Velocidade Vetorial
1. (Mackenzie 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160
km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da
velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de
a) 320 km/h
b) 480 km/h
c) 540 km/h
d) 640 km/h
e) 800 km/h
2. (Espcex (Aman) 2011) Um bote de assalto deve atravessar um rio de largura igual a 800m,
numa trajetória perpendicular à sua margem, num intervalo de tempo de 1 minuto e 40
segundos, com velocidade constante.
Considerando o bote como uma partícula, desprezando a resistência do ar e sendo constante e
igual a 6 m/s a velocidade da correnteza do rio em relação à sua margem, o módulo da
velocidade do bote em relação à água do rio deverá ser de:
a) 4 m/s
b) 6 m/s
c) 8 m/s
d) 10 m/s
e) 14 m/s
3. (Uece 2010) Um barco pode viajar a uma velocidade de 11 km/h em um lago em que a água
está parada. Em um rio, o barco pode manter a mesma velocidade com relação а água. Se
esse barco viaja no Rio São Francisco, cuja velocidade da água, em relação а margem,
assume-se 0,83 m/s, qual й sua velocidade aproximada em relação a uma árvore plantada na
beira do rio quando seu movimento é no sentido da correnteza e contra a correnteza,
respectivamente?
a) 14 km/h e 8 km/h.
b) 10,2 m/s e 11,8 m/s.
c) 8 km/h e 14 km/h.
d) 11,8 m/s e 10,2 m/s.
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4. (Ita 2009) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mesmo trecho do rio
Amazonas, mantendo constante o módulo de sua velocidade em relação à água. Quanto
tempo o barco leva para descer esse trecho com os motores desligados?
a) 14 horas e 30 minutos
b) 13 horas e 20 minutos
c) 7 horas e 20 minutos
d) 10 horas
e) Não é possível resolver porque não foi dada a distância percorrida pelo barco.
5. (Pucrj 2008) Um veleiro deixa o porto navegando 70 km em direção leste. Em seguida, para
atingir seu destino, navega mais 100 km na direção nordeste. Desprezando a curvatura da
terra admitindo que todos os deslocamentos são coplanares, determine o deslocamento total
do veleiro em relação ao porto de origem.
(Considere
2 = 1,40 e
5 = 2,20)
a) 106 km
b) 34 km
c) 154 km
d) 284 km
e) 217 km
6. (Ufms 2007) Um biólogo deseja atravessar um largo rio, cujas margens são paralelas ao
longo do rio. Para isso, usará um barco a motor que, em águas paradas, navega com
velocidade maior que a velocidade das águas do rio que deseja atravessar. O biólogo deve
partir com o barco do ponto P em uma das margens. Um outro ponto A está na outra margem,
transversalmente oposto ao ponto P (veja a figura). Considere a velocidade das águas do rio,
com relação às margens, uniforme e constante. Com relação ao tempo, à direção do barco e à
distância percorrida para atravessar o rio com o barco, é correto afirmar:
01) Para o barco atravessar o rio no menor tempo possível, o biólogo deve pilotar o barco, de
maneira que chegue ao ponto A transversalmente oposto ao ponto P de onde partiu.
02) Se, para atravessar o rio, a direção longitudinal do barco for orientada para a direita do
ponto A, o valor da velocidade do barco com relação às margens, será sempre maior que a
velocidade das águas do rio.
04) Para o barco atravessar o rio e chegar a um ponto transversalmente oposto, o biólogo deve
partir de P alinhando o eixo longitudinal do barco, perpendicular à direção das margens.
08) Para o barco atravessar o rio, no menor tempo possível, a distância entre o ponto de
partida e o ponto de chegada será maior que a largura do rio.
16) Se a velocidade do barco, em águas paradas, fosse igual à velocidade das águas do rio
com relação às margens, não seria possível o biólogo atravessar o rio e chegar ao ponto A
transversalmente oposto ao ponto de onde partiu.
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7. (Ufmg 2007) Dois barcos - I e II - movem-se, em um lago, com velocidade constante, de
mesmo módulo, como representado na figura:
Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas
tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos.
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II,
medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor
a) P.
b) Q.
c) R.
d) S.
8. (Ufscar 2007) O submarino navegava com velocidade constante, nivelado a 150 m de
profundidade, quando seu capitão decide levar lentamente a embarcação à tona, sem contudo
abandonar o movimento à frente. Comunica a intenção ao timoneiro, que procede ao
esvaziamento dos tanques de lastro, controlando-os de tal modo que a velocidade de subida
da nave fosse constante.
Se a velocidade horizontal antes da manobra era de 18,0 km/h e foi mantida, supondo que a
subida tenha se dado com velocidade constante de 0,9 km/h, o deslocamento horizontal que a
nave realizou, do momento em que o timoneiro iniciou a operação até o instante em que a nau
chegou à superfície foi, em m, de
a) 4 800.
b) 3 000.
c) 2 500.
d) 1 600.
e) 1 200.
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9. (G1 - cftce 2007) Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60 ° e possuem
módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos deslocamentos A + B, A - B e B - A e
desenhe-os na figura.
10. (Pucrj 2007) Um avião em voo horizontal voa a favor do vento com velocidade de 180 km/h
em relação ao solo. Na volta, ao voar contra o vento, o avião voa com velocidade de 150 km/h
em relação ao solo. Sabendo-se que o vento e o módulo da velocidade do avião (em relação
ao ar) permanecem constantes, o módulo da velocidade do avião e do vento durante o voo,
respectivamente, são:
a) 165 km/h e 15 km/h
b) 160 km/h e 20 km/h
c) 155 km/h e 25 km/h
d) 150 km/h e 30 km/h
e) 145 km/h e 35 km/h
11. (Ufal 2007) A localização de um lago, em relação a uma caverna pré-histórica, exigia que
se caminhasse 200 m numa certa direção e, a seguir, 480 m numa direção perpendicular à
primeira. A distância em linha reta, da caverna ao lago era, em metros,
a) 680
b) 600
c) 540
d) 520
e) 500
12. (Ufpe 2007) Um barco de comprimento L = 80 m, navegando no sentido da correnteza de
um rio, passa sob uma ponte de largura D = 25 m, como indicado na figura.
Sabendo-se que a velocidade do barco em relação ao rio é vB = 14 km/h, e a velocidade do rio
em relação às margens é vR = 4 km/h, determine em quanto tempo o barco passa
completamente por baixo da ponte, em segundos.
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Um barco tenta atravessar um rio navegando perpendicularmente em relação às suas margens
na direção AB, saindo da posição A como mostra a figura. Como temos correnteza no rio, ele
atinge a outra margem na posição C distante de A 50 metros, após navegar durante 25
segundos. Sabe-se que a largura do rio é de 30 metros. Com base nos dados, responda:
13. (G1 - ccampos 2007)
Qual a distância de B a C?
a) 30 m
b) 40 m
c) 50 m
d) 80 m
e) 100 m
14. (Uerj 2006) Um barco percorre seu trajeto de descida de um rio, a favor da correnteza,
com a velocidade de 2m/s em relação à água. Na subida, contra a correnteza, retornando ao
ponto de partida, sua velocidade é de 8 m/s, também em relação à água.
Considere que:
- o barco navegue sempre em linha reta e na direção da correnteza;
- a velocidade da correnteza seja sempre constante;
- a soma dos tempos de descida e de subida do barco seja igual a 10 min.
Assim, a maior distância, em metros, que o barco pode percorrer, neste intervalo de tempo, é
igual a:
a) 1.250
b) 1.500
c) 1.750
d) 2.000
15. (Ufjf 2006) Um homem parado numa escada rolante leva 10 s para descê-la em sua
totalidade. O mesmo homem leva 15 s para subir toda a escada rolante de volta, caminhando
contra o movimento dela. Quanto tempo o homem levará para descer a mesma escada rolante,
caminhando com a mesma velocidade com que subiu?
a) 5,00 s
b) 3,75 s
c) 10,00 s
d) 15,00 s
e) 7,50 s
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16. (Pucmg 2006) Você e um amigo resolvem ir ao último andar de um edifício. Vocês partem
juntos do primeiro andar. Entretanto, você vai pelas escadas e seu amigo, pelo elevador.
Depois de se encontrarem na porta do elevador, descem juntos pelo elevador até o primeiro
andar. É CORRETO afirmar que:
a) o seu deslocamento foi maior que o de seu amigo.
b) o deslocamento foi igual para você e seu amigo.
c) o deslocamento de seu amigo foi maior que o seu.
d) a distância que seu amigo percorreu foi maior que a sua.
17. (G1 - cftce 2004) Partindo de um ponto A das margens de um rio, um barco, que pode
desenvolver velocidade constante V b de 4,5 m/s, em relação às águas do rio, atinge a outra
margem no ponto C, imediatamente oposto, arrastado pela correnteza, quando segue em
direção a B. Considere as margens do rio paralelas e despreze qualquer ação do vento.
Sabendo que as distâncias AC e BC valem, respectivamente, 400 m e 300 m, determine o
módulo:
a) da velocidade de arraste do rio ( V arr).
b) da velocidade do barco em relação às margens ( V res).
18. (Mackenzie 2001) Uma lancha, subindo um rio, percorre, em relação às margens, 2,34km
em 1 hora e 18 minutos. Ao descer o rio, percorre a mesma distância em 26 minutos. Observase que, tanto na subida como na descida, o módulo da velocidade da lancha em relação à
água é o mesmo. O módulo da velocidade da correnteza, em relação às margens é:
a) 5,4 km/h
b) 4,5 km/h
c) 3,6 km/h
d) 2,7 km/h
e) 1,8 km/h
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19. (Ufsm 2001)
V r = velocidade da água do rio em relação às margens
V b = velocidade gerada pelo motor do barco em relação às margens do rio
Um rio de largura ℓ é atravessado por um barco de maneira perpendicular à margem, com
velocidade constante V b.
a) maior quando a velocidade V r aumenta.
b) menor quando a velocidade V r aumenta.
c) independente da velocidade V r.
d) maior quando a velocidade V r diminui.
e) menor quando a velocidade V r diminui.
20. (Ufal 1999) Num estacionamento, um coelho se desloca, em sequência, 12m para o Oeste,
8m para o Norte e 6m para o Leste. O deslocamento resultante tem módulo
a) 26m
b) 14m
c) 12m
d) 10m
e) 2m
21. (Mackenzie 1999) Num mesmo plano vertical, perpendicular à rua, temos os segmentos de
reta AB e CD, paralelos entre si. Um ônibus se desloca com velocidade constante de módulo
v1, em relação à rua, ao longo de AB , no sentido de A para B, enquanto um passageiro se
desloca no interior do ônibus, com velocidade constante de módulo v 2, em relação ao veículo,
ao longo de CD , no sentido de C para D. Sendo v1 > v2, o módulo da velocidade do
passageiro em relação ao ponto B da rua é:
a) v1 + v2
b) v1 - v2
c) v2 - v1
d) v1
e) v2
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22. (Ufmg 1997) Um barco tenta atravessar um rio com 1,0 km de largura. A correnteza do rio
é paralela às margens e tem velocidade de 4,0 km/h. A velocidade do barco, em relação à
água, é de 3,0km/h perpendicularmente às margens.
Nessas condições, pode-se afirmar que o barco
a) atravessará o rio em 12 minutos.
b) atravessará o rio em 15 minutos.
c) atravessará o rio em 20 minutos.
d) nunca atravessará o rio.
23. (Puccamp 1997) Um barco sai de um ponto P para atravessar um rio de 4,0 km de largura.
A velocidade da correnteza, em relação às margens do rio, é de 6,0 km/h. A travessia é feita
segundo a menor distância PQ, como mostra o esquema representado a seguir, e dura 30
minutos
A velocidade do barco em relação à correnteza, em km/h, é de
a) 4,0
b) 6,0
c) 8,0
d) 10
e) 12
24. (Fei 1996) Um barco movido por motor, desce 120 km de rio em 2 h. No sentido contrário,
demora 3 h para chegar ao ponto de partida. Qual é a velocidade da água do rio? Sabe-se que,
na ida e na volta, a potência desenvolvida pelo motor é a mesma.
a) 15 km/h
b) 20 km/h
c) 30 km/h
d) 10 km/h
e) 48 km/h
25. (G1 1996) Numa represa um homem faz seu barco a remo atingir uma velocidade máxima
de 8 quilômetros por hora.
Nesse mesmo remado tenta atravessar um rio cujas águas se movem com uma velocidade de
5 quilômetros por hora como indica a figura a seguir. O rio tem largura de 3,2 km.
Se o barco parte do ponto A, em qual ponto da outra margem o barco chegará?
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Dados: d1 = 120 km; d2 = 160 km; t =1/4 h.
A figura ilustra os dois deslocamentos e o deslocamento resultante.
Aplicando Pitágoras:
d2  d12  d22  d2  1202  1602  14.400  25.600  40.000  d  40.000 
d  200 km.
O módulo da velocidade vetorial média é:
vm
d
200
 200  4  
1
4
 800 km / h.
vm 
t

Resposta da questão 2:
[D]
A figura mostra as velocidades do barco em relação ao rio, do rio em relação à margem e a
resultante das duas.
VResultante 
ΔS 800

 8,0m / s
Δt 100
Aplicando Pitágoras ao triângulo sombreado, vem:
VB2  82  62  100  VB  10m / s
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Resposta da questão 3:
[A]
Dados: vB = 11 km/h; vA = 0,83 m/s = (0,83  3,6) = 3 km/h.
Na descida:
v = vB + vA = 11 + 3 = 14 km/ h.
Na subida:
v = vB – vA = 11 – 3 = 8 km/ h.
Resposta da questão 4:
[B]
Como todos os movimentos são realizados com velocidade constante tem-se v = S/t
Identificando a velocidade do barco em relação à água como v e a velocidade das águas do rio
como u temos:
Na subida com o motor ligado
v – u = S/10  10.v – 10.u = S
Na descida com o motor ligado
v + u = S/4  4.v + 4.u = S
Em função de S temos:
40.v – 40.u = 4.S
40.v + 40.u = 10.S
Somadas as expressões
14.S
80
14.S
14.S
 14.S 
4.v + 4.u = S  4. 
+ 4.u = S 
+ 4.u = S  4.u = S –
=

20
20
 80 
6.S
6.S
 u=
20
80
80.v = 14.S
 v=
Na descida com o motor desligado:
u = S/T
 T = S/u =
S
80
=
= 13h20 min
6.S
6
80
Resposta da questão 5:
[C]
Resposta da questão 6:
02 + 08 + 16 = 26
Resposta da questão 7:
[C]
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Resposta da questão 8:
[B]
Resolução:
Pelo princípio de Galileu os movimentos são independentes.
Movimento Vertical
Vy  0,9km / h 
Vy 
Sy
t
0,9
m / s  0,25m / s
3,6
 0,25 
150
 t  600s
t
Movimento Horizontal
VX  18km / h 
VX 
18
m / s  5m / s
3,6
SX
SX
5
 SX  3.000m
t
600
Resposta da questão 9:
| A  B |  8 3m
| A  B| |B  A |  8 m
Observe a figura a seguir:
Resposta da questão 10:
[A]
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Resposta da questão 11:
[D]
A figura mostra os deslocamentos citados e a distância procurada.
Como o triângulo mostrado é retângulo é só aplicarmos o teorema de Pitágoras.
D2  2002  4802  270400  D  520m
Resposta da questão 12:
21 s
Resposta da questão 13:
[B]
Resposta da questão 14:
[B]
Resposta da questão 15:
[B]
Levando-se em conta que a velocidade relativa constante é igual a a razão entre a distância
percorrida e o intervalo de tempo correspondente, ou seja, v = d/t, teremos:
Descendo com a velocidade da escada:
u = d/10
Subindo contra a escada:
v - u = d/15
Usando a primeira expressão na segunda:
v - d/10 = d/15 ==> v = d/10 + d/15 = d/6
Na descida com a escada:
v + u = d/t ==> d/6 + d/10 = d/t
1/6 + 1/10 = 1/t ==> (5 + 3)/30 = 1/t
t = 30/8 = 3,75 s
Resposta da questão 16:
[B]
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Resposta da questão 17:
a) Varr = 2,7 m/s
b) Vres = 3,6 m/s
Resposta da questão 18:
[E]
Resposta da questão 19:
[C]
Resposta da questão 20:
[D]
Resposta da questão 21:
[B]
Resposta da questão 22:
[C]
Resposta da questão 23:
[D]
Resposta da questão 24:
[D]
Resposta da questão 25:
C
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