ROLAMENTO DE UMA BOLA DE BILHAR NUM PLANO
INCLINADO
Sênita Folquenim – [email protected]
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Avenida dos Pioneiros, 3131
Londrina - PR
Edson Gonçalves – [email protected]
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Avenida dos Pioneiros, 3131
Londrina - PR
Alcides Goya – [email protected]
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Avenida dos Pioneiros, 3131
Londrina - PR
Resumo: Este trabalho fez um estudo entre as velocidades de rolamentos de uma bola de bilhar
num plano inclinado com lançamento oblíquo. Para se determinar a velocidade final no plano
inclinado foram assumidas as equações do alcance horizontal. Através do gráfico da
velocidade em função da raiz quadrada da altura do plano inclinado, foi possível fazer a
comparação com a previsão teórica fornecida pela conservação da energia. Os resultados
obtidos foram muito próximos da previsão teórica considerando a conservação da energia. Foi
determinado o coeficiente de atrito estático entre a bola e o plano através do início do
deslizamento e confirmado com outro tipo de determinação. Os dados obtidos com a bola de
bilhar inclusive sugerem uma boa explicação para a discordância entre esses coeficientes
publicada na literatura. Uma vez que uma bola de bilhar é bem maior, mais colorida e menos
densa, portanto mais visível e mais fácil de manusear do que uma bola de aço em sala de aula,
espera-se que este conjunto possa ser mais utilizado no ensino médio e no ensino universitário.
Palavras-chave: Rolamento e deslizamento, coeficiente de atrito, lançamento oblíquo,
laboratório didático.
1
INTRODUÇÃO
As atividades experimentais na formação científica já foram muito consideradas, em todos
os níveis de ensino, por vários autores (BLOSSER, 1988; GIL & CASTRO, 1996; HODSON,
1988; LAVONEN et al., 2004; BAROLLI et al, 2010) e já é bem conhecida a necessidade do
professor situar adequadamente as práticas para que elas sejam úteis e realizem as funções a
que se destinam (PESSOA et al., 1985). No entanto, apesar de haver um consenso que as
atividades práticas constituem a essência da aprendizagem científica (LABURÚ et al., 2011),
há divergências e confluências em relação à inserção destas atividades experimentais
(ABRAHAMS, 2009) e elas ainda raramente são utilizadas pela maioria dos professores
brasileiros no ensino de ciências (GALIAZZI et al., 2001; BORGES, 2002).
No que se refere ao tema específico de rolamento de um corpo maciço, se por um lado as
pesquisas mostram que os alunos encontram dificuldades conceituais relativas ao papel da força
de atrito (NELSON, 2012; CALDAS & MAGALHÃES, 2000), por outro lado foi possível
estimar o ângulo limite a partir do qual começa o deslizamento através de um simples
experimento com uma esfera de aço rolando num plano inclinado (SILVA et al., 2003). No
entanto, foi observada uma discordância entre os valores do coeficiente de atrito entre a esfera
de aço e a superfície do plano, quando comparado com outros modos de mensuração (SILVA
et al., op.cit., pag 383), fato que não foi confirmado por outros autores (GOYA et al, 2014).
Uma vez que uma bola de bilhar é bem maior, mais colorida e menos densa, portanto mais
visível e mais fácil de manusear do que uma bola de aço em sala de aula, este trabalho, seguindo
a montagem experimental sugerida pelos últimos autores, faz um estudo simples entre as
velocidades de rolamentos de uma bola de bilhar com lançamento oblíquo com o objetivo de
estudar a compatibilidade entre essas velocidades e verificar a utilidade para fins didáticos.
Simultaneamente, aproveita-se para verificar uma possível discordância entre os valores do
coeficiente de atrito entre a bola de bilhar e a superfície do plano, quando comparado com outro
modo de mensuração.
2
MATERIAL, MÉTODO E PROCEDIMENTOS
O conjunto principal é composto por uma canaleta de plástico, perfil 5,0 cm x 2,0 cm x
210,0 cm que se encontra facilmente no mercado, e uma bola de bilhar (massa m=0,09455 kg
e raio R=0,0250 m). Além da canaleta e da bola de bilhar, a montagem experimental necessita
apenas de uma mesa plana, suportes comuns de laboratórios, papel carbono, fio de prumo e
uma trena. A montagem do experimento foi feita na forma usual para se medir o alcance do
lançamento oblíquo, conforme a figura1. Por questões práticas de manuseio, a canaleta foi
cortada em 60,0 cm ficando reduzido ao comprimento de L=1,50 m. Como base foi utilizada
uma mesa plana do laboratório com altura H= 1,108 m. Uma das extremidades ficou grudada
com velcro na quina da mesa e outra extremidade apoiada em suportes comuns, com os quais
se pode variar a altura h, tal como pode ser visto na figura 1 e 2.
Figura 1: Esquema da montagem do trilho
H: altura do lançamento oblíquo; h: altura em que a esfera é solta; L: espaço percorrido pela esfera
durante o rolamento na canaleta; x: alcance horizontal do lançamento oblíquo
Figura 2: Esquema da montagem do experimento de lançamento oblíquo
2.1 Dois modos distintos para a determinação da velocidade no final da canaleta
O primeiro modo de se calcular a velocidade da bola de bilhar no instante em que ela deixa
a canaleta, foi feito pelo alcance horizontal x. Admite-se que, durante a queda da bola, no eixo
horizontal x o movimento seja uniforme e no eixo vertical y o movimento seja uniformemente
variado. Isolando a variável t da equação do movimento uniforme e substituindo-a na equação
do movimento vertical, somando os termos e isolando a variável V, obtemos a equação que
determina a velocidade do alcance horizontal (SILVA et al., op.cit., pag 380):
ValcanceX 
x
cos 
g
2( H  x tan  )
.
(1)
O segundo modo de se calcular a velocidade da bola de bilhar, no instante em que ela deixa
a canaleta, desde que não haja deslizamento durante o rolamento, foi feito admitindo a
conservação da energia mecânica. Um corpo abandonado de uma altura h, que desce rolando
num plano inclinado é descrito pela equação (2) (TIPLER e MOSCA, 2009, p. 305)
1
1
2
mVCM   I CM w2  mgh
2
2
(2)
onde VCM é a velocidade do centro de massa e ICM é o momento de inércia do corpo, em relação
ao centro de massa, que rola sem deslizar. Considerando o momento de inércia de uma esfera
e relacionando a velocidade linear (v) com a angular (w), uma vez que não haja deslizamento,
obtemos a equação que expressa a velocidade final da esfera pela conservação da energia
mecânica:
Venergia 
10
gh
7
.
(3)
2.2 O coeficiente de atrito pelo início de deslizamento
A bola de bilhar, ao descer a canaleta conforme a figura 1, aumenta a sua velocidade
angular para manter a condição de não-deslizamento, i.e., a força de atrito gera um torque em
relação ao eixo que passa pelo centro de massa. A 2ª lei de Newton, linear e rotacional, pode
ser escrita como
mgsen  Fat  maCM
e
Fat  R  I CM 
aCM
R
(4)
onde aCM é a aceleração do centro de massa, R e ICM são o raio e o momento da bola de
bilhar. Eliminando aCM e considerando o momento de inércia da bola, chega-se à expressão que
determina a força de atrito estático (Fat) sobre a bola, que rola sem deslizamento num plano
inclinado (Tipler e Moska, op.cit., pag 304):
2
Fat  mgsen .
7
(5)
A condição de não deslizamento corresponde à situação em que a força de atrito é menor
do que o produto do coeficiente de atrito estático pela força normal. No caso limite, início de
deslizamento, iguala-se as duas equações que envolvem a força de atrito e se determina o
coeficiente de atrito estático em função da inclinação da canaleta (SILVA et al., op.cit., pag
382):
e 
3
2
tg .
7
(6)
RESULTADOS
Uma vez que, no caso ideal da conservação da energia, a velocidade de rolamento de uma
bola depende linearmente da raiz quadrada da altura, como é mostrada explicitamente pela
equação (3), a tabela 1 apresenta os valores das velocidades, para os dois modos de se
determinar a velocidade final da esfera no trilho, em função da raiz quadrada da altura. Cada
linha da tabela 1 explicita que, para cada ângulo de inclinação da canaleta, foram medidos a
altura h e o alcance horizontal x no solo, conforme a figura 1. As três primeiras colunas mostram
os dados obtidos diretamente do experimento e as três últimas colunas mostram os resultados
obtidos dos cálculos das velocidades no final da canaleta, conforme as equações (1) e (3),
respectivamente, bem como as diferenças entre essas velocidades mostradas em porcentagens.
Na tabela 1 apresentamos apenas as medidas que foram consideradas mais importantes para o
trabalho, nas primeiras cinco linhas são apresentadas as medidas realizadas de cinco em cinco
graus e a partir do 6º ponto são apresentadas medidas realizadas de dois em dois graus.
A última coluna da tabela 1 indica que as velocidades correspondentes aos cinco primeiros
pontos (até 25º), do ponto de vista de laboratório didático, estão com uma diferença desprezível,
tal como é também ilustrado pelo gráfico da figura 1, no qual não se pode sequer distinguir
esses pontos. Pela figura 1 também se poderia estimar o ângulo aproximado do início do
deslizamento, entretanto, para efeito de comparação com os trabalhos citados (GOYA et al,
2014; SILVA et al, 2003), foi conveniente calcular uma reta referência, no trecho em que os
dados não mostraram nenhum sinal de deslizamento. Traçando uma reta pelo método dos
mínimos quadrados, a equação da reta correspondente aos cinco primeiros pontos é expressa
pela equação (7):
1
Valcance  3,76 (0,01)h 2 (m / s ) .
(7)
Tabela 1: Ângulo, raiz quadrada da altura, alcance horizontal, velocidades da bola de bilhar e
diferença porcentual entre os dois modos de se calcular as velocidades.
teta (0) h1/2 (m1/2)
5
10
15
20
25
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
0,362
0,510
0,623
0,716
0,796
0,839
0,866
0,892
0,916
0,939
0,961
0,982
1,002
1,021
1,039
X(m)
0,632
0,838
0,941
0,983
0,993
0,994
0,982
0,96
0,933
0,916
0,894
0,863
0,852
0,841
0,845
V alcance
(m/s)
1,368
1,921
2,329
2,672
3,018
3,271
3,410
3,513
3,598
3,765
3,922
4,022
4,344
4,755
5,575
V energia (m/s)
1,352
1,908
2,330
2,678
2,977
3,138
3,238
3,334
3,424
3,511
3,593
3,671
3,746
3,817
3,884
Diferença
(%)
1,2
0,7
0,0
-0,2
1,4
4,3
5,3
5,4
5,1
7,2
9,1
9,6
16,0
24,6
43,5
Velocidade (m/s)
6
5
4
3
2
1
Velocidade pelo alcance horizontal
Velocidade pela conservação da energia
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1/2
Raiz quadrada da altura h (m )
Figura 3: Velocidades da bola de bilhar em função da raiz quadrada da altura
Na figura 3 é apresentada a reta traçada pela equação (7) com todos os dados, conforme
mostrado na quarta coluna da tabela 1, em função da raiz quadrada da altura, isto é, a velocidade
obtida pelo alcance horizontal, de acordo com a equação (1).
Velocidade (m/s)
6
5
4
3
2
1
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1/2
Raiz quadrada da altura h (m )
Figura 4: Velocidade em função da raiz quadrada da altura ilustrando o início do deslizamento
A figura 3 mostra ainda que a partir do sexto ponto os dados mostram um leve
distanciamento, mas que fica muito mais evidente a partir do décimo ponto. Conferindo com a
última coluna da tabela 1, nota-se que é a partir do décimo ponto que as diferenças se tornam
maiores do que 5%, incertezas consideradas comuns, ordinariamente aceitáveis em laboratórios
didáticos. Uma estimativa simples seria considerar que não haja deslizamento no 6º ponto (28º)
e que haja deslizamento no 13º ponto (42º), ou seja, a base a da PDF triangular seria de 14,0
graus, onde a melhor aproximação do mensurando seria 35,0o. Portanto, a incerteza padrão u
do ângulo em que se inicia o deslizamento é calculado de uma forma imediata (JUNIOR e
SILVEIRA, 2011, pag 2303-3) e o resultado final do ângulo pode ser apresentado como
  35  30
(8)
Através da equação (6) e considerando a propagação das incertezas (VUOLO, 1992),
podemos estimar o coeficiente de atrito estático máximo pelos dados obtidos via alcance
horizontal
 alcance  0,20  0,02
(9)
Por outro lado, o coeficiente de atrito estático máximo foi também calculado pelo método
mais simples e direto: aumento gradual do ângulo da inclinação do plano até que o corpo de
prova inicie o deslizamento. Para tanto, foram unidas duas bolas de bilhar semelhantes para
evitar o rolamento. Uma vez que foram feitas várias medidas (N=20), foi possível utilizar a
PDF gaussiana e apresentar a incerteza padrão através do desvio padrão da média (VUOLO,
1999)
 estático
máximo
 0,21  0,04
(10)
4
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A figura 1 mostra que o conjunto experimental apresentado neste trabalho, o trilho de
canaleta de plástico com a bolinha de bilhar, é um instrumento adequado para o laboratório
didático e, surpreendentemente, entre a inclinação de 5º a 25º, apresentou resultados mais
próximos da conservação da energia do que os resultados obtidos pela esfera de aço (GOYA et
al, 2014; SILVA et al, 2003).
Outra observação interessante, conforme os dados da tabela 1 e ilustração da figura 1, é o
suave aumento numérico da velocidade medido a partir do sexto ponto, correspondente à
inclinação de 28º no trilho. Como provável explicação, pode ser considerado como
consequência da própria limitação do lançamento oblíquo, uma vez que, justamente em torno
dessa inclinação do trilho, os dados do alcance horizontal x, conforme pode ser visto na 3ª
coluna da tabela 1, apresenta uma inflexão, i.e., a velocidade aumenta com o aumento do
alcance antes e, depois dessa inflexão, a velocidade diminui com o aumento do alcance
horizontal x. Esse comportamento foi observado também em outros trabalhos semelhantes e
inclusive poderia explicar a discordância que os autores mencionam com relação à diferença
entre os valores do coeficiente de atrito entre a esfera de aço e a superfície do plano, quando
comparado com outro modo de mensuração (SILVA et al., op.cit., pag 383). Analisando os
dois últimos resultados da tabela 1, verificamos que a velocidade ultrapassou inclusive os
valores previstos para deslizamento puro, i.e., tornando nulo o termo rotacional da equação (2).
Isto pode estar indicando alguns fatores que não estão sendo considerados e que abre
possibilidades para novos estudos.
Portanto, além do fato de que uma bola de bilhar é bem maior, mais colorida e menos
densa, i.e., mais visível e mais fácil de manusear do que uma bola de aço em sala de aula, a
proximidade dos resultados com a conservação da energia e a coincidência com outras formas
de se obter o coeficiente de atrito estático entre a bola de bilhar e a canaleta de plástico,
mostradas pelas equações (9) e (10), confirmam que este conjunto experimental, formado
principalmente com uma canaleta de plástico e uma bola colorida de bilhar, é muito apropriado
para utilização em laboratórios didáticos.
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VUOLO, J.H.. Fundamentos da Teoria de Erros, São Paulo: Edgar Blücher, 1992.
ROLLING OF A BALL BILLIARDS IN INCLINED PLANE
Abstract: This paper did a study between the speeds of bearings of a billiard ball on an inclined
plane with oblique launch. To determine the final velocity in the inclined plane equations have
been entered into the horizontal range. Through the speed function of the square root of the
height of the inclined plane, graph was possible to make a comparison with the theoretical
prediction given by energy conservation. The results were very close to the theoretical
prediction considering the conservation of energy. The coefficient of static friction between the
ball and the plan was determined by the onset of slip and confirmed with another kind of
determination. The data obtained with the billiard ball even suggest a good explanation for the
discrepancy between these coefficients published in the literature. Once a billiard ball is bigger,
more colorful and less dense, therefore more visible and easier to handle than a steel ball in
the classroom, it is expected that this set can be used in high school and in university education.
Key-words: Rolling and sliding friction coefficient, oblique launch, didactic laboratory.