Inclui Teoria e Questões Inteiramente Resolvidas dos assuntos:
Contagem: princípio aditivo e multiplicativo.
Arranjo.
Permutação.
Combinação simples e com repetição.
Lógica sentencial, de primeira ordem e de argumentação.
Diagramas e estruturas lógicas
Esta amostra é parte integrante do volume completo que consta de 80 questões
apenas de Raciocínio Lógico e visa preparar para os principais concursos
realizados no País.
Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas.
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Prof. Marcelo Silva
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O PRINCÍPIO ADITIVO
Enunciamos abaixo o que chamamos de Princípio Aditivo:
Se A e B são dois conjuntos disjuntos (conjuntos sem elementos em comum), com m e n
elementos, respectivamente, então A e B possui m + n elementos.
Para ilustrar o Princípio Aditivo, apresentamos alguns problemas abaixo.
PROBLEMA 1
Numa caixa existem 20 bolas brancas e 15 bolas verdes. De quantas maneiras podemos
selecionar 1 bola?
SOLUÇÃO
Existem 20 + 15 = 35 bolas. Logo, podemos selecionar 1 bola de 35 maneiras.
PROBLEMA 2
Numa lanchonete há 6 sabores de doces e 4 sabores de salgados. Suponha que Sofia só
pretenda comer um doce ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que
Sofia pode fazer?
SOLUÇÃO
Ou Sofia escolhe um tipo de doce dentre os 6 ou 1 tipo de salgado dentre os 6. Portanto,
Sofia pode fazer 10 pedidos diferentes.
PROBLEMA 3
Dos 20 alunos de uma classe, 7 foram reprovados em Biologia, 8 em Química e 3 em
Biologia e Química. O número de maneiras diferentes de escolher um aluno reprovado
em Biologia ou em Química será igual a?
SOLUÇÃO
Nesta situação, os eventos são:
E1 = {x ; x é reprovado em Biologia} e
E2 = {x ; x é reprovado em Química}.
Atenção!!! Nesse caso, os eventos NÃO são mutuamente exclusivos (existe interseção
entre eles), pois há alunos reprovados nas duas matérias.
Aí, não simplesmente somamos as quantidades de elementos, somamos e subtraímos o
número de elementos da interseção, conforme a fórmula:
n E1
n E2
n E1
E2
Solucionando o problema, temos:
[email protected]
n E1
7
n E2
8
n E1
E2
n E1
n E2
3
n E1
E2
7
8
3
12
O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Para ilustrar o Princípio Multiplicativo comecemos com o problema seguinte:
PROBLEMA 4
Uma pessoa pode viajar no trecho Natal/Recife/Natal de ônibus, automóvel, avião,
navio ou trem. Se o meio de transporte da ida não é o mesmo da volta, de quantas
maneiras essa pessoa pode realizar a viagem?
SOLUÇÃO
Se a pessoa for de ônibus, ela pode voltar de avião, navio ou trem, o que lhe fornece 3
maneiras distintas de fazer o percurso de ida e volta. Notando ônibus por O, avião por
A, navio por N e trem por T, podemos indicar as 3 maneiras distintas de fazer o
percurso por:
(O, A), (O, N), (O, T)
De maneira análoga, se a pessoa for de avião, há novamente 3 modos distintos de fazer
o percurso de ida e volta:
(A, O), (A, N), (A, T)
Se a pessoa for de navio, há, também, 3 modos distintos de fazer o percurso de ida e
volta:
(N, O), (N, A), (N, T)
Analogamente, se fizer o percurso de ida usando o trem:
(T, O), (T, A), (T, N)
Essas maneiras podem ser dispostas no seguinte quadro
Observe que as possibilidades (O, O), (A, A), (N, N) e (T, T) não são possíveis, já que o
[email protected]
meio de transporte de ida não pode ser o mesmo meio de transporte de volta.
O quadro acima mostra-nos, basta contar todas as possibilidades, que existem 4 x 3 = 12
maneiras distintas de viajar no trecho Natal/Recife/Natal, usando meios de transportes
distintos para a ida e a volta.
Podemos interpretar o problema da seguinte maneira: para a escolha do transporte de
ida temos 4 opções distintas. Uma vez escolhido o transporte de ida, a escolha do
transporte de volta pode ser feita de 3 maneiras distintas. Logo, o total de possibilidades
é 4 x 3 = 12.
O problema acima motiva um princípio básico da Análise Combinatória: o Princípio
Multiplicativo, que enunciamos a seguir.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Se uma decisão d1 pode ser tomada de m maneiras e se, uma vez
tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de n maneiras
então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2
sucessivamente é m.n
PROBLEMA 5
Existem quantos números naturais com quatro algarismos ímpares distintos?
SOLUÇÃO
Os algarismos ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9. Um número com 4 algarismos é da forma:
abcd.
A escolha de um algarismo para ocupar a posição a pode ser feita de 5 maneiras. Uma
vez escolhido o algarismo para a posição a, restam 4 possibilidades para a escolha do
algarismo da posição b. Para a posição c, restam 3 possibilidades. Para a posição d
restam 2.
Pelo Princípio Multiplicativo, a quantidade de números de 4 algarismos ímpares
distintos é:
5 x 4 x 3 x 2 = 120.
PROBLEMA 6 (Prominp – Cesgranrio Nov/2006)
Seu Ernesto e filhos vendem planos de saúde por telefone. Esta semana, eles decidiram
ligar somente para os telefones de sua cidade que começam por “259”, e que não
possuem algarismos repetidos. Se, na cidade de Seu Ernesto, os números telefônicos
têm 8 dígitos, qual o número máximo de ligações que eles farão esta semana?
SOLUÇÃO
Os números de telefones têm o seguinte formato:
[email protected]
259_ - _ _ _ _
Dos dez algarismos disponíveis, Seu Ernesto não pode contar mais com três, pois não é
permitido repetição:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Assim para a quarta posição, temos 7 possibilidades de escolhas entre os algarismos
restantes:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
259_ - _ _ _ _
7 alternativas (0, 1, 3, 4, 6, 7 ou 8)
E assim, sucessivamente...
6 alternativas
259_ - _ _ _ _
7 alternativas (0, 1, 3, 4, 6, 7 ou 8)
Assim, pelo princípio multiplicativo, teremos 7x6x5x4x3
O número máximo de ligações será de 2520.
2520 possibilidades.
Dica:
Assim, fica claro que o grande detalhe em questões que envolvam um dos dois
princípios acima (aditivo ou multiplicativo), é a correta escolha de qual deles usar.
Portanto, tenha bastante calma na interpretação de cada questão.
[email protected]
PROBLEMA 7
Um alfabeto consiste de três letras: A, B, C. Nesta língua, uma palavra é uma seqüência
arbitrária de não mais do que três letras. Quantas palavras existem nesta língua?
SOLUÇÃO
Basta contar quantas palavras existem com uma, duas ou três letras e somar esses
valores.
Com uma letra existem 3 palavras: A, B e C. Com duas letras existem 3 x 3 = 9 palavras
e com três letras existem 3 x 3 x 3 = 27 letras.
Portanto, nesta língua existem 3 + 9 + 27 = 39 palavras.
PROBLEMA 08
Dispondo-se de 10 bolas, 7 apitos e 12 camisas, de quantas maneiras distintas estes
objetos podem ser distribuídos entre duas pessoas, de modo que cada uma receba, ao
menos, 3 bolas, 2 apitos e 4 camisas?
SOLUÇÃO
Na distribuição das bolas, a primeira pessoa pode receber: 3 (esta é a quantidade
mínima), 4, 5, 6 ou 7 (essa é a quantidade máxima possível para a primeira), pois a
segunda pessoa tem de receber no mínimo 3 bolas. Isto é, existem 5 possibilidades de se
fazer a distribuição das bolas.
Na distribuição dos apitos, fazendo um raciocínio análogo (parecido), a primeira pessoa
pode receber: 2, 3, 4 ou 5 deles (devem sobrar, no mínimo 2 apitos para a segunda
pessoa, por isso que a primeira pessoa só poderá receber até 5 apitos). Isto é, existem 4
possibilidades.
Para as camisas, a distribuição se dá com 5 possibilidades: a primeira pessoa pode
receber 4, 5, 6, 7 ou 8 delas.
Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número pedido é igual a: 5 x 4 x 5 = 100.
Muito mais exercícios são encontrados na Apostila Completa.
Agora, um pouco de Diagramas Lógicos:
O ou exclusivo (disjunção exclusiva) é verdadeiro apenas se a quantidade de operadores
verdadeiros for ímpar, ou melhor, se APENAS uma proposição for verdadeira. Eis a tebelaverdade que ilustra essa propriedade:
Ou exclusivo
.
p
q
pv q
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
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PROBLEMA 39 (Fiscal do Trabalho 98 ESAF)
Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.
Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que:
1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,
2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul,
3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,
4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente:
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto
SOLUÇÃO
O enunciado informa que:
- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.
- Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.
Também temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
P2: ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
P3: ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
P4: ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Dica importante:
Para resolvermos uma questão desse tipo, devemos:
1º) considerar que todas as premissas são verdadeiras;
2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e
3º) finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas
premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma
contradição entre os resultados obtidos.
Vamos escolher a proposição Fiesta é branco que aparece na 1ª premissa, e
atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo,
para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que
a premissa Fiesta é branco é V.
 Teste da hipótese: Fiesta é branco é V.
1º. F
1º. V
P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
4º. F
3º. V
P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
[email protected]
1º. F
2º. V
P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
3º. F
1º. F
P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
1º passo) Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), e como cada carro possui
cores diferentes, teremos: Gol é branco é F (em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e
Fiesta é preto é F (em P4).
2º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Corsa é azul é V.
3ºpasso) Atribuir: Corsa é preto é F (em P4) e Corsa é azul é V (em P2).
4º passo) P2 é uma disjunção exclusiva, daí Gol é preto tem que ser F.
Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Claro que sim, pois
obtemos que o Gol não é preto, nem branco e nem azul!
Daí, a hipótese Fiesta é branco é Falsa!
Vamos estabelecer outra hipótese (com relação ao Fiesta): Fiesta é preto é
Verdade! (que aparece na 4ª premissa).
 Teste da hipótese: Fiesta é preto é V.
2º. V
1º. F
P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
1º. F
3º. V
P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
1º. F
3º. V
P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
Não esqueça que apenas uma
proposição pode ser Verdadeira para
a premissa analisada seja verdadeira,
ok?
1º. F
1º. V
P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
1º passo) A hipótese é Fiesta é preto é V (em P4), e como cada carro deve ter
cor diferente, teremos: Corsa é preto é F (em P4), Fiesta é branco é F (em P1),
Gol é preto é F (em P2) e Fiesta é azul é F (em P3).
2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí Gol é branco é V.
3º passo) P2 e P3 devem ser verdadeiras, daí Corsa é azul é V.
Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Agora não houve!
Resultados obtidos:
Fiesta é preto!
Gol é branco!
Corsa é azul!
Portanto, a resposta é a alternativa E.
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Forte abraço e Sucesso.
Prof. Marcelo Silva
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