X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
ESTIMAÇÃO E COMPENSAÇÃO DE ATRITOS EM UM PÊNDULO INVERTIDO
Hugo Tanzarella Teixeira∗, Victor Semedo de Mattos Siqueira∗, Celso José Munaro∗
Departamento de Engenharia Elétrica
Universidade Federal do Espı́rito Santo
Av. Fernando Ferrari, 514, Goiabeiras, CEP 29075-910
Vitória, Espı́rito Santo, Brasil
∗
Emails: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract— The inverted pendulum contains non-negligible nonlinearities due to friction, causing limit cycles.
Much research has been conducted in the literature to estimate and compensate for this friction. In this paper, a
recently proposed method is applied to estimate friction using only data from the closed loop operation. Estimations from open-loop and closed-loop are compared, showing the similarity of both. Friction estimates are then
used for compensation using two methods of the literature to improve the performance of the controller in closed
loop. The constant reinforcement (CR) compensator resulted in a better performance than the compensator
using the Karnopp friction model. Moreover, the information required to make the compensation in the first
method is only the estimate of the friction that can be obtained in closed loop. Applied techniques are illustrated
through their application in a real inverted pendulum.
Keywords—
Inverted pendulum, friction estimation, friction compensation.
Resumo— O pêndulo invertido contém não linearidades não desprezı́veis devido aos atritos, causando ciclos
limite. Muita pesquisa tem sido realizada na literatura para estimar e compensar este atrito. Neste artigo, um
método recentemente proposto é aplicado para estimação de atrito usando apenas dados de operação em malha
fechada. A estimativa é comparada com o resultado de ensaios em malha aberta, evidenciando a semelhança de
ambos. Os atritos estimados são então utilizados para sua compensação utilizando dois métodos da literatura,
de forma a melhorar o desempenho do controlador em malha fechada. O compensador reforço constante (CR)
resultou em um desempenho melhor do que o compensador usando o modelo de atrito de Karnopp. Além disto,
a informação necessária para a fazer a compensação no primeiro método é apenas a estimativa de atrito que pode
ser obtida em malha fechada. As técnicas utilizadas são ilustradas através da aplicação em um pêndulo invertido
real.
Palavras-chave—
1
Pêndulo invertido, estimação de atritos, compensação de atritos.
Introdução
O interesse no estudo dos efeitos do atrito em malhas de controle é devido ao mesmo estar presente
em todos os sistemas de controle envolvendo sistemas mecânicos. Por se tratar de um sistema mecânico subatuado, inerentemente instável em malha aberta e de dinâmica não linear, o pêndulo
invertido é um problema clássico e já bastante
estudado para aplicações de técnicas de controle.
A presença de atrito produz ciclos limite que podem impedir sua estabilização caso compensações
adequadas não sejam utilizadas (Olsson and Åström, 2001).
Há muitos ramos de pesquisa sobre o atrito, tais
como modelagem, estimação e compensação. Esses estudos têm um propósito comum, que é mostrar qual modelo é mais apropriado para representar e compensar o atrito para cada caso. Park
et al. (2006) propõe um observador não linear
de ordem reduzida para estimar o coeficiente de
atrito do modelo clássico de Coulomb e compensar
o atrito em um pêndulo invertido. Gäfvert (1999)
compara os resultados da compensação entre o
modelo de LuGre e modelos clássicos de atrito
em um pêndulo invertido Furuta. Fang et al.
(2001) utiliza um compensador baseado no modelo de Dahl para fazer a compensação dos atritos em um pêndulo invertido duplo. Em todos
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
esses casos os modelos requerem informações de
vários parâmetros que devem ser estimados através de ensaios em malha aberta. Como alternativa, métodos baseados no ajuste de uma elipse
aos dados de um gráfico entrada-saı́da têm sido
utilizados para estimar o atrito estático quando
este causa ciclos limite (Choudhury et al., 2006).
Neste artigo é comparado a estimativa do atritos
em malha aberta e fechada. Os atritos estimados
são utilizados para sua compensação utilizando o
compensador reforço constante e o compensador
baseado no modelo de Karnopp. O desempenho
dos compensadores é comparado através do cálculo do IAE e da variância do ângulo da haste e
da posição do carrinho. As técnicas utilizadas são
ilustradas através da aplicação em um pêndulo invertido real.
2
2.1
Quantificação de atritos em malha
aberta
Descrição do ambiente
O sistema experimental utilizado, produzido pela
QuanserTM , consiste em um carrinho com uma
haste móvel acoplada através de uma articulação.
O carrinho move-se horizontalmente em um trilho
e a haste móvel por sua vez pode realizar movimento rotacional de 360◦ no plano vertical. O
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carrinho consiste de uma base de alumı́nio impulsionada por um motor CC de 400 W, trifásico
sem escova. O sistema fı́sico está interligado a
um ambiente de controle em tempo real (QuaRC)
integrado ao MatlabTM /SimulinkTM que permite
seu controle e monitoramento. Uma biblioteca de
funções permite a interface entre as variáveis do
ambiente Simulink e o sistema real.
2.2
Modelo do pêndulo invertido
Pelo método de Newton-Euler obtemos as equações que descrevem a dinâmica do sistema do pêndulo invertido

(M + m)ẍ = Fe − mL sen(θ)θ2 + mL cos(θ)θ̈ − Fat
2
(J + mL )θ̈ = mLg sen(θ) + mL cos(θ)ẍ − fat

(1)
(2)
onde M é a massa do carrinho, m a massa da haste,
a distância do pivô da haste até seu centro de
gravidade, J o momento de inércia da haste, Fe
a força aplicada ao carrinho, Fat a força de atrito
no carrinho, fat o atrito resistente ao momento de
rotação da haste, x é a posição do carrinho e θ
a posição angular da haste. Em nosso sistema a
força aplicada ao carrinho é dada pela seguinte
relação
L
onde β é a constante de conversão entre a corrente aplicada (i) e a força que atua no motor CC
utilizado. Os valores, fornecidos pelo fabricante,
dos parâmetros destas equações estão listados na
Tabela 1.
Modelo de atrito
Segundo Olsson et al. (1998) os modelos de atrito
podem ser classificados como estáticos ou dinâmicos. Nos modelos estáticos de atrito três componentes são geralmente consideradas: atrito estático, atrito viscoso e o atrito de Coulomb.
Olsson et al. (1998) propuseram o modelo de atrito
Fat =



 Fatrito (ẋ)
Fe



Fs sgn(Fe )
se
se
se
ẋ 6= 0
ẋ = 0
ẋ = 0
e
e
|Fe | < Fs
|Fe | > Fs
Tabela 1: Parâmetros
Parâmetro
Valor
Unidades
M
3,2200
kg
m
0,2300
kg
L
0,6413
m
(4)
(5)
onde Fs é a força de atrito estático, Fc a força de
atrito de Coulomb, ε o coeficiente de atrito viscoso
e vs a velocidade de Stribeck.
Ao utilizar os modelos clássicos em simuladores
nos deparamos com o problema de detecção da velocidade nula. Portanto Karnopp (1985) propôs a
criação de uma faixa de valores, dentro da qual
a velocidade do movimento é considerada nula.
O modelo define a velocidade zero no intervalo
|ẋ| < DV . Para velocidades dentro deste intervalo,
o estado interno do sistema (velocidade) pode mudar e ser diferente de zero, mas a saı́da do bloco é
mantida em zero por uma zona morta. Em nossos
experimentos foi utilizado DV = 0,002 m/s.
No pêndulo invertido em estudo foi observado que
não há simetria na força de atrito em relação ao
sinal de corrente aplicada (Figura 1).Este fato foi
incorporado ao modelo de Karnopp através das
equações
Fat

−

(ẋ)
Fatrito




−



 Fs sgn(Fe )
=
Fe




 Fs+ sgn(Fe )



 F+
atrito (ẋ)
se
se
se
se
se
ẋ ≤ −DV
|ẋ| < DV
|ẋ| < DV
|ẋ| < DV
e
e
e
Fe ≤ −Fs−
Fs− < Fe < Fs+
Fe ≥ Fs+
ẋ ≥ DV
−
−
−
+
+
+
Fatrito (ẋ) = Fc sgn(ẋ) + ε ẋ
Fatrito (ẋ) = Fc sgn(ẋ) + ε ẋ
(6)
(7)
(8)
O efeito Stribeck, incorporado na equação (5),
só é relevante para velocidades próximas de zero.
Quando ẋ >> vs o termo exponencial tende a zero,
resultando nas equações (7) e (8)
2.4
Estimação dos coeficientes de atrito
Para obter os coeficientes de atrito do modelo
de Karnopp apresentado foi realizado um experimento em malha aberta em que o pêndulo é posto
na posição de equilı́brio estável e o motor é excitado com uma rampa de corrente em ambos os
sentidos (Figura 1) de modo que a força aplicada
ao carrinho crescesse lentamente. Teste similar foi
realizado em (Campbell et al., 2008), no entanto
neste artigo é utilizado um algoritmo de otimização não linear no MatlabTM (função fmincon do
toolbox de otimização), que minimiza a função
e = ||x(t) − x̂(t)| |
(9)
com as restrições



 Fs ≥ Fc
2
J
0,0079
kg.m
g
9,8100
m/s2
β
32,3960
N/A
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
2 − ẋ
Fatrito (ẋ) = Fc + (Fs − Fc ) e vs
sgn(ẋ) + εẋ
(3)
Fe = βi
2.3
sendo o atrito total obtido pela equação
Fc ≥ 0



onde
x(t)
(10)
ε≥0
é a posição do carrinho obtida expe-
333
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3.1
Controle via realimentação de estados
O modelo linearizado do pêndulo invertido é obtido considerando uma zona de operação próxima
ao ponto de equilı́brio instável, a saber, (θ, θ̇) =
(0, 0). Nessa zona valem as seguintes aproximações: sen(θ) ≈ θ, cos(θ) ≈ 1 e θ̇2 .θ ≈ 0. Com isso, a
partir das equações (1) e (2) e fazendo fat ≈ 0 e
u = Fe − Fat é obtida a representação do sistema no
espaço de estados
1
0

0

0
0
0
m2 L2 g
J+mL v2
0



1 


x
+



0 


0



u



Figura 1: Resposta à rampa de corrente
rimentalmente e x̂(t) é o valor da posição obtida
através de (1)-(3) e (6)-(8). O algoritmo conclui
a busca dos coeficientes de atrito quando a norma
do erro atinge valor menor que 10−8 .
2.4.1
Resultados
Foram realizados 40 testes em que o carrinho foi
submetido à rampa de corrente em cada uma das
direções. Para cada teste foram estimados os coeficientes de atrito para o modelo de Karnopp. Na
Tabela 2 é apresentada a média (M) e o desvio
padrão (σ) dos valores identificados.
Observa-se a proximidade entre Fs e Fc e estes são
cerca de 80% maior para corrente negativa.
3
Quantificação de atritos em malha
fechada
A necessidade de testes invasivos em malha
aberta, restringe o uso do método apresentado
na seção 2. Em sistemas mecânicos é usual que
a força de atrito se manifeste como uma degradação crescente com seu uso, o que tornaria necessário sua parada para ensaios e a consequente
medição. Nesta seção é apresentado um método
recentemente proposto para medição de atrito em
válvulas pneumáticas de controle, que usa apenas o sinal do controlador e a resposta do processo para estimar as forças de atrito (Choudhury
et al., 2006). Como o método é aplicado ao pêndulo em malha fechada, um controlador via realimentação de estados é inicialmente projetado para
estabilizá-lo
0

 0

ẋ = 
 0

0

1
y =
0
onde
Corrente negativa
Corrente positiva
M
σ
M
σ
Fs
9,6147
0,7162
5,3713
0,4998
Fc
8,5711
0,6087
4,8104
0,2437
ε
25,5731
1,6234
30,2838
1,3633
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
mLgv1
h
0
0
0
0
1
0
0

v2
mL
M +m v1
(11)

(12)
x
iT
, v1 = (M + m)/[(M + m)J +
e v2 = (J + mL2 )/[(M + m)J + M mL]
O controle por realimentação de estados foi projetado de forma a assegurar que a resposta em malha fechada tenha baixo tempo de resposta e elevado amortecimento, sendo a lei de controle dada
por
x=
x
θ
ẋ
θ̇
M mL]
u = −Kx
(13)
onde K = [−220, 23 514, 11 − 169, 67 106, 34]. Este
controlador resulta nos pólos de malha fechada:
[−3, 8 − 0, 8717i
− 3, 8 + 0, 8717i
− 10
− 10]. O controlador obtido será utilizado em todos os testes
apresentados neste artigo. A resposta do pêndulo
real a este controlador pode ser vista na Figura 2,
com o tempo de amostragem de 0,5 ms.
Observa-se que o pêndulo opera em torno de θ = 0,
mas não estabiliza devido às forças de atrito presentes no mesmo. Também fica claro que enquanto a força aplicada ao carrinho é menor que
o atrito estático, a haste cai livremente, como por
exemplo entre 34,0 s e 34,8 s. A queda da haste é
acompanhada do aumento do sinal de erro e conseqüentemente da força aplicada. No momento
em que a força aplicada vence o atrito estático
o carrinho salta abruptamente fazendo que o ângulo supere o ângulo nulo desejado e dessa forma,
o sinal do erro é alterado revertendo a força aplicada ao carrinho ocasionando uma nova parada.
A haste entra em queda livre novamente e o ciclo
recomeça.
3.2
Tabela 2: Coeficientes de Atrito
0
Estimação de atrito estático em malha fechada
A presença de atrito em processos sob certas
condições produz ciclos limite (Olsson and Åström, 2001) que tem sido explorados na literatura
para realizar uma estimativa dos atritos em válvulas de controle (Choudhury et al., 2006). Estes
métodos são agora aplicados ao pêndulo, tendo
em vista o comportamento oscilatório em malha
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fechada (Figura 2). De modo particular, o gráfico
i versus x obtido (Figura 3), é tı́pico de sistemas
sob influência de atrito estático e que apresentam
oscilações e evidencia o comportamento da posição do carrinho de acordo com a corrente aplicada.
Dessa forma, é possı́vel obter uma estimativa do
atrito através do algoritmo proposto, baseado em
(Choudhury et al., 2006), que pode ser executado
periodicamente, de forma automática, usando dados coletados que indicaram presença de oscilações
(Thornhill et al., 2003).
1. Aplicar ao conjunto de dados (i, x) a um filtro
passa baixa a fim de eliminar componentes de
alta frequência e gerar (if , xf )
2. Escolher um segmento de dados (if , xf ) com
base na regularidade de oscilações desses sinais. Tal regularidade é verificada a partir do critério apresentado em (Thornhill
et al., 2003).
3. Ajustar uma elipse ao gráfico
if
versus
xf .
4. Traçar um segmento de reta paralelo ao eixo
i passando pelo centro da elipse.
5. Calcular a distância entre os interceptos do
segmento de reta traçado com a reta i = 0 e
com a elipse.
No item 3 o ajuste da elipse ao gráfico if versus
xf é feito por mı́nimos quadrados não-linear, otimizando o quadrado da soma das distâncias ortogonais dos pontos do conjunto de dados (i, x) à
elipse ajustada, onde a estimativa inicial é obtida
por uma rotina de mı́nimos quadrados linear. Em
(Choudhury et al., 2006) o gráfico dos dados do
processo formam um padrão elı́ptico, no caso do
pêndulo invertido isso não ocorre, como visto na
Figura 3. Para evitar que a elipse seja mal ajustada é proposto em (Cuadros et al., 2010) ajustar
a elipse somente aos pontos mais significativos do
conjunto de dados (SIPO). Sendo os pontos significativos definidos como os pontos onde o sistema
está em um estado transitório. Para o pêndulo
invertido, esses pontos ocorrem quando o carrinho está em movimento. A Figura 3 exemplifica o
Figura 2: Teste com realimentação de estados
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
Figura 3: Elipse mal ajustada
caso, para a elipse ajustada para todos os pontos,
o atrito estimado seria superior ao estimado com
a elipse ajustada somente com os pontos significativos. O algoritmo como foi proposto quantifica
o atrito de Coulomb. Para quantificar o atrito
estático é necessário acrescentar ao algoritmo as
etapas:
6. Expandir a elipse ajustada, até que ela contenha todos os pontos do gráfico if versus xf .
7. Calcular a distância entre os interceptos do
segmento de reta traçado com a reta i = 0 e
com a elipse expandida.
Uma discussão mais profunda sobre o assunto é
feita em (Teixeira et al., 2011). O resultado obtido pode ser visto na Figura 4. Fica claro que o
ajuste da elipse faz com que os atritos sejam superestimados, por isso os valores aqui encontrados,
listados na Tabela 3, são superiores aos encontrados na seção 2.4. Esse efeito é ainda mais grave
para o caso do atrito estático.
4
Compensação de atritos
Uma vez quantificados os atritos, eles podem ser
eventualmente reduzidos através de manutenção.
Quando isto não for possı́vel por algum motivo,
Figura 4: Elipse ajustada ao gráfico i - x
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Tabela 3: Correntes obtidas em malha fechada
Corrente negativa
Corrente positiva
M
σ
M
σ
Fs
13,79
0,33
10,23
0,58
Fc
10,63
0,28
7,07
0,55
Figura 6: Teste com compensador CR
de controle. Este método é similar à compensação
de banda morta discutida em (Hägglund, 2007).
Dessa forma, um sistema utilizando um compensador CR possui a lei de controle
Figura 5: Teste com compensador de Karnopp
um compensador pode ser projetado para reduzir
seu efeito no desempenho da malha de controle.
Dois importantes métodos da literatura são analisados, testados e comparados na próxima seção.
u
=
uc + ui
(14)
ui
=
γ sgn(∆uc )
(15)
onde ∆uc = uc (t) − uc (t − 1) e γ é o atrito estático
estimado e no caso do pêndulo invertido será dado
por
γ
=

 I+
s
 I−
s
4.1
Compensação através do modelo de Karnopp
Tendo obtido os coeficientes de atrito na seção 2,
podemos então utilizar o modelo de Karnopp para
compensar o efeito do atrito no sistema do pêndulo
invertido em malha fechada.
Tal técnica consiste em utilizar o modelo de Karnopp para estimar a força de atrito no sistema
e somá-la ao sinal de controle a fim de cancelar o efeito do atrito. O resultado experimental
pode ser visto na Figura 5. Em uma breve análise, nota-se que em 10,2 s o ângulo da haste (θ)
cruza o zero e torna-se negativo, com isso o sinal de controle (u), começa a aumentar para fazer
com que a haste retorne a zero graus, causando
diminuição no módulo da velocidade do carrinho
(ẋ). Em 10,3 s a velocidade do carrinho está entre o intervalo |x̂| < DV , e portanto o compensador de Karnopp soma à saı́da do controlador a
corrente necessária para que o carrinho vença o
atrito estático (F̂at ), fazendo que o carrinho movase para o lado oposto, aumentando o ângulo da
haste. Enquanto o carrinho está em movimento,
o compensador soma à saı́da do controlador a corrente necessária para vencer o atrito de Coulomb
e o viscoso.
4.2
if
if
∆uc > 0
∆uc < 0
(16)
onde Is = Fs /β, sendo Fs− e Fs+ obtidos na seção
3.2 e listados na Tabela 3. Devido aos ruı́dos de
medição nos estados há a necessidade de filtrar o
sinal do controlador. Inúmeras tentativas de projetar um filtro que reduzisse o efeito do ruı́do mas
não introduzisse atrasos significativos foram feitas. Nos melhores resultados a compensação era
feita no momento em que o sinal de controle cruzava por zero, devido a este atraso. Baseando-se
nisso, propõe-se utilizar sgn(uc ) e não sgn(∆ucf ) em
(15), dispensando a etapa de projeto do filtro e
obtendo-se resultados equivalentes. É importante
destacar que tal medida, fará com que mesmo que
o sinal de controle permaneça constante, o compensador continuará atuando. No entanto, caso
isso ocorra a realimentação de estados reduz este
valor convenientemente.
O resultado desta estratégia pode ser vista na Figura 6. Podemos observar que em 10,3 s a saı́da
do controlador (uc ) torna-se negativa fazendo com
que o compensador CR (ui ) subtraia I − do sinal
do controlador para que o carrinho vença o atrito
estático. Em 10,37 s aproximadamente a saı́da
do controlador cruza novamente por zero, ficando
agora positivo, portanto o compensador soma I +
ao sinal do controlador.
Compensador CR
Ivan and Lakshminarayanan (2009) propuseram
um método, chamado reforço constante (CR),
para compensação de atrito estático em válvulas
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
4.3
Comparação dos métodos
Observa-se que os compensadores CR e usando
o modelo de Karnopp produziram resultados se-
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Tabela 4: Índices de desempenho dos compensadores
Posição
Ângulo
IAE
Variância
IAE
Variância
Sem
3,574
0,203
262,269
786,667
Karnopp
1,748
0,039
15,175
3,168
CR
1,201
0,018
8,226
0,877
melhantes, com amplitude de oscilação do ângulo
em torno de 0, 3o , enquanto que sem compensação foi obtido uma amplitude de oscilação do ângulo de 1o . Tal melhoria é relevante devido ao
crescente número de aplicações com o posicionamento de precisão em sistemas mecânicos. A Tabela 4 sumariza os resultados obtidos com os diferentes compensadores. Da análise das figuras 5
e 6, com o mesmo intervalo de tempo, observa-se
que os sinais de compensação têm amplitudes similares. Porém, como o compensador CR alterna
este sinal nos cruzamentos por zero do sinal do
controle (uc ) e o compensador usando o modelo
de Karnopp o fez no cruzamento pela zona morta
(|ẋ ≤ DV |) da velocidade, o primeiro reage mais
rapidamente limitando a amplitude de oscilação
do ângulo. Além disto, o compensador CR usa
apenas a estimativa de Fs em malha fechada, enquanto que o compensador utilizando o modelo de
Karnopp necessita de testes em malha aberta para
estimar os valores de Fs , Fc e ε, e sua implementação é mais complexa.
5
Conclusões
Métodos de estimação e compensação de atritos
foram aplicados em um pêndulo invertido. Através de testes realizados em malha aberta foram
obtidos os parâmetros do modelo de atrito de Karnopp. Estimativas de atrito estático também foram obtidas em malha fechada, usando apenas dados de operação, produzindo valores semelhantes
aos obtidos em malha aberta.
O compensador CR teve desempenho superior ao
do compensador utilizando o modelo de Karnopp.
Concluiu-se que embora o modelo de Karnopp seja
mais completo, a estratégia usando o compensador CR é mais eficiente, por agir mais rapidamente
a sinais de erro. Além disto, o compensador CR
requer apenas um parâmetro, o qual pode ser determinado em malha fechada.
Em sistemas mecânicos que apresentam ciclos limite devido ao atrito, sua quantificação e compensação podem ser feitas de forma automática.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq e a FAPES pelo
apoio aos programas de pós-graduação e iniciação
cientifica.
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
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