t.E
B. RESERVATÓRIOS CILÍNDRICOS DE PAREDES FINAS
Reservatórios cilíndricos de paredes finas nada mais são do que tubos com as extremidades
fechadas.
Pode-se notar que a ação da pressão sobre as paredes longitudinais do reservatório exercem o
mesmo efeito que nos tubos, e que a ação da pressão nas paredes de fechamento faz com que
a tendência do reservatório seja aumentar de comprimento. Isto sugere o aparecimento de
tensões na direção do eixo longitudinal do reservatório chamadas de tensões longitudinais(σ
long). O cálculo do valor destas tensões é feito fazendo um corte transversal no reservatório e
aplicando equações de equilíbrio.
Se fosse isolado um elemento de área da parede do reservatório, a seguinte situação
apareceria:
σcirc =
pi.ri
t
σlong =
pi.ri
2.t
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Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
C. RESERVATÓRIOS ESFÉRICOS DE PAREDES FINAS
Quando submetido à pressão, um reservatório esférico de paredes finas desenvolve tensões
circunferenciais em todas as direções, pois todas as direções formam circunferências.
Um elemento de área da parede deste reservatório seria representado:
O valor destas tensões circunferenciais seria:
σcirc =
pi.ri
2.t
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Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m.
Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kN, sabendose que o módulo de elasticidade longitudinal do material é de 2 . 104 kN/cm2.
R: 0,3 cm
2. Determine as tensões normais desenvolvidas no pilar abaixo indicado nas seções de topo,
meia altura e base. O material com que ela é construída tem peso específico 30 kN/m3.
Vista Frontal
Vista Lateral
90 kN
90 kN
60 m
2m
30 m
3. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.Determine a
carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do
sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o
peso próprio das barras.
Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2
EAl = 0,7 . 104 kN/cm2
OBS : medidas em cm
46
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
P
Aço
Seção 50 x 50
300 cm
Alumínio
Seção 100 x 100
500 cm
R : P ≅ 1.900 kN
4. A treliça da figura suporta uma força de 54 tf. Determine a área das seções transversais
das barras BD, CE e DE sabendo-se que a tensão admissível de escoamento do material
é de l.400 Kgf/cm2. Determine também o alongamento da barra DE sendo E= 2,1 .
104kN/cm2.
R: ADE = 38,57 cm2
∆lDE = 0,133 cm
ACE =28,92 cm2
ABD = 14,46 cm2
5. Para a treliça da figura determine as áreas mínimas necessárias às hastes FG e CD, sendo
dados do material :
σT = 4 kN/cm2
σC = 6 kN/cm2
s=2
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R:
ACD=20 cm2
AFG= 19,4 cm2
6. Para a treliça da figura determine as áreas necessárias às hastes DF e DE sendo dados:
σT = 16 kN/cm2
σC = 20 kN/cm2
s=2
R:
ADF = 9 cm2
ADE = 12,5 cm2
7. Um cilindro sólido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito à
uma força axial de tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 é de
aço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento L2.
a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o
mesmo alongamento.
b. Qual o alongamento total do cilindro.
Dados:
Eaço = 2 . 104 kN/cm2
EAl = 0,7 . 104 kN/cm2
48
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R: (a) L1 = 66,5 cm
L2 = 23,33 cm
(b) ∆l = 0,04 cm
8. Um pilar de tijolos recebe uma carga axial de 70 kN. Dimensione-o com seção quadrada
de lado “a” levando em conta que a tensão admissível de compressão para esta alvenaria é
de 0,08 kN/cm2. Dimensione também o seu bloco de fundação, com seção igualmente
quadrada e lado “b”, sabendo que o solo onde o sistema assenta tem uma tensão de
compressão admissível de 0,025 kN/cm2.
(DICA: O peso próprio dos materiais deve ser considerado).
Dados : γalvenaria= 15 kN/m3.
γconcreto= 25 kN/m3.
70 kN
‘a
‘a
4m
2m
‘ b’
‘ b’
49
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9. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por
intermédio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d".
Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e que a
tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder
5MPa, calcule o diametro "d" necessário para a arruela.
R: 6,32 cm
10. Aplica-se à extremidade C da barrade aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eaço
é de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamento
do ponto C seja de 1,3 mm.
R: 21,8 mm
11. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumínio com
módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diametro da parte BC é de 28
mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que
o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão de escoamento
admissível para o alumínio é de 16,5 kN/cm2.
R: P ≅ 84 kN
12. O fio de aço CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que sem
nenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da
viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser
colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E.
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Dados do aço: E = 2 . 104 kN/cm2.
R: x = 10 cm
13. Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiais
indicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos trechos da barra.
100 kN
30 kN
2m
90 kN
20 kN
3m
4m
R: trecho 1 : 10 kN /cm2
trecho 2 : 7 kN/cm2
trecho 3 : 9 kN/cm2
14. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando
suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço:
E = 2,1 . 104 kN/cm2
γ = 80 kN/m3
R: 0,004763 mm
15. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN.
Dimensione-o com seção quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso específico de
19 kN/m3 e tem uma tensão de compressão admissível de 6 kgf/cm2.
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R: a ≥ 24,2 cm
16. Duas barras prismáticas rígidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kN
como se indica a figura. A barra superior é de aço, tem 10 m de comprimento e
seçãotransversal com 65 cm2 de área; a barra inferior é de latão, tem 6 m de comprimento
e seção transversal com 52 cm2de área. Pedem-se as máximas tensões de cada material e
o alongamento do sistema.
Dados:
aço
latão
E = 2,1 . 104 kN/cm2
γ = 78 kN/m3
E = 0,9 . 104 kN/cm2
γ = 83 kN/m3
aço
10 m
latão
6m
45 kN
R: σmáx aço =0,81 kN/cm2
σmáx latão = 0,91 kN/cm2
∆ l = 0,096 cm
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17. Para a peça do problema anterior, supondo toda ela de latão, qual a área necessária para a
parte de cima para que se tenha a mesma tensão máxima desenvolvida na parte de
baixo.Neste caso qual é o alongamento sofrido.
R: Anec ≥ 57,54 cm2
∆ l = 0,1558 cm
18. Determine as dimensões 'a', 'b' e 'c' dos pilares abaixo com seção circular que recebemuma
carga axial de 3.000 kN. Determine também a percentagem de material economizado
quando se adota a segunda distribuição. Dados do material:
γ = 90 kN/m3
σe = 0.5 kN/cm2
R: a ≥ 165.17 cm
b ≥ 109.25 cm
c ≥ 136.56 cm
econ ≅ 44 %
19. Suponha um pilar de concreto de seção quadrada 20 x 20 cm, armado com 4 φ 1/2",
conforme figura. Determine a máxima carga 'P' que se pode aplicar à este pilar, a
percentagem desta carga que cada material absorve e o encurtamento do sistema. São
dados:
aço
concreto
σe = 12 kN / cm2
σc = 0. 6 kN / cm2
E = 2.1 . 104 kN/cm2
E = 0.14 . 104 kN/cm2
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R : P ≤ 282.5 kN
concr: 83.88 %
∆ l = 0.171 cm
aço: 16.12 %
20. Um cilindro de alumínio esta no interior de um tubo de aço e o conjunto é comprimido
axialmente por 240 kN por intermédio de placas rígidas. O cilindro de alumínio tem 8 cm
de diametro e o de aço tem 10 cm de diametro externo. Determine as tensões
desenvolvidas no aço e no alumínio, a percentagem de carga que cada material absorve e
o coeficiente de segurança do sistema. Dados:
Alumínio
E = 0.28 . 104 kN/cm2
σe = 6 kN/cm2
aço
E = 2.1 . 104 kN/cm2
σe = 12 kN/cm2
R: σaço = 6.85 kN/cm2
σAl = 0.91 kN/cm2
s = 1.75
21. Um tubo vertical de aço cheio de concreto tem diametro externo de 90 cm e interno de 87
cm. Para o aço o limite de escoamento é de 24 kN/cm2 e o coeficiente de segurança
adotado pela norma 2.25. Para o concreto a tensão de ruptura à compressão é de 1.5
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kN/cm2 e o coeficiente de segurança adotado 2.5. Supondo o sistema comprimido por
placas rígidas, determine a carga máxima aplicável, sendo dados:
Eaço = 2.1 . 104 kN/cm2
Econcr = 0.18 . 104 kN/cm2
R: P ≅ 6.500 kN
22. Uma barra de seção quadrada de 5 cm de lado está fixa rígidamente entre duas paredes e
suporta uma carga axial de 20.000 Kgf, conforme figura. Calcular as reações nos engastes
e o alongamento da parte tracionada.
Emat = 2.4 . 106 kgf/cm2
R: Resq = 12.000 Kgf ( → )
Rdir = 8.000 Kgf ( → )
∆ l = 0.002 cm
23. A barra prismática da figura é engastada nas extremidades e suporta as cargas que aí se
indicam, aplicadas por intermédio de saliencias rígidamente ligadas à barra. Desprezada a
influência da distribuição de esforços nessas saliências, pede-se calcular as tensões
normais nos trechos AB, BC e CD. A área da seção transversal desta barra é de 10 cm2.
R: σAB = - 2 kN/cm2
σBC = - 6 kN/cm2
σCD = + 6 kN/cm2
24. O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas extremidades
por calotas semi-esféricas. O diametro interno do cilindro é de 60 cm e a pressão interna
de 35 Kgf/cm2 . Se o material com que é feito o cilindro é de aço com limite de
escoamento de 2.400 Kgf/cm2 e o coeficiente de segurança adotado de 3.5, pede-se
determinar a espessura da parede do cilindro desprezando-se os efeitos da ligação do
cilindro com as calotas.
OBS: num cálculo mais rigoroso seria necessário levar em conta e dimensionar a
ligação.
R: 1.53 cm
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25. Um tanque cilindrico de gasolina com eixo vertical está cheio à partir da extremidade
inferior com 12 m do líquido, tendo a gasolina peso específico de 7.4 kN/m3. Tendo o
tanque 26 m de diametro interno e sendo o limite de escoamento do material do tanque
240 MPa, pede-se calcular com segurança 2 a espessura necessária a parede em sua parte
mais profunda. Qual seria esta espessura se a eficiência da ligação parede-fundo fosse de
85%?
R: t = 0.962 cm
tjunta = 1.13 cm
26. Um tubulão de ar comprimido é constituido por um tubo de aço de 2 m de diametro
interno e recebe ar injetado para expulsar água à uma profundidade de 20 m. Calcular a
espessura necesssária à este tubo numa profundidade de 2 m, sendo a tensão de
escoamento admissível para o material do tubo de 6 kN/cm2.
R: 3 mm
27. Considere uma peça formada por dois tubos co-axiais. Inicialmente existe uma diferença
entre os diametros de 0.025 cm, sendo necessário aquecer o cilindro externo para nele
introduzir o interno. Sendo de aço os dois cilindros; 10 cm o diametro da superfície de
contato; 0.25 cm a espessura do cilindro interno e 0.20 cm a espessura do externo, pede-se
determinar as tensões circunferenciais desenvolvidas em cada um dos cilindros depois de
resfriado o sistema.
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CAPÍTULO III
CISALHAMENTO CONVENCIONAL
I.
ASPECTOS GERAIS
O cisalhamento convencional é adotado em casos especiais, que é a ligação de peças de
espessura pequena.
Consida-se inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre
si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo:
A largura destas chapas é representada por "l" e a ligação está sujeita à uma carga de tração
"P".
t - Espessura das chapas
l - Largura das chapas
Considerando-se o método das seções, e cortando a estrutura por uma seção "S",
perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seção de pino
cortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o sistema isolado pelo corte. Então:
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Aplicando as equações de equilíbrio:
Σ Fx = 0
Q-P=0
∴
Q=P
Σ MS = 0
M - P.t/2 =0 ∴
M = P.
t
2
As solicitações que se desenvolvem na seção de corte do pino são de Momento Fletor e
Esforço Cortante, com os valores acima calculados.
II. CISALHAMENTO CONVENCIONAL
Conforme os cálculos acima efetuados, pode-se notar que o valor do momento é pequeno já
que se trabalha com a união de chapas que, por definição, tem a sua espessura pequena em
presença de suas demais dimensões.
Nestes casos, pode-se fazer uma aproximação, desprezando o efeito do momento fletor em
presença do efeito do esforço cortante.
Isto facilitaria o desenvolvimento matemático do problema, mas teóricamente não é exato
pois sabemos que momento e cortante são grandezas interligadas:
Q=
dM
dx
Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente aparecem em
ligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta solução simplificada leva a
resultados práticos bastante bons. É nestes casos que se adota o cisalhamento aproximado,
também chamado de cisalhamento convencional.
O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real, onde o efeito do
momento é desprezado.
Tem-se apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e passando pelo seu centro
de gravidade. Para o cálculo das tensões desenvolvidas é adotado o da distribuição uniforme,
dividindo o valor da força atuante pela área de atuação da mesma. Esta seção é chamada de
ÁREA RESISTENTE, que deverá ser o objeto de análise.
A distribuição uniforme diz que em cada ponto desta área a tensão tangencial tem o mesmo
valor dada por:
τ
Q
τ=
Q
Aresist
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A lei exata da distribuição de tensões deve ser posteriormente estudada para os outros casos
em que o cisalhamento convencional não é adotado.
III. LIGAÇÕES SOLDADAS
A. TIPOS DE SOLDA
DE TOPO
SOLDA POR CORDÕES
Pode-se observar que na solda de topo, há o desenvolvimento de tensão normal, o que já foi
visto e foge do proposto neste capítulo.
B. SOLDA POR CORDÕES
Consideram-se duas chapas de espessura t1 e t2, ligadas entre si por cordões de solda
conforme a figura abaixo:
Sejam:
g - comprimento de trespasse entre as
chapas
h - largura da chapa à ser soldada
t1 - espessura da chapa à ser soldada
Pode-se, intuitivamente, notar que o efeito da força se faz sentir ao longo do comprimento do
cordão de solda, sendo lógico se atribuir uma relação direta entre a área resistente de solda e o
comprimento do cordão.
Nas ligações soldadas, consideramos a área resistente de solda ao produto da menor dimensão
transversal do cordão por seu comprimento respectivo.
Na ligação acima e vê que a chapa de espessura t1está ligada à chapa de espessura t2 por
meio de um cordão de solda. Vamos ver ampliada uma seção transversal desta solda:
60
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É costume desprezar-se a parte boleada da seção de solda pois é
onde prováveis falhas se localizam(bolhas de ar, etc)
"d" é a menor dimensão da seção resistente deste cordão e que
pode ser calculada como a altura do triangulo retangulo de
catetos iguais à t1 .
Observação:
O diâmetro do cordão de solda é escolhido de acôrdo com a espessura da chapa à ser soldada.
d = t1 . sen 45°
d = 0,7 t1
A resis = 0,7 t . l cordão
Observe-se que t corresponde à espessura da chapa que está sendo soldada e lcordão seria o
comprimento do cordão de solda.
Para o caso especial do exemplo citado ficaria:
lc = 2.g + h
Aresist = d . lc
Aresist = 0,7 t (2.g + h)
Para calcula-se a tensão tangencial desenvolvida tem-se:
τ=
P
0,7 t (2.g + h)
A avaliação da área resistente deve ser estudada em cada caso, pois partindo da conclusão que
ela deva ser igual ao comprimento do cordão multiplicado pela menor dimensão da seção da
solda, pode-e ter casos em que a expressão analítica aparece um tanto diferente:
Neste caso temos a chapa de cima sendo fixada na
de baixo mas aproveitando o comprimento
disponível do trespasse inferior também fixamos
atravéz de solda a chapa de baixo na de cima.
Aresist = 0,7 . t1(2.g + h) + 0,7 t2.h
A condição de segurança de uma ligação soldada será então:
P
≤ τ cordão de solda
0,7 t (2.g + h)
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IV. LIGAÇÕES REBITADAS
A. TIPOS DE LIGAÇÕES REBITADAS
1. Superposição
2. De topo com cobrejunta simples
3. De topo com cobrejunta duplo
B. CONSIDERAÇÕES GERAIS
Em qualquer ligação rebitada, além de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outros
fatores também devem ser examinados. Sempre que se projeta ou verifica uma ligação
rebitada deve-se analisar os seguintes itens:
1. Cisalhamento nos rebites.
2. Compressão nas paredes dos furos.
3. Tração nas chapas enfraquecidas.
4. Espaçamento mínimo entre rebites.
Para que a ligação tenha segurança todos estes fatores devem estar bem dimensionados.
C. FATÔRES A SEREM CONSIDERADOS
1 Cisalhamento dos rebites
O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das seções dos rebites entre duas chapas.
Estas seriam as seções chamadas de seções de corte ou seções resistentes.
Sendo:
n - número de rebites que resiste à carga P
m - número de seções resistentes por rebite.
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d - diametro dos rebites
A força P é resistida por "n" rebites com "m" seções resistentes cada um. Então a área
resistente total nos casos de uma ligação rebitada é:
Aresist . = m . n.
π d2
4
Sendo τreb a tensão admissível ao cisalhamento do material do rebite, a tensão tangencial
desenvolvida não pode ultrapassar a admitida.
A condição de segurança para o cisalhamneto nos rebites expressa de uma forma analítica
seria:
P
≤ τreb
π d2
m.n.
4
Observando os tipos de ligações rebitadas nos exemplos vistos anteriormante ve-se que:
Superposição
Cobrej. simples
Cobrej. duplo
m=1
m=1
m=2
n=4
n=4
n=4
2. Compressão nas paredes dos furos
A força exercida nas chapas, e estando a ligação em equilíbrio estático, cria uma zona
comprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o próprio rebite.
Esta compressão pode ser tão grande a ponto de esmagar as paredes dos furos e colocar em
risco toda a ligação rebitada.
Deve-se portanto descartar esta possibilidade.
Sejam duas chapas ligadas entre si por um rebite de diametro "d",conforme figura:
Observam-se zonas comprimidas nas duas chapas devido à ação do rebite sobre elas, sendo na
vista de cima, representada a ação do rebite na chapa superior.
À fim de facilitar-se o cálculo destas compressões substitui-se a àrea semi cilindrica, da
parede do furo, por sua projeção, que seria uma área equivalente ou simplificada ficando:
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Aresist = Asimpl = d.t
F=P
σ=
F
σC =
Aresist
P
d.t
Como nos casos de ligações rebitadas existem n rebites, podemos generalizar a expressão::
σ=
P
n.d.t
Sendo σ Cchapa a tensão de compressão admissível para o material da chapa ou dos
cobrejuntas, então para que o projeto funcione com segurança, a condição expressa
analíticamente ficaria:
P
≤ σCchapa
n.d.t
As tensões de compressão não se distribuem de maneira exatamente uniforme, entretanto
assim se admite.
3. Tração nas chapas enfraquecidas
Quando se perfura as chapas para a colocação de rebites elas são enfraquecidas em sua seção
transversal. Quanto maior for o número de furos em uma mesma seção transversal, mais
enfraquecida ficará a chapa nesta seção, pois sua área resistente à tração fica reduzida.
Antes da furação a seção transversal da chapa que resistia à tração era:
σT =
P
t.l
Supondo que se façam dois furos em uma mesma seção transversal de chapa para a colocação
de rebites. A nova área resistente será:
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A nova tensão de tração desenvolvida será:
σ=
P
t(l - 2.d)
Para generalizar criamos uma grandeza, n1 que reprezenta o número de rebites colocados em
uma mesma seção transversal;
σ=
P
t (l - n1.d)
A condição de segurança expressa analíticamente será:
P
≤ σΤ
t (l - n1.d)
onde
σΤ
representa a tensão de tração admissível para o material das chapas ou cobrejuntas
Observações:
1. Em casos de projetos de ligações rebitadas sempre interessa a pior situação do sistema, que
muitas vêzes é determinada com a simples observação. Nos dois itens anteriores (compressão
nos furos e tração nas chapas enfraquecidas) pode-se tirar as seguintes conclusões:
a. Nas ligações por superposição e cobrejunta simples, sempre estará em pior situação
a peça de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. Resta apenas observar que
para a tração nas chapas enfraquecidas, a seção transversal com maior número de rebites
colocados é a em pior situação (n1 máximo).
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b.Nas ligações com cobrejunta duplo seria conveniente a análise das chapas e dos
cobrejuntas já que a espessura dos mesmos é diferente e a carga ao qual eles estão submetidos
também o é.
Cobrejunta:
Chapas:
P/2 , t1
P, t2
4. Espaçamento mínimo entre rebites
Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, as
normas fixaram um espaçamento mínimo que deve ser preservado.
Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita também que o
funcionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos, o que poderia provocar acúmulos
de tensões nestas áreas comuns .
NB - 14 ( Estruturas Metálicas)
Recomendações da Norma:
3 d - distâcia mínima entre os centros de 2 rebites
2 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre perpendicular à ação da força
1,5 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre paralela à ação da força onde "d"
é o diâmetro do rebite.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de corte e 450
kN de capacidade. Determinar as espessuras máximas de corte em toda a largura para as
chapas :
a. Aço (τ = 220 MPa )
b. Cobre (τ = 130 MPa )
c. Alumínio (τ = 70 MPa )
R: (a) 0.10 cm
(b) 0.17 cm
(c) 0.32 cm
2. As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se na solda
usada a tensão admissível ao cisalhamento é de 8 kN/cm2. Determine também o menor
trespasse possível adotando-se todas as possibilidades de solda.
R: P ≤ 356.16 kN
g ≥ 14 cm
3. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P" igual à 37.50
kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas
tensões nos planos a-a' e b-b'.
R: 1.528 Kgf/cm2
4. De acôrdo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1) deslize sobre
a inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tensão desenvolvida no plano de contato entre
as duas peças?
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R: 4,71 kN/cm2
5. O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao
cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm
de diametro, em uma chapa deste aço com 3/8" de espessura.
R: 231,91 kN
6. Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado
para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão
de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para
que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova.
Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN.
Corpo de prova
Vista Lateral
Seção do corpo de prova
R: a ≥ 0.8 cm
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7. Considere-se um pino de aço de 3/8" de diametro sujeito à força axial de tração de 10 kN.
Calcular a tensão de cisalhamento na cabeça do pino, admitindo que a superfície
resistente seja de um cilindro de mesmo diametro do pino, como se indica em tracejado.
R: 1,05 kN/cm2
8. As peças de madeira A e B são ligadas por cobrejuntas de madeira que são colados nas
superfície de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades de
A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tensão de cisalhamento nas
superfícies coladas não ultrapasse 0,8 kN/cm2.
R: 308 mm
9. Ao se aplicar a força indicada, a peça de madeira se rompe por corte ao longo da
superfície tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média na superfície de ruptura.
R: 6 MPa
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10. Sabendo que a tensão de ruptura ao cisalhamento de uma chapa de aço é de 330 MPa,
determine:
a. A força necessária para produzir por punção um furo de 30 mm de diametro em uma
chapa com 9 mm de espessura.
b. A tensão normal correspondente no furador.
R: (a) 279,91 kN
(b) 39,59 kN/cm2
11. A placa indicada na figura é presa à base por meio de 3 parafusos de aço. A tensão de
cisalhamento última do aço é de 331 MPa. Utilizando-se um coeficiente de segurança de
3,5 determine o diametro do parafuso à ser usado.
R: 22 mm
12. A ligação AB está sujeita à uma força de tração de 27 kN. Determine:
a. O diametro "d"do pino no qual a tensão média permitida é de 100 MPa.
b. A dimensão "b"da barra para a qual a máxima tensão normal será de 120 MPa.
70
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R: (a) 1,85 cm
(b) 3,75 cm
13. Quais as distancias "a" e "b" necessárias para os entalhes na peça horizontal da treliça
indicada? Todas as peças tem seção transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tensão de
cisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurança 5.
R : a ≅ b ≅24 cm
14. Verificar a ligação rebitada da figura, sendo dados
Rebites
τ = 100 MPa
d = 1/2" = 1,27 cm
Chapas
σ T = 150 MPa
σ C = 250 MPa
71
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R: Não há segurança
(tração nas chapas)
15. Determine a máxima carga P que se pode aplicar à ligação rebitada abaixo sendo dados:
Rebites
d = 1/2" = 1.27 cm
τ = 100 MPa
OBS: medidas em mm
Chapas e Cobrejuntas
σ T = 150 MPa
16. Verificar a ligação rebitada abaixo sendo dados:
Rebites
d = 1/2" = 1,27 cm
τ = 110 MPa
Chapas e Cobrejuntas
σ e = 220 MPa
72
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R: Não há segurança
17. A junta longitudinal de uma caldeira é de topo com cobrejunta duplo. O diametro interno
da caldeira é de 1,3 m , a espessura de sua chapa de 15 mm e as chapas de recobrimento
(cobrejuntas) de 10 mm. Sabe-se que os rebites são colocados longitudinalmente a cada 8
cm. Determinar a pressão interna que esta caldeira pode suportar e também a eficiência da
ligação rebitada. Os rebites usados tem 12 mm de diâmetro e são dados dos materiais:
Rebites:
d = 12 mm
τ = 310 MPa
Deve-se adotar segurança 5.
Chapas e Cobrejuntas:
σ T = 387 MPa
σ C = 670 MPa
R : pi ≤ 2,7 Kgf/cm2
eficiência ≅ 15%
73
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18. Dimensionar um eixo de uma roldana fixa que deve suportar a elevação de uma carga de
100 kN. Sabe-se que o material do eixo apresenta tensão admisível ao cisalhamento de
120 MPa.
R: 3,25 cm
74
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CAPÍTULO IV
GEOMETRIA DAS MASSAS
I. ASPECTOS GERAIS
Apesar de não estar incluida dentro dos nossos objetivos principais, vamos estudar algumas
grandezas características da geometria das massas com a finalidade de conhecermos alguns
valores necessários ao estudo das solicitações que provoquem a rotação, como o Momento
Fletor e o Momento Torsor.
Vamos nos ater ao cálculo das propriedades das seções planas.
II. MOMENTOS ESTÁTICOS E BARICENTROS DE SUPERFÍCIES PLANAS
A. CONCEITO
Admitimos uma superfície plana qualquer de área "A", referida à um sistema de eixos
ortogonais x,y.
Sejam:
dA - elemento de área representativo componente da superfície
x e y - coordenadas deste elemento em relação ao sistema de eixos
y
x
y
x
Define-se:
Momento estático de um elemento de área dA em relação a um eixo é o produto da área do
elemento por sua orddenada em relação ao eixo considerado.
Notação : s
Expressão analítica :
s x = y.dA
s x = y.dA
Define-se:
Momento estático de uma superfície é a soma dos momentos estáticos em relação a um
mesmo eixo dos elementos que a constituem.
Notação : S
75
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Expressão analítica:
Sx = ∫ y. dA
Sy = ∫ x. dA
A
A
Observações:
1. unidade: cm3, m3, ...
2. sinal : O momento estático pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do
sinal da ordenada envolvida.
3. O momento estático de uma superfície é nulo em relação à qualquer eixo que passe pelo
baricentro desta superfície.
B. DETERMINAÇÃO DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIE
A utilização dos conceitos de momento estático se dá no cálculo da posição do baricentro de
figuras planas.
Seja:
G - baricentro da superfície com coordenadas à determinar (xG; yG)
y
xG
G
yG
x
por definição:
Sx = ∫ y. dA
A
Se o baricentro da superfície fosse conhecido poderíamos calcular o momento estático desta
superfície pela definição:
Sx = yG . A
∴
yG =
Sx
A
Como A (área total) pode ser calculado pela soma dos elementos de área que a constituem:
A = ∫ dA
então :
A
76
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yG =
∫ y. dA
A
∫ dA
A
Análogamente:
xG =
∫ x. dA
A
∫ dA
A
Estas expressões nos permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de qualquer
seção desde que se conheça um elemento dA representativo da superfície toda. São chamadas
genéricamente de "Teorema dos Momentos Estáticos".
Nos casos mais comuns, quando a superfície em estudo for a seção transversal de um
elemento estrutural, normalmente seções constituidas por elementos de área conhecidos,
podemos substituir nas equações a integral por seu similar que é o somatório, e as expressões
ficam:
n
yG =
n
∑ Ai.yi
1
n
∑ Ai
1
ou
xG =
∑ Ai.xi
1
n
∑ Ai
1
OBS: Quando a figura em estudo apresentar eixo de simetria, o seu centro de gravidade estará
obrigatóriamente neste eixo.
Exemplo1:
Determinar a altura do centro de gravidade do semi-círculo de raio R da figura
R : yG =
4. R
3. π
77
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III. MOMENTOS E PRODUTOS DE INÉRCIA
Podemos definir momentos e produtos de inércia de uma superfície , usando como referencia
a mesma superfície de área A referida à um sistema de eixos x,y:
y
x
r
y
x
A. MOMENTO DE INÉRCIA AXIAL
Define-se:
Momento de inércia de um elemento de área em relação a um eixo é o produto da área deste
elemento pelo quadrado de sua distância ao eixo considerado.
Notação : j
Expressão analítica:
jx = y2 . dA
jy = x2 . dA
Unidade : cm4 , m4, ...
Sinal : sempre positivo
Define-se:
Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo é a soma dos momentos de
inércia em relação ao mesmo eixo dos elementos de área que a constituem.
Jx = ∫ y2 . dA
A
ou
Jy = ∫ x 2 . dA
A
OBS: Sendo o momento de inércia axial de uma superfície o somatório de valores sempre
positivos, ele só admite valores positivos também.
B. MOMENTO DE INÉRCIA POLAR
Define-se:
Momento de inércia de um elemento de área em relação a um ponto é o produto da área deste
elemento pelo quadrado de sua distância ao ponto considerado.
78
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Notação: j (índice com o nome do ponto)
Expressão analítica:
jo= r2 . dA
Unidade : cm4 , m4 , ....
Sinal: sempre positivo
Define-se:
Momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de
inércia, em relação ao mesmo ponto dos elementos qua a constituem."
Jo = ∫ r 2 .dA
A
Se levarmos em conta o teorema de Pitágoras:
r 2 = x 2 + y2
então:
Jo = ∫ (x 2 + y2).dA = ∫ x 2 .dA + ∫ y2 .dA
A
A
A
Jo = Jx + Jy
Portanto, o momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos
momentos de inércia em relação a dois eixos ortogonais que passem pelo ponto considerado.
C. PRODUTO DE INÉRCIA
Define-se:
O produto de inércia de um elemento de área em relação a um par de eixos é o produto da
área deste elemento por suas coordenadas em relação aos eixos considerados.
Notação : j
Expressão analítica :
jx,y = x.y.dA
Sinal: admite sinais positivos e negativos, de acôrdo com o sinal do produto das coordenadas.
4
4
Unidade : cm , m , ...
Define-se:
O produto de inércia de uma superfície é a soma dos produtos de inércia, em relação ao
mesmo par de eixos, dos elementos que a constituem."
Jx , y = ∫ x.y.dA
A
O produto de inércia de uma superfície por ser o somatório do produto dos elementos que a
constituem pode resultar em um valor negativo, positivo ou nulo.
79
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Exemplo 2:
Determine o momento de inércia de um retangulo b x h , em relação ao eixo horizontal
coincidente com a base.
X
IV. TRANSLAÇÃO DE EIXOS (TEOREMA DE STEINER)
Este teorema nos permite relacionar momentos e produtos de inércia em relação a eixos
quaisquer com momentos e produtos de inércia relativos a eixos baricêntricos, desde que eles
sejam paralelos.
y
yG
xG
dy
x
dx
Expressões analíticas:
2
Jx = JxG + A.dy
Jy = JyG + A.dx
2
2
Jo = JG + A . r
Jx,y = JxG,yG + A.dx.dy
Para a utilização do teorema de steiner, os eixos baricentricos devem necessáriamente estar
envolvidos na translação.
80
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V. ROTAÇÃO DE EIXOS
A. SEGUNDO UMA INCLINAÇÃO QUALQUER α
O teorema à seguir nos permite calcular momentos e produtos de inércia em relação a eixos
deslocados de um angulo α, de uma referência conhecida.
Conhecidos: Jx, Jy, Jxy
A determinar: Jx’, Jy’, Jx’y’.
y
y'
x'
α
x
O
Expressões analíticas:
Jx' = Jx. cos2 α + Jy. sen2α - Jx,y. sen 2α
Jy' = Jy. cos2 α + Jx .sen2α + Jx,y. sen 2α
Jx',y' = Jx,y . cos 2α +
1
2
(Jx - Jy).sen 2α
A convenção adotada na dedução destas expressões na medida de α, segue a convenção
adotada no círculo trigonométrico, ou seja deslocamento no sentido anti horário.
x'
α
x
81
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A. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Podemos notar que ao efetuarmos a rotação dos eixos que passam por um ponto 'o', os
momentos e produtos variam em função do angulo de rotação α.
Em problemas práticos, normalmente nos interessa a inclinação 'α', em relação à qual os
valores do momento de inércia é máximo, para então aproveitarmos integralmente as
características geométricas da seção transversal que deve ser adotada.
Para a determinação do máximo de uma função, por exemplo Jx', podemos utilizar os
conceitos de cálculo diferencial, onde sabemos que uma função é máxima ou mínima no
ponto em que sua primeira derivada for nula.
dJx '
=0
dα
Então:
Efetuando as derivações e com algumas simplificações algébricas chegamos à expressão:
tg 2α =
2.Jxy
Jy - Jx
Esta expressão nos permite calcular dois valores para o angulo α, que caracterizam a posição
dos eixos em relação aos quais o momento de inércia assume valores extremos (máximo e
mínimo).
Vamos observar que estes eixos são:
1. Ortogonais entre si.
2. O produto de inércia em relação a este par de eixos é nulo.
3. Na rotação dos eixos a soma dos momentos de inércia é constante.
Jx + Jy = Jx' + Jy'
Os dois eixos determinados chamam-se de eixos principais de inércia e os momentos
correspondentes momentos principais de inércia.
Observações:
1. Se o ponto "o" em tôrno do qual se fez a rotação coincidir com o centro de gravidade da
seção, os eixos passarão a ser chamados de principais centrais de inércia e a eles
corresponderão os momentos principais centrais de inércia.
2. Se a seção tiver eixo de simetria, este será, necessáriamente , um eixo principal central de
inércia.
82
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. As superfícies abaixo indicadas foram construídas em chapas de aço dobradas. Determine
o baricentro das mesmas supondo que as chapas adotadas tem 10 mm de espessura
a.
b.
20 cm
21 cm
20 cm
20 cm
2. Determine e localize o baricentro das superfícies hachuradas abaixo, que tem as
medidas indicadas em cm:
b.
a.
R: XG = 5,00 ; YG= 9,66
R: XG = 6,00; YG = 9,17
83
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c.
y
x
R: XG = 25; YG = 27
d.
y
6 cm
x
3 cm
3 cm
4 cm
2 cm
R: XG = 6,57 ; YG = 2,60 ;
3. Determine o momento estático das figuras hachuradas abaixo em relação aos eixos
indicados. Medidas dadas em cm.
Y
a.
b.
Y
18
12
18
X
6
X
2
9
3
10
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84
4. Determinar o momento de inércia das figuras em relação aos eixos baricentricos horizontail
e vertical. (medidas em cm)
a.
b.
R: Jx = 3.541,33 cm4
Jy= 1.691,33 cm4
c.
R: Jx = 553 cm4
Jy = 279,08 cm4
d.
R: Jx = 687,65 cm4
Jy= 207,33 cm4
R: Jx = 1.372,29 cm4
Jy= 1.050,27 cm4
85
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5. Para as figuras abaixo, determine os seus eixos principais centrais de inércia, bem como
os momentos correspondentes (momentos principais centrais de inércia). As medidas
estão cotadas em cm.
a.
b.
R: Jmáx = 1.316 cm 4
Jmín = 325,5 cm4
R: Jmáx = 2.707 cm4
Jmín = 105 cm4
6. Para a figura abaixo determine:
a. Momentos principais centrais de inércia
b. Momentos principais de inércia em relação ao ponto O.
R: a. Jmáx = 105,33 cm4
b. Jmáx = 142,33 cm4
Jmín = 87,05 cm4
Jmín = 91,70 cm4
86
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TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÕES USUAIS
y
x
JX =
b.h 3
12
Jy =
h.b3
12
h
b
y
x h
Jx =
B.H 3 b.h 3
−
12
12
Jy =
H.B3 h.b3
−
12
12
H
b
B
y
x
h
Jx =
b.H3 − (B − b )h 3
12
Jy =
2(H − h )B3 + h.b3
12
H
b
B
87
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
y
e=
B 2 + h.b
2B + h
x
B.H3 − b.h 3
Jx =
12
H
h
Jy =
[
]
1 3
B (H − h ) + b 3 h − (BH − bh ).e 2
3
b
e
B
y
2/3 h
x
1/3 h
b.h 3
Jx =
36
h.b 3
Jx =
48
b
y
2/3 h
x
Jx =
b.h 3
36
Jy =
h.b 3
36
h/3
b/3
2/3 b
88
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Y
JX = JY =
X
JO =
π.R 4
4
π.R 4
2
O
89
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CAPÍTULO V
TORÇÃO
I CONCEITO:
Diz-se que uma peça está sujeita à solicitação simples de torção, quando a única solicitação a
que ela está sujeita é a de Momento Torsor.
O Momento torsor provoca o giro da seção em torno do seu baricentro, ou de todas as seções
em torno do eixo longitudinal da peça.
(a)Antes da deformação
Círculos permanecem
circulares
Linhas longitudinais
transforman-se em hélices de
pequeníssima curvatura
Linhas radiais
permanecem retas
(b) Depois da deformação
OBS:
1. A torção nunca vem só. Se a peça for vertical o seu peso próprio atuará como esforço
normal e se for horizontal o seu peso próprio dará origem à momento fletor e esforço
cortante.
2. Peça horizontal:
90
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Peça Vertical:
G : Peso total da peça
3. Pelos métodos elementares de Resistência dos materiais só se resolvem problemas das
peças cujas seções tenham simetria radial como é o caso as seções circulares, coroa
circular e tubos de paredes delgadas. Nos demais casos o problema é resolvido pela teoria
da elasticidade e na disciplina apenas será o formulário, bem como a maneira de conduzir
o problema.
II. PEÇAS DE SEÇÃO CIRCULAR
A. CONSIDERAÇÕES GERAIS:
Seja uma peça de seção circular sujeita exclusivamente à torção (peso próprio desprezado):
Mt
Mt
Admitem-se as seguintes hipóteses:
91
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
a. É válida a hipótese de BERNOULLI
"Se uma seção é plana e perpendicular ao eixo de uma peça antes da deformação, continuará
plana e perpendicular ao eixo da peça durante e após a deformação."
b. Válido o princípio da reciprocidade das tensões tangenciais.
"Se em uma seção de uma peça existir uma tensão de cisalhamento, então em uma seção
perpendicular à esta deverá existir a mesma tensão (recíproca). Ambas tem o mesmo módulo,
e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade."
c. Por efeito da torção há o deslizamento de uma seção sobre a outra, desenvolvendo-se entre
elas tensões tangenciais, atuantes no próprio plano da seção. Em qualquer ponto desta seção a
tensão tangencial é perpendicular ao raio.
d. É válida a lei de Hooke
"As tensões e as deformações específicas são proporcionais enquanto não se ultrapassa o
limite elástico do material."
σ
= E ( módulo de elasticidade longitudinal)
ε
τ
= G (módulo de elasticidade transversal)
γ
e. As seções giram sem se deformar em seus próprios planos, isto é , os raios permanecem
retilíneos e o ângulo formado por dois raios é constante.
f. Considera-se que o eixo da peça na torção permaneça retilíneo (não sofra empenamento).
B. TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Supõe-se uma peça de seção circular sujeita à torção, trabalhando de acordo com as condições
acima citadas. Seu eixo geométrico permanece retilíneo, mas suas fibras longitudinais
transformam-se em hélices cilíndricas de pequeníssima curvatura. Lembra-se que em
estruturas trabalha-se no campo das pequenas deformações.
92
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Mt
S2 O
H
A’
A
Hélice cilíndrica de
pequeníssima
curvatura.
L
S1
BB
Torna-se a seção S1 fixa,para tomá-la como referência.
A seção S2 girou em torno de o e este ponto chama-se centro de torção.
Mt
A fibra longitudinal genérica BA passou para a posição BA'.
S2 O
A’
A
L
C
C’
Chamamos de:
H - ângulo total de torção
1
L - Comprimento total da peça
S1
BB
93
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Supõe-se que se faça um novo corte, distante uma unidade de comprimento da seção S1 fixa.
Como a peça assim isolada pelo corte tem um comprimento unitário, seu ângulo total de
torção será chamado de ângulo unitário de torção (θ).
S3 O
3
θ
C
1
C’
γ
S1
BB
Conceito: Ângulo unitário de torção é o ângulo total de torção que uma peça de comprimento
unitário apresenta quando sujeita à um torsor.
Chama-se de :
θ - ângulo unitário de torção
γ - distorção específica
Intuitivamente observa-se que:
H
θ
=
L
1
ou
H = θ. L
Esta expressão permite calcular o ângulo total de torção em função do ângulo unitário de
torção.
Por geometria diferencial:
CC' = r . θ
Por definição, distorção específica é a relação entre a deformação apresentada e a medida
respectiva perpendicular à esta deformação:
γ=
CC'
1
então
γ.1= r.θ
ou
γ =r.θ
Pela lei de Hooke:
τ
= G
γ
∴
γ =
τ
G
ou ainda :
τ = G . θ.r
τ
= r. θ
G
94
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Esta expressão fornece o valor da tensão tangencial nos pontos da seção S3 caracterizados
pela ordenada r (distância do ponto considerado ao centro da seção), e é válida para qualquer
peça em que não exista o empenamento.
C. TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM FUNÇÃO DO MOMENTO TORSOR
Seja uma seção circular de raio 'R'.
τr
Mt
dA
O
r
Chamamos :
dA - elemento de área genérico da seção.
r - distância genérica do elemento de área dA ao ponto O, centro da seção
0≤r≤R
τr - tensão desenvolvida no elemento de área dA pela atuação de Mt
dF - elemento de força desenvolvido no elemento de área devido à
tensão desenvolvida τr
dF = τr . dA
mt - momento torsor desenvolvido pela força que atua no elemento de área
mt = r . dF = r . τr . dA
O momento torsor total que atua na seção Mt deverá ser a soma dos torsores elementares que
atuam em cada elemento de área que constitui a seção, ou seja:
Mt = ∫A r.τr . dA
como τr = G. θ . r
Mt = ∫A G.θ.r . r . dA = G.θ∫A r 2 dA
Conforme foi visto em geometria das massas:
95
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Jo = ∫A r 2 . dA
Momento de Inércia da seção cicular em relação ao seu centro O.
Substituindo na expressão a integral pelo seu conceito, teremos
Mt = G.θ.Jo
θ=
Mt
G.Jo
ângulo unitário de torção
Observações:
1. unidade: rad/cm, rad/m, ...
2. Para a seção circular é tabelado o momento de inércia em relação ao seu centro.
π.R 4
Jo =
2
Assim, ao se determinar o ângulo unitário de torção, podemos determinar também as
deformações totais, partindo de H = θ. L
H=
Mt
.L
G.Jo
Para determinação das tensões, basta substituir na expressão τ = G. θ.r o valor determinado
para θ.
τ = G.
Mt
.r
G.Jo
τ=
Mt
.r
Jo
como r é uma distância genérica que varia (0 ≤ r ≤ R) podemos calcular os valores limites
para a tensão na seção circular:
r = 0 (centro da circunferência)
r = R (contôrno da seção)
τ =0
τmáx =
Mt
.R
Jo
Observações:
l. Distribuição das tensões
A distribuição de tensões é linear (equação de 1º grau), e segue o modelo abaixo:
96
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
τmáx
τmáx
2. Módulo de resistência à torção
Chamamos de módulo de resistencia à torção (Wt) de uma seção circular à relação entre o
momento de inércia da seção circular e o raio da seção.
Wt =
Jo
R
(constante)
Então
τ máx =
Mt
Wt
III. SEÇÃO CORÔA CIRCULAR
Pode-se adaptar o formulário da seção circular para a coroa circular, pois as hipóteses de
funcionamento da mesma são iguais, respeitadas as diferenças relativas as propriedades
geométricas.
Re
τmáx
Ri
τmáx
Observa-se que a tensão máxima ocorre no contorno externo da seção coroa circular.
97
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
θ=
Mt
G.Jo
H = θ.L
τr =
Mt
r
Jo
onde R i ≤ r ≤ R e
τmáx =
Mt
. Re
Jo
(
)
Jo =
π
Re 4 - Ri 4
2
IV . ÁRVORES OU EIXOS DE TRANSMISSÃO
Eixos transmissores de potência mecanica trabalham submetidos à torção e as suas dimensões
devem ser tais que não ocorram tensões tangenciais elevadas em relação àquelas que o
material pode suportar com segurança.
A figura ao lado mostra um eixo de
raio R ligado à uma polia de raio Rp .
A correia transmite uma força F, então:
Mt = F. Rp
Em casos de árvores ou eixos de transmissão, em geral se conhece a potência do motor
acoplado à polia e a sua frequência, nunca o torsor que ele desenvolve.
Criou-se então uma expressão que não passa de uma conversão de unidades, que nos permite,
à partir da potência e da frequência conhecidas, determinar o torsor desenvolvido.
Seja:
N - potência do motor em CV
n - frequência do motor em r.p.m
A relação entre estas grandezas e o torsor transmitido é:
98
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Mt = 716,2
N
n
O torsor assim calculado é obtido em kN.cm.
IV. TORÇÃO EM PEÇAS DE PAREDES TUBULARES
A. HIPÓTESE DE BREDT
Para o estudo da torção em peças de paredes delgadas, além de válidas as hipóteses já
descritas, consideramos:
1. Eixo retilíneo
2. A seção transversal é qualquer , mas constante ao longo do eixo.
3. A espessura da parede é pequena em relação às dimensões da seção transversal:
t≤
dm
10
4. Admitimos que só existe momento torsor em qualquer seção.
5. Admitimos válida a Hipótese de Bredt
A distribuição das tensões tangenciais ao longo da espessura de um tubo de parede delgada,
segue o modelo abaixo, crescendo do centro para as extremidades:
99
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τ
Pelo fato da espessura ser muito pequena, Bredt considerou as tensões tangenciais constantes
em uma mesma espessura:
“Em uma peça tubular de paredes delgadas, e submetida à torção, as tensões tangenciais, nos
pontos de uma mesma espessura, são paralelas e de valor constante. Esta hipótese os conduz a
uma distribuição uniforme de tensões tangenciais ao longo de uma espessura.”
τ
Hipótese de Bredt
B. TENSÕES
Imaginemos um tubo de paredes delgadas sujeito à um momento
torsor, conforme a figura.
Cortamos este tubo por planos P1 e P2 distantes de um elemento
de comprimento L
Após, o trecho isolado pelos cortes é cortado novamente , agora
por um plano longitudinal P3.
100
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
As tensões tangenciais τ1 e τ2 nas espessuras t1 e t2 estão
representadas de acôrdo com a hipótese de Bredt, levando-se
também em conta a reciprocidade das tensões tangenciais.
Como nas seções cortadas devem aparecer tensões que
equilibrem o sistema, podemos verificar as equações de
equilíbrio estático.
Σ Fy = 0
τ1.t1.L - τ2.t2.L = 0
τ1.t1 = τ2.t2
Como estávamos tratando com espessuras genéricas, podemos generalizar a conclusão:
τ1.t1 = τ2.t2 = τ3.t3 = ......... = τn.tn = f
f - fluxo das rensões tangenciais
"Em uma peça tubular de paredes delgadas, submetida à um momento torsor, o fluxo das
tensões tangenciais é constante."
Passemos à considerar agora uma seçã genérica "S":
dω
B
A
Seja:
C - contôrno médio da seção representado pontilhado;
dω - elemento de área compeendido pelo contôrno médio (área OAB)
dS - arco elementar componente do contôrno médio
dω =
r.dS
2
Consideremos um elemento de área ao longo do contôrno:
dA = t.dS
A tensão desenvolvida neste elemento de área dA, dá origem à uma força df:
101
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df = f dS = τ . t . dS
O momento desta força em relação ao centro de torção o é:
mt = dF . r = ( τ . t . dS) . r = τ . t . r . dS
O momento torsor total da seção será:
Mt = ∫ τ . t .r.dS = τ . t ∫ r.dS
C
observe que
C
τ . t = f = cte
observe também que r.dS = 2.dω
daí tira-se que:
Mt = τ . t . ∫ 2.dω = 2. τ . t . ∫ dω
C
C
∫ dω = Ω
C
onde Ω representa a área da superfície englobada pelo contôrno médio C.
Substituimos a integral por seu significado, representado por Ω :.
Ω
Mt = 2. τ .t. Ω
τ=
Mt
2.t.Ω
Observações:
1. Esta expressão possibilita calcular as tensões tangenciais
parede do tubo.
em qualquer espessura da
2. A tensão máxima ocorre nos pontos de menor espessura.
τmáx =
Mt
2.Ω.tmín
102
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C. DEFORMAÇÕES
τ=
Sabe-se que
Mt
2.Ω.t
τ = G.θ.r
e que :
Mt
2.Ω.t
G.θ.r =
Integrando esta igualdade ao longo do contôrno médio da seção, obtem-se:
Mt
C 2.Ω.t
∫ G.θ.r = ∫
C
Mt dS
= G.θ ∫ r.dS
∫
2.Ω C t
C
∫ r.dS = 2.Ω
C
2.G.θ.Ω =
θ=
Mt dS
∫
2.Ω C t
Mt
dS
4.G.Ω C t
2
∫
Esta expressão possibilita calcular o angulo unitário de torção em uma peça tubular de
paredes delgadas submetida à torção.
A deformação total pode ser obtida por
H = θ. L
Avaliação de
dS
C t
∫
1. Casos de peças de espesura constante:
dS 1
C
= ∫ dS =
tC
t
C t
∫
onde C = comprimento do contôrno médio
3. Seção transversal constituida por trechos de espessura constante:
103
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C1
t1
t2
t4
C4
C2
t3
C3
Ci
dS
= ∑
∫
i =1 ti
C t
n
θ=
n Ci
Mt
∑
4.G.Ω 2 i = 1 ti
4. Seção transversal com lei matemática para variação da espessura ao longo do contôrno
médio: Neste caso basta substituir t pela sua lei matemática e resolver matemáticamente a
integral.
5. Se a seção transversal não se enquadrar nos casos anteriores a integral deve ser avaliada
por um processo aproximado.
104
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Calcular a máxima tensão tangencial em uma barra de seção circular com 20 cm de
diâmetro, quando submetida a um par de torção de 40 kN.m. Determine também o ângulo
total de torção, sendo o comprimento da peça 3 m e o módulo de elasticidade transversal
do material igual a 8.104 MPa.
R: τmáx = 2,55 kN/cm2
H = 96 . 10-4 rad
2. Qual a máxima potência que se pode desenvolver em um eixo de 8 cm de diâmetro que
gira à 400 rpm. O eixo é construido com material que apresenta tensão de cisalhamento
admissível de 15 kN/cm2 .
R: 842,2 CV
3. Um par de torção de 30 kN.m é aplicado em uma seção circular vasada de 20 cm de
diametro externo. Determine o maior diametro interno possível a fim de que a tensão de
cisalhamento não ultrapasse 6 kN/cm2 .
R: ≅ 18 cm
4. Deseja-se substituir um eixo de seção circular de raio 10 cm por outro de seção coroa
circular, do mesmo material, com Re = 2.Ri , capaz de suportar o mesmo torsor, com a
mesma segurança. Quais seriam as dimensões do eixo oco? Qual a economia de material
que se obtém ao realizar a substituição?
R: De = 20,4 cm
economia ≅ 22%
Di = 10,2 cm
5. A junta representada na figura é frequentemente usada para unir as extremidades de dois
eixos. As duas partes são solidárias por meio de 6 rebites de diâmetro 3/4". Se o eixo
transmite 65 CV com 250 rpm, qual a tensão de cisalhamento nos rebites?
R: 2,14 kN/cm2
105
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6. O eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com módulo de elasticidade
transversal 0,84 . 104 kN/cm2 . Na extremidade inferior do eixo é aplicado um torsor de 6
kN.m e na seção B um torsor de 9 kN.m, com os sentidos indicados. Determine a tensão
de cisalhamento máxima nos dois trechos de seção constante e o deslocamento angular de
B e C.
R: τAB = 1,46 kN/cm2
τBC = 6,91 N/cm2
HB = 0,0034 rad
HC = 0,0117 rad
7. O eixo da figura compõe-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com 60 cm de
comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante de 6 cm; o limite ao cisalhamento do
latão é de 10 kN/cm2 e o do alumínio 15,5 kN/cm2. Adotando um coeficiente de
segurança 2 e limitando o ângulo de torção na extremidade livre em 1º, qual o torsor
máximo que se pode aplicar a este eixo. Dados;
Glatão = 0,35 . 104 kN/cm2
G Alumínio = 0,28 . 104 kN/cm2
Latão
60 cm
Alumínio
60 cm
1º = 0,01745 rad
R: 57,57 kN.cm
Mt
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106
8. Considere um eixo formado por um núcleo cilíndrico de alumínio com 5 cm de diametro
envolto por uma coroa de aço com 6 cm de diâmetro externo. Sendo rígida a ligação entre
os dois metais e estando o eixo solicitado por um torsor de 15 tf.cm, pedem-se as tensões
de cisalhamento máximas nos dois metais.
Dados:
GAl = 0,28 . 104 kN/cm2
Gaço = 0,84 . 104 kN/cm2
5 cm
6 cm
R: τmáx Al = 1,46 kN/cm2
τmáx aço = 5,21 kN/cm2
9. Um eixo maciço de aço com seção circular é envolvido por um tubo de cobre, rigidamente
ligado ao aço. O conjunto está solicitado a torção. Sabendo-se que o cobre absorve 1,5
vezes o torsor do aço, pede-se determinar a relação entre os diâmetros interno e externo do
tubo de cobre. Dados:
Gaço = 0,84 . 104 kN/cm2
GCu = 0,42 . 104 kN/cm2
Cobre
aço
Di
De
R: De =
2 . Di
10. .Admite-se no problema anterior qua a barra de aço tem diâmetro de 6 cm e que as tensões
de cisalhamento admissíveis no cobre e no aço sejam respectivamente 6 e 8 kN/cm2 .
Qual o torsor máximo que se pode aplicar ao eixo.
R: 8,48 kN.m
107
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11. Um momento de torção de 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze indicado.
Determinar:
a. Máxima tensão de cisalhamento
b. A tensão de cisalhamento no ponto B com 15 mm de raio.
c. A parcela do momento resistida pelo cilindro interior aos 15 mm de raio
60 mm
3 kN.m
B
200 mm
R:
a. 70,7 MPa
b. 35,4 MPa
c. 6,25 %
12. Os momentos torsores indicados atuam nas polias A B C e D. Sabendo-se que os eixos
são maciços determinar a tensão máxima de cisalhamento:
a. do eixo BC
b. do eixo CD
A
B
C
D
R: a. 8,34 kN/cm2
b. 8,15 kN/cm2
108
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13. A barra circular maciça BC de aço é presa à haste rígida AB e engastada ao suporte rígido
C. Sabendo-se que G = 0,75.104 kN/cm2 , determinar o diâmetro da barra de modo que
para um P de 450 N a deflexão do ponto A não ultrapasse 2 mm e que a máxima tensão de
cisalhamento não exceda 100 MPa.
R: 40,5 mm
14. Verificar a seção esboçada na figura para resistir à um momento torsor de 30 kN.m,
sabendo-se que a tensão limite de cisalhamento do material é de 50 MPa. Calcule também
o seu ângulo unitário de torção ( G = 0,8 . 104 kN/cm2 ).
2 cm
20 cm
2 cm
R: s = 2,53
θ = 2,24 . 10-5 rad/cm
15. As seções da figura abaixo são construidas com o mesmo material e estão submetidas ao
mesmo torsor. Calcular a relação R/e à fim de que trabalhem com a mesma segurança.
109
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2e
R
18e
2e
e
15e
R: 7,4
e
16. Uma peça tubular cuja seção reta e indicada na figura, é construida com material que
apresenta tensão de cisalhamento admissível de 20 MPa. O comprimento da peça é de 4
metros, seu módulo de elasticidade longitudinal 2 . 105 MPa e seu coeficiente de Poisson
0,3. Determine:
a. Maior torsor que a seção admite.
b. Ângulo total de torção.
2 cm
16 cm
2 cm
1 cm
13 cm
1 cm
R: a. 10,08 kN. m
b. 0,1032 rad
17. A figura abaixo mostra a seção de uma peça tubular de paredes delgadas com material que
apresenta tensão de cisalhamento admissível de 4 kN/cm2 . Pede-se a dimensão 't' da
seção sabendo-se que ela esta submetida a um torsor de 1 kN.m.
2t
12 t
2t
t
26 t
t
R: 0,32 cm
110
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18. Aplica-se uma torção de 90 N.m ao eixo de seção vasada da figura. Determine as tensões
de cisalhamento nos pontos A e B.
19. Uma barra vasada, tendo seção transversal indicada é feita com uma lamina metálica de
1,6 mm de espessura. Sabe-se que um torque de 339 N.m será aplicado a barra.
Determinar a menor dimensão 'd' de modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse
3,45 MPa.
R: d ≥ 184,4 mm
111
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PEÇAS DE SEÇÃO QUALQUER
FORMULÁRIO
Seção elíptica
JT =
π.a.b 3
2
τmáx =
θ=
Mt
.b
JT
M t (a 2 + b 2 )
π.G a 3.b3
OBS: A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos externos do eixo maior
a - semi-eixo maior
b - semi-eixo menor
Seção Retangular
n=
α = 3+
θ=
a
b
1,8
n
β.M t
G.a.b3
JT =
β=
a.b3
α
3.n
0,63
τmáx =
Mt
.a
JT
OBS: A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos médios dos lados maiores
112
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Seção Quadrada
JT =
a4
4,8
τmáx =
Mt
.a
JT
θ=
7,1.M t
G.a 4
OBS : A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos médios dos lados.
Seção Retangulo alongado
A seção que apresentar n ≥ 20 é chamada de retangulo alongado, onde n =
α=β=3
τmáx =
Mt
.b
JT
a
b
JT =
a.b3
3
θ=
3.M t
G.a.b3
OBS: As máximas tensões ocorrem nos pontos médios dos lados maiores
Seção constituida de retangulos alongados
Estas seções em geral se encontram nos perfilados metálicos
113
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a- Lado maior de cada um dos retangulos
b- Lado menor de cada um dos retangulos
m - número de retangulos
1m
J T = ∑ a i .b i 3
31
Mt
θ=
G.J T
τ máx =
M t. b máx
JT
OBS: A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos médios dos lados maiores do retângulo
de maior espessura.
114
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Uma barra de seção elíptica cujos eixos estão na proporção 1:2 é sujeita a uma torção de 2
kN.m. O material é tal que não permite que se ultrapasse a tensão tangencial de 6 kN/cm2 e o
módulo de elasticidade transversal é de 8.10-4 kN/cm2. A peça tem 1,5 m de comprimento.
Calcule o ângulo total de torção.
R: H ≅ 0,03185 rad
2. Calcular a máxima tensão tangencial que ocorre no perfil cantoneira da figura, quando
submetido a um torsor de 0,72 kN.m. Na figura as medidas estão em mm. Assinale os pontos
de tensão máxima.
R: 7,98 kN/cm2
3. Determinar o coeficiente de segurança para a seção cantoneira da figura. A tensão de
cisalhamento do material em laboratório é de 100 MPa. A seção esta submetida a um
momento torsor de 2,5 kN.m. Determinar também o ângulo total de torção sabendo-se que a
peça mede 6 m e tem G = 8.104 kN/cm2 .
Na figura as medidas estão em mm. Assinale os pontos de tensão máxima.
R: s ≤ 1,17
H = 0,002118 rad
115
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CAPÍTULO VI
FLEXÃO PURA
I . VIGAS CARREGADAS TRANSVERSALMENTE
Uma viga é um elemento linear de estrutura que apresenta a característica de possuir uma das
dimensões (comprimento) muito maior do que as outras duas (dimensões da seção
transversal).
A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constitui-se no eixo
longitudinal da peça, e dizemos que uma viga é carregada transversalmente quando suas
cargas são perpendiculares à este eixo.
Quando uma viga que tem cargas perpendiculares ao seu eixo, desenvolve em suas seções
transversais solicitações de Momento Fletor (M) e Esforço Cortante (Q), sendo o Momento
Fletor responsável pela flexão e o Esforço Cortante responsável pelo cisalhamento da viga.
Eixo longitudinal da viga
M - Momento Fletor → Flexão
Q – Esforço Cortante → Cisalhamento
O Esforço Cortante tem muitas vezes uma influência desprezível no comportamento da peça e
com a finalidade acadêmica pode-se despreza-lo, estudando o efeito da flexão isolada.
Existe uma aproximação ao estudarmos a flexão isolada. Na prática, tem-se a obrigação de
pelo menos verificar o efeito do esforço Cortante.
Feitas estas considerações, inicia-se classificando a flexão em:
PURA
FLEXÃO
SIMPLES
116
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
FLEXÃO PURA - Desprezado o efeito do Esforço Cortante
FLEXÃO SIMPLES - Momento Fletor e Esforço Cortante considerados.
A posição do carregamento em relação à posição dos eixos principais centrais de inércia da
seção transversal da peça, também deve ser analisada.
Convencionando por x e y os eixos principais centrais de inércia da seção transversal da viga,
e Jx e Jy os Momentos Principais Centrais de Inércia correspondentes.
Chama-se de Plano de Solicitações (PS) ao plano onde se desenvolvem as solicitações, o que
corresponde ao plano das cargas.
A posição deste plano pode ser a mais diversa possível. Comparando esta posição com a
posição dos eixos principais centrais de inércia da seção transversal, pode-se obter as
seguintes situações:
PS
y
PS
x
x
y
PS contém eixo y
PS contém eixo x
PS
y
x
PS não contém nenhum eixo principal central de inércia da seção
117
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
De acordo com estas observações a flexão é classificada em:
RETA - Ocorre quando o Plano de Solicitações contém um dos eixos principais centrais de
inércia da seção (x ou y), e está representada nos dois primeiros exemplos.
OBLÍQUA - Ocorre quando o Plano de Solicitações é desviado em relação aos eixos
principais centrais de inércia da seção, representada no terceiro exemplo.
A classificação definitiva para a flexão fica:
RETA
PURA
OBLÍQUA
FLEXÃO
RETA
SIMPLES
OBLÍQUA
II. FLEXÃO PURA RETA
É o caso mais simples e o mais comum de flexão. Nas estruturas o mais comum é o Plano de
Solicitações vertical, pois é o plano que contém as cargas peso.
Inicia-se o estudo por um caso simples de uma viga de seção transversal retangular, e sujeita a
uma carga carga peso, conf. Abaixo. Destacam-se as seções S1 e S2 :
P
S2
S1
P
S1’
S2’
Isolado o trecho compreendido entre as seções S1 e S2 podem-se observar as deformações e
concluir:
118
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
S1
S1’
S2’
S2
M
M
1. No exemplo observado, as fibras de baixo se alongaram, e isso indica uma tensão normal
de tração, capaz de provocar este alongamento.
2. As fibras de cima se encurtaram e o fizeram porque houve uma tensão normal de
compressão que as encurtou.
3. Existe uma linha na seção transversal na altura do eixo longitudinal constituída por fibras
que não alongaram e nem encurtaram. Conclui-se que nesta linha não existe tensão normal.
Esta linha é chamada de LINHA NEUTRA (LN), e neste exemplo ela coincide com o eixo x,
que é principal central de inércia da seção transversal retangular.
Numa flexão reta a LN é sempre um dos eixos principais centrais de inércia da seção:
PS contendo eixo y → LN coincide com o eixo x
PS contendo eixo x → LN coincide com o eixo y
Numa flexão reta LN e PS são sempre perpendiculares entre si.
A Linha Neutra representa fisicamente o eixo em torno do qual a seção gira.
4. Quanto mais afastada for a fibra da LN maior será a sua deformação e conseqüentemente
maior será a tensão que lhe corresponde (lei de Hooke).
S1’
LN
S2’
LN
119
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A. TENSÕES NORMAIS DESENVOLVIDAS
Na formação da expressão que permite calcular as tensões normais desenvolvidas em uma
seção transversal, adota-se o seguinte exemplo:
Uma Viga de seção retangular (bxh) , onde os eixos principais centrais de inércia são os eixos
de simetria (x,y). Plano de Solicitações verticais (cargas peso).
notações e convenções:
σ - Tensões Normais : (+) tração
(-) compressão
Jx - Momento de inércia da seção em relação ao eixo x, principal central de inércia (pci).
Mx - Momento Fletor atuante na seção transversal devido à ação das cargas
(+) traciona as fibras da parte de baixo da seção transversal
(-) traciona as fibras de cima
y - ordenada genérica da fibra considerada, ou seja, da fibra para a qual se quer calcular as
tensões normais.
σmáxC
Mx
Mx
LN
σmáxT
Conhecido o funcionamento da peça e as grandezas que influem em seu funcionamento à
flexão pode-se montar uma equação que permita calcular a tensão normal desenvolvida, nos
diversos pontos que constituem a seção em estudo:
σy =
Mx
.y
Jx
Observando esta expressão, nota-se que a tensão desenvolvida depende diretamente
domomento fletor que atua na seção transversal (responsável pela tendência de giro), e é
inversamente proporcional ao momento de inércia da mesma, o que se explica, pois o
momento de inércia representa fisicamente resistência ao giro.
A tensão também é diretamente proporcional a ordenada y, que representa a distância da fibra
em que se deseja calcular a tensão até a linha neutra, ficando de acordo com a lei de Hooke,
pois as deformações crescem com a distancia à Linha Neutra .
120
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
Observações:
1. Esta expressão permite calcular a tensão normal desenvolvida devido ao momento fletor
em qualquer ponto de qualquer seção da viga considerada.
2. Se fosse exemplificado com Plano de Solicitações horizontal, as seções girariam em tôrno
do eixo y e a expressão ficaria:
σx =
My
.x
Jy
B. TENSÕES NORMAIS EXTREMAS (MÁX. E MÍN)
As máximas tensões de tração e de compressão ocorrem nos pontos mais afastados da Linha
Neutra, porque são nestes pontos que a deformações são máximas (lei de Hooke).
Para facilitar o cálculo das tensões normais máximas, dividem-se as peças em duas categorias:
1. Peças Simétricas em relação ao eixo de giro (eixo x)
Ex: Seção Retangular
σmáxC
YmáxC=
h
2
Mx
Mx
YmáxT=
LN
h
2
σmáxT
Observe que em peças simétricas a distancia da fibra mais tracionada e da fibra mais
comprimida até a Linha Neutra é igual à metade da altura total da peça (h/2)
σmáxT =
Mx
. ymáxT
Jx
σmáxC =
ymáxT = |ymáxC | =
Mx
. ymáxC
Jx
h
2
σmáxT = |σmáxC|
121
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
2. Seções não simétricas em relação ao eixo de giro (eixo x):
Ex: Seção "T"
σmáxC
Mx
YmáxC
Mx
LN
YmáxT
σmáxT
|ymáxc | ≠ ymáxt
σmáxT ≠ |σmáxC|
Nas seções não simétricas as convenções devem ser observadas com cuidado pois a simples
inversão de qualquer sentido ou sinal torna os resultados diferentes dos observados na prática.
C. MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
Por definição, módulo de resistência à flexão é a relação entre o Momento de Inércia da seção
em relação à um eixo, e a maior distância da seção em relaçao aqo mesmo eixo. Como foi
exemplificado o caso de cargas verticais em que o eixo de rotação (LN) é x, teríamos:
Wx =
Jx
ymáx
Substituindo este conceito na expressão que nos dá a tensão máxima, tem-se:
σmáx =
Mx
. ymáx
Jx
σmáx =
Mx
Wx
Note-se que não se faz distinção entre ymáxt e ymáxc , portanto a utilização prática desta
constante se dá no cálculo da tensão máxima em peças simétricas, onde eles são iguais.
Muitas vezes, em peças comerciais , o valor do módulo de resistência à flexão é tabelado.
Tratando do caso de Momento Fletor M y (rotação em torno de y), a expressão fica:
Wy =
Jy
xmáx
σmáx =
My
Wy
122
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D. SEÇÕES E POSIÇÕES MAIS CONVENIENTES
A melhor forma para a seção transversal de uma viga sujeita à flexão é aquela que tem grande
parte de sua área em regiões o mais afastadas possíveis de sua LN.
Exemplo:
Para uma mesma seção, ou seja, para um mesmo material empregado, o aproveitamento da
melhor forma possível, ou da melhor posição possível, é possível pela análise do seu módulo
de resistência à flexão.
Exemplo 1:
Qual a forma mais conveniente para ser utilizada em uma viga sujeita à flexão, optando-se
entre uma seção quadrada e outra circular, ambas de mesma área?
R
a
a
Seção 1
Seção 2
Exemplo 2:
Qual a posição mais conveniente de uma seção retangular b x B , para servir como seção
transversal de uma viga, sujeita à carga peso?
123
Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini
b
B
B
b
III. FLEXÃO PURA OBLÍQUA
A. CONCEITO
Uma flexão é classificada como pura quando o efeito do esforço cortante é desprezado e é
oblíqua quando o Plano de Solicitações não contém nenhum eixo principal central de inércia
da seção.
Exemplo:
PS
PS
y
LN
x
α
Numa flexão oblíqua a posição das cargas em relação ao eixo y, principal central de inércia
define o angulo α.
α - ângulo que o PS faz com o eixo y, considerado positivo quando o PS se desloca de y no
sentido horário
A LN representa o eixo em torno do qual a seção gira. Assim como o PS, a LN também não
coincide com os eixos principais centrais de inércia. Além disto a LN e o PS não precisam ser
perpendiculares.
124
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B. TENSÕES NORMAIS DESENVOLVIDAS
O momento fletor é um vetor, e que como tal pode ser representado por uma seta contida pela
seção transversal (regra da mão direita).
Como qualquer vetor em um plano pode ser decomposto segundo duas direções de interesse,
pode-se decompor o vetor M segundo as direções x e y, obtendo:
Mx = M . cosα
My = M . senα
My
= tg α
Mx
PS
y
x
M
Percebe-se que a flexão oblíqua recai no caso da soma de duas flexões retas:
125
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PS
M
α
M
M
α
=
+
Mx
α
My
α
σy =
Mx
.y
Jx
σx =
My
.x
Jy
Adotando-se o princípio da Superposição de efeitos pode-se calcular a tensão resultante do
Momento M, somando-se algébricamente os efeitos de Mx e My.
σx,y =
Mx
My
.y +
.x
Jx
Jy
Esta equação permite que se calcule a tensão em qualquer ponto da seção em estudo, bastando
para isto a substituição dos valores de x e y pelas coordenadas do ponto.
C. ESTUDO DA LINHA NEUTRA
O objetivo ao projetar ou verificar uma peça está nas tensões máximas.
As tensões máximas devem estar nos pontos mais afastados do eixo em torno do qual a seção
gira, ou seja da LN e portanto para o conhecimento destes pontos precisamos estudar a LN.
Por definição a LN é a linha de tensões nulas e pode ser descrita sob a forma de uma equação,
igualando a equação das tensões à zero.
σx,y = 0
ou
Mx
My
.y +
.x=0
Jy
Jx
y = - tg α.
Jx
x
Jy
Pode-se concluir por esta equação que:
1. A LN é uma reta
2. A LN passa pelo centro de gravidade da seção que é o ponto de coordenadas (0;0)
3. A LN não é perpendicular ao PS
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D. TENSÕES MÁXIMAS
Ocorrem nos pontos mais afastados da LN. Então determinada a LN podemos determinar a
posição destes pontos gráficamente, e calcular nestes pontos as tensões máximas.
Exemplo:
Seção Qualquer (método gráfico)
Nas peças com simetria em relação à x e em relação à y, pode-se simplificar o problema
indicando os vértices como pontos destas tensões máximas.
Em dois vértices opostos, as tensões são sempre de mesmo módulo e sinal contrário, o que
implica em:
σmáx t = | σmáx c |
σmáxT
LN
σmáxC
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Uma viga de seção retangular 20 x 30 cm suporta um momento fletor positivo de 20
kN.m. A peça é construida com material que apresenta σT = 18 MPa e σC = 32 MPa.
Determine o coeficiente de segurança desta viga.
R: 2,7
2. Projetar uma peça com seção retangular com altura igual ao dobro da base para servir
como viga conforme a figura abaixo.. A viga será construida com material dútil que
apresenta tensão de escoamento de 400 MPa. Despreze o esforço cortante e adote
segurança 2,5.
R: b≥ 9,5 cm
h≥ 19 cm
3. Determine a medida "b" da seção transversal da viga da figura abaixo. A viga deve resistir
ao carregamento indicado com segurança 5. O material apresenta :
σT = 8 kN/cm2
σC  = 16 kN/cm2
R: b≥33,31 cm
4. Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é frágil e apresenta:
σT = 200 MPa
| σC | = 300 MPa
128
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R: 2,34
5. A viga da figura deve ser construida com material dútil que apresenta tensão de
escoamento de 300 MPa. A seção transversal deve ser uma coroa circular de Re = 2.Ri.
Dimensione-a com segurança 3.
R: Re = 5,14 cm
6. Determinar o máximo valor possível para a carga "q" à fim de que a peça abaixo de seção
retangular 20 x 40 cm resista ao carregamento indicado com segurança 3.
Dados:
σT = 30 MPa
| σC | = 120 MPa
s=3
R: q ≤ 26,67 kN/m
7. Qual a relação entre os momentos fletores máximos que podem suportar com a mesma
segurança uma viga de seção retangular com um lado igual ao dobro do outro, sendo o PS
paralelo ao lado maior e depois paralelo ao lado menor.
R: 2
8. Determinar a percentagem de material economizado quando se substitui uma seção
circular de raio R por uma coroa circular de Di = 0,9 De. As duas vigas são construidas
com o mesmo material e apresentam as mesmas condições de segurança.
R: ≅ 60 %
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9. Para a viga da figura determine a tensão normal desenvolvida no ponto P das seção S,
distante 3 metros do ponto A.
R: 1,317 kN/cm2
10. A viga da figura é construida com material frágil e tem seção transversal constante,
retangular e vasada, com as dimensões indicadas. Calcule o máximo valor para a carga P
possível à fim de que se tenha coeficiente de segurança 3. Dados:
σT = 20 kN/cm 2
σC = 40 kN/cm 2
R: P ≤ 16,12 kN
11. Determine o máximo valor posível para a acarga P da estrutura abaixo à fim de que ela
trabalhe 7com segurança 2. Dados:
σt =50 MPa
|σc| = 70 MPa
130
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R: 2,86 kN.
12. Determine o coeficiente de segurança da viga abaixo, sendo dados do material:
σT = 3 kN/cm2
|σC| = 5 kN/cm2
13. Determinar a medida de "a" necessária à seção T abaixo, sabendo que o material apresenta
tensões admissíveis de tração e de compressão de 30 e 50 kN/cm2 respectivamente.
R: a ≥ 1,03 cm
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14. A seção retangular indicada na figura sofre um momento fletor de 150 kN.m em um plano
que faz ângulo de 20° com a vertical. Pede-se as tensões nos 4 vértices da seção, a
equação e a posição da Linha Neutra e o diagrama de tensões relativo à Linha Neutra.
R: σA = 1,04 MPa σB = -24,5 MPa
σC = + 24,5 MPa σD= - 1,04 MPa
15. Determine as dimensões necessárias à terça da figura abaixo com seção retangular h = 2b
sabendo que o material apresenta:
σT = 3 kN/cm 2
σC = 5 kN/cm2
R: b ≥ 10,93 cm
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FORMULÁRIO PADRÃO
INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS:
ε=
σ
Ε
εt =
(lei de Poisson)
ε=
(lei deHooke)
∆
∆
D D
-
t
ε
= µ
ε
F
Aresist
l l
.
σ ou τ =
Lei de Hooke generalizada
1
[σ x − µ(σ y + σ z )]
E
1
ε z = [σ z − µ(σ x + σ y )]
E
εx =
εy =
1
[σ y − µ(σ x + σ z )]
E
TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL SEM CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO
N
A
σ=
∆L =
N.L
E.A
TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL COM CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO
σ máx =
∆
G = A.γ.l
γ
l.
E
.
2
G
(P + )
2
P+G
A
l A
.
.
P E
=
l
l A
E
=
l
∆
P
+γ
A
l
σ máx =
+
2
E1
E2
σ2
1
σ
2
N1= σ1..A1
N2 = σ 2.A2
LIGAÇÕES REBITADAS
1. cisalhamento nos rebites
P
≤ σ C ( chapa sec obr .)
n.d.t
3. tração nas chapas enfraquecidas
4. espaçamento mínimo entre rebites
)
.
r
b
o
c
e
s
a
p
a
h
c
t
d
.
1
n
≤σ(
)
P = N1 + N2
2. compressão nas paredes dos furos
P
≤ τ reb
π.d 2
m.n.
4
P
t (l −
σ2 =
.
n=
n=
A
1
P +
A
.
n
MATERIAIS DIFERENTES
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GEOMETRIA DAS MASSAS
∑
∑
i
i
y
.
i
A
A
=
YG
XG =
ΣA i .x i
ΣA i
Teorema da translação ou Steiner:
Jx = JxG + A. (dy)2
dyi= (yi – yG)
Jy = JyG + A. (dx)2
dxi= (xi - xG)
TABELA:
Jy =
JyG =
3
b 2
.
h 1
3
h2
.
b 1
JxG =
3
b 3
.
h
3
h
3
.
b
Jx =
TORÇÃO
t
J
.
M G
=
H = θ.L
θ
τr = G.θ.r
o
Seção Circular:
π.R 4
Jo =
2
τ máx =
Mt
.R
Jo
Seção Coroa Circular
Jo =
π 4
(R e − R i4 )
2
τ máx =
Mt
.R e
Jo
FLEXÃO PURA RETA
Mx
Jx
y
.
σY =
Seção simétrica em relação ao eixo de giro;
Wx =
Jx
y máx
σ máxt = σ máxC =
Mx  h 
 
Jx  2 
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais LTC Editora – Rio de Janeiro – 3ª
Edição ISBN - 85-216-1228-1
GERE, James M. Mecânica dos Materiais Pioneira Thomson Learning , 2003 São Paulo – ISBN – 85-221-0313-5
ROY R. CRAIG, JR – Mecânica dos Materiais – LTC Editora – Rio de Janeiro
ISBN – 85-216-1332-6
RILEY William F. STURGES Leroy D. MORRIS Don H. - LTC Editora – Rio
de Janeiro – ISBN – 85-216-1362-8
TIMOSHENKO,S,P. -Resistência dos Materiais 2 volumes. Ed. Ao Livro
Técnico S.A. Rio de Janeiro.
BEER, Ferdinand P & JOHNSTON, E Russel. Resistência dos Materiais
Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
GOMES, Sérgio C. - Resistência dos Materiais - Livraria Kosmos
FEODOSSIEV, V. I. - Resistência dos Materiais - Editora Mir - Moscou
NASH, W.A. - Resistência dos Materiais - Editora Mc Graw Hill do Brasil. São
Paulo
POPOV,E.P. - Resistência dos Materiais - Editora Prentice-Hall do Brasil
DI BLASI, Célio G. - Resistência dos Materiais - Editora Interamericana Ltda.
Rio de Janeiro – ISBN – 85-201-0189-5
SCHIEL Frederico Introdução à Resistência dos Materiais Harper & Row do
Brasil – São Paulo
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